2019高中数学(人教A版,必修四) 第二章 平面向量 2.4.1 课时作业(含答案)
高一数学人教A版必修四练习：第二章平面向量2.4.2含解析
( 本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题 ( 每题 5 分，共 20 分)1．已知向量 a＝ ( 0，－ 2 3) ， b＝ ( 1，3) ，则向量 a 在 b 方向上的投影为 () A . 3 B ． 3C．－ 3D．－3向量 a 在 b 方向上的投影为a· b－ 6分析：| b|＝2＝－3.选 D.答案：D2．设 x∈ R ，向量 a＝ ( x， 1) ， b＝ ( 1，－ 2) ，且 a⊥ b，则 | a＋ b| ＝ ()A . 5 B. 10C．2 5 D ．10分析：由 a⊥b 得 a· b＝ 0，∴x× 1＋ 1× ( － 2) ＝0，即 x＝2，∴a＋ b＝ ( 3，－ 1) ，∴| a＋ b| ＝32＋（－ 1）2＝ 10.答案：B3．已知向量a＝ ( 2， 1) ，b＝ ( － 1， k) ， a·(2a－ b) ＝ 0，则 k＝ ()A．－ 12B．－ 6C．6 D ．12分析：2a－ b＝ ( 4， 2) － ( － 1，k) ＝ ( 5， 2－k) ，由 a·(2a－ b) ＝ 0，得 ( 2， 1) ·(5，2－ k) ＝ 0，∴ 10＋ 2－k＝ 0，解得 k＝ 12.答案：D4．a，b 为平面向量，已知 a＝( 4，3) ，2a＋b＝ ( 3，18) ，则 a，b 夹角的余弦值等于 () 8B．－8A. 65651616C. 65D．－658＋ x＝ 3，x＝－ 5，分析：设 b＝ ( x，y) ，则 2a＋b＝ ( 8＋ x，6＋ y) ＝ ( 3，18) ，因此解得y＝12，6＋ y＝ 18，a· b16故 b＝ ( － 5， 12) ，因此 cos〈 a，b〉＝| a|| b|＝65.答案：C二、填空题 ( 每题 5 分，共 15 分)5．已知 a＝ ( －1， 3) ， b＝ ( 1， t) ，若 ( a－ 2b) ⊥a，则 | b| ＝ ________．分析：∵ a＝ ( － 1， 3) ， b＝ ( 1， t) ，∴a － 2b＝ ( －3 ， 3－ 2t) ．∵(a－ 2b) ⊥ a，∴(a －2b) ·a＝0，即 ( －3) × ( － 1) ＋ 3( 3－ 2t) ＝0，解得 t＝ 2，∴ b＝ ( 1，2) ，∴|b| ＝12＋ 22＝5.答案：56．已知向量 a＝ ( 1， 3) ，2a＋b＝ ( － 1， 3) ，a 与 2a＋ b 的夹角为θ，则θ＝ ________．分析：∵ a＝( 1，3) ，2a＋b＝ ( － 1，3) ，∴|a| ＝2，| 2a＋ b| ＝ 2，a·(2a＋ b) ＝ 2，a·（ 2a＋ b）1，∴ θ＝π∴cos θ＝| a|| 2a＋ b|＝.23答案：π37．已知向量 a＝(3， 1) ， b 是不平行于x 轴的单位向量，且a· b＝ 3，则向量 b 的坐标为 ________．1分析：设 b＝( x，y)( y≠0) ，则依题意有x2＋ y2＝ 1x＝2，故 b＝1 3 .，解得32，23x＋y＝ 3y＝2答案：1， 322三、解答题 ( 每题10 分，共20 分)8．已知平面向量 a＝ ( 1，x) ， b＝ ( 2x＋ 3，－ x) ， x∈ R.( 1) 若 a⊥ b，求 x 的值；( 2) 若 a∥ b，求 | a－ b|.分析：( 1) 若 a⊥ b，则 a· b＝ ( 1， x) ·(2x＋3，－ x) ＝1× ( 2x＋ 3) ＋ x( － x) ＝ 0，即 x2－ 2x－ 3＝ 0，解得 x＝－ 1 或 x＝ 3.( 2) 若 a∥ b，则 1× ( － x) －x( 2x＋ 3) ＝0，即 x( 2x＋4) ＝ 0，解得 x＝ 0 或 x＝－ 2.当 x ＝ 0 时， a ＝ ( 1， 0) ， b ＝ ( 3， 0) ， a － b ＝( － 2， 0) ， | a － b| ＝ 2.当 x ＝－ 2 时， a ＝ ( 1，－ 2) ， b ＝ ( －1， 2) ，a －b ＝( 2，－ 4) ， | a － b| ＝ 4＋ 16＝ 2 5.9．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( 1， 4) ，B( － 2，3) ， C( 2，－ 1) ． ( 1) → →→ → ；求AB ·AC 及| AB＋AC|( 2)→ → →设实数 t 知足 ( AB － tOC) ⊥ OC ，求 t 的值．分析： → →，( 1) ∵AB ＝ ( －3，－ 1) ， AC ＝ ( 1，－ 5)→ →∴AB ·AC ＝－ 3× 1＋ ( － 1) ×( － 5) ＝2.→ →∵AB ＋ AC ＝ ( － 2，－ 6) ，→ → 4＋ 36＝ 2 10.∴| AB ＋ AC| ＝→→ →→| 2→→(或| AB|＝ |AB|2＋| AC ＋2AB · AC＝ 10＋ 26 ＋2×2＋ AC＝2 10)→ → →( 2) ∵AB － tOC ＝ ( － 3－ 2t ，－ 1＋ t) ， OC ＝ ( 2，－ 1) ， → → →且 ( AB － tOC) ⊥ OC ，→ → →∴( AB － tOC) · OC ＝0，∴( － 3－ 2t) ×2＋ ( － 1＋ t) ·(－ 1) ＝0，∴t ＝－ 1.能力测评10．已知 A( －2， 1) ，B( 6，－ 3) ， C( 0， 5) ，则△ ABC 的形状是 ( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形分析：→→→→ →由题设知 AB，AC ＝ ( 2，4) ，BC ＝ ( － 6，8) ，∴ AB ·AC ＝ 2× 8＋ ( －＝( 8，－ 4)→→4) × 4＝ 0，即 AB ⊥ AC.∴∠BAC ＝ 90°，故 △ ABC 是直角三角形．答案：A11．与向量 a＝7， 11，－7的夹角相等，且模为 1 的向量是 ________．22， b＝22a· e＝ b· e分析：设知足题意的向量为e＝ ( x， y) ，则联立可求．| e| ＝ 1，答案：4，－3或－4，3555512．已知向量a＝ ( － 2，2) ， b＝ ( 5， k) ．( 1) 若 a⊥ b，求 k 的值；( 2) 若 | a＋ b| 不超出 5，求 k 的取值范围．分析：( 1) ∵ a⊥ b，∴ a· b＝ 0，即 ( － 2， 2) ·(5， k) ＝ 0，( － 2) × 5＋ 2k＝ 0? k＝5. ( 2) a＋b＝ ( 3， 2＋ k) ，∵|a＋ b| ≤ 5，∴| a＋ b| 2＝32＋( 2＋ k) 2≤ 25，得－ 6≤k≤ 2.13．已知 a， b， c 是同一平面内的三个向量，此中a＝( 1， 2) ．( 1) 若 | c| ＝ 25，且 c∥a，求 c 的坐标；( 2) 若 | b| ＝5，且 a＋2b 与 2a－ b 垂直，求 a 与 b 的夹角θ. 2分析： ( 1) 设 c＝ ( x， y) ，∵|c| ＝ 25，∴ x2＋ y2＝ 2 5，∴x2＋ y2＝ 20.由 c∥ a 和 | c| ＝ 2 5，1· y－ 2· x＝ 0，x＝ 2，x＝－ 2，可得解得或x2＋ y2＝ 20，y＝ 4，y＝－ 4.故 c＝ ( 2， 4) 或 c＝ ( － 2，－ 4) ．( 2) ∵(a＋ 2b) ⊥(2a－ b) ，∴(a＋2b) ·(2a－ b) ＝ 0，即 2a2＋ 3a· b－ 2b2＝ 0，55∴2× 5＋ 3a· b－ 2×4＝ 0，整理得a·b＝－2，a· b∴cos θ＝| a|| b|＝－ 1.又θ∈[0，π] ，∴ θ＝π.。
