山东省济南市2019届高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
高三年级学习质量评估文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用交集概念与运算直接求解即可.【详解】∵集合，，∴故选：C【点睛】本题考查交集的概念及运算，属于基础题.2.已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为( )A. -1B. 1C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘除运算化简复数z，结合虚部概念得到答案.【详解】由z（1+i）＝2，得，∴复数z的虚部是﹣1．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.已知等差数列的前项和为，若，，则该数列的公差为( )A. -2B. 2C. -3D. 3【答案】B【解析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【详解】由题意可得：5d＝25，解得d＝2．故选：B．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知实数，满足约束条件则的最大值是( )A. 0B. 1C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使z最大，则直线在y轴上的截距最大，结合可行域可知当直线z＝x+2y过点A时z最大，求出A的坐标，代入z＝x+2y得答案．【详解】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（0，3），此时直线y x z在y轴上的截距最大，所以目标函数z＝x+2y的最大值为z max＝0+2×3＝6．故选：D．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查数形结合的思想，解答的关键是正确作出可行域，是中档题．5.已知命题关于的不等式的解集为；命题函数在区间内有零点，下列命题为真命题的是( )A. B. C. D.【解析】【分析】先判断命题p，q的真假，结合真值表可得结果.【详解】关于的不等式的解集为，故命题p为假命题，由函数可得：即，结合零点存在定理可知在区间内有零点，故命题求为真命题.∴p∧q为假，为假，为真，为假，故选：C．【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假，其中判断出命题p与q的真假是解答本题的关键．6.如图，在中，，，三角形内的空白部分由三个半径均为1的扇形构成，向内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，概率符合几何概型，所以只要求出阴影部分的面积，根据三角形的内角和得到空白部分的面积是以1为半径的半圆的面积，由几何概型的概率公式可求．【详解】由题意，题目符合几何概型，中，，，，所以三角形为直角三角形，面积为，阴影部分的面积为：三角形面积圆面积＝2，所以点落在阴影部分的概率为；故选：D．【点睛】本题考查了几何概型的概率求法；关键明确概率模型，然后求出满足条件的事件的集合，由概率公式解答．7.已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】由焦点到条渐近线的距离，可得b＝1，求出c，即可求出双曲线的离心率．【详解】解：双曲线的焦点到条渐近线的距离等于b．∵双曲线的焦点到条渐近线的距离为2，∴b＝2，又a∴c＝，∴e．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，求出双曲线的焦点到条渐近线的距离等于b是关键．8.函数的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性，极限，特值点逐一判断即可.【详解】由函数为偶函数，排除B选项，当x时，，排除A选项，当x=时，，排除C选项，故选：D【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.9.为了得到函数的图象，可以将函数的图象( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】利用函数y＝A cos（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【详解】解：为了得到函数的图象，可以将函数向右平移个单位长度，故选：B．【点睛】本题主要考查函数y＝A cos（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图知几何体是组合体：下面是圆锥、上面是四分之一球，根据图中数据，代入体积公式求值即可．【详解】解：根据三视图知几何体是组合体，下面是圆锥、上面是四分之一球，圆锥的底面半径为3，高为3；球的半径为3，∴该几何体的体积V，故选：A．【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，以及几何体的体积公式，考查空间想象能力，三视图正确复原几何体是解题的关键．11.执行如图所示的程序框图，若输入的，，依次为，，，其中，则输出的为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由框图可知程序的功能是输出三者中的最大者，比较大小即可.【详解】由程序框图可知a、b、c中的最大数用变量x表示并输出，∵∴，又在R上为减函数，在上为增函数，∴＜，＜故最大值为，输出的为故选：C【点睛】本题主要考查了选择结构．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．12.我国南宋数学杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则的值为( ) A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果.【详解】解：第一行第一个数为：；第二行第一个数为：；第三行第一个数为：；第四行第一个数为：；，第n行第一个数为：；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：；故选：C．【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，为单位向量，若与的夹角为，则__________．【答案】1【解析】【分析】根据条件可以得到，这样便可求出的值，从而得出的值．【详解】解：根据条件，，；∴1-1+1＝1；∴．故答案为：．【点睛】本考查单位向量的概念，向量数量积的运算及其计算公式，求向量的长度的方法：求．14.过圆内一点作直线，则直线被圆所截得的最短弦长为__________．【答案】【解析】【分析】化已知圆为标准方程，得到圆心C（1，0），半径r＝2，利用垂径定理结合题意，即可求出最短弦长．【详解】圆方程可化为（x﹣1）2+y2＝4，∴圆心C（1，0），半径r＝2，，当截得的弦长最短时，CP⊥l，即P为弦的中点，∴最短弦长为故答案为：．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，最短弦长问题，考查数形结合思想，属于基础题．15.在正方形中，点，分别为，的中点，将四边形沿翻折，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】【分析】连接FC，与DE交于O点，取BE中点为N，连接ON，CN，易得ON∥BD，故∠CON就是异面直线与所成角，在等腰三角形CON中，求底角的余弦值即可.【详解】连接FC，与DE交于O点，取BE中点为N，连接ON，CN，易得ON∥BD∴∠CON就是异面直线与所成角设正方形的边长为2，OC=，ON=，CN=∴cos∠CON==故答案为：【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．16.若函数与的图象交点的横坐标之和为2，则的值为__________．【答案】1【解析】【分析】根据函数的对称性得出直线过曲线的对称中心，从而得出m的值．【详解】解：∵y=的图象均关于点（1，0）对称，∴函数的图象关于点（1，0）对称，且在上单调递增，∵函数与的图象交点的横坐标之和为2，∴直线y＝经过点（1，0），∴m＝1．故选：1．【点睛】本题考查了函数对称性的判断与应用，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，，边的中点为，求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由及正弦定理得，从而得到角的大小；（2）利用可得，进而利用余弦定理可得，再利用余弦定理可得BD.【详解】（1）由及正弦定理得：，又，所以，因为所以，因为，所以.（2）由余弦定理得，所以，所以，因为，所以，所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围.对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住，，等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18.如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，.（1）求证：；（2）若，，为线段上一点，且，求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明，，可得平面，即可得证；（2）利用等积法即可得到结果.【详解】（1）证明：取中点，连接，，因为，所以，因为为等边三角形，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以.（2）因为，所以，又因为，，所以平面，因为为边长为2的等边三角形，所以，因为，所以.【点睛】等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．19.某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了100位客户试用该产品，每人一台.试用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让客户决定是否购买该试用产品（不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价）.经统计，决定退货的客户人数是总人数的一半，“对性能满意”的客户比“对性能不满意”的客户多10人，“对性能不满意”的客户中恰有选择了退货.（1）请完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.（2）企业为了改进产品性能，现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层抽样，随机抽取6位客户进行座谈.座谈后安排了抽奖环节，共有4张奖券，奖券上分别印有200元、400元、600元和800元字样，抽到奖券可获得相应奖金.6位客户有放回的进行抽取，每人随机抽取一张奖券，求6位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于500元的概率.附：，其中【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】(1)根据题意填写列联表，由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；(2)利用古典概型概率公式即可得到结果.【详解】（1）设“对性能不满意”的客户中购买产品的人数为，则退货的人数为，由此可列出下表因为，所以；填写列联表如下：所以.所以，有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.（2）由题意知：参加座谈的购买产品的人数为2，退货的人数为4.“购买产品的客户抽取奖券”的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，共有16个基本事件：设事件“购买产品的客户人均所得奖金不少于500元”，则事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共有10个基本事件：则.所以，购买产品的客户人均所得奖金不少于500元的概率是.【点睛】本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，是基础题．20.已知椭圆过点，左焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点，，点，记直线，的斜率分别为，，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由题意布列a，b的方程组，解之即可得到椭圆的方程；（2）联立直线与椭圆方程可得，利用韦达定理表示，利用二次函数的性质即可得到结果.【详解】（1）因为左焦点为，所以，因为过点，所以，解之得，，所以椭圆方程为.（2）设，，联立方程，得，由，，，，，所以，因为，所以，所以取值范围为.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.已知函数.（1）若曲线在点处切线的斜率为1，求实数的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)求出，令x=1,即可解出实数的值；（2）时，恒成立转化为求函数最小值大于零即可.【详解】（1），因为，所以；（2），设，设，设，注意到，，（ⅰ）当时，在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上是增函数，所以，所以在上恒成立，所以在上是增函数，所以在上恒成立，符合题意；（ⅱ）当时，，，所以，使得，当时，，所以，所以在上是减函数，所以在上是减函数，所以，所以在上是减函数，所以，不符合题意；综上所述：.【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），其中，直线与曲线相交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若点满足，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用，把极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程（为参数）代入，得：，利用韦达定理表示条件，解方程即可得到结果.【详解】（1）由题意，曲线的极坐标方程可化为：，由得曲线的直角坐标方程为：.（2）将直线的参数方程（为参数）代入，得：，设，对应的参数分别为，，则，，所以，解得或（舍），所以.【点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当a＝2时，分类讨论求得不等式的解集；（2）对任意的恒成立即，数形结合即可得到结果．【详解】（1）当时，，即当时，不等式等价于：，解得，所以；当时，不等式等价于：，解得，所以；当时，不等式等价于：，解得，所以；所以，不等式的解集为.（2）由题意知，当时，，即恒成立，根据函数的图像易知，解得，的取值范围为.【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.。
山东省济南市2019届高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
高三年级学习质量评估文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用交集概念与运算直接求解即可.【详解】∵集合，，∴故选：C【点睛】本题考查交集的概念及运算，属于基础题.2.已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为( )A. -1B. 1C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘除运算化简复数z，结合虚部概念得到答案.【详解】由z（1+i）＝2，得，∴复数z的虚部是﹣1．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.已知等差数列的前项和为，若，，则该数列的公差为( )A. -2B. 2C. -3D. 3【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【详解】由题意可得：5d＝25，解得d＝2．故选：B．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知实数，满足约束条件则的最大值是( )A. 0B. 1C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使z最大，则直线在y轴上的截距最大，结合可行域可知当直线z＝x+2y过点A时z最大，求出A的坐标，代入z＝x+2y得答案．【详解】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（0，3），此时直线y x z在y轴上的截距最大，所以目标函数z＝x+2y的最大值为z max＝0+2×3＝6．故选：D．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查数形结合的思想，解答的关键是正确作出可行域，是中档题．5.已知命题关于的不等式的解集为；命题函数在区间内有零点，下列命题为真命题的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断命题p，q的真假，结合真值表可得结果.【详解】关于的不等式的解集为，故命题p为假命题，由函数可得：即，结合零点存在定理可知在区间内有零点，故命题求为真命题.∴p∧q为假，为假，为真，为假，故选：C．【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假，其中判断出命题p与q的真假是解答本题的关键．6.如图，在中，，，三角形内的空白部分由三个半径均为1的扇形构成，向内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，概率符合几何概型，所以只要求出阴影部分的面积，根据三角形的内角和得到空白部分的面积是以1为半径的半圆的面积，由几何概型的概率公式可求．【详解】由题意，题目符合几何概型，中，，，，所以三角形为直角三角形，面积为，阴影部分的面积为：三角形面积圆面积＝2，所以点落在阴影部分的概率为；故选：D．【点睛】本题考查了几何概型的概率求法；关键明确概率模型，然后求出满足条件的事件的集合，由概率公式解答．7.已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】由焦点到条渐近线的距离，可得b＝1，求出c，即可求出双曲线的离心率．【详解】解：双曲线的焦点到条渐近线的距离等于b．∵双曲线的焦点到条渐近线的距离为2，∴b＝2，又a∴c＝，∴e．