2012年黄冈中学预录数学考试试题及答案

2012年黄冈中学预录数学考试试题

考试时间120分钟 满分120分

温馨提示：1. 所有题目的答案必须填涂到答题卡上，答在试卷上无效；

2. 如果考试过程中遇到不会做的题，你可以暂时跳过．合理安排好时间才能考出好的成绩，祝同学们考试顺利！

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，四个选项中只有一项是正确的） 1．由四个相同的小正方体搭建了一个积木，它的三视图如图所示，则这个积木可能是（ ）．

A B

C D

2

、黄冈市地处湖北省东部，大别山南麓，长江北岸，下辖一区七县两市，总人口740万人，人口总数用科学记数法表示为（ ）

A ．70.4×105人

B ．7.4×106人

C ．7.4×105人

D ．7.4×104人

3. 已知一元二次方程x 2－4x +3=0两根为x 1、x 2, 则x 1·x 2= （ ）

A. 4

B. 3

C. －4

D. －3

4．下列四个点中，有三个点同在反比例函数x k

y =

的图象上，则不在这个函数图象上的点是 ( )A ．(5，1) B ．(－3，35-) C ．(3

5

，3) D ．(－1，5)

5．如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点'B ，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 3π B. 6π C. 5π D. 4π

6.已知函数31++

-=x x y 的最大值为M,最小值为m ,则

M

m

的值为( ) A.

41 B.2

1

C.22

D.23

7.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l 是函数y ＝－3x 的图象，点A 的坐标为(1,0)，在直线l 上找一个点N ，使△ONA 是等腰三角形，则符合条件的点N 的个数是( )

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

8. 警方抓获一个由甲、乙、丙、丁四人组成的盗窃团伙，其中有一人是主谋．经过审讯，A 、B 、C 三名警察各自得出结论，A ：主谋只有可能是甲或乙； B ：甲不可能是主谋；C ：乙和丙都不可能是主谋．已知三名警察中只有一人推测正确，则主谋是（ ） A ．甲 B.乙 C.丙 D.丁

9. 团结号列车上午7:45从甲地出发开往乙地，胜利号列车上午8:15从乙地出发开往甲地.两车中途相遇，团结号在相遇后40分钟抵达乙地，胜利号在相遇后1小时40分抵达甲地，假设两列火车全程以各自的速度匀速行驶，则两列火车相遇的时刻为（ ） A ．上午8:50 B.上午8:55 C.上午9:00 D.上午9:05

10. 用1，2，3，4，5五个数码可以组成120个无重复数字的五位数，则这120个五位数之和为（ ）A ．3999960 B.6999990 C.3666690 D.6333390 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11.已知12x x +

=，则221

x x

+= . 12.如图，将等腰直角△ABC 沿斜边BC 方向平移得到△A 1B 1C 1．若

BC=ABC 与△A 1B 1C 1重叠部分面积为2，则BB 1= _________ ．

13.已知二次函数2

23y x x =-+,当0x m ≤≤时，y 最大值为3,最小值为2,则m 的取值范围是 . 14.有一列具有规律的数字：

1111

,,,, (261220)

则这列数字前100个数之和为 15.信息安全逐渐成为社会热点问题，我们为了通信安全，通常会按一定规则将通讯内容（明文）加密成密文，再将密文传输给接收者，接收者再将密文还原成明文.已知按某种规则将明文“WELCOME TO OUR SCHOOL”加密成“ZBOZRJH QR LXO VZKLRI”，若接收者接收到密文“JLRA ORFH”，则明文为

16.某次数学考试以65分为及格分数线，全班总平均分为66分，所有成绩及格的学生的平均分为71分，所有成绩不及格的学生的平均分为56分；为了减少不及格的人数，老师给每个学生的成绩都加5分，加分之后，所有成绩及格的学生的平均分为75分，所有成绩不及格的学生的平均分为59分．已知该班学生人数介于15至30人之间，则该班的学生人数总共有 人

三、解答题（本大题共6个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（8分）如图所示，两圆12,O O 相交于PQ 两点，过P 点有两条直线AB 、CD ，直线AB 分别与两圆12,O O 交于点A 、B （A 、B 在P 点两侧），直线CD 分别与两圆12,O O 交

1

1

于点C 、D （C 、D 在P 点两侧），直线AC 与BD 交于点E. （1）证明：AQC BQD ∠=∠； （2）若120AQB ∠=?，求E ∠．

18.（9分）已知12,x x 是方程22

(2)350x k x k k --+++=的实数根（12,x x 可相等） （1）证明方程的两根都小于0；

（2）当实数k 取何值时22

12x x +最大? 并求出最大值．

19.（9分）不等式2

2

2

2

2

()()()a b c d ac bd ++≥+称为柯西不等式，其中,,,a b c d 都是实数 （1）证明柯西不等式；

（2）若22

326x y +≤

，求证：|23|x y +≤

20．（15分）已知抛物线C ：2

14

y x =

，直线:1l y kx =+（k 为任意实数）

．直线l 与y 轴交于点F ，与抛物线C 交于A 、B 两点，直线:1m y =-，过A 、B 两点分别作m 的垂线，垂足分别为11,A B ．

（1）证明：1AFA ?、1BFB ?

