高考数学 3年高考2年模拟 10.2二项式定课件 理 (安徽)
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2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第十章 §10.2 二项式定理
因为(x－2y)8 的展开式中含 x6y2 的项为 C28x6(－2y)2＝112x6y2， 所以(x－2y)8的展开式中x6y2的系数为112.
(2)已知x－
a
5
x
的展开式中
x5
的系数为
A，x2
的系数为
B，若
A＋B＝11，
则 a＝__±_1___.
x－
a
5
x
的展开式的通项为
Tk＋1＝Ck5x5－k－
axk＝
(
a)k
C5k
5
x
3 2
k
.
由 5－32k＝5，得 k＝0， 由 5－32k＝2，得 k＝2， 所以 A＝C05×(－a)0＝1，B＝C25×(－a)2＝10a2，
则由1＋10a2＝11，解得a＝±1.
命题点2 形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式 例 2 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 __－__2_8__(用数字作答).
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义
第十章
§10.2 二项式定理
课标要求
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理 解决与二项展开式有关的简单问题.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
知识梳理
1.二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝ C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn (n∈N*)
微拓展
③有 1 个因式出一个 2x，2 个因式各出一个－3x2，剩余 2 个因式各出 一个 1，这样的方式有 C15C24种，对应的项为 C15×2x×C24×(－3x2)2； 所以含 x5 的项的系数为 C55×25＋C35×23×C12×(－3)＋C15×2×C42× (－3)2＝92.
(2)已知x－
a
5
x
的展开式中
x5
的系数为
A，x2
的系数为
B，若
A＋B＝11，
则 a＝__±_1___.
x－
a
5
x
的展开式的通项为
Tk＋1＝Ck5x5－k－
axk＝
(
a)k
C5k
5
x
3 2
k
.
由 5－32k＝5，得 k＝0， 由 5－32k＝2，得 k＝2， 所以 A＝C05×(－a)0＝1，B＝C25×(－a)2＝10a2，
则由1＋10a2＝11，解得a＝±1.
命题点2 形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式 例 2 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 __－__2_8__(用数字作答).
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义
第十章
§10.2 二项式定理
课标要求
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理 解决与二项展开式有关的简单问题.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
知识梳理
1.二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝ C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn (n∈N*)
微拓展
③有 1 个因式出一个 2x，2 个因式各出一个－3x2，剩余 2 个因式各出 一个 1，这样的方式有 C15C24种，对应的项为 C15×2x×C24×(－3x2)2； 所以含 x5 的项的系数为 C55×25＋C35×23×C12×(－3)＋C15×2×C42× (－3)2＝92.
二项式定理 经典课件(最新)
高中数学课件
[强化训练 4.1] (1)(2015 年高考·课标全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5 的展开式中，x5y2 的系数
为( )
A．10
B．20
C．30
D．60
(2)(2019 年内蒙古包头一模)(x2－x＋y)5 的展开式中，x4y3 的系数为( )
A．8
B．9
C．10
D．12
(3)(2019 年河南一模)(2x2＋x－1)5 的展开式中，x3 的系数为________．
【思路分析】
高中数学课件
【解析】 (1)二项展开式的通项是 Tr＋1＝C4r(x y)4－r·(－y x)r＝(－1)rC4rx4－2ry2＋2r，
令 4－2r＝2＋2r＝3，解得 r＝2，故展开式中 x3y3 的系数为(－1)2C42＝6.
(2)a＝πsinxdx＝(－cosx)|0π＝2，所以二项展开式的通项是 Tr＋1＝C6r(2 0
答案：(1)B (2)16 4
高中数学课件
高频考点 3 系数最大项问题
【例 3.1】 已知(3 x＋x2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x－1)n 的展开式的二项式 系数和大 992.
(1)求2x＋1x2n的二项式系数最大的项； (2)求2x＋1x2n的展开式系数最大的项．
高中数学课件
高频考点 4 特殊“三项式”(可化为二项式)的展开式
【例 4.1】
求2x＋1x＋
25(x>0)的展开式经整理后的常数项．
【解】
解法 1：2x＋1x＋
25在
x>0
时可化为
x＋ 2
1x10，因而
Tr＋1＝C10r
1 10－r 2
高考高考数学总复习 第十章 第3节 二项式定理课件
[解析] (1)∵(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 令 x＝0，得 a0＝1. 令 x＝1，则(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，∴n＝6， 又(1＋x)6 的展开式二项式系数最大项的系数最大， ∴(1＋x)6 的展开式系数最大项为 T4＝C63x3＝20x3. (2)由题意知，Cn2＝Cn6，∴n＝8.
