2017-2018年江苏省扬州市邗江中学高一上学期数学期中试卷和解析
2017-2018年江苏省扬州市邗江中学创新班高一(上)期中数学试卷及参考答案
2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学创新班高一（上）期中数学试卷一、填空题：1．（3分）用列举法表示集合=．2．（3分）已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r=20cm，则扇形的弧长为cm．3．（3分）已知角α终边经过点P（﹣2，3），则α的正弦值为．4．（3分）函数y=log（x2﹣3x）的单调递减区间是．5．（3分）函数f（x）=cosx，x∈[）的值域是．6．（3分）函数y=的定义域为，值域为．7．（3分）若f（x）是幂函数，且满足=3，则f（）=．8．（3分）若函数（a＞0，且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是．9．（3分）在，四个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使恒成立的函数个数是个．10．（3分）对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数”．在实数轴R（箭头向右）上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x．这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+…+[log3243]=．11．（3分）已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣1，a]时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1]，则实数a+b的值为．12．（3分）已知函数f（x）=﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m，且y=|f（x）|在[﹣1，0]上为单调减函数，则实数m的取值范围为．13．（3分）设f（x）=，若f（x1）=f（x2）=a（x1≠x2），则实数a的取值范围是．14．（3分）已知函数f（x）=（x∈（﹣1，1）），有下列结论：（1）∀x∈（﹣1，1），等式f（﹣x）+f（x）=0恒成立；（2）∀m∈[0，+∞），方程|f（x）|=m有两个不等实数根；（3）∀x1，x2∈（﹣1，1），若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；（4）存在无数多个实数k，使得函数g（x）=f（x）﹣kx在（﹣1，1）上有三个零点则其中正确结论的序号为．二、解答题：15．已知集合A={x|2（x﹣5）（x+1）＜1}，B={x|x2﹣2x﹣m＜0}，（1）求集合A；（2）当m=3时，求A∪B；（3）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求m的值．16．已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1（a≥0）（1）若a=1，作出函数f（x）的图象；（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为d，求d的表达式．17．某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，45]时，曲线是函数y=log a（t﹣5）+83（a＞0且a≠1）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳．（1）试求p=f（t）的函数关系式；（2）老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．18．已知二次函数y=f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），且函数y=是偶函数．（1）求f（x）的解析式；（2）已知t＜2，g（x）=[f（x）﹣x2﹣13]•|x|，求函数g（x）在[t，2]上的最小值h（t）．19．已知集合P=[，2]，函数y=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为Q．（1）若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；（2）若方程log2（ax2﹣2x+2）=2在[，2]内有解，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）=2x（1）若函数F（x）=f（x）+af（﹣x）（a∈R）在x∈R上具有奇偶性，求a的值；（2）当a＞0且x∈[0，15]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立，求a的取值范围；（3）试求函数G（x）=f（x）+af（2x）（a∈R）在x∈（﹣∞，0]的最大值H（a）．2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学创新班高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．（3分）用列举法表示集合={0，1，4，9} ．【解答】解：∵m∈N，且，∴m的可能取值为0，1，4，9，∴用列举法表示集合={0，1，4，9}．故答案为：{0，1，4，9}．2．（3分）已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r=20cm，则扇形的弧长为6πcm．【解答】解：一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r=20cm，则扇形的弧长为l=αr=π×20=6πcm．故答案为：6πcm．3．（3分）已知角α终边经过点P（﹣2，3），则α的正弦值为．【解答】解：∵角α终边经过点P（﹣2，3），∴=．∴．故α的正弦值为．故答案为．4．（3分）函数y=log（x2﹣3x）的单调递减区间是（3，+∞）．【解答】解：令x2﹣3x＞0 求得x＞3，或x＜0，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（3，+∞）．根据复合函数的单调性规律，本题即求函数t=x2﹣3x在（﹣∞，0）∪（3，+∞）上的增区间．根据二次函数的性质可得函数t=x2﹣3x在（﹣∞，0）∪（3，+∞）上的增区间为（3，+∞），故答案为（3，+∞）．5．（3分）函数f（x）=cosx，x∈[）的值域是．【解答】解：∵x∈[），∴﹣≤cosx≤1．故函数f（x）=cosx，x∈[）的值域是（﹣，1]．故答案为：（﹣，1]．6．（3分）函数y=的定义域为R，值域为[）．【解答】解：∵不论函数y=中的x取何值，函数总有意义，∴函数y=的定义域为R．令u=3+2x﹣x2，则y=．∵u=3+2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+4，∴u∈（﹣∞，4]∵函数y=为u的减函数，且u∈（﹣∞，4]∴∈[，+∞），即y∈[，+∞），∴函数的值域为[，+∞），故答案为[，+∞）7．（3分）若f（x）是幂函数，且满足=3，则f（）=．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，α为实数，则==2α=3，解得α=log23；∴f（x）=，∴f（）===．故答案为：．8．（3分）若函数（a＞0，且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是（1，] ．【解答】解：x≤2时，﹣x+6≥4；∴f（x）的值域为[4，+∞）；∴x＞2时，2+log a x≥4恒成立；∴log a x≥2，a＞1；∴log a2≥2；∴2≥a2；解得；∴实数a的取值范围为．故答案为：．9．（3分）在，四个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使恒成立的函数个数是2个．【解答】解：如图：∵当0＜x1＜x2＜1时，；∴L2，L4满足条件，∴当0＜x1＜x2＜1时，使恒成立的函数的序号是②④．故答案为：2．10．（3分）对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数”．在实数轴R（箭头向右）上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x．这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+…+[log3243]=857．【解答】解：[log31]+[log32]+[log33]+…+[log3243]=0×（31﹣30）+1×（32﹣31）+2×（33﹣32）+3×（34﹣33）+4×（35﹣34）+5 =1×6+2×18+3×54+4×162+5=857故答案为857．11．（3分）已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣1，a]时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1]，则实数a+b的值为．【解答】解：∵函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，∴log a+log a=log a•=0，即•=1，∴1﹣x2=b2﹣x2，即b2=1，解得b=±1．当b=﹣1时，函数f（x）=log a=f（x）=log a=log a（﹣1）无意义，舍去．当b=1时，函数f（x）=log a=log a为奇函数，满足条件．∵=﹣1+，在（﹣1，+∞）上单调递减．又0＜a＜1，∴函数f（x）=log a在x∈（﹣1，a）上单调递增，∵当x∈（﹣1，a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），∴f（a）=1，即f（a）=log a=1，∴=a，即1﹣a=a+a2，∴a2+2a﹣1=0，解得a=﹣1±，∵0＜a＜1，∴a=﹣1+，∴a+b=﹣1++1=，故答案为：．