台州市六校 2020 学年第一学期高三年级期中联考数学答案
2020-2021学年台州一中、天台中学高三上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年台州一中、天台中学高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知全集U={−1,1，2，3，4}，集合A={1,2，3}，B={2,4}，则(∁U A)∪B为()A. {1,2，4}B. {2,3，4}C. {−1,2，4}D. {−1,2，3，4}2.设F1、F2是双曲线C的两个焦点，若曲线C上存在一点P与F1关于曲线C的一条渐近线对称，则双曲线C的离心率是()A. √2B. √3C. 2D. √53.复数等于()A. B. C. D.4.设a>1，b>1，则“a>b”是“be a>ae b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)={(x+2)2−1,x<−1,0,−1≤x≤0,当函数y=f(x−1)−12−k(x−2)(其中k>0)的零点个数取得最大值时，则实数k的取值范围是() A. (0,6−√30) B. (6−√30,2−√2)C. (14,6−√30) D. (14,2−√2)6.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：x123P(ξ=x)？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ=()A. 1B. 4C. 3D. 27. 已知向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 为单位向量，若(√2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ )⊥(√2e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ )，则向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的夹角大小为()A. 0B. π4C. π2D. π8. 已知AB、CD分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长、短轴，下列命题正确的是()①∃点P∈C，使得PA⊥PB；②∀点P ∈C ，且直线PA 与PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2为定值；③∀点P ∈C ，且直线PC 与PD 的斜率分别为k 3，k 4，则k 3k 4为定值；④当P 与C 或D 重合时，∠APB 最大．A. ①②③B. ①②④C. ②③D. ②③④9. 已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，则下列命题中真命题是( )A. “a 2+b 2>c 2”是“△ABC 为锐角三角形”的充要条件B. “a 2+b 2<c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的必要不充分条件C. “a 3+b 3=c 3”是“△ABC 为锐角三角形”的既不充分也不必要条件D. “a 32+b 32=c 32”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件10. “｜x ｜<1”是“<0”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件二、单空题（本大题共3小题，共12.0分） 11. 为贯彻“科学防疫”，某复课学校实行“佩戴口罩，不相邻而坐”，现针对一排8个座位，安排4名同学就坐，那么不同的安排方法共有______种．(用数字作答)12. 若圆的一条弧长等于这个圆的内接正三角形边长的一半，则这条弧所对的圆心角的弧度数为______ ．13. 双曲线的顶点到渐近线的距离等于________．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 已知函数f(x)={−x 2+2x,x >00,x =0x 2+mx,x <0是奇函数，则实数m 的值是 (1) ；若函数f(x)在区间[−1,a −2]上满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0成立，则实数a 的取值范围是 (2) ．15. 一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为 (1) ；表面积为 (2) ．16. 若数列{a n}满足1an+1−1a n=d(n∈N∗,d为常数)，则称数列{a n}为调和数列，已知数列{1x n}为调和数列，且x1+x2+⋯+x20=200，则x1+x20=(1)；若x5>0，x16>0，则x5⋅x16的最大值为(2)．17. 已知多项式(x−1)3⋅(x−2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a1=(1)，a5=(2)．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知函数f(x)=3sin2x．(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．19. 如图所示，四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．(1)求证：平面PDE⊥平面PAC；(2)求直线PC与平面PDE所成的角；(3)求点B到平面PDE的距离．20. 已知数列{a n}满足：2a1+2a2+⋯+2a n−1+2a n=2n+1−2,n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n =2a n a n+1，数列{b n }的前n 项和为T n .若存在实数λ，使得λ≥T n ，试求出实数λ的最小值．21. 已知抛物线C:y 2=2px(p >0)过点M(1,−2)，且焦点为F ，直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)若直线l 经过抛物线C 的焦点F ，当线段AB 的长等于5时，求直线l 方程．(3)若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．22. 已知m ∈R ，函数f(x)=(x 2+mx +m)⋅e x ．(Ⅰ)当m <2时，求函数f(x)的极大值；(Ⅱ)当m =0时，求证：f(x)≥x 2+x 3．【答案与解析】1.答案：C解析：解：因为集合A={1,2，3}，U={−1,1，2，3，4}，所以∁U A={−1,4}，所以(∁U A)∪B={−1,4}∪{2,4}={−1,2，4}．故选C．利用补集运算求出∁U A，然后直接利用交集运算求解．本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的概念题．2.答案：D解析：解：设F(−c,0)，渐近线方程为y=bax，对称点为F′(m,n)，即有nm+c =−ab，且12⋅n=12⋅b(m−c)a，解得：m=b2−a2c ，n=−2abc，将F′(b2−a2c ,−2abc)，即(c2−2a2c,−2abc)，代入双曲线的方程可得(c2−2a2)2c2a2−4a2b2c2b2=1，化简可得c2a2−4=1，即有e2=5，解得e=√5．故选D．设F(−c,0)，渐近线方程为y=bax，对称点为F′(m,n)，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．3.答案：B解析：试题分析：由，选B．考点：复数的四则运算。
台州一中高三期中考试答案2020.11
台州一中2020学年高三年级调考试题数学参考答案及评分标准2020.11 。
11. (，[1,)-+∞ 12.，1 13.4，0 14. 45，115. (0,1] 16.17. 3[,)2+∞ 三、解答题: 本大题共5小题, 共74分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分）解：（Ⅰ）由()sin 1f x x x =++，12(sin )12sin()1223x x x π=++=++， 由()=2sin()113f παα++=， 得(+)03f πα=，又[0,2]απ∈， 得2=3απ或53π； …………………………………………6分 （Ⅱ）由题知，2()(2())(2)2sin(2)+1633g x f x f x x πππ=+=+=+， 由()2g x ≤，得21sin(2)32x π+≤， ∴72+22+2,636k x k k Z πππππ-≤+≤∈， 22x ππ-≤≤，252333x πππ-≤+≤， ∴22336x πππ-≤+≤，或 5252633x πππ≤+≤， ∴24x ππ-≤≤-，或 122x ππ≤≤， 即所求x 的集合为{|,24x x ππ-≤≤-或}122x ππ≤≤. …………………………………14分 19.（本题满分15分）（Ⅰ）证明：由题知，AB PB AB BC ⊥⊥，，得AB ⊥平面PBC ，又AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⊥平面PBC ； ……………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AB ⊥平面PBC ，∴AB PC ⊥， 由AB CD ，得CD PC ⊥，又CD BC ⊥,∴PCB ∠即为二面角P CD A --的平面角θ， PCB 中，22236cos 28BC PC PB BC PC θ+-==⋅,2,1BC PB AB ===, 可得6PC =或6，又PC BC >，∴6PC =， ∴227PD PC CD =+=.过点P 作PQ BC ⊥，垂足为点Q ，可得15sin 4PQ PC PCQ =⋅=， 由平面PBC ⊥平面ABCD ，得PQ ⊥平面ABCD ，设点D 到平面PAB 的距离为h .由D PAB P ABD V V --=,得1133PAB ABD Sh S PQ ⋅=⋅， 而1==12PAB ABD S S ，，∴152h PQ ==， 设PD 与平面PAB 所成角为ϕ，则151052sin 7h PD ϕ===. ∴PD 与平面PAB 所成角正弦值为10514. …………………………………………15分 （其他解法请酌情给分）20．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）数列{}n S n是公差为12的等差数列，且 1141S a ==， 可得17=22n S n n +，217=22n S n n +， ∴-13(2)n n n a S S n n =-=+≥，又14a =， ∴*3(N )n a n n =+∈； …………………………………………5分 （Ⅱ）22111111[](1)(1)(3)(1)(2)(3)2(1)(2)(2)(3)n n b n a n n n n n n n n n ==<=-++++++++++ 11=32b ， 当2n ≥时，12n b b b +++11111111[]32234454556(1)(2)2(3)n n n n <+-+-++-⨯⨯⨯⨯++++（）1111=[]322342(3)n n +-⨯++（） 1117<3223496+=⨯ ， 又737419631=0964196419641⨯-⨯-=-<⨯⨯ ∴12341n b b b +++<， 又113=3241b <， ∴*123N .41n b b b n +++<∈， ……………………………………………………15分 21．（本题满分15分）解：（Ⅰ）(i)由题知，抛物线2:2(0)M y px p =>上有一点(4,4)P ， 2p ∴=，∴抛物线M 的方程为24y x =；(ii)设(,0),(,0),(,0),E m D m t G m t -+其中0t >，则1244,44k k m t m t==-+--， 12(1)(1)1k k --=，12118214m k k -∴+==，2m ∴=，(2,0)E ， PB ∴直线方程为240x y --=； ………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，(2,0)E (2,0),(2,0),0D t G t t -+>，则PA 方程为44(4)2y x t -=-+，即4(2)480x t y t -++-=，由24(2)4804x t y t y x-++-=⎧⎨=⎩，得2(2)480y t y t -++-=，2(2)2,4A A t y t x -∴=-=，即2(2)(,2)4t A t --， 而PC 方程为44(4)2y x t-=--，即4(2)480x t y t ----=， 同理可得2(2)(,2)4t C t +--，∴点A 到直线PB 的距离为2125d =，点C 到直线PB的距离为22d =， 记11221||62||16||2PAB PCB PB d Sd t S d t PB d λ-====+， 设过点P 的抛物线M 的切线l 为4(4)y k x -=-，由24(4)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，得2416160ky y k -+-=，由=0∆，得12k =， 所以切线方程为24=0x y -+，令0y =，得4x =-，06t ∴<<，612=1(0,1)66t t t λ-∴=-∈++， 112111(,1)(1)S 12PBC PBC PAB PBC PABC S SS S S S S S λλ∴====∈+++四边形. …………………15分 22．