（2）证明：11A FB ?（3）以点F 为圆心，半径为1D 两点（A 、C 在y 轴同侧），|AC 线段AC 、BD 的长度，求|||AC

21、（15分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，AC ：BC=4：3，点P 从点A 出发沿AB 方向向点B 运动，速度为1cm/s ，同时点Q 从点B 出发沿B→C→A 方向向点A 运动，速度为2cm/s ，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设点P 的运动时间为x （秒）.

（1）设△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变

量x的取值范围；

（2）x为何值时，△PBQ的面积最大？并求出最大值；

（3）当点Q在BC上运动时，线段PQ上是否存在一个点T，使得在某个时刻△ACT、△ABT、△BCT的面积均相等（无需计算，说明理由即可）．

22.（10分）函数[]x称为高斯函数，它表示不超过x的最大整数，例如[5.3]5

=，[ 2.4]3

-=-，[4]4

=.对任意的实数x，1[]

x x x

-<≤.

（1）证明：对于任意实数x，有

1

[][][2]

2

x x x

++=；

（2）解方程：

56157 []

85

x x

+-

=.

数学考试答案

11． 2 12． 13． 12m ≤≤

14．

100

101

15． GOOD LUCK 16． 24 三、解答题（本大题共6个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）如图所示，两圆12,O O 相交于PQ 两点，过P 点有两条直线AB 、CD ，直线AB 分别与两圆12,O O 交于点A 、B （A 、B 在P 点两侧），直线CD 分别与两圆12,O O 交于点C 、D （C 、D 在P 点两侧），直线AC 与BD 交于点E

（1）证明：AQC BQD ∠=∠；（3分） （2）若120AQB ∠=?，求E ∠．（5分）

解答：

（1）证明：由圆周角定理可得∠AQC=∠APC ，∠BQD=∠BPD 而∠APC=∠BPD ，故∠AQC=∠BQD （3分） （2）联接PQ ，∠E=∠ACD —∠EDC 由圆周角定理∠EDC=∠BQP 因为CPQA 四点共圆

所以∠ACD=180°—∠AQP

即∠E=（180°—∠AQP ）—∠BQP =180°—（∠AQP+∠BQP

=180°—∠AQB =60° （8分）

18．（9分）已知12,x x 是方程2

2

(2)350x k x k k --+++=的实数根（12,x x 可相等） （1）证明方程的两根都小于0；（4分）

（2）当实数k 取何值时22

12x x +最大? 并求出最大值．（5分）

解答：（1）证明：已知方程有两个实数根，则0?≥，即：

222(2)4(35)316160k k k k k --++=---≥，解得：4

43k -≤≤- ．．（2分）

由韦达定理 2

2121231120,35()024

x x k x x k k k +=-<=++=++

>，

所以两根都小于0 ．．．．．．．．．．．．．（4分）

（2）

22

22212121222()2(2)2(35)

106(5)19

x x x x x x k k k k k k +=+-=--++=---=-++ ．．．．．．（6分）

又∵443

k -≤≤-

，当4k =-时，22

12x x +有最大值18 ．．．．．．．．．．．．（9分） 19．（9分）不等式2

2

2

2

2

()()()a b c d ac bd ++≥+称为柯西不等式，其中,,,a b c d 都是实数

（1）证明柯西不等式；（4分）

（2）若22

326x y +≤

，求证：|23|x y +≤（5分）

解答：（1）证明：

2222222222222222222222()()()()(2)

2()0

a b c d ac bd a c a d b c b d a c abcd b d a d abcd b c ad bc ++-+=+++-++=-+=-≥

∴2

2

2

2

2

()()()a b c d ac bd ++≥+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分） （2）证明：

222222(23)32)2

][(3))]35

6356

x y x y x +=+≤++≤?=

∴|23|x y +≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（9分） 20．（15分）已知抛物线C ：2

14

y x =

，直线:1l y kx =+，k 为任意实数．直线l 与y 轴交于点F ，与抛物线C 交于A 、B

足分别为11,A B ．

（1）证明：1AFA ?、1BFB ?（2）证明：11A FB ?是直角三角形； （3）以点F 为圆心，半径为1点（A 、C 在y 轴同侧），||,||AC BD BD 的长度，求||||AC BD ． （5分）

解答：

（1）证明：设直线l 与抛物线C 的两交点坐标1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程

214

1

y x y kx ?

