(安徽专版)2020年中考数学复习第三单元函数及其图象第13课时二次函数的综合应用课件
3. [2019·上海]在平面直角坐标系xOy中(如图13-8),已知抛物线y=x2-2x,其顶
点为A.
(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标,并说明它的变化情况.
(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”.
①试求抛物线y=x2-2x的“不动点”的坐标;
②平移抛物线y=x2-2x,使所得新抛物线的
图13-8
解: (2)①设抛物线“不动点”的坐标为(t,t),则t=t2-2t,解得:t=0或t=3, 故抛物线y=x2-2x“不动点”的坐标为(0,0)或(3,3). ②∵新抛物线的顶点B为“不动点”,∴设点B(m,m), ∴新抛物线的对称轴为直线x=m,与x轴的交点C(m,0), ∵四边形OABC是梯形,∴直线x=m在y轴左侧, ∵BC与OA不平行,∴OC∥AB, 又∵点A(1,-1),点B(m,m),∴m=-1, 故新抛物线是由抛物线y=x2-2x向左平移2个单位得到的, ∴新抛物线的表达式为y=(x+1)2-1.
| 考向精练 |
[答案] B
2. [2014·安徽22题] 若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两 个二次函数为“同簇二次函数”. (1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数; (2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5,其中y1的图象经 过点A(1,1),若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求出当0≤x≤3 时, y2的最大值.
考点二 二次函数“新定义”型问题解题策略
“新定义”型问题,一般是在问题中定义了我们没有学过的一些概念、新运算、 新符号,要求同学们读懂题意并结合已有知识进行理解,根据新定义进行运算, 推理,迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学的热点.同学们在复 习备考中应重视应用新的知识解决问题的能力培养.解决“新定义”型函数问题 关键要把握两点:一是掌握问题原型中函数的性质特点及其问题解决的思想方 法;二是根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移.
例2 [2019·荆州]若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点在一次函数y=kx+t (k≠0)的图象上,则称y=ax2+bx+c(a≠0)为y=kx+t(k≠0)的伴随函数,如: y=x2+1是 y=x+1的伴随函数. (2)若函数y=mx-3(m≠0)的伴随函数y=x2+2x+n的图象与x轴两个交点间的距离 为4,求m,n的值.
图13-7
考向二 新定义背景下的二次函数性质题
例2 [2019·荆州]若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点在一次函数y=kx+t (k≠0)的图象上,则称y=ax2+bx+c(a≠0)为y=kx+t(k≠0)的伴随函数,如: y=x2+1是 y=x+1的伴随函数. (1)若y=x2-4是y=-x+p的伴随函数,求直线y=-x+p与两坐标轴围成的三角形的面 积; (2)若函数y=mx-3(m≠0)的伴随函数y=x2+2x+n的图象与x轴两个交点间的距离 为4,求m,n的值.
பைடு நூலகம்第 13 课时
二次函数的综合应用
【考情分析】 考点 年份 题号 题型 分值
热度预测
二次函数的综合应用
2016
2014
22
22
解答题
解答题
12分
12分
★★★★★
考点聚焦
考点一 解二次函数与几何综合题的一般思路
图13-1 注意: (1)研究函数表达式.二次函数关注四点一线,一次函数关注k,b;(2)关键点 坐标转化为线段长.找特殊图形、特殊位置关系,寻求边和角度信息.
例1 已知:二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(-
3,0),与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出
PA+PD的最小值;
(3)若抛物线上有一动点P,使三角形ABP
的面积为6,求P点坐标.
图13-4
例1 已知:二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(3,0),与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上. (2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值;
图13-4
例1 已知:二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(3,0),与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上. (3)若抛物线上有一动点P,使三角形ABP的面积为6,求P点坐标.
图13-4
| 考向精练 | 图13-5
[答案] B
2. [2016·安徽22题] 如图13-6,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与 B(6,0). (1)求a,b的值; (2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四 边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.
解:(1)答案不唯一,如顶点是坐标原点、开口向上的二次函数:y1=x2和y2=2x2.