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，求出双曲线的焦点到条渐近线的距离等于b是关键．8.函数的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性，极限，特值点逐一判断即可.【详解】由函数为偶函数，排除B选项，当x时，，排除A选项，当x=时，，排除C选项，故选：D【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.9.为了得到函数的图象，可以将函数的图象( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】利用函数y＝A cos（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【详解】解：为了得到函数的图象，可以将函数向右平移个单位长度，故选：B．【点睛】本题主要考查函数y＝A cos（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图知几何体是组合体：下面是圆锥、上面是四分之一球，根据图中数据，代入体积公式求值即可．【详解】解：根据三视图知几何体是组合体，下面是圆锥、上面是四分之一球，圆锥的底面半径为3，高为3；球的半径为3，∴该几何体的体积V，故选：A．【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，以及几何体的体积公式，考查空间想象能力，三视图正确复原几何体是解题的关键．11.执行如图所示的程序框图，若输入的，，依次为，，，其中，则输出的为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由框图可知程序的功能是输出三者中的最大者，比较大小即可.【详解】由程序框图可知a、b、c中的最大数用变量x表示并输出，∵∴，又在R上为减函数，在上为增函数，∴＜，＜故最大值为，输出的为故选：C【点睛】本题主要考查了选择结构．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．12.我国南宋数学杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则的值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果.【详解】解：第一行第一个数为：；第二行第一个数为：；第三行第一个数为：；第四行第一个数为：；，第n行第一个数为：；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：；故选：C．【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，为单位向量，若与的夹角为，则__________．【答案】1【解析】【分析】根据条件可以得到，这样便可求出的值，从而得出的值．【详解】解：根据条件，，；∴1-1+1＝1；∴．故答案为：．【点睛】本考查单位向量的概念，向量数量积的运算及其计算公式，求向量的长度的方法：求．14.过圆内一点作直线，则直线被圆所截得的最短弦长为__________．【答案】【解析】【分析】化已知圆为标准方程，得到圆心C（1，0），半径r＝2，利用垂径定理结合题意，即可求出最短弦长．【详解】圆方程可化为（x﹣1）2+y2＝4，∴圆心C（1，0），半径r＝2，，当截得的弦长最短时，CP⊥l，即P为弦的中点，∴最短弦长为故答案为：．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，最短弦长问题，考查数形结合思想，属于基础题．15.在正方形中，点，分别为，的中点，将四边形沿翻折，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】【分析】连接FC，与DE交于O点，取BE中点为N，连接ON，CN，易得ON∥BD，故∠CON就是异面直线与所成角，在等腰三角形CON中，求底角的余弦值即可.【详解】连接FC，与DE交于O点，取BE中点为N，连接ON，CN，易得ON∥BD∴∠CON就是异面直线与所成角设正方形的边长为2，OC=，ON=，CN=∴cos∠CON==故答案为：【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．16.若函数与的图象交点的横坐标之和为2，则的值为__________．【答案】1【解析】【分析】根据函数的对称性得出直线过曲线的对称中心，从而得出m的值．【详解】解：∵y=的图象均关于点（1，0）对称，∴函数的图象关于点（1，0）对称，且在上单调递增，∵函数与的图象交点的横坐标之和为2，∴直线y＝经过点（1，0），∴m＝1．故选：1．【点睛】本题考查了函数对称性的判断与应用，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，，边的中点为，求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由及正弦定理得，从而得到角的大小；（2）利用可得，进而利用余弦定理可得，再利用余弦定理可得BD.【详解】（1）由及正弦定理得：，又，所以，因为所以，因为，所以.（2）由余弦定理得，所以，所以，因为，所以，所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围.对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住，，等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18.如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，.（1）求证：；（2）若，，为线段上一点，且，求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明，，可得平面，即可得证；（2）利用等积法即可得到结果.【详解】（1）证明：取中点，连接，，因为，所以，因为为等边三角形，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以.（2）因为，所以，又因为，，所以平面，因为为边长为2的等边三角形，所以，因为，所以.【点睛】等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．19.某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了100位客户试用该产品，每人一台.试用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让客户决定是否购买该试用产品（不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价）.经统计，决定退货的客户人数是总人数的一半，“对性能满意”的客户比“对性能不满意”的客户多10人，“对性能不满意”的客户中恰有选择了退货.（1）请完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.（2）企业为了改进产品性能，现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层抽样，随机抽取6位客户进行座谈.座谈后安排了抽奖环节，共有4张奖券，奖券上分别印有200元、400元、600元和800元字样，抽到奖券可获得相应奖金.6位客户有放回的进行抽取，每人随机抽取一张奖券，求6位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于500元的概率.附：，其中【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】(1)根据题意填写列联表，由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；(2)利用古典概型概率公式即可得到结果.【详解】（1）设“对性能不满意”的客户中购买产品的人数为，则退货的人数为，由此可列出下表因为，所以；填写列联表如下：所以.所以，有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.（2）由题意知：参加座谈的购买产品的人数为2，退货的人数为4.“购买产品的客户抽取奖券”的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，共有16个基本事件：设事件“购买产品的客户人均所得奖金不少于500元”，则事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共有10个基本事件：则.所以，购买产品的客户人均所得奖金不少于500元的概率是.【点睛】本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，是基础题．20.已知椭圆过点，左焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点，，点，记直线，的斜率分别为，，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由题意布列a，b的方程组，解之即可得到椭圆的方程；（2）联立直线与椭圆方程可得，利用韦达定理表示，利用二次函数的性质即可得到结果.【详解】（1）因为左焦点为，所以，因为过点，所以，解之得，，所以椭圆方程为.（2）设，，联立方程，得，由，，，，，所以，因为，所以，所以取值范围为.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.已知函数.（1）若曲线在点处切线的斜率为1，求实数的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)求出，令x=1,即可解出实数的值；（2）时，恒成立转化为求函数最小值大于零即可.【详解】（1），因为，所以；（2），设，设，设，注意到，，（ⅰ）当时，在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上是增函数，所以，所以在上恒成立，所以在上是增函数，所以在上恒成立，符合题意；（ⅱ）当时，，，所以，使得，当时，，所以，所以在上是减函数，所以在上是减函数，所以，所以在上是减函数，所以，不符合题意；综上所述：.【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），其中，直线与曲线相交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若点满足，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用，把极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程（为参数）代入，得：，利用韦达定理表示条件，解方程即可得到结果.【详解】（1）由题意，曲线的极坐标方程可化为：，由得曲线的直角坐标方程为：.（2）将直线的参数方程（为参数）代入，得：，设，对应的参数分别为，，则，，所以，解得或（舍），所以.【点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当a＝2时，分类讨论求得不等式的解集；（2）对任意的恒成立即，数形结合即可得到结果．【详解】（1）当时，，即当时，不等式等价于：，解得，所以；当时，不等式等价于：，解得，所以；当时，不等式等价于：，解得，所以；所以，不等式的解集为.（2）由题意知，当时，，即恒成立，根据函数的图像易知，解得，的取值范围为.【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.。
2019年山东省济南市高三上学期期末考试数学(理)试题(含答案)
高考数学精品复习资料2019.5山东省济南市高三上学期期末质量调研考试数学（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共4页,考试时间120分钟,满分150分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．若ibi a 4325+=+(a 、b 都是实数,i 为虚数单位）,则a +b = A ．1B ． -1C ．7D ．-72．已知集合}1|{2+==x y y M ,}1|{22=+=y x y N ,则=N M A ．)}1,0{(B ．}2,1{-C ．}1{D ．),1[+∞-3．设,2.0e P =2.0ln =Q ,715sin π=R ,则 A ．Q R P << B ．P Q R <<C ．Q P R <<D ．P R Q <<4．等比数列}{n a 的前n 项和为S n ,若63=a ,xdx s 433⎰=,则公比q 的值为A ．1B ．21-C ．l 或21-D ．-1或21-5．将函数x x y cos sin +=的图象向左平移)0(>m m 个长度单位后,所得到的函数为偶函数,则m 的最小值是A ．4πB .6π C ．43π D ．65π 6．“m =3”是“直线057)3()1(21=-+-++m y m x m l ：与直线052)3(2=-+-y x m l ：垂直”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≤-1210y x y x y x ,则目标函数y x z 5+=的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．58．函数)(22R ∈-=x x y x的图象大致为9．已知m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列命题： ①若βα⊥,α//m ,则β⊥m ；②若α⊥m ,β⊥n ,且n m ⊥,则βα⊥；③若β⊥m ,α//m ,则β⊥α； ④若α//m ,β//n ,且n m //,则βα//．其中正确命题的序号是A ．①④B ．②③C ．②④D ．①③10．设M 是ABC ∆边BC 上任意一点,N 为AM 的中点,若μ+λ=,则λ+μ的值为 A ．21B ．31 C .41 D ．111．已知抛物线)0(22>=p px y 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ,点A 是两曲线的一个交点,且x AF ⊥轴,则双曲线的离心率为A ．2B ．31+C .22+D ．21+12．设)(x f 是定义在R 上的可导函数,当x ≠0时,0)()(>+xx f x f ＇,则关于x 的函数)(x g xx f 1)(+=的零点个数为 A ．lB ．2C ．0D ．0或 2第Ⅱ卷（非选择题,共90分）注意事项：1．将第Ⅱ卷答案用0.5 mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上． 2．答卷将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题（本题共4小题,共16分）13．执行如图所示的程序框图,则输出的结果S 是________．14．一个四棱锥的三视图如图所示,其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形,则这个几何体的体积是________．15．已知定点)1,2(-Q ,F 为抛物线x y 42=的焦点,动点P 为抛物线上任意一点,当||||PF PQ +取最小值时P 的坐标为________．16．已知0>m ,0>n ,若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切,则n m +的取值范围是________．三、解答题（本题共6小题,共74分） 17．（本小题满分12分）已知)cos sin ,sin 2(x x x -=,)cos sin ,cos 3(x x x +=,函数.)(x f ⋅= (1)求函数)(x f 的解析式；(2)在ABC ∆中,角C B A 、、的对边为c b a ,,,若2)2(=Af ,1=b ,ABC ∆的面积为23,求a 的值．18．（本小题满分12分）已知函数xx mx f 24)(+=是奇函数． (1)求m 的值：(2)设a x g x -=+12)(．若函数)(x f 与)(x g 的图象至少有一个公共点．求实数a 的取值范围．19.（本小题满分l2分）已知}{n a 为等比数列,其中a 1=1,且a 2,a 3+a 5,a 4成等差数列． (1)求数列}{n a 的通项公式：(2)设n n a n b ⋅-=)12(,求数列{n b }的前n 项和T n ．20．（本小题满分12分）在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中,AD ＝１,AA 1＝AB ＝２．点E 是线段AB 上的动点,点M 为D 1C 的中点．(1)当E 点是AB 中点时,求证：直线ME ‖平面ADD 1 A 1；(2)若二面角A - D 1Ｅ-Ｃ的余弦值为1554．求线段AE 的长．21．（本小题满分12分） 已知函数1ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f ，． (1)求f(x)的单调区间；(2)若x x a x g ln )2()(--=,)()(x g x f ≥在区间),[+∞e 恒成立,求a 的取值范围．22．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x C ：经过点)12(，M ,离心率为22．(1)求椭圆C 的方程：(2)过点Q (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,点P (4,3),记直线P A ,PB 的斜率分别为k 1,k 2,当k 1·k 2最大时,求直线l 的方程．1月高三教学质量调研考试数学（理科）试题答案（阅卷）一、选择题（共60分）BCDCA ADABA DC 二、填空题（共16分） 13. 100714.12 15．1(,1)4-16．