=???=+?得2

440x kx --= 由韦达定理12124,4x x k x x +==- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）

11||1,||AA y AF =+=2114x y =

∴11||1||AF y AA =

==+=

故1AFA ?是等腰三角形，同理可证1BFB ?是等腰三角形．．．．．．．．．．．．．．．．（5分） （2）∵1AFA ?是等腰三角形， 11AA F AFA ∠=∠ ∴111802

A AF

AFA ?-∠∠=

同理111802

B BF

BFB ?-∠∠=

，

故1111360()

2

A AF

B BF AFA BFB ?-∠+∠∠+∠=

又知直线11,AA BB 平行，故11180A AF B BF ∠+∠=? 则1190AFA BFB ∠+∠=?，

∴1190A FB ∠=?，11A FB ?是直角三角形 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）

（3）∵11||||1||1AC AF AA y =-=-= 12||||1||1BD BF BB y =-=-=

∴2221212111

||||(4)14416

AC BD y y x x ==

=-=．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（15分） 21、（15分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，AC ：BC=4：3，点P 从点A 出发

沿AB 方向向点B 运动，速度为1cm/s ，同时点Q 从点B 出发沿B→C→A 方向向点A 运动，速度为2cm/s ，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设点P 的运动时间为x （秒）． （1）设△PBQ 的面积为y （cm 2），当△PBQ 存在时，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （6分）

（2）x 为何值时，△PBQ 的面积最大？并求最大值 （5分）

（3）当点Q 在BC 上运动时，线段PQ 上是否存在一个点T ，使得在某个时刻△ACT 、△ABT 、△BCT 的面积均相等（无需计算，说明理由即可）．（4分）

解答：（1）设AC=4x ，BC=3x ，在Rt △ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2，即：（4x ）2+（3x ）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm ，BC=6cm ；①当点Q 在边BC 上运动时，过点Q 作QH ⊥AB 于H ，

∵AP=x ，∴BP=10﹣x ，BQ=2x ，∵△QHB ∽△ACB ， ∴

QH QB AC AB =

，∴QH=85x ，y=12BP?QH=12（10﹣x ）?85x=﹣4

5

x 2+8x （0＜x≤3）， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分） ②当点Q 在边CA 上运动时，过点Q 作QH′⊥AB 于H′， ∵AP=x ，∴BP=10﹣x ，AQ=14﹣2x ，∵△AQH′∽△ABC ，

∴'AQ QH AB BC =，即：'142106x QH -=，解得：QH′=3

5

（14﹣2x ）， ∴y=

12PB?QH′=12（10﹣x ）?35（14﹣2x ）=2351

4255

x x -+（3＜x ＜7）；．．．．．．．．．（6分）

∴y 与x 的函数关系式为：y=2

248(03)5

35142(37)5

5x x x x x x ?-+<≤????-+<

（2）解:①当Q 在边BC 上时，03x <≤，2244

8(5)2055

y x x x =-+=--+

则当3x =时，y 有最大值

84

5

……………．（8分） ②当Q 在边AC 上时，37x ≤<，2235131727

42()555220

y x x x =-+=--，

则当3x =时，y 有最大值84

5，综上可得，当Q 在点C 时，

即3x =时△PBQ 的面积最大为84

5

…（11分）

（3）存在，当T 为△ABC 的重心时，满足△ACT 、△ABT 、△

BCT 的面积均相等， 作AB 上的中线CD ，T 在CD 的三等分点上， 当0x =时PQ 与CD 的交点为D ，

当3x =时PQ 与CD 的交点为C ，当03x <<时，点P 始终在CD 左侧，点Q 始终在CD 右侧，PQ 与CD 的交点由D →C ，必然在某个时刻经过点T ，所以线段PQ 上存在一个点T ，使

A

B

P

Q

A

B

Q

T

T C

B

A

0Q 01Q 1

2Q 2

得在某个时刻△ACT 、△ABT 、△BCT 的面积均相等.…（15分）

22．（10分）函数[]x 称为高斯函数，它表示不超过x 的最大整数，例如[5.3]5=，

[ 2.4]3-=- ，[4]4=．对任意的实数x ，1[]x x x -<≤．

（1）证明：对于任意实数x ，有1

[][][2]2

x x x ++=；（5分） （2）解方程：56157

[

]85

x x +-=

． （5分） 解答：（1）证明：设[]x x m =+，m 为小数部分，满足01m ≤<，设[]x n =，

①102m ≤<

时 11

[],[],[][]222

x n x n x x n =+=++=， 22[]2x x m =+，∵021m ≤<，∴[2][2[]2][22]2x x m n m n =+=+=，

∴1[][][2]2

x x x ++= ……（2分） ②

112m <<时 11

[],[]1,[][]2122

x n x n x x n =+=+++=+， 22[]2x x m =+，∵21m >，∴[2][2[]2][22]21x x m n m n =+=+=+，

∴1

[][][2]2

x x x ++=，

综上所述，对于任意实数x ，有1[][][2]2

x x x ++=……………………….（5分）

（2）设 56157[

]85x x k +-==，k 为整数，∵1575x k -=，∴57

15

k x +=

则3925610395[][][]8840k x k k +

++===，由高斯函数性质： 1039103910391[]404040k k k +++-<≤，即10391039

14040k k k ++-<≤

….（8分） 解得1133010k -<≤，且k 为整数，故k 的值只能为0,1，0k =时，715

x =经检验满足方程

1k =时，12

15

x =经检验满足方程：

所以方程的解为715x =或12

15

x =…………………………….………………………….（10分）