（本题满分15分）（Ⅰ）1a =时，()ln f x x x x =+，()ln 2f x x '=+， 令()ln 20f x x '=+>，得21x e> ， ()f x ∴在21(0,)e 上递减，在21()e +∞，上递增； ……………………4分 （Ⅱ）由题知，ln (2)20x x a x a +-+-> ，即2ln (2)0a x a x-+-+>对于任意的1x >恒成立， 设2()ln (2)(1)a g x x a x x-=+-+>， 2212(2)()a x a g x x x x ---'=-=，1x >， (1)3a ≤时，(2)0x a -->，()0g x '>，()g x 在1x >时单调递增，()(1)0g x g ∴>=满足条件；(2)3a >时，21a ->，(1,1)x a ∈-时，()0g x '<，(1)x a ∈-+∞，时，()0g x '>， 即函数()y g x =在(1,1)a -递减，在(1)a -+∞，递增，当(1,1)x a ∈-时，()(1)0g x g <=，与()0g x >在1x >时恒成立矛盾，综上，3a ≤. ……………………10分 （Ⅲ）要证()()f x g x >，即证2ln (2)1x x x a x a ex xe x +-+->-+，即2ln (1)1x x x a x a ex xe +-+->-，设2()()1x x h x ex xe x ex e x =-=->，，设,1x y ex e x =->，则0x y e e '=-<，x y e ex =-在1x >时为减函数， 所以0x ex e -<，即()0h x <，设()ln (1)1ln (1)(1)x x x a x a x x a x ϕ=+-+-=+--，1x >，设ln (1),1y x x x x =-->，ln 0y x '=>，ln (1)y x x x =--在1x >时为增函数， ln 1x x x ∴>-，又2a <，()ln (1)(1)(2)(1)0x x x a x a x ϕ∴=+-->-->，()()x h x ϕ∴>，∴当2a <时，2ln (2)1x x x a x a ex xe x +-+->-+对于任意的1x >恒成立. …15分。
浙江省台州市2020版高三上学期期中数学试卷(理科)D卷
浙江省台州市2020版高三上学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合，那么（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·山东) 已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（）A . ﹣2iB . 2iC . ﹣2D . 23. （2分） (2019高一上·衢州期末) 对于函数，给出下列选项其中正确的是（）A . 函数的图象关于点对称B . 存在，使C . 存在，使函数的图象关于轴对称D . 存在，使恒成立4. （2分） (2017高一上·福州期末) 一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于（）．A . 2B . 4C .D .5. （2分）(2017·葫芦岛模拟) 已知随机变量X﹣N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为（）附：若随机变量ξ﹣N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544．A . 6038B . 6587C . 7028D . 75396. （2分）在等差数列{an}中，a2=4，a4=2，则a8=（）A . -1B . -2C . 4D . 87. （2分） (2017高二上·长沙月考) 根据右边的图，当输入为时，输出的（）A . 28B . 10C . 4D . 28. （2分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，若a=f（20.3），b=， c=f（log25），则a，b，c的大小关系是（）A . a＞b＞cB . c＞b＞aC . c＞a＞bD . a＞c＞b9. （2分） (2017高三上·漳州期末) 函数y= 的图象大致是（）A .B .C .D .10. （2分）已知函数在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，则A等于（）A . 1B . 2C . 4D . 811. （2分）已知双曲线的顶点恰好是椭圆的两个顶点，且焦距是，则此双曲线的渐近线方程是（）A .B .C .D .12. （2分）设函数， g(x)=+b+C,如果函数g(x)有5个不同的零点,则（）A . b＜-2且C＞0B . b＞-2且C＜0C . b＜-2且C=0D . b≥-2且C＞0二、填空题 (共4题；共6分)13. （2分） (2017高一下·桃江期末) 已知 =（1，2）， =（﹣3，2），当k=________时，（1）k + 与﹣3 垂直；当k=________时，（2）k + 与﹣3 平行．14. （1分） (2019高一下·大庆月考) 的值为________.15. （2分）(2016·温岭模拟) 已知实数x，y满足，则目标函数2x+y的最大值为________，目标函数4x2+y2的最小值为________．16. （1分） (2017高三上·九江开学考) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠A=120°，c=3，a=7，则△ABC的面积S=________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分）(2017高三下·淄博开学考) 已知直线x= 与直线x= 是函数的图象的两条相邻的对称轴．（1）求ω，φ的值；（2）若，f（α）=﹣，求sinα的值．18. （5分） (2016高三上·山西期中) 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求证：OE∥平面PDC；（Ⅲ）求面PAD与面PBC所成角的大小．19. （10分） (2017高二下·金华期末) 甲和乙参加有奖竞猜闯关活动，活动规则：①闯关过程中，若闯关成功则继续答题；若没通关则被淘汰；②每人最多闯3关；③闯第一关得10万奖金，闯第二关得20万奖金，闯第三关得30万奖金，一关都没过则没有奖金．已知甲每次闯关成功的概率为，乙每次闯关成功的概率为．（1）设乙的奖金为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）求甲恰好比乙多30万元奖金的概率．20. （5分）已知圆C与圆D：x2+y2﹣4x﹣2y+3=0关于直线4x+2y﹣5=0．求圆C的方程；21. （10分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣3 （a∈R）（1）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，3）；（2）若f（x）在x=x0 处取得极小值，x0∈（1，3）求实数a的取值范围．22. （10分） (2017高二下·赣州期末) 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交于A，B两点．（1）求直线l及圆C的普通方程（2）已知F（1，0），求|FA|+|FB|的值．23. （10分）(2014·安徽理) 设实数c＞0，整数p＞1，n∈N* ．（1）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（2）数列{an}满足a1＞，an+1= an+ an1﹣p．证明：an＞an+1＞．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2025届浙江省台州市温岭市书生中学高三六校第一次联考数学试卷含解析
2025届浙江省台州市温岭市书生中学高三六校第一次联考数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．2．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作一条直线与双曲线右支交于A B ，两点，坐标原点为O ，若22215OA a b BF a =+=，，则该双曲线的离心率为（ ） A ．152B ．102C ．153D ．1033．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“20210S <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ） A ．1112- B 31 C ．221D ．325．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．116．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）A ．2B ．1C ．22D ．127．已知111M dx x =+⎰，20cos N xdx π=⎰，由程序框图输出的S 为（ ）A ．1B ．0C ．2πD ．ln 28．已知直线22y x a =-是曲线ln y x a =-的切线，则a =（ ）A ．2-或1B ．1-或2C ．1-或12D ．12-或1 9．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<10．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，25SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．643π B ．2563π C ．4363π D ．2048327π 11．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()xg x e f x =+的零点所在区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)12．下图为一个正四面体的侧面展开图，G 为BF 的中点，则在原正四面体中，直线EG 与直线BC 所成角的余弦值为（ ）A 3B 6C 3D 33 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年第一学期10月六校联合调研试题 高一数学参考答案
