2018高考数学客观选填题讲座 第3讲 客观“瓶颈”题突破——冲刺高分

2018高考数学客观选填题讲座第3讲 客观“瓶颈”题突破——冲刺高分题型概述 “瓶颈”一般是指在整体中的关键限制因素，例如，一轮、二轮复习后，很多考生却陷入了成绩提升的“瓶颈期”——无论怎么努力，成绩总是停滞不前.怎样才能突破“瓶颈”，让成绩再上一个新台阶？全国高考卷客观题满分80分，共16题，决定了整个高考试卷的成败，要突破“瓶颈题”就必须在两类客观题第10，11，12，15，16题中有较大收获，分析近三年高考，必须从以下几个方面有所突破，才能实现“柳暗花明又一村”，做到保“本”冲“优”.压轴热点一 函数的图象、性质及其应用【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A.11B.9C.7D.5(2)(2017·天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数.若a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f ()log 24.1，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <b <c B.b <a <c C.c <b <aD.c <a <b信息联想 (1)信息①：由x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，联想到周期.信息②：由f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，联想到周期范围.(2)信息①：f (x )在R 上是增函数.信息②：看到a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215，想到进行转化为a ＝f (log 25).解析 (1)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T4＋kT (k ∈Z )，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω(k ∈Z )，所以ω＝4k ＋1(k ∈Z )，又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9.(2)∵f (x )是R 上的奇函数，∴a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 215＝f (log 25).又log 25>log 24.1>2，1<20.8<2，因此log 25>log 24.1>20.8， 结合函数的单调性：f (log 25)>f ()log 24.1>f (20.8)， 所以a >b >c ，即c <b <a . 答案 (1)B (2)C探究提高 1.根据函数的概念、表示及性质求函数值的策略(1)对于分段函数的求值(解不等式)问题，依据条件准确地找准利用哪一段求解，不明确的要分情况讨论.(2)对于利用函数性质求值的问题，依据条件找到该函数满足的奇偶性、周期性、对称性等性质，利用这些性质将待求值调整到已知区间上求值. 2.求解函数的图象与性质综合应用问题的策略(1)熟练掌握图象的变换法则及利用图象解决函数性质、方程、不等式问题的方法. (2)熟练掌握确定与应用函数单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性及零点解题的方法.【训练1】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑m i ＝1(x i ＋y i )＝( ) A.0 B.m C.2m D.4m(2)已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2.若在区间[－1，3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围为________.解析 (1)法一 由题设得12(f (x )＋f (－x ))＝1，点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))关于点(0，1)对称，则y ＝f (x )的图象关于点(0，1)对称.又y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，x ≠0的图象也关于点(0，1)对称.则交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对关于点(0，1)对称. 则∑mi ＝1 (x i ＋y i )＝∑mi ＝1x i ＋∑mi ＝1y i ＝0＋m2×2＝m ，故选B.法二 特殊函数法，根据f (－x )＝2－f (x )可设函数f (x )＝x ＋1，联立y ＝x ＋1x ，解得两个点的坐标为⎩⎨⎧x 1＝－1，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝1，y 2＝2，此时m ＝2，所以∑m i ＝1 (x i ＋y i )＝2＝m ，故选B.(2)依题意得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数.g (x )＝f (x )－kx －k 在区间[－1，3]内有4个零点，即函数y ＝f (x )与y ＝k (x ＋1)的图象在区间[－1，3]内有4个不同的交点.在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，注意到直线y ＝k (x ＋1)恒过点(－1，0)，由题及图象可知，当k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时，相应的直线与函数y ＝f (x )在区间[－1，3]内有4个不同的交点，故实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.