第二章平面向量课时作业人教A版必修四第2章2.3.2、2.3.3课时作业
基础达标1．给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是( )．A ．1 B.2 C ．3 D.4解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．答案 C2．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－12 C ．(－8,1) D.(8,1)解析 AB →＝OB →－OA →＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1)，∴12AB →＝12(－8,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12. 答案 A3．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )．A ．(－2，－4)B.(－3，－5) C ．(3,5) D.(2,4)解析 ∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．答案 B4．a ＝(4,6)，且a ＝2b ，那么b 的坐标是________．解析 ∵a ＝2b ，∴b ＝12a ＝12(4,6)＝(2,3)．答案 (2,3)5．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MP →＝12MN →，则P 点的坐标为________．解析 设P (x ，y )，则由MP →＝12MN →得，(x －3，y ＋2)＝12(－8，1)，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32 6．已知AB →＝(x ，y )，B 的坐标是(－2,1)，那么OA →的坐标为________．解析 ∵B 的坐标是(－2,1)，∴OB →＝(－2,1)，∴OA →＝O B →＋BA →＝(－2,1)＋(－x ，－y )＝(－2－x,1－y )．答案 (－2－x,1－y )7．如图，已知四边形ABCD 为平行四边形，O 为对角线AC ，BD 的交点，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,1)．求OB →的坐标．解 DB →＝AB →－AD →＝(－2,1)－(3,7)＝(－5，－6)，∴OB →＝12DB →＝12(－5，－6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－3. 能力提升8．已知向量集M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N 等于( )．A ．{(1,1)}B.{(1,1)，(－2，－2)} C ．{(－2，－2)} D.∅解析 设a ＝(x ，y )，对于M ，(x ，y )＝(1,2)＋λ(3,4)，(x －1，y －2)＝λ(3,4)，⎩⎨⎧ x －1＝3λ，y －2＝4λ，∴x －13＝y －24.对于N ，(x ，y )＝(－2，－2)＋λ(4,5)，(x ＋2，y ＋2)＝λ(4,5)，⎩⎨⎧ x ＋2＝4λ，y ＋2＝5λ，∴x ＋24＝y ＋25，解得x ＝－2，y ＝－2. 答案 C9．(2012·洛阳高一检测)设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量之间的一个运算为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q ＝________.解析 设q ＝(x ，y )，则由题意可知 ⎩⎨⎧ x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3，解得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝1，所以q ＝(－2,1)． 答案 (－2,1)10．已知向量u ＝(x ，y )与向量v ＝(y,2y －x )的对应关系用v ＝f (u )表示．(1)证明：对任意向量a ，b 及常数m ，n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立；(2)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )及f (b )的坐标；(3)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 是常数)的向量c 的坐标．(1)证明 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，∴f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)，mf (a )＋nf (b )＝m (a 2,2a 2－a 1)＋n (b 2,2b 2－b 1)，＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)．∴f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立．(2)解 f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(3)解 设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y,2y －x )＝(p ，q )，∴y ＝p,2y －x ＝q ，∴x ＝2p －q ，即向量c ＝(2p －q ，p ).。
第一学期高二数学人教A版必修4第二章课时作业与课件(
两式相加得 5a＝(－8,6)＋(3,4)＝(－5,10)． ∴a＝(－1,2)． 将 a＝(－1,2)代入 2a＋b＝(－4,3)， 得 b＝(－2，－1)． ∴a·b＝(－1,2)·(－2，－1)＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0. ∴a 与 b 的夹角是 90°.