2023-2024学年第一学期10月六校联合调研试题参考答案【备注】第二问共5分，选②时，不等关系（※※）“写错”或“部分写错”，第二问最多得1分；18.解：（1）0)4)(6(2422<+−=−−x x x x ， ............................1分 ∴不等式的解集为：{}64|<<−x x . ...................................2分 []0)()12(2)13(22≤−+−=+++−a x a x a a x a x ..............................3分 当a a =+12，即1−=a 时，()012≤+x ，此不等式的解集为：{}1|−=x x ..................4分 当a a >+12，即1−>a 时，此不等式的解集为：{}12|+≤≤a x a x .......................5分 当a a <+12，即1−<a 时，此不等式的解集为：{}a x a x ≤≤+12| .......................6分【备注】区间表达或不等式形式也可以（2）记命题p 对应的集合为{}64|<<−=x x A ，当1−>a 时，q 对应的集合为{}12|+≤≤=a x a x B ；p 是q 的必要且不充分条件，则B ⊂≠A . ..........................................8分则满足： <+−>6124a a ，则254<<−a ， ........................................11分 又1−>a ，∴251<<−a . ..............................................12分 19. 解：（1）设10t a =−>，则1a t =+则22(1)3(1)25665t t t t y t t t t++++++===++ ………………………………4分5≥+ ………………………………5分当且仅当t =1a =时等号成立所以原式最小值为5 ………………………………6分【备注】没有写出取等条件扣1分，没有下最后的结论不扣分 （2）法一：由1a b ab +−可得11b a b +=− ………………………………8分则12222122(1)3111b a b b b b b b b ++=+=++=+−+−−−37≥= ……11分 当且仅当2,3b a ==时取“等号”所以2a b +最小值为7 ………………………………12分【备注】没有写出取等条件扣1分，没有下最后的结论不扣分法二：由1a b ab +−可得(1)(1)2a b −−=………………………………8分2(1)2(1)337a b a b +=−+−+≥+= ………………………………11分当且仅当2,3b a ==时取等号所以2a b +最小值为7 ………………………………12分【备注】没有写出取等条件扣1分，没有下最后的结论不扣分20．解：（1）由题意，若p 为真，则240a ∆=−≥解得22a a ≤−≥或，………………………………4分 （2）法一：若q 为真，2(1)20(1)(2)0x a x a x x a +−+−=⇔++−=，方程两根为-1和2a − ………………………………6分 则由题意得23a −>，所以1a <− ………………………………8分当,p q 均为假时，有221a a −<< ≥−，可得12a −≤< ………………………………10分 因此，如果,p q 中至少有一个为真时，12a a <−≥或 .………………………………12分 法二：设2()(1)2f x x a x a =+−+−若q 为真，则有(0)20(3)440f a f a =−< +< 解得1a <− ………………………………8分 当,p q 均为假时，有221a a −<< ≥−，可得12a −≤< ………………………………10分 因此，如果,p q 中至少有一个为真时，12a a <−≥或 ………………………………12分【备注】若讨论,p q 一真一假和两真：2p q a ≥真假：，21p q a −<<−假真：，,2p q a ≤−都真： ………………………………11分 所以，12a a <−≥或【考查内容】集合的综合运用.21.解：（1）由已知得：182≤<x ， .................................................1分 候车区宽为：x98m ， ..............................................................2分 200)196(100)1962(100−+=+−=xx x x y .............................4分 26002001962100=−⋅⋅≥x x ........................................................6分即2600≥y ，当且仅当 ≤<=182196x x x ， ................................7分即14=x 时”“=取到最小值2600元. ................................8分 （2）由（1）可知：≤<≤−+=+−1823300200)196(100)1962(100x x x x x ...................9分 即≤<≤+−1820196352x x x ， .............................10分 解得：187≤≤x ....................................11分 答：所需总费用不超过3300元时，187≤≤x . ................................12分从而对集合中的运算进行检验判断.。
2020-2021学年浙江省台州市六校高一上学期期中联考数学试题(解析版)
2020-2021学年浙江省台州市六校高一上学期期中联考数学试题一、单选题1．设集合U =R ,{|1A x x =<-或2}x >，则UA（ ）A ．(,1)(2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．(,1][2,)-∞-+∞D ．(1,2)-【答案】B【分析】直接根据补集的概念进行运算可得解. 【详解】因为U =R ,{|1A x x =<-或2}x >， 所以UA {|12}x x -≤≤.故选：B2．命题“∀x ＞0，x 2+x ＞0”的否定是（ ） A ．∃x 0＞0，x 02+x 0＞0 B ．∃x 0＞0，x 02+x 0≤0 C ．∀x ＞0，x 2+x≤0 D ．∀x≤0，x 2+x ＞0 【答案】B【解析】试题分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x ＞0，x 2+x ＞0”的否定为：∃x 0＞0，x 02+x 0≤0． 故选B ．【解析】命题的否定．3．下列命题中，正确的是（ ） A ．若a b >，c d >，则ac bd > B ．若ac bd >，则a b < C ．若a b >，c d >，则a c b d ->- D ．若22a bc c<，则a b < 【答案】D【分析】运用不等式的性质，结合特殊值法，对选项注逐一判断正误即可.【详解】选项A 中，若0a b >>，0c d >>时，则ac bd >成立，否则，若21,12>->-，则22->-，显然错误，故选项A 错误；选项B 中，若ac bd >，0c <，则能推出a b <，否则，若(2)2(3)2-⨯>-⨯，则23->-，显然错误，故选项B 错误；选项C 中，若32,21>>，则11>，显然错误，故选项C 错误； 选项D 中，若22a bc c<，显然20,0c c ≠>，由不等式性质知不等式两边同乘以一个正数2c ，不等式不变号，即a b <. 故选：D.4．下列各组函数表示同一函数的是（ ） A ．,0,()(),0,x x f x g x x x x ≥⎧==⎨-<⎩B ．0()1,()f x g x x ==C ．2()()f x g x ==D ．21()1,()1x f x x g x x -=+=- 【答案】A【分析】直接利用函数的定义判断.【详解】对于A ，()f x x =和()g x 的定义域和对应关系均相同，故为同一函数，故A 正确；对于B ，()1f x =的定义域为R ，()0g x x =的定义域为{}0x x ≠，两者定义域不同，故A 错误；对于C ，()f x =R ，()2g x =的定义域为{}0x x ≥，两者定义域不同，故C 错误；对于D ，()1f x x =+的定义域为R ，()211x g x x -=-的定义域为{}1x x ≠，两者定义域不同，故D 错误， 故选：A.5．化简151lg 2lg 222-⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值得（ ） A ．2 B ．－2C ．1D ．-1【答案】D【分析】运用对数运算的公式、指数运算的公式可以直接求出代数式的值.【详解】15155lg 2lg 2lg lg 42lg(4)21212222-⎛⎫+-+-=⨯-=-=- ⎪⎝⎭=. 故选：D【点睛】本题考查了对数、指数的运算公式,考查了数学运算能力. 6．已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}41x x -<<，则不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>的解集为（ ）A ．{}14x x -<<B ．413x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．413x x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 D ．{}21x x x -或【答案】B【分析】根据不等式的解集与对应的方程根的关系的关系求得3,4b a c a ==-且0a <，化简不等式为2340x x +-<，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，不等式20ax bx c ++>的解集是{}41x x -<<， 可得4x =-和1x =是方程20ax bx c ++=的两根，且0a <，所以4141b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，可得3,4b a c a ==-，所以不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>可化为23(1)(3)40a x a x a -++->， 因为0a <，所以不等式等价于23(1)(3)40x x -++-<， 即234(1)(34)0x x x x +-=-+<，解得413x -<<， 即不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>的解集为413x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 故选：B.【点睛】解答中注意解一元二次不等式的步骤：（1）变：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式； （2）判：计算对应方程的判别式；（3）求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根； （4）利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.7．当104x <<时，不等式11014m x x+-≥-恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】C【分析】分离参数化为41414m x x≤+-恒成立，再利用基本不等式求出不等式右边的最小值即可得解. 【详解】不等式11014m x x+-≥-恒成立化为41414m x x ≤+-恒成立， 因为104x <<，所以140x ->， 所以()4141414414414x x x x x x ⎛⎫+=+-+ ⎪--⎝⎭44(14)5144x x x x -=++- 44(14)52144x x x x-≥+⋅-549=+=，当且仅当44(14)144x x x x -=-，即16x =时，等号成立.所以9m ≤，所以m 的最大值为9. 故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 8．已知定义在R 上的奇函数2()ax bf x x c+=+的图象如右图所示，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a c b >>【答案】D【分析】根据函数的定义域为R ，得到0c >，根据函数过原点得到0b =，根据()11f =，判断a ，c 的关系，进而可得结果.【详解】∵函数过原点，∴()00bf c==，∴0b =， 由图象知函数的定义域为R ，则0c >， 又()11f =，即()111af c==+，则1a c c =+>， ∴a c b >>，故选D ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和应用，根据函数图象的特点转化为函数的性质是解决本题的关键，其性质主要包括函数的定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性，对称性等，同时过某点也是常用方法，属于中档题.二、多选题9．命题2{|12},0x x x x a ∀∈≤≤-≤“”为真命题的一个充分条件是（ ）A ．4a ≤B ．4a ≥C ．5a ≤D ．5a ≥【答案】BD【分析】利用不等式恒成立求出命题2{|12},0x x x x a ∀∈≤≤-≤“”为真命题的充要条件，根据子集关系可得充分条件.【详解】对{|12}x x x ∀∈≤≤，20x a -≤，即2a x ≥，等价于()2maxa x ≥，因为12x ≤≤，所以()2max4x =，所以4a ≥.因为[5,)[4,)+∞+∞，故B 为充要条件，D 为充分不必要条件.故选：BD【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥； ②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤； ③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥； ④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；10．如果幂函数()f x m x α=⋅的图象过1(2,)4，下列说法正确的有（ ）A ．1m =且2α=-B ．