2m n +≥+三、解答题（共74分） 17. （本小题满分12分）解：(1)∵()f x m n =⋅=(2sin ,sin cos ),sin cos )x x x x x x -⋅+=22cos sin cos x x x x +- ------------------------------------3分2sin(2)6x π=-故函数()f x 的解析式为()2sin(2)6f x x π=-------------------------------------6分(2)∵()2sin()226A f A π=-= 即sin()16A π-= 所以 23A π= -------------------8分又1sin 2bc A =2c = ------------------------------------10分所以2222cos 1427a b c bc A =+-=++=,得a =分18. （本小题满分12分）解：（1）由函数()f x 是奇函数可知：(0)1+0f m ==， ------------------------------2分解得1m =-. ------------------------------------4分 （2）函数()f x 与()g x 的图象至少有一个公共点即方程412x x-12x a +=-至少有一个实根 - -----------------------------------6分 即方程4210xxa -⋅+=至少有一个实根 ------------------------------------8分 令20xt =>，则方程210t at -+=至少有一个正根 方法一：由于12a t t=+≥∴a 的取值范围为[2,)+∞. ------------------------------------12分方法二：令2()1h t t at =-+，由于(0)10h =>，所以只须002a ∆≥⎧⎪⎨>⎪⎩，解得2a ≥.∴a 的取值范围为[2,)+∞.19. （本小题满分12分）解：(1)设在等比数列{}n a 中，公比为q , 因为2354,,a a a a +成等差数列.所以 352()a a +24a a =+ ------------------------------2分2432()q q q q +=+解得 12q =------------------------------4分 所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭------------------------------6分(Ⅱ)11(21)2n n b n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.n n b b b b T ++++= 321211111135(21)222n n T n -⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①2311111135(21)22222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭② ------------------------------8分①—②,得211111112(21)22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦111212n -⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1(21)2nn ⎛⎫--⋅ ⎪⎝⎭=2332nn +-------------------------------10分 所以12362n n n T -+=- ------------------------------12分20. （本小题满分12分）（1）证明：取1DD 的中点N ，连结MN 、AN 、ME ， ------------------------------1分 MN ∥CD 21，AE ∥CD 21， ------------------------------3分 ∴ 四边形MNAE 为平行四边形，可知 ME ∥AN ------------------------------4分11AN ADD A ⊂平面11ME ADD A ⊄平面∴ME ∥平面1AD . ------------------------------6分（2）解：设 AE m =，如图建立空间直角坐标系---------------------------7分1(1,0,0),(1,,0),(0,2,0),(0,0,2)A E m C D ，11(1,0,2),(0,,0),(0,2,2),(1,2,0),AD AE m DC EC m =-==-=--平面1A D E 的法向量为1111(,,)n x y z =，由1n ⋅ 10AD =及1n ⋅0AE =得1(2,0,1)n = ------------------------------9分平面1D EC 的法向量为2(,,)n x y z =，由2n ⋅ 10DC =及2n ⋅0EC =得2(2,1,1)n m =- ------------------------------11分1212cos 5n n n n θ===，即2201161290m m -+=，解得343(210m m ==或舍）所以32AE = ------------------------------12分21．（本小题满分12分）解：(1)()f x 的定义域为(0,)+∞. ------------------------------1分2'11(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-=-+== ------------------------------3分（i ）若11a -=即2a =,则2'(1)()x f x x-=故()f x 在(0,)+∞单调增加. ------------------------------4分(ii)若11a -<,而1a >,故12a <<,则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <;当(0,1)x a ∈-或(1,)x ∈+∞时，'()0f x >；故()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加.-----------------------------5分(iii)若11a ->,即2a >,同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调递增. ------------------------------6分 （2） 由题意得21()()ln 202f xg x x a x x -=+-≥恒成立. 设21F()()()ln 22x f x g x x a x x =-=+-， ------------------------------8分则'F ()220ax x x=+-≥> 所以F()x 在区间+∞[e,）上是增函数， - -----------------------------10分 只需21F(e)202e a e =+-≥即2122a e e ≥- ------------------------------12分 22．（本小题满分14分）解:(1) 由已知可得2222212c a b a a -==，所以222a b = ① -----------------------------1分又点)M 在椭圆C 上，所以22211a b+= ② -----------------------------2分 由①②解之，得224,2a b ==.故椭圆C 的方程为12422=+y x . -----------------------------4分 (2)【解法一】①当直线l 的斜率为0时,则12k k ⋅=33342424⨯=-+; ----------------5分 ②当直线l 的斜率不为0时,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,直线l 的方程为1x my =+, 将1x m y =+代入22142x y +=,整理得22(2)230m y m y ++-=.------------------------7分 则12222m y y m -+=+,12232y y m -=+ -----------------------------9分 又111x m y =+,221x m y =+, 所以,112134y k k x -⋅=-2234y x -⋅-1212(3)(3)(3)(3)y y m y m y --=-- 12122121293()93()y y y y m y y m y y -++=-++22222239322=239322m m m m m m m m ---⨯+++---+++2232546m m m ++=+23414812m m +=++ -----------------------------11分 令41t m =+,则122324225tk k t t ⋅=+-+ 当0t =时即14m =-时，1234k k ⋅=；当0t ≠时，122324225t k k t t ⋅=+-+32254()2t t=++- 1273124k k ≤⋅< 或12314k k <⋅≤ 当且仅当5=t ,即1=m 时, 12k k ⋅取得最大值. -----------------------------13分 由①②得,分52=416-; ②当直线l (1)y k x =-,将(y k x =40-=.则12x x +=又1(y k x =所以,11k k ⋅2121222325,46k k k +++ 令22325(),46k k h k k ++=+由()0h k '=得1k =或23k =-所以当且仅当1k =时12k k ⋅最大，所以直线l 的方程为10x y --=.。
2019-2020学年山东省济南市高三(上)期末数学试卷(含解析)
2019-2020学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x|x 2−x −6≤0}，B ＝{x|x −1<0}，则A ∪B ＝（ ） A.(−∞, 3]B.(−∞, 2]C.(−∞, 1)D.[−2, 1)2.若复数z 满足z(1+i)＝−2i （其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A.1−iB.1+iC.−1−iD.−1+i3.设x ∈R ，则“2x >4”是“lg(|x|−1)>0”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数f(x)={xlnx,x >0x e,x ≤0 则函数y ＝f(1−x)的图象大致是（ ）A. B. C. D.5.若抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB|＝8，则弦AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A.2B.3C.4D.66.已知函数f(x)=lg(√x 2+1+x)+12，则f(ln5)+f(ln 15)=() A.0B.12C.1D.27.考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857×2＝285714，142857×3＝428571，…所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律：142+857＝999，571+428＝999，…若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x ，则999−x 的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为（ ） A.45B.35C.25D.3108.若F 为双曲线C:x 24−y 25=1的左焦点，过原点的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，则1|FA|−4|FB|的取值范围是（ ）A.[14,15]B.[−15,15]C.(−14,0]D.[−14,15]二、多项选择题本题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下：已知：利润＝收入-支出，根据该折线图，下列说法正确的是（ ） A.该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润 B.该企业2019年第一季度的利润约是60万元 C.该企业2019年4月至7月的月利润持续增长 D.该企业2019年11月份的月利润最大10.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y ＝Asinωt ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx +12sin2x ，则下列结论正确的是（ ） A.2π是f(x)的一个周期 B.f(x)在[0, 2π]上有3个零点 C.f(x)的最大值为3√34D.f(x)在[0,π2]上是增函数11.给定两个不共线的空间向量a →与b →，定义叉乘运算：a →×b →．规定：①a →×b →为同时与a →，b →垂直的向量；②a →，b →，a →×b →三个向量构成右手系（如图1）；③|a →×b →|=|a →||b →|sin <a →,b →>．如图2，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，则下列结论正确的是（ ） A.AB →×AD →=AA 1→B.AB →×AD →=AD →×AB →C.(AB →+AD →)×AA 1→=AB →×AA 1→+AD →×AA 1→D.长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积V =(AB →×AD →)⋅CC 1→12.若实数a ，b 满足2a +3a =3b +2b ，则下列关系式中可能成立的是（ ） A.0<a <b <1 B.b <a <0C.1<a <bD.a =b三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.(2x −y)5的展开式中，含x 3y 2项的系数为________．（用数字作答）． 14.已知sin(α−π3)=−3cos(α−π6)，则tan2α＝________15.平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足BN →=2NC →，若AB →=λAM →+μAN →，则λ+μ的值为________．16.如图，矩形ABCD 中，AB =2√3，AD ＝2，Q 为BC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，CD 上运动（其中M 不与A ，B 重合，N 不与C ，D 重合），且MN // AD ，沿MN 将△DMN 折起，得到三棱锥D −MNQ ，则三棱锥D −MNQ 体积的最大值为________；当三棱锥D −MNQ 体积最大时，其外接球的表面积的值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①b 2+√2ac =a 2+c 2，②acosB ＝bsinA ，③sinB +cosB =√2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A =π3，b =√2，求△ABC 的面积．18.如图，五面体ABCDEF 中，正方形ABCD 的边长为2√2，AB ＝2EF ，EF // 平面ABCD ，点P 在线段DE 上，且DP ＝2PE ，Q 为BC 的中点．（1）求证：BE // 平面APQ ；（2）已知AE ⊥平面ABCD ，且AE ＝2，求二面角P −AF −E 的余弦值．19.数学家也有一些美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：F n =22n+1(n ∈N)是质数.1732年，瑞士数学家欧拉算出F 5＝641×6700417，该数不是质数．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝log 2(F n −1)−1(n ∈N +) （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n ＝(n +1)log 2a n+1，设为数列{2b n}的前n 项和，求出T n ，并证明：对任意n ∈N +，1≤T n <2．20.截止到2018年末，我国公路总里程达到484.65万公里，其中高速公路达到14.26万公里，规模居世界第一．与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点．如图是某部门公布的一年内道路交通事故成因分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故的一个主要因素．研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表是根据某部门的调查结果整理所得的数据(v 表示行车速度，单位：km/ℎ；d 1，d 2分别表示反应距离和制动距离，单位：m) 道路交通事故成因分析 v 64 72 80 89 97 105 113 121 128 135 d 113.415.216.718.620.121.923.525.326.828.5（1）从一年内发生的道路交通事故中随机抽出3起进行分析研究，求其中恰好有1起属于超速驾驶的概率（用频率代替概率）；（2）已知d 2与v 的平方成正比，且当行车速度为100km/ℎ时，制动距离为65m ．(i)由表中数据可知，d 1与v 之间具有线性相关关系，请建立d 1与v 之间的回归方程，并估计车速为110km/ℎ时的停车距离；(ii)我国《道路交通安全法》规定：车速超过100km/ℎ时，应该与同车道前车保持100m 以上的距离，请解释一下上述规定的合理性．参考数据：∑=i=110 vi 1004，∑=i=110 (d1)i 210，∑(i=110 vi d 1)i =22187.3，∑=i=110 vi 2106054，1103352524≈0.21参考公式：对于一组数据(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，…，(x n , y n )，其回归直线y =b x +a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b =∑ n i=1(x i −x ¯)(y i −y ¯)∑ n i=1(x i −x ¯)2，a =y ¯−b x ¯．21.已知F1，F2分别为椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为C上的动点，其中P到F1的最短距离为1，且当△PF1F2的面积最大时，△PF1F2恰好为等边三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆C的外切圆为E．(i)求圆E的方程；(ii)在平面内是否存在定点Q，使得以PQ为直径的圆与E相切，若存在求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由22.已知函数f(x)=lnxx +k的极大值为1+ee，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）求实数k的值；（2）若函数g(x)=e x−ax，对任意x∈(0, +∞)，g(x)≥af(x)恒成立．(i)求实数a的取值范围；(ii)证明：x2f(x)>asinx+x2−1．2019-2020学年山东省济南市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x|x 2−x −6≤0}，B ＝{x|x −1<0}，则A ∪B ＝（ ） A.