立体几何总复习.
2023届高考数学总复习《立体几何》附答案解析
（2）若点 N 为 BC 的中点，求四面体 A'MNB 的体积．
【解答】证明：（1）连接 BD，设 BD∩EC＝F，连接 MF，
由题意可得四边形 BCDE 为正方形，则 F 为 BD 的中点，
∴MF 为△A′BD 的中位线，可得 MF∥A′B，
又 A′B⊄平面 EMC，MF⊂平面 EMC，
∴A'B∥平面 EMC；
2023 年高考：立体几何复习题及答案
1．如图，已知直角梯形 ABCD，BC∥AD，BC＝CD＝2，AD＝4，∠BCD＝90°，点 E 为 AD 的中点，现将三角形 ABE 沿 BE 折叠，得到四棱锥 A'﹣BCDE，其中∠A'ED＝120°， 点 M 为 A'D 的中点．
（1）求证：A'B∥平面 EMC；
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∵BE⊂平面 BEF，∴平面 BEF⊥平面 AMD， 结合题意分析知，点 F 在线段 AD 上，连接 MF， 过 A 作 AH⊥MF，交 MF 的延长线于点 H，
则结合已知条件得
，解得 AH ，
设 Dt ，
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【解答】解：（1）证明：由题意知 PC2+AC2＝PA2，∴PC⊥AC， 同理，PC⊥BC，又 AC∩BC＝C，∴PC⊥平面 ABC， ∵D，E 分别是 AC，PA 的中点，∴DE∥PC， ∴DE⊥平面 ABC， 又 DE⊂平面 BDE，∴平面 BDE⊥平面 ABC． （2）在△BDE 中，DE⊥BD，BD＝2 ，DE＝2，∴BE＝4， 如图，过 A 作 AM⊥BE 于 M，连接 MD， 在△ABE 中，AB＝BE＝4，AE＝2 ，解得 AM ，ME＝1， ∵DM⊂平面 BDE，∴AC⊥DM， 在 Rt△ADM 中，AM ，AD＝2，∴DM ， ∴DM2+EM2＝DE2，∴MD⊥BE， ∵AM∩MD＝M，∴BE⊥平面 AMD，
2023年高考数学总复习《立体几何》附答案解析
所以 z1＝0，
，故可取
， ，，
于是 ＜ ， ＞
，
设所成锐二面角为θ，所以 sinθ
，
所以平面 PAD 和平面 PBE 所成锐二面角的正弦值为 ．
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∴CF CC1 AA1 ， ∵∠BAC＝90°，
∴CD
，
在 Rt△FCD 中，tan∠FDC 맨
，
故直线 DF 与平面 ABC 所成角的正切值为 ．
2．如图所示，四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，∠BCD＝60°，E 是 CD 的中点，PA⊥底面 ABCD，PA＝2． （1）证明：平面 PBE⊥平面 PAB； （2）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的正弦值．
【解答】（1）证明：如图所示，连接 BD，由 ABCD 是菱形且∠BCD＝60°， 知△ABC 是等边三角形． ∵E 是 CD 的中点， ∴BE⊥CD，又 AB∥CD， ∴AB⊥BE，∴BE⊥平面 PAB， 又 BE⊂平面 PBE， ∴平面 PBE⊥平面 PAB． （2）解：在平面 ABCD 内，过点 A 作 AB 的垂线，如图所示，以 A 为原点建立空间直角
【解答】（1）证明：连接 DG、FG， 由直三棱柱的性质知，BB1∥CC1，且 BB1＝CC1， ∵B1E＝2EB，C1F＝2FC， ∴EB∥FC，且 EB＝FC， ∴四边形 BCFE 为平行四边形， ∴EF∥BC，EF＝BC， ∵BD＝2DA，CG＝2GA， ∴GD∥BC，且 GD BC， ∴EF∥GD，且 GD EF， ∴四边形 DEFG 为梯形，即 D、E、F、G 四点共面， ∴点 G 在平面 EFD 内． （2）解：由直三棱柱的性质知，CC1⊥平面 ABC， ∵F 为 CC1 上一点， ∴点 F 在平面 ABC 上的投影为点 C， 连接 CD，则∠FDC 即为直线 DF 与平面 ABC 所成角． ∵点 D 在棱 AB 上，且 BD＝2DA， ∴AD AB ， ∵C1F＝2FC，
高考数学(文)《立体几何》专题复习
(2)两个平面垂直的判定和性质
✓ 考法5 线面垂直的判定与性质
1.证明直线 与平面垂直 的方法
2.线面垂直 的性质与线 线垂直
（1）判定定理（常用方法）： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线
与此平面垂直.判定定理中的两条相交直线必须保证“在平面 内相交”这一条件. （2）性质： ①应用面面垂直的性质（常用方法）：若两平面垂直,则在一 个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，是证明线 面垂直的主要方法； ②（客观题常用）若两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 则另一条也垂直于这个平面.