2. [2014·安徽22题] 若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两 个二次函数为“同簇二次函数”. (2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5,其中y1的图象经 过点A(1,1),若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求出当0≤x≤3 时, y2的最大值.
顶点B是该抛物线的“不动点”,其对称轴
与x轴交于点C,且四边形OABC是梯形,求
新抛物线的表达式.
图13-8
解:(1)该抛物线开口向上,顶点A的坐标为(1,-1),抛物线的变化情况是:在对称 轴左侧部分是下降的,右侧部分是上升的.
3. [2019·上海]在平面直角坐标系xOy中(如图13-8),已知抛物线y=x2-2x,其顶 点为A. (2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”. ①试求抛物线y=x2-2x的“不动点”的坐标; ②平移抛物线y=x2-2x,使所得新抛物线的 顶点B是该抛物线的“不动点”,其对称轴 与x轴交于点C,且四边形OABC是梯形,求 新抛物线的表达式.
3.二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交 于A,B两点,P为它的顶点,则S△PAB= .
[答案] 8
4.如图13-3,抛物线y=ax2-4和y=-ax2+4都经过x轴上的A,B两点,两条抛物线的
顶点分别为C,D.当四边形ACBD的面积为40时,a的值为
.
图13-3
[答案] 0.16
考向一 二次函数与几何图形的简单综合
对点演练
题组 必会题
[答案] A
图13-2
[答案] D [解析]当y=0时,-x2+x+6=0,解得x1=-2,x2=3,则A(-2,0),B(3,0), 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为 y=(x+2)(x-3), 即y=x2-x-6(-2≤x≤3),当直线y=-x+m经过点(-2,0)时,2+m=0,解得m=-2; 当直线y=-x+m与抛物线y=x2-x-6(-2≤x≤3)有唯一公共点时,方程x2-x-6=-x+m有 相等的实数解,解得m=-6,所以当直线y=-x+m与新图象有4个交点时,m的取值 范围为-6<m<-2.故选D.
图13-6
2. [2016·安徽22题] 如图13-6,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与 B(6,0). (2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四 边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.
图13-6
图13-7
安徽中考数学复习课件 第三章函数及其图象 第13讲 二次函数的应用
(1)求y与x之间的函数表达式； (2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润 ＝收入－成本)； (3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价 为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
考点2
用二次函数解决实际问题
1．在现实的生活生产中存在着很多有关二次函数的实际问题，我 们要善于通过分析实际问题中的数量关系，尤其是两个变量之间的 函数关系，建立二次函数的模型，从而用二次函数解决有关的实际 问题． 2．建立起实际问题中的二次函数关系后，要注意根据实际问题确 定其自变量的取值范围．
归纳►二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解 题意，利用二次函数解决实际问题．应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利 润、最节省方案等问题.
命题趋势►二次函数的应用注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决 实际问题能力的考察．近六年安徽中考中，本知识点命题难度较大， 预测►二次函数的实际应用仍将作为重难点考查，题型以解答题为主．
∴AE＝2BE. 设BE＝FC＝a，则AE＝HG＝DF＝2a.