(−∞, 3] B.(−∞, 2] C.(−∞, 1) D.[−2, 1)【解答】∵集合A ＝{x|x 2−x −6≤0}＝{x|−2≤x ≤3}， B ＝{x|x −1<0}＝{x|x <1}， ∴A ∪B ＝{x|x ≤3}＝(−∞, 3]．2.若复数z 满足z(1+i)＝−2i （其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A.1−i B.1+i C.−1−i D.−1+i【解答】∵z(1+i)＝−2i ，∴z =−2i1+i =−2i(1−i)(1+i)(1−i)=−1−i ， 则z ¯=−1+i ．3.设x ∈R ，则“2x >4”是“lg(|x|−1)>0”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解答】设x ∈R ，则“2x >4”⇒“lg(|x|−1)>0”，“lg(|x|−1)>0”⇒“x >2或x <−2”⇒“2x >4或2x <14”， ∴“2x >4”是“lg(|x|−1)>0”的充分不必要条件．4.已知函数f(x)={xlnx,x >0x ex ,x ≤0 则函数y ＝f(1−x)的图象大致是（ ）A. B.C. D.【解答】当x >0时，f(x)＝xlnx ，则令f′(x)＝lnx +1＝0，解得x =1e ，所以当0<x <1e 时，f(x)单调递减，x >1e 时，f(x)单调递增，当x ≤0时，f(x)=xe x ，则令f′(x)＝e −x −1≥0，所以当x ≤0时，f(x)单调递增， 作出函数f(x)的图象如图：又因为f(1−x)的图象时将f(x)图象先关于y 轴对称，再向左移动一个单位得到的， 故根据f(x)图象可值f(1−x)图象为5.若抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB|＝8，则弦AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A.2 B.3 C.4 D.6【解答】抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点到准线的距离为2，可得p ＝2，抛物线方程为：y 2＝4x ， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，根据抛物线定义，x 1+x 2+p ＝8， 所以x 1+x 2＝6，∵AB 的中点的横坐标为：3，中点到y 轴的距离为3，6.已知函数f(x)=lg(√x 2+1+x)+12，则f(ln5)+f(ln 15)=() A.0 B.12C.1D.2【解答】根据题意，函数f(x)=lg(√x 2+1+x)+12，则f(−x)＝lg(√x 2+1−x)+12=−lg(√x 2+1−x)+12，则f(x)+f(−x)＝1，则有f(ln5)+f(ln 15)=f(ln5)+f(−ln5)＝1；7.考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857×2＝285714，142857×3＝428571，…所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律：142+857＝999，571+428＝999，…若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x ，则999−x 的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为（ ）A.45 B.35C.25D.310【解答】根据题意，从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x ，共有A3#/DEL/#6#/DEL/#=6×5×4＝120种．又因为从1，4，2，8，5，7这6个数字中：1+8＝9，2+7＝9，4+5＝9，共3组．所以要使6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x ，999−x 的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数，则每次抽取只能抽取一组数字中的一个， 所以共有∁61∁41∁21=6×4×2＝48种， 故P =48120=25． 8.若F 为双曲线C:x 24−y 25=1的左焦点，过原点的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，则1|FA|−4|FB|的取值范围是（ ） A.[14,15] B.[−15,15]C.(−14,0]D.[−14,15]【解答】 双曲线C:x 24−y 25=1的a ＝2，b =√5，c ＝3，设|AF|＝m ，|FB|＝n ，F ′为双曲线的右焦点，连接BF ′，AF ′，由对称性可得四边形AFBF ′为平行四边形，可得|BF ′|＝|AF|＝m ，可得n −m ＝2a ＝4，n ＝m +4， 且m ≥c −a ＝1，则1|FA|−4|FB|=1m −44+m ，设f(m)=1m −44+m ，m ≥1， f′(m)=−1m 2+4(4+m)2=(m−4)(3m+4)m 2(4+m)2，当m >4时，f′(m)>0，f(m)递增，1≤m <4时，f′(m)<0，f(m)递减， 可得f(m)在m ＝4处取得极小值，且为最小值−14， 当m ＝1时，f(1)=15，当m →+∞时，f(m)→0， 则f(m)∈[−14, 15]， 故选：D ．二、多项选择题本题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下：已知：利润＝收入-支出，根据该折线图，下列说法正确的是（）A.该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润B.该企业2019年第一季度的利润约是60万元C.该企业2019年4月至7月的月利润持续增长D.该企业2019年11月份的月利润最大【解答】由企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图，得：在A中，该企业2019年1月至6月的总利润约为：x1＝(30+40+35+30+50+60)−(20+25+10+20+22+30)＝118，该企业2019年7月至12月的总利润约为：(80+75+75+80+90+80)−(28+22+30+40+45+50)＝265，∴该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润，故A正确；在B中，该企业2019年第一季度的利润约约是：(30+40+35)−(20+25+10)＝50万元，故B错误；在C中，该企业2019年4月至7月的月利润分别为（单位：万元）：10，28，30，52，∴该企业2019年4月至7月的月利润持续增长，故C正确；在D中，该企业2019年7月和8月的月利润比11月份的月利润大，故D错误．10.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们sin2x，听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx+12则下列结论正确的是（）A.2π是f(x)的一个周期B.f(x)在[0, 2π]上有3个零点C.f(x)的最大值为3√34D.f(x)在[0,π2]上是增函数【解答】∵y ＝sinx 的周期为2π，y =12sin2x 的周期为π，∴f(x)=sinx +12sin2x 的周期为2π，故A 正确； 由f(x)=sinx +12sin2x =0，得sinx +sinxcosx ＝0，得sinx ＝0或cosx ＝−1， ∵x ∈[0, 2π]，∴x ＝0，x ＝π，x ＝2π，则f(x)在[0, 2π]上有3个零点，故B 正确； 函数f(x)=sinx +12sin2x 的最大值在[0, π2]上取得，由f′(x)＝cosx +cos2x ＝2cos 2x +cosx −1＝0，可得cosx =12，当x ∈(0, π3)时，cosx 单调递减，原函数单调递增，当x ∈(π3, π2)时，cosx 单调递减，原函数单调递减，则当x =π3时，原函数求得最大值为sin π3+12sin 2π3=3√34，故C 正确； ∵f(π4)＝sin π4+12sin π2=√2+12>1，f(π2)＝sin π2+12sinπ=1，∴f(x)在[0,π2]上不是增函数，故D 错误．11.给定两个不共线的空间向量a →与b →，定义叉乘运算：a →×b →．规定：①a →×b →为同时与a →，b →垂直的向量；②a →，b →，a →×b →三个向量构成右手系（如图1）；③|a →×b →|=|a →||b →|sin <a →,b →>．如图2，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，则下列结论正确的是（ ）A.AB →×AD →=AA 1→B.AB →×AD →=AD →×AB →C.(AB →+AD →)×AA 1→=AB →×AA 1→+AD →×AA 1→D.长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积V =(AB →×AD →)⋅CC 1→【解答】∵|AB →×AD →|=|AB →||AD →|sin90=2×2×1=4，且AA 1→分别与AB →AD →垂直，∴AB →×AD →=AA 1→，故A 正确；由题意，AB →×AD →=AA 1→，AD →×AB →=A 1A →，故B 错误；∵AB →+AD →=AC →，∴|(AB →+AD →)×AA 1→|=|AC →×AA 1→|=2√2×4×1=8√2，且(AB →+AD →)×AA 1→与DB →共线同向，∵|AB →×AA 1→|=2×4×1=8，AB →×AA 1→与DA →共线同向，|AD →×AA 1→|=2×4×1=8，AD →×AA 1→与DB →共线同向，∴|AB →×AA 1→+AD →×AA 1→|=8√2，且AB →×AA 1→+AD →×AA 1→与DB →共线同向，故C 正确； (AB →×AD →)⋅CC 1→=|AB →||AD →|×|CC 1→|×sin90×cos0=2×2×4＝16，故D 成立． 12.若实数a ，b 满足2a +3a =3b +2b ，则下列关系式中可能成立的是() A.0<a <b <1 B.b <a <0 C.1<a <bD.a =b【解答】解：由2a +3a =3b +2b ，设f(x)=2x +3x ，g(x)=3x +2x ，易知f(x)，g(x)是单调递增函数， 画出f(x)，g(x)的图象如图：根据图象可知：当x =0，1时，f(x)=g(x)， 0<a <b <1，f(a)=g(b)可能成立，故A 正确；当b <a <0时，因为f(x)≤g(x)，所以f(a)=g(b)可能成立，B 正确； 当a =b 时，显然成立，故D 正确；当1<a <b 时，因为f(a)<g(b)，所以不可能成立，故C 错误. 故选ABD .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.(2x −y)5的展开式中，含x 3y 2项的系数为________．（用数字作答）． 【解答】二项式(2x −y)5的展开式的通项为T r+1＝25−r (−1)r C 5r x 5−r y r ， 令r ＝2，可得含x 3y 2的项的系数是23C 52＝8014.已知sin(α−π3)=−3cos(α−π6)，则tan2α＝________ 【解答】由于sin(α−π3)=−3cos(α−π6)，所以：12sinα−√32cosα=−3√32cosα−32sinα，整理得：√3cosα=−2sinα， 所以：tanα=−√32， 则：tan2α=2tanα1−tan 2α=−4√3，15.平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足BN →=2NC →，若AB →=λAM →+μAN →，则λ+μ的值为________． 【解答】平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足BN →=2NC →， 所以AB →=λAM →+μAN →=λ(AD →+12AB →)+μ(AB →+23AD →)， =(λ+23μ)AD →+(12λ+μ)AB →，则根据平面向量基本定理可得，{λ+2μ3=01=12λ+μ ，解可得，λ＝−1，μ=32， 则λ+μ=12，16.如图，矩形ABCD 中，AB =2√3，AD ＝2，Q 为BC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，CD 上运动（其中M 不与A ，B 重合，N 不与C ，D 重合），且MN // AD ，沿MN 将△DMN 折起，得到三棱锥D −MNQ ，则三棱锥D −MNQ 体积的最大值为________；当三棱锥D −MNQ 体积最大时，其外接球的表面积的值为________．【解答】设MB ＝t ，则AM ＝DN ＝2√3−t ，∵沿MN 将△DMN 折起，当DN ⊥平面MNQ 时，三棱锥D −MNQ 的体积最大， 此时V D−MNQ =13×12×MN ×MB ×t =13t(2√3−t)=−13t 2+2√33t ， ∴当t =√3时，V D−MNQ 取最大值，最大值为1，此时MB =√3，DN =√3，∴MQ ＝NQ ＝2，∴△MNQ 为等边三角形，∴当三棱锥D −MNQ 体积最大时，三棱锥D −MNQ 是正三棱柱的一部分，如图所示：则三棱柱MNQ−EDF的外接球即是三棱锥D−MNQ的外接球，设点G，H分别是上下地面正三角形的中心，∴线段GH的中点即是三棱柱MNQ−EDF的外接球的球心O，∴OH=12DN=√32又，∴△MNQ是边长为2的等边三角形，∴HQ=2√33，∴三棱柱MNQ−EDF的外接球的半径R＝OQ=√OH2+HQ2=5√36，∴三棱锥D−MNQ的外接球的表面积为4πR2=25π3，故答案为：1；25π3．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①b2+√2ac=a2+c2，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB=√2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=π3，b=√2，求△ABC的面积．【解答】取②acosB＝bsinA，由正弦定理可得：sinAacosB＝sinBsinA≠0，∴tanB＝1，B∈(0, π)，∴B=π4．∴C＝π−A−B=5π12，sinC＝sin(π3+π4)=√32×√22+12×√22=√6+√24．由正弦定理可得：asinπ3=√2sinπ4，解得a=√3．∴△ABC的面积S=12×√3×√2×√6+√24=3+√34．18.如图，五面体ABCDEF中，正方形ABCD的边长为2√2，AB＝2EF，EF // 平面ABCD，点P在线段DE上，且DP＝2PE，Q为BC的中点．（1）求证：BE // 平面APQ ；（2）已知AE ⊥平面ABCD ，且AE ＝2，求二面角P −AF −E 的余弦值． 【解答】连结BD ，交AQ 于点M ，连结PM ，∵△BMQ ∼△DMA ，BQ =12AD ，∴BM =12DM ， ∵EP =12DP ，∴PM // BE ， ∵PM ⊂平面APQ ，BE ⊄平面APQ ， ∴BE // 平面APQ ．以A 为坐标原点，分别以AB →,AD →,AE →为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(0, 0, 0)，C(2√2, √2, 0)，D(0, 2√2, 0)，E(0, 0, 2)，F(√2, 0, 2)， 设P(x, y, z)，∵DP ＝2PE ，∴DP →=23DE →，则(x, y −2√2, z)=23(0, −2√2, 2)，则P(0, 2√23, 43)，∴AP→=(0, 2√23, 43)， 设平面AFP 的法向量为n →=(x, y, z)， ∵AF →=(√2, 0, 2)，∴{AF →⋅n →=√2x +2z =0AP →⋅n →=2√23y +43z =0 ，取x =√2，则n →=(√2,√2,−1)， 平面AEF 的法向量m →=(0, 1, 0)， 设二面角P −AF −E 的平面角为θ， 则cosθ=|n →⋅m →||n →|⋅|m →|=√105． ∴二面角P −AF −E 的余弦值为√105．19.数学家也有一些美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：F n=22n+1(n∈N)是质数.1732年，瑞士数学家欧拉算出F5＝641×6700417，该数不是质数．已知S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝log2(F n−1)−1(n∈N+)（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝(n+1)log2a n+1，设为数列{2b n}的前n项和，求出T n，并证明：对任意n∈N+，1≤T n< 2．【解答】S n＝log2(F n−1)−1＝log222n−1＝2n−1，当n＝1时，a1＝S1＝1，n≥2时，a n＝S n−S n−1＝2n−1−2n−1+1＝2n−1，对n＝1也成立，则a n＝2n−1，n∈N∗；b n＝(n+1)log2a n+1＝(n+1)log22n＝n(n+1)，2 b n =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，则T n＝2(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)＝2(1−1n+1)，由于2(1−1n+1)随着n的增大而增大，可得T1≤T n<2，即对任意n∈N+，1≤T n<2．20.截止到2018年末，我国公路总里程达到484.65万公里，其中高速公路达到14.26万公里，规模居世界第一．与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点．如图是某部门公布的一年内道路交通事故成因分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故的一个主要因素．研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表是根据某部门的调查结果整理所得的数据(v表示行车速度，单位：km/ℎ；d1，d2分别表示反应距离和制动距离，单位：m)道路交通事故成因分析（1）从一年内发生的道路交通事故中随机抽出3起进行分析研究，求其中恰好有1起属于超速驾驶的概率（用频率代替概率）；（2）已知d 2与v 的平方成正比，且当行车速度为100km/ℎ时，制动距离为65m ．(i)由表中数据可知，d 1与v 之间具有线性相关关系，请建立d 1与v 之间的回归方程，并估计车速为110km/ℎ时的停车距离；(ii)我国《道路交通安全法》规定：车速超过100km/ℎ时，应该与同车道前车保持100m 以上的距离，请解释一下上述规定的合理性．