4．若平面向量 b 与向量 a＝(1，－2)的夹角是 180°，且|b|
＝3 5，则 b＝( )
A．(－3,6)
B．(3，－6)
C．(6，－3)
D．(－6,3)
解析：由题意，向量a、b共线反向，故排除B、C、 D，选A.
答案：A
知识点三
求平面向量的夹角
5.已知2a＋b＝(－4,3)，a－2b＝(3,4)，求a·b的值及a 与b的夹角．
第二章
平面向量
2.4 平面向量的数量积
第29课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1 课堂对点训练 2 课后提升训练
课堂对点训练
知识点一
平面向量数量积的坐标表示
1.[2013·浙江临海期末]若向量a＝(3，m)，b＝(2,1)， a·b＝0，则实数m的值为___－__6___.
解析：由题可得6＋m＝0，m＝－6.
2．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为
65 _____5_______.
解析：a 在 b 上的投影为：|a||aa|··|bb|＝a|b·b| ＝－8＋6521＝
65a|＝2，则m的值为__±__3______.
解析： 1＋m2＝2，∴m2＝3，∴m＝± 3.
课后提升训练
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高中数学(人教A版)必修四配套活页训练第二章 平面向量 课时作业
基础达标1．若|a |＝4，|b |＝3，a ·b ＝－6，则a 与b 夹角为( )． A ．150° B.120° C ．60°D.30°解析 ∵a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°. 答案 B2．(2012·北京海淀区一模)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是( )． A ．矩形 B.菱形 C ．直角梯形D.等腰梯形 解析 ∵AB →＝DC →即一组对边平行且相等，AC →·BD →＝0即对角线互相垂直，∴四边形ABCD 为菱形． 答案 B3．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于( )． A ．－25 B.－20 C ．－15D.－10解析 ∵AB →＋BC →＋CA →＝0，∴|AB →＋BC →＋CA →|2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CA →|2＋2AB →·BC →＋2BC →·CA →＋2AB →·CA →＝9＋16＋25＋2(AB →·BC →＋BC →·CA →＋AB →·CA →)＝0，∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25. 答案 A4．已知|a |＝8，e 为单位向量，a 与e 的夹角为150°，则a 在e 方向上的投影为________．解析 a 在e 方向上的投影为|a |cos 150°＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－4 3.答案 －4 35．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 解析|5a －b |＝|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25＋9－10×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7.答案 76．已知a ＋b ＝2i －8j ，a －b ＝－8i ＋16j ，i ，j 为相互垂直的单位向量，那么a ·b ＝________.解析 将两已知等式相加得，2a ＝－6i ＋8j ，所以a ＝－3i ＋4j .同理将两已知等式相减得，b ＝5i －12j ，而i ，j 是两个互相垂直的单位向量，所以a ·b ＝(－3i ＋4j )·(5i －12j )＝－3×5＋4×(－12)＝－63. 答案 －637．(2012·金华一中高一期中)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求|a ＋b |；(2)求向量a 在向量a ＋b 方向上的投影． 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61. ∵|a |＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝－6，∴|a ＋b |＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝42＋32＋2×(－6)＝13. (2)∵a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝42－6＝10，∴向量a 在向量a ＋b 方向上的投影为a ·(a ＋b )|a ＋b |＝1013＝101313.能力提升8．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 解析 设a ，b 的夹角为α.方程有实根，∴Δ＝|a |2－4a ·b ≥0，即|a |2－4|a |·|b |·cos α≥0，∴cos α≤12，∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.答案 B9．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________.解析 由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5. 答案 －8或510．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且a 与b 具有关系|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)． (1)a 与b 能垂直吗？(2)若a 与b 夹角为60°，求k 的值． 解 (1)∵|k a ＋b |＝3|a －k b |， ∴(k a ＋b )2＝3(a －k b )2， 且|a |＝|b |＝1.即k 2＋1＋2k a ·b ＝3(1＋k 2－2k a ·b )， ∴a ·b ＝k 2＋14k .∵k 2＋1≠0， ∴a ·b ≠0，即a 与b 不垂直．(2)∵a 与b 夹角为60°，且|a |＝|b |＝1， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12.∴k2＋14k＝12.∴k＝1.。