64
65
✓ 考法4 面面平行的判定与性质
1.证明平面 与平面平行 的常用方法 2.空间平行关系 之间的转化
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✓ 考法3 面面平行的判定与性质
1.证明平面 与平面平行 的常用方法
这是立体几何中证明平行关系常用的思路,三 种平行关系的转化可结合下图记忆
2.空间平行关系 之间的转化
67
68
600分基础 考点&考法
定义 判定方法
2.等角定理
判定定理 反证法 两条异面直线所成的角
✓ 考法2 异面直线所成的角
常考形式
直接求 求其三角函数值
常用方法
作角
正弦值 余弦值 正切值
证明 求值 取舍
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56
57
58
600分基础 考点&考法
➢ 考点46 线面、面面平行的判定与性质 ✓ 考法3 线面平行的判定与性质 ✓ 考法4 面面平行的判定与性质
1.计算有关 线段的长
2.外接球、内切 球的计算问题
观察几何体的特征 利用一些常用定理与公式 (如正弦定理、余弦定理、勾股定理、 三角函数公式等) 结合题目的已知条件求解
《立体几何初步》复习
4.(2019·全国Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形， 平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则 A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
√B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
5 5.
即
AO
与平面
ABCD
所成角的正切值为
5 5.
(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小.
解 由(1)可知OC⊥平面AOB. 又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC. 即平面AOB与平面AOC所成的角为90°.
反思 感悟
(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的 夹角). (2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影). (3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂线法； ③垂面法.
(2)BE∥平面PAD；
证明 因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD. 又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以BE∥平面PAD.
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD，所以AP⊥CD. 又因为AP∩AD＝A，AP，AD⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF，所以CD⊥EF. 又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，EF，BE⊂平面BEF， 所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD， 所以平面BEF⊥平面PCD.
2023届高考数学总复习：立体几何复习题附答案
a，
在 Rt△FCM 中，tan∠FCM ．
，
∴sin∠FCM ，
故直线 CF 与平面 ACDE 所成角的正弦值为 ． 2．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，BC⊥平面 AA1C1C，D 是 AA1 的中点，△ACD 是边长
为 1 的等边三角形． （1）证明：CD⊥B1D； （2）若 BC ，求二面角 B﹣C1D﹣B1 的大小．
，令
由（1）知，平面 B1C1D 的一个法向量为
，得
，， ，
， ，，
故 th＜ ， ＞
，
所以二面角 B﹣C1D﹣B1 的大小为 30°．
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在直角梯形 AEFB 中，有 AF EF，BF
쳌
∴AF2+BF2＝AB2，即 AF⊥BF．
∵BC∩BF＝B，BC、BF⊂平面 BCF，
∴AF⊥平面 BCF．
EF，AB＝2EF，
（2）解：∵AE⊥平面 ABC，AE⊂平面 ACDE，∴平面 ACDE⊥平面 ABC，
又平面 ABC∥平面 DEF，∴平面 ACDE⊥平面 DEF．
【解答】解：（1）证明：因为△ACD 是边长为 1 的等边三角形，所以∠ADC＝60°，∠ DA1C1＝120° 因为 D 是 AA1 的中点，所以 AD＝A1D＝A1C1＝1，即△A1C1D 是等腰三角形， 则∠A1DC1＝30°，故∠CDC1＝90°，即 CD⊥C1D， 因为 BC⊥平面 AA1C1C，BC∥B1C1，所以 B1C1⊥平面 AA1C1C， 因为 CD⊂平面 AA1C1C，所以 B1C1⊥CD， 因为 B1C1∩C1D＝C1，B1C1⊂平面 B1C1D，C1D⊂平面 B1C1D，所以 CD⊥平面 B1C1D， 因为 B1D⊂平面 B1C1D，所以 CD⊥B1D；
2023届高考数学总复习：立体几何附答案