()f x 是偶函数C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 的值域为(0,)+∞【答案】ABD【分析】根据幂函数()f x m x α=⋅的图象过1(2,)4，求得函数解析式再逐项判断.【详解】因为幂函数()f x m x α=⋅的图象过1(2,)4，所以1m =， 21224a -==，即 2a =-， 所以2()f x x -=， 又()22()()f x x x f x ---=-==，所以()f x 是偶函数，在()(),0,0,-∞+∞上是减函数，值域是(0,)+∞， 故选：ABD11．设函数()f x 的定义域为D ，若x D ∀∈，y D ∃∈使得()()f y f x =-成立，则称()f x 为“美丽函数”.下列函数中是“美丽函数”的有（ ） A ．3y x = B ．21x y =+ C ．ln(23)y x =+ D ．25y x =-【答案】ACD【分析】转化为判断函数()f x 的值域关于是否原点对称，分别求出四个函数的值域进行判断可得答案.【详解】由题意知，函数()f x 的定义域为D ，若x D ∀∈，y D ∃∈使得()()f y f x =-成立，所以函数()f x 的值域关于原点对称.对于A ，函数3y x =的值域为R ，关于原点对称，故A 正确；对于B ，函数21xy =+的值域为(1,)+∞，不关于原点对称，故B 不正确； 对于C ，函数ln(23)y x =+的值域为R ，关于原点对称，故C 正确； 对于D ，函数25y x =-的值域为R ，关于原点对称，故D 正确. 故选：ACD【点睛】关键点点睛：将问题转化为判断函数()f x 的值域关于是否原点对称是解题关键.12．已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①R x ∀∈，()()f x f x -=；②12,(0,)x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，都有()()21210f x f x x x ->-；③(1)0f -=.则下列选项成立的是（ ） A ．(3)(4)>-f f B ．若(1)(2)-<f m f ，则(,3)∈-∞m C ．若()0f x x>，(1,0)(1,)x ∈-+∞∪ D ．x R ∀∈，∃∈M R ，使得()f x M ≥【答案】CD【分析】由条件可得()f x 是偶函数且()f x 在(0,)+∞上单调递增，然后即可判断出每个答案正确与否.【详解】由条件①得()f x 是偶函数，条件②得()f x 在(0,)+∞上单调递增 所以(3)(4)(4)f f f <=-，故A 错若(1)(2)-<f m f ，则12m -<，得13m -<<，故B 错若()0f x x >则0()0x f x >⎧⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩，因为(1)(1)0f f -== 所以1x >或01x <<，故C 正确因为定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，且在(0,)+∞上单调递增 所以min ()(0)f x f =，所以对x R ∀∈，只需(0)M f ≤即可，故D 正确 故选：CD【点睛】1.偶函数的图象关于y 轴对称，比较函数值的大小即比较自变量到y 轴的远近2. 12,(,)x x a b ∀∈，当12x x ≠时，都有()()21210f x f x x x ->⇔-()f x 在(,)a b 上单调递增；12,(,)x x a b ∀∈，当12x x ≠时，都有()()21210f x f x x x -<⇔-()f x 在(,)a b 上单调递减.三、填空题13．已知132a =，则2log (2)a =_________. 【答案】43【分析】由132a =得21log 3a =，再根据对数的运算性质可得解.【详解】因为132a =，所以21log 3a =， 所以22214log (2)log 2log 133a a =+=+=.故答案为：43.【点睛】关键点点睛：掌握指数式化对数式和对数的运算性质是本题解题关键. 14．函数21(),1x f x x +=-且()4f p =，则实数p =_________. 【答案】52【分析】直接根据解析式可求得结果. 【详解】因为21(),1x f x x +=-且()4f p =， 所以2141p p +=-，解得52p =. 故答案为：52. 15．已知函数(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是________． 【答案】112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，【分析】根据()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞，可知()(12)3(1)f x a x a x =-+<需在(,1)-∞单调递增且(1)0f ≥即可.【详解】由题意知()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞，故要使()f x 的值域为R ， 则必有()(12)3f x a x a =-+为增函数，且1230a a -+≥， 所以120a ->，且1a ≥-，解得112a -≤<. 故答案为：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，【点睛】本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围，属于中档题. 16．若正数,x y 满足113122x y xy++=，则xy 的最小值为_________. 【答案】92【分析】将113122x y xy++=化为232y x xy ++=后，利用基本不等式得23xy -≥.【详解】由113122x y xy++=得232y x xy ++=，因为0,0x y >>，所以232xy y x -=+≥2y x =时，等号成立.所以2302≥，所以222≥2≥2≤2≥2≤-，所以92xy ≥，即xy 的最小值为92. 故答案为：92. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方四、解答题17．已知函数22()log (23).f x x x =-++（1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）写出函数()f x 的单调增区间和减区间（不要求证明）.【答案】（1）定义域为(1,3)-,值域为(,2]-∞（2）递增区间为(1,1)-，递减区间为[1,3) 【分析】（1）由2230x x -++>解得结果可得定义域，根据二次函数知识求出真数的值域，根据对数函数的单调性可求得()f x 的值域；（2）在定义域内求出真数的单调区间，根据底数大于1可得函数()f x 的单调区间.【详解】（1）由函数有意义可得2230x x -++>，即2230x x --<， 解得13x ，所以函数()f x 的定义域为(1,3)-， 因为13x，所以2223(1)4x x x -++=--+(0,4]∈，所以()(,2]f x ∈-∞，即函数()f x 的值域为(,2]-∞.（2）因为函数()f x 的定义域为(1,3)-，且函数2y x 2x 3=-++在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，又对数函数的底数为21>，所以函数()f x 的递增区间为(1,1)-，递减区间为[1,3). 【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法： 1、有分式时：分母不为0；2、有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；3、有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；4、有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；5、有指数函数形式时：底数和指数都含有x ，指数底数大于0且不等于1；6、有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1. 18．已知函数1()22xx f x =-，()(4ln )ln ().g x x x b b R =-⋅+∈ （1）若()0f x >，求实数x 的取值范围；（2）当[1,)x ∈+∞时，设函数(),()f x g x 的值域分别为,A B ，若A B ⋂≠∅，求实数b 的取值范围.【答案】（1）(0,)+∞（2）52b ≥-【分析】（1）化为指数不等式21x >可解得结果；（2）由()f x 的单调性求出集合A ，换元后，利用二次函数知识求出集合B ，根据A B ⋂≠∅列式可解得结果.【详解】（1）()0f x >即1202x x ->，所以()221x >，所以21x >，所以0x >， 所以实数x 的取值范围是(0,)+∞.（2）因为()f x 122xx=-在[1,)+∞上递增，所以当1x =时，()f x 取得最小值32，无最大值，所以3[,)2A =+∞，设ln t x =，因为1≥x ，所以0t ≥，所以2()()4h t g x t t b ==-++(0)t ≥，因为2()(2)4h t t b =--++在[0,2)上递增，在(2,)+∞上递减，所以2t =是，()h t 取得最大值(2)4h b =+，无最小值，所以(,4]B b =-∞+， 因为A B ⋂≠∅，所以342b +≥，得52b ≥-.【点睛】关键点点睛：利用换元法将函数()g x 化为二次函数求值域是解题关键. 19．已知函数2()||21f x ax x a a =-+-（为实常数）. （1）判断()f x 的奇偶性，并给出证明；（2）若0a >，设()f x 在[1,2]上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式.【答案】（1）函数()f x 为偶函数，证明见解析（2）163,04111()21,442132,2a a g a a a a a a ⎧-<≤⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩【分析】（1）函数()f x 为偶函数，根据偶函数的定义可证明结论正确； （2）按照对称轴与区间的关系分三种情况讨论可求得结果. 【详解】（1）函数()f x 为偶函数，证明：因为函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称，又因为2()()||21f x a x x a -=---+-2||21()ax x a f x =-+-=， 所以函数()f x 为偶函数.（2）因为0,a x >∈[1,2]，所以2()21f x ax x a =-+-，对称轴为12x a=， 当112a≤，即12a ≥时，()f x 在[1,2]上递增，所以()(1)32g a f a ==-；当122a ≥，即104a <≤时，()f x 在[1,2]上递减，所以()(2)63g a f a ==-； 当1122a <<，即1124a <<时，11()()2124g a f a a a ==--，综上所述：163,04111()21,442132,2a a g a a a a a a ⎧-<≤⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩. 【点睛】关键点点睛：第二问根据对称轴与区间的关系分三种情况讨论是解题关键.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值，并用定义证明其单调性；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 【答案】（1）2a =，1b =，证明见解析；（2）1(,)3-∞-.【分析】（1）根据奇函数的必要条件得出(0)0f =，(1)(1)f f -=-求出1b =，2a =，再验证()f x 为奇函数；将()f x 分离常数化为11()221x f x =-++，按照单调函数定义，证明()f x 在R 为减函数；（2）由()f x 是奇函数22(2)(2)0f t t f t k -+-<化为22(2)(2)f t t f t k -<-+，结合()f x 在R 上是单调递减，不等式等价转化为2320t t k -->，对一切t R ∈恒成立，根据二次函数图像，可得0∆≤，求解，即可得出结论. 