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全等三角形证明题专项练习题Word版

证明三角形全等专项练习姓名号数1.如图，已知△ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE=CD ，AD 与BE 相交于点F ． (1)求证：ABE ≌△CAD ； (2)求∠BFD 的度数．2.如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .3.如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ．（1）求证：△ABC≌△DCB ；（2）过点C 作CN ∥BD ，过点B 作BN ∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN的数量关系，并证明你的结论．OCEBDAB CA DMN4.在⊿ABC 中，∠ACB 的平分线交AB 于E ，过E 点作BC 的平行线交AC 于F ，交外角∠ACD 的平分线于G 。

求证：F 为EG 的中点。

5.在⊿ABC 中，∠B ＝60。

，∠BAC 和∠BCA 的平分线AD 和CF 交于I 点。

试猜想：AF 、CD 、AC 三条线段之间有着怎样的数量关系，并加以证明。

6.在直角⊿ABC 中，CA ＝CB ，BD 为AC 上的中线，作∠ADF ＝∠CDB ，如图，连结CF 交BD于E ，求证：CF ⊥BD 。

（提示：作AC 的中线CO ）GOEFDBCA7、以⊿ABC 的边AB 、AC 为边向形外作等边⊿ABM 、⊿CAN ，BN 和CM 交于一点P 。

试判断：第5题第6题∠APM 、∠APN 的大小关系，并加以证明。

8. 在∆ABC 中，AB=AC ，DE∥BC.（1）试问∆ADE 是否是等腰三角形，说明理由.（2）若M 为DE 上的点，且BM 平分ABC ∠，CM 平分ACB ∠，若ADE ∆的周长20，BC=8.求ABC ∆的周长.9. 如图, 已知: 等腰Rt △OAB 中,∠AOB=900, 等腰Rt △EOF 中,∠EOF=900, 连结AE 、BF. 求证:(1) AE=BF; (2) AE ⊥BF.10. 如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于点F ，交AC 的平行线BG于点G ，DE ⊥GF 交AB 于点E ，连接EG 。

八年级上册数学第十二章全等三角形解答题专题训练 12916含解析.docx

第十二章《全等三角形》解答题专题训练(12)一、解答题1.如图，点、B , F , C , E在一条直线上，FB = CE, AB = DE, AC = DF,求证：AB//DE.2.如图所示，已知ZDCE=90°, ZDAC=90°,BE±AC于B,且DC=EC,请找出与AB+AD相等的线段，并说明理由.3.如图，RtAABC中，AB=AC, ZBAC=90°,直线AE®是经过点AIS的任一直线，BD丄AE于D, CE±AE 于E,若BD>CE,试解答：(1) AD与CE的大小关系如何？请说明理由；(2) 若BD=5,CE=2,求DE 的长.5.如图，CD是ZACB的平分线，EFXCD于H,交AC于F,交BC于G.16.如图，四边形ABCD 中，BA=BC, DA=DC,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做 "筝形"，其对角线AC 、BD 交于点M,请你猜想关于筝形的对角线的一条性质，并加以证明.猜想：证明：7.如图，在锐角△ABC 中，AB=2cm, AC=3cm.（1）尺规作图：作BC 边的垂直平分线分别交4C, BC 于点D 、E （保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连结BD,求AABD 的周长.&如图，两车从路段AB 的两端同吋出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同吋间后分别到达C 、D 两地，CEXAB, DFXAB, C 、D 两地到路段AB 的距离相等吗？为什么？ £ d f 9.如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，ZA = 90° , AB=AC, D 是斜边BC 的中点，E,F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE 丄DF,若BE=15, CF=8,求ZX/IEF 的面积.求证：®ZCFG=ZCGF ； ®ACFE = -^BAC + Z4BC). 乙 D B10.如图，要测量河流AB的长，因为无法测河流附近的点4,可以在AB线外任取一点D，在AB的延长线上任取一点E,连结ED和B£＞，并且延长BD到点G,使DG = BD ；延长ED到点F,使= 连结FG ,并延长FG到点H,使点H.D, 4在同一直线上•证明：测量出线段HG的长就是河流AB的长.ZA = 60°, ZC= 40°, DE 垂直平分BC,连接BD.（1）尺规作图：过点D作AB的垂线，垂足为F.（保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：点D到B/», BC的距离相等.12.如图，BD，CE是ZkABC的高，S.AE = AD，求证：AB = AC.A13.已知：如图，AE〃BF, ZE=ZF, DE=CF,（1）求证：AC=BD；（2）请你探索线段DE与CF的位置关系，并证明你的结论.'B14.如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形.(D若固定三根木条AB, BC, AD不动，AB = AD = 2cm, BC = 5cm,如图，量得第四根木条CD= 5cm,判断此时与是否相等，并说明理由.(2)若固定二根木条AB，不动，AB = 2cm, BC = 5cm,量得木条CD = 5cnz,ZB = 90，写出木条4D的长度可能取到的一个值(直接写出一个即可).⑶若固定一根木条4B不动，AB = 2cm,量得木条CD = 5c〃.如果木条AD,BC的长度不变，当点£>移到B4的延长线上时，点C也在的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点4，C, D 能构成周长为30c加的三角形，求出木条A£>, BC的长度.15.如图，点O在AABC的内部，且在ZBAC的角平分线上，OM丄AB,垂足为M；ON丄AC,垂足为N,并且OB=OC.求证：AB=AC.16.如图，点E在长方形ABCD的边BC上，AE丄EF,点F在边CD上，已知EC=AB=3cm,BC=5cm.求四边形AEFD的面积.17.已知：如图，CD丄AB 于D, BE±AC 于E, Z1=Z2.求证：OB = OC.18.如图，在口ABDC中，分别取AC、BD的中点E和F,连接BE、CF,过点A作AP〃BC, 交DC的延长线于点P.(1)求证：△ABE9Z\DCF；(2)当ZP满足什么条件时，四边形BECF是菱形？证明你的结论.19. (1)如图1,在四边形ABCD 中，AB = AD, ZB=ZD = 90°, E、F 分别是边BC、CD上的点，且ZEAF=丄ZBAD.求证:EF=BE + FD;2(2) 如图2在四边形ABCD中，AB = AD, ZB+ZD = 180°, E、F分别是边BC、CD ±的点，且ZEAF=fzBAD,⑴中的结论是否仍然成立？不用证明.(3) 如图3在四边形ABCD中，AB = AD, ZB+ZADC= 180°, E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且ZEAF=丄ZBAD,⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.B, C, D 在同一条直线上，EAXAD, FDXAD, AE=DF, AB=DC.A图1 图2 图3试说明：ZACE=ZDBF. 20.如图，点A,【答案与解析】一、解答题1. 见详解由EB = CE得到BC = FE,利用SSS证明△ ABC^ADEF,得到ZB=ZE,即可得到AB//DE.解:•: FB = CE ,:.FB+FC^CE+CF,即BC = FE,V AB = DE, AC^DF,A AABC^ADEF,.\ZB=ZE,AB//DE-【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS, ASA, AAS, SSS.2. AC和BE,理由见解析.根据题意通过“角角边”证明厶DAC处CBE,得到AD=BC, AC=BE,贝ljAB+AD=AB+BC=AC=BE.解：与AB+AD相等的线段有AC、BE.理由：V BE±AC,:.ZACE+ZACD=90°,'：ZDAC=90°,.•.ZD+Z4CD=90°,.I ZACE=ZD,在△D4C 与ZiCBE 中，\z.A = ^EBCZD =厶BCEI DC = EC ':.厶DAC竺"BE (AAS),:.AD=BC, AC=BE,:.AB+AD=AB+BC=AC=BE.【点睛】本题考点：全等三角形的判定与性质.3. （1） AD=CE,理由见解析；（2） 3.试题分析：（1）利用角角边证ABD^ACAE；得出BD=AE, AD=CE；（2）证法同上，从而得出BD=DE+CE.试题解析：（8分）（1） AD = CE因为ZBAC = 90°, BD1AE,所以ZABD=ZCAE,又因为AB = AC, ZADB=ZAEC = 90°,根据"AAS"可得Z\ABD竺ACAE,所以AD = CE.（2）因为△ ABD^ACAE,所以BD = AE,所以DE=AE-AD = BD-CE=5 — 2=3.考点：全等三角形的判定.4•证明见解析.先证明AADC竺△AEC,贝IJZACD=ZACE,再由AB〃DC,得至IJZACD=ZBAC,于是ZACB=ZBAC.证明：TAB 〃DC.•.ZACD=ZBACTAE 丄BCAZAEC=90°在RtAACE 和RtAACD 中AC = ACCE = CD:.RtAACE^RtAACD （HL）.・.ZACB=ZACD..•.ZACB=ZBAC,【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键.5.见解析（1）根据角平分线的性质以及全等三角形的判定得出ACFH^ACGH,进而得出ZCFG=ZCGF；（2）根据外角的性质以及（1）中结论得出ZBAC+ZABC=ZCFG+ZCGF,即可得出答案. 证明：①TCD是ZACB的平分线，EF±CD于H,:.ZFCH=ZGCH,•.•在ACFH和ACGH 中，Z.FCH =厶GCH CH = CHIzCHF =厶CHG:.ACFH^^CGH(ASA),:.ZCFG=ZCGF；②'：ZE+ZBGE=ZABC,:.Z BAC+ ZABC= Z BAC+ ZE+ZBGE,•: ZCGF=ZBGE,:.Z BAC+ ZABC= ZBAC+ ZE+ZCGF,•: ZBAC+ZE=ZCFG,:.Z BAC+ ZABC= ZCFG+ ZCGF,•: ZCFG=ZCGF,1：.^CFE = -^BAC + Z/1BC).【点睛】考查全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.6.筝形有一条对角线平分一组对角，即BD平分ZABC且BD平分ZADC；证明见解析利用SSS 定理证明厶ABD^ACBD,可得ZABD=ZCBD, ZADB=ZCDB,从而可写出关于筝形的对角线的一条性质，筝形有一条对角线平分一组对角.解：筝形有一条对角线平分一组对角，即BD平分ZABC且BD平分ZADC证明：•.•在AABD和ACBD中BA=BC, DA=DC, BD=BD.•.AABD^ACBD(SSS).•.ZABD=ZCBD, ZADB=ZCDB即BD平分ZABC,且BD平分ZADC.A【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，掌握SSS定理及全等三角形对应角相等是本题的解题关键.7. （1）作图见解析；（2）ABD的周长为5cm.分析：（1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作DE垂直平分BC；（2）利用线段垂直平分线的性质得到DB=DC,贝闲用等量代换得到AABD的周长=AB+AC,然后把AB=2cm, AC=3cm代入计算计算.详解：（1）如图，DE为所作；（2） VDE垂直平分BC,.・.DB=DC,.'.△ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=2+3=5 （cm）.点睛：本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.8 . CE=DF,理由见解析.根据题意可得ZAEC=ZBFD=90° , AC=BD,再根据平行线的性质可得ZCAE=ZDBF, 然后再利用AAS 判定△ AEC竺△BFD,进而可得CE=DF.解：AC=BD又T AC〃DB.・.ZCAE=ZDBF又TZDFB=ZCEA=90°；在AOBF和Z\CAE中ACEA = ZDFB<ZCAE = ZDBFAC = BDA ADBF^ACAE (AAS)CE=DFAC, D两地到路段AB的距离相等.【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确理解题意，找出证明三角形全等的条件.9. 60由"ASA"可证△ AED^ACFD,可得AE = CF = 8,可得AF = BE = 15,即可求解.解：I•在RtAABC中，AB = AC, AD为BC边的中线，.•.ZDAC=ZBAD=ZC=45°, AD丄BC, AD = DC,又TDE丄DF, ADXDC,.•.ZEDA+ZADF=ZCDF+ZFDA=90°,.\ZEDA=ZCDF在Z\AED 与ACFD 中，/EDA = ZCDF<AD = CDZEAD = ZCAAAED^ACFD (ASA)..・.AE = CF = 8,/.AB - AE=AC - CF,.•.AF = BE=15,VZEAF = 90°,1:.S AAEF —— xAExAF = 60.2【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求AE=CF是本题的关键.10.见解析.利用全等三角形的判定得出△ BED^AGFD (SAS),结合题意，根据全等三角形的性质得到△ ABD 竺△HGD (ASA),根据利用全等三角形的性质对应边相等，进而得出答案. •.•在ABED 和Z:\GFD 中BD = DG< ZBDE = ZGDF ,DE = FD.'.△BED 竺△GFD(SAS),.•.ZE=ZF, ZEBD=ZFGD,.•.ZABD=ZHGD,在ZkABD 和Z\HGD 中ZABD = ZHGD•: <BD = DG ,ZBDA = ZGDH.-.AABD^AHGD(ASA),根据利用全等三角形的性质对应边相等..\HG=AB.【点睛】本题考查全等三角形的判定(ASA、SAS)与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定(ASA、SAS)与性质.11. (1)如图所示，DF即为所求，见解析；(2)见解析.(1) 直接利用过一点作已知直线的垂线作法得出符合题意的图形；(2) 根据角平分线的性质解答即可.(2) '.•△ABC 中，Z4 = 60°, ZC=40°,ZABC=80°,T DE垂直平分BC,:.BD = DC,.•.ZDBC=ZC= 40°,Z4BD=ZDBC=40°,即BD是ZABC的平分线，"：DF±AB, DE±BC,:.DF=DE,即点D到BA, BC的距离相等.【点睛】此题主要考查了复杂作图，正确利用角平分线的性质解答是解题关键.12. 详见解析直接利用已知得出ZADB=ZAEC,进而利用全等三角形的判定与性质得出答案.BD, CE是AABC 的咼，ZADB = ZAEC = 90°，在AABD和AACE中，= ZA< AD = AEZADB = ZAEC:.ABD^ ACE (ASA).AB=AC.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键.13. (1)见解析⑵见解析试题分析:⑴先根据两直线平行，内错角相等证得ZA=ZB,再根据,A=,B,ZE=ZF,DE=CF可证得△4ED竺ZXBFC,再根据全等三角形的性质可得AD=BC,根据线段和差关系得:AC=BD,⑵因为(1)中厶AED竺“BFC,所以ZEDA=ZFCB,根据内错角相等,两直线平行，可证DE//CF.(1)TAE〃BF, .I ZA=ZB,，ZA=ZB在AADE 和ZkBCF 中，< AE=BF ，ZE=ZFLA A ADE^A BCF, .・.AD=BC,...AD - DC=BC - CD,即：AC=BD .(2)DE/7CF.V AADE^ABCF,.•.ZADE=ZBCF,.・.DE〃CF.14. (1)相等，理由见解析；(2) A/29-5<AD<A/29+5;(3) AD = 13, BC^IO或AD=8, BC=15试题分析：（1）相等.连接AC,根据SSS 证明两个三角形全等即可.（2）由勾股定理求出AC,再根据三角形三边的关系求出AD 的取值范围.（3）分两种情形①当点C 在点D 右侧时，②当点C 在点D 左侧时，分别列出方程组即可解决问题，注意最后理由三角形三边关系定理，检验是否符合题意.试题解析：⑴解：相等.理由如下：连结AC,如图所示：AD^AB,BC = CD,AC^AC.-.AABC = AA£>C:.ZB = ZD(2)解：连结AC,ZB = 90:.AC = 7AB 2+BC 2 = V29.•.A /29-5< AD<>/29 + 5（只要直接写出一个符合要求的值即可，如：1, 2等）⑶设= BC = y,AD = 13,BC = 10. ①当点C 在点D 右侧时，＜ x+2=y+5 2 + y + 5 + x = 30 解得: x = 13 y = io②当点C 在点D 左侧时，＜解得：V 卜=15AD = &BC = 15.【点睛】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质、二元一次方程组、三角形三边关系定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，考虑问题要全面.15•证明见解析试题分析：利用斜边直角边定理证明ABOM和ACON全等，根据全等三角形对应角相等得到ZMBO=ZNCO,再根据等角对等边的性质即可得到AB=AC；试题解析：证明：•.•点0在ZBAC的角平分线上，0M丄AB, ON±AC.•.OM=ON,又VOB=OC,在RtABOM 与RtACON 中OM = ONOB = OCRtABOM ^RtACON,.•.ZMBO=ZNCO,又VOB=OC,.•.ZOBC=ZOCB,/.ZABC=ZACB,.・.AB=AC.16. ｛解析｝根据ASA可证明A ABE= AECF,利用S HWAEFD=S长方形ABCD-2S AABE即可得答案.•.•ZCEF+ZAEB=90°, ZAEB+ZBAE=90°,.•.ZBAE=ZCEF,又TAB=CE, ZABE=ZECF=90°, .'.AABE^AECF,•'•S H边JKAEFD=S出方）BABCD-2S AABE=3X5-2X——x （5-3 ） x3=9.2【点睛】本题考查全等三角形的判定及长方形、三角形面积公式，利用ASA证明AABE^AECF是解题关键.17. 证明见解析试题分析：又CD丄AB, BE丄AC, Z1=Z2,可得OE=OD, ZBDO=ZCEO=90°,再由Z BOD=ZCOE,可得△ BOD竺△COE,从而0B = OC.试题解析：TCD丄AB, BE丄AC, Z1=Z2, .•.OE=OD, ZBDO=ZCEO=90°,又VZBOD=ZCOE, .'.△BOD 竺△COE, /.OB = OC.考点：1.角平分线的性质；2.三角形全等的判定与性质.18. （1）证明详见解析；（2） ZP=90。