参考数据：∑=i=110 vi 1004，∑=i=110 (d1)i 210，∑(i=110 vi d 1)i =22187.3，∑=i=110 vi 2106054，1103352524≈0.21参考公式：对于一组数据(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，…，(x n , y n )，其回归直线y =b x +a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b =∑ n i=1(x i −x ¯)(y i −y ¯)∑ n i=1(x i −x ¯)2，a =y ¯−b x ¯．【解答】由题意知，P i =C 3i ⋅(15)i ⋅(1−15)3−i ， 故所求的概率为P 1=C 31⋅15⋅(45)2=48125；由d 2与v 的平方成正比，设d 2＝kv 2，当行车速度为v ＝100km/ℎ时，制动距离为d 2＝65m ； 即k ⋅1002＝65，解得k ＝0.0065， 所以d 2＝0.0065v 2；(i)由d 1与v 之间具有线性相关关系，且v ¯=110∑ 10i=1v i=110×1004＝100.4，d 1¯=110∑ 10i=1(d 1)i =110×210＝21；又∑(i=110 vi d 1)i =22187.3，∑=i=110 vi 2106054，1103352524≈0.21， 所以b =∑ n i=1(x i −x ¯)(y i −y ¯)∑ n i=1(x i −x ¯)2=∑ 10i=1v i ⋅(d 1)i −10v ¯⋅d i ¯∑)i=110 (vi 2−10v ¯2=22187.3−10×100.4×21106054−10×100.4=1103352524≈0.21，a =d 1¯−b v ¯=21−0.21×100.4＝−0.084， 所以d 1与v 间的回归方程为d 1̂=0.21v −0.084； v ＝110时，d 1̂=0.21×110−0.084＝23.016． d 2＝0.0065×1102＝78.65，所以估计车速为110km/ℎ时的停车距离为d ＝23.016+78.65＝101.666≈102(m)；(ii)v ＝100时，d 1̂=0.21×100−0.084＝20.916． d 2＝0.0065×1002＝65，车速为100km/ℎ时的停车距离为d ＝20.916+65＝85.916≈86(m)； 车速超过100km/ℎ时，考虑到车速增加后刹车距离也随着增大， 要保证行车安全，车辆应该与同车道前车保持在100m 以上的距离．21.已知F 1，F 2分别为椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为C 上的动点，其中P 到F 1的最短距离为1，且当△PF 1F 2的面积最大时，△PF 1F 2恰好为等边三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆C 的外切圆为E ． (i)求圆E 的方程；(ii)在平面内是否存在定点Q ，使得以PQ 为直径的圆与E 相切，若存在求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】由题意可得：a −c ＝1，面积最大时P 为短轴的顶点，再由△PF 1F 2恰好为等边三角形，可得b =√32⋅2c ，a 2＝b 2+c 2， 解得：a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1；(i)由（1）得圆E 的圆心坐标为(0, 0)，半径为a ＝2， 所以圆E 的方程为：x 2+y 2＝4； (ii)解法一：假设存在满足条件的定点Q ，由题意可知定点Q 必在x 轴上，设Q(m, 0)，P(x 0, y 0)，则x 024+y 023=1，由(i)可知，圆E 的圆心为坐标原点O ，半径为2，设以PQ 为直径的圆的圆心为G ，半径为r ，则G 为线段PQ 的中点， r =|PQ|2，即G(x 0+m 2, y 02)，r =12√(x 0−m)2+y 02，因为圆E 与圆G 相切，则|OG|＝2−r ，所以√(x 0+m 2)2+y 024=2−12√(x 0−m)2+y 02，其中y 02＝3−34x 02，两边平方并整理得：4−mx 0＝2√(x 0−m)2+y 02，化简得(m 2−1)(x 02−4)＝0，上式对任意x 0∈[−2, 2]恒成立， 故m 2−1＝0，解得m ＝±1，所以，当定点Q 恰好为椭圆的焦点时，符合题意．解法二：存在满足条件的定点Q，由题意可知，定点Q必在x轴上，设Q(m, 0)，P(x0, y0)，则x024+y023=1，由(i)可知，圆E的圆心为坐标原点O，半径为2，设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点，则r=|PQ|2，即G(x0+m2, y02)，r=12√(x0−m)2+y02，因为圆E与圆G相切，则|OG|＝2−r，所以√(x0+m2)2+y024=2−12√(x0−m)2+y02，整理得√(x0+m)2+y02+√(x0−m)2+y02=4，设Q′(−m, 0)，则|PQ′|+|PQ|＝4，又因为P在椭圆x 24+y23=1上，设F1，F2分别为椭圆的左右焦点，|PF1|+|PF2|＝4，故Q，Q′分别与F1，F2重合，所以当定点Q恰好为椭圆的C的焦点时，符合题意．解法三：假设存在满足条件的定点Q，由题意可知定点Q必在x轴上，由(i)可知，圆E的圆心为坐标原点O，半径为2，设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点，则r=|PQ|2，因为圆E与圆G相切，则|OG|＝2−r，即|OG|＝2−|PQ|2，所以2|OG|+|PQ|＝4，设Q′为Q关于原点对称点，则OG恰好为△QQ′P的中位线，所以2|OG|＝|PQ′|，所以|PQ′|+|PQ|＝4，下同解法二；解法四：假设存在满足条件的定点Q，设M(m, n)，P(x0, y0)，则x024+y023=1由(i)可知，圆E的圆心为坐标原点O，半径为2，设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点，则r=|PQ|2，即G(x0+m2, y0+n2)，r=12√(x0−m)2+(y0−n)2，因为圆E与圆G相切，则|OG|＝2−r，所以√(x0+m)24+(y0+n)24=2−12√(x0−m)2+(y0−n)2整理得√(x0+m)2+(y0+n)2+√(x0−m)2+(y0−n)2=4，设Q(−m, −n)，因此|PQ′|+|PQ|＝4，下同解法一．22.已知函数f(x)=lnxx +k的极大值为1+ee，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）求实数k的值；（2）若函数g(x)=e x−ax，对任意x∈(0, +∞)，g(x)≥af(x)恒成立．(i)求实数a的取值范围；(ii)证明：x2f(x)>asinx+x2−1．【解答】f′(x)=1−lnxx2，x>0，当x∈(0, e)时，f′(x)>0，f(x)递增；当x∈(e, +∞)时，f′(x)<0，f(x)递减；所以f(x)的极大值为f(e)=1e +k=1e+1，故k＝1；(i)根据题意，任意x∈(0, +∞)，g(x)≥af(x)，即e x−ax ≥alnxx+a，化简得xe x−alnx−ax−a≥0，令ℎ(x)＝xe x−alnx−ax−a，x>0，ℎ(x)＝e lnx e x−alnx−ax−a＝e lnx+x−a(lnx+x)−a，令lnx+x＝t，t∈R，设H(t)＝e t−at−a，H′(t)＝e t−a，只需H(t)≥0，t∈R，当a<0时，当t<0时，H(t)<1−at−a，所以H(1a −1)<1−a(1a−1)−a＝0，不成立；当a＝0时，H(t)≥0显然成立；当a>0时，由H′(t)＝e t−a，当t∈(−∞, lna)，H(t)递减，t∈(lna, +∞)，H(t)递增，H(t)的最小值为H(lna)＝a−alna−a＝−alna，由H(lna)＝−alna≥0，得0<a≤1，综上0≤a≤1；(ii)证明：要证x2f(x)>asinx+x2−1，只需证明x2(lnxx+1)>asinx+x2+1，化简得xlnx+1>asinx，只需证lnx+1x >asinxx，设F(x)＝lnx+1x，G(x)＝x−sinx，由F′(x)=1x −1x2=x−1x2，当x∈(0, 1)时，F(x)递减；x∈(1, +∞)时，F(x)递增；所以F(x)≥F(1)＝1，由G′(x)＝1−cosx≥0，G(x)在(0, +∞)递增，故G(x)>G(0)＝0，得x>sinx，又由(i)0≤a≤1，所以asinxx<1，所以F(x)>asinxx成立，故原命题成立．。
济南市2019届高三上学期期末考试试题(数学文)
高三年级学习质量评估文科数学试题本试卷共6页，23题(含选考题)，全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =(其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高) 球体的体积公式：343V R π=(其中R 为球体的半径)一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
共60分。
在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}1,11,A x x B x A B =>-=-≤≤⋂=则 A ．{}01，B. {}1x x >-C ．{}11x x -<≤D ．{}11x x -≤≤2．已知复数z 满足2z z i +⋅=(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为 A. 1- B ．1 C ．i - D ．i3．已知等差数列{}n a 的前n 项和S n ，若2358,25a a S +==，则该数列的公差为 A.－2B ．2C.－3D ．34．已知实数,x y 满足约束条件0,33,20,x x y z x y y ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩则的最大值是A.0B.1C.5D.65．已知命题p ：关于m 的不等式2log m <1的解集为{}2m m <；函数q ：函数()321f x x x =+-在区间（0，1）内有零点．下列命题为真命题的是 A. p q ∧B ．()p q ∧⌝C. ()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．如图，在△ABC 中，90,2C AC BC ∠===o，三角形内的空白部分由三个半径均为1的扇形构成，向△ABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为 A.8πB ．4π C. 18π-D ．14π-7.已知双曲线2221y x b-=，其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.58．函数()2ln 8x y x =-的图象大致为9．为了得到函数2cos 2y x =的图象，可以将函数cos 23sin 2y x x =-的图象A.向左平移6π个单位长度 B.向右平移6π个单位长度 C.向左平移3π个单位长度D. 向右平移3π个单位长度10．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是 A. 18π B. 21π C. 27π D. 36π11.执行如图所示的程序框图，若输入的,,a b c 依次为()()()sin cos sin sin ,sin ,cos 42αααππαααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其中，，则输出的x 为A ．()cos cos ααB ．()sin sin αα C ．()cos sin αα D ．()sin cos αα12.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为 A. 100820182⨯B ．100920182⨯C. 100820202⨯D ．100920202⨯二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2019年山东省济南市高三(上)期末数学试卷
2019年山东省济南市高三（上）期末数学试卷一、选择题（共8题，每题5分）1．（2019秋•济南期末）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，3]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，1）D．[﹣2，1）2．（2019秋•济南期末）若复数z满足z（1+i）＝﹣2i（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i 3．（2019秋•济南期末）设x∈R，则“2x＞4”是“lg（|x|﹣1）＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（2019秋•济南期末）已知函数则函数y＝f（1﹣x）的图象大致是（）A．B．C．D．5．（2019秋•济南期末）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝8，则弦AB的中点到y轴的距离为（）A．2B．3C．4D．66．（2019秋•济南期末）已知函数，则＝（）A．0B．C．1D．27．（2019秋•济南期末）考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857×2＝285714，142857×3＝428571，…所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律：142+857＝999，571+428＝999，…若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x，则999﹣x的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为（）A．B．C．D．8．（2019秋•济南期末）若F为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，则﹣的取值范围是（）A．B．C．D．二．多选题（共4小题）9．（2019秋•济南期末）习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下：已知：利润＝收入﹣支出，根据该折线图，下列说法正确的是（）A．该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润B．该企业2019年第一季度的利润约是60万元C．该企业2019年4月至7月的月利润持续增长D．该企业2019年11月份的月利润最大10．（2019秋•济南期末）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝A sinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（）A．2π是f（x）的一个周期B．f（x）在[0，2π]上有3个零点C．f（x）的最大值为D．f（x）在上是增函数11．（2019秋•济南期末）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：．规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积12．（2019秋•济南期末）若实数a，b满足2a+3a＝3b+2b，则下列关系式中可能成立的是（）A．0＜a＜b＜1B．b＜a＜0C．1＜a＜b D．a＝b三．填空题（共14小题）13．（2019秋•济南期末）（2x﹣y）5的展开式中，含x3y2项的系数为80．（用数字作答）．14．（2019秋•济南期末）已知，则tan2α＝﹣4 15．（2019秋•济南期末）平行四边形ABCD中，M为CD的中点，点N满足，若，则λ+μ的值为．16．（2019秋•济南期末）如图，矩形ABCD中，，AD＝2，Q为BC的中点，点M，N分别在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合），且MN∥AD，沿MN将△DMN折起，得到三棱锥D﹣MNQ，则三棱锥D﹣MNQ体积的最大值为1；当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，其外接球的表面积的值为．四、解答题（共6题，共计70分）17．（2019秋•济南期末）在①，②a cos B＝b sin A，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，求△ABC的面积．18．（2019秋•济南期末）如图，五面体ABCDEF中，正方形ABCD的边长为，AB＝2EF，EF∥平面ABCD，点P在线段DE上，且DP＝2PE，Q为BC的中点．（1）求证：BE∥平面APQ；（2）已知AE⊥平面ABCD，且AE＝2，求二面角P﹣AF﹣E的余弦值．19．（2019秋•济南期末）数学家也有一些美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：（n∈N）是质数.1732年，瑞士数学家欧拉算出F5＝641×6700417，该数不是质数．已知S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝log2（F n﹣1）﹣1（n∈N+）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（n+1）log2a n+1，设为数列的前n项和，求出T n，并证明：对任意n∈N+，1≤T n＜2．20．（2019秋•济南期末）截止到2018年末，我国公路总里程达到484.65万公里，其中高速公路达到14.26万公里，规模居世界第一．与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点．如图是某部门公布的一年内道路交通事故成因分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故的一个主要因素．研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表是根据某部门的调查结果整理所得的数据（v表示行车速度，单位：km/h；d1，d2分别表示反应距离和制动距离，单位：m）道路交通事故成因分析v6472808997105113121128135 d113.415.216.718.620.121.923.525.326.828.5（1）从一年内发生的道路交通事故中随机抽出3起进行分析研究，求其中恰好有1起属于超速驾驶的概率（用频率代替概率）；（2）已知d2与v的平方成正比，且当行车速度为100km/h时，制动距离为65m．（i）由表中数据可知，d1与v之间具有线性相关关系，请建立d1与v之间的回归方程，并估计车速为110km/h时的停车距离；（ii）我国《道路交通安全法》规定：车速超过100km/h时，应该与同车道前车保持100m 以上的距离，请解释一下上述规定的合理性．参考数据：，，，，参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．21．（2019秋•济南期末）已知F1，F2分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，P为C上的动点，其中P到F1的最短距离为1，且当△PF1F2的面积最大时，△PF1F2恰好为等边三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆C的外切圆为E．（i）求圆E的方程；（ii）在平面内是否存在定点Q，使得以PQ为直径的圆与E相切，若存在求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由22．（2019秋•济南期末）已知函数的极大值为，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）求实数k的值；（2）若函数，对任意x∈（0，+∞），g（x）≥af（x）恒成立．（i）求实数a的取值范围；（ii）证明：x2f（x）＞a sin x+x2﹣1．。