【详解】（1）因为()f x 是奇函数，所以(0)0f =，即1012bb a-+=⇒=+， ∴12()2xx b f x a +-=+，又由(1)(1)f f -=-知211122221a a a --=-⇒=++， 所以2a =，1b =，经检验2a =，1b =时，121()22x x f x +-=+是奇函数，11211()22221x x xf x +-==-+++， 则12,x x R ∀∈，且12x x <，则211212121122()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++ ∵12x x <，∴1222x x <，∴12()()f x f x >， ∴()f x 在R 上是单调递减； （2）因为()f x 是奇函数，所以22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因为()f x 为减函数，由上式可得：2222t t k t ->-， 即对一切t R ∈有：2320t t k -->， 从而判别式141203k k ∆=+<⇒<-， 所以k 的取值范围是1(,)3-∞-.【点睛】本题考查函数的奇偶性求参数，用奇偶性的必要条件求参数后要跟上验证，考查函数的单调性证明，要注意分离常数简化计算，考查利用函数的性质解不等式，属于中档题,21．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为31(0)1x Q x x +=≥+.已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.（1）试将年利润W （万元）表示为年广告费x （万元）的函数； （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？【答案】（1）29835(0)2(1)x x W x x -++=≥+；（2）当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元．【详解】试题分析：（1）由题意可得，产品的生产成本为(323)Q +万元，得到每万件销售价，进而得到年销售输入，即求解年利润的表达式；（2）令1(1)x t t +=≥，则32502t W t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求解最值，即可得到结论.试题解析：（1）由题意可得，产品的生产成本为(323)Q +万元，每万件销售价为323150%50%Q xQ Q+⨯+⨯， ∴年销售收入为323150%50%Q x Q Q Q ⎛⎫+⨯+⨯⋅ ⎪⎝⎭31(323)22Q x =++，∴年利润31(323)(323)22W Q x Q x =++-+-219835(323)(0)22(1)x x Q x x x -++=+-=≥+. （2）令1(1)x t t +=≥，则2(1)98(1)35325022t t t W t t --+-+⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭.∵1t ≥,∴3282t t +≥=,即42W ≤， 当且仅当322t t=，即8t =时，W 有最大值42，此时7x =. 即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元. 【解析】实际应用问题. 【方法点晴】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中涉及到函数的解析式的求解、基本不等式求最值的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确审题，根据题设条件列出函数的解析式，构造基本不等式，利用基本不等式求解最值是解答的关键.22．定义：若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数），则称函数()f x 为“a 距”增函数．（1）若()2xf x x =-，x ∈(0，+∞)，试判断()f x 是否为“1距”增函数，并说明理由；（2）若()3144f x x x =-+，x ∈R 是“a 距”增函数，求a 的取值范围； （3）若()22x k xf x +=，x ∈(﹣1，+∞)，其中k ∈R ，且为“2距”增函数，求()f x 的最小值．【答案】（1）见解析； （2）1a >； （3）()24min2,201,0kk f x k -⎧⎪-<<=⎨⎪≥⎩. 【分析】（1）利用“1距”增函数的定义证明()()10f x f x +->即可；（2）由“a 距”增函数的定义得到()()2213304f x a f x x xa a +-=++->在x ∈R 上恒成立，求出a 的取值范围即可；（3）由()f x 为“2距”增函数可得到()()2f x f x +>在()1x ∈+∞﹣，恒成立，从而得到()2222x k x x k x +++>+恒成立，分类讨论可得到k 的取值范围，再由()2222422k k x x k x f x ⎛⎫+-⎪+⎝⎭==，可讨论出()f x 的最小值．【详解】（1）任意0x >,()()()()1121221x x xf x f x x x +⎡⎤+-=-+--=-⎣⎦, 因为0x >,21>, 所以21x >，所以()()10f x f x +->，即()f x 是“1距”增函数． （2）()()()()332231114433444f x a f x x a x a x x x a xa a a⎡⎤⎛⎫+-=+-++--+=++- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.因为()f x 是“a 距”增函数，所以22313304x a xa a a ++->恒成立， 因为0a >,所以2213304x xa a ++->在x ∈R 上恒成立， 所以221=91204a a ⎛⎫∆--< ⎪⎝⎭，解得21a >，因为0a >,所以1a >. （3）因为()22x k xf x +=，()1,x ∈-+∞，且为“2距”增函数，所以1x >-时，()()2f x f x +>恒成立， 即1x >-时，()222222x k x x k x++++>恒成立，所以()2222x k x x k x +++>+，当0x ≥时，()()2222x k x x kx +++>+，即4420x k ++>恒成立， 所以420k +>, 得2k >-;当10x -<<时，()()2222-x k x x kx +++>， 得44220x kx k +++>恒成立， 所以()()120x k ++>,得2k >-, 综上所述，得2k >-. 又()2222422k k x xk xf x ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，因为1x >-,所以0x ≥，当0k ≥时，若0x =，2224k k x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭取最小值为0；当20k -<<时，若2k x =-，2224k k x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭取最小值.因为2xy =在R 上是单调递增函数，所以当0k ≥，()f x 的最小值为1；当20k -<<时()f x 的最小值为242k -，即()242,201,0k mink f x k -⎧⎪-<<=⎨⎪≥⎩. 【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题．。
浙江省六校2024年高三下学期期中联考考试数学试题
浙江省六校2024年高三下学期期中联考考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题q ：x ∃∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝ 2．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ）A ．2B ．5C ．1D ．3 3．已知函数2sin ()1x f x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ） A ．①④ B ．②③ C ．①③④D ．①②④ 4．在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边与单位圆交于点5,5P m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．210 B ．1010 C ．7210 D ．310105． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A ．75B ．65C ．55D ．45 6．已知15455,log 5,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >>7．若集合{|2020}A x N x =∈=，22a =，则下列结论正确的是（ ） A ．{}a A ⊆ B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉ 8．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F处的目标球，最后停在点C 处，若AE =50cm ．EF =40cm ．FC =30cm ，∠AEF =∠CFE =60°，则该正方形的边长为（ ）A ．2cmB ．2cmC ．50cmD ．6cm9．已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ） A ．(625,)+∞ B ．(4,64) C ．(9,625) D ．(9,64)10．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo ）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ）A ．314B ．1114C ．114D ．2711．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ） A ．1 B ．1或12 C ．32 D ．32± 12．ABC 是边长为23E 、F 分别为AB 、AC 的中点，沿EF 把AEF 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为（ ） A ．534 B ．334 C ．64D ．364二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年浙江省台州市六校高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年浙江省台州市六校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合U＝R，A＝{x|x＜﹣1，或x＞2}，则∁U A＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（﹣1，2）2．（5分）命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是（）A．∃x0＞0，x02+x0＞0B．∃x0＞0，x02+x0≤0C．∀x＞0，x2+x≤0D．∀x≤0，x2+x＞03．（5分）下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac＞bc，则a＞bC．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若＜，则a＜b4．（5分）下列各组函数表示同一函数的是（）A．f（x）＝，g（x）＝|x|，x∈RB．f（x）＝1，g（x）＝x0C．f（x）＝，g（x）＝（）2D．f（x）＝x+1，g（x）＝5．（5分）化简lg+2lg2﹣（）﹣1的结果为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣16．（5分）若不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|﹣4＜x＜1}，则不等式b（x2﹣1）+a（x+3）+c＞0的解集为（）A．B．{x|x＜1或x＞}C．{x|﹣1＜x＜4}D．{x|x＜﹣2或x＞1}7．（5分）当时，不等式恒成立，则实数m的最大值为（）A．7B．8C．9D．108．（5分）已知奇函数的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞a＞b二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．（5分）命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2﹣a≤0“为真命题的一个充分条件是（）A．a≤4B．a≥4C．a≤5D．a≥510．（5分）如果幂函数f（x）＝m•xα的图象过，下列说法正确的有（）A．m＝1且α＝﹣2B．f（x）是偶函数C．f（x）在定义域上是减函数D．f（x）的值域为（0，+∞）11．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若∀x∈D，∃y∈D使得f（y）＝﹣f（x）成立，则称f（x）为“美丽函数”．下列函数中是“美丽函数”的有（）A．y＝x3B．