2019年高中数学人教A版必修4习题：第二章平面向量2.4.1
最新中小学教学设计、试题、试卷2.4平面向量的数目积2.4.1平面向量数目积的物理背景及其含义课时过关·能力提高基础稳固1 在△ABC中则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形分析:A<0,∴c osA< 0.∴A是钝角 .∴ △ABC 是钝角三角形 .答案 :C2 已知非零向量a,b,若 a+ 2b 与 a-2b 相互垂直,则等于A分析 :由于a+ 2b与a-2b垂直 ,因此 (a+2b) ·(a-2b)= 0,因此 |a|2-4|b|2= 0,即|a|2= 4|b|2,因此|a|= 2|b|.答案 :D3已知两个不共线的单位向量e1,e2的夹角为θ,则以下结论不必定正确的选项是()A .e1在 e2方向上的投影为cos θB .e1·e2= 1CD.(e1+ e2)⊥(e1- e2)答案 :B4 若非零向量 a, b 知足| a+ b|=| a-b|,则 a 与 b 所成角的大小为()A.30°B.45°C.90°D.120°分析 :由 |a+ b|=| a- b|,得 (a+ b)2= (a-b)2,即a·b= 0,∴a⊥b.答案 :C5 已知向量 a,b 知足| a|= 1,|b|= 4,且 a·b=则a与b的夹角为()AC分析 :设a与b的夹角为θ,则cosθ又0≤ θ≤ π,∴ θ答案 :A6 在△ABC中,M是BC的中点,AM= 3,点P在AM上,且知足则的值为A.- 4B.-2C.2D.4分析 :如图 .∴又 AM= 3,∴又·(答案 :A7 已知向量 a,b 的夹角为60° ,|a|= 2,|b|= 3,则|2a-b|=.分析 :a·b=| a||b|cos60°= 3,则 |2a-b| 2= 4a2-4a·b+b2=13,因此|2a-b|答案 :8 已知|b|= 5,a·b=12,则向量 a 在 b 方向上的投影为.分析 :向量a在b方向上的投影为| a|·答案 :9 已知|a|= 10,|b|= 12,a 与 b 的夹角为120° ,求 :(1)a·b; (2)(3 a) ·b-2a)·(4a+ b).解(1)a·b=| a|| b|cosθ= 10×12×cos120° =- 60.(2)(3 a) ·a·b)(3)(3 b-2a) ·(4a+ b)=12b·a+ 3b2-8a2-2a·b=10a·b+ 3| b| 2-8|a| 2=10×(-60)+ 3×122- 8×102=- 968.10 已知| a|= 5,|b|= 4,a 与 b 的夹角为60°,试问:当k为什么值时,向量k a-b 与 a+ 2b 垂直?剖析可利用两个非零向量垂直的等价条件即数目积为零进行求解.解∵ (k a-b)⊥ (a+2b),∴( k a-b) ·(a+ 2b)= 0,即 k a2+(2k-1)a·b- 2b2= 0,即k×52+ (2k-1) ×5×4×cos60° -2×42 =0,∴k∴当 k时,向量k a-b与a+ 2b垂直.能力提高1 设 a,b,c 是三个向量,有以下命题:①若 a·b=a·c,且 a≠0,则 b=c;②若 a·b=0,则 a=0 或 b=0;③a·0= 0;④(3a+2b) ·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.此中正确的有 ()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个分析 :①中,a·b-a·c= a·(b-c)= 0,又a≠0, 则b= c或a⊥( b- c),即①不正确 ; ②中,a·b=0? a⊥b或a=0或b=0,即②不正确 ;③中, a·0= 0,即③不正确 ;④中 ,左侧 =9a2-6a·b+ 6b·a-4b2= 9|a|2-4|b|2=右侧,即④正确.答案 :A2 定义:|a×b|=| a||b|sinθ,此中θ为向量 a 与 b 的夹角,若|a|= 2,| b|= 5,a·b=- 6,则|a×b|等于()A.8B.-8C.8 或-8D.6-分析 :cosθ∵θ∈[0, π], ∴sinθ∴|a×b|= 2×5答案 :A3 如图,过点M (1,0)的直线与函数y= sin πx(0≤ x≤2)的图象交于 A,B 两点 ,则等于A.1B.2C.3D.4分析 :答案 :B4 已知非零向量a,b 知足 a⊥ b,则函数f(x) =(x a+ b)2( x∈R )()A.既是奇函数又是偶函数B.是非奇非偶函数C.是奇函数D.是偶函数分析 :∵a⊥b,∴a·b= 0,∴f(x) =x 2|a|2+ 2x a·b+|b|2=|a|2x2+|b|2,定义域是R,f(-x)=|a|2( -x)2+|b|2=|a|2x2+|b|2=f (x),∴f(x)是偶函数.答案 :D5 已知平面向量a,b 知足| a|= 1,|b|= 2,a 与 b 的夹角为以a,b为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为.分析 :a·b= 1×2×cos平行四边形的两条对角线的长分别是|a+ b|和 | a-b|,|a+ b|a-b|--则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为答案 :★ 6 如图,在平行四边形ABCD 中,AP⊥ BD ,垂足为点P,且 AP= 3,则分析 :设 AC 与 BD 交于点 O,则则∵A P ⊥BD ,∴AP⊥PO又 AP=3,∴答案 :187 如图,已知两个长度为 1 的平面向量和它们的夹角为点是以为圆心的劣弧的中点求(1)的值(2的值解(1)由于和的长度为 1,夹角为因此因此(2)由于点 C 是以 O 为圆心的劣弧AB 的中点 ,因此∠AOC= ∠ BOC因此因此-★8 设平面内两向量 a 与 b 相互垂直,且|a|= 2,|b|= 1,又k与t是两个不一样时为零的实数.(1)若x= a+ (t- 3)b与y=-k a+t b垂直 ,求 k 对于 t 的函数关系式k=f (t);(2)求函数 k=f (t)的最小值 .剖析由 x⊥ y,得 x·y= 0,即获得函数关系式k=f( t),进而利用函数的性质求最小值.解(1)由于a⊥b,因此 a·b= 0.又 x⊥ y,因此 x·y=0,即[ a+ (t-3)b] ·(-k a+t b)= 0,-k a2-k(t-3)a·b+t a·b+t ( t-3)b2=0.由于 |a|= 2,|b|= 1,因此 -4k+t 2-3t= 0,即 k(2)由 (1) 知,k-即函数 k=f(t)的最小值为。
第二章平面向量课时作业人教A版必修四第2章2.4.2课时作业