2019届高三上期末数学分类汇编(18)等差数列与等比数列(含答案)
（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）4.已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为（）A. 15B.C. 6D. 3【答案】C【解析】【分析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入 {a n}前6项的和公式中即可求出结果．【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{a n}前6项的和为2a1+5d）=．故选：C．【点睛】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．（福建省宁德市2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）3.等差数列中，，，则数列的前20项和等于（）A. -10B. -20C. 10D. 20【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，计算公差，然后求和，即可。
【详解】，解得，所以，故选D。
【点睛】本道题考查了等差数列的性质，难度中等。
（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）5.在等差数列中，已知是函数的两个零点，则的前10项和等于( )A. -18B. 9C. 18D. 20【答案】D【解析】【分析】由韦达定理得，从而的前10项和，由此能求出结果.【详解】等差数列中，是函数的两个零点，，的前10项和.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用.（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）13.设等差数列的前项和为，且,则__________．【答案】【解析】分析：设等差数列{a n}的公差为d，由S13=52，可得13a1+d=52，化简再利用通项公式代入a4+a8+a9，即可得出．详解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S13=52，∴13a1+d=52，化为：a1+6d=4．则a4+a8+a9=3a1+18d=3（a1+6d）=3×4=12．故填12.点睛：本题主要考查等差数列通项和前n项和，意在考查学生等差数列基础知识的掌握能力和基本的运算能力.（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）3.已知数列是等比数列，其前项和为，，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】【分析】由题意，根据等比数列的通项公式和求和公式，求的公比，进而可求解，得到答案。
届山东省济南市高三上学期期末考试数学(理)试卷(word版)
2019届山东省济南市高三上学期期末考试理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】B2.已知复数满足（其中为虚数单位），则( )A. B. C. D.【答案】A3.已知命题关于的不等式的解集为；命题函数有极值.下列命题为真命题的是( )A. B. C. D.【答案】C4.如图，在中，，，，三角形内的空白部分由三个半径均为1的扇形构成，向内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为( )A. B. C. D.【答案】B5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 5B.C. 6D. 8【答案】C6.若将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则下列说法正确的是( )A. 的最小正周期为B. 在区间上单调递减C. 图像的一条对称轴为D. 图像的一个对称中心为【答案】D7.函数的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】D8.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），已知两个圆锥的底面半径为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面为平面（与两个圆锥面的交线为，），用平行于的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的截线即为双曲线的一部分，且双曲线的两条渐近线分别平行于，，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 2【答案】A9.已知，且，，，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A10.执行如图所示的程序框图，若输入的，，依次为，，，其中，则输出的为( )A. B. C. D.【答案】C11.过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点，，交抛物线的准线于点，若，则直线的斜率为( )A. B. C. D.【答案】C12.已知函数，若对任意，不等式恒成立，其中，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中常数项为__________．（用数字作答）【答案】14.若实数，满足约束条件则的最大值为__________．【答案】415.我国《物权法》规定：建造建筑物，不得妨碍相邻建筑物的通风和采光.已知某小区的住宅楼的底部均在同一水面上，且楼高均为45米，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52米.若该小区内某居民在距离楼底27米高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为，则该小区的住宅楼楼间距实际为__________米．【答案】5416.已知球的半径为3，该球的内接正三棱锥的体积最大值为，内接正四棱锥的体积最大值为，则的值为__________．【答案】三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分17.已知数列是递增的等差数列，满足，是和的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差通项公式与等比中项列基本量的方程组，即可得到数列的通项公式；（2），利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）设数列的公差为，由得，由题意知，所以，解得或，因为为递增数列，所以，又因为，所以，所以.（2），所以.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点，交于点，为的重心.（1）求证：平面；（2）若，点在线段上，且，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】(1)根据题意先证明，结合线面平行的判定定理即可得到结果；(2)分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为，所以，因为为中点，所以，连接并延长，交于，连接，因为为的重心，所以为的中点，且，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设，则，，，，因为，所以，因为为的重心，所以设平面的法向量，，，则，所以，取，则，，所以.设平面的法向量，，则，所以，则，取，则，所以.所以由图可知，该二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了100位客户试用该产品，每人一台.试用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让客户决定是否购买该试用产品（不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价）.经统计，决定退货的客户人数是总人数的一半，“对性能满意”的客户比“对性能不满意”的客户多10人，“对性能不满意”的客户中恰有选择了退货.（1）请完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.对性能满意对性能不满意合计购买产品不购买产品合计（2）企业为了改进产品性能，现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层抽样，随机抽取6位客户进行座谈.座谈后安排了抽奖环节，共有6张奖券，其中一张印有900元字样，两张印有600元字样，三张印有300元字样，抽到奖券可获得相应奖金.6位客户每人随机抽取一张奖券（不放回），设6位客户中购买产品的客户人均所得奖金为元，求的分布列和数学期望.附：，其中0.150 0.100 0.050 0.025 0.0102.072 2.7063.841 5.024 6.635【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）完成2×2列联表，求出K2≈，从而有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”；（2）由题意知：参加座谈的购买产品的人数为2，退货的人数为4.的取值为：300,450,600,750，求出相应的概率值，由此能求出X的分布列和数学期望．【详解】（1）设“对性能不满意”的客户中购买产品的人数为，则退货的人数为，由此可列出下表对性能满意对性能不满意合计购买产品50不购买产品50合计100因为，所以；填写列联表如下：对性能满意对性能不满意合计购买产品35 15 50不购买产品20 30 50合计55 45 100所以.所以，有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.（2）由题意知：参加座谈的购买产品的人数为2，退货的人数为4.的取值为：300,450,600,750，，，，，所以的分布列为300 450 600 750.所以，购买产品的客户人均所得奖金的数学期望为500元.【点睛】本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.已知椭圆过点，左焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，点在椭圆上，满足（为坐标原点）.判断的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）为定值【解析】【分析】（1）由c，a2＝b2+c2＝b2+1，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）把直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|AB|及d，则=，即可求得定值.【详解】（1）因为左焦点为，所以因为过点，所以，解之得，，所以，椭圆方程为.（2）设，，，则因为，所以联立方程得，所以，，，，所以由点在椭圆上，故，可得，此时满足成立，，又点到直线的距离为，所以=，所以的面积为定值.【点睛】（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查．（2）求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）对a分类讨论，结合（1）中的单调性，研究函数的图象的变化趋势从而得到的取值范围.【详解】（1），（ⅰ）若，当时，，为减函数；当时，，为增函数；当时，令，则，；（ⅱ）若，，恒成立，在上为增函数；（ⅲ）若，，当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数；（ⅳ）若，，当时，，为增函数；当时，，为减函数；当，，为增函数；综上所述：当，在上为减函数，在上为增函数；当时，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数.（2）（ⅰ）当时，，令，，此时1个零点，不合题意；（ⅱ）当时，由（1）可知，在上为减函数，在上为增函数，因为有两个零点，必有，即，注意到，所以，当时，有1个零点；当时，取，则，所以，当时，有1个零点；所以，当时，有2个零点，符合题意；（ⅲ）当时，在上为增函数，不可能有两个零点，不合题意；（ⅳ）当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数；因为，所以，此时，最多有1个零点，不合题意；（ⅴ）当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数；因为，此时，最多有1个零点，不合题意；综上所述，若有两个零点，则的取值范围是.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），其中，直线与曲线相交于，两点. （1）求曲线的直角坐标方程；（2）若点满足，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用，把极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程（为参数）代入，得：，利用韦达定理表示条件，解方程即可得到结果.【详解】（1）由题意，曲线的极坐标方程可化为：，由得曲线的直角坐标方程为：.（2）将直线的参数方程（为参数）代入，得：，设，对应的参数分别为，，则，，所以，解得或（舍），所以.【点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当a＝2时，分类讨论求得不等式的解集；（2）对任意的恒成立即，数形结合即可得到结果．【详解】（1）当时，，即当时，不等式等价于：，解得，所以；当时，不等式等价于：，解得，所以；当时，不等式等价于：，解得，所以；所以，不等式的解集为.（2）由题意知，当时，，即恒成立，根据函数的图像易知，解得，的取值范围为.【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.。
济南市2019届高三上学期期末考语文试卷含答案解析
济南市2019届高三上学期期末考语文试卷一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题，9分)阅读下面的文字，完成1-3题。
顾炎武在《日知录》中说“风俗者，天下之大事”。
构建社会新风正气、匡正世道人心需要弘扬优秀传统文化。
只有普通群众全面深入地学习优秀传统文化，把其中蕴含的信念，智慧内化于血液之中，才能认同、尊重、践行、弘扬优秀传统文化，才能更加坚定文化自信。
然而，学习优秀传统文化绝不是简单地背诵几句名言警句，掌握一些历史典故，而是要深入地去了解它的价值体系、精神实质，否则就难以弄清它的意义所在。
毋庸讳言，对于普通群众而言，做到这一点并非易事。
首先，中华优秀传统文化历经五千年，内容广泛，思想深邃，可谓博大精深，并且不同领域文化之间以及同一领域文化内部一直处于不断发展融合的过程。
就中华文化整体而言，从大的方面讲是儒释道三家相互融合发展的产物，但仔细考察，先秦时期墨家、法家等其他思想也融入其中。
就单一儒家文化而言，先秦时期的儒学在千年演变过程中，吸收佛老思想，不断被先哲圣贤结合时代特点阐发注释，先后经历了玄学、理学、心学、汉学等不同发展阶段，形成众多学派，产生众多思想观点。
可见，真正掌握中华优秀传统文化的核心要义有一定的难度。
其次,由于语言的障碍,普通群众阅读传统文化的载体——经典文献,已感到困难重重,以至于难以直面传统文化,难以直达古人心灵，难以领略经典的风采和思想的玄妙。
当代普通群众阅读经典文献,一是靠白话文翻译,然而一些古文所蕴含的词义和哲理很难用现代白话精准体现,在文白转换之间,经典中的一些精微之处往往被翻译得平淡无味;二是很大程度上不得不依靠当代人的解读。
这种解读难免会融入个人的阅历、知识、思想和情趣，如果不能秉持严谨的学术态度，严守原典这条“红线”,就容易过度阐释议论甚至戏谑影射,把“经”念歪了。
再次,传统经典文献本身的书写体例无疑也增加了理解难度。
无论是儒家的“四书五经”还是道家的《道德经》,抑或其他诸子百家著作,其体例多为语录体或散文体,很多核心概念和重要思想分散于全书的不同篇章,缺少完整清晰的思想体系和内在逻辑,阅读起来似有雾里看花之感。
山东省济南市2019届高三上学期期末考试数学(理)试题(精品解析)