∵DF＋FC＋HG＋AE＋EB＋EF＋BC＝80，即8a＋
2x＝80， 1 ∴a＝－ x＋10. 4 3 ∴y＝3ax＝－ x2＋30x. 4
1 ∵a＝－ x＋10＞0， 4 3 ∴x＜40，则y＝－ x2＋30x(0＜x＜40)； 4 3 2 3 (2)∵y＝－ x ＋30x＝－ (x－20)2＋300(0＜x＜40)，且二次项系 4 3 4 数为－ ＜0， 4 ∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300平方米．
命题点1
二次函数在营销问题方面的应用
(安徽专版)中考数学复习 第三单元 函数及其图象 课时训练13 二次函数的综合应用-人教版初中九年级
课时训练(十三)二次函数的综合应用(限时:90分钟)|夯实基础|1.[2018·襄阳] 已知二次函数y=x 2-x+14m-1的图象与x 轴有交点,则m 的取值X 围是 () A .m ≤5B .m ≥2C .m<5D .m>22.二次函数y=-x 2+mx 的图象如图K13-1,对称轴为直线x=2,若关于x 的一元二次方程-x 2+mx-t=0(t 为实数)在1<x<5的X 围内有解,则t 的取值X 围是 ()图K13-1A .t>-5B .-5<t<3C .3<t ≤4D .-5<t ≤43.[2019·某某]如图K13-2,在平面直角坐标系内,已知点A (-1,0),点B (1,1)都在直线y=12x+12上,若抛物线y=ax 2-x+1(a ≠0)与线段AB 有两个不同的交点,则a 的取值X 围是()图K13-2A .a ≤-2B .a<98C .1≤a<98或a ≤-2D .-2≤a<984.[2019·某某] 如图K13-3,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2-2ax+83(a>0)与y 轴交于点A ,过A 作x 轴的平行线交抛物线于点M ,P 为抛物线的顶点,若直线OP 交直线AM 于点B ,且M 为线段AB 的中点,则a 的值为.图K13-35.如图K13-4,四边形OABC 是边长为1的正方形,OC 与x 轴正半轴的夹角为15°,点B 在抛物线y=ax 2(a<0)的图象上,则a的值为.图K13-4(m<0) 6.[2018·日照] 在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点.已知反比例函数y=mm与y=x2-4在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数为2,则实数m的取值X围为.7.已知抛物线p:y=ax2+bx+c的顶点为C,与x轴相交于A,B两点(点A在点B左侧),点C关于x轴的对称点为C',我们称以A为顶点且过点C',对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线,直线AC'为抛物线p的“梦之星”直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2,则这条抛物线的解析式为.8.阅读材料:如图K13-5①,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽(a)”,中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.种计算三角形面积的新方法:S△ABC=12图K13-5解答下列问题:如图②,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式.(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连接PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及S△CAB.S△CAB?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.(3)是否存在一点P,使S△PAB=98|拓展提升|9.[2019·某某] 如图K13-6,坐标平面上有一顶点为A的抛物线,此抛物线与函数y=2的图象交于B,C两点,△ABC为正三角形.若A点坐标为(-3,0),则此抛物线与y轴的交点坐标为()图K13-6A.0,92B.0,272C.(0,9)D.(0,19)10.[2019·潍坊]如图K13-7,直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+5交于A,B两点,点P是y轴上的一个动点,当△PAB 的周长最小时,S△PAB=.图K13-711.[2019·某某二模]如图K13-8,已知直线y=x+1与抛物线y=ax2+2x+c相交于A(-1,0)和B(2,m)两点.(1)求抛物线的函数表达式.