y＝2x+1C．y＝ln（2x+3）D．y＝2x﹣5 12．（5分）已知定义在R上函数f（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f（﹣x）＝f（x）；②∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有＞0；③f （﹣1）＝0．则下列选项成立的是（）A．f（3）＞f（﹣4）B．若f（m﹣1）＜f（2），则m∈（﹣∞，3）C．若＞0，则x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）D．∀x∈R，∃M∈R，使得f（x）≥M三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知，则log2（2a）＝．14．（5分）函数，且f（p）＝4，则实数p＝．15．（5分）已知函数的值域为R，那么实数a的取值范围是．16．（5分）若正数x，y满足，则xy的最小值为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f（x）＝log2（﹣x2+2x+3）．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）写出函数f（x）的单调增区间和减区间（不要求证明）．18．（12分）已知函数，g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b（b∈R）．（1）若f（x）＞0，求实数x的取值范围；（2）当x∈[1，+∞）时，设函数f（x），g（x）的值域分别为A，B，若A∩B≠∅，求实数b的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣|x|+2a﹣1（a为实常数）．（1）判断f（x）的奇偶性，并给出证明；（2）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．20．（12分）已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（1）求a，b的值；并判定函数f（x）单调性（不必证明）．（2）若对于任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．21．（12分）某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q＝（x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．（1）试将年利润W（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？22．（12分）定义：若对定义域内任意x，都有f（x+a）＞f（x）（a为正常数），则称函数f （x）为“a距”增函数．（1）若f（x）＝2x﹣x，x∈（0，+∞），试判断f（x）是否为“1距”增函数，并说明理由；（2）若，x∈R是“a距”增函数，求a的取值范围；（3）若，x∈（﹣1，+∞），其中k∈R，且为“2距”增函数，求f（x）的最小值．2020-2021学年浙江省台州市六校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合U＝R，A＝{x|x＜﹣1，或x＞2}，则∁U A＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（﹣1，2）【分析】进行补集的运算即可．【解答】解：∵U＝R，A＝{x|x＜﹣1，或x＞2}，∴∁U A＝[﹣1，2]．故选：B．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是（）A．∃x0＞0，x02+x0＞0B．∃x0＞0，x02+x0≤0C．∀x＞0，x2+x≤0D．∀x≤0，x2+x＞0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定为：∃x0＞0，x02+x0≤0．故选：B．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．3．（5分）下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac＞bc，则a＞bC．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d D．若＜，则a＜b【分析】A，要满足a＞b，c＞d，才能得到ac＞bd；B，c＜0时，由ac＞bc，得a＜b；C，若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d或a﹣c＜b﹣d或a﹣c＝b﹣d；D，若＜，则，则a＜b；【解答】解：对于A，要满足a＞b，c＞d，才能得到ac＞bd，故错；对于B，c＜0时，由ac＞bc，得a＜b，故错；对于C，若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d或a﹣c＜b﹣d或a﹣c＝b﹣d，故错；对于D，若＜，则，则a＜b，故正确；故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质及其应用，属于基础题．4．（5分）下列各组函数表示同一函数的是（）A．f（x）＝，g（x）＝|x|，x∈RB．f（x）＝1，g（x）＝x0C．f（x）＝，g（x）＝（）2D．f（x）＝x+1，g（x）＝【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．【解答】解：对于A，f（x）＝（x∈R），与g（x）＝|x|＝（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；对于B，f（x）＝1（x∈R），与g（x）＝x0＝1（x≠0）的定义域不同，∴不是同一函数；对于C，f（x）＝＝|x|（x∈R），与g（x）＝＝x（x≥0）的定义域不同，对应关系也不同，∴不是同一函数；对于D，f（x）＝x+1（x∈R），与g（x）＝＝x+1（x≠1）的定义域不同，∴不是同一函数．故选：A．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域是否相同，对应关系是否也相同．5．（5分）化简lg+2lg2﹣（）﹣1的结果为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【分析】直接利用对数与指数的运算法则化简求解即可．【解答】解：lg+2lg2﹣（）﹣1＝lg5+lg2﹣2＝1﹣2＝﹣1．故选：D．【点评】本题考查对数的运算法则以及指数的运算法则的应用，考查计算能力．6．（5分）若不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|﹣4＜x＜1}，则不等式b（x2﹣1）+a（x+3）+c＞0的解集为（）A．B．{x|x＜1或x＞}C．{x|﹣1＜x＜4}D．{x|x＜﹣2或x＞1}【分析】由已知以及根于系数的关系可得b，c和a的关系以及a＜0，然后把b，c代入所求的表达式里，化简即可求解．【解答】解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣4，1），则，解得c＝﹣4a，b＝3a，且a＜0，所以不等式b（x2﹣1）+a（x+3）+c＞0可化为：3x2+x﹣4＜0，解得﹣，故选：A．【点评】本题考查了一元二次不等式的应用以及根与系数的关系，属于基础题．7．（5分）当时，不等式恒成立，则实数m的最大值为（）A．7B．8C．9D．10【分析】当时，不等式恒成立，等价于要使不等式m≤在（0，1）上恒成立，只需的最小值大于等于m即可，然后利用基本不等式求出的最值，即可求出m的取值范围，从而求出所求．【解答】解：当时，∴1﹣4x∈（0，1），∵4x+（1﹣4x）＝1，∴＝（）[4x+（1﹣4x）]＝5++≥5+2＝9，当且仅当＝，即x＝时取等号，∴m≤9，即实数m的最大值为9．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式求最值，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．8．（5分）已知奇函数的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞a＞b【分析】由函数图象可得f（0）＝＝0，解得b＝0，又f（1）＝＝1，故a＝c+1，再由f′（1）＝0，可得c的值，进而可得a的值，故可比较大小．【解答】解：由函数图象可得f（0）＝＝0，解得b＝0，又f（1）＝＝1，故a＝c+1，又f′（x）＝＝，由图可知x＝1为函数的极值点，故f′（1）＝0，即﹣a+ac＝0，解得c＝1，a＝2，故a＞c＞b，故选：A．【点评】本题考查由函数的图象求解函数的系数的问题，属基础题．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．（5分）命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2﹣a≤0“为真命题的一个充分条件是（）A．a≤4B．a≥4C．a≤5D．a≥5【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，则a≥x2，∵x∈[1，2]，∴x2∈[1，4]，则a≥4，则a≥4或a≥4是命题为真命题的一个充分条件，对于A：a≤4不是a≥4的充分条件，对于B：a≥4是a≥4的充分条件，对于C：a≤5不是a≥4的充分条件，对于D：a≥5是a≥4的充分条件，故选：BD．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题，充分条件和必要条件，函数值的计算以及函数定义域问题，难度不大．10．（5分）如果幂函数f（x）＝m•xα的图象过，下列说法正确的有（）A．m＝1且α＝﹣2B．f（x）是偶函数C．f（x）在定义域上是减函数D．f（x）的值域为（0，+∞）【分析】先求出m，α的值，得到函数的解析式，即可判断各选项．【解答】解：∵幂函数f（x）＝m•xα的图象过，∴m＝1且＝2α，即m＝1且α＝﹣2，∴f（x）＝x﹣2＝，∴f（x）是偶函数且值域为（0，+∞），但定义域内不单调，故选：ABD．【点评】本题考查了幂函数的解析式和幂函数的图象和性质，属于基础题．11．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若∀x∈D，∃y∈D使得f（y）＝﹣f（x）成立，则称f（x）为“美丽函数”．下列函数中是“美丽函数”的有（）A．y＝x3B．y＝2x+1C．y＝ln（2x+3）D．y＝2x﹣5【分析】由题意知“美丽函数”的值域关于原点对称，分别求出各函数的值域即可．【解答】解：∵若∀x∈D，∃y∈D，使得f（y）＝﹣f（x）成立，∴f（x）的值域关于原点对称．对于A，函数y＝x3的值域为R，关于原点对称；对于B，函数y＝2x+1的值域为（1，+∞），不关于原点对称；对于C，函数f（x）＝ln（2x+3）的值域为R，关于原点对称；对于D，函数y＝2x﹣5的值域为R，关于原点对称．∴其中是“美丽函数”的是ACD．故选：ACD．【点评】本题考查了对新定义的理解，基本初等函数的值域，属于中档题．12．（5分）已知定义在R上函数f（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f（﹣x）＝f（x）；②∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有＞0；③f （﹣1）＝0．则下列选项成立的是（）A．f（3）＞f（﹣4）B．若f（m﹣1）＜f（2），则m∈（﹣∞，3）C．若＞0，则x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）D．∀x∈R，∃M∈R，使得f（x）≥M【分析】利用已知条件，判断函数的性质，然后判断选项的正误即可．【解答】解：定义在R上函数f（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f（﹣x）＝f（x）；说明函数是偶函数；②∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有＞0；说明函数在（0，+∞）是增函数；③f（﹣1）＝0．所以f（3）＜f（4）＝f（﹣4）成立，所以A不正确；若f（m﹣1）＜f（2），可得|m﹣1|＜2，则m∈（﹣1，3），所以B正确；若y＝是奇函数，＞0，f（﹣1）＝0．可得x∈（﹣1，0）∪（1，+∞），所以C正确；因为函数是连续函数，又是偶函数，在x＞0时是增函数，所以∀x∈R，∃M∈R，使得f（x）≥M，正确；故选：BCD．【点评】本题考查函数的性质的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，是基本知识的考查．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知，则log2（2a）＝．