中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带参考答案

中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带参考答案一、选择题1．下列选项中表示两个全等的图形的是（）A．形状相同的两个图形B．周长相等的两个图形C．面积相等的两个图形D．能够完全重合的两个图形2．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE＝AD，则不一定能使△ABE≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．∠B＝∠CC．∠AEB＝∠ADC D．CD＝BE3．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD=∠DAB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4．如图△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE=65°，则∠CAF的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．65°5．如图EF=CF，BF=DF则下列结论不一定正确的是（）A．△BEF≌△DCF B．△ABC≌△ADEC．DC=AC D．AB=AD6．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE、CD相交于点O．∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对8．如图，AD 是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为12，DE =2，AB = 7，则 AC 的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题9．如图，∠ACD＝∠BCE，BC＝EC，要使△ABC≌△DEC，则可以添加的一个条件是．10．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=2，则△ABD的面积为．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，若BD＝4cm，CE＝3cm则DE= cm．12．如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳，已知AC的长度是6cm，则工件内槽的宽BD是cm．13．如图，△ABC为等腰直角三角形AC=BC，若A(−3，0)，C(0，2)，则点B的坐标为.三、解答题14．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°（1）求证：△ADE≌△CDE．（2）求∠BDC度数．15．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A ＝25°，∠D ＝15°，求∠ACB 的度数.16．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE.（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数.17．如图，在ABC 中90C ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，点F 在BC 上，连接DF ，且AD DF =． (1)求证：CF AE =；(2)若3AE =，BF=4，求AB 的长．18．如图，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AE ＝AC ，AF ⊥CB ，垂足为F ．(1)求证：△ABC ≌△ADE ；(2)求∠FAE 的度数；(3)求证：CD ＝2BF+DE ．1．D2．D3．D4．A5．C6．B7．C8．C9．AC ＝DC （答案不唯一）10．811．712．613．(2，-1)14．（1）证明：∵DE 是线段AC 的垂直平分线 ∴DA=DC ，AE=CE在△ADE 与△CDE 中：DA=DCAE=CEDE=DE∴△ADE ≌△CDE （SSS ）；（2）解：∵△ADE ≌△CDE ．∴∠DCA=∠A=50°∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°15．（1）证明：∵∠BCE ＝∠DCA∴∠BCE +∠ACE ＝∠DCA +∠ECA即∠BCA ＝∠DCE .在△BCA 和△DCE 中{∠BCA =∠DCE AC =EC ∠A =∠E∴△BCA ≌△DCE （ASA ）（2）解：∵△BCA ≌△DCE∴∠B ＝∠D ＝15°.∵∠A ＝25°∴∠ACB ＝180°−∠A −∠B ＝140°.16．（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC∴∠1＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中{AB =AC ∠1=∠EAC AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）解：∵△ABD ≌△ACE∴∠ABD ＝∠2＝30°∵∠1＝25°∴∠3＝∠1+∠ABD ＝25°+30°＝55°.17．（1）证明：（1）∵90C ∠=︒∴DC BC ⊥又∵BD 是ABC ∠的平分线DE AB ⊥∴DE DC = 90AED ∠=︒在Rt AED △和Rt FCD △中∵AD DFDE DC =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt AED FCD HL ≌△△∴CF AE =．（2）解：由（1）可得3CF AE ==∴437BC BF CF =+=+=∵DE AB ⊥∴90DEB ∠=︒∴DEB C ∠=∠∵BD 是ABC ∠的平分线∴ABD CBD ∠=∠在BED 和BCD △中∵DEB C EBD CBD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BED BCD AAS ≌△△ ∴7BE BC ==∴7310AB BE AE =+=+=∴AB 的长为10．18．（1）证明：∵90BAD CAE ∠=∠=︒∴90BAC CAD ∠+∠=︒ 90CAD DAE ∠+∠=︒ ∴BAC DAE ∠=∠在△BAC 和△DAE 中∵AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BAC DAE SAS ≌△△；（2）解：∵90CAE ∠=︒，AC=AE∴45E ∠=︒由（1）知BAC DAE ≌△△∴45BCA E ∠=∠=︒∵AF BC ⊥∴90CFA ∠=︒∴45CAF ∠=︒∴4590135FAE FAC CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）证明：延长BF 到G ，使得FG FB = ∵AF BG ⊥∴90AFG AFB ∠=∠=︒在△AFB 和△AFG 中∴BF GF AFB AFG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AFB AFG SAS ≌△△∴AB AG = ABF G ∠=∠∵BAC DAE ≌△△∴AB AD = CBA EDA ∠=∠ CB=ED ∴AG AD = ABF CDA ∠=∠∴CGA CDA ∠=∠∵45GCA DCA ∠=∠=︒∴在△CGA 和△CDA 中GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CGA CDA AAS ≌△△∴CG CD =∵22CG CB BF FG CB BF DE BF =++=+=+ ∴2CD BF DE =+．。

全等三角形专题训练

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１．已知 △ ４ＢＣ通过平移得到 △ＡＢＣ．则这两个角形
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４。下列选项是全等二三角形的足（
．
（
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５．如，ＡＡＢＣ
／
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初中数学《全等三角形》基本模型训练含解析