(2)若点P是位于直线AB上方抛物线上的一动点,当△PAB的面积S最大时,求此时△PAB的面积S及点P的坐标.(3)在x轴上是否存在点Q,使△QAB是等腰三角形?若存在,直接写出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.图K13-8【参考答案】1.A[解析]∵二次函数的图象与x 轴有交点, ∴Δ=b 2-4ac=(-1)2-4×14m-1≥0,解得m ≤5.故选A .2.D[解析]如图,由图易得二次函数解析式为y=-x 2+4x.关于x 的一元二次方程-x 2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x 2+mx 与直线y=t 的交点的横坐标,当x=1时,y=3,当x=5时,y=-5,由图象可知关于x 的一元二次方程-x 2+mx-t=0(t 为实数)在1<x<5的X 围内有解,直线y=t 在直线y=-5和直线y=4之间(包括直线y=4),∴-5<t ≤4.3.C[解析]∵抛物线y=ax 2-x+1(a ≠0)与线段AB 有两个不同的交点,∴令12x+12=ax 2-x+1,则2ax 2-3x+1=0,∴Δ=9-8a>0,∴a<98.①当a<0时,{m +1+1≤0,m -1+1≤1,解得:a ≤-2,∴a ≤-2;②当a>0时,{m +1+1≥0,m -1+1≥1,解得:a ≥1,∴1≤a<98.综上所述,1≤a<98或a ≤-2,故选C .4.2[解析]由抛物线解析式得A 0,83,点P 的横坐标为1,根据对称关系求得M 2,83,∵M 为线段AB 的中点,∴B 4,83,设直线OB 的解析式为y=kx ,将点B 的坐标代入直线OB 的解析式中,求得其解析式为y=23x ,再由顶点坐标公式求得P 1,-a+83,代入y=23x ,可得a=2.5.-√23[解析]如图,连接OB ,过B 作BD ⊥x 轴于D ,则∠BOC=45°,∠BOD=30°.已知正方形的边长为1,则OB=√2.在Rt △OBD 中,OB=√2,∠BOD=30°,则:BD=12OB=√22,OD=√32OB=√62,故B√62,-√22,代入抛物线的解析式中,得:√622a=-√22,解得a=-√23.6.-2≤m<-1[解析]当x=1时,y=x 2-4=1-4=-3.所以第四象限内在二次函数y=x 2-4的图象上和图象上方的整点有3个,坐标为(1,-1),(1,-2),(1,-3).当反比例函数y=mm (m<0)的图象经过点(1,-2),即m=xy=-2时,在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数有2个,当反比例函数y=mm (m<0)的图象经过点(1,-1),即m=xy=-1时,在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数有3个,∵在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数有2个,∴m 的取值X 围为-2≤m<-1.7.y=x 2-2x-3[解析]抛物线y=x 2+2x+1=(x+1)2,其顶点坐标为A (-1,0),当x 2+2x+1=2x+2时,解得x 1=-1,x 2=1,把x 2=1代入y=2x+2,得y=4,∴C'(1,4),又点C 与点C'关于x 轴对称,∴C (1,-4),即原抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为(1,-4),设该抛物线的解析式为y=a (x-1)2-4,把A (-1,0)代入,得0=4a-4,解得a=1,∴y=(x-1)2-4,即y=x 2-2x-3.故答案为y=x 2-2x-3.8.解:(1)设抛物线的解析式为y 1=a (x-1)2+4, 把A (3,0)代入解析式求得a=-1, 所以y 1=-(x-1)2+4=-x 2+2x+3, 设直线AB 的解析式为y 2=kx+b , 由y 1=-x 2+2x+3求得B 点的坐标为(0,3), 把A (3,0),B (0,3)代入y 2=kx+b 中, 解得:k=-1,b=3,所以y 2=-x+3. (2)因为C 点坐标为(1,4),所以当x=1时,y 1=4,y 2=2,所以CD=4-2=2,S △CAB =12×3×2=3(平方单位).(3)假设存在符合条件的点P ,设P 点的横坐标为x ,△PAB 的铅垂高为h , 则h=y 1-y 2=(-x 2+2x+3)-(-x+3)=-x 2+3x , 由S △PAB =98S △CAB ,得12×3×(-x 2+3x )=98×3, 化简得4x 2-12x+9=0,解得x=32,将x=32代入y 1=-x 2+2x+3中,解得P 点坐标为32,154.9.B[解析]设B (-3-m ,2),C (-3+m ,2)(m>0), ∴BC=2m ,过A 作AD ⊥BC 于D ,则AD=2,∠DAC=30°, ∴CD=m=2√33,∴C -3+2√33,2.