基础达标1．若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且3a ·b ＝4，则x 等于( )．A ．3 B.13 C ．－13 D.－3解析 3a ·b ＝3(2x －6x )＝－12x ＝4，∴x ＝－13.答案 C2．已知A (1,2)，B (4,0)，C (8,6)，D (5,8)四点，则四边形ABCD 是( )．A ．梯形B.矩形 C ．菱形 D.正方形解析 ∵AB →＝(3，－2)，DC →＝(3，－2)，∴AB →綉DC →，又AD →＝(4,6)，∴AB →·AD→＝3×4＋(－2)×6＝0，∴AB →⊥AD →，∴四边形ABCD 为矩形．答案 B3．(2012·四川省威远中学高一月考)已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a－(a ·b )b ，则|c |等于( )．A ．4 2 B.2 5 C ．8 D.8 2解析 易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋(－8)2＝8 2.答案 D4．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.解析 a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.答案 15．设向量a 与b 的夹角为θ，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1，－1)，则cos θ＝________.解析 b ＝12a ＋12(－1，－1)＝(1,1)，则a ·b ＝6.又|a |＝32，|b |＝2，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝66＝1.答案 16．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b ＝________. 解析 ∵a 与b 共线且方向相反，∴b ＝λa (λ<0)，设b ＝(x ，y )，则(x ，y )＝λ(1，－2)，得⎩⎨⎧x ＝λ，y ＝－2λ.由|b |＝35，得x 2＋y 2＝45，即λ2＋4λ2＝45，解得λ＝－3，∴b ＝(－3,6)．答案 (－3,6)7．(2012·南昌期末)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R .(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.解 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5.能力提升8．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P 使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是( )．A ．(－3,0)B.(2,0) C ．(3,0) D.(4,0) 解析 设点P 的坐标为(x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1).AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1，∴点P 的坐标为(3,0)，故选C.答案 C9．已知点A (2,3)，若把向量OA →绕原点O 按逆时针旋转90°得到向量OB →，则点B 的坐标为________．解析 设点B 的坐标为(x ，y )，因为OA →⊥OB →，|OA →|＝|OB →|，所以⎩⎨⎧ 2x ＋3y ＝0，x 2＋y 2＝13，解得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－2(舍去)． 故B 点的坐标为(－3,2)．答案 (－3,2)10．已知OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O为坐标原点)．(1)求使CA →·CB →取得最小值时的OC →；(2)对(1)中求出的点C ，求cos ∠ACB .解 (1)∵点C 是直线OP 上的一点，∴向量OC →与OP →共线，设OC →＝tOP →(t ∈R )，则OC →＝t (2,1)＝(2t ，t )，∴CA →＝OA →－OC →＝(1－2t,7－t )，CB →＝OB →－OC →＝(5－2t,1－t )，∴CA →·CB →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t )＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8.∴当t ＝2时，CA →·CB →取得最小值，此时OC →＝(4,2)．(2)由(1)知OC →＝(4,2)，∴CA →＝(－3,5)，CB →＝(1，－1)，∴|CA →|＝34，|CB →|＝2，CA →·CB →＝－3－5＝－8.∴cos ∠ACB ＝CA →·CB →|CA →||CB →|＝－41717.。
高中数学必修4(人教A版)第二章平面向量2.1知识点总结含同步练习及答案
描述：高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、学习任务了解向量的实际背景，理解平面向量的基本概念和几何表示，理解向量相等的含义．二、知识清单平面向量的概念与表示三、知识讲解1.平面向量的概念与表示向量的基本概念我们把既有方向，又有大小的量叫做向量（vector）．带有方向的线段叫做有向线段．我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以为起点、为终点的有向线段记做，起点写在终点的前面．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．向量可以用有向线段来表示．向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记做 ，长度为 的向量叫做零向量(zero vector)，记做 ．零向量的方向不确定．长度等于 个单位的向量，叫做单位向量(unit vector)．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 （parallel vectors），向量 、 平行，通常记做．规定零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有．A B AB −→−||AB −→−00 1a b ∥a b a →∥0→a →例题：相等向量与共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equal vector)．