全等三角形基本模型专项训练一、单选题1如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别在边BC及其延长线上，BD2+CE2=DE2，F为△ABC外一点，且FB⊥BC，FA⊥AE，则结论：①FA=AE；②∠DAE=45°；③S△ADE=14AD⋅EF；④CE2+BE2=2AE2，其中正确的是()A.①②③④B.①②④C.①③④D.①②【答案】A【分析】根据全等三角形的性质，证明△ABF和△ACE全等，即可得到FA=AE；连接DF如图见解析，证明△ADE和△ADF全等，即可得到∠DAE=45°；延长AD交EF于H如图见解析，利用等腰直角△AFE三线合一的性质，∠FAE=90°，∠DAE=45°∠DAE=45°，可知AH⊥EF，S△ADE=12AD⋅EH，HE=HF=12EF，即可判断③；在Rt△EBF和Rt△EAF中，利用勾股定理以及等式的性质，即可判断④．【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠ABC=∠ACB=45°∴∠ACE=180°-∠ACB=135°∵FB⊥BC∴∠FBE=90°∴∠ABF=∠ABC+∠FBE=135°∴∠ABF=∠ACE∵FA⊥AE∴∠FAE=90°=∠BAC∴∠FAE-∠FAC=∠BAC-∠FAC即∠CAE=∠BAF在△ABF和△ACE中，∠ACE=∠ABF AC=AB∠CAE=∠BAF∴△ACE≌△ABF ASA∴FA=EA，故①正确；连接DF，如图：∵△ACE≌△ABF∴BF=CE在Rt△BDF中，BD2+BF2=DF2∴BD2+CE2=DF2∵BD2+CE2=DE2∴DE=DF∵AE=AF，AD=AD∴△ADE≌△ADF SSS∴∠DAE=∠DAF∴∠DAE=12∠EAF=45°，故②正确；延长AD交EF于H，如图：∵AE=AF，∠EAD=∠FAD∴AH⊥EF，HE=HF=12EF∴S△ADE=12AD⋅EH=12AD⋅12EF=14AD⋅EF，故③正确；在Rt△EBF中，BE2+BF2=EF2∵CE=BF∴BE2+CE2=EF2∵AE=AF，∠FAE=90°∴EF2=AE2+AF2=2AE2∴BE2+CE2=2AE2，故④正确，综上所述，正确的有①②③④，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识．2如图所示，△ABC中，AC=BC，M、N分别为BC、AC上动点，且BM=CN，连AM、CN，当AM +BN最小时，CMCN=( )．A.2B.32C.54D.1【答案】D 【分析】过B 点在BC 下方作BH ∥AC ，且BH =AC ，链接BH ，AH ，先证明△BCN ≌△HBM ，即有BN =HM ，则AM +BN =AM +MH ，当A 、M 、H 三点共线时，AM +MH 值最小，再证明△ACM ≌△HBM ，问题随之得解．【详解】如图，过B 点在BC 下方作BH ∥AC ，且BH =AC ，链接BH ，AH ，∵BH ∥AC ，∴∠C =∠CBH ，∵BH =AC ，BM =CN ，∴△BCN ≌△HBM ，∴BN =HM ，∴AM +BN =AM +MH ，当A 、M 、H 三点共线时，AM +MH 值最小，如图，此时∵BH ∥AC ，∴∠C =∠CBH ，∠CAM =∠BHM ，∵AC =BC ，∴△ACM ≌△HBM ，∴CM =BM ，∵BM =CN ，∴CM CN=CM BM =1，故选：D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线，构造全等三角形是解答本题的关键．3如图，正五边形ABCDE 中，点F 是边CD 的中点，AF ,BC 的延长线交于点N ，点P 是AN 上一个动点，点M 是BN 上一个动点，当PB +PM 的值最小时，∠BPN =()A.72°B.90°C.108°D.120°【答案】C【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接BF ，EF ，PE ，EM ，根据全等三角形的判定与性质可得EP =BP ，则当E 、P 、M 三点共线，且EM ⊥BC 时，PB +PM 的值最小，过点E 作EH ⊥BC 于H ，交AF 于P ，分别求出∠BAP 和∠ABP 的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可．【详解】解：连接BF ，EF ，PE ，EM ，∵正五边形ABCDE ，∴AE =AB =BC =ED ，∠BAE =∠AED =∠BCD =∠EDC =5-2 ×180°5=108°，∵点F 是边CD 的中点，∴CF =DF ，∴△BCF ≌△EDF SAS ，∴BF =EF ，又AE =AB ，AF =AF ，∴△AEF ≌△ABF SSS ，∴∠EAF =∠BAF =12∠BAE =54°，∴△AEP ≌△ABP SAS∴EP =BP ，∴PB +PM =EP +PM ≥EM ，∴当E 、P 、M 三点共线，且EM ⊥BC 时，PB +PM 的值最小，过点E 作EH ⊥BC 于H ，交AF 于P ，同理可求∠ABP =∠AEP =12∠AED =54°，∴∠BP N =∠BAP +∠ABP =108°，即当PB +PM 的值最小时，∠BPN =108°．故选：C ．4如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF ，正方形BCGH 和正方形ACMN ，给出下列结论：①AB =MG ；②S △ABC =S △AFN ；③过点B 作BI ⊥EH 于点I ，延长B 交AC 于点J ，则AJ =CJ ．④若AB =1，则EH 2+FN 2=5．其中正确的结论个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．首先根据题意证明出△ACB ≌△MCG SAS ，进而得到AB =MG ，即可判断①；过点F 作FO ⊥NA 交NA 延长线于点O ，证明出△AFO ≌△ABC AAS ，得到OF =BC ，然后利用三角形面积公式即可得到S △ABC =S △AFN ，即可判断②；过点A 作AP ⊥BJ 交BJ 的延长线于点P ，过点C 作CQ ⊥BJ ，证明出△ABP ≌△BEI AAS ，得到AP =BI ，同理得到CQ =BI ，得到CQ =AP ，然后证明出△AJP ≌△CJQ AAS ，得到AJ =CJ ，即可判断③；根据全等三角形的性质得到EH =2BJ ，然后利用勾股定理证明出EH 2=AC 2+4BC 2，同理得到NF 2=4AC 2+BC 2，然后得到EH 2+NF 2=5AB 2=5，即可判断④．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF ，正方形BCGH 和正方形ACMN ，∴AC =MC ，BC =GC ，∠MCA =∠GCB =90°∵∠ACB =90°∴∠MCG =∠ACB =90°∴△ACB ≌△MCG SAS∴AB =MG ，故①正确；如图所示，过点F 作FO ⊥NA 交NA 延长线于点O ，∵∠FAO +∠BAO =∠CAB +∠BAO =90°∴∠FAO =∠CAB又∵∠O =∠ACB =90°，AF =AB∴△AFO ≌△ABC AAS∴OF =BC∵AN =AC∵S △ANB =12AN ⋅OF ，S △ACB =12AC ⋅BC ∴S △ABC =S △AFN ，故②正确；如图所示，过点A 作AP ⊥BJ 交BJ 的延长线于点P ，过点C 作CQ ⊥BJ∵∠ABP +∠BEI =90°，∠EBI +∠BEI =90°∴∠ABP =∠BEI又∵∠P =∠BIE =90°，AB =BE∴△ABP ≌△BEI AAS∴AP =BI同理可证，△BCQ ≌△HBI AAS ∴CQ =BI∴CQ =AP∵∠P=∠CQJ=90°，∠AJP=∠CJQ∴△AJP≌△CJQ AAS∴AJ=CJ，故③正确；∵△ABP≌△BEI AAS∴BP=EI∵△BCQ≌△HBI AAS∴BQ=HI∵△AJP≌△CJQ AAS∴PJ=QJ∵EH=EI+HI=PB+BQ=PJ+QJ+BQ+BQ=2BJ ∵AJ=CJ∴BJ2=CJ2+BC2=14AC2+BC2∴EH2=2BJ2=4BJ2=414AC2+BC2=AC2+4BC2同理可证，NF2=4AC2+BC2∴EH2+NF2=AC2+4BC2+4AC2+BC2=5AC2+BC2=5AB2=5×12=5，故④正确．综上所述，正确的结论个数是4．故选：D．5如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠E=∠F=90 °，∠EAC=∠FAB，AE=AF．给出下列结论：①∠B=∠C；②CD=DN；③BE= CF；④△ACN≅△ABM．其中正确的结论是()A.①③④B.①②③④C.①②③D.①②④【答案】A【分析】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键．【详解】解：∵∠EAC=∠FAB，∴∠EAB=∠FAC，在△EAB 和△FAC 中，∠E =∠F =90 °AE =AF ∠EAB =∠FAC，∴△EAB ≌△FAC ASA ，∴∠B =∠C ,BE =CF ,AB =AC ，∴①③都正确，在△ACN 和△ABM 中，∠B =∠CAB =AC ∠CAN =∠BAM，∴△ACN ≌△ABM ASA ，故④正确，根据已知条件无法证明②是否正确，故①③④正确，故选：A ．二、填空题6如图，在△ABC 中，AH 是高，AE ⎳BC ，AB =AE ，在AB 边上取点D ，连接DE ，DE =AC ，若S △ABC =5S △ADE ，BH =1，则BC =．【答案】2.5【分析】过点E 作EF ⊥AB ，交BA 的延长线于点F ，先分别证明△ABH ≌△EAF ，Rt △ACH ≌Rt △EDF ，由此可得S △ABH =S △EAF ，S △ACH =S △EDF =S △EAF +S △ADE ，再结合S △ABC =S △ABH +S △ACH =5S △ADE 可得S △ACH S △ABH =32，由此可得CH BH=32，进而即可求得答案．【详解】解：如图，过点E 作EF ⊥AB ，交BA 的延长线于点F ，∵EF ⊥AB ，AH ⊥BC ，∴∠EFA =∠AHB =∠AHC =90°，∵AE⎳BC ，∴∠EAF =∠B ，在△ABH 与△EAF 中，∠AHB =∠EFA∠B =∠EAFAB =EA∴△ABH ≌△EAF (AAS )，∴AH =EF ，S △ABH =S △EAF ，在Rt△ACH与Rt△EDF中，AH=EF AC=DE∴Rt△ACH≌Rt△EDF(HL)，∴S△ACH=S△EDF=S△EAF+S△ADE，∵S△ABC=S△ABH+S△ACH=5S△ADE，∴S△ABH+S△EAF+S△ADE=5S△ADE，∴2S△ABH+S△ADE=5S△ADE，解得：S△ABH=2S△ADE，∴S△ACH=5S△ADE-S△ABH=3S△ADE，∴S△ACHS△ABH=3S△ADE2S△ADE=32，∴12CH⋅AH12BH⋅AH=32，即CHBH=32，又∵BH=1，∴CH=1.5，∴BC=BH+CH=2.5，故答案为：2.5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式，作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．7如图，在△ADE和△ABC中，∠E=∠C，DE=BC，EA=CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF=4，则FG的长是．【答案】3【分析】过点A作AH⊥BC于H，证△ABC≌△AED，得AF=AH，再证Rt△AFG≌Rt△AHG，同理Rt△ADF≌Rt△ABH，得S四边形DGBA=6，进而得到FG的长．【详解】解：过点A作AH⊥BC于H，如图所示：在△ABC 和△ADE 中，BC =DE∠C =∠E CA =EA，∴△ABC ≌△AED SAS∴AD =AB ,S △ABC =S △AED ,又∵AF ⊥DE ，∴12×DE ×AF =12×BC ×AH ，∴AF =AH ，∵AF ⊥DE ,AH ⊥BC ，∴∠AFG =∠AHG =90°，在Rt △AFG 和Rt △AHG 中，AG =AG AF =AH ,∴Rt △AFG ≌Rt △AHG HL ，同理：Rt △ADF ≌Rt △ABH HL ，∴S 四边形DGBA =S 四边形AFGH =12，∵Rt △AFG ≌Rt △AHG ，∴S Rt △AFG =6,∵AF =4,∴12×FG ×4=6，解得：FG =3；故答案为：3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等．8如图，动点C 与线段AB 构成△ABC ，其边长满足AB =9，CA=2a +2，CB =2a -3．点D 在∠ACB 的平分线上，且∠ADC =90°，则a 的取值范围是，△ABD 的面积的最大值为．【答案】a >52454【分析】在△ABC 中，由三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可知AC +BC >AB ，代入数值即可确定a 的取值范围；延长AD 、CB交于点E ，首先利用“ASA ”证明△ACD ≌△ECD ，由全等三角形的性质可得AC =EC =2a +2，AD =ED ，进而可求得BE =5，结合三角形中线的性质易知S △ABD :S △ABE =1:2，确定△ABE 面积的最大值，即可获得答案．【详解】解：∵在△ABC 中，AC +BC >AB ，∴2a +2+2a -3>9，解得a >52；如下图，延长AD 、CB 交于点E ，∵CD 为∠ACB 的平分线，∴∠ACD =∠ECD ，在△ACD 和△ECD 中，∠ACD =∠ECDCD =CD ∠ADC =∠EDC =90°，∴△ACD ≌△ECD (ASA )，∴AC =EC =2a +2，AD =ED ，∵CB =2a -3，∴BE =2a +2-(2a -3)=5，∵AD =ED ，∴S △ABD :S △ABE =1:2，当BE ⊥AB 时，△ABE 的面积取最大值，即S △ABE max =12×9×5=452，∴S △ABD max =454．故答案为：a >52，454．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、解一元一次不等式、角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．9如图，AB =AC ，AD=AE ，∠BAC =∠DAE =40°，BD 与CE 交于点F ，连接AF ，则∠AFB 的度数为．【答案】70°/70度【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，构造全等三角形是解答本题的关键．过点A作AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N，根据手拉手模型证明△BAD≌△CAE，得到∠ADM=∠AEN，然后证明△AMD≌△ANE，得到∠DAM=∠EAN，AM=AN，进一步推得∠MAN=∠DAE= 40°，再证明△AMF≌△ANF，可得∠FAM=20°，最后根据三角形内角和定理即得答案．【详解】过点A作AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N，∵∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE SAS，∴∠ADM=∠AEN，∵∠AMD=∠ANE=90°，AD=AE，∴△AMD≌△ANE AAS，∴∠DAM=∠EAN，AM=AN，∴∠DAM+∠DAN=∠EAN+∠DAN，即∠MAN=∠DAE=40°，∵∠AMF=∠ANF=90°，AM=AN，AF=AF，∴△AMF≌△ANF HL，∴∠FAM=∠FAN=1∠MAN=20°，2∴∠AFB=180°-90°-∠FAM=70°．故答案为：70°．10如图所示，已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，点D和点E分别是AB和AC边上的动点，满足AD=CE，连接DE，点F是DE的中点，则CDAF的最大值为．【答案】5+1/1+5【分析】作EM⊥ED，且EM=ED，连DM，MC，取ME中点N，连ND、NC、NF，可根据“SAS”证明△ADE≌△CEM，可得∠ECM=90°，再设AF=1，并表示DE，EM，及CN，然后根据勾股定理求出DN，最后根据三角形的三边关系ND+NC≥DC，求出CD最大值，可得答案.【详解】解：过E作EM⊥ED，且EM=ED，连DM，MC．取ME中点N，连ND、NC、NF．∵∠ADE+∠AED=90°，∠AED+∠MEC=90°，∴∠ADE=∠MEC.∵AD=CE，DE=EM，∴△ADE≌△CEM，∴∠ECM=∠DAE=90°．设AF=1，∵F为DE中点，∴DE=2AF=2，∴EM=2.∵N为EM中点，∴CN=EN=1．∴DN=DE2+EN2= 5.∵ND+NC≥DC，∴CD最大值5+1，=5+1.∴CDAF故答案为：5+1.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，根据三角形的三边关系求最大值，作出辅助线是解题的关键．三、解答题11数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样，一个问题：如图1：在△ABC中，AB=3，AC=5，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．【问题初探】：第一小组经过合作交流，得到如下解决方法：如图2延长AD至E．使得DE=AD，连接BE．利用三角形全等将线段AC转移到线段BE，这样就把线段AB，AC，2AD集中到△ABE中．利用三角形三边的关系即可得到中线AD的取值范围，第二小组经过合作交流，得到另一种解决方法：如图3过点B作AC的平行线交AD的延长线于点F，利用三角形全等将线段AC转移到BF，同样就把线段AB，AC，2AD集中到△ABF中，利用三角形三边的关系即可得到中线AD的取值范围．(1)请你选择一个小组的解题思路．写出证明过程【方法感悟】当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可考虑将中线延长一倍或者作一条边的平行线．构造出“平行八字型”全等三角形；这样就把分散的已知条件和所证的结论集中到一个三角形中，顺利解决问题【类比分析】(2)如图4：在△ABC中，∠B=90°，AB=6，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE=10且∠ADE=90°．求AE的长度．【思维拓展】(3)如图5：在△ABC中，AF⊥BC于点F在AB右侧作AD⊥AB，且AD=AB，在AC的左侧作AE⊥AC，且AE=AC，连接DE，延长AF交DE于点O，证明O为DE中点．【答案】(1)见解析(2)16(3)见解析【分析】(1)选择第一个小组的解题思路：延长AD到点E，使DE=AD，证明△ADC≌△EDB(SAS)，得到BE=AC=10，再根据在△ABE中，5-3<AE<5+3，即2<2AD<8，求解即可；选择第二个小组的解题思路：过点B作AC的平行线交AD的延长线于点F，先证明△BDF≌△CDA (AAS)，得到DF=AD，BF=AC=5，则2AD=AF，再根据在△ABF中，5-3<AF<5+3，即2<2AD<8，求解即可；(2)延长AD到点F，使DF=AD，连接CF，先证明△ABD≌△FCD SAS，得到∠FCD=∠ABD=90°，CF=AB=6，再证明E、C、F三点共线，得到EF=EC+CF=10+6=16，然后证明△ADE≌△FDE SAS，得到AE=EF=16解决问题；(3)过点E作EM∥AD交AD延长线于M，先证明△AEM≌△CAB AAS，得到EM=AB，再证明△AOD≌△MOE AAS，得到OD=OE，即可得出结论．【详解】解：(1)选择第一个小组的解题思路：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵∠ADC=∠EDB，∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴BE=AC=10，△ABE中，5-3<AE<5+3，∴2<2AD<8，∴1<AD<4；选择第二个小组的解题思路：如图3，过点B作AC的平行线交AD的延长线于点F，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵BF∥AC，∴∠FBD=∠C，∠F=∠CAD，∴△BDF≌△CDA(AAS)，∴DF=AD，BF=AC=5，∴2AD=AF，在△ABF中，5-3<AF<5+3，∴2<2AD<8，(2)延长AD到点F，使DF=AD，连接CF，如图4，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵∠ADB=∠FDC，DF=AD，∴△ABD≌△FCD SAS，∴∠FCD=∠ABD=90°，CF=AB=6，∵CE⊥BC，∴∠BCD=90°，∴∠FCD+∠ECD=180°，∴E、C、F三点共线，∴EF=EC+CF=10+6=16，∵∠ADE=90°，∴∠FDE=∠ADE=90°，∵DE=DE，AD=DF，∴△ADE≌△FDE SAS，∴AE=EF=16；(3)证明：过点E作EM∥AD交AD延长线于M，如图4，∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠3+∠2+∠CAD=∠3+∠2+∠BAE=90°，∴∠CAD=∠BAE，又∵AF⊥BC，∴∠3+∠2+∠CAD=∠3+∠BAE+∠B=90°，∴∠2=∠B，∵EM∥AD，∴∠2=∠M，∴∠B=∠M，∵AE⊥AC，AF⊥BC，∴∠3+∠CAM=∠C+∠CAM=90°，∴∠3=∠C，∵AE=AC，∴△AEM≌△CAB AAS，∵AB =AD ，∴EM =AD ，∵∠2=∠M ，∠AOD =∠EOM ，∴△AOD ≌△MOE AAS ，∴OD =OE ，∴O 为DE 中点．【点睛】本题考查三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的性质，熟练掌握倍长中线，构造出“平行八字型”全等三角形是解题的关键．12已知，在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，∠ABC =∠ACB =45°，点D 是线段BC 上一点，点D 不与点B ，点C 重合，连接AD ，以AD 为一边作△ADE ，AD =AE ，∠DAE =90°，且点E 与点D 在直线AC 两侧，DE 与AC 交于点H ，连接CE ．(1)如图1，求证：△ABD ≌△ACE ．(2)如图2，在CE 的延长线上取一点F ，当∠AEF =∠AFE 时，求证：CD =CF ．(3)过点A 作直线CE 的垂线，垂足为G ，当CD =6EG 时，直接写出△CDH 与△CEH 的面积比．【答案】(1)见详解(2)见详解(3)32或34【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，涉及SAS 、AAS 以及HL 等判定方法，(1)利用“SAS ”证明△ABD ≌△ACE 即可作答；(2)结合(1)的结论，再利用“AAS ”证明△ACD ≌△ACF 即可作答；(3)分类讨论，第一种情况：点G 在点E 的下方，过点A 作AO ⊥BC 于点O ，点H 作HM ⊥BC 于点M ，点H 作HN ⊥CG 于点N ，先证明△AOC ≌△AGC ，即有AO =AG ，CO =CG ，同理可证明：MH =NH ，再证明Rt △AOD ≌Rt △AGE HL ，可得OD =GE ，问题即可作答；第二种情况：点G 在点E 的上方，过点A 作AO ⊥BC 于点O ，点H 作HM ⊥BC 于点M ，点H 作HN ⊥CG 于点N ，按照第一种情况作答即可．