设抛物线解析式为y=a (x+3)2, ∴a -3+2√33+32=2,∴a=32,∴y=32(x+3)2, 当x=0时,y=272,故选B .10.125[解析]由x+1=x 2-4x+5,得x 1=1,x 2=4,分别代入y=x+1,得y 1=2,y 2=5, ∴A (1,2),B (4,5).作点A 关于y 轴的对称点A',连接A'B 与y 轴交于点P ,此时△PAB 的周长最小,点A'的坐标为(-1,2). 设直线A'B 的函数解析式为y=kx+b ,有{-m +m =2,4m +m =5,解得{m =35,m =135,∴直线A'B 的函数解析式为y=35x+135,与y 轴的交点P 的坐标为0,135.直线y=x+1与y 轴的交点C 的坐标为(0,1),则PC=135-1=85,于是S △PAB =S △PBC -S △PAC =12×85×4-12×85×1=165-45=125. 11.解:(1)∵点B (2,m )在直线y=x+1上, ∴m=2+1=3,∴点B 的坐标为(2,3).∵点A (-1,0)和点B (2,3)在抛物线y=ax 2+2x+c 上,∴{m -2+m =0,4m +4+m =3,解得{m =-1,m =3,∴抛物线的函数表达式为y=-x 2+2x+3.(2)如图,过点P 作PM ⊥x 轴于点M ,交AB 于点N ,设点P 的坐标为(m ,-m 2+2m+3), 则点N 的坐标为(m ,m+1), ∵点P 位于直线AB 上方, ∴PN=-m 2+2m+3-(m+1)=-m 2+m+2. ∴△PAB 的面积S=S △PAN +S △PBN=12×(-m 2+m+2)(m+1)+12×(-m 2+m+2)·(2-m )=12(-m 2+m+2)(m+1+2-m )=32(-m 2+m+2)=-32m-122+278,∵-32<0,∴抛物线开口向下,又-1<m<2,∴当m=12时, △PAB 的面积S 有最大值, 最大值是278. 此时点P 的坐标为12,154.(3)存在,点Q 的坐标为(-3√2-1,0)或(3√2-1,0)或(5,0)或(2,0).。
中考(安徽地区)数学复习(课件)3.4 二次函数 (安徽)
②4a+2b+c＞0 ④ 1＜a＜2
33
A.①③
B.①③④
C.②④⑤
D.①③④⑤
【解析】此题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系.①中，∵函数
图象开口向上，∴a＞0，对称轴在y轴右侧，故ab异号，抛物线与y轴交点在y
轴负半轴，∴c＜0.∴abc＞0，故①正确.②中，∵二次函数图象与x轴的一个交
b 2a
,
4ac 4a
b2
增减性 最值
当x＜ b 时，y随x增大而减小；当x＞ b
2a
2a
时，y随x增大而增大.
当x=
b 2a
时，y有最小值
4ac b2 4a
当x＜ b 时，y随x增大而增大；当x＞ b
2a
2a
时，y随x增大而减小.
当x=
b 2a
时，y有最大值
3.4.5 二次函数图象的平移
y=ax2
向
(h 0)
左 加
右平 移
|h|
右 减
、个 左单
（位
h0
）
y=a(x-h)2
上加下减 向上（k＞0）、下（k＜0）
平移|k|个单位
上加下减 向上（k＞0）、下（k＜0）
平移|k|个单位
y=ax2+k
向 右平 左 移 加 右 、个 减 左单 （位
）
y=a(x-h)2+k
1.a的作用：决定开口的方向和大小 （1）a＞0，开口向上，a＜0开口向下. （2）|a|越大，抛物线开口越小，|a|越小，抛物线开口越大. 2.b的作用：决定顶点的位置. （1）a，b同号，对称轴在y轴左侧. （2）a，b异号，对称轴在y轴右侧. （3）b＝0，对称轴为y轴.
2020年中考数学1轮专题复习课件-第3章第13讲二次函数的综合与应用PPT课件
解：∵抛物线 y＝12x2－x＋a 顶点的横坐标为 x＝1， 抛物线的顶点在直线 y＝－2x 上，
∴把 x＝1 代入 y＝－2x，得 y＝－2， ∴抛物线的顶点为(1，－2)， ∴－2＝12×12－1＋a，解得 a＝－32.
(2)A，B两点的坐标.
解：∵a＝－32， ∴抛物线的解析式为 y＝12x2－x－32. 代入 y＝0，解得 x1＝－1，x2＝3， ∴A，B 两点的坐标分别是(－1，0)，(3，0)．
考点三 与面积有关的问题 3．(2019·甘肃)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的
图象与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
解：将点 A(1，0)与点 B(3，0)分别代入二次函数 y
＝x2＋bx＋c， 得19＋ ＋b3＋ b＋c＝c＝0， 0，解得bc＝＝3－. 4， ∴二次函数的解析式为 y＝x2－4x＋3.