A
14
【变式训练 1】 (1)(2015·潍坊调研)设二项式 x－31x5的展开
式中常数项为 A，则 A＝________． (2)(1＋x)8(1＋y)4 的展开式中 x2y2 的系数是________．
[解析] (1)Tr＋1＝C5r( x)5－r－31xr
＝(－1)rC5rx25－56r.
令52－56r＝0，得 r＝3. ∴常数项 A＝(－1)3C53＝－10.
A
22
【典例 3】 (1)(2015·济南模拟)已知(1＋ax)(1＋x)5 的展开式
中 x2 的系数为 5，则 a＝( )
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
(2)设 a∈Z，且 0≤a<13，若 512 012＋a 能被 13 整除，则 a＝
________．
[思路点拨] (1)x2 的系数来源于(1＋x)5 展开式中 x2 的系数和
二项式
递增的.
系数 Cnk
当 k>n＋2 1(n∈N*)时，是
递减的．
n 当 n 为偶数时，中间的一项 C2n
取得最大值.
n－1 当 n 为奇数时，中间的两项 C 2
n＋1
A n 与 C 2 n 取最大值.
4
3.各二项式系数和 (1)(a＋b)n 展开式的各二项式系数和：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn ＝2n．
高中数学《二项式定理》课件
03
二项式定理的证明
数学归纳法的应用
数学归纳法是一种证明数学命题的重 要方法，尤其在证明二项式定理时， 它能够通过有限步骤来证明无限递推 关系。
然后，通过假设当$n=k$时二项式定 理成立，推导出当$n=k+1$时二项 式定理也成立。
在二项式定理的证明中，数学归纳法 首先证明基础步骤，即当$n=0$或 $n=1$时，二项式定理成立。
二项式定理的推导
二项式定理推导思路
通过组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为组合数的形式，从而推导出二项式定理的 展开式。
二项式定理的推导过程
根据组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为C(n, k)的形式，其中k表示二项式中某一 项的次数。通过计算，可以得到二项式定理的展开式为C(n, 0) + C(n, 1)x + C(n, 2)x^2 + ... + C(n, n)x^n。
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同元素中取出m个元素和取出n-m个元素的 组合数相等。
组合数的性质2
C(n+1, m) = C(n, m-1) + C(n, m)，即从n+1个不同元素中取出m个元素的组 合数等于从n个不同元素中取出m-1个元素的组合数加上从n个不同元素中取出 m个元素的组合数。
详细描述
二项式定理的应用场景非常广泛。在多项式的展开中，二项式定理可以用来求解形如$(x+y)^n$的多项式的展开 结果。在组合数学中，二项式定理可以用来计算组合数和排列数等。在概率论中，二项式定理可以用来计算事件 的概率和期望值等。此外，二项式定理在统计学、物理、工程等领域也有广泛的应用。
02
二项式定理的推导过程
新高考2023版高考数学一轮总复习第10章第3讲二项式定理课件
Tk＋1＝Ck4xk(k＝0，1，2，3，4)， 故(1＋2x2)(1＋x)4 的展开式中 x3 的系数为 C34＋2C14＝12.故选 A．
(3)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含 y2 的项为 T3＝C25(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3 中含 x5 的项为 C13x4·x＝C13x5. 所以 x5y2 的系数为 C25C13＝30.故选 C． 另解：由乘法法则知 5 个因式中两个选 y 项，两个选 x2 项，一个选 x 项乘即可，∴x5y2 的系数为 C25C13＝30.
1．二项式定理中，通项公式 Tk＋1＝Cknan－kbk 是展开式的第 k＋1 项， 不是第 k 项．
2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在 Tk＋1 ＝Cknan－kbk 中，Ckn是该项的二项式系数，该项的系数还与 a，b 有关．
(2)二项式系数的最值和增减性与指数 n 的奇偶性有关．当 n 为偶数 时，中间一项的二项式系数最大；当 n 为奇数时，中间两项的二项式系 数相等，且同时取得最大值．
第十章
计数原理、概率、随机变量及其分布
第三讲 二项式定理
知识梳理·双基自测 考点突破·互动探究 名师讲坛·素养提升
知识梳理·双基自测
知识点一 二项式定理
(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N＋)．
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式，
又(1－2x)5(1＋3x)4 的展开式中按 x 升幂排列的第 3 项即展开式中 x2 项，
C05(－2x)0·C24(3x)2＋C15(－2x)·C14(3x)＋C25(－2x)2·C04(3x)0＝－26x2.
《二项式定理》ppt课件
பைடு நூலகம்
A.15
������ ������������
B.20������
-
������ ������
C.15
������
2
D.20
������ ������������
【解析】T3=������������ ������ ( ������) ( ) =15,故选 C.