【详解】(1)∵∠DAE =90°，∠BAC =90°，∴∠DAE -∠DAH =∠BAC -∠DAH ，∴∠CAE =∠BAD ，又∵AB =AC ，AD =AE ，∴△ABD ≌△ACE SAS ；(2)∵△ABD ≌△ACE SAS ，∴∠ADB =∠AEC ，∠ABD =∠ACE =45°，∴180°-∠ADB =180°-∠AEC ，∠ACB =∠ACE =45°，∴∠ADC =∠AEF ，∵∠AEF =∠AFE ，∴∠ADC =∠AFE ，在△ACD 和△ACF 中，∴∠ACD =∠ACF∠ADC =∠AFC AC =AC，∴△ACD ≌△ACF AAS ，∴CD =CF ；(3)分类讨论：第一种情况：点G 在点E 的下方，过点A 作AO ⊥BC 于点O ，点H 作HM ⊥BC 于点M ，点H 作HN ⊥CG 于点N ，如图，∵AO ⊥BC ，AG ⊥CE∴∠AOC =∠AGC =90°，又∵∠ACB =∠ACE =45°，AC =AC ，∴△AOC ≌△AGC ，∴AO =AG ，CO =CG ，同理可证明：MH =NH ，又∵AD =AE ，∴Rt △AOD ≌Rt △AGE HL ，∴OD =GE ，∵CD =6EG ，∴CO =CD -OD =5EG ，∴CG =CO =5EG ，∴CE =CG -EG =4EG ，∵S △CHD =12×CD ×MH ，S△CHE =12×CE ×NH ，MH =NH ，∴S △CHD S △CHE =12×CD ×MH 12×CE ×NH =CD ×MH CE ×NH ，∵CD =6EG ，CE =4EG ，MH =NH ，∴S △CHD S △CHE =CD ×MH CE ×NH=32；第二种情况：点G 在点E 的上方，过点A 作AO ⊥BC 于点O ，点H 作HM ⊥BC 于点M ，点H 作HN ⊥CG 于点N ，如图，同理可得：OD =GE ，OC =CG ，MH =NH ，∵CD =6EG ，∴CO =CD +OD =7EG ，∴CG =CO =7EG ，∴CE =CG +EG =8EG ，∴S △CHD S △CHE =CD ×MH CE ×NH=34；综上：△CDH 与△CEH 的面积比为32或者34．13如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABC 的边BC 在x 轴上，A 、C 两点的坐标分别为A (0,m ),C (n ,0)，B (-5,0)，且m ，n 满足方程组m +2n =103m -n =9 ，点P 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BO 匀速运动，设点P 运动时间为t 秒．(1)求A 、C 两点的坐标；(2)连接P A ，用含t 的代数式表示△AOP 的面积，并直接写出t 的取值范围；(3)当点P 在线段BO 上运动时，在y 轴上是否存在点Q ，使△POQ 与△AOC 全等？若存在，请求出t 的值并直接写出Q 点标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A (0,4)，C (3,0)；(2)0≤t <52，S △AOP =10-4t ；t >52，S △AOP =4t -10．(3)存在，Q (0,3)或(0,-3)或Q (0,4)或(0,-4)．【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，二元一次方程组的解法，坐标与图形性质等知识点的综合运用，关键是利用分类讨论求出符合条件的所有情况．(1)解二元一次方程组求出m ，n 的值即可；(2)分为两种情况：当0≤t <52时,P 在线段OB 上,②当t >52时,P 在射线OC 上,求出OP 和OA ,根据三角形的面积公式求出即可；(3)分为四种情况：①当BP =1,OQ =3时,②当BP =2,OQ =4时,③④利用图形的对称性直接写出其余的点的坐标即可.【详解】(1)解方程组m +2n =103m -n =9 得m =4n =3 ，∴ A 的坐标是0,4 ,C 的坐标是3,0 ；(2)由已知，BP =2t ，OB =5．①0≤t <52，P 在线段OB 上．OP =OB -BP =5-2tS △AOP =12×OP ×OA 2=12×(5-2t )×4=10-4t ．②t >52，P 在射线OC 上，OP =BP -OP =2t -5S △AOP =12×OA ×OP =12×4×(2t -5)=4t -10(3)在y 轴上存在点Q ，使△AOC 与△POQ 全等．①△POQ ≌△AOC 时，OQ =OC =3．OP =OA =4．t =5-42=12,Q (0,3)或Q (0,-3)②△POQ ≌△COA 时，OQ =OA =4,OP =OC =3．t =5-32=1 Q (0,4)或(0,-4)t =12，Q (0,3)或(0,-3)；t =1，Q (0,4)或(0,-4)；综上所述，t =12，Q (0,3)或(0,-3)；t =1，Q (0,4)或(0,-4)．14某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务．如图1，①分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径在AB 两侧画弧，四段弧分别交于点C ，点D ；②连接AC ，BC ，AD ，作射线BD ；③以D 为圆心，BD 的长为半径画弧，交射线BD 于点E ；④连接CE ，交于AB 点F ．点F 即为AB 的一个三等分点(即AF =13AB )．学习任务：(1)填空：四边形ADBC的形状是，你的依据是；(2)证明：AF=13AB；(3)如图2，若CE交AD于点H，∠CAD=60°，AC=6，将CH绕着点C旋转，当点H的对应点H 落在直线FD上时，求DH 的长．【答案】(1)菱形；四条边相等的四边形为菱形(2)见解析(3)DH′的长为33+32或33-32【分析】本题考查了菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，善于利用特殊叫以及直角三角形中的关系是解题的关键．(1)根据菱形的性质判定即可．(2)证明△AFC∽△BFE，得出AFFB =ACBE，再根据线段关系即可求出．(3)利用菱形及已知条件推出相关信息，证明△ACD为等边三角形，再根据AAS证明△AHC≌△DHE，求得CH ;然后证明△AKF∽△BDF，根据相似三角形的性质得出AK、CK；最后用勾股定理解三角形即可．CH绕着点C旋转，点H的对应点H 需要分情况讨论．【详解】(1)解：由图的作法可知：AC=AD=BC=BD，∴四边形ADBC的形状是菱形，依据是：四条边相等的四边形为菱形．故答案为：菱形；四条边相等的四边形为菱形；(2)证明：∵四边形ADBC的形状是菱形，∴AC∥BE，∴△AFC∽△BFE，∴AF FB =ACBE．∵AC=BD，BD=DE，∴BE=2AC，∴AF FB =12，∴FB=2AF，∴AB=3AF．∴AF=13AB．(3)解：①当点H 在线段FD上时，连接CD，如图，∵AC=AD，∠CAD=60°，∴△ACD为等边三角形，∴CD=AD=6，∠ADC=60°．∵AC∥BE∴∠ACF =∠DEC ．在△AHC 和△DHE 中，∠AHC =∠DHE∠ACE =∠DEC AC =DE，∴△AHC ≌△DHE AAS ，∴AH =HD =3，∵△ACD 为等边三角形，∴CH ⊥AD ，∠ACH =∠DCH =30°，∴CH =33．∴CH =CH =33．设FD 与AC 交于点K ，∵AC ∥BE ，∴△AKF ∽△BDF ，∴AK BD =AF FB=12．同理：CK ED =AF FB=12，∴AK BD =CK ED．∵BD =ED ，∴AK =CK =3，∴HK ⊥AC ，∠CDK =12∠ADC =30°．∴H K =CH 2-CK 2=32，DK =33．∴DH =DK -H K =33-32．②当点H 在射线FD 上时，连接CD ，如图，由①知CH =CH =33，HK ⊥AC ，AK =KC =3，∴DK =AD 2-AK 2=33，∴H K =CH 2-CK 2=32．∴DH =H K +DK =33+32．综上，DH 的长为33+32或33-32．15(1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE =BD +CE ．(2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线l 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC 的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ，求证：I 是EG 的中点．【答案】(1)见解析；(2)DE =BD +CE ，见解析；(3)见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD =AE 、CE =AD 是解题的关键．(1)由条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得DA =CE ，AE =BD ，可得DE =BD +CE ；(2)由条件可知∠BAD +∠CAE =180°-α，且∠DBA +∠BAD =180°-α，可得∠DBA =∠CAE ，结合条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得出结论；(3)由条件可知EM =AH =GN ，可得EM =GN ，结合条件可证明△EMI ≌△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【详解】解：(1)如图1，∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA =∠CEA =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∵∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，∠ABD =∠CAE∠BDA =∠CEA AB =AC，∴△ABD ≌△CAE AAS ，∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ；(2)成立，理由如下：如图，证明如下：∵∠BDA =∠BAC =α，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α，∴∠DBA =∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中．∠BDA =∠AEC∠DBA =∠CAE AB =AC．∴△ABD ≌△CAE AAS∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ；(3)如图3，过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N ．∴∠EMI =∠EMA =∠GNA =90°，∠BAE =90°，∴∠EAM +BAH =90°，∵AH 是BC 边上的高，∴∠AHB =90°，∴∠BAH +∠ABH =90°，∴∠ABH =EAM ，∵AE =AB ，∴△ABH ≌△EAM ，∴EM =AH ，同理△ACH ≌△GAN ，∴AH =GN ，∴EM =GN ，在△EMI 和△GNI 中，∠EIM =∠GIN∠EMI =∠GNI EM =GN，∴△EMI ≌△GNI AAS ，∴EI =GI ，∴I 是EG 的中点．16如图，在△ABC 中，BC =5，高AD 、BE 相交于点O ，BD =2，且AE =BE．(1)请说明△AOE ≌△BCE 的理由；(2)动点P 从点O 出发，沿线段OA 以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，动点Q 从点B 出发沿射线BC 以每秒4个单位长度的速度运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 到达A 点时，P 、Q 两点同时停止运动．设点P 的运动时间为t 秒，求当t 为何值时，△AOQ 的面积为3．(3)在(2)的条件下，点F 是直线AC 上的一点且CF =BO ．当t 为何值时，以点B 、O 、P 为顶点的三角形与以点F 、C 、Q 为顶点的三角形全等？(请直接写出符合条件的t 值)．【答案】(1)见解析(2)当t 为15或45时，△AOQ 的面积为3(3)t =1或53s 时，△BOP 与△FCQ 全等【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，(1)首先推导出∠EAO =∠EBC ，通过ASA 即可证明△AOE ≌△BCE ；(2)分两种情形讨论求解即可①当点Q 在线段BD 上时，QD =2-4t ,②当点Q 在射线DC 上时，DQ =4t -2时；依据三角形面积计算公式解答即可；(3)分两种情形求解即可①如图2中，当OP =CQ 时，BOP ≌△FCQ ．②如图3中，当OP =CQ 时，△BOP ≌△FCQ ．【详解】(1)如图1中，∵AD 是高，∴∠ADC =90°，∵BE 是高，∴∠AEB =∠BEC =90°，∴∠EAO +∠ACD =90°，∠EBC +∠ECB =90°，∴∠EAO =∠EBC ，在△AOE 和△BCE 中，∠EAO =∠EBCAE =BE ∠AEO=∠BEC，∴△AOE ≌△BCE ASA ，(2)解：由(1)知△AOE ≌△BCE ，∴OA =BC =5，∵BD =2，∴CD =3，由题意OP =t ,BQ =4t ,①当点Q 在线段BD 上时，QD =2-4t ,∴S △AOQ =12OA ⋅QD =12×5×2-4t =3，解得：t =15；②当点Q 在BD 延长线上时，DQ =4t -2，∴S △AOQ =12OA ⋅DQ =12×5×4t -2 =3，解得：t =45，综上，当t 为15或45时，△AOQ 的面积为3；(3)存在．①如图2中，当OP =CQ 时，∵OB =CF ，∠POB =∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．∴CQ =OP ，∴5-4t =t ，解得t =1，②如图3中，当OP =CQ 时，∵OB =CF ，∠POB =∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．∴CQ =OP ，∴4t -5=t ，解得t =53．综上所述，t =1或53s 时，△BOP 与△FCQ 全等．17如图1，在△ABC 中，BD 为AC 边上的高，BF 是∠ABD 的角平分线，点E 为AF 上一点，连接AE ，∠AEF =45°．(1)求证：AE平分∠BAF(2)如图2，连接CE交BD于点G，若△BAE与△CAE的面积相等，求证：BG=CF【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．(1)根据BF是∠ABD的角平分线和，BD为AC边上的高，可得12∠BAD=45°-12∠ABD，由∠AEF=45°得∠BAE=45°-∠ABE=45°-12∠ABD，即可证明∠BAE=12∠BAD；(2)过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥AC于点N，由角平分线性质可以得EM=EN，由△BAE与△CAE的面积相等可得AB=AC，证明△ABE≌△ACE(SAS)，得出∠AEB=∠CEB=135°，BE=EC，即可得出∠BEG=∠CEF=360°-∠AEB-∠AEC=90°，再根据垂直模型证明△BEG≌△CEF(ASA)，即可得出结论．【详解】(1)证明：∵BD为AC边上的高，即∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∴12(∠ABD+∠BAD)=45°，∴1 2∠BAD=45°-12∠ABD∵∠AEF=∠ABF+∠BAE=45°，∴∠BAE=45°-∠ABF，∵∠ABF=12∠ABD，∴∠BAE=45°-12∠ABD，∴∠BAE=12∠BAF，即：AE平分∠BAF．(2)过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥AC于点N，∵AE平分∠BAC，且EM⊥AB，EN⊥AC，∴EM=EN．∵S△ABE=S△ACE，∴AB=AC，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，AB=BC∠BAE=∠CAE AE=AE∴△ABE≌△ACE(SAS)，∴∠AEB=∠CEB，BE=EC，∵∠AEF=45°，∴∠AEB=∠AEC=135°，∴∠BEG=∠CEF=360°-∠AEB-∠AEC=90°，∵BD为AC边上的高，∴∠ADB=90°，∴∠FBD+∠BFC=∠BFC+∠FCE，∴∠EBG=∠ECF．在△BEG和△CEF中，∠BEG=∠CEF BE=CE∠EBG=∠ECF∴△BEG≌△CEF(ASA)．∴BG=CF .18如图，已知A a，0,B0,b，AB=AC且AB⊥AC，AC交y轴于E点．(1)如图1，若a2+b2-4a-8b+20=0，求C点坐标；(2)如图2，A，B两点分别在x轴，y轴正半轴上，E为AC的中点，BC交x轴于G点，连EG，若a=3，求G点的坐标；(3)如图3，A在x轴的负半轴上，以BC为边在BC的右侧作等边△BCD，连OD，当∠BOD=60°时，请探究线段OA、OB、OD之间的数量关系，并证明．【答案】(1)(-2,-2)(2)(-2,0)(3)OD=OB+2OA【分析】(1)利用完全平方公式将等式变形为两个数平方和的形式，即可求出a=2，b=4，如图1中，过点C作CH ⊥x轴于点H，证明△AHC≌△BOA，可得CH=OA=2，AH=OB=4，即可得到点C坐标．(2)根据(1)可得CH=OA=a，AH=OB=b，再由a=3，E为AC的中点，可得点C(-3,-3)，AH=OB=6，再利用面积法求出AG =5，即可解题；(3)过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，在OD 上取一点M ，使得OM =OB ，证明△OBM 是等边三角形，进而证明△MBD ≌△OBC ，得∠BMD =∠BOC =120°，MD =OC ，再证明∠COH =30°，得OC =2CH =2OA ，即可得出OD =OB +2OA ．【详解】(1)解：∵a 2+b 2-4a -8b +20=0，∴(a 2-4a +4)+(b 2-8b +16)=0，即(a -2)2+(b -4)2=0，∴a =2，b =4，∴A 2,0 ，B 0,4如图1中，过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，∵∠AHC =∠BOA =∠BAC =90°，∴∠CAH +∠BAO =90°，∠BAO +∠ABO =90°，∴∠CAH =∠ABO ，在△AHC 和△BOA 中，∠AHC =∠BOA∠CAH =∠ABO AC =BA，∴△AHC ≌△BOA (AAS )，∴CH =OA =2，AH =OB =4，∴OH =AH -OA =4-2=2∴点C 坐标为(-2,-2)；(2)如图2，同理(1)可证明：CH =OA =a ，AH =OB =b ，∵a =3，E 为AC 的中点，OE 平行于CH ，∴OA =OH =3，CH =3，∴点C (-3,-3)，AH =OB =6，AB =AC =OA 2+OB 2=62+32=35，∵S △ABC =S △AGC +S △AGB ，即12×35×35=12×3⋅AG +12×6⋅AG ，∴AG =5，∴GO =AG -OA =5-3=2，∴点G 坐标为(-2,0)；(3)结论：OD =OB +2OA ，如图3，过点C 作CH⊥x轴于点H ，同理可得：CH =OA ，AH =OB ，在OD 上取一点M ，使得OM =OB ，∵OM =OB ，∠BOD =60°，∴△OBM 是等边三角形，∴BO =BM ，∠OMB =60°，∴∠BMD =120°，∵△BCD 是等边三角形，∴BC =BD ，∠CBD =∠OBM =60°，∴∠DBM =∠CBO ，在△MBD 和△OBC 中，BM =OB∠DBM =∠CBO BD =BC，∴△MBD ≌△OBC (SAS )，∴∠BMD =∠BOC =120°，MD =OC ，∴∠COH =120°-90°=30°，∵CH ⊥x 轴，∴OC =2CH =2OA ，∵OD =OM +MD ，∴OD =OB +OC =OB +2OA【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．19已知△ABC 为等边三角形，D 是边AC 上的一点，连接BD ，E 为BD 上的一点，连接CE．(1)如图1，延长CE 交AB 于点G ．若∠DCG =15°，BG =2，求BC 的长；(2)如图2，将△BEC 绕点B 逆时针旋转60°至△BFA ，延长CB 至点M ，使得BM =DC ，连接AM 交BF 于点N ，探究线段FN ，DE ，BE 之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在(2)问的条件下，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点B 作BK ∥AH 且BK =AH ，连接HK ，NK ，NH ，NC ．若BC =4，当12BD +NK 的值最小时，请直接写出CD NH的值．【答案】(1)1+3(2)2FN +DE =BE ．理由见解析(3)277【分析】(1)作CF⊥BC，解直角三角形BFG求得BF和FG，进而解直角三角形CFG求得CF，从而得出结果；(2)延长BF至G，使FG=DE，连接AG，作BH∥AF，交BF于H，证明△ABG≌△CBD，进而证明△ANG≌ΔMNB，△AFN≌△MHN，△BMH≌△DCE，进一步得出结论；BD+NK最小，此时BG⊥AG，即BD⊥AC，进一步得出(3)可得出当K、N、G共线且与AG垂直时，12结果．【详解】(1)解：如图1，作CF⊥BC于F，∴∠CFG=∠BFG=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，在Rt△BFG中，BG=2，∠ABC=60°，=1，∴BF=2cos60°=2×12=3，FG=2⋅sin60°=2×32在Rt△CFG中，FG=3，∠FCG=∠ACB-∠ACG=60°-15°=45°，∴CF=FG=3，tan∠FCG∴BC=BF+FC=1+3；(2)证明：如图2，延长BF至G，使FG=DE，连接AG，作BH∥AF，交BF于H，∴∠MHN=∠AFN，∠NMH=∠FAN，∴∠MHB=∠AFG∵△BEC绕点B逆时针旋转60°至△BFA，∴BF=BE，∠ABF=∠CBE，AB=BC，∴BG=BD，∴△ABG≌△CBD，∴AG=CD=BM，∠G=∠BDC=180°-∠CBE-∠ACB=120°-∠CBE，∵∠MBN=180°-∠ABC-∠ABF=120°-∠CBE，∴∠G=∠MBN，∴△ANG≌△MNB，∴AN=MN，∴△AFN≌△MHN，∴FN=NH，∵△ANG ≌△MNB ，∴NG =BN ，∵FN =NH ，∴BH =FG ，∵FG =DE∴BH =DE ，∵旋转，∴CE =AF ，∵△AFN ≌△MHN ，∴AF =MH ，∴MH =CE ，∵CD =BM ，∴△BMH ≌△DCE ，∴BH =DE ，∵FN +NH +BH =BF ，∴2FN +DE =BE ；(3)解：如图3，由(2)知：BD =BG =2BN ，∴12BD +NK =GN +NK ，∴当K 、N 、G 共线且与AG 垂直时，12BD +NK 最小，此时BG ⊥AG ，即BD ⊥AC ，如图4，连接NH ，∵AC =BC =4，∴CD =BH =2，BD =32BC =23，BN =GN =12BG =12BD =3，∵NH =BH 2+BN 2=2+(3)2=7，∴CD NH=277．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．。