解：设点 Q(4，s)，点 Pm，－12m2＋4m－5. ①当 AM 是平行四边形的一条边时，将点 A 向左平移 2 个单位长度，向下平移 4 个单位长度得到点 M， ∴将 Pm，－21m2＋4m－5向左平移 2 个单位长度，向下 平移 4 个单位长度得到点 Q(4，s)， 即 m－2＝4，－12m2＋4m－5－4＝s， 解得 m＝6，s＝－3，∴－12m2＋4m－5＝1. ∴点 P，Q 的坐标分别为(6，1)，(4，－3)．
(2)若点 P 在抛物线上，点 Q 在 x 轴上，当以点 A，M，
P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的
点 P 的坐标． 解：设点 Q(m，0)，点 P(s，t)，则 t＝－s2＋2s＋8. ①当 AM 是平行四边形的一条边时，将点 M 向左平移 4
中考数学复习 第三单元 函数及其图象 第13课时 二次函数的图象与性质课件
点A(1,0),
∴ b=-4,∴ 该抛物线的函数解析
式为y=x2-4x+3.
(2)点P的坐标为(5,8)或(-1,8).
【方法点析】在求二次函数的解析式时,经常利用待定系数法.
(1)已知任意三点的坐标选用一般式y=ax2+bx+c(a≠0);
(2)已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值,常选用顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0);
条件
设法
顶点在原点
y=ax2(a≠0)
顶点在y轴上
y=ax2+c(a≠0,y轴为对称轴)
顶点在x轴上
y=a(x-h)2(a≠0,直线x=h是对称轴)
抛物线过原点
y=ax2+bx(a≠0)
顶点(h,k)
y=a(x-h)2+k(a≠0)
抛物线与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
考点五 二次函数图象的平移
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)可用配方法化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,任意抛物线
y=a(x-h)2+k(a≠0)均可由抛物线y=ax2(a≠0)平移得到,具体平移方法如图13-1所示
(假设h,k均为正数):
图13-1
【温馨提示】平移规则为“上加下减,左加右减”.
④点 -2 ,0 一定在此抛物线上.其中正确结论的序号是 (
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
图13-4
)
[答案] C
[解析]∵ 抛物线开口向下,∴ a<0.∵ 抛物线与 y 轴的正半轴相交,
∴ c>0,∴ ac<0,故①错误;∵ 抛物线的对称轴为直线 x=1,而点(-2,0)关于直线
安徽中考数学复习课件 第三章函数及其图象 第12讲 二次函数
4．[2013·安徽，T16，8分]已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－ 1)，且经过原点(0，0)，求该函数的解析式． 解：设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－1(a≠0)． ∵函数图象经过原点(0，0)， ∴a(0－1)2－1＝0，解得a＝1. ∴该函数解析式为y＝(x－1)2－1.