向量 与 相等，记做 ．任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量(collinear vectors)．四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）∥a b =a b 下列四个命题：① 时间、速度、加速度都是向量；② 向量的模是一个正实数；③ 相等向量一定是平行向量；④ 共线向量一定在同一直线上；⑤ 若 ， 是单位向量，则 ；⑥ 若非零向量 与 是共线向量，则四点 共线．其中真命题的个数为（ ）A． B． C． D．解：B只有③正确．a →b →=a →b →AB −→−CD −→−A ,B ,C ,D 0123下列说法正确的是（ ）A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为D．任意两个单位向量方向相同解：C零向量的长度为 ，方向是任意的，故 A，B 错误，C 正确，任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故 D 错误．00如图所示， 是正六边形 的中心．（1）与 的模相等的向量有多少个？（2）是否存在与 长度相等、方向相反的向量？（3）与 共线的向量有哪些？解：（1）因为 的模等于正六边形的边长，而在图中，模等于边长的向量有 个，所以共有 个与 的模相等的向量．（2）存在，是 ．（3）有 、、．O ABCDEF OA −→−OA −→−OA −→−OA −→−1211OA −→−F E −→−F E −→−CB −→−DO −→−高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
2019高中数学(人教A版,必修四) 第二章 平面向量 2.1 课时作业(含答案)
人教版高中数学必修精品教学资料第二章 平面向量§2.1 平面向量的实际背景及基本概念 课时目标 1.通过对物理模型和几何模型的探究,了解向量的实际背景,掌握向量的有关概念及向量的几何表示.2.掌握平行向量与相等向量的概念．1．向量：既有________,又有________的量叫向量．2．向量的几何表示：以A 为起点,B 为终点的向量记作________．3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量,记作______．(2)单位向量：长度为______的向量叫做单位向量．(3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向__________的________向量叫做平行向量,也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于b ,记作________．②规定：零向量与__________平行．一、选择题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列条件中能得到a ＝b 的是( )A ．|a |＝|b |B ．a 与b 的方向相同C ．a ＝0,b 为任意向量D ．a ＝0且b ＝03．下列说法正确的有( )①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．命题“若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ”( )A ．总成立B ．当a ≠0时成立C ．当b ≠0时成立D ．当c ≠0时成立5．下列各命题中,正确的命题为( )A ．两个有共同起点且共线的向量,其终点必相同B ．模为0的向量与任一向量平行C ．向量就是有向线段D ．|a |＝|b |⇒a ＝b6．下列说法正确的是( )A ．向量AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线B ．长度相等的向量叫做相等向量C ．零向量长度等于0D ．共线向量是在一条直线上的向量题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．(填序号)8．在四边形ABCD 中,AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|,则四边形的形状为________．9．下列各种情况中,向量的终点在平面内各构成什么图形．①把所有单位向量移到同一起点；②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．①__________；②____________；③____________.10．如图所示,E 、F 分别为△ABC 边AB 、AC 的中点,则与向量EF →共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来)．三、解答题11. 在如图的方格纸上,已知向量a ,每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ,使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ,使|c |＝5,并说出向量c 的终点的轨迹是什么？12. 如图所示,△ABC 的三边均不相等,E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量；(2)写出与EF →的模大小相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．能力提升13. 如图,已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′；(2)AB →＝A ′B ′→,AC →＝A ′C ′→.14. 如图所示,O 是正六边形ABCDEF 的中心,且OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝c .(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等,方向相反的向量有哪些？(3)与a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a ,b ,c 相等的向量．1．向量是既有大小又有方向的量,解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．2．向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小．如a >b 没有意义,而|a |>|b |有意义．3．共线向量与平行向量是同一概念,规定：零向量与任一向量都平行．