八年级上册数学第十二章全等三角形解答题专题训练 4916含解析.docx

第十二章《全等三角形》解答题专题训练⑷一、解答题1.如图所示，点P位于等边&ABC的内部，且ZACP=ZCBP.(l)ZBPC的度数为°;⑵延长BP至点D,使得PD=PC,连接AD, CD.①依题意，补全图形；②证明：AD+CD=BD；(3)在⑵的条件下，若BD的长为2,求四边形ABCD的面积.2.(1)如图1,在四边形ABCD 中,AB=AD, ZBAD=120°, ZB=ZADC=90°, E、F 分别是BC、CD上的点.且BE+DF=EF.试求ZEAF度数.小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明AABE^AADG,再证明AAEF^AAGF,可得求出/EAF度数，他求出的ZEAF度数应是.请你根据他的思路完成论证过程.⑵如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD, ZB+ZD=180°. E, F分别是BC, CD上的点，试探究当ZEAF 与ZBAD满足什么关系时有BE+DF=EF,并说明理由.3.(类比学习，从图1中找方法在图2中运用)(1)如图1,在正方形ABCD (四条边都相等，每个内角都是90°)中，E是AB上一点，G 是AD 上一点，F是AD延长线上一点，且ZGCE=45° , BE=DF.求证：GE=BE+GD.(2)如图2,已知：AC 平分ZBAD, CE±AB, CD=CB, ZB+ZD=180°.求证：AE=AD+BE.求证：AABD^ACDB.5.如图，在四边形A3CD中，BC = DC, AC平分ZS4D.(1)当A3>AO时，求证：ZB + ZD = 180°.（2）当AB = AD时，Z。

应满足什么条件时，等式ZB + ZD = 180°才成立?6.如图，CA — CD, Z7 = Z2, ZA — Z£).求ijE：BC = EC7.如图所示，AE1AB, BC1AB, AE BA, ED = AC.求证：EDLAC.8.教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容.3.角'F 分线我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴.如图13. 5. 4, OC 是Z.4Ofi 的平分线. P 是OC 上任一点,作PD ± 04, P£ J. OB,垂足分别为点D 和点E.将LA0B 沿OC 对折，我们发现PD 与PE 完全重:合.由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等.已知：如图13. 5. 4, 0C 是^AOB 的平分线，点P 是 °C 上的任意一点,PD ± 0A, PE x OB.垂足分别为点 0和点E.求证：PD 图中有两个直角三角形PDO ffl 证明这两个三角形全等,便可证得PD =(1)定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出"角平分线的性质定理"完整的证明过程.(2) 定理应用：如图②，在ZkABC 中，AD 、BE 分别是ZBAC, ZABC 的角平分线，AD 、BE 的交点为0,连结C0交AB 于点F,求证：ZACF=ZBCF.(3) 如图③，在(2)的条件下，若BE=CE, ZC=30°, Z\ABD 沿AD 翻折使点B 落在边AC上的点M 处，连结DM,其中AB=也,则S ADCM = ________ .图①9,如图，ZV4BC 中，AD_LBC 于 0,若 BD=AD, FD=CD. 求证：BE±AC. 10. 如图，ZA=ZB, AE = BE,点D 在AC 边上，Z1=Z2, AE 和BD 相交于点0.求证：AAEC 丝Z\BED ；PE.图②图③E11.(1)如图1,求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等;(2)如图2,若ZABC的平分线与4CB外角ZACZ)的平分线相交于点P连接AP ,若ABAC = 62° ,则/PAC 是度.12.如图1,在平面直角坐标系中，P (3, 3)，点4、B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且PA = PB.(1)求证：PA1PB；(2)若点4 (9, 0),则点B的坐标为；(3)当点B在y轴负半轴上运动时，求OA - OB的值；(4)如图2,若点B在y轴正半轴上运动时，直接写出OA+OB的值.13.已知：如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，AD=BC, Z1=Z2.求证：AB=CDB14.如图，点B：E如：F在一条直线上，AB=DE,AC = DF,BE = CF.求证:15.已知一个三角形的两条边长分别是lcm和2cm, 一个内角为40度.（1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由；（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm, 一个内角为40° ", 那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个.友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹.16.（本题6分）已知Z\ABC中，AB=AC=5, BC=6, AM平分ZBAC, D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=-BC. （1）求ME的长；（2）求证：DB=DE217.如图：△础7中CA=CB, 2/争90°,直线〃经过点G ADLm, BE里田,垂足分别是点D、E（1）在图（甲）中，求证：△46Z2△翊你能探索出线段应?、BE、庞之间的关系吗？（2）在图（乙）中上面的结论还成立吗？为什么？（甲）18.如图，平行四边形ABCD中，点。

专题全等三角形压轴题训练(30题)(解析版)