【分析】容易求出，从而可得出．【解答】解：；∴．故答案为：．【点评】考查分数指数幂的运算，对数的运算．14．（5分）函数，且f（p）＝4，则实数p＝．【分析】利用函数的解析式，代入求解即可．【解答】解：函数，且f（p）＝4，可得，解得p＝．故答案为：．【点评】本题考查已知函数值求解函数的零点，是基本知识的考查．15．（5分）已知函数的值域为R，那么实数a的取值范围是﹣1．【分析】根据函数解析式得出x≥1，lnx≥0，即满足：求解即可．【解答】解：∵f（x）＝∴x≥1，lnx≥0，∵值域为R，∴1﹣2ax+3a必须到﹣∞，即满足：即故答案为：．【点评】本题考查了函数的性质，运用单调性得出不等式组即可，难度不大，属于中档题．16．（5分）若正数x，y满足，则xy的最小值为．【分析】由基本不等式可得+≥，设＝t，可得1≥+，解不等式可得t≥3，即可求出xy的最小值．【解答】解：+≥2＝，当且仅当＝时，即x＝2y时取等号，∴1＝++≥+，设＝t，∴1≥+，即t2﹣2t﹣3≥0，解得t≥3，∴≥3，∴xy≥，∴xy的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查基本不等式的应用，最值的求法，考查运算能力，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f（x）＝log2（﹣x2+2x+3）．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）写出函数f（x）的单调增区间和减区间（不要求证明）．【分析】（1）由﹣x2+2x+3＞0，能求出f（x）的定义域，设μ（x）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x ﹣1）2+4，由此能求出f（x）的值域．（2）由复合函数的单调性及函数的定义域即可写出f（x）的单调区间．【解答】解：（1）∵f（x）＝log2（﹣x2+2x+3），∴﹣x2+2x+3＞0，解得﹣1＜x＜3，∴f（x）的定义域为（﹣1，3）．设μ（x）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∵﹣1＜x＜3，∴μ（x）∈（0，4]，∴f（x）的值域为（﹣∞，2]．（2）f（x）的单调增区间为（﹣1，1），单调减区间为（1，3）．【点评】本题考查函数的定义域和值域的求法，考查复合函数的单调性，属于基础题．18．（12分）已知函数，g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b（b∈R）．（1）若f（x）＞0，求实数x的取值范围；（2）当x∈[1，+∞）时，设函数f（x），g（x）的值域分别为A，B，若A∩B≠∅，求实数b的取值范围．【分析】（1）根据函数的单调性，利用f（x）＝0时x＝0，求得f（x）＞0的解集．（2）先求出A，再求出B，A再根据A∩B≠∅，可得4+b≥，由此求得b的范围．【解答】解：（1）∵函数在R上单调递增，由f（x）＝0，可得2x＝，求得x＝0，故f（x）＞0的解集为{x|x＞0}．（2）当x∈[1，+∞）时，函数的值域为[，+∞）．令t＝lnx＞0，则g（x）＝（4﹣lnx）•lnx+b＝h（t）＝（4﹣t）t+b，故当t＝2时，函数h（t）取得最大值为4+b，故g（x）的值域为（﹣∞，4+b]．若A∩B≠∅，则4+b≥，求得b≥﹣．【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，函数的定义域和值域，交集的运算性质，属于中档题．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣|x|+2a﹣1（a为实常数）．（1）判断f（x）的奇偶性，并给出证明；（2）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．【分析】（1）f（x）为偶函数．运用奇偶性的定义，先判断定义域是否关于原点对称，再计算f（﹣x），与f（x）比较，即可得到结论；（2）写出f（x）的表达式，求得对称轴方程，讨论对称轴与区间的关系，根据单调性，即可得到最小值．【解答】解：（1）f（x）为偶函数．理由如下：定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）＝ax2﹣|﹣x|+2a﹣1＝ax2﹣|x|+2a﹣1＝f（x）则f（x）为偶函数；（2）x∈[1，2]⇒f（x）＝ax2﹣x+2a﹣1，对称轴为x＝，时，f（x）min＝f（1）＝3a﹣2，时，f（x）min＝f（2）＝6a﹣3；（ⅲ）当1＜＜2，即时，．综上．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，考查二次函数在闭区间上的最值，注意讨论对称轴与区间的关系，考查运算能力，属于中点他和易错题．20．（12分）已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（1）求a，b的值；并判定函数f（x）单调性（不必证明）．（2）若对于任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．【分析】（1）由题意知f（0）＝0求出b，再由奇函数的定义求出b；（2）利用奇函数的性质转化为一元二次不等式，借助与一元二次函数的关系进行判断．【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）＝是奇函数，∴，即，解得，∴a的值是2，b的值是1．∴f（x）是R上的减函数；（3）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），∵f（x）是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），由（2）知，f（x）是减函数，∴原问题转化为t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，∴△＝4+12k＜0，解得k＜﹣，所以实数k的取值范围是：k＜﹣，【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及不等式恒成立问题，定义是解决单调性问题的基本方法，而恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．21．（12分）某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q＝（x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．（1）试将年利润W（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？【分析】（1）根据生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，可建立函数关系式；（2）利用换元法，再借助于基本不等式，即可求得最值．【解答】解：（1）由题意可得，产品的生产成本为（32Q+3）万元，每万件销售价为，（2分）∴年销售收入为＝，（4分）∴年利润＝．（6分）（2）令x+1＝t（t≥1），则．（8分）∵t≥1，∴，即W≤42，（10分）当且仅当，即t＝8时，W有最大值42，此时x＝7．即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元．（12分）【点评】本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，利用利润＝收入﹣成本，得到年利润的表达式是解答本题的关键．22．（12分）定义：若对定义域内任意x，都有f（x+a）＞f（x）（a为正常数），则称函数f （x）为“a距”增函数．（1）若f（x）＝2x﹣x，x∈（0，+∞），试判断f（x）是否为“1距”增函数，并说明理由；（2）若，x∈R是“a距”增函数，求a的取值范围；（3）若，x∈（﹣1，+∞），其中k∈R，且为“2距”增函数，求f（x）的最小值．【分析】（1）根据新定义，作差证明即可，（2）根据新定义可得3x2+3xa+a2﹣＞0恒成立，再根据二次函数的性质即可求出a的范围，（3）根据复合函数的单调性，只要求出（x+2）2+k（x+2）＞x2+k|x|，函数的最小值，分类讨论，即可求出【解答】解：（1）对任意的x∈（0，+∞），f（x+1）﹣f（x）＝（2x+1﹣x﹣1）﹣（2x﹣x）＝2x﹣1，∵x＞0，2＞1∴2x﹣1＞0，∴f（x+1）﹣f（x）＞0，故f（x）是“1距”增函数；（2）∵f（x+a）﹣f（x）＝（x+a）3﹣（x+a）+4﹣x3+x﹣4＝3x2a+3xa2+a3﹣a，又f（x）为“a距”增函数，∴3x2a+3xa2+a3﹣a＞0恒成立，∵a＞0，∴3x2+3xa+a2﹣＞0恒成立，∴△＝9a2﹣12（a2﹣）＜0，∴a2＞1∴a＞1；（3）∵f（x）＝2x2+k|x|，x∈（﹣1，+∞），其中k∈R，且为“2距”增函数，∴当x＞﹣1时，f（x+2）＞f（x）恒成立，∵y＝2x增函数，∴（x+2）2+k（x+2）＞x2+k|x|当x≥0时，（x+2）2+k（x+2）＞x2+kx，即4x+4+2k＞0恒成立，∴4+2k＞0，解得k＞﹣2，当﹣1＜x＜0时，（x+2）2+k（x+2）＞x2﹣kx，即4x+4+2kx+2k＞0恒成立，∴（x+1）（k+2）＞0，解得k＞﹣2，综上所述k＞﹣2，又y＝x2+k|x|＝（|x|+）2﹣，∵x＞﹣1，∴|x|≥0，当k≥0时，|x|＝0，则y＝（|x|+）2﹣的最小值为0，即函数f（x）的最小值为1，当﹣2＜k＜0时，即|x|＝﹣，函数y＝（|x|+）2﹣的最小值﹣，函数f（x）的最小值为，综上所述f（x）min＝．【点评】本题考查了抽象函数，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
浙江省台州市2020年(春秋版)高三上学期期中数学试卷(理科)(I)卷
浙江省台州市2020年（春秋版）高三上学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·蕉岭月考) 已知集合，则集合（）A .B .C .D .2. （2分）在复平面内，复数对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）多项式（x2﹣x+2）5展开式中x3的系数为（）A . ﹣200B . ﹣160C . ﹣120D . ﹣404. （2分）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）(2017·大理模拟) 在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则剩余部分体积与原四棱锥体积的比值为（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·怀化模拟) 执行如图所示的程序框图，若输入的x为4，则运行的次数与输出x的值分别为（）A . 5.730B . 5.729C . 4.244D . 4.2437. （2分） (2017高一下·彭州期中) 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn ，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）A . 3B . 4C . 5D . 68. （2分）若直角坐标平面内的两个不同点、满足条件：① 、都在函数的图像上；② 、关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”）．已知函数,则此函数的“友好点对”有（）对．A . 0B . 1C . 2D . 39. （2分） (2018高一下·淮南期末) 若直线：经过圆：的圆心，则的最小值为（）A .B . 5C .D . 1010. （2分）已知向量=(2cosα,2sinα)，=（3cosβ，3sinβ），若与的夹角为60°，则直线xcosα-ysinα与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=的位置关系是（）A . 相交但不过圆心B . 相交过圆心C . 相切D . 相离11. （2分）(2017·成都模拟) 已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且 f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A . x=B . x=C . x=D . x=12. （2分） (2016高二上·大庆期中) 双曲线方程为 =1，那么k的取值范围是（）A . k＞5B . 