§2.1 平面向量的实际背景及基本概念答案知识梳理1．大小 方向 2.AB →3．(1)0 0 (2)1 (3)长度相等 方向相同 (4)相同或相反 非零 ①a ∥b ②任一向量 作业设计1．D 2.D3．A [②与⑤正确,其余都是错误的．]4．C [当b ＝0时,不成立,因为零向量与任何向量都平行．]5．B [由于模为0的向量是零向量,只有零向量的方向不确定,它与任一向量平行,故选B.]6．C [向量AB →∥CD →包含AB →所在的直线平行于CD →所在的直线和AB →所在的直线与CD →所在的直线重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同；共线向量也称为平行向量,它们可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,所以A 、B 、D 均错．]7．①③④解析 相等向量一定是共线向量,①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量,③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行,④成立．8．菱形解析 ∵AB →＝DC →,∴AB 綊DC∴四边形ABCD 是平行四边形,∵|AB →|＝|AD →|,∴四边形ABCD 是菱形．9．单位圆 相距为2的两个点 一条直线10.FE →,BC →,CB →解析 ∵E 、F 分别为△ABC 对应边的中点,∴EF ∥BC ,∴符合条件的向量为FE →,BC →,CB →.11．解 (1)根据相等向量的定义,所作向量与向量a 平行,且长度相等(作图略)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心,半径为5的圆(作图略)．12．解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点,所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点, 所以与EF →共线的向量有：FE →,BD →,DB →,DC →,CD →,BC →,CB →.(2)与EF →模相等的向量有：FE →,BD →,DB →,DC →,CD →.(3)与EF →相等的向量有：DB →与CD →.13．证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→,∴|AA ′→|＝|BB ′→|,且AA ′→∥BB ′→.又∵A 不在BB ′→上,∴AA ′∥BB ′.∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形．∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|,|BC →|＝|B ′C ′→|.∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形,∴AB →∥A ′B ′→,且|AB →|＝|A ′B ′→|.∴AB →＝A ′B ′→.同理可证AC →＝A ′C ′→.14．解 (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →,BC →,AO →,FE →.(3)与a 共线的向量有EF →,BC →,OD →,FE →,CB →,DO →,AO →,DA →,AD →.(4)与a 相等的向量有EF →,DO →,CB →；与b 相等的向量有DC →,EO →,F A →；与c 相等的向量有FO →,ED →,AB →.。
第二章平面向量课时作业人教A版必修四第2章2.5.1、2.5.2课时作业
则共点力对物体所做的功 W 为 ( )．
A．lg 2
B.lg 5
C．1
D.2
解析 W＝ (F 1＋ F 2) ·s＝ (lg 2＋lg 5,2lg 2) (2lg·5,1) ＝(1,2lg 2) (2l·g 5,1)＝ 2lg 5＋
2lg 2＝2，故选 D.
答案 D
9．如图，x，－ m)，
→→ ∵ A、 E、 F 共线，∴ AF＝λAE，
n3 即 (x，－ m)＝ λ4，－ 4m ，∴
x＝n4λ，
－m＝－
3 4mλ，
即 x＝ n3，即 F
n3， 0 .∴
→ AF
＝
1 3
n2＋9m2.
答案 A
2．已知作用在点 A(1,1)的三个力 F 1＝(3,4)，F2＝(2，－ 5)，F 3＝ (3,1)，则合力 F
＝F 1＋ F2＋F 3 的终点坐标是 ( )．
A．(8,0)
B.(9,1)
C．(－1,9)
D.(3,1)
解析 F ＝(8,0)，故终点坐标为 (8,0)＋(1,1)＝ (9,1)，故选 B.
解析 所做的功 W＝60× 50×cos 30 °＝ 1 500 3 J.
答案 1 500 3 J
6．在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,1)和点 B(－ 3,4)，若点 C 在∠ AOB 的平分
→
→
线上且 |OC|＝2，则 OC＝________.
解析 如图，已知 A(0,1)， B(－3,4)，
方向由南向北，大小为 2 3 km/h，船本身的速度为 v 3，则 a＋v 3＝v ，即 v3
＝ v－ a，数形结合知 v 3 的方向是北偏西 60°，大小是 3 km/h.
第一学期高二数学人教A版必修4第二章课时作业与课件(
第21课时 向量数乘运算及其几何意义
1 课堂对点训练 2 课后提升训练
课堂对点训练
知识点一
向量数乘运算的概念及运算律
1.已知λ，μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题共
有( )
①λ<0，且a≠0时，λa与a的方向一定相反；②λ>0，
a≠0，λa与a的方向一定相同；③λ≠0，a≠0时，λa与a是共
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
解析：原式＝13(a＋4b－4a＋2b)＝13(－3a＋6b)＝－a＋2b. 答案：B
知识点二
向量的数乘运算
3．点 C 在线段 AB 上，且A→C＝35A→B，则A→C等于(
)
A．23B→C
B．32B→C
C．－23B→C
D．－32B→C
解析：利用线段的比例关系及向量的方向求解． 答案：D
(2)解：∵ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线， ∴存在 λ 使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于 e1 与 e2 不共线， ∴只能有kλk－－λ＝ 1＝0， 0， 则 k＝±1.