（苏科版）八年级上册数学《第1章全等三角形》专题全等三角形压轴题训练（30题）1．如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，E为AB延长线上一点，且CD＝BE，DE与BC相交于点F．（1）求证：DF＝EF．（2）过点F作FG⊥DE，交线段CE于点G，若CE⊥AC，CD＝4，S＝5，求EG的长．△EFG【分析】（1）过点D作DH∥AB交BC于点H，根据等腰三角形的性质及平行线的性质得到∠BEF＝∠HDF，∠DHC＝∠DCH，则DH＝CD，结合∠BFE＝∠HFD，即可利用AAS判定△BEF≌△HDF，根据全等三角形的性质即可得解；（2）根据三角形的面积公式求解即可．【解答】（1）过点D作DH∥AB交BC于点H，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DH∥AB，∴∠DHC＝∠ABC，∴∠DHC＝∠ACB＝∠DCH，∴DH＝CD，∵CD＝BE，∴DH＝BE，∵DH∥AB，∴∠BEF＝∠HDF，在△BEF和△HDF中，∠BFE=∠HFD∠BEF=∠HDFBE=DH，∴△BEF≌△HDF（AAS），∴DF＝EF；（2）连接DG，∵DF＝EF，FG⊥DE，∴S△DFG ＝S△EFG＝5，∴S△DEG＝10，∵CE⊥AC，CD＝4，∴S△DEG =12EG•CD=12EG×4，∴12EG×4＝10，∴EG＝5．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS判定△BEF≌△HDF是解题的关键．2．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE．（1）求证：△ABE≌△BCD；（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；【分析】（1）由平行线的性质得出∠ABE+∠C＝180°，得出∠ABE＝90°＝∠C，再证出BE＝CD，由SAS证明△ABE≌△BCD即可；（2）由全等三角形的性质得出AE＝BD，证出∠ABF+∠BAE＝90°，得出∠AFB＝90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABE+∠C＝180°，∵∠C＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠C，∵E是BC的中点，∴BC＝2BE，∵BC＝2CD，∴BE＝CD，在△ABE和△BCD中，AB=BC∠ABE=∠C BE=CD，∴△ABE≌△BCD（SAS）；（2）解：AE＝BD，AE⊥BD，理由如下：由（1）得：△ABE≌△BCD，∴AE＝BD，∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF+∠CBD＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AFB＝90°，∴AE⊥BD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．3．如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为BC边上的一个动点，连接AP，以AP为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直角三角形PAD，连接CD．（1）当点P在线段BC上时（不与点B重合），求证：△BAP≌△CAD；（2）当点P在线段BC的延长线上时（如图2），试猜想线段BP和CD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．【分析】（1）证得∠BAP＝∠CAD，根据SAS可证明△BAP≌△CAD；（2）可得∠BAP＝∠CAD，由SAS可证明△BAP≌△CAD，可得BP＝CD，∠B＝∠ACD，则结论得证．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，∴∠BAC﹣∠PAC＝∠PAD﹣∠PAC，即：∠BAP＝∠CAD，在△BAP和△CAD中AB=AC∠BAP=∠CAD，PA=DA∴△BAP≌△CAD（SAS）；（2）猜想：BP＝CD，BP⊥CD．证明：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，∴∠BAC+∠PAC＝∠PAD+∠PAC，即：∠BAP＝∠CAD，在△BAP和△CAD中AB=AC∠BAP=∠CAD，PA=DA∴△BAP≌△CAD（SAS），∴BP＝CD（全等三角形的对应边相等），∠B＝∠ACD（全等三角形的对应角相等），∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ACB＝90°，即：BP⊥CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键．4．（2023春•市南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．（1）求证：△ABF≌△ACG；（2）求证：BE＝CG+EG．【分析】（1）根据已知条件可得∠BAD＝∠CAG，然后利用ASA即可证明△ABF≌△ACG；（2）结合（1）的结论，再证明△AEF≌△AEG，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠FAG，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAG﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAG，在△ABF和△ACG中，∠BAD=∠CAGAB=AC，∠ABF=∠ACG∴△ABF≌△ACG（ASA）；（2）证明：∵△ABF≌△ACG，∴AF＝AG，BF＝CG，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠CAD＝∠CAG，在△AEF和△AEG中，AF=AG∠FAE=∠GAE，AE=AE∴△AEF≌△AEG（SAS）．∴EF＝EG，∴BE＝BF+FE＝CG+EG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△AEF≌△AEG．5．（2022秋•新宾县期中）如图（1）所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD．（1）求证：EG＝FG．（2）若将△DEC的边EC沿AC方向移动，变为图（2）时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．【分析】（1）先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF＝DE；再利用AAS判定△BFG≌△DEG，从而得出GE＝GF；（2）结论仍然成立，同理可以证明得到．【解答】解：（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEF＝∠BFE＝90°．∵AE＝CF，AE+EF＝CF+EF．即AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CDAF=CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE．在△BFG和△DEG中，∵∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE BF=DE，∴△BFG≌△DGE（AAS），∴GE＝GF；（2）结论依然成立．理由：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠BFA＝∠DEC＝90°∵AE＝CF∴AE﹣EF＝CF﹣EF，即AF＝CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CDAF=CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴DE＝BF在△BFG和△DEG中，∵∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE BF=DE，∴△BFG≌△DGE（AAS），∴GE＝GF．【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6．（2023春•市南区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG．（1）求证：△ABF≌△ACG；（2）求证：BE＝CG+EG．【分析】（1）根据已知条件可得∠BAD＝∠CAG，然后利用ASA即可证明△ABF≌△ACG；（2）结合（1）的结论，再证明△AEF≌△AEG，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠FAG，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAG﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAG，在△ABF和△ACG中，∠BAD=∠CAGAB=AC，∠ABF=∠ACG∴△ABF≌△ACG（ASA）；（2）证明：∵△ABF≌△ACG，∴AF＝AG，BF＝CG，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠CAD＝∠CAG，在△AEF和△AEG中，AF=AG∠FAE=∠GAE，AE=AE∴△AEF≌△AEG（SAS）．∴EF＝EG，∴BE＝BF+FE＝CG+EG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△AEF≌△AEG．7．（2022秋•忠县期末）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F．（1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF．（2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF．【分析】（1）在BC上截取BM＝BD，连接FM，证明△BFD≌△BFM，△ECF≌△MCF，进而可以解决问题；（2）根据已知条件证明△BDF≌△CDA，进而可以解决问题．【解答】证明：（1）如图，在BC上截取BM＝BD，连接FM，∵∠A＝60，∴∠BFC＝90°+60°÷2＝120°，∴∠BFD＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，在△BFD和△BFM中，BD=BM∠1=∠2，BF=BF∴△BFD≌△BFM（SAS），∴∠BFM＝∠BFD＝60°，DF＝MF，∴∠CFM＝120°﹣60°＝60°，∵∠CFE＝∠BFD＝60°，∴∠CFM＝∠CFE，∵CD平分∠ACB，∴∠3＝∠4，又CF＝CF，在△ECF和△MCF中，∠CFE=∠CFMFC=FC，∠3=∠4∴△ECF≌△MCF（ASA），∴EF＝MF，∴DF＝EF；（2）∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BDF＝∠CDA＝90°，∴∠1+∠BFD＝90°，∠3+∠CFE＝90°，∠BFD＝∠CFE，∴∠1＝∠3，∵BD＝CD，在△BDF和△CDA中，∠BDF=∠CDABD=CD，∠1=∠3∴△BDF≌△CDA（ASA），∴DF＝DA，∵∠ADF＝90°，∴∠6＝45°，∵∠G＝∠6，∴∠5＝45°∴∠G＝∠5，∴GD＝DA，∴GD＝DF．【点评】本题属于三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．8．（2023春•宣汉县校级期末）已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E，（1）如图1，把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由．①线段CD和BE的数量关系是：CD＝BE；②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．解：①结论：CD＝BE．理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝　在△ACD和△CBE中，（）∴△ACD≌△CBE，（）∴CD＝BE．②结论：AD＝BE+DE．理由：∵△ACD≌△CBE，∴ ∵CE＝CD+DE＝BE+DE，∴AD＝BE+DE．（2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系．并说明理由．【分析】（1）根据同角的余角相等，全等三角形的判定和性质即可解决问题；（2）结论：DE﹣BE＝AD，只要证明△ACD≌△CBE即可解决问题；【解答】解：（1）∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE在△ACD和△CBE中，（∠ADC=∠BEC ∠ACD=∠CBE AC=BC）∴△ACD≌△CBE，（AAS）∴CD＝BE．②结论：AD＝BE+DE．理由：∵△ACD≌△CBE，∴AD＝CE∵CE＝CD+DE＝BE+DE，∴AD＝BE+DE．故答案为：∠CBE，∠ADC=∠BEC∠ACD=∠CBEAC=BC，AAS，AD＝CE．（2）不成立，结论：DE﹣BE＝AD．理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠BEC∠ACD=∠CBEAC=BC，∴△ACD≌△CBE，（AAS）∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE﹣BE＝DE﹣DC＝CE＝AD．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件，灵活运用知识解决问题．9．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=1 2∠BAD，求证：DF＝EF﹣BE．【分析】由边角边证明△ADF≌△ABH得AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，同理可得△HAE≌△FAE，其性质得HE＝EF，最后由线段和差和等式的性质得DF＝EF﹣BE．【解答】证明：在CB的延长线上取BH＝DF，如图所示：∵∠ABE+∠ABH＝180°，∠ABE+∠D＝180°，∴∠ABH＝∠D，在△ADF和△ABH中，AD=AB∠D=∠ABHDF=BH，∴△ADF≌△ABH（SAS），∴AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，∴∠BAD＝∠HAF，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠EAF＝∠HAE=12∠HAF，在△HAE和△FAE中，AH=AF∠HAE=∠FAEAE=AE，∴△HAE≌△FAE（SAS），∴HE＝EF，又∵HE＝HB+BE，HB＝DF，∴EF＝BE+DF，∴DF＝EF﹣BE．【点评】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，同角的补角相等，线段的和差和等量代换等知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点是构建全等三角形和角平分线．10．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．【分析】（1）证明Rt△ACB≌Rt△DEB即可解决问题；（2）作BM平分∠ABD交AK于点M，证明△BMK≌△BGK，△ABM≌△DBG，即可解决问题．【解答】证明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，AC=DEBC=BE，∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），∴AB＝BD，（2）如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，∵∠ABF＝∠DBG＝45°∴∠MBD＝∠GBD，在△BMK和△BGK中，∠MBD=∠GBDBK=BK，∠AKB=∠BKG∴△BMK≌△BGK（ASA），∴BM＝BG，MK＝KG，在△ABM和△DBG中，AB=BD∠ABM=∠DBG，BM=BG∴△ABM≌△DBG（SAS），∴AM＝DG，∵AK＝AM+MK，∴AK＝DG+KG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BMK≌△BGK．11．（2023春•余江区期末）如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为　cm．（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据SAS证明△CBD≌△CAE即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可；（3）根据全等三角形的性质和垂直的定义解答即可．【解答】解：（1）△CBD≌△CAE，理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△CBD与△CAE中，BC=AC∠BCD=∠ACE，DC=EC∴△CBD≌△CAE（SAS）；（2）∵△CBD≌△CAE，∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm），故答案为：8；（3）AE⊥BD，理由如下：AE与CD相交于点O，在△AOD与△COE中，∵△CBD≌△CAE，∴∠ADO＝∠CEO，∵∠AOD＝∠COE，∴∠OAD＝∠OCE＝90°，∴AE⊥BD．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS得出△CBD与△CAE全等解答．12．如图①点A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE＝DF．（1）证明：EF平分线段BC；（2）若△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．【分析】（1）由AB＝CD，利用等式的性质得到AC＝BD，再由AE＝DF，利用HL得到直角三角形ACE 与直角三角形DBF全等，利用全等三角形对应边相等得到EC＝BF，再利用AAS得到三角形ECG与三角形FBG全等，利用全等三角形对应边相等得到BG＝CG，即可得证；（2）（1）中的结论成立，理由为：由AC＝DB，利用等式的性质得到AC＝BD，再由AE＝DF，利用HL 得到直角三角形ACE与直角三角形DBF全等，利用全等三角形对应边相等得到EC＝BF，再利用AAS 得到三角形ECG与三角形FBG全等，利用全等三角形对应边相等得到BG＝CG，即可得证．【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠ACE＝∠DBF＝90°，∵AB＝CD，∴AB+BC＝BC+CD，即AC＝DB，在Rt△ACE和Rt△DBF中，AE=DFAC=DB，∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），∴CE＝FB，在△CEG和△BFG中，∠ECG=∠FBG=90°∠EGC=∠BGF，EC=FB∴△CEG≌△BFG（AAS），∴CG＝BG，即EF平分线段BC；（2）（1）中结论成立，理由为：证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠ACE＝∠DBF＝90°，∵AB＝CD，∴AB﹣BC＝CD﹣BC，即AC＝DB，在Rt△ACE和Rt△DBF中，AE=DFAC=DB，∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），∴CE＝FB，在△CEG和△BFG中，∠ECG=∠FBG=90°∠EGC=∠BGF，EC=FB∴△CEG≌△BFG（AAS），∴CG＝BG，即EF平分线段BC．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及平移的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．13．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时①请说明△ADC≌△CEB的理由；②请说明DE＝AD+BE的理由；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接在横线上写出这个等量关系：　．（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接在横线上写出这个等量关系：　．【分析】（1）①由已知推出∠ADC＝∠BEC＝90°，因为∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，推出∠DAC＝∠BCE，根据AAS即可得到答案；②由①得到AD＝CE，CD＝BE，即可求出答案；（2）结论：DE＝AD﹣BE．与（1）证法类似可证出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD ＝CE，CD＝BE，代入已知即可得到答案．（3）结论：DE＝BE﹣AD．证明方法类似．【解答】解：（1）①证明：如图1中，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠CDA=∠BEC∠DAC=∠ECB，AC=BC∴△ADC≌△CEB（AAS）．②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，∵DC+CE＝DE，∴AD+BE＝DE．（2）结论：DE＝AD﹣BE．理由：如图2中，∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ADC和△CEB中，∠ACD=∠CBE∠ADC=∠BEC，AC=BC∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE．（3）结论：DE＝BE﹣AD．理由如下：如图3中，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CED＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠CEB∠DAC=∠ECB，AC=CB∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．故答案为DE＝AD﹣BE，DE＝BE﹣AD．【点评】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．14．已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°．①求证：AC＝BD．②求∠APB的度数．