12．（3分）已知函数f（x）=﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m，且y=|f（x）|在[﹣1，0]上为单调减函数，则实数m的取值范围为m≤0或m≥2．【解答】解：判别式△=m2﹣8m+12=（m﹣2）（m﹣6），①当△≤0时，即2≤m≤6时，函数f（x）≤0恒成立，∴|f（x）|=﹣f（x）=x2﹣（m﹣2）x+m﹣2，对称轴方程为：x=，∴当≥0即m≥2时符合题意（如图1），此时2≤m≤6；②当△＞0时，即m＜2或m＞6时，方程f（x）=0的两个实根为x=，不妨设x1＜x2，由题意及图象得x1≥0 或，即m﹣2≥（如图2）或（如图3）解得m≥2或m≤0，此时m≤0或m＞6，综上得m的取值范围是：m≤0或m≥2；故答案为：m≤0或m≥2．13．（3分）设f（x）=，若f（x1）=f（x2）=a（x1≠x2），则实数a的取值范围是[1，2e）．【解答】解：∵f（x）=，故函数f（x）在（﹣∞，2）上是增函数，在[2，+∞）上也是增函数．由于f（x1）=f（x2）=a（x1≠x2），故函数f（x）在（﹣∞，+∞）上不是增函数．当x＜2时，f（x）∈（0，2e ），当x≥2时，f（x）≥f（2）=1，即f（x）∈[1，+∞）．由题意可得直线y=a和函数f（x）的图象有2个交点，故有1≤a＜2e，故答案为[1，2e）．14．（3分）已知函数f（x）=（x∈（﹣1，1）），有下列结论：（1）∀x∈（﹣1，1），等式f（﹣x）+f（x）=0恒成立；（2）∀m∈[0，+∞），方程|f（x）|=m有两个不等实数根；（3）∀x1，x2∈（﹣1，1），若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；（4）存在无数多个实数k，使得函数g（x）=f（x）﹣kx在（﹣1，1）上有三个零点则其中正确结论的序号为（1）（3）（4）．【解答】解：（1）∵f（x）=，x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x），x∈（﹣1，1），即函数f（x）为奇函数，∴f（﹣x）+f（x）=0恒成立．∴（1）正确（2）∵f（x）=，x∈（﹣1，1）为奇函数，∴|f（x）|为偶函数，当x=0时，|f（0）|=0，∴当m=0时，方程|f（x）|=m只有一个实根，当m＞0时，方程有两个不等实根，∴（2）错误．（3）当x∈[0，1）时，f（x）==≥0，为增函数．当x∈（﹣1，0]时，f（x）==≤0，为增函数．综上函数f（x）在（﹣1，1）上为单调函数，且单调递增，∴∀x1，x2∈（﹣1，1），若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）成立，即（3）正确．（4）由g（x）=f（x）﹣kx=0得f（x）=kx，∴f（0）=0，即x=0是函数的一个零点，又∵函数f（x）为奇函数，且在（﹣1，1）上单调递减，∴可以存在无数个实数k，使得函数g（x）=f（x）﹣kx在（﹣1，1）上有3个零点，如图：∴（4）正确．故（1），（3），（4）正确．故答案为：（1），（3），（4）二、解答题：15．已知集合A={x|2（x﹣5）（x+1）＜1}，B={x|x2﹣2x﹣m＜0}，（1）求集合A；（2）当m=3时，求A∪B；（3）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求m的值．【解答】解：（1）A={x|2（x﹣5）（x+1）＜1}={x|（x﹣5）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜5}；（2）当m=3时，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，A∪B={x|﹣1＜x＜5}；（3）∵A={x|﹣1＜x＜5}，A∩B={x|﹣1＜x＜4}，∴4为方程x2﹣2x﹣m=0的根，有42﹣2×4﹣m=0，解得m=8．此时B={x|﹣2＜x＜4}，符合题意，故实数m的值为8．16．已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1（a≥0）（1）若a=1，作出函数f（x）的图象；（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为d，求d的表达式．【解答】解：函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1（a≥0）可得：f（x）=（1）当a=1时，可得f（x）=（2）∵x∈[1，2]上，∴f（x）=ax2﹣x+2a﹣1，a≥0其对称轴x=，开口向上．当＜1时，即a，d=f（1）=3a﹣2当＞2时，即0≤a，d=f（2）=6a﹣3．当时，即，d=f（）=∴最小值为d的表达式为：d=17．某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，45]时，曲线是函数y=log a（t﹣5）+83（a＞0且a≠1）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳．（1）试求p=f（t）的函数关系式；（2）老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．【解答】解：（1）当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，顶点坐标为（12，82），图象过（14，81），设f（t）=at2+bt+c，带入求解，可得f（t）=，当t∈[14，45]时，曲线是函数y=log a（t﹣5）+83（a＞0且a≠1）图象的一部分，图象过（14，81），代入求解可得：a=则f（t）=．则p=f（t）=（2）由题意，指数p大于80时听课效果最佳，当0＜t≤14时，f（t）=，解得．当t∈[14，45]时，f（t）=，解得14≤t＜32（3分）综上：可得．∴老师在这一时间段内安排核心内容，学生听课效果最佳．18．已知二次函数y=f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），且函数y=是偶函数．（1）求f（x）的解析式；（2）已知t＜2，g（x）=[f（x）﹣x2﹣13]•|x|，求函数g（x）在[t，2]上的最小值h（t）．【解答】解（1）因为函数y=f（x﹣）是偶函数，所以二次函数f（x）=x2+bx+c的对称轴方程为x=﹣，故b=1．又因为二次函数f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），所以1+b+c=13，故c=11．因此，f（x）的解析式为f（x）=x2+x+11．（2）g（x）=（x﹣2）|x|，当x≤0时，g（x）=﹣（x﹣1）2+1，当x＞0时，g（x）=（x﹣1）2﹣1，作出g（x）的图象，如下图所示：由图象知：当1≤t＜2时，g min（x）=t2﹣2t；当1﹣≤t＜1时，g min（x）=﹣1；当t＜1﹣时，g min（x）=﹣t2+2t；故h（t）=19．已知集合P=[，2]，函数y=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为Q．（1）若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；（2）若方程log2（ax2﹣2x+2）=2在[，2]内有解，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若P∩Q≠Φ，则在[，2]内至少存在一个x使ax2﹣2x+2＞0成立，即a＞﹣+=﹣2（﹣）2+∈[﹣4，]，∴a＞﹣4（5分）（2）方程log2（ax2﹣2x+2）=2在内有解，则ax2﹣2x﹣2=0在内有解，即在内有值使成立，设，当时，，∴，∴a的取值范围是．（10分）20．已知函数f（x）=2x（1）若函数F（x）=f（x）+af（﹣x）（a∈R）在x∈R上具有奇偶性，求a的值；（2）当a＞0且x∈[0，15]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立，求a的取值范围；（3）试求函数G（x）=f（x）+af（2x）（a∈R）在x∈（﹣∞，0]的最大值H（a）．【解答】解：（1）若函数F（x）=f（x）+af（﹣x）为偶函数；则F（﹣x）=f（﹣x）+af（x）=F（x）=f（x）+af（﹣x）恒成立；解得：a=1若函数F（x）=f（x）+af（﹣x）为奇函数；则F（﹣x）=f（﹣x）+af（x）=﹣F（x）=﹣f（x）﹣af（﹣x）恒成立；解得：a=﹣1综相可得：a=1时是偶函数，a=﹣1时是奇函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4（2）由f（x+1）≤f[（2x+a）2]得x+1≤（2x+a）2恒成立因为a＞0，且x∈[0，15]，所以问题即为≤2x+a恒成立，∴a≥（﹣2x+）max．设m（x）=﹣2x+令=t，则x=t2﹣1，t∈[1，4]，∴m（t）=﹣2（t2﹣1）+t=﹣2（t﹣）2+．所以，当t=1时，m（x）max=1，∴a≥1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10（3）G（x）=2x+a•22x，x∈（﹣∞，0]．令2x=t，因x∈（﹣∞，0]，故t∈（0，1]．2x+a•22x=at2+t（0＜t≤1）当a=0时，G（x）max=1当a≠0时，令g（t）=at2+t=a（t+）2﹣（0＜t≤1）．若a＞0，t=1时g（t）取最大值，g（1）=a+1．若﹣＜a＜0，t=1时g（t）取最大值，g（1）=a+1．若a≤﹣，t=﹣时g（t）取最大值，g（﹣）=﹣．综上，F（x）max=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣16。