课后提升训练
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知识点三
共线问题
5.已知非零向量 e1 和 e2 不共线． (1)如果A→B＝e1＋e2，B→C＝2e1＋8e2，C→D＝3(e1－e2)，求证： A，B，D 三点共线． (2)欲使 ke1＋e2 和 e1＋ke2 共线，试确定实数 k 的值．
(1)证明：∵A→B＝e1＋e2， ∴B→D＝B→C＋C→D＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5A→B. ∴A→B，B→D共线，且有公共点 B.∴A，B，D 共线．
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人教版高中数学必修精品教学资料§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 课时目标 1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握向量数量积的运算律．1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ,我们把数量______________叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b ＝|a ||b |cos θ,其中θ是a 与b 的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为____．(3)投影：设两个非零向量a 、b 的夹角为θ,则向量a 在b 方向的投影是____________,向量b 在a 方向上的投影是______________．2．数量积的几何意义a ·b 的几何意义是数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影________________的乘积．3．向量数量积的运算律(1)a·b ＝________(交换律)；(2)(λa )·b ＝________＝________(结合律)；(3)(a ＋b )·c ＝______________________(分配律)．一、选择题1．|a |＝2,|b |＝4,向量a 与向量b 的夹角为120°,则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．－12．已知a ⊥b ,|a |＝2,|b |＝3,且3a ＋2b 与λa －b 垂直,则λ等于( )A.32 B ．－32 C ．±32D ．1 3．已知向量a ,b 满足a ·b ＝0,|a |＝1,|b |＝2,则|2a －b |等于( )A ．0B ．2 2C ．4D ．84．在边长为1的等边△ABC 中,设BC →＝a ,CA →＝b ,AB →＝c ,则a·b ＋b·c ＋c·a 等于( )A ．－32B ．0 C.32D ．3 5．若非零向量a ,b 满足|a |＝|b |,(2a ＋b )·b ＝0,则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．若向量a 与b 的夹角为60°,|b |＝4,(a ＋2b )·(a －3b )＝－72,则向量a 的模为( )7．已知向量a 与b 的夹角为120°,且|a |＝|b |＝4,那么b ·(2a ＋b )的值为________．8．给出下列结论：①若a ≠0,a·b ＝0,则b ＝0；②若a·b ＝b·c ,则a ＝c ；③(a·b )c ＝a (b·c )；④a·[b (a ·c )－c (a·b )]＝0.其中正确结论的序号是________．9．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |,a ＋b ＝c ,则〈a ,b 〉＝________.10．已知a 是平面内的单位向量,若向量b 满足b·(a －b )＝0,则|b |的取值范围是________．三、解答题11．已知|a |＝4,|b |＝3,当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为60°时,分别求a 与b 的数量积．12．已知|a |＝|b |＝5,向量a 与b 的夹角为π3,求|a ＋b |,|a －b |. 能力提升13．已知|a |＝1,|b |＝1,a ,b 的夹角为120°,计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影．14．设n 和m 是两个单位向量,其夹角是60°,求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．1．两向量a 与b 的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正(当a ≠0,b ≠0,0°≤θ<90°时),也可以为负(当a ≠0,b ≠0,90°<θ≤180°时),还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立,因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ,b 〉·c 是一个与c 共线的向量,而(a ·c )·b ＝|a |·|c |cos 〈a ,c 〉·b 是一个与b 共线的向量,两者一般不同．3．向量b 在a 上的射影不是向量而是数量,它的符号取决于θ角,注意a 在b 方向上的射影与b 在a 方向上的射影是不同的,应结合图形加以区分．§2.4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义答案知识梳理1．(1)|a ||b |cos θ (2)0 (3)|a |cos θ |b |cos θ2．|b |cos θ 3.(1)b·a (2)λ(a·b ) a ·(λb ) (3)a·c ＋b·c作业设计1．D [a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1.]2．A [∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0. ∴λ＝32.] 3．B [|2a －b |2＝(2a －b )2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4×1－4×0＋4＝8,∴|2a －b |＝2 2.]4．A [a·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12.同理b·c ＝－12,c·a ＝－12, ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32.] 5．C [由(2a ＋b )·b ＝0,得2a ·b ＋b 2＝0,设a 与b 的夹角为θ,∴2|a ||b |cos θ＋|b |2＝0.∴cos θ＝－|b |22|a ||b |＝－|b |22|b |2＝－12,∴θ＝120°.] 6．C [∵a·b ＝|a|·|b |·cos 60°＝2|a |,∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a·b ＝|a |2－2|a |－96＝－72.∴|a |＝6.]7．0解析 b ·(2a ＋b )＝2a·b ＋|b |2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0.8．④解析 因为两个非零向量a 、b 垂直时,a·b ＝0,故①不正确；当a ＝0,b ⊥c 时,a·b ＝b·c ＝0,但不能得出a ＝c ,故②不正确；向量(a·b )c 与c 共线,a (b·c )与a 共线,故③不正确；④正确,a ·[b (a·c )－c (a·b )]＝(a·b )(a·c )－(a·c )(a·b )＝0.9．120°解析 ∵a ＋b ＝c ,∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.又|a |＝|b |＝|c |,∴2a ·b ＝－b 2,即2|a ||b |cos 〈a ,b 〉＝－|b |2.∴cos 〈a ,b 〉＝－12, ∴〈a ,b 〉＝120°.10．[0,1]解析 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a||b |cos θ－|b |2＝0,∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角),θ∈[0,π],∴0≤|b |≤1.11．解 (1)当a ∥b 时,若a 与b 同向,则a 与b 的夹角θ＝0°,∴a·b ＝|a||b |cos θ＝4×3×cos 0°＝12.若a 与b 反向,则a 与b 的夹角为θ＝180°,∴a·b ＝|a||b |cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.(2)当a ⊥b 时,向量a 与b 的夹角为90°,∴a·b ＝|a||b |cos 90°＝4×3×0＝0.(3)当a 与b 的夹角为60°时,∴a·b ＝|a||b |cos 60°＝4×3×12＝6. 12．解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3. |a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5. 13．解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12. |a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1.∴|2a －b |cos 〈2a －b ,a ＋b 〉＝|2a －b |·(2a －b )·(a ＋b )|2a －b |·|a ＋b |＝(2a －b )·(a ＋b )|a ＋b |＝12. ∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影为12. 14．解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°,∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12. |a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n ＝ 4×1＋1＋4×12＝7, |b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7, a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ,则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12. 又θ∈[0,π],∴θ＝2π3,故a 与b 的夹角为2π3.。