4
������
2
10 (x- ������y) 的展开式中第 5 项的系数是( A ). A.840 B.-840 C.210 D.-210
二项展开式的通项和二项式系数 n 在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b) 的二 项展开式,展开式的第 r+1 项为 n-r r Tr+1=������������ a b (r=0,1,2…n),其中的系数 ������ 二项式系数 ������������ . ������ (r=0,1,2…n)叫作
������
������
n
于 37,求展开式中的第 5 项的系数.
������ ������ 【解析】由������������ ������ +������������ +������������ =37 得 1+n+ n(n-1)=37, ������ ������
得 n=8.
������������ 4 ������������ 4 ������ ������ 又∵T5=������������ ������(2x) = x ,∴该项的系数为 . ������ ������ ������
������ ������ b) +������������ (4a) (b) + ������ (4a) (b) + ������ ������ ������ ������ (4a) (1 3 2 2 3 1
A.15
������ ������������
B.20������
-
������ ������
C.15
������
2
D.20
������ ������������
【解析】T3=������������ ������ ( ������) ( ) =15,故选 C.
4
������
2
10 (x- ������y) 的展开式中第 5 项的系数是( A ). A.840 B.-840 C.210 D.-210
二项展开式的通项和二项式系数 n 在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b) 的二 项展开式,展开式的第 r+1 项为 n-r r Tr+1=������������ a b (r=0,1,2…n),其中的系数 ������ 二项式系数 ������������ . ������ (r=0,1,2…n)叫作
������
������
n
于 37,求展开式中的第 5 项的系数.
������ ������ 【解析】由������������ ������ +������������ +������������ =37 得 1+n+ n(n-1)=37, ������ ������
得 n=8.
������������ 4 ������������ 4 ������ ������ 又∵T5=������������ ������(2x) = x ,∴该项的系数为 . ������ ������ ������
������ ������ b) +������������ (4a) (b) + ������ (4a) (b) + ������ ������ ������ ������ (4a) (1 3 2 2 3 1
二项式定理ppt课件
$(a+b)^4$ 的中间项是 什么？
$(a-b)^5$ 的展开式中 ，$a^4$ 的系数是多少
？
深化习题
01
02
03
04
深化习题1
利用二项式定理展开 $(a+b)^5$，并找出所有项
的系数。
深化习题2
求 $(a+b+c)^3$ 的展开式中 $a^2b$ 的系数。
深化习题3
利用二项式定理证明 $(a+b)^n$ 的展开式中，中
组合数学是研究组合问题的一 门数学分支，与二项式定理密 切相关。
在二项式定理的推导过程中， 组合数学原理提供了组合数的 计算方法和组合公式的应用。
通过组合数的计算，我们可以 得到二项式展开的各项系数， 进一步验证二项式定理的正确 性。
幂级数的展开与收敛
幂级数是数学分析中的重要概念 ，与二项式定理的推导密切相关
微积分中的应用
二项式定理在微积分中有着广泛的应用，如在求极限、求导和积分等运算中。
概率论中的应用
在概率论中，二项式定理可以用于计算组合数学中的一些概率分布，如二项分 布和超几何分布等。
05
习题与思考题
基础习题
基础习题1
基础习题2
基础习题3
基础习题4
$(a+b)^2$ 的展开式是 什么？
$(a-b)^3$ 的展开式是 什么？
概率分布
利用二项式定理，可以推 导二项分布的概率分布函 数和概率密度函数。
概率推断
在贝叶斯推断中，二项式 定理可以用于计算后验概 率和预测概率。Leabharlann 二项式定理在组合数学中的应用
01
组合数的计算
利用二项式定理，可以计算组合数$C(n, k)$，即从n个不同元素中取出
高考数学一轮复习 10.2二项式定理课件
1.已知
x
展1x 开7 式的第4项等于5,则x等于 (
)
A. 1 B.1- C.7 D.-7
7
7
答案 B 由T4= xC437 =51x得3x=- ,故17选B.
2.在 x的 二2x 项n 展开式中,若常数项为60,则n等于 (
)
A.3 B.6 C.9 D.12
r N.
令 10 =2kr(k∈Z),则10-2r=3k,
3
即r=5- 3 k.
2
∵r∈N,且0≤r≤10,
∴k可取2,0,-2,即r可取2,5,8.
∴第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为
C120
x122, 2
C,15 0
1 2
5
x-2. C180
1-1 已知在 3 x的 展231开x 式n 中,第6项为常数项.
(1)求n;
(2)求含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
解析 (1)通项公式为
nr
Tr+1= Crn x 3
12= r x
r 3
Crn,
1 2
r
n2r
大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m= (
)
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 解析
(1)C (2)B
a r
1
(1)Tr+1= C·7r(2x)7-r· x=27-r aCr·7r .x令2r27r-7=3,则r=5.由22· a5=C8457 得
答案
B
通项Tr+1= (C rn)n-r·x