设平面 PCD 的一个法向量为 （x1，y1，z1），
有
t
t， （0，1，1），
平面 ECD 的一个法向量为 （x2，y2，z2），
t 所以 th
t， （0，1，2）， tt，
t 即二面角 P﹣DC﹣E 的余弦值为 ．
t
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以 F 为坐标原点， ， ， ‐的方向为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
t， t， ， t，
∴
t， ， tt，
，t，tt，
t， ， t，
设平面 AEF 的法向量为
，，t
∵
t，
t
∴
t ，∴ t
t， ， t，
∵
，
∴
，
∴直线 B1F⊥平面 AEF．
（Ⅱ）
， ， t，
【解答】（Ⅰ）证明：因为 PA＝AB，E 为 PB 中点，所以 AE⊥PB，
因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BC，
由 BC⊥AB，所以 BC⊥平面 PAB，所以 BC⊥AE，又 AE⊥PB，BC∩PB＝B，
所以 AE⊥平面 PBC，
平面 AEF⊥平面 PBC．
（Ⅱ）解：法 1：取 PA 中点 G，连结 GE，GD，由 GE∥AB，CD∥AB，
t，t， t，
设平面 B1AE 的法向量为
，，t
∵
t ，∴
t
t
t， t
不妨取 y2＝3 ，则 x2＝﹣5，z2＝﹣4 ．
∴
⺁， ， t t，
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平面 AEF 的法向量为
t， ， t，
设二面角 B1﹣AE﹣F 的平面角为θ，
∴ th
t⺁．
2．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA⊥底面 ABCD，PA＝AB，E 为 PB 的中点，F 为线段 BC 上的动点． （Ⅰ）求证：平面 AEF⊥平面 PBC； （Ⅱ）求二面角 P﹣DC﹣E 的余弦值．
立体几何专题复习(自己精心整理)
专题一证明平行垂直问题题型一证明平行关系(1）如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD。
（2）在正方体AC1中,M，N，E，F分别是A1B1，A1D1,B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.思考题1（1）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC.（2)如图,在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2,BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.求证：PQ∥平面BCD。
题型二证明垂直关系(微专题)微专题1:证明线线垂直(1）已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC。
求证：PM⊥QN.（2)(2019·山西太原检测）如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1,BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点，求证:DF⊥AE。
微专题2：证明线面垂直（3）在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求证:BD1⊥平面ACB1.(4)（2019·河南六市一模）在如图所示的几何体中，ABC－A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°.若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD。
微专题3：证明面面垂直（5)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点,求证:平面DEA⊥平面A1FD1.（6)如图，四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝错误!PD，求证:平面PQC⊥平面DCQ。
思考题2(1)(2019·北京东城区模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD＝DC，E是PC的中点,作EF⊥BP交BP于点F，求证：PB⊥平面EFD。
中职数学《立体几何》总复习专项测试题
第九章立体几何总复习专项测试题一、判断题（立体几何基本概念）1、在一个平面内有三条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行…………（A B）2、分别在两个平行的平面内的两条直线一定平行…………………………………（A B）3、不存在与两条异面直线都相交的两条直线………………………………………（A B）4、平面就是平行四边形………………………………………………………………（A B）5、过直线外一点可以作无数条直线与这条直线平行………………………………（A B）6、空间内不相交的两条直线是异面直线……………………………………………（A B）7、在空间中，互相垂直的两条直线一定是相交直线………………………………（A B）8、过空间一点与已知直线垂直的直线有且只有一条………………………………（A