高三年级学习质量评估理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简集合A，然后求交集即可.【详解】∵，∴ .故选：B【点睛】本题考查交集的概念与运算，二次不等式的解法，属于基础题.2.已知复数满足（其中为虚数单位），则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【详解】∵，∴z1﹣i．∴故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3.已知命题关于的不等式的解集为；命题函数有极值.下列命题为真命题的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解对数不等式明确命题p的正误，利用导函数明确命题q的正误，从而得到正确选项.【详解】不等式的解集为，故命题p为假命题，为真命题；由可知：,∴在处取得极值，故命题q为真命题，为假命题，综上可知：为真命题故选：C【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查对数不等式的解法，考查了函数的极值的判定，是中档题．4.如图，在中，，，，三角形内的空白部分由三个半径均为1的扇形构成，向内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，概率符合几何概型，所以只要求出阴影部分的面积，根据三角形的内角和得到空白部分的面积是以1为半径的半圆的面积，由几何概型的概率公式可求．【详解】解：由题意，题目符合几何概型，在中，，，，面积为3，阴影部分的面积为：三角形面积圆面积＝3，所以点落在阴影部分的概率为；故选：B．【点睛】本题考查了几何概型的概率求法；关键明确概率模型，然后求出满足条件的事件的集合，由概率公式解答．5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 5B.C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，代入柱体体积公式，可得答案．【详解】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，底面五边形面积S＝2×12×1，高h＝2，故体积V＝Sh＝6，故选：C【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，棱柱的概念的理解，考查空间想象能力与计算能力，难度中档．6.若将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则下列说法正确的是( )A. 的最小正周期为B. 在区间上单调递减C. 图像的一条对称轴为D. 图像的一个对称中心为【答案】D【解析】【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律得到g（x）的解析式，再利用三角函数的单调性、周期性、以及图象的对称性，得出结论．【详解】将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的最小正周期为π，故A错误；由，可得，显然在区间上不单调，故B错误；当时，，故C错误；当时，，正确，故选：D【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的单调性、周期性、以及图象的对称性，属于中档题．7.函数的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性，极限，特值点逐一判断即可.【详解】由函数为偶函数，排除B选项，当x时，，排除A选项，当x=时，，排除C选项，故选：D【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.8.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），已知两个圆锥的底面半径为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面为平面（与两个圆锥面的交线为，），用平行于的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的截线即为双曲线的一部分，且双曲线的两条渐近线分别平行于，，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由题意易得，夹角即所求双曲线渐近线的夹角.【详解】∵圆锥的底面半径为1，母线长均为2，∴,又双曲线的两条渐近线分别平行于，，∴，即3b2＝a2，∴离心率e故选：【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9.已知，且，，，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量加法减法以及模的几何意义可得结果.【详解】如图所示：，且，又，取AB中点为C，可得,∵∴的终点D在以C为圆心，为半径的圆上运动，当D点在O点时，的最小值为0；当D点在OC的延长线时，的最大值为,∴的取值范围是故选：A【点睛】本题考查了向量的运算，圆的性质以及数形结合思想，转化思想，是一道综合题．10.执行如图所示的程序框图，若输入的，，依次为，，，其中，则输出的为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由框图可知程序的功能是输出三者中的最大者，比较大小即可.【详解】由程序框图可知a、b、c中的最大数用变量x表示并输出，∵∴，又在R上为减函数，在上为增函数，∴＜，＜故最大值为，输出的为故选：C【点睛】本题主要考查了选择结构．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．11.过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点，，交抛物线的准线于点，若，则直线的斜率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可知：N为线段PM的中点，结合抛物线定义可知,从而可得直线的斜率.【详解】由可知：N为线段PM的中点，过N，M点分别引准线的垂线，垂足分别为A，B，不妨设，由抛物线定义可知：，，又N为线段PM的中点，∴∴在△ANP中，∴，即直线的斜率为：由抛物线的对称性可知：直线的斜率为.故选：C【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握．12.已知函数，若对任意，不等式恒成立，其中，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作图明确函数的单调性，不等式可转化为，即，变量分离研究函数的最值即可.【详解】作出函数的图象，由图像可知：函数在R上单调递减，，即，由函数在R上单调递减，可得：变量分离可得：，令则,又∴∴故选：B【点睛】本题考查分段函数的图像与性质，涉及到函数的单调性，指数运算，均值不等式等等，考查转化思想，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中常数项为__________．（用数字作答）【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，，故该展开式中的常数项为，故答案为．【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14.若实数，满足约束条件则的最大值为__________．【答案】4【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义利用数形结合即可得到结论．【详解】解：由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分），平移直线z＝4x+3y，由图象可知当直线z＝4x+3y经过点A时，目标函数z＝4x+3y取得最大值，此时A（），即z＝40＝4，故z的最大值为4故答案为：4．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．要求熟练掌握常见目标函数的几何意义．15.我国《物权法》规定：建造建筑物，不得妨碍相邻建筑物的通风和采光.已知某小区的住宅楼的底部均在同一水面上，且楼高均为45米，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52米.若该小区内某居民在距离楼底27米高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为，则该小区的住宅楼楼间距实际为__________米．【答案】54【解析】【分析】设该小区的住宅楼楼间距为t米，利用两角和正切公式建立等量关系，即可得的结果.【详解】如图设该小区的住宅楼楼间距为t米，则DF=18米,EF=27米，∠DCE=45°，∴即，解得t=54故答案为：5 4【点睛】本题考查三角函数在实际生活中的应用，考查两角和正切公式，考查函数方程思想，属于基础题.16.已知球的半径为3，该球的内接正三棱锥的体积最大值为，内接正四棱锥的体积最大值为，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】设球心O到正三棱锥底面MNQ的距离为x，则V P﹣MNQ，设正四棱锥S﹣ABCD 的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，则V（x）a2h（18﹣2x2）（3+x），利用均值不等式分别求最值即可.【详解】设球心O到正三棱锥底面MNQ的距离为x，则0≤x＜3，设底面中心为O′，则O′M，∴底面边长MN O′M，棱锥的高S O′＝x+3，∴V P﹣MNQ（3+x）（6﹣2x）（x+3）（）3＝8．即8当且仅当x+3＝6﹣2x即x＝1时取得等号．设正四棱锥S﹣ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，则：x2+（a）2＝9，而正四棱锥的高为h＝3+x，故正四棱锥体积为：V（x）a2h（18﹣2x2）（3+x）（6﹣2x）（3+x）（3+x）（）3，即当且仅当x＝2时，等号成立，∴故答案为：【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分17.已知数列是递增的等差数列，满足，是和的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差通项公式与等比中项列基本量的方程组，即可得到数列的通项公式；（2），利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）设数列的公差为，由得，由题意知，所以，解得或，因为为递增数列，所以，又因为，所以，所以.（2），所以.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点，交于点，为的重心.（1）求证：平面；（2）若，点在线段上，且，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】(1)根据题意先证明，结合线面平行的判定定理即可得到结果；(2)分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为，所以，因为为中点，所以，连接并延长，交于，连接，因为为的重心，所以为的中点，且，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设，则，，，，因为，所以，因为为的重心，所以设平面的法向量，，，则，所以，取，则，，所以.设平面的法向量，，则，所以，则，取，则，所以.所以由图可知，该二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了100位客户试用该产品，每人一台.试用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让客户决定是否购买该试用产品（不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价）.经统计，决定退货的客户人数是总人数的一半，“对性能满意”的客户比“对性能不满意”的客户多10人，“对性能不满意”的客户中恰有选择了退货.（1）请完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.（2）企业为了改进产品性能，现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层抽样，随机抽取6位客户进行座谈.座谈后安排了抽奖环节，共有6张奖券，其中一张印有900元字样，两张印有600元字样，三张印有300元字样，抽到奖券可获得相应奖金.6位客户每人随机抽取一张奖券（不放回），设6位客户中购买产品的客户人均所得奖金为元，求的分布列和数学期望.附：，其中【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）完成2×2列联表，求出K2≈，从而有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”；（2）由题意知：参加座谈的购买产品的人数为2，退货的人数为4.的取值为：300,450,600,750，求出相应的概率值，由此能求出X的分布列和数学期望．【详解】（1）设“对性能不满意”的客户中购买产品的人数为，则退货的人数为，由此可列出下表因为，所以；填写列联表如下：所以.所以，有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.（2）由题意知：参加座谈的购买产品的人数为2，退货的人数为4.的取值为：300,450,600,750，，，，，所以的分布列为.所以，购买产品的客户人均所得奖金的数学期望为500元.【点睛】本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.已知椭圆过点，左焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，点在椭圆上，满足（为坐标原点）.判断的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）为定值【解析】【分析】（1）由c，a2＝b2+c2＝b2+1，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）把直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|AB|及d，则=，即可求得定值.【详解】（1）因为左焦点为，所以因为过点，所以，解之得，，所以，椭圆方程为.（2）设，，，则因为，所以联立方程得，所以，，，，所以由点在椭圆上，故，可得，此时满足成立，，又点到直线的距离为，所以=，所以的面积为定值.【点睛】（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查．（2）求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）对a分类讨论，结合（1）中的单调性，研究函数的图象的变化趋势从而得到的取值范围.【详解】（1），（ⅰ）若，当时，，为减函数；当时，，为增函数；当时，令，则，；（ⅱ）若，，恒成立，在上为增函数；（ⅲ）若，，当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数；（ⅳ）若，，当时，，为增函数；当时，，为减函数；当，，为增函数；综上所述：当，在上为减函数，在上为增函数；当时，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数.（2）（ⅰ）当时，，令，，此时1个零点，不合题意；（ⅱ）当时，由（1）可知，在上为减函数，在上为增函数，因为有两个零点，必有，即，注意到，所以，当时，有1个零点；当时，取，则，所以，当时，有1个零点；所以，当时，有2个零点，符合题意；（ⅲ）当时，在上为增函数，不可能有两个零点，不合题意；（ⅳ）当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数；因为，所以，此时，最多有1个零点，不合题意；（ⅴ）当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数；因为，此时，最多有1个零点，不合题意；综上所述，若有两个零点，则的取值范围是.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），其中，直线与曲线相交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若点满足，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用，把极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程（为参数）代入，得：，利用韦达定理表示条件，解方程即可得到结果.【详解】（1）由题意，曲线的极坐标方程可化为：，由得曲线的直角坐标方程为：.（2）将直线的参数方程（为参数）代入，得：，设，对应的参数分别为，，则，，所以，解得或（舍），所以.【点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当a＝2时，分类讨论求得不等式的解集；（2）对任意的恒成立即，数形结合即可得到结果．【详解】（1）当时，，即当时，不等式等价于：，解得，所以；当时，不等式等价于：，解得，所以；当时，不等式等价于：，解得，所以；所以，不等式的解集为.（2）由题意知，当时，，即恒成立，根据函数的图像易知，解得，的取值范围为.【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.。
2019年山东省济南市高三(上)期末数学试卷答案解析