江苏省扬州中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学Word版含答案
江苏省扬州中学2017-2018学年高一数学第一学期期中考试一、填空题(本大题共14小题,每小题5分，共70分)I•已知集合A={0,1,2,3}, B={2,3,4,5}，全集U ={0,123,4,5},则(C u A)cB = ___________1 _x2.函数f (x) 的定义域是.x3•已知幕函数f(x)二X〉的图像经过点G 2,2)，贝y f(2)二.4.已知a =23.5,b =22.5,c =33.5，请将a,b,c按从小到大的顺序排列.5.已知f (x —1)=e x，则f(-1) = •6.已知扇形的中心角为，所在圆的半径为10cm，则扇形的弧长等于cm.37•函数y = log a(x+1 )+2(a a0且a^1)的图像恒过定点A，则A的坐标为__________ .厂 2x + 2ax x〉2&已知函数f(x) =」'一，若f(f(1))>0，则实数a的取值范围是.2x + 1,xc29•设函数f (x) =2x• x-4的零点为x,，若x0• k,k 1贝U整数k巳10.已知f (x)为定义在R上的偶函数，当x 0时，f(x)=2 x ,则当x ：：：0时，f (x)=II•已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且在区间[0, •：：)上单调递增，若实数a满足f (log2a) - f(log1 a)乞2f(1),则实数a的取值范围是.2「2x+a,x A212•设函数f(x)二2，若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是•_/ + a , x 兰213.已知函数f(x)=|x2 -4|，a|x-2|,x・[-3,3]，若f(x)的最大值是0，则实数a的取值范围是.：|2X+1|,X£1 214 .已知m • R ,函数f (x) , g(x) = x「2x • 2m T ,若函数Uog2(x—1),XA1y = f[g(x)] -m有6个零点，则实数m的取值范围是二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题14分）(n) -lg25 lg2 一lg、、乔216.(本小题14分)设集合A = x | —2»_4 ,B=：x|x22mx-3m2_ 0“m 0)[32 J(J 若m = 2，求AR B ；(2)若A = B，求实数m的取值范围。
2017-2018邗江区高一数学期中试卷答案
2017-2018学年度第二学期高一数学期中测试卷（2018.04）参考答案1．12 2．(]-2,1 3.2 4．36 .5．43 6 7． 8．(1)2n n + 9．13 10．2 11．(],10-∞ 12．226,13{ 618,4n n n n T n n n -≤≤=-+≥13．14. 23(1,)313.【解析】：∵a 1=1，2S n =（n +1）a n ，∴n ≥2时，2a n =2（S n ﹣S n ﹣1）=（n +1）a n ﹣na n ﹣1，化为：=，∴==…===1，∴a n =n ．不等式a n 2﹣ta n ≤2t 2，化为：（n ﹣2t ）（n +t ）≤0，t ＞0， ∴0＜n ≤2t ，关于正整数n 的不等式a n 2﹣ta n ≤2t 2的解集中的整数解有两个，可知n=1，2． ∴ 223t ≤< ∴1≤t ＜，故答案为：．14．【解析】：由22b a ac -=得a B a c ac a B ac c a b +=⇒+=-+=cos 2cos 22222，因此,sin cos sin 2)sin(,sin cos sin 2sin A B A B A A B A C +=++=即)sin(sin A B A -=，因为ABC ∆为锐角三角形，所以.2,A B A B A =-=从而15.解析：（1）因为tan 2B =，tan 3C =，πA B C ++=，所tan tan[π()]tan()A B C B C =-+=-+………………………2分tan tan 1tan tan B C B C +=--231123+=-=-⨯，………………………4分又(0,π)A ∈， 所以π4A =．……………………………………………6分 （2）因为sin tan 2cos BB B==，且22sin cos 1B B +=，又(0,π)B∈，所以sin B=，……………………………………8分同理可得，sin C=……………………………………10分由正弦定理，得3sinsinc BbC===14分16.解析：(1)5a=-；所以不等式2320ax x++>为25320x x-++>，再转化为()()1520x x-+<，…………………3分所以原不等式解集为2|15x x⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭…………………5分(2)不等式2321ax x ax++>--可化为()2330ax a x+++>，即()()310ax x++>；…………………7分当03a<<时，31a-<-，不等式的解集为{ 1x x-或3}xa<-；…………………9分当3a=时，31a-=-,不等式的解集为{}|1x x≠-；…………………11分当3a>时，31a->-,不等式的解集为{| 1x x<-或3}xa>-；…………………13分综上所述，原不等式解集为①当03a<<时，3{|x xa<-或1}x>-,②当3a=时，{}|1x x≠-，③当3a>时，{| 1x x<-或3}xa>-；…………………14分17．解析：（1）设等比数列{}n a的公比为q，由10193a a=，有281013a q=可得4513a q=，…………………1分由3124a a-=可得()21124a q-=，…………………2分两式相除可得：42881810q q-+=，…………………3分整理为： ()()228990q q--=，由0q >，且q 为整数，可解得3q =，故13a =…………………5分 数列{}n a 的通项公式为3n n a =．…………………7分 （2）由()13nn b n =+⨯，23233343n S =⨯+⨯+⨯+()1313n n n n -+⨯++⨯，有2343233343n S =⨯+⨯+⨯+ ()1313n n n n ++⨯++⨯，…………………9分两式作差有： 232633n S -=+++ ()1313nn n ++-+⨯，…………………11分14分15分 18．解析：（1）()(sin )cos f x x x x =x x x 2cos3cos sin +=1sin 222x x =sin(2)3x π=+ ………………2分 由02x π≤≤得，423x πππ+≤≤，sin(2)13x π+≤， …………………4分 ∴0sin(2)13x π++≤，即函数)(x f 的值域为[0,1+． ………6分 （2）由()sin(2)3f A A π=++=得sin(2)03A π+=，又由02A π<<，∴42333A πππ<+<，∴23A ππ+=，3A π=．…………………8分在ABC ∆中，由余弦定理2222cos =7a b c bc A =+-，得7=a ． ………………10分 由正弦定理sin a bA =，得sin sin b A B a ==12分 ∵b a <，∴B A <，∴cos B =，…………………13分（此处先由余弦定理求出cos B =，再求出sin B∴cos()cos cos sin sin A B A B A B -=+12=+=……………15分19.解析：设x 的单位为百海里（1）由,2cos ,2cos OAB AB OA A AD AB αα∠====………………2分在AOD ∆中，()d OD f α===3分02πα∈（，）………5分（无定义域或定义域不准确扣1分） 若小岛O 到AB 距离为x，AB =6分()d OD g x ===8分(0,1)x ∈……………10分 （无定义域或定义域不准确扣1分）（2）224cos 14cos sin ;(0,)2OD παααα=++∈1cos 2414sin 222(sin 2cos 2)3αααα+=⨯++⨯=++)34πα=++……………………13分5(0,)2+2444ππππαα∈∴∈，（，），则当2+=428πππαα=即时，OD 取得最大值. ……………………14分此时2cos28AB π===15分答：当AB 间距离为. ……………………16分 20.解析：（1）由()()111n n n a n a -+=-，即2)n ≥（．……………………2分 当1n =时，上式成立，故n a =()11n n +……………………3分因为112,2n n b b b +==，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列， 故2n n b =. ……………………5分(2) 由（1）知2n n b =，则……………………7分 假设存在自然数m ，使得对于任意*,2,n N n ∈≥有1m b ++<，解得16m ≥． ……………………9分 所以存在自然数m ，使得对于任意*,2,n N n ∈≥有1m b ++<此时， m 的最小值为16. ……………………………………10分（3）当n 为奇数时，()()241241222n n -⎡⎤=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+⎣⎦13分 当n 为偶数时，()()2424222nn =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+………………15分 因此()()21243421,432421,43n n n n n n n Tn n -⎧⎪⎪=⎨⎪+++⎪-⎩++-为奇数为偶数………………16分。