类型1
第三章 函数及其图象
第12讲
考点1 二次函数的概念及表达式
二次函数
1．二次函数：形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数， 叫做y关于x的二次函数． 2．二次函数的表达式 (1)一般式： y＝ax2＋bx＋c(a≠0) ； (2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其图象的顶点坐标是 (－h，k) ； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中的x1，x2是抛物线与x轴交 点的 横坐标 ．
归纳►用待定系数法确定二次函数表达式的步骤： ①巧设二次函数的表达式．若已知抛物线顶点坐标，设为顶点形式；若已知抛物线经 过的三个点的坐标，设为一般形式；若已知抛物线与x轴的交点坐标，设为交点形 式．②根据已知条件，建立关于待定系数的方程(组)．③解方程(组)，求出待定系数 的值，从而求出二次函数的表达式．
b 2.[2018·青岛]已知一次函数y＝ x＋c的图象如图，则二次函数y a
＝ax2＋bx＋c在平面直角坐标系中的图象可能是( A )
3．[2018·潍坊]已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的 值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为 ( B) A．3或6 B．1或6 C．1或3 D ．4 或6 类型2 二次函数图象间的平移关系
命题点2
二次函数的解析式的确定
3．[2014·安徽，T22，12分]若两个二次函数图象的顶点、开口方 向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”． (1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数； (2)已知关于x的二次函数y1＝2x2－4mx＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx＋5， 其中y1的图象经过点A(1，1)，若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”， 求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的最大值． 解：(1)本题是开放题，答案不唯一，符合题意即可．如：y1＝2x2， y2＝x2. (2)∵函数y1的图象经过点A(1，1)， ∴2－4m＋2m2＋1＝1，解得m＝1. ∴y1＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1. ∵y1＋y2与y1为“同簇二次函数”， ∴可设y1＋y2＝k(x－1)2＋1(k>0)， 则y2＝k(x－1)2＋1－y1＝(k－2)(x－1)2. 由题意可知，函数y2的图象经过点(0，5)， 则(k－2)×(－1)2＝5. ∴k－2＝5. ∴y2＝5(x－1)2＝5x2－10x＋5. 当0≤x≤3时，根据函数y2的图象可知，y2的最大值为5×(3－1)2＝20.
中考数学 第三单元 函数及其图象 第13课时 二次函数的图象与性质(一)课件
B.对称轴是直线 x=1,最大值是 2
∵-1<0,∴抛物线开口向下,有最大值,最
C.对称轴是直线 x=-1,最小值是 2
大值是 2.
c
D.对称1/12/9
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课前双基巩固
2. [2018·成都] 关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法(shuōfǎ)正确的是
例3 [2018·杭州]
设二次函数y=ax2+bx-(a+b)(a,b是常数,a≠0).
(1)判断该二次函数图象与x轴交点的个数,说明理由(lǐyóu);
(2)若该二次函数的图象经过A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的其中两个点,求该二次函数的表达式;
(3)若a+b<0,点P(2,m)(m>0)在该二次函数图象上,求证:a>0.
当-1-a<0 时,有 a>-1,∴C 选项不符合题意;
D.∵y=ax2-2ax-1=a(x-1)2-1-a,∴二次函数图象的对称轴为直线 x=1.
若 a>0,则当 x≥1 时,y 随 x 的增大而增大,∴D 选项符合题意.故选 D.
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高频考向探究
针对训练
关于x的二次函数y=(x-m)2-1的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.下列说法(shuōfǎ)正确的是
A.点C的坐标是(0,-1)
B.点(1,-m2)在该二次函数的图象上
C.线段AB的长为2m
D.若当x≤1时,y随x的增大而减小,则m≥1
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(
)
D
高频考向探究
探究(tànjiū)二
安徽省2024中考数学第三单元函数及其图象第13课时二次函数的图象和性质考题训练2
安徽省2024中考数学第三单元函数及其图象第13课时二次函数的图象和性质考题训练2安徽省2024中考数学第三单元函数及其图象第13课时二次函数的图象和性质考题训练2二次函数是一种常见的函数类型，它的图象呈现出抛物线的形状。
掌握二次函数的图象和性质对于解题非常重要，因此在中考数学中经常会考察相关知识点。
本次考题训练将从二次函数的图象和性质入手，对学生进行练习和考察。
1.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象的开口方向向上，顶点坐标为（1，2），且经过点（2，1）和（-1，0）。
求函数的解析式以及a、b、c的值。