（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，∠APD的大小为（直接写出结果，不证明）．【分析】（1）①根据已知先证明∠AOC＝∠BOD，再由SAS证明△AOC≌△BOD，所以AC＝BD．②由△AOC≌△BOD，可得∠OAC＝∠OBD，再结合图形，利用角的和差，可得∠APB＝60°．（2）由（1）小题的证明可知，∠APB＝α，则可得出答案．【解答】（1）①证明：∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，AO=BO∠AOC=∠BOD，OC=OD∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD；②解：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，∴∠OAC+60°＝∠OBD+∠APB，∴∠APB＝60°；（2）解：由（1）可知：△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OAC＝∠OBD，∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，∴∠OAC+α＝∠OBD+∠APB，∴∠APB＝α，∴∠APD＝180°﹣α．故答案为：180°﹣α．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确运用全等三角形的性质是解题的关键．15．（1）已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE＝BD+CE．（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）利用∠BDA＝∠BAC＝α，则∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，得出∠CAE＝∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案．【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEA，AB=AC∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）结论DE＝BD+CE仍然成立，理由是：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEAAB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；得出∠CAE＝∠ABD是解题关键．16．已知：如图AC∥BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E．求证：（1）AE⊥BE；（2）AB＝AC+BD．【分析】（1）首先证明∠CAB+∠DBA＝180°，再利用角平分线的性质证明∠EAB=12∠CAB，∠EBA=12∠DBA，可得到∠EAB+∠EBA＝90°，进而可证出AE⊥BE；（2）首先在AB上截取AF＝AC，连接EF，证明△CAE≌△FAE，可证出∠CEA＝∠FEA，可得到∠FEB ＝∠DEB，再证明△DEB≌△FEB，可得到BD＝BF，即可证出AB＝AC+BD．【解答】证明：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠DBA＝180°又∵AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，∴∠EAB=12∠CAB，∠EBA=12∠DBA，∴∠EAB+∠EBA=12(∠CAB+∠DBA)=90°，∴AE⊥BE（2）在AB上截取AF＝AC，连接EF，在△CAE和△FAE中AC=AF∠CAE=∠FAE AE=AE，∴△CAE≌△FAE，则∠CEA＝∠FEA，又∠CEA+∠BED＝∠FEA+∠FEB＝90°，∴∠FEB＝∠DEB，∵BE平分∠DBA，∴∠DBE＝∠FBE，在△DEB和△FEB中∠DEB=∠FEB EB=EB∠DBE=∠FBE，∴△DEB≌△FEB（ASA），∴BD＝BF，又∵AF＝AC，∴AB＝AF+FB＝AC+BD．【点评】此题主要考查了垂直，角平分线，以及三角形全等的判定和性质，证明三角形全等是证明线段和角相等的重要手段．17．问题情境：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D．可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）；（1）特例探究：如图②，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN 上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；（2）归纳证明：如图③，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；（3）拓展应用：如图④，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为24，则△ACF与△BDE的面积之和为．（直接写出结果）【分析】（1）证明∠ABD＝∠CAF，利用AAS定理证明；（2）根据三角形的外角的性质证明∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，利用ASA定理证明；（3）根据CD＝2BD，求出△ABD的面积，根据全等三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：如图②，∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，∴∠BDA＝∠AFC＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠CAF＝90°，∴∠ABD＝∠CAF，在△ABD和△CAF中，∠ADB=∠CFA∠ABD=∠CAF，AB=AC∴△ABD≌△CAF（AAS）；（2）证明：如图③，∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠FCA+∠CAF，∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，在△ABE和△CAF中，∠ABE =∠CAF AB =AC ∠BAE =∠ACF，∴△ABE ≌△CAF （ASA ）；（3）解：如图④，∵△ABC 的面积为24，CD ＝2BD ，∴△ABD 的面积是：13×24＝8，由（2）可知，△ABE ≌△CAF ，∴△ACF 与△BDE 的面积之和等于△ABE 与△BDE 的面积之和，即等于△ABD 的面积是8，故答案为：8．【点评】本题考查的是三角形的知识的综合应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的面积公式是解题的关键．18．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是直线BC 上一点，以AD 为一条边在AD 的右侧作△ADE ，使AE ＝AD ，∠DAE ＝∠BAC ，连接DE ，CE ．（1）如图，当点D 在BC 延长线上移动时，求证：BD ＝CE ．（2）设∠BAC ＝α，∠DCE ＝β．①当点D 在线段BC 的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由．②当点D 分别在线段BC 上、线段BC 的反向延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由.【分析】（1）根据SAS 证△BAD ≌△CAE ，可得结论；（2）①由△BAD ≌△CAE ，推出∠B ＝∠ACE ，根据三角形外角性质求出即可；②α+β＝180°或α＝β，根据三角形外角性质求出即可．【解答】（1）证明：∵∠DAE ＝∠BAC ，∴∠DAE +∠CAD ＝∠BAC +∠CAD ，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE，AD=AE∴△BAD≌△CAE（SAS），（2）解：①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由是：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；②分三种情况：i）当D在线段BC上时，如图2，α+β＝180°，理由是：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，∠ABC＝∠ACE，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝α，∠DCE＝β，∴α+β＝180°，ii）当点D在线段BC反向延长线上时，如图3，α＝β．如图3，同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠ABD＝∠ACD+∠BAC，∴∠ACD+∠DCE＝∠ACD+∠BAC，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；ii）当点D在线段BC的延长线上时，如图1，α＝β．综上，当点D在BC上移动时，α＝β或α+β＝180°．【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．19．（2023春•新市区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．（1）如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明；（3）如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系．【分析】（1）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论；（2）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．（3）过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．【解答】解：（1）结论：AC＝EF+FC．理由如下：过D作DH⊥CB于H，∴∠DHC＝∠DHB＝90°，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠EFC=∠DHC=90°∠FCE=∠DCH，EC=DC∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝45°，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝CB+HB，∴AC＝FC+EF；（2）依题意补全图形，结论：AC＝EF﹣CF，理由如下：过D作DH⊥CB交BC的延长线于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∠FCE=∠DCH∠EFC=∠DHC=90°，EC=DC∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝HB﹣CH，∴AC＝EF﹣CF；（3）AC＝CF﹣EF．如图3，过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，同理可证△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∴∠B＝∠HDB＝45°，∴DH＝HB＝EF，∵BC＝CH﹣BH，∴AC＝CF﹣EF．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．20．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为　；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F 不重合），并说明理由．【分析】（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．结合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF⊥BD．【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90度．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠FAC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC ＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB ＝∠AGC ＝45°，∴AC ＝AG ，∵∠DAG ＝∠FAC （同角的余角相等），AD ＝AF ，∴△GAD ≌△CAF ，∴∠ACF ＝∠AGC ＝45°，∠BCF ＝∠ACB +∠ACF ＝45°+45°＝90°，即CF ⊥BC ．【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．21．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点D ，延长BD 交AC 于E ，G 、F 分别在BD 、BC 上，连接DF 、GF ，其中∠A ＝2∠BDF ，GD ＝DE ．（1）当∠A ＝80°时，求∠EDC 的度数；（2）求证：CF ＝FG +CE ．【分析】（1）方法一：先求∠ABC 和∠ACB 的和为100°，再根据角平分线求∠DBC +∠DCB ＝50°，再根据外角即可解决问题；方法二：在BC 上取点M ，使CM ＝CE ，证明△CDE ≌△CDM （SAS ），可得DE ＝DM ，∠DEC ＝∠DMC ，∠EDC ＝∠MDC ，证明∠BDM ＝180°―12∠ABC ﹣∠DMB ＝180°―12∠ABC ﹣∠AEB ＝∠A ＝80°，进而可以解决问题．（2）结合（1）然后证明△DGF≌△DMF（SAS），可得GF＝MF，进而可以解决问题．【解答】（1）解：方法一：∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵BE平分∠ABC、CD平分∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝50°，∴∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝50°；方法二：如图，在BC上取点M，使CM＝CE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，在△CDE和△CDM中，CE=CM∠ECD=∠MCDCD=CD，∴△CDE≌△CDM（SAS），∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，∵GD＝DE，∴GD＝MD，∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°，∴∠AEB＝∠DMF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=12∠ABC，∴∠BDM＝180°―12∠ABC﹣∠DMB＝180°―12∠ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°，∴∠EDM＝100°，∴∠EDC＝50°；（2）证明：∵∠A＝2∠BDF，∴∠BDM＝2∠BDF，∴∠FDM＝∠BDF，在△DGF和△DMF中，DG=DM∠GDF=∠MDF，DF=DF∴△DGF≌△DMF（SAS），∴GF＝MF，∴CF＝CM+FM＝CE+GF．∴CF＝FG+CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是根据题意准确作出辅助线得到△DGF≌△DMF．22．（2022秋•大同月考）已知△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AE与BD交于点F．（1）如图1．当α＝90°时．求证：①△ACE≌△BCD；②AE⊥BD；（2）如图2．当α＝60°时，直接写出∠AFB的度数为；（3）如图3，直接写出∠AFD的度数为（用含α的式子表示）．【分析】（1）先根据等角的余角相等得到∠ACE＝∠BCD，再根据等腰直角三角形的性质得AC＝BC，EC＝DC，于是可根据“SAS”判断△ACE≌△BCD，然后根据相似三角形的性质得到∠CAE＝∠CBD，根据三角形的内角和即可得到结论；（2）由已知条件得到∠ACE＝∠BCD，推出△ACE≌△BCD（SAS），根据全等三角形的性质得到∠CAE ＝∠CBD，推出A，B，F，C四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论．（3）由已知条件得到∠ACE＝∠BCD，推出△ACE≌△BCD（SAS），根据全等三角形的性质得到∠CAE ＝∠CBD即可得到结论．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，又∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD，CE=CD∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝90°，∴∠CBD+∠EAB+∠ABC＝90°，∴∠AFB＝90°，∴AE⊥BD；（2）∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD，CE=CD∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝120°，∴∠CBD+∠EAB+∠ABC＝120°，∴∠AFB＝∠ACB＝60°；故答案为：60°；（3））∵∠ACB＝∠DCE＝α，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD，CE=CD∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝180°﹣α，∴∠CBD+∠EAB+∠ABC＝180°﹣α∴∠AFB＝∠ACB＝α，∴∠AFD＝180°﹣α．故答案为：180°﹣α．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等．23．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF＝DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．【分析】（1）我们已知了三角形BED和CAB全等，那么DE＝AF+CF，因此只要求出EF＝CF就能得出本题所求的结论，可通过全等三角形来实现，连接BF，那么证明三角形BEF和BCF全等就是解题的关键，这两三角形中已知的条件有BE＝BC，一条公共边，根据斜边直角边定理，这两个直角三角形就全等了，也就得出EF＝CF，也就能证得本题的结论了；（2）解题思路和辅助线的作法与（1）完全一样；（3）结论不成立．结论：AF＝DE+EF．同（1）得CF＝EF，由△ABC≌△DBE，可得AC＝DE，AF＝AC+FC＝DE+EF．【解答】（1）证明：连接BF（如图①），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC＝BE，AC＝DE．∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴∠BCF＝∠BEF＝90°．在Rt△BFC和Rt△BFE中，BF=BFBC=BE∴Rt△BFC≌Rt△BFE（HL）．∴CF＝EF．又∵AF+CF＝AC，∴AF+EF＝DE．（2）解：画出正确图形如图②∴（1）中的结论AF+EF＝DE仍然成立；（3）不成立．结论：AF＝DE+EF．证明：连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴△BCF和△BEF是直角三角形，在Rt△BCF和Rt△BEF中，BC=BEBF=BF，∴△BCF≌△BEF（HL），∴CF＝EF；∵△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，∴AF＝AC+FC＝DE+EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过构建全等三角形来得出简单的线段相等是解题的关键．24．（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC和△DCE中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∠DCE＝90°，CD＝CE．（1）如图1，当点D在BC上时，CB＝10，AE＝4，则S四边形ABDE＝；（2）如图2，当B、C、E三点共线时，D在AC上，连接BD、AE，F是AD的中点，过点A作AG∥BD，交BF的延长线于点G，求证：AG＝AE且AG⊥AE；（3）如图3，B、C、E三点共线，且∠DBE＝15°，将线段AE绕点A以每秒10°的速度逆时针旋转，同时线段BE绕点E以每秒20°的速度顺时针旋转180°后立即以相同速度回转，设转动时间为t秒，当BE回到出发时的位置时同时停止旋转，则在转动过程中．当BE和AE互相平行或者垂直时，请直接写出此时t的值．【分析】（1）根据S四边形ABDE ＝S△ABC﹣S△DCE，求解即可．（2）如图2中，延长BD交AE于T．证明△BCD≌△ACE（SAS），推出BD＝AE，∠CBD＝∠CAE，推出BD⊥AE，证明△AFG≌△DFB（AAS），推出AG＝BD，可得结论．（3）从开始到结束出现平行，垂直，平行，平行四种情形，分别构建方程求解即可．【解答】（1）解：如图1中，∵CA＝CB＝10，AE＝4，∴CE＝CD＝AC﹣AE＝10﹣4＝6，∴S四边形ABDE ＝S△ABC﹣S△DCE=12×10×10―12×6×6＝32，故答案为：32．（2）证明：如图2中，延长BD 交AE 于T ．∵∠BCD ＝∠ACE ＝90°，BC ＝AC ，DC ＝EC ，∴△BCD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝AE ，∠CBD ＝∠CAE ，∵∠BDC ＝∠ADT ，∴∠BCD ＝∠ATD ＝90°，∴BD ⊥AE ，∵AG ∥BD ，∴∠G ＝∠FBD ，∵AF ＝FD ，∠AFG ＝∠DFB ，∴△AFG ≌△DFB （AAS ），∴AG ＝BD ，∴AG ＝AE ，∵AG ∥BD ，BD ⊥AE ，∴AG ⊥AE ．（3）由题意，第一次平行时，10t ＝75°﹣20t ，解得t =52，第一次垂直时，10t +20t ﹣75°＝90°，解得t =112，第二次平行时，20t ﹣75°+10t ＝180°．解得y =516，第三次平行时，105°﹣（20t ﹣180°）+10t ＝180°，解得t =212，综上所述，满足条件的t 的值为52或112或516或212．【点评】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的面。