2017-2018学年江苏省扬州中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2017-2018学年江苏省扬州中学高一上学期期中考试数学试题一、填空题1．已知集合{}{}0,1,2,3,2,3,4,5,A B ==全集{}0,1,2,3,4,5,U =则()U C A B ⋂=__________．【答案】{}4,5【解析】由题意可得： {}4,5U C A =， 则： (){}4,5U C A B ⋂=.2．函数()f x =的定义域是__________． 【答案】{|10}.x x x ≤≠且【解析】函数有意义，则： 10{x x -≥≠，求解关于实数x 的不等式组可得函数的定义域为{|10}.x x x ≤≠且点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．3．已知幂函数()f x x α=的图像经过点)，则()2f =_________．【答案】4【解析】幂函数()f x x α=的图像经过点)，2α∴=，解得2α=则()2224f ==4．已知 3.52.53.52,2,3a b c ===，请将,,a b c 按从小到大的顺序排列________． 【答案】b a c <<【解析】由指数函数2xy =知， 2.5 3.5<所以 2.53.522<，即b a < 又 3.53.53?2c a =>=故b a c <<5．已知()1,xf x e -=则()1f -=__________．【答案】1【解析】整理函数的解析式： ()()111x f x e -+-=，则： ()1x f x e+=，故： ()11011f ee -+-===.6．已知扇形的中心角为3π，所在圆的半径为10cm ，则扇形的弧长等于__________ cm . 【答案】103π 【解析】扇形圆心角的度数16036036π=︒=⨯︒ 则弧长为圆周的11063π= 故扇形的弧长等于103cm π 7．函数()log 12(01)a y x a a =++>≠且恒过定点A ，则A 的坐标为_____． 【答案】(0，2) 【解析】log 1002a x y =∴==时 ,即A 的坐标为(0，2)8．已知函数()22,2{ 21,2x ax x f x x x +≥=+<，若()()10f f >，则实数a 的取值范围是______.【答案】【解析】()()()13960f f f a ==+>解得32a >-故实数a 的取值范围是32a >-9．设函数()24xf x x =+-的零点为0x ，若()0,1x k k ∈+则整数k = ___________.【答案】1【解析】()240xf x x =+-=24x x =-+当0x =时， 0214=<当1x =时， 122143=<-+=当2x =时， 224242=>-+= 则()012x ∈， 故1k =10．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x >时， ()2,xf x x =+则当()0x f x <=时，__________．【答案】2x x --【解析】设0x <，则0x ->，据此可得，当0x <时有： ()()2xf x f x x -=-=-.点睛：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可求解函数的解析式．11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间[)0,+∞上单调递增，若实数a 满足()()212log log 21,f a f a f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭则实数a 的取值范围是____________.【答案】【解析】()122f log a f log a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()22f log a f log a ∴-=-则()()()()()2122222?21f log a f log a f log a f log a f log a f ⎛⎫-=+=≤ ⎪⎝⎭即()()21f log a f ≤ 在区间[)0,+∞上单调递增21log a ∴≤， 02a ∴<≤故实数a 的取值范围是](02 ，点睛：本题考查了函数性质的综合运用，抽象函数的奇偶性、单调性及不等式，运用奇函数性质进行化简，并判断其在定义域内的单调性，解答不等式问题12．设函数，若f （x ）的值域为R ，是实数的取值范围是 ． 【答案】【解析】试题分析：当时，的范围是；当时，的范围是，因为f（x）的值域为R，即，解得实数的取值范围是．【考点】1．分段函数的值域；13．已知函数，若的最大值是，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】试题分析：因为的最大值是，所以，因此当时，，由于，所以当时，；当时，，由于，所以当时，；当时，，由于，所以当时，；综上实数的取值范围是【考点】二次函数最值14．已知m R∈,函数()()221,1{log1,1x xf xx x+<=->，()2221g x x x m=-+-，若函数()y f g x m⎡⎤=-⎣⎦有6个零点，则实数m的取值范围是__________.【答案】35m<<【解析】函数()()2211{11x xf xlog x x+<=->，，，()2221g x x x m=-+-∴当()()21221g x x m=-+-<时，即()2132x m-<-时，则()()()2212143y f g x g x x m⎡⎤==+=-+-⎣⎦当()()21221g x x m=-+->时，即()2132x m->-时，则()()22log123y f g x x m⎡⎤⎡⎤==-+-⎣⎦⎣⎦当320m-≤即32m≥时，y m=只与()()22log123y f g x x m⎡⎤⎡⎤==-+-⎣⎦⎣⎦的图象有两个交点，不满足题意，应该舍去；当32m <时， y m =与()()22log 123y f g x x m ⎡⎤⎡⎤==-+-⎣⎦⎣⎦的图象有两个交点需要直线y m =只与()()()2212143y f g x g x x m ⎡⎤==+=-+-⎣⎦的图象有四个交点时才满足题意，034m m ∴<<-又32m <，解得305m <<故实数m 的取值范围是305m <<点睛：本题考查了根的存在性及根的个数判断，结合复合函数后难度较大，要先求出复合函数的解析式，然后根据交点个数情况进行分类讨论，理清函数图象的交点问题是本题的关键二、解答题 15．求值：（Ⅰ） ()122301329.6348-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（Ⅱ）1lg25lg22+-【答案】（Ⅰ）118；（Ⅱ） 32．【解析】试题分析： ()1利用指数幂的运算性质即可得出；()2利用对数的运算性质即可得出。
-2018扬州市高三上期中试卷及答案
2017-2018扬州市高三上期中试卷及答案(共13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2017-2018学年度第一学期期中检测试题高三英语本卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），满分120分。
考试时间120分钟。
第I卷（选择题，三部分，共85分）第一部分听力（共两节，每题1分，满分20分）第一节听下面5段对话，每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. Why does the man need a map?A. To tour Manchester.B. To find a restaurant.C. To learn about China.2. What does the woman want to do for vacation?A. Go to the beach.B. Travel to Colorado.C. Learn to snowboard.3. What will the man probably do?A. Take the job.B. Refuse the offer.C. Change the working hours.4. What does the woman say about John?A. He won't wait for her. B, He won’t come home today. C. He won’t be on time for dinner.5. What will the speakers probably do next?A, Order some boxes. B. Go home and rest. C. Continue working.第二节听下面5段对话或独白。
高中江苏省扬州市邗江中学高一上学期期中数学试题
江苏省扬州市邗江中学【精品】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．设集合{}{}0,1,2,3,1,3,5A B ==，则AB = ( )A ．{}0,5B ．{}1,3C ．{}1,3,5D ．{}0,1,2,3,52．函数1()22x f x a +=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点( )A ．（0，4）B ．（1，2）C ．（-1，4）D ．（-1，2）3．若函数1,[1,0),()44,[0,1],xx x f x x ⎧⎛⎫∈-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪∈⎩则f (log 43)等于( ) A ．13B ．3C ．13-D ．-34．函数 f （x ）=lnx+2x-6的零点x 0所在区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,45．设0.9999,0.9,log 0.9x y z ===，则( )A ．z y x <<B ．z x y <<C ．y z x <<D ．y x z <<6．函数2()45f x x x =-+在区间[0,]m 上的最大值是5，最小值是1，则m 的取值范围是( ) A ．[2,)+∞B ．[2,4]C ．(,2]-∞D ．[0,2]7．()f x 是定义域为R 上的奇函数，当0x ≥时，()22(xf x x m m =++为常数），则()2f -=（ ）A ．