解析：由题可知，函数的顶点坐标为（1，2），经过点（2，1）和（-1，0）。
根据求顶点坐标的方法可得到函数的解析式y=a(x-1)²+2，进一步代入经过的两个点即可求得a、b、c的值。
将（2，1）代入解析式得：1=a(2-1)²+21=a+2a=-1将（-1，0）代入解析式得：0=(-1)(-1-1)²+20=4+2-6=b将a、b的值代入解析式得：y=-(x-1)²+2综上所述，函数的解析式为y=-(x-1)²+2，a=-1，b=-6，c=22.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象的开口方向向下，顶点坐标为（2，-1），且经过点（-1，2）和（3，-3）。
求函数的解析式以及a、b、c的值。
解析：由题可知，函数的顶点坐标为（2，-1），经过点（-1，2）和（3，-3）。
根据求顶点坐标的方法可得到函数的解析式y=a(x-2)²-1，进一步代入经过的两个点即可求得a、b、c的值。
将（-1，2）代入解析式得：2=a(-1-2)²-12=9a-19a=3a=1/3将（3，-3）代入解析式得：-3=1/3(3-2)²-1-3=1/3-1-9=-3+bb=-6将a、b的值代入解析式得：y=1/3(x-2)²-1综上所述，函数的解析式为y=1/3(x-2)²-1，a=1/3，b=-6，c=-1在解题过程中，我们主要运用了求顶点坐标的方法，然后代入已知的点求解未知量，最终得到了函数的解析式以及a、b、c的值。
中考数学专题复习 第三单元 函数及其图象 第13课时 二次函数的图象及其性质(一)课件
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课堂考点探究
针对(zhēnduì)训练
1.如图 13-3,抛物线 y=ax2+2ax+1 与 x 轴仅有一个公共点 A,经过点 A 的直线交该抛物线于点 B,交 y 轴于点
图13-1
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课堂考点探究
4.[2017·枣庄] 已知函数 y=ax2-2ax-1(a 是常数,a≠0),下列结论正确的是 (
A.当 a=1 时,函数图象经过点(-1,0)
B.当 a=-2 时,函数图象与 x 轴没有交点
C.若 a<0,函数图象的顶点始终在 x 轴的下方
D.若 a>0,则当 x≥1 时,y 随 x 的增大而增大
∴-5=a(2+1)2+4,解得 a=-1.∴二次函数的关系式是 y=-(x+1)2+4;
(3)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过 A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,求这个二次函数的解析式.(用两种方法)
(3)方法一:设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3),
把 C(0,-3)代入得 a×1×(-3)=-3,解得 a=1,所以这个二次函数的解析式为 y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.
4a
4ac -b 2
4a
的大小决定抛物线的开口大小: 越大,抛物线的开口越小, 越小,抛物
线的开口越大
c 是抛物线与 y 轴交点的纵坐标,即 x=0 时,y=c
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课前双基巩固
对点演练(yǎn liàn)
2020安徽中考数学pk大一轮课件：3.5 第13课时 二次函数的综合与应用
，
∴抛物线的表达式为y=-¼ x²+x,
∴顶点A的坐标为(2,1),
设对称轴与x轴的交点为E.如图，在直角△AOE和直角
△∵POOAE⊥中O，P，ta∴n∠∠OOAAEE==OA∠EE ，EOtPa,nO∠E EPOEP.=
PE OE
,
∵AE=1，OE=2，
AE OE
∴2 PE ，
解1得P2E=4
第三章 函数及其图象 第13课时 二次函数的综合与应用
授课人：
1
考点聚焦
考点一 二次函数与几何的综合
几何图形中的二次函数问题：常见的有几何 图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几 何中的最值的讨论.其中动态几何图形的最值问 题属于中考常考的压轴难题，解此类题的关键是 根据图形的特点，综合运用所学知识如勾股定理、 全等或相似三角形的性质等建立等量关系，从而 构造出二次函数，再利用二次函数的性质求解.
温馨提示
2.求二次函数解析式，根据具体图象特征灵活设不同的关系或除上述
常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设
；以y轴
为对称轴，可设
； 顶点在x轴上，可设
；
抛物线过原点
等.
3、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值 范围. 4、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决 此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要思考全面.
∴P(2,-4).
故答案为：(2,-4).
强化训练
考点二：利用二次函数解决利润问题
例2（淮安中考）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经 市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每 件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件． （1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为 180 件； （2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？ 并求出最大利润．