2019年山东省济南市高三（上）期末数学试卷答案解析一、选择题（共8题，每题5分）1．（2019秋•济南期末）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，3]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，1）D．[﹣2，1）【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x﹣1＜0}＝{x|x＜1}，∴A∪B＝{x|x≤3}＝（﹣∞，3]．故选：A．2．（2019秋•济南期末）若复数z满足z（1+i）＝﹣2i（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【解答】解：∵z（1+i）＝﹣2i，∴z＝，则．故选：D．3．（2019秋•济南期末）设x∈R，则“2x＞4”是“lg（|x|﹣1）＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设x∈R，则“2x＞4”⇒“lg（|x|﹣1）＞0”，“lg（|x|﹣1）＞0”⇒“x＞2或x＜﹣2”⇒“2x＞4或”，∴“2x＞4”是“lg（|x|﹣1）＞0”的充分不必要条件．故选：A．4．（2019秋•济南期末）已知函数则函数y＝f（1﹣x）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当x＞0时，f（x）＝xlnx，则令f′（x）＝lnx+1＝0，解得x＝，所以当0＜x＜时，f（x）单调递减，x＞时，f（x）单调递增，当x≤0时，f（x）＝，则令f′（x）＝e﹣x﹣1≥0，所以当x≤0时，f（x）单调递增，作出函数f（x）的图象如图：又因为f（1﹣x）的图象时将f（x）图象先关于y轴对称，再向左移动一个单位得到的，故根据f（x）图象可值f（1﹣x）图象为故选：B．5．（2019秋•济南期末）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝8，则弦AB的中点到y轴的距离为（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到准线的距离为2，可得p＝2，抛物线方程为：y2＝4x，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线定义，x1+x2+p＝8，所以x1+x2＝6，∵AB的中点的横坐标为：3，中点到y轴的距离为3，故选：B．6．（2019秋•济南期末）已知函数，则＝（）A．0B．C．1D．2【解答】解：根据题意，函数，则f（﹣x）＝lg（﹣x）+＝﹣lg（﹣x）+，则f（x）+f（﹣x）＝1，则有＝f（ln5）+f（﹣ln5）＝1；故选：C．7．（2019秋•济南期末）考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857×2＝285714，142857×3＝428571，…所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律：142+857＝999，571+428＝999，…若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x，则999﹣x的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x，共有＝6×5×4＝120种．又因为从1，4，2，8，5，7这6个数字中：1+8＝9，2+7＝9，4+5＝9，共3组．所以要使6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x，999﹣x的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数，则每次抽取只能抽取一组数字中的一个，所以共有＝6×4×2＝48种，故．故选：C．8．（2019秋•济南期末）若F为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，则﹣的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的a＝2，b＝，c＝3，设|AF|＝m，|FB|＝n，F'为双曲线的右焦点，连接BF'，AF'，由对称性可得四边形AFBF'为平行四边形，可得|BF'|＝|AF|＝m，可得n﹣m＝2a＝4，n＝m+4，且m≥c﹣a＝1，则﹣＝﹣，设f（m）＝﹣，m≥1，f′（m）＝﹣+＝，当m＞4时，f′（m）＞0，f（m）递增，1≤m＜4时，f′（m）＜0，f（m）递减，可得f（m）在m＝4处取得极小值，且为最小值﹣，当m＝1时，f（1）＝，当m→+∞时，f（m）→0，则f（m）∈[﹣，]，故选：D．二．多选题（共4小题）9．（2019秋•济南期末）习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下：已知：利润＝收入﹣支出，根据该折线图，下列说法正确的是（）A．该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润B．该企业2019年第一季度的利润约是60万元C．该企业2019年4月至7月的月利润持续增长D．该企业2019年11月份的月利润最大【解答】解：由企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图，得：在A中，该企业2019年1月至6月的总利润约为：x1＝（30+40+35+30+50+60）﹣（20+25+10+20+22+30）＝118，该企业2019年7月至12月的总利润约为：（80+75+75+80+90+80）﹣（28+22+30+40+45+50）＝265，∴该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润，故A正确；在B中，该企业2019年第一季度的利润约约是：（30+40+35）﹣（20+25+10）＝50万元，故B错误；在C中，该企业2019年4月至7月的月利润分别为（单位：万元）：10，28，30，52，∴该企业2019年4月至7月的月利润持续增长，故C正确；在D中，该企业2019年7月和8月的月利润比11月份的月利润大，故D错误．故选：AC．10．（2019秋•济南期末）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝A sinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（）A．2π是f（x）的一个周期B．f（x）在[0，2π]上有3个零点C．f（x）的最大值为D．f（x）在上是增函数【解答】解：∵y＝sin x的周期为2π，y＝的周期为π，∴的周期为2π，故A正确；由＝0，得sin x+sin x cos x＝0，得sin x＝0或cos x＝﹣1，∵x∈[0，2π]，∴x＝0，x＝π，x＝2π，则f（x）在[0，2π]上有3个零点，故B正确；函数的最大值在[0，]上取得，由f′（x）＝cos x+cos2x＝2cos2x+cos x﹣1＝0，可得cos x＝，当x∈（0，）时，cos x 单调递减，原函数单调递增，当x∈（，）时，cos x单调递减，原函数单调递减，则当x＝时，原函数求得最大值为sin+＝，故C正确；∵f（）＝sin+＝＞1，f（）＝sin＝1，∴f（x）在上不是增函数，故D错误．故选：ABC．11．（2019秋•济南期末）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：．规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积【解答】解：∵，且分别与垂直，∴，故A正确；由题意，，，故B错误；∵，∴＝，且与共线同向，∵，与共线同向，，与共线同向，∴||＝，且与共线同向，故C正确；＝＝2×2×4＝16，故D成立．故选：ACD．12．（2019秋•济南期末）若实数a，b满足2a+3a＝3b+2b，则下列关系式中可能成立的是（）A．0＜a＜b＜1B．b＜a＜0C．1＜a＜b D．a＝b【解答】解：由2a+3a＝3b+2b，设f（x）＝2x+3x，g（x）＝3x+2x，易知f（x），g（x）是递增函数，画出f（x），g（x）的图象如下：绿色，蓝色的分别是f（x），g（x）的图象，根据图象可知：当x＝0，1时，f（x）＝g（x），0＜a＜b＜1，f（a）＝f（b）可能成立；故A正确；当b＜a＜0时，因为f（x）≤g（x），所以f（a）＝f（b）可能成立，B正确；当a＝b时，显然成立，当1＜a＜b时，因为f（a）＜g（b），所以不可能成立，故选：ABD．三．填空题（共14小题）13．（2019秋•济南期末）（2x﹣y）5的展开式中，含x3y2项的系数为80．（用数字作答）．【解答】解：二项式（2x﹣y）5的展开式的通项为T r+1＝25﹣r（﹣1）r C5r x5﹣r y r，令r＝2，可得含x3y2的项的系数是23C52＝80故答案为：80．14．（2019秋•济南期末）已知，则tan2α＝﹣4【解答】解：由于，所以：，整理得：，所以：tan，则：＝﹣4，故答案为：﹣4．15．（2019秋•济南期末）平行四边形ABCD中，M为CD的中点，点N满足，若，则λ+μ的值为．【解答】解：平行四边形ABCD中，M为CD的中点，点N满足，所以＝+μ（），＝+（），则根据平面向量基本定理可得，，解可得，λ＝﹣1，μ＝，则λ+μ＝，故答案为：．16．（2019秋•济南期末）如图，矩形ABCD中，，AD＝2，Q为BC的中点，点M，N分别在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合），且MN∥AD，沿MN将△DMN折起，得到三棱锥D﹣MNQ，则三棱锥D﹣MNQ体积的最大值为1；当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，其外接球的表面积的值为．【解答】解：设MB＝t，则AM＝DN＝2﹣t，∵沿MN将△DMN折起，当DN⊥平面MNQ时，三棱锥D﹣MNQ的体积最大，此时V D﹣MNQ＝＝＝﹣，∴当t＝时，V D﹣MNQ取最大值，最大值为1，此时MB＝，DN＝，∴MQ＝NQ＝2，∴△MNQ为等边三角形，∴当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，三棱锥D﹣MNQ是正三棱柱的一部分，如图所示：则三棱柱MNQ﹣EDF的外接球即是三棱锥D﹣MNQ的外接球，设点G，H分别是上下地面正三角形的中心，∴线段GH的中点即是三棱柱MNQ﹣EDF的外接球的球心O，∴OH＝又，∴△MNQ是边长为2的等边三角形，∴HQ＝，∴三棱柱MNQ﹣EDF的外接球的半径R＝OQ＝＝，∴三棱锥D﹣MNQ的外接球的表面积为4πR2＝，故答案为：1；．四、解答题（共6题，共计70分）17．（2019秋•济南期末）在①，②a cos B＝b sin A，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，求△ABC的面积．【解答】解：取②a cos B＝b sin A，由正弦定理可得：sin Aa cos B＝sin B sin A≠0，∴tan B＝1，B∈（0，π），∴B＝．∴C＝π﹣A﹣B＝，sin C＝sin（+）＝+＝．由正弦定理可得：＝，解得a＝．∴△ABC的面积S＝×＝．18．（2019秋•济南期末）如图，五面体ABCDEF中，正方形ABCD的边长为，AB＝2EF，EF∥平面ABCD，点P在线段DE上，且DP＝2PE，Q为BC的中点．（1）求证：BE∥平面APQ；（2）已知AE⊥平面ABCD，且AE＝2，求二面角P﹣AF﹣E的余弦值．【解答】解：（1）连结BD，交AQ于点M，连结PM，∵△BMQ～△DMA，BQ＝，∴BM＝，∵EP＝，∴PM∥BE，∵PM⊂平面APQ，BE⊄平面APQ，∴BE∥平面APQ．（2）解：以A为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（，，0），D（0，2，0），E（0，0，2），F（，0，2），设P（x，y，z），∵DP＝2PE，∴＝，则（x，y﹣2，z）＝（0，﹣2，2），则P（0，，），∴＝（0，，），设平面AFP的法向量为＝（x，y，z），∵＝（，0，2），∴，取x＝，则＝（），平面AEF的法向量＝（0，1，0），设二面角P﹣AF﹣E的平面角为θ，则cosθ＝＝．∴二面角P﹣AF﹣E的余弦值为．19．（2019秋•济南期末）数学家也有一些美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：（n∈N）是质数.1732年，瑞士数学家欧拉算出F5＝641×6700417，该数不是质数．已知S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝log2（F n﹣1）﹣1（n∈N+）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（n+1）log2a n+1，设为数列的前n项和，求出T n，并证明：对任意n∈N+，1≤T n＜2．【解答】解：（1）S n＝log2（F n﹣1）﹣1＝log22﹣1＝2n﹣1，当n＝1时，a1＝S1＝1，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣1﹣2n﹣1+1＝2n﹣1，对n＝1也成立，则a n＝2n﹣1，n∈N*；（2）b n＝（n+1）log2a n+1＝（n+1）log22n＝n（n+1），＝＝2（﹣），则T n＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝2（1﹣），由于2（1﹣）随着n的增大而增大，可得T1≤T n＜2，即对任意n∈N+，1≤T n＜2．20．（2019秋•济南期末）截止到2018年末，我国公路总里程达到484.65万公里，其中高速公路达到14.26万公里，规模居世界第一．与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点．如图是某部门公布的一年内道路交通事故成因分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故的一个主要因素．研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表是根据某部门的调查结果整理所得的数据（v表示行车速度，单位：km/h；d1，d2分别表示反应距离和制动距离，单位：m）道路交通事故成因分析v6472808997105113121128135 d113.415.216.718.620.121.923.525.326.828.5（1）从一年内发生的道路交通事故中随机抽出3起进行分析研究，求其中恰好有1起属于超速驾驶的概率（用频率代替概率）；（2）已知d2与v的平方成正比，且当行车速度为100km/h时，制动距离为65m．（i）由表中数据可知，d1与v之间具有线性相关关系，请建立d1与v之间的回归方程，并估计车速为110km/h时的停车距离；（ii）我国《道路交通安全法》规定：车速超过100km/h时，应该与同车道前车保持100m 以上的距离，请解释一下上述规定的合理性．参考数据：，，，，参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．【解答】解：（1）由题意知，P i＝••，故所求的概率为P1＝••＝；（2）由d2与v的平方成正比，设d2＝kv2，当行车速度为v＝100km/h时，制动距离为d2＝65m；即k•1002＝65，解得k＝0.0065，所以d2＝0.0065v2；（i）由d1与v之间具有线性相关关系，且＝v i＝×1004＝100.4，＝（d1）i＝×210＝21；又，，，所以＝＝＝≈0.21，＝﹣＝21﹣0.21×100.4＝﹣0.084，所以d1与v间的回归方程为＝0.21v﹣0.084；v＝110时，＝0.21×110﹣0.084＝23.016．d2＝0.0065×1102＝78.65，所以估计车速为110km/h时的停车距离为d＝23.016+78.65＝101.666≈102（m）；（ii）v＝100时，＝0.21×100﹣0.084＝20.916．d2＝0.0065×1002＝65，车速为100km/h时的停车距离为d＝20.916+65＝85.916≈86（m）；车速超过100km/h时，考虑到车速增加后刹车距离也随着增大，要保证行车安全，车辆应该与同车道前车保持在100m以上的距离．21．（2019秋•济南期末）已知F1，F2分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，P为C上的动点，其中P到F1的最短距离为1，且当△PF1F2的面积最大时，△PF1F2恰好为等边三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆C的外切圆为E．（i）求圆E的方程；（ii）在平面内是否存在定点Q，使得以PQ为直径的圆与E相切，若存在求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意可得：a﹣c＝1，面积最大时P为短轴的顶点，再由△PF1F2恰好为等边三角形，可得b＝，a2＝b2+c2，解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆的标准方程为：+＝1；（2）（i）由（1）得圆E的圆心坐标为（0，0），半径为a＝2，所以圆E的方程为：x2+y2＝4；（ii）解法一：假设存在满足条件的定点Q，由题意可知定点Q必在x轴上，设Q（m，0），P（x0，y0），则，由（i）可知，圆E的圆心为坐标原点O，半径为2，设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点，r＝，即G（，），r＝，因为圆E与圆G相切，则|OG|＝2﹣r，所以＝2﹣，其中y02＝3﹣x02，两边平方并整理得：4﹣mx0＝2，化简得（m2﹣1）（x02﹣4）＝0，上式对任意x0∈[﹣2，2]恒成立，故m2﹣1＝0，解得m＝±1，所以，当定点Q恰好为椭圆的焦点时，符合题意．解法二：存在满足条件的定点Q，由题意可知，定点Q必在x轴上，设Q（m，0），P（x0，y0），则，由（i）可知，圆E的圆心为坐标原点O，半径为2，设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点，则r＝，即G（，），r＝，因为圆E与圆G相切，则|OG|＝2﹣r，所以＝2﹣，整理得，设Q′（﹣m，0），则|PQ′|+|PQ|＝4，又因为P在椭圆上，设F1，F2分别为椭圆的左右焦点，|PF1|+|PF2|＝4，故Q，Q′分别与F1，F2重合，所以当定点Q恰好为椭圆的C的焦点时，符合题意．解法三：假设存在满足条件的定点Q，由题意可知定点Q必在x轴上，由（i）可知，圆E的圆心为坐标原点O，半径为2，设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点，则r＝，因为圆E与圆G相切，则|OG|＝2﹣r，即|OG|＝2﹣，所以2|OG|+|PQ|＝4，设Q′为Q关于原点对称点，则OG恰好为△QQ′P的中位线，所以2|OG|＝|PQ′|，所以|PQ′|+|PQ|＝4，下同解法二；解法四：假设存在满足条件的定点Q，设M（m，n），P（x0，y0），则由（i）可知，圆E的圆心为坐标原点O，半径为2，设以PQ为直径的圆的圆心为G，半径为r，则G为线段PQ的中点，则r＝，即G （，），r＝，因为圆E与圆G相切，则|OG|＝2﹣r，所以＝2﹣，整理得+＝4，设Q（﹣m，﹣n），因此|PQ′|+|PQ|＝4，下同解法一．22．（2019秋•济南期末）已知函数的极大值为，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）求实数k的值；（2）若函数，对任意x∈（0，+∞），g（x）≥af（x）恒成立．（i）求实数a的取值范围；（ii）证明：x2f（x）＞a sin x+x2﹣1．【解答】解：（1）f'（x）＝，x＞0，当x∈（0，e）时，f'（x）＞0，f（x）递增；当x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减；所以f（x）的极大值为f（e）＝，故k＝1；（2）（i）根据题意，任意x∈（0，+∞），g（x）≥af（x），即，化简得xe x﹣alnx﹣ax﹣a≥0，令h（x）＝xe x﹣alnx﹣ax﹣a，x＞0，h（x）＝e lnx e x﹣alnx﹣ax﹣a＝e lnx+x﹣a（lnx+x）﹣a，令lnx+x＝t，t∈R，设H（t）＝e t﹣at﹣a，H'（t）＝e t﹣a，只需H（t）≥0，t∈R，当a＜0时，当t＜0时，H（t）＜1﹣at﹣a，所以H（）＜1﹣a（﹣1）﹣a＝0，不成立；当a＝0时，H（t）≥0显然成立；当a＞0时，由H'（t）＝e t﹣a，当t∈（﹣∞，lna），H（t）递减，t∈（lna，+∞），H（t）递增，H（t）的最小值为H（lna）＝a﹣alna﹣a＝﹣alna，由H（lna）＝﹣alna≥0，得0＜a≤1，综上0≤a≤1；（ii）证明：要证x2f（x）＞a sin x+x2﹣1，只需证明，化简得xlnx+1＞a sin x，只需证，设F（x）＝lnx+，G（x）＝x﹣sin x，由F'（x）＝，当x∈（0，1）时，F（x）递减；x∈（1，+∞）时，F（x）递增；所以F（x）≥F（1）＝1，由G'（x）＝1﹣cos x≥0，G（x）在（0，+∞）递增，故G（x）＞G（0）＝0，得x＞sin x，又由（i）0≤a≤1，所以，所以F（x）＞成立，故原命题成立．。