9B ．7C ．9-D ．7-8．已知函数()213log (23)f x x x =-++，则()f x 的递减区间是（ ） A ．,1-∞（） B ．3,1--（） C ．1,1-（） D ．1（，）+∞ 9．若24παπ<<，且角α的终边与角76π-的终边垂直，则=α（ ） A ．73π B ．103πC ．4733ππ或D ．71033ππ或10．某厂原来月产量为b ，一月份增产0030，二月份比一月份减产0030，设二月份产量为a ，则（ ） A ．0.99a b = B ．a b = C ．0.91a b = D ．a b >11．已知幂函数21()(1)m f x m m x -=--，对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，有1212()()0f x f x x x ->-，若函数()()()()21,1log ,1a a f x x F x f x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩（其中0a >且1a ≠）在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,3]B ．(1,3]C ．(4,)+∞D ．(2,4]12．已知定义在[]22-,上的函数 ()y f x =和()y g x =的图象如图给出下列四个命题：①方程(())0f g x =有且仅有6个根；②方程(())0g f x =有且仅有3个根； ③方程(())0f f x =有且仅有5个根；④方程(())0g g x =有且仅有4个根； 其中正确命题的序号是( ) A ．①②③ B ．②③④C ．①②④D ．①③④二、填空题13．已知扇形的圆心角为4π，半径为4，则扇形的面积为______． 14．已知11,,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则幂函数a y x =的图象不可能经过第__________象限． 15100y =，则lg lg x y ⋅的最大值是__________．16．已知a ∈R ，函数3()2x f x a a -=-+在区间[1,5)上的最大值是4，则a的取值范围是__________．三、解答题17．计算下列各式的值： （1）()122301322017348-⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2lg 6lg 0.02-. 18．设全集U =R ，集合302x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭，{}1B x x =≥，{}23C x a x a =≤≤+.（1）求U C A 和AB ；（2）若A C A ⋃=，求实数a 的取值范围.19．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ. 20．某辆汽车以x 千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120x ≤≤）时,每小时的油耗（所需要的汽油量）为145005x k x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭升,其中k 为常数,且60120x ≤≤．（1）若汽车以120千米/小时的速度行驶时,每小时的油耗为11.5升,欲使每小时的油耗不超过9升,求x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．21．已知函数()f x 为R 上的偶函数，()g x 为R 上的奇函数，且()()()4log 41x f x g x +=+.（1）求()f x 的解析式； （2）若函数()()()()21log 202x h x f x a a =-⋅+>在R 上只有一个零点，求实数a 的取值范围.22．定义：若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数），则称函数()f x 为“a 距”增函数．（1）若()2xf x x =-，x ∈(0，+∞)，试判断()f x 是否为“1距”增函数，并说明理由；（2）若()3144f x x x =-+，x ∈R 是“a 距”增函数，求a 的取值范围；（3）若()22x k xf x +=，x ∈(﹣1，+∞)，其中k ∈R ，且为“2距”增函数，求()f x 的最小值．参考答案1．D 【解析】 【分析】根据并集的定义求解即可 【详解】由题,则{}0,1,2,3,5A B ⋃=, 故选：D 【点睛】本题考查并集的定义,考查列举法表示集合,属于基础题 2．C 【分析】令10x +=,可得1x =-,代入()f x 中,可得()1f -,即可求得定点 【详解】由题,令10x +=,可得1x =-, 则()11122224f a -+-=+=+=,所以定点为()1,4-故选：C 【点睛】本题考查指数型函数图象恒过定点问题,属于基础题 3．B 【分析】可判断[]4log 30,1∈,代入()4xf x =即可【详解】由题,因为4440log 1log 3log 41=<<=,所以()4log 34log 343f ==故选：B 【点睛】本题考查对数运算性质的应用,考查分段函数求值 4．C【分析】判断函数是连续增函数，利用函数的领导品牌定理，从而得到函数f （x ）=lnx+2x-6的零点所在的区间． 【详解】∵连续函数f （x ）=lnx+2x-6是增函数，∴f （2）=ln2+4-6=ln2-2＜0，f （3）=ln3＞0， ∴f （2）•f（3）＜0，故函数f （x ）=lnx+2x-6的零点所在的区间为（2，3）， 故选C ． 【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 5．A 【分析】借助特殊值0,1,利用指数函数,对数函数的单调性判断即可 【详解】由题,0.90991x =>=,9000.90.91y <=<=,99log 0.9log 10z =<=,则01z y x <<<<, 故选：A 【点睛】本题考查指数,对数比较大小问题,考查借助中间值比较大小,考查指数函数,对数函数的单调性的应用 6．B 【分析】利用配方法可得()()221f x x =-+,则()05f =,()21f =,根据二次函数的对称性即可判断m 的范围 【详解】由题,()()221f x x =-+,因为()05f =,()21f =,且对称轴为2x =, 所以()45f =,因为()f x 在区间[0,]m 上的最大值是5,最小值是1, 所以24m ≤≤ 故选：B 【点睛】本题考查已知二次函数最值求参数问题,属于基础题 7．D 【解析】试题分析：因为()f x 是定义域为R 且()f x 是奇函数，所以()()()0000f f f =-⇒=，所以()0022010f m m =+⨯+=+=，1m =-，()()22222217f f ⎡⎤-=-=-+⨯-=-⎣⎦，故选D.考点：1、函数的奇偶性；2、分段函数的解析式. 8．C 【解析】令223(0)t x x t =-++>，则13log y t =是(0,)+∞上的减函数，而223(0)t x x t =-++>的递增区间是(1,1)-，根据复合函数的同增异减原则知，()()213log 23f x x x =-++的递减区间是(1,1)-，故选C. 9．D 【分析】 先得到角76π-的终边相同的角的集合为5|2,6B k k Z ββππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭,因为角α的终边与角76π-的终边垂直,所以角α的终边相同的角的集合为4|2,3A k k Z ααππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭或|2,3A k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭,再根据24παπ<<确定角α的值 【详解】 由题,设角76π-的终边相同的角的集合为75|2,|2,66B k k Z k k Z ββππββππ⎧⎫⎧⎫==-+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,因为角α的终边与角76π-的终边垂直,则2παβ=+或2παβ=- 所以角α的终边相同的角的集合为4|2,3A k k Z ααππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭或|2,3A k k Z πααπ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭,因为24παπ<<,所以当1k =时,103πα=或73π, 故选：D 【点睛】本题考查终边相同的角的应用,考查角的终边的位置关系 10．C 【解析】试题分析：因为一月份增产0030，所以一月份的产量为1.3b ，又因为二月份比一月份减产0030，所以二月份产量为01.3700b ⨯=0.91b ，故选C. 考点： 阅读能力及数学建模思想的应用. 11．A 【分析】先由幂函数定义及函数单调性可解得2m =,即()f x x =,则()()21,1log ,1aa x x F x x x ⎧--≤=⎨>⎩,又由于()F x 在R 上单调递增,可得()201211log 1a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-⨯-≤⎩,解出不等式即可【详解】因为幂函数,所以211m m --=,解得2m =或1m =-, 因为对任意12,(0,)x x ∈+∞,且12x x ≠,有1212()()0f x f x x x ->-,所以()f x 在()0,∞+单调递增,则10m ->,即1m , 所以2m =,则()f x x =,所以()()21,1log ,1aa x x F x x x ⎧--≤=⎨>⎩,又因为()F x 在R 上单调递增,所以()201211log 1a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-⨯-≤⎩,解得23a <≤故选：A 【点睛】本题考查幂函数的定义及幂函数的单调性的应用,考查分段函数已知单调性求参问题 12．