B）9、空间内垂直同一条直线的两条直线一定平行……………………………………（A B）10、求两条异面直线所成的角的大小与在空间内选取的点的位置有关……………（A B）11、与两条异面直线都分别相交的两条直线一定是异面直线………………………（A B）12、平行于同一条直线的两条直线必平行……………………………………………（A B）13、平行于同一个平面的两条直线必平行……………………………………………（A B）14、垂直于同一条直线的两条直线必平行……………………………………………（A B）15、垂直于同一个平面的两条直线平行………………………………………………（A B）16、平行于同一个平面的两平面必平…………………………………………………（A B）17、垂直于同一个平面的两平面平行…………………………………………………（A B）18、如果一个平面内的两条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行…………（A B）二、填空题（柱、锥、球）①棱柱：侧面积：_________________；全面积：________________；体积：______________ .②棱锥：侧面积：_________________；全面积：________________；体积：______________ .③圆柱：侧面积：_________________；全面积：________________；体积：______________ .④圆锥：侧面积：_________________；全面积：________________；体积：______________ .⑤球：表面积：_____________________________；体积：__________________________ .1、正四棱柱的底面边长为3cm，高为4cm，则它的侧面积为_____；全面积_____；体积_____ .2、一个四棱锥的底面是长为4cm宽为3cm的矩形，侧棱长都为5cm，则它的体积为_______ .3、已知圆柱OO′的母线l = 4cm，表面积为42πcm2，则圆柱OO′的底面半径r=________cm .4、圆锥的母线长为10，高为8，则它的表面积为____________；体积为______________ .5、一个平面截球，得到的截面面积为36π，且球心到截面的距离为8，则该球的体积为_____ .再试牛刀：1、如果直线21//l l ，2l //平面α，那么1l _________平面α.2、设直线a 与b 是异面直线，直线c //a ，则b 与c 的位置关系是_____________.3、正四棱锥底面边长为a ，侧面积是底面积的2倍，则它的体积是____________ .4、圆柱的底面半径为2cm ，高为5cm,则这个圆柱的体积为___________cm 3 .5、圆锥的母线长12cm ，母线和轴的夹角30°，则圆锥的侧面积为______；全面积为：_______ .三、选择题（确定了答案再选）1、设P 为平面α外一点，则下述结论中，正确的是（ ）.A.过点P 可作无数条直线与α垂直B.过点P 只能作一条直线与α成60°的角C.过点P 只有一条直线与α平行D.过点P 有无数条直线与α平行2、两两相交的四条直线所确定平面的个数最多的是（ ）.A.4个B.5个C.6个D.8个3、如图，在直二面角α—PQ —β中，直角△ACB 在α内，斜边AB 在棱PQ 上，若AC 与平面α内，斜边AB 在棱PQ 上，若AC 与平面β成30°的角，则BC 与β所成的角为（ ）.A.60°B.45°C.30°D.90°4、若△ABC 在平面α内，P 是平面α外一点，则图中异面直线的对数是（ ）.A 、2对 B.3对 C.4对 D.5对5、如果直线l 和直线m 没有公共点，那么这两条直线的位置关系是（ ）.A.共面B.平行C.异面直线D.可能是平行直线，也可能是异面直线6、若点E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 四边中点，EH 和FG 的位置关系是（ ）.A.异面直线B.平行直线C.相交直线D.相交直线或异面直线7、已知a 、b 是异面直线，c ∥b ，那么a 与c （ ）.A 一定是平行直线B 一定是相交直线C 一定是异面直线D 不可能是平行直线8、分别在两个相交平面内的两条直线的位置关系是（ ）.A.异面直线B.平行直线C.相交直线D.以上三种情况均有可能9、直线a 与直线b 、c 所成的角都相等，则b 、c 的位置关系是（ ）.A.异面直线B.平行C.相交D.以上三种情况均有可能10、如果a 、b 是异面直线，那么与a 、b 都平行的平面有（ ）.A.有且只有一个B.有两个C.有无数个D.不一定存在11、下列结论中，错误的是（ ）.A.在空间内，与定点的距离等于定长的点的集合是球面B.球面上的三个不同的点，不可能在一条直线上C.过球面上的两个不同的点只能做一个大圆D.球的体积是这个球的表面积与球半径的31 12．设直线m //平面α，直线n 在α内，则（ ）.A.m //nB.m 与n 相交C.m 与n 异面D.m 与n 平行或异面四、简答题1、（直线与直线的位置关系）已知空间四边形OABC的边长和对角线长都为1,D、E分别为OA、BC的中点，连结DE .(1)求证:DE是异面直线OA和BC的公垂线；(2)求异面直线OA和BC的距离；(3)求点O到平面ABC的距离.2、（直线与平面的位置关系）已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:MN⊥CD;(3)若∠PDA=45º,求证:MN⊥平面PCD.3、（平面与平面的位置关系）已知二面角α- -β的平面角是锐角θ，若点C∈α，C到β的距离为3，C到棱AB的距离为4，试求sin2θ的值.