2＜k＜5C . ﹣2＜k＜2D . ﹣2＜k＜2或k＞5二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·上海期中) 设a＞0，b＞0，且ab=a+4b+5，则ab的最小值为________14. （1分）(2017·广元模拟) 已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx 的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是________．15. （1分）(2017·大连模拟) 已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600颗，则可以估计出阴影部分的面积约为________．16. （1分）有下列命题：①双曲线与椭圆有相同的焦点；②“”是“2x2﹣5x﹣3＜0”必要不充分条件；③“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题是真命题．；④若p是q的充分条件，r是q的必要条件，r是s的充要条件，则s是p的必要条件；其中是真命题的有：________ ．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高三上·山东开学考) 已知等差数列{an}满足a4=6，a6=10．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn}各项均为正数，其前n项和Tn，若b3=a3，T2=3，求Tn．18. （5分）为了响应低碳环保的社会需求，某自行车租赁公司打算在A市设立自行车租赁点，租车的收费标准是每小时1元（不足1小时的部分按1小时计算）．甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为,，一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为,，两人租车时间都不会超过三小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用不相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ．19. （10分）(2016·赤峰模拟) 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，平面SAB⊥底面ABCD，且SA=SB= ，AD=1，AB=2，BC=3．（1）求证：SB⊥平面SAD；（2）求二面角D﹣SC﹣B的余弦值．20. （10分）(2019·湖北模拟) 已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到左焦点的最小值为 .（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与轴交于点，过点的直线与交于、两点，点为直线上任意一点，设直线与直线交于点，记，，的斜率分别为，，，则是否存在实数，使得恒成立？若是，请求出的值；若不是，请说明理由.21. （15分）(2012·四川理) 已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．（1）用a和n表示f（n）；（2）求对所有n都有成立的a的最小值；（3）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由．22. （10分）(2017·石家庄模拟) 已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面的公共点，求的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5、答案：略6-1、7-1、8-1、9、答案：略10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
2020-2021学年浙江省台州市六校高一上学期期中联考英语试题
浙江省台州市六校2020学年第一学期高一年级期中联考试题（三门中学黄岩中学永康外国语学校温岭市新河中学仙居中学）英语2020.11考生须知：1.本试卷分选择题和非选择题部分，共10页，满分150分，考试用时120分钟。
2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3.选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，需将原填图处用橡皮擦净。
4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，答写在本试题卷上无效。
选择题部分第一部分听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What is the man going to do on Sunday?A. Visit his mother.B. Do some gardening.C. Move into a new house.2. What does the man think the building might be?A. An apartment building.B. A hotel.C. A department store.3. Where does the conversation take place?A. In a store.B. In a classroom.C. In a bank.4. When will the next bus come?A. At 6:35.B. At 6:45.C. At 7:00.5. Who is the best British writer, according to the man?A. Jane Austen.B. D. H. Lawrence.C. Charles Dickens.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
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11． 1 ， 100 101
12． 1 ， 12
13． 45o ， (1, 2)
14．
1 3
，
10 , 10
2 2
15． 1 a 1
16． 3 2
17． 49 52
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本小题满分 14 分）
解：（1）设 OP0 的初始角为
B
D
由（1）得 AD 平面BMN， AD为平面BMN的法向量 ， x
sin | cos AD,BC>|= 2 2
直线BC与平面BMN所成角大小为 . …………… 15 分 4
20（本小题满分 15 分）
解：（1） an1 2Sn 4n 1an 2Sn1 4(n 1) 1(n 2, n N*)
（2）∵
f
(t)
sin(
t
)
(0
)
，
6
2
∴ f (t 2) sin[ (t 2) ] sin( t ) sin t
6
63
6
则 k (k Z ) ，即 k , k Z 由 0 得
3
3
2
3
∴
f
(t)
sin(
t
)
又 t [0,3],
t
[
, 5
]
63
6 3 36
4 9a2
8 3b2
1 且 a2
b2
1
a2
b
2
4 3 C2
:
y2 4
x2 3
1 …………………
5分
（2）设 A(x1, y1), B(x2, y2), P(x0, y0), 由已知得直线 l 斜率存在，设为 y kx 1
PA :
y
1 2
x1x
1 4
x12 , PB :
y
1 2
x2
x
1 4
……… 9 分 ……… 11 分
∴
f
(t)
1 2
,1
，故
f
(t) 的值域为
1 2
,1
……………… 14 分
19（本小题满分 15 分） 解：（1）
AB 平面BCD AB CD
BC 2
CD2
BD2
BC
CD
CD 平面ABC
BM
平面ABC
CD AC
BM BM
BM
平面ACD
BM AD
| CD | 1 k 2
36(4k 2 3k 2
4) 4
12(1 k 2 ) 3k 2 4
3
hpl
| 2k2 2 | S k2 1
PCD
1 2
|
CD
|
hpl
1 2
12(1 k 2 ) 3k 2 4
|
2k 2 k2
2 1
|
12(1 k 3k 2
2) 4
2
………
12 分
3
1
令1
k2
t(t
a
aa
……… 12 分
F(x) F( 1) ln 1 3 ，因为 a 1 ，所以 1 e3 ， 所以 F (x) 0
a
a2
e3
a2
故：得证.
………………………… 15 分
பைடு நூலகம்
(Ⅱ) g(x) ln x 1 a2x2 2ax b (x 0) 2
g(x1)
g(x2
)
2b
，得：
ln
x1
1 2
a2x2 1
2ax1
(ln
x2
1 2
a2x2 2
2ax2
)
，
若
x1
2 a
或
x2
2 a
，则结论显然成立
当
x1,
x2
(0,
2) a
时，证：
a(x1
x2 )
2
证：
x2
2 a
x1
……… 9 分
令： h(x) ln x 1 a2x2 2ax, x (0, 2) ，
2
a
h(x) 1 a2x 2a (ax 1)2 0 ，所以 h(x) 为单调递增函数，
x
x
则，证：
x2
2 a
x1
证：
h(x2 )
h( 2 a
x1)
，而
h(x2 )
h(x1)
，
所以等价于证：
h(
x1
)
h(
2 a
x1
)
当 a 0 时， 1 1 ，令 f (x) 0 得： 1 x 1
a 2a
a
2a
f (x) 在区间 ( 1 , 1 ) 上单调递增，在区间 ( 1 , ) 上单调递减 …………… 4 分
a 2a
2a
f
( x)max
f
( 1 ) 1 ln(2a) ，由1 ln(2a) 0 ，得： a 2a
Tn
n 2
1
1 3
1 32
1 3n1
n 2
1 (1)n 3
1 1
n 2
3 (1 (1)n ) 23
3
(1)n 3
0,1 (1)n 3
1Tn
n 3 ………………………… 2
15 分
21（本小题满分 15 分）
解：(Ⅰ)
|QF|
5 , 3
yQ
1
5 3
yQ
2, 3
xQ2
8 3
……………………2
分
Q 为抛物线 C1 与椭圆 C2 在第一象限的公共点
e 2
…………… 5 分
当 a 0 时， 1 1 ，则 f (x) 0 对 x ( 1 , ) 恒成立，
a 2a
a
f (x) 在区间 ( 1 , ) 上单调递增，且 f ( 1 e) 3 2ae 0 ，所以不符合
a
a
2
故： a 的取值范围为 ( e , ) 2
…………………… 7 分
由a1 2 3 0,an 2 0,an 2为等比数列 ，
an 2 3n an 3n 2 ………………………… 7 分
（2） bn
an 2 2an
3n 2(3n
2)
1 2
1 3n
2
………………… 9 分
1 3n 2
1 2 3n 2 2
3 3n
1 3n1
…………………
12 分
BN
AD
AD 平面BMN MN 平面BMN
AD
MN
AMN为直角三角形 ……… 7 分
z A
（2）以 B 点为原点，过 B 做 CD 的平行线，如图建立空间直角坐标系：
N
则 B（0,0,0），A(0,0,1), C(0, 2, 0), D(1, 2, 0)
M
BC (0, 2, 0), AD (1, 2, 1)
1） g(t)
12t 2 3t 1
g(t)
18t 2 (t 1) (3t 1)2
0
当t 1，即k 0时，S PCD的面积最小，S PCD的最小值为3 ………… 15 分
22（本小题满分 15 分）
(Ⅰ)解：
f
( x)
x
1
1
2a
2a(x 1 ) 2a
x 1
a
a
(x 1 ) ， …………………………… 2 分 a
，则由
P0（
3 5
,
4 5
）得 cos
3 ,sin 5
4 ，……………… 5
2分
f (t) sin( t ) 6
……………… 3 分
∴ f (2) sin( 2 ) sin( ) sin cos cos sin ……………… 5 分
6
3
3
3
3314 3
34
.
2 5 2 5 10
……………… 7 分
C
y
an1 an 2an 4(n 2, n N*) 即an1 3an 4(n 2, n N*) ………………………3 分
an1 2 3(an 2)(n 2, n N*) ，………………………4 分
a1 1,a2 7,a 2 2 3(a1 2) an1 2 3(an 2)(n N*) …………………6 分
x22
,
x0 y0
x1 x2 2
x1x2 4
即 P( x1 x2 2
,
x1x2 ）……… 4
7分
k
y1 y2 x1 x2
x1 x2 4
, x1x2
4 P(2k, 1) …
8分
y2 4
x2 3
1
(3k 2
4)x2
6kx 9
0
36(4k 2 4) ………
y kx 1
台州市六校 2020 学年第一学期高三年级期中联考数学答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案 B
B
C
D
C
B
A
C
D
D
二、填空题：本大题共 7 小题，单空题每题 4 分，多空题每题 6 分，共 36 分。
，即证：
h(
x1
)
h(
2 a
x1
)
0
h(
x1
)
h(
2 a
x1