D 【解析】根据图象可得2222g x f x -≤≤-≤≤（），（） ， ①由于满足方程[]0f g x =（）的g x （）有三个不同值，由于每个值g x （）对应了2个x 值， 故满足[]0f g x =（）的x 值有6个，即方程[]0f g x =（）有且仅有6个根，故①正确． ②由于满足方程[]0g f x =（）的f x （）有2个不同的值，从图中可知， 一个f x （）的值在21--（，）上，令一个f x （）的值在01（，）上． 当f x （）的值在21--（，）上时，原方程有一个解；当f x （）的值在01（，）上时，原方程有3个解．故满足方程[]0g f x =（）的x 值有4个，故②不正确． ③由于满足方程[]0f f x =（） 的f x （）有3个不同的值，从图中可知，一个f x （）等于0， 一个21f x ∈--（）（，），一个12f x ∈（）（，）． 而当0f x =（） 时对应3个不同的x 值；当21f x ∈--（）（，）时，只对应一个x 值； 当12f x ∈（）（，）时，也只对应一个x 值．故满足方程[]0f f x =（）的x 值共有5个，故③正确． ④由于满足方程[]0g g x =（）的g x （）值有2个，而结合图象可得，每个g x （）值对应2个不同的x 值，故满足方程[]0g gx =（） 的x 值有4个，即方程[]0g g x =（）有且仅有4个根，故④正确．故选 D ． 13．2π 【解析】∵扇形的圆心角为4π，半径为4， ∴扇形的面积211S 162224R παπ==⨯⨯=故答案为2π 14．二、四 【解析】当1a =-或3a =时，图象经过一、三象限，当12a =时，图象经过第一象限，幂函数ay x =的图象不可能经过第二、四象限，故答案为二、四． 15．4 【解析】 【详解】100y =，等号两边同时取对数，得)lglg1002y ==，即1lg lg 24x y +=，利用换元法，令lg ()t y t =∈R ，则lg 84x t =-，代入lg lg x y ⋅，由二次函数的配方，22lg lg (84)484(1)4x y t t t t t ⋅=-=-+=--+，即lg lg x y ⋅的最大值是4，故答案为4．16．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】由题意知，[1,5)x ∈，32[1,4]x -∈，故32[1,4]x a a a --∈--，①1a ≤时，33()|22[1,4]x x f x a a --=-+=∈，故符合题意；②512a <≤时 ，10a -<，40a ->且14a a -≤-，∴32[0,4]x a a --∈-， 故3()2[,4]x f x a a a -=-+∈，故符合题意；③542a <≤时 ，10a -<，40a ->，且14a a ->-，∴32[0,1]x a a --∈-，故3()2[,1]x f x a a a -=-+∈，故不符合题意；④4a >时，3()2x f x a a -=-+=322[24,21]x a a a --∈--，故不符合题意．综上所述：a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故答案为5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【方法点睛】本题主要考查函数的解析式和函数的最值、以及分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中. 17．（1）5318（2）4 【分析】（1）利用指数幂的性质运算即可； （2）利用对数的性质运算即可 【详解】解：（1）()122301322017348-⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1223927148-⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭34129=++ 5318= （2lg 6lg 0.02-6lg0.02=lg 300=2lg3lg300=-+ 100lg 3003⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭lg10000= 4=【点睛】本题考查利用指数幂,对数性质的运算问题,考查运算能力18．(1) {}U 23C A x x x =≤-≥或，{}13A B x x ⋂=≤< (2) >3a 或10a -<< 【分析】（1）先解出A ，然后进行交集、补集的运算即可；（2）根据题意可得C ⊆A 可讨论C 是否为空集，从而可求出实数a 的取值范围． 【详解】（1）{}23A x x =-<<，{}U 23C A x x x =≤-≥或，{}13A B x x ⋂=≤< （2）由A C A ⋃=知C A ⊆当23a a >+时，即>3a 时，=C ∅，满足条件；当23a a ≤+时，即3a ≤时，22a >-且33a +<，10a ∴-<< 综上，>3a 或10a -<< 【点睛】本题考查描述法的定义，分式不等式的解法，交集、补集的运算，以及子集的定义． 考查了分类讨论的数学思想，属于中档题. 19．或0 【分析】利用三角函数的定义可得1tan x xθ-==-,则1x =±,分别讨论当1x =和1x =-两种情况,再利用三角函数定义求解即可 【详解】 由题,因为1tan x xθ-==-,所以1x =±, 当1x =时,P 为()1,1-,则sin cos 0θθ+==； 当1x =-时,P 为()1,1--,则sin cos θθ+=+=,综上,sin cos θθ+=0 【点睛】本题考查三角函数定义的应用,考查已知终边上一点求三角函数值,考查运算能力 20．（1）[]60,100；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）将x=120代入每小时的油耗，解方程可得k=100，由题意可得1450010095x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，解不等式可得x 的范围；（2）设该汽车行驶100千米油耗为y 升，由题意可得100145005y x k x x ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭换元令1t x=化简整理可得t 的二次函数，讨论t 的范围和对称轴的关系，即可得到所求最小值． 【详解】（1）由题意可得当120x =时,14500=11.55x k x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭, 解得100k =,由1450010095x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭, 即214545000x x +≤﹣,解得45100x ≤≤, 又60120x ≤≤,可得60100x ≤≤,每小时的油耗不超过9升,x 的取值范围为[]60,100； （2）设该汽车行驶100千米油耗为y 升,则()210014500209000020601205k y x k x x x x x⎛⎫=⋅-+=-+ ⎪⎝⎭ 令1t x =,则11t ,12060⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 即有22290000202090000+209000900k k y t kt t ⎛⎫=-+=--⎪⎝⎭，对称轴为9000k t =,由60100k ≤≤,可得11,900015090k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, ①若19000120k 即75100k ＜≤,则当9000k t =,即9000x k =时,2min 20900k y =-；②若19000120k <即6075k ≤＜, 则当1120t =,即120x =时,min 10546ky =-． 答：当75100k ＜≤,该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220900k -升； 当6075k ≤＜,该汽车行驶100千米的油耗的最小值为10546k-升． 【点睛】本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查函数的最值求法，注意运用换元法和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题． 21．（1）()()4log 412xx f x =+-；（2）[)11,2⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）由()()()()()()44log 41log 41x xf xg x f x g x -⎧+=+⎪⎨-=+⎪⎩解之即可；（2）将函数()f x 的解析式代入化简，把函数()h x 在R 上只有一个零点的问题转化成方程()0h x =的根的问题，然后利用指数、对数的运算性质进一步转化为方程()212210xx a -+-=，再通过换元法可变为方程()2110a t -+-=只有一个正根的问题，最后分成方程有两相等正根、一正跟一负根和方程为一次方程三种情况讨论即可.【详解】（1） 因为()()()4log 41xf xg x +=+，所以()()()4log 41xf xg x --+-=+，即()()()4log 41x f x g x --=+，由()()()()()()44log 41log 41x xf xg x f x g x -⎧+=+⎪⎨-=+⎪⎩解之得：()()4log 412xx f x =+-.