∆中，AB=AC=2,且∠A=90º(如图(1)所示),以BC边上的高AD为折4、（翻折问题）已知ABC痕使∠BDC=90º.（如图(2)所示）①求∠BAC;②求点C到平面ABD的距离;③求平面ABD与平面ABC所成的二面角的正切值.高考仿真：1、如图,平面α∩β=CD,EA⊥α,EB⊥β,且A∈α,B∈β.求证:(1)CD⊥平面EAB；(2)CD⊥直线AB.2、已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求直线DA1与AC1的夹角;(2)求证:AC1⊥平面A1BD.3、已知:在60º二面角的棱上,有两个点A、B，AC、BD分别在这个二面角的两个面内,且垂直于线段AB,且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求CD的长.4、已知等腰梯形ABCD，AB∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC折成60º的二面角,求B、D两点之间的距离.。
2023年高考数学总复习：立体几何及答案解析
又∵已知 E 为 PB 的中点，∴OE∥PD．
∵PD⊄平面 AEC，OE⊂平面 AEC，
∴PD∥平面 AEC．
解：（2）∵
⺁，
⺁ ，∴
⺁ ⺁．
又∵PD⊥底面 ABCD，∴ 三棱锥 െ
∵E 是 PB 的中点，∴ 三棱锥 െ
⺁ 三棱锥 െ
⺁ ⺁⺁ ⺁ ⺁
⺁．
⺁ 三棱锥 െ
⺁ ⺁．
2．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABC，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2， ⺁ ， BC＝6． （1）求证：平面 PBD⊥平面 PAC； （2）PA 长为何值时，直线 PC 与平面 PBD 所成角最大？并求此时该角的正弦值．
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【解答】（1）证明：∵PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，∴BD⊥PA，
又 ㋨๗
， ㋨๗
，
∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝90°，即 BD⊥AC（E 为 AC 与 BD 交点）．
又 PA∩AC，∴BD⊥平面 PAC
又因为 BD⊂平面 PBD，所以平面 PBD⊥平面 PAC．
则๗ ๗
，即 െ ⺁ ㌳ ⺁ െ⺁ ㌳
，取 x＝1，
⺁ 得平面 PBD 的一个法向量为๗ （1， ， ），
所以 cos＜ ，๗＞
๗
，
๗
쳌㌳ ⺁
㌳
⺁ ⺁
㌳ ⺁㌳ ⺁
因为 ㌳ ⺁ ㌳ ⺁
㌳⺁ ⺁ ⺁
，当且仅当 t＝2 时等号成立，
所以 cos＜ ，๗＞
，记直线 PC 与平面 PBD 所成角为θ，
则 sinθ＝|cos＜ ，๗＞|，故 t๗ ，
即 ⺁ 时，直线 PC 与平面 PBD 所成角最大，此时该角的正弦值为 ．
2024年高考数学立体几何复习试卷及答案解析
2024年高考数学立体几何复习试卷及答案
一、选择题
1．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线()
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，且在平面α内
C．有无数条，一定在平面α内
D．有无数条，不一定在平面α内
答案B
解析假设过点P且平行于l的直线有两条m与n，则m∥l且n∥l，由平行公理得m∥n，这与两条直线m与n相交与点P相矛盾，故过点P且平行于l的直线只有一条，又因为点P 在平面内，所以过点P且平行于l的直线只有一条且在平面内．故选B.
2．设m，n为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是()
A．m⊥n，m∥α⇒n⊥αB．m⊥n，m⊥α⇒n∥α
C．m∥n，m⊥α⇒n⊥αD．m∥n，m∥α⇒n∥α
答案C
解析对于A，若m⊥n，m∥α时，可能n⊂α或斜交，故错误；
对于B，m⊥n，m⊥α⇒n∥α或n⊂α，故错误；
对于C，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，正确；
对于D，m∥n，m∥α⇒n∥α或n⊂α，故错误．
故选C.
3．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.
其中正确的命题是()
A．①②B．③④
C．②④D．①③
答案D
解析∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m⊂β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故③正确．
4.如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()
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四种运算:
1.加法运算: (1)三角形法则:
b
a
a b
首尾相接
(2)平行四边形法则:
a ab
起点相同
b
注意:两向量共线时,平行四边形法则不适用.