答案 (1)B (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14压轴热点二 直线与圆的位置关系【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________.信息联想 信息①，由直线l 截圆x 2＋y 2＝12所得弦长|AB |＝23，联想到求弦心距，进而求得m 的值及A ，B 坐标.信息②：AC ⊥l ，BD ⊥l ，联想求AC ，BD 方程.解析 设AB 的中点为M ，由题意知，圆的圆心为O (0，0)，半径R ＝23，|AB |＝23，所以|OM |＝3， 即|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33， 由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2，0)，D (2，0)， 所以|CD |＝4. 答案 4探究提高 解决直线与圆的位置关系要抓住两点： (1)抓住直线、圆的几何特征，作出正确示意图，数形结合. (2)灵活利用圆的几何性质、寻找突破口，减少运算量.【训练2】 已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积为2，则k 的值为________.解析 由圆的方程得x 2＋(y －1)2＝1，所以圆心为C (0，1)，半径r ＝1， 四边形P ACB 的面积S ＝2S △PBC ，因为四边形P ACB 的最小面积为2，所以S △PBC 的最小值为1，而S △PBC ＝12r ·PB ，即PB 的最小值为2， 此时PC 最小为圆心到直线的距离，此时d ＝|5|k 2＋1＝12＋22＝5，则k 2＝4，因为k >0，所以k ＝2. 答案 2压轴热点三 函数与导数的综合应用 【例3】 (2017·郑州一模)已知a ≥43cos θd θ，则曲线f (x )＝ax ＋2a ln(ax －1)在点(2，f (2))处切线的斜率的最小值为________.信息联想 信息①：由曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率联想导数的几何意义，表示出f ′(2). 信息②：由a ≥43cos θd θ与要求的f ′(2)最值，联想基本不等式或函数的单调性求最值. 解析 ∵cos θd θ＝sin θ⎪⎪⎪⎪π60＝12，∴a ≥43×12＝23， 又f ′(2)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋2a ln （ax －1）′|x＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2a ·a ax －1|x ＝2＝a ＋22a －1. 当a ≥23时，2a －1>0.∴f ′(2)＝12(2a －1)＋22a －1＋12≥22a －12·22a －1＋12＝52.当且仅当12(2a －1)＝22a －1，即a ＝32时等号成立，所以f ′(2)的最小值为52. 答案 52探究提高 1.涉及导数的几何意义，一定分清是在点P (x 0，y 0)的切线，而不是过点P (x 0，y 0)的切线斜率；当点P 不是切点时，首先要设法求出切点的坐标. 2.利用导数解不等式问题，主要是构造函数，利用导数研究函数的单调性，常见的构造函数的方法有移项法、构造形似函数法、主元法、放缩法等.【训练3】 (1)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x (a ∈R )，g (x )＝－a x ，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使f (x 0)>g (x 0)成立，则实数a 的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e ，＋∞ B.(0，＋∞) C.[0，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞ (2)(2017·石家庄质检)函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝2且f (x )在R 上的导数f ′(x )满足f ′(x )－3>0，则不等式f (log 3x )<3log 3x －1的解集为________.解析 (1)由题意知，f (x )－g (x )>0在[1，e]上有解，即ax －2ln x >0，a >⎝ ⎛⎭⎪⎫2ln x x min .设y ＝2ln xx ，则y ′＝2（1－ln x ）x 2≥0，y 在[1，e]上单调递增，因此当x ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2ln x x min ＝0，所以a >0.(2)设φ(x )＝f (x )－3x ＋1，x ∈R ，则φ′(x )＝f ′(x )－3>0，φ(x )在(－∞，＋∞)上是增函数， 由f (1)＝2，知φ(1)＝f (1)－3×1＋1＝0，又f (log 3x )<3log 3x －1，即f (log 3x )－3log 3x ＋1<0. ∴φ(log 3x )<φ(1)，得log 3x <1，则0<x <3. 故原不等式的解集为(0，3). 答案 (1)B (2)(0，3)压轴热点四 圆锥曲线及其性质【例4】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2B.4C.6D.8(2)(2016·山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________. 