（2）()()()()()224log 11log 2log 422122x x x h x f x a a x =-⋅+=⋅++--进一步化简得()()2221211log log 2222x x xh x a +=-⋅+， 令()0h x =得：()22221log log 22x xxa +=⋅+， 化简得：()212210xx a -+-=，令2x t =，则0t >，即方程()2110a t -+-=只有一个正根，当1a =时，4t =一正一负两根时，满足条件，则101a -<-，所以1a >；当方程有两个相等的正根时，则()28410a a ∆=+-=，所以12a =或1a =-（舍），12a =时，t =满足条件.综上，实数a 的取值范围为：[)11,2⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查利用消元法求函数的解析式及指数、对数方程根的问题通过换元法转化为整式方程根的问题，试题综合性较强，对运算能力要求较高，难度中等偏上.22．（1）见解析； （2）1a >； （3）()24min2,201,0kk f x k -⎧⎪-<<=⎨⎪≥⎩. 【分析】（1）利用“1距”增函数的定义证明()()10f x f x +->即可；（2）由“a 距”增函数的定义得到()()2213304f x a f x x xa a +-=++->在x ∈R 上恒成立，求出a 的取值范围即可；（3）由()f x 为“2距”增函数可得到()()2f x f x +>在()1x ∈+∞﹣，恒成立，从而得到()2222x k x x k x +++>+恒成立，分类讨论可得到k 的取值范围，再由()2222422k k x x k xf x ⎛⎫+-⎪+⎝⎭==，可讨论出()f x 的最小值．【详解】（1）任意0x >,()()()()1121221x x xf x f x x x +⎡⎤+-=-+--=-⎣⎦, 因为0x >,21>, 所以21x >，所以()()10f x f x +->，即()f x 是“1距”增函数． （2）()()()()332231114433444f x a f x x a x a x x x a xa a a ⎡⎤⎛⎫+-=+-++--+=++- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.因为()f x 是“a 距”增函数，所以22313304x a xa a a ++->恒成立， 因为0a >,所以2213304x xa a ++->在x ∈R 上恒成立， 所以221=91204a a ⎛⎫∆--< ⎪⎝⎭，解得21a >，因为0a >,所以1a >. （3）因为()22x k xf x +=，()1,x ∈-+∞，且为“2距”增函数，所以1x >-时，()()2f x f x +>恒成立， 即1x >-时，()222222x k x x k x++++>恒成立，所以()2222x k x x k x +++>+，当0x ≥时，()()2222x k x x kx +++>+，即4420x k ++>恒成立， 所以420k +>, 得2k >-;当10x -<<时，()()2222-x k x x kx +++>， 得44220x kx k +++>恒成立， 所以()()120x k ++>,得2k >-, 综上所述，得2k >-. 又()2222422k k x xk xf x ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，因为1x >-,所以0x ≥，当0k ≥时，若0x =，2224k k x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭取最小值为0； 当20k -<<时，若2k x =-，2224k k x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭取最小值.因为2xy =在R 上是单调递增函数，所以当0k ≥，()f x 的最小值为1；当20k -<<时()f x 的最小值为242k -，即()242,201,0k mink f x k -⎧⎪-<<=⎨⎪≥⎩. 【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题．。
2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学新疆班高一(上)期中数学试卷
2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学新疆班高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是．2．（5分）过点A（2，0）且与x轴垂直的直线方程．3．（5分）以点P（1，1）为圆心，且经过原点的圆的标准方程为．4．（5分）空间两点P（2，﹣2，0）和Q（4，0，1）之间的距离为．5．（5分）直线2x+y+1=0不通过第象限．6．（5分）若直线l1：x+3y+m=0（m＞0）与直线l2：x+3y﹣3=0的距离为，则m=．7．（5分）过点A（0，3）做圆x2+y2﹣4x+2y+1=0的切线，则切线长为．8．（5分）如图，正四棱锥PABCD的底面一边AB长为2，高为8，则它的体积为．9．（5分）已知E为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1中点，则BD1与平面ACE 位置关系是．10．（5分）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线y=x+1平行，则直线l的方程为．11．（5分）如果用半径为R=2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是．12．（5分）已知直线y=与圆C：（x﹣2）2+y2=1相交于A，B两点，则弦长AB=．13．（5分）设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β．其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．二、解答题：（本大题共6小题，其中15，16题满分90分，17，18题满分90分19，20题满分90分，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知直线l1：（a+3）x+4y=5﹣3a与l2：2x+（a+5）y=8，则当a为何值时，直线l1与l2：（1）平行？（2）重合？（3）垂直？16．（14分）已知三条直线l1：x﹣2y=0，l2：y+1=0，l3：2x+y﹣1=0两两相交，（1）画出图形，并求出它们交点的坐标；（2）求过这三个交点的圆的方程．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．18．（15分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，点E，F，G分别是侧棱SA，SB，SC的中点，AF⊥BC，AS=AB．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）平面SAB⊥平面SBC．19．（16分）已知圆O的方程为x2+y2=4．（1）求过点P（1，2）且与圆O相切的直线L的方程；（2）直线L过点P（1，2），且与圆O交于A、B两点，若|AB|=2，求直线L 的方程．20．（16分）已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a），（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；（2）若，过点M的圆的两条弦AC．BD互相垂直，求AC+BD的最大值．2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学新疆班高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是45°．【分析】把已知直线的方程变形后，找出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数．【解答】解：由直线x﹣y+1=0变形得：y=x+1所以该直线的斜率k=1，设直线的倾斜角为α，即tanα=1，∵α∈[0，180°），∴α=45°．故答案为：45°．【点评】此题考查了直线的倾斜角，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围．2．（5分）过点A（2，0）且与x轴垂直的直线方程x=2．【分析】根据与x轴垂直的直线方程斜率不存在，写出直线方程即可．【解答】解：过点A（2，0）且与x轴垂直的直线方程斜率不存在，直线方程是x=2．故答案为：x=2．【点评】本题考查了斜率不存在时的直线方程应用问题，是基础题．3．（5分）以点P（1，1）为圆心，且经过原点的圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【分析】因为要求的圆的圆心知道，且圆经过原点，所以圆心到原点的距离就是圆的半径，然后直接代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵P（1，1）为圆心，且经过原点，∴半径r=，∴圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【点评】本题考查了圆的标准方程，解答此题的关键是求出圆的半径，是基础题．4．（5分）空间两点P（2，﹣2，0）和Q（4，0，1）之间的距离为3．【分析】直接利用空间两点间的距离公式求出两点的距离即可．【解答】解：空间两点P（2，﹣2，0），Q（4，0，1）间的距离为：|PQ|==3，故答案为：3．【点评】本题考查空间两点间的距离公式的应用，考查计算能力．5．（5分）直线2x+y+1=0不通过第一象限．【分析】由已知中的直线方程求出直线与坐标轴的交点，进而可得答案．【解答】解：当x=0时，y=﹣1，当y=0时，x=﹣，故直线2x+y+1=0过第二、三，四象限，即直线2x+y+1=0不通过第一象限，故答案为：一．【点评】本题考查的知识点是直线的一般方程，难度不大，属于基础题．6．（5分）若直线l1：x+3y+m=0（m＞0）与直线l2：x+3y﹣3=0的距离为，则m=7或﹣13．【分析】由题意利用两条平行线间的距离公式，求得m的值．