全等三角形练习题含答案.docx

七年级全等测试一•选择题（共3小题）1. 如图，EB交AC于M ,交FC于D, AB交FC于N,∠ E=∠ F=90° ∠ B=∠ C, AE=AF给出下列结论：①∠ 1 = ∠2;②BE=CF③厶ACN^△ ABM:④CD=DN 其中正确的结论有（）£A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2. 如图，△ ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F.若BP=4则PF的长（）A. 2B. 3C. 1D. 2 二3. 如图，OA=OC OB=OD且OA⊥OB, OC丄OD,下列结论：①△ AOD^△ COB②CD=AB③∠ CDA=Z ABC; 其中正确的结论是（）A.①②B.①②③C.①③D.②③.解答题（共11小题）4. 如图，四边形ABCD中，对角线AC BD交于点O, AB=AC点E是BD上点，且AE=AD ∠ EAD=Z BAC(1 求证：∠ ABD=Z ACD(2)若Z ACB=65,求Z BDC的度数.5. (1)如图①，在四边形ABCD中，AB// DC, E是BC的中点，若AE是Z BAD 的平分线，试探究AB, AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；(2)如图②，在四边形ABCD中，AB// DC, AF与DC的延长线交于点F, E是BC的中点，若AE是Z BAF的平分线，试探究AB, AF, CF之间的等量关系，证明你的结论.6 .已知：在△ ABC中，AB=AC D为AC的中点，DE⊥ AB, DF⊥ BC,垂足分别为求证：△ ABC是等边三角形.7. 已知，在△ ABC中，Z A=90°, AB=AC点D为BC的中点.(1)如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF,求证：BE=AF(2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥ DF,那么BE=AF吗？请利用图②说明理由.图①8.如图，在Rt A ABC,∠ ACB=90, AC=BC分别过A、B作直线I的垂线，垂足分别为M、N.(1)求证：△ AMC^A CNB(2)若AM=3, BN=5,求AB的长.9. 已知，如图，在等腰直角三角形中，∠ C=90o, D是AB的中点，DE⊥ DF,点E F 在AC BC上，求证：DE=DF10. 如图，OC是∠ MON内的一条射线，P为OC上一点，PAlOM，PB丄ON，垂足分别为A，B，PA=PB连接AB, AB与OP交于点E.(1)求证：△ OPA^A OPB11. 如图，△ ABC和厶ADE分别是以BC, DE为底边且顶角相等的等腰三角形, 点D 在线段BC上，AF平分DE交BC于点F,连接BE, EF.B(1)CD与BE 相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由;(2) 若∠ BAC=90,求证：BF2+CD^=FC2∙12. 如图，OC是∠ AoB的角平分线，P是OC上一点，PD丄0A, PEI0B,垂足分别为D，E. F是OC上另一点，连接DF，EF.13. 如图，OP平分∠ A0B, PEXOA于E，PF⊥OB于F,点M在OA上，点N在OB 上，且PM=PN.求证：EM=FN14. 如图，△ ABC中，D为BC边上一点，BE⊥AD的延长线于E, CF⊥AD于F, BE=CF求证：D为BC的中点.答案B•选择题（共3小题）1. 如图，EB交AC于M ,交FC于D, AB交FC于N,∠ E=∠ F=90° ∠ B=∠ C, AE=AF给出下列结论：①∠ 1 = ∠2;②BE=CF③厶ACN^△ ABM:④CD=DN 其中正确的结论有（）A. 4个B. 3个C 2个D. 1个【解答】解：τ∠E=∠ F=90o, ∠ B=∠ C, AE=AF •••△ ABE^△ ACF∙∙∙ BE=CF∠ BAE=/ CAF∠ BAE-∠ BAC=Z CAF-∠ BAC∙∙∙∠ 1=∠ 2△ABE^△ ACF∙∙∙∠ B=∠ C, AB=AC又∠ BAC=/ CAB△ACN^△ ABM.④CD=DN不能证明成立，3个结论对.故选：B.2. 如图，△ ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE AE与BD相交于点P, BF⊥AE于点F.若BP=4则PF的长（）A. 2B. 3 C 1 D. 2 二【解答】解：•••△ ABC是等边三角形,∙∙∙ AB=AC∙∙∙∠ BAC=/ C.在厶ABD和厶CAE中，f AB=AC* ZBAD=ZC,AD=CEI•••△ ABD^△ CAE (SAS .∙∙∙∠ABD=∠ CAE∙∙∙∠APD=Z ABP+∠ PABN BAC=60.∙∙∙∠ BPF=Z APD=60.∙∙∙∠ BFP=90, ∠BPF=60, ∙∙∙∠ PBF=30.∙∙∙ PF= K丄」-故选：A.3. 如图，OA=OC OB=OD且OA⊥OB, OC丄OD,下列结论：①△ AOD^△ COB②CD=AB③∠ CDA=Z ABC; 其中正确的结论是（）A.①②B.①②③C.①③D.②③【解答】解：I OA⊥ OB, OC⊥ OD,∙∠AOB=Z COD=9O.∙∠AOB∏∠ AOC=Z COc+∠ AOC即∠COB Z AOD.在厶AOB和厶COD中，'AO=COZAoB-ZCO D,BO^DOL•••△ AoB^△ COD ( SAS,∙∙∙ AB=CD ∠ ABO=∠ CDO.在厶AOD和厶COB中r AO=CO* ZACD=ZCOB,HO 二BO•••△ AOD^△ COB ( SAS∙∙∙∠ CBO=Z ADO,∙∙∙∠ ABO-∠ CBO=Z CDO-∠ ADO,即∠ ABC=/ CDA综上所述，①②③都是正确的.故选：B.二.解答题(共11小题)4. 如图，四边形ABCD中，对角线AC BD交于点O, AB=AC点E是BD上点，且AE=AD ∠ EAD=Z BAC(1)求证：∠ ABD=∠ ACD(2)若∠ ACB=65 ,求∠ BDC的度数.【解答】证明：(1)v∠ BAC=/ EAD∙∙∙∠BAC-∠ EAC∠ EAD-∠ EAC 即：∠ BAE=/ CADf AB=AC在厶ABE和厶ACD中* ZBAE=ZCADAE=ADI(2)τ∠ BOC是厶ABO和ADCO的外角∙∙∙∠BOC=/ ABD+∠ BAC, ∠ BOC=Z ACD+∠ BDC∙∙∙∠ ABcH-∠ BAC=Z ACcH-∠ BDCτ∠ ABD=∠ ACD∙∙∙∠ BAC=/ BDC∙∙∙∠ ACB=65, AB=AC∙∙∙∠ ABC=/ ACB=65∙∙∙∠BAC=180-∠ ABC-∠ ACB=180-65° - 65°=50°∙∙∙∠ BDC=/ BAC=50.5. (1)如图①，在四边形ABCD中，AB// DC, E是BC的中点，若AE是∠ BAD 的平分线，试探究AB, AD, DC之间的等量关系，证明你的结论；(2)如图②，在四边形ABCD中，AB// DC, AF与DC的延长线交于点F, E是BC的中点，若AE是∠ BAF的平分线，试探究AB, AF, CF之间的等量关系，证明你的结论.V E是BC的中点, ∙∙∙ CE=BEV AB// DC,【解答】解: (1)证明：延长AE交DC的延长线于点F,Br ZBAE=ZF在厶AEB和厶FEC中,ZMB二ZFEC,BE=CEI•••△ AEB^△ FEC∙∙∙ AB=FCV AE是∠ BAD的平分线，∙∙∙∠ BAE=/ EAD,V AB// CD,∙∙∙∠ BAE=/ F,∙∙∙∠ EAD=Z F,∙∙∙ AD=DF.∙. AD=DF=DCCF=D(+AB ,(2)如图②，延长AE交DF的延长线于点G , V E是BC的中点，.CE=BEV AB// DC,.∠ BAE=/ G,在厶AEB和厶GEC中，* Z规B=ZGEC,BE=CEI•••△ AEB^△ GEC.AB=GCV AE是∠ BAF的平分线,.∠ BAG=Z FAGV AB// CD,.∠ BAG=Z G ,图① 圏②∙∙∙∠ FAG=∠ G ,∙∙∙ FA=FG∙∙∙ AB=CG=A+CF,6 .已知：在△ ABC 中，AB=AC D 为AC 的中点，DE ⊥ AB, DF ⊥ BC,垂足分别为点E , F ,且DE=DF 求证：△ ABC 是等边三角形.【解答】证明：T DEXAB, DF ⊥ BC,垂足分别为点E , F ,∙∙∙∠ AED=Z CFD=90,V D 为AC 的中点，∙∙∙ AD=DC在 Rt A ADE 和 Rt A CDF 中，fAD=DCIDE=DF∙∙∙ Rt A ADE ^ Rt A CDF∙∙∙∠ A=∠ C,∙∙∙ BA=BC V AB=AC∙∙∙ AB=BC=AC•••△ ABC 是等边三角形.7. 已知,在厶ABC 中,∠ A=90o ° AB=AC 点D 为BC 的中点.(1) 如图①,若点E 、F 分别为AB 、AC 上的点,且DE ⊥DF ,求证：BE=AF(2) 若点E 、F 分别为AB 、CA 延长线上的点,且 DE ⊥ DF ,那么BE=AF 吗？请【解答】(1)证明：连接AD ,如图①所示.∙∙∙∠ A=90, AB=AC•••△ ABC为等腰直角三角形，∠ EBD=45.•••点D为BC的中点，∙∙∙ ADh BC=BD ∠ FAD=45.2∙∙∙∠BDE∏∠ EDA=90 , ∠ EDA+∠ ADF=90 ,∙∙∙∠ BDE=/ ADF.r ZEBD=ZFAD在△BDE和△ ADF 中,BD=AD ,ZBDE=ZADFL•••△ BDE^△ ADF (ASA ,∙∙∙ BE=AF(2) BE=AF证明如下：连接AD,如图②所示.∙∙∙∠ ABD=∠ BAD=45,∙∙∙∠ EBD=/ FAD=135.∙∙∙∠EDB∏∠ BDF=90, ∠ BDF+∠ FDA=90,∙∙∙∠ EDB=/ FDAr ZEBD=ZFAD在△ EDB和△ FDA 中,BD=AD ,ZEDB=ZFDAI•••△ EDB^△ FDA (ASA),B C图①8. 如图，在Rt A ABC,∠ ACB=90, AC=BC分别过A、B作直线I的垂线，垂足分别为M、N.(1)求证：△ AMC^A CNB(2)若AM=3, BN=5,求AB的长.【解答】解：(1)v AM丄I, BN丄l,∠ ACB=90,∙∙∙∠AMC=∠ ACB=Z BNC=90,∙∙∙∠MAC+∠MCA=90 ,∠MCA+∠NCB=180 - 90°=90°,∙∙∙∠MAC=∠ NCB,在厶AMC和厶CNB中，'Z AJIC=Z BNCZMAC=ZNCB,AC=BCL•••△ AMC^A CNB (AAS；(2)v^ AMC^A CNB,.∙. CM=BN=5∙∙∙Rt△ACM中,AC= 「=,_「=「;：，V Rt A ABC, ∠ACB=90, AC=BC=三,∙AB=I；'= 11 ;=2 ■'.B C9. 已知，如图，在等腰直角三角形中，∠ C=90o, D是AB的中点，DE⊥ DF,点E F 在AC BC上，求证：DE=DF【解答】证明：连接CD.T在等腰直角三角形ABC中，D是AB的中点.∙∙∙ CD为等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线.∙∙∙ CD丄AB,∠ ACD=Z BCD=45, CD=BD=AD又V DEX DF∙∙∙∠ EDC∠ FDB在厶ECD^n△ FBD中'Z EDC=Z FDB，CD=BDZECD=ZFBD=45flL•••△ ECD^△ FDB (ASA10. 如图，OC是∠ MON内的一条射线，P为OC上一点，PAlOM, PB丄ON, 垂足分别为A，B，PA=PB连接AB, AB与OP交于点E.(1)求证：△ OPA^A OPB(2)若AB=6,求AE的长.【解答】解：(1)∙∙∙ PA⊥ OM, PB丄0N,∙∙∙∠PAO=∠ PBO=90,又V PA=PB PO=PO∙∙∙ Rt A AOP^ Rt A BoP(2)V A OPA^A OPB∙∙∙∠APE=/ BPE又V PA=PB∙∙∙ AE=BE∙∙∙ AE= AB=3.211. 如图,△ ABC和厶ADE分别是以BC, DE为底边且顶角相等的等腰三角形, 点D 在线段BC上,AF平分DE交BC于点F ,连接BE, EF.(1)CD与BE相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；(2)若∠ BAC=90 ,求证：Bh+CD2=FD2∙【解答】解：（1）CD=BE理由如下:VA ABC和厶ADE为等腰三角形,∙∙∙ AB=AC AD=AEV∠ EAD=Z BAC∙∙∙∠EAD-∠ BAD=/ BAC-∠ BAD,即∠ EAB=∠ CAD,r AE=AD在厶EAB与厶CAD 中ZEAB=ZCAD,AB=ACI•••△ EAB^△ CAD,∙∙∙ BE=CD(2)τ∠BAC=90,•••△ ABC和厶ADE都是等腰直角三角形，∙∙∙∠ABF=Z C=45,•••△ EAB^△ CAD,∙∙∙∠EBA=/ C ,∙∙∙∠EBA=45 ,∙∙∙∠EBF=90,在Rt A BFE中,BF2+BE Z=ElF ,V AF平分DE ,∙∙∙ AF垂直平分DE,∙∙∙ EF=FD由(1)可知,BE=CD∙∙∙ BF2+CD2=FD212. 如图,OC是∠ AOB的角平分线,P是OC上一点,PD丄OA, PElOB,垂足分别为D , E. F是OC上另一点，连接DF, EF.求证：DF=EF【解答】证明：V OC是∠ AOB的角平分线,P是OC上一点,PD丄OA, PEl OB , ∙∙∙∠DOP=Z EOP PD=PE在 Rt A PoD 和 Rt A PoE 中，严二PE ,L OP=OP∙∙∙ Rt A POD ^ Rt A POE ( HL ),∙∙∙ OD=OEOD-OE在A ODF 和A OEF 中,ZmF=ZEOF ,L OF=OF•••△ ODF ^ A OEF (SAS ,∙∙∙ DF=EF13. 如图，OP 平分∠ AOB, PEXOA 于E , PF ⊥OB 于F ,点M 在OA 上，点N 在 OB 上，且 PM=PN .求证：EM=FN 【解答】证明： B•••点P 在∠ AOB 的平分线上，PE 丄0A 于E , PF 丄OB 于F ,∙∙∙ PF=PE在 Rt A PEM 和 Rt A PEN 中r PH-PN,(PE-PF ∙∙∙ Rt A PEM B Rt A PEN ( HL ), ∙∙∙ EM=FN14. 如图，△ ABC 中，D 为BC 边上一点，BE ⊥AD 的延长线于E, CF ⊥AD 于F , BE=CF 求证：D 为BC 的中点.【解答】证明：TBEIAD 的延长线于E , CFL AD 于F ,∙∙∙∠ CFD=∠ BED=90,r ZCFD=Z BED= 90β 在△BED和△ CFD中，ZCDF=ZBDEHE 二CF•••△ CDF^△ BDE (AAS∙∙∙ CD=BD∙∙∙ D为BC的中点.。

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专题7
全等三角形
知识归纳
1.定义：能够完全重合的两个
2.性质：全等△的对应边、对应角、对应角的平分线、对应边上的中线、高相等。

3.判定：SAS、ASA、AAS. SSS、HL.
4.判定两个△全等的思路：
(1)有两边对应相等时，找夹角相等或第三边相等。

(2)有一边和一角对应相等时，找另一角相等或夹角的另一边相等。

(3)有两角对应相等时，找一对对应边相等。

5.重要辅助线：“截长补短法”、“倍长中线法”。

特别提示
1 . △全等的判定中至少有一个条件是边。

2. SSA不一定全等。

3. △稳定的依据是SSSo
4•证两个△全等是证明角等、线段等的重要手段。

典例精析
1.(01重庆)如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的
玻璃，那么最省事的办法是()
A.带①去
B.带②去
C.带③去
D.带①和②去
2.下列判断正确的是()
A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个△全等
B.三个角对应相等的△全等
C.有一边和一角对应相等的两个Rt△全等
D.有两角和一边对应相等的△全等
3.根据下列条件，能唯一画出AABC的是()
A. AB=3, BCM, AC=8
B. A B 二4, BC 二3, ZA=3()° C・ ZA=6()', ZB=45°, ABM D. ZC 二9(几AB 二6
4.如图2, AABC^ABAD, ZC 和ZD 对应，AC 和BD 对应，AB二8, BD二5, AD二7。

那么BC 的长为( )
A. 8
B. 5
C. 7
D.无法确定
5.如图3,已知AB二AC, AE二AD,则①Z\ABD竺Z\ACE；②ABOE竺△COD；③0在ZBAC的平分线上。

以上结
论 A.都正确 B.都不正确 C.只有一个正确 D.只有一个不正确 ()
6.如图4,在厶ABC屮，AB二AC, BF=CD, BD二CE, ZFDE二a,则下列结论正确的是()
7.如图5,己知AC、BD交于0点,OA=OB, OC=OD,则全等三角形有_______________________ 对。

8.如图6,已知C是ZAOB平分线上一点，点P、P分别在边04、03上，如果要得到OP=OP ,需要
添加以下条件中的一个即可，请你写出所有可能结果的序号为_____________________ o
(1) Z0CP=Z0CP (2) Z0PC = Z0P C (3) PC = P C (4) PP丄0C
9.如图7,己知AB二AC, BD二DC, AD与BC交于点E,由这些条件你能推岀哪些结论？(至少写出两个) 。

D. a +ZA=180°
图2 图3
C. 2a+ZA二90°
A
13.
（07重庆）如图11, B 、F. C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G, AB 丄BE,垂足为氏DE 丄BE,
15.如图13,在AABC 中，AD 是ZBAC 的平分线，交BC 于D, 若 AC=AB+BD, ZC
二30 ,求ZB 的度数。

如图14,公园里有一条“Z”形公路，其中AB 〃CD,在AB 、BC. CD 三段路旁各有一只小石凳E 、\1、F, 且BE
④CD 二DN,其中正确的结论是
（把你认为所有正确结论的序号填上）。

11.如图 9,在 RtAABC 中,ZC=90\
DE 丄AB 于 D,交 AC 于 E,若 BC 二BD, AC=8cm, BC=6cnb AB=10cm,
I) A
12.
（06重庆）如图，A 、求证：（1） AAEF^ABCD ；
B 在同一直线上,AD 二
BF,
（2） EF 〃CD 。

14. 垂足为E ，且AB=DE, BF=CEo 求证: 如图12,已知AM 是ZXABC 的BC 边上的中线,求证:
16.
则△ ADE 的周长是
B
D 、
、 B
(1) AABC^ADEF ；
图II
A
A
图14
二CF, M在BC的中点。

三只小石凳E、M、F会在一条直线上吗？证明你的结论。

专题8角平分线的性质
知识归纳
1.画法：依据是SSS 。

2. 性质：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等；②△的三条角平分线相交于一点。

3. 判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

4. 重要辅助线：翻折法、作距离。

特别提示
性质是证“线段相等”的又一重要方法；判定是证“角相等”的又一重要方法。

典例精析
则D 到AB 的距离等于 _________ o
7. 如图7, AB 〃CD,点P 至UAB 、BC 、CD 的距离相等，则ZP 二 ____________ 。

8. 如图8, OB 与OC 分别是AABC 的ZB 与ZC 的平分线，那么ZBAO 与ZCAO 大小关系为 _______________ 。

9. 如图9,在ZXABC 中，ZACB=90 , CD 丄AB 于D, AE 是ZBAC 的平分线，CD 交AE 于点F 。

点E
1.如图 1,在ZkABC 中,AD 平分ZCAE, ZB=30°, ZCAD=65°,则ZACD 等于 () A. 5() B. 65° C. 8() D. 95
2.如图 2,在AABD 中，ADM, AB=3, AC 平分ZBAD,则 : S^CD =
()
A. 3:4
B. 4:3
C. 16:19
D.不能确定
3.如图3,在ZXABC 中，ZC 二90", AD 平分ZBAC, DE 丄AB 于E,则下列结论： ①AD 平分ZCDE ；
②ZBAC 二ZBDE ；③DE 平分ZADB ；④BE+AC 二AB 。

其中正确的有
()
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 1个
ZD 二90 , 4.如图 4, AD/7BC, AP 平分ZDAB,
PB 平分ZABC,点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系
5. 6. 是
A. PD>PC
B. PD<PC
C. PD 二PC
在△ABC 中,ZC=90\
如图 6,在AABC 中，ZC=90\ AD 平分ZBAC, CD 二6cm, AB=15cm,
BC=16cm, ZBAC 的平分线 AD 交 BC 于 D,且 CD ： D3 = 3：5,
如图5, B
D.
如图11, ZB 二ZC 二90°
, M 是BC 的中点, DM 平分ZADCo 求证：AM 平分ZDAB 图
12.如图 12, PA=PB, Zl+Z2=180°o 求证：0P 平分ZAOBo
13.如图13, AABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，PR 丄AB 于R, 则
PQ 与AB 是否平行？请说明理由。

14. 如图14, AABC 中，AB 二AC, ZA 二90°, ZB 的平分线交AC 于D,过C 作BD 的垂线,
于 Eo 求证：BD=2CEo
15. 如图，在AABC 中，AB=2AC, AD 平分ZBAC,且 AD 二BD 。

求证：CD 丄AC 。

A
11. 交BD 的延长线
A
B
图15。