(3) 向量加法满足的运算律: ①交换律 ②结合律
坐标运算
设：a (x1, y1),b (x2, y2) 则 a b ( x1 x2 , y1 y2 )
空间 向量 的坐 标运
算
夹角和距离 平行和垂直
一、基本概念
1、空间直角坐标系
以单位正方体 OABC DABC z
的顶点O为原点，分别以射线
D'
OA，OC，OD 的方向 为正方
A'
向，以线段OA，OC，OD 的
O
长为单位长，建立三条数轴：
x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一 x A
个空间直角坐标系 O xyz
设P x, y, P1 x1, y1 , P2 x2, y2 , 且P1P PP2,则
x
y
x1 x2 1
y1 y2
1
中 点 坐
x
x1
x2 2
标
公 式
y
y1
y2
2
空间向量
空间 向量
空间 向量 的运
算
知识结构
加减 和数 乘运
算
共线 向量 共面 向量
空间 向量 基本 定理
空间 向量 的数 量积
C' B'
Cy BΒιβλιοθήκη O为坐标原点， x轴,y轴,z轴叫坐标轴，通过每两个坐 标轴的平面叫坐标平面
空间直角坐标系 —Oxyz
z
竖轴
1
纵轴
o
1
1
y
x
右手直角坐标系
横轴
2、空间直角坐标系中点的坐标
有序实数组（x,y,z）叫做点M在此空间 直角坐标系中的坐标，记作M（x,y,z） 其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的 纵坐标, z叫做点M的竖坐标
2.减法运算:
(1)定义: a b a ( b)
(2)三角形法则:
a a b
b
相同起点
坐标运算
设：a (x1, y1),b (x2, y2)
则
rr ab
( x1
x2 , y1
y2 )
3.实数与向量的积
(1)定义： （1） a a
（2）当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同；
设a ( x, y),则| a | x2 y2
6.向量的夹角: 向量夹角的范围[0,π]
定义:已知两个非零向量 a 和 b ,作OA a,OB b,
则 AOB (00 1800 ) 叫做向量 a 与 b 的
夹角.
rr 7. b在a方向上的投影
cos a b
|ab|
| b | cos叫做b在a方向上的投影
1、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z).
n
2、根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组
x1x x2 x
y1 y2
y y
z1z z2 z
0 0
ab
3、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好), 便得到平面法向量n的坐标.
例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平
五个结论:
1.平面向量基本定理
若 e1, e2 是平面上两个不共线向量，则此平面上的
任意一个向量 a均可表示为下列形式：a 1e1 2 e2
2、向量共线定理:
① a // b a b
② 设a x1, y1,b x2, y2 ,则 a // b x1y2 x2 y1 0
3.向量垂直定理: ① a b ab 0
面ABC的法向量
r 解：平面ABC的法向量为: n (x, y, z)
uuur
uuur
AB (4, 6, 1), AC (4,3, 2)
4x 6y z 0 4x 3y 2z 0
得
z 4x
z
3
y
r
令z 12 得 n (3, 4,12)
r 平面ABC的法向量 n (3, 4,12)
向量方法部分
平面向量复习 空间向量 基本概念 基本公式 基本应用 基本方法 典型例题
平面向量复习
一.基本知识
一组概念:
1.定义:既有大小又有方向的量. 注:向量可以平行移动,与起点位置无关
2.两个特殊向量: 零向量与单位向量 3.两个向量之间的关系: (1)平行向量(也称共线向量):方向相同或相反的二个向量
4、平面向量的数量积
平面向量 数量积
定义：
a
b
a
b
cos
(为a与b的夹角) 几何意义：a与b在a方向上投影的乘积
运算律： 分配律、1交.换a律、b数乘结a合b律 0
数量积的性质:
23..acosaa| a2a||b|ab||2
坐标运算 设a x1, y1,b x2, y2 ,则 a b x1x2 y1 y2
例、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面 AC的中心,求面OA1D1的法向量.
② 设a x1, y1,b x2, y2 ,则 a b x1x2 y1y2 0
4、已知
uuur
A(x1, y1), B( x2 , y2 ), 则
AB ( x2 -x1, y2 -y1 )
| AB | ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
5.线段的定比分点公式
uuuur uuur
当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反；
特别地，当 0 或 a 0 时， a 0 (2)r坐标运算：
设 a (x, y) ，则 a (x, y) (x,y)
(3)运算律:
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ)a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb
点M
（X，Y，Z）
3、直线的方向向量
rr
r
若a // l, 则称a是直线l 的方向向量
4、平面的法向量
如果表示向量n的有向线段所在的直线垂 直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,
这时向量n叫做平面α的法向量.ur
n
α
5、平面法向量的求法
设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共 线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若 n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a = 0且n·b = 0, 则n⊥α.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标
(规定 0 与任意向量平行)
(2)相等向量: 大小相等,方向相同的两个向量
(3)垂直向量: 夹角是900的两个向量
4.向量的坐标: 有且只有一对实数x、y，使得
a =xi + yj．（x，y）叫做向量a的坐标.
那么i =(1 , 0) j = (0, 1) 0 = (0,0) 5.向量的模: 向量的大小或长度.