信息联想 (1)信息①：由条件中准线、焦点联想确定抛物线C 的方程y 2＝2px (p >0). 信息②：看到|AB |＝42，|DE |＝25，及点A ，D 的特殊位置，联想求A ，D 的坐标，利用点共圆，得p 的方程.(2)信息①：看到矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，想到双曲线的对称性，得AB ⊥x 轴，CD ⊥x 轴，且|AB |＝|CD |＝2b 2a .信息②：看到2|AB |＝3|BC |，想到由此构建关于a ，b ，c 的方程，进而得关于ca 的方程求e .解析 (1)不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，∵|AB |＝42，点A 是圆与抛物线交点，由对称性设A (x 1，22)，则x 1＝（22）22p ＝4p .又|DE |＝25，且点D 是准线与圆的交点， ∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5且|OD |＝|OA |.从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 2＋(22)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 22＋(5)2，解得p ＝4.因此C 的焦点到准线的距离是4.(2)由已知及双曲线的对称性得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，所以|AB |＝2b 2a ，且|BC |＝2c ，又2|AB |＝3|BC |，所以2×2b 2a ＝3×2c ， 整理得2b 2＝2(c 2－a 2)＝3ac ，等号两端同除以a 2得2(e 2－1)＝3e ，解得e ＝2. 答案 (1)B (2)2探究提高 1.涉及与圆锥曲线方程相关问题，一定要抓住定义，作出示意图，充分利用几何性质，简化运算.2.双曲线的离心率与渐近线是高考的热点，求圆锥曲线离心率大小(范围)的方法是：根据已知椭圆、双曲线满足的几何条件及性质得到参数a ，b ，c 满足的等量关系(不等关系)，然后把b 用a ，c 表示，求ca 的值(范围).【训练4】 (1)(2017·唐山一模)已知双曲线C ：x 2－y 23＝1的右顶点为A ，过右焦点F 的直线l 与C 的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B ，则S △ABF ＝( ) A. 3B.32C.334D.338(2)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M (x 0，4)是抛物线C 上一点，以M 为圆心，|MF |为半径的圆被直线x ＝－1截得的弦长为27，则|MF |＝________. 解析 (1)由双曲线C ：x 2－y 23＝1，得a 2＝1，b 2＝3.∴c ＝a 2＋b 2＝2.∴A (1，0)，F (2，0)，渐近线方程为y ＝±3x ， 不妨设BF 的方程为y ＝3(x －2)， 代入方程y ＝－3x ， 解得：B (1，－3).∴S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12·1·3＝32. (2)由抛物线定义可得：|MF |＝x 0＋p2，因为以M 为圆心，|MF |为半径的圆被直线x ＝－1截得的弦长为27，所以7＋(x 0＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋p 22，又16＝2px 0，联立解得p ＝4，x 0＝2，故|MF |＝2＋42＝4. 答案 (1)B (2)4压轴热点五 不等式及基本不等式的应用【例5】 设a >0，b >0.若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中含x 3项的系数为20，则1a ＋1b 的最小值为________.信息联想 信息①：看到x 3项的系数为20，联想二项展开式的通项公式. 信息②：看到求两变量的函数1a ＋1b的最小值，联想到基本不等式.解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6展开式的通项公式，T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r ＝C r 6a 6－r b r x 12－3r.令12－3r ＝3，得r ＝3.故展开式中x 3的系数C 36a 3b 3＝20，则ab ＝1.则1a ＋1b ＝a ＋bab ＝a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时，上式等号成立，故1a ＋1b 的最小值为2. 答案 2探究提高 1.解决条件最值的思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解；②对条件变形，进行“1”的代换求目标函数的最值.2.有些题目不具备直接用基本不等式的条件时，可通过拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换等手段，使之能运用基本不等式进行求解. 【训练5】 已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >13，则f (e x )>0的解集为( )A.{x |x <－1或x >－ln 3}B.{x |x >－ln 3}C.{x |－1<x <－ln 3}D.{x |x <－ln 3}解析 由题设知，f (x )>0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，13，又f (e x )>0，得－1<e x <13，∴x <ln 13＝－ln 3，故f(e x)>0的解集为{x|x<－ln 3}. 答案 D。