【解答】解：直线l1：x+3y+m=0（m＞0）与直线l2：x+3y﹣3=0的距离为，故有=，求得m=7，或m=﹣13，故答案为：7或﹣13．【点评】本题主要考查两条平行线间的距离公式的应用，属于基础题．7．（5分）过点A（0，3）做圆x2+y2﹣4x+2y+1=0的切线，则切线长为4．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心和半径，画出图形，根据切线的性质得到直角△ACM，利用勾股定理求出切线|AM|的长．【解答】解：如图所示，圆的标准方程为（x﹣2）2+（y+1）2=4，∴圆心C的坐标为（2，﹣1），半径为r=2；又|CA|==2，∴切线长为|CM|===4．故答案为：4．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了两点间的距离公式，切线性质以及勾股定理应用问题．8．（5分）如图，正四棱锥PABCD的底面一边AB长为2，高为8，则它的体积为32．【分析】求出S ABCD=2×=12，代入体积公式V=得出体积．【解答】解：∵正四棱锥PABCD的底面一边AB长为2，∴S ABCD=2×=12，正四棱锥PABCD的体积为V==．故答案为：32．【点评】本题考查了棱锥的体积计算，属于基础题．9．（5分）已知E为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1中点，则BD1与平面ACE 位置关系是BD1∥平面ACE．【分析】连接AC，BD，交点为F，连接EF，由三角形中位线定理可得EF∥BD1，由线面平行的判定定理，可得BD1∥平面ACE．【解答】解：连接AC，BD，交点为F，连接EF∵在△BDD1中，E，F为DD1，BD的中点故EF∥BD1，∵EF⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE，故答案为：BD1∥平面ACE【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握线面平行的判定定理是解答的关键．10．（5分）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线y=x+1平行，则直线l的方程为x﹣y+3=0．【分析】由圆的方程求得圆心坐标，再由所求直线与直线y=x+1平行求得斜率，代入直线方程斜截式得答案．【解答】解：由圆x2+（y﹣3）2=4，得圆心坐标为（0，3），又直线l与直线y=x+1平行，则直线l的斜率为1，则所求直线方程为y=x+3，即x﹣y+3=0．故答案为：x﹣y+3=0．【点评】本题考查由圆的标准方程求圆心坐标，考查直线方程的求法，是基础题．11．（5分）如果用半径为R=2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是3．【分析】先求半圆的弧长，就是圆锥的底面周长，求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求出圆锥的高．【解答】解：半径为R=2的半圆弧长为2π，圆锥的底面圆的周长为2π，圆锥的底面半径为：所以圆锥的高：=3故答案为：3．【点评】本题考查圆锥以及侧面展开图的知识，考查计算能力，是基础题．12．（5分）已知直线y=与圆C：（x﹣2）2+y2=1相交于A，B两点，则弦长AB=．【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式求得|AB|的值．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=1，∴圆心坐标为（2，0），半径为，1，∴圆心到直线l：y=x的距离为d==，故弦长|AB|=2=故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．13．（5分）设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β．其中正确的命题是④．（写出所有正确命题的序号）【分析】由题设条件，对四个选项逐一判断即可，①选项用线线平行的条件进行判断；②选项用线面平行的条件判断；③选项用线面垂直的条件进行判断；④选项用面面垂直的条件进行判断，【解答】解：①选项不正确，因为线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面；②选项不正确，因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行；③选项不正确，因为两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；④选项正确，因为线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直．其中正确的命题是④．故答案为：④．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，求解本题关键是有较好的空间想像能力，对空间中点线面的位置关系可以准确判断，再就是熟练掌握点线面位置关系判断的定理与条件．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．【解答】解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．【点评】本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．二、解答题：（本大题共6小题，其中15，16题满分90分，17，18题满分90分19，20题满分90分，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知直线l1：（a+3）x+4y=5﹣3a与l2：2x+（a+5）y=8，则当a为何值时，直线l1与l2：（1）平行？（2）重合？（3）垂直？【分析】由（a+3）（a+5）﹣8=a2+8a+7=0得：a=﹣1，或a=﹣7，（1）当a=﹣7时，两直线平行．（2）当a=﹣1时，两直线重合；（3）当由2（a+3）+4（a+5）=0得：a=﹣，此时两条直线垂直；【解答】解：∵直线l1：（a+3）x+4y=5﹣3a，直线l2：2x+（a+5）y=8，由（a+3）（a+5）﹣8=a2+8a+7=0得：a=﹣1，或a=﹣7，（1）当a=﹣7时，直线l1：﹣4x+4y=26，直线l2：2x﹣2y=8，两直线平行；（2）当a=﹣1时，直线l1：﹣2x+4y=8，直线l2：2x﹣4y=8，两直线重合；（2）由2（a+3）+4（a+5）=0得：a=﹣此时两条直线垂直．【点评】此题为中档题，要求学生会利用代数的方法研究图象的位置关系，难度中档．16．（14分）已知三条直线l1：x﹣2y=0，l2：y+1=0，l3：2x+y﹣1=0两两相交，（1）画出图形，并求出它们交点的坐标；（2）求过这三个交点的圆的方程．【分析】（1）先根据题意画出三条直线，再求出交点的坐标；（2）判断由三个交点构成的三角形的形状为直角三角形，求出圆心坐标和半径，即可求出圆的标准方程．【解答】解：（1）如图：通过计算斜率可得L1⊥L3，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆，解方程组，得，∴点A的坐标为（﹣2，﹣1），解方程组，得．∴点B的坐标为（1，﹣1），解方程组，得．∴点C的坐标为（1，﹣1）；（2）线段AB的中点坐标是（﹣，﹣1），又|AB|=，∴圆的方程是（x+）2+（y+1）2=．【点评】本题考查了直线方程及画法，求直线交点的方法，求圆的标准方程的方法，准确的判断三角形的形状是解决本题的关键，是中档题．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．【分析】（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MO∥PA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA∥平面MDB．（2）先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．【解答】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴MO∥PA，∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．【点评】本题主要考查了线面平行的判定和线面垂直的判定．判定的关键是先找到到线线平行，线线垂直，属于中档题．18．（15分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，点E，F，G分别是侧棱SA，SB，SC的中点，AF⊥BC，AS=AB．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）平面SAB⊥平面SBC．【分析】（1）推导出EF∥AB，GF∥AC，由此能证明平面EFG∥平面ABC．（2）推导出AF⊥BC，AF⊥SB，从而AF⊥平面SBC，由此能证明平面SAB⊥平面SBC．【解答】证明：（1）∵在三棱锥S﹣ABC中，点E，F，G分别是侧棱SA，SB，SC 的中点，∵EF∥AB，GF∥AC，∵EF∩EG=E，AB∩AC=A，EF、EG⊂平面EFG，AB、AC⊂平面ABC，∴平面EFG∥平面ABC．（2）∵AF⊥BC，AS=AB，F是SB中点，∴AF⊥SB，∵BC∩SB=B，∴AF⊥平面SBC，∵AF⊂平面SAB，∴平面SAB⊥平面SBC．【点评】本题考查面面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19．（16分）已知圆O的方程为x2+y2=4．（1）求过点P（1，2）且与圆O相切的直线L的方程；（2）直线L过点P（1，2），且与圆O交于A、B两点，若|AB|=2，求直线L 的方程．【分析】（1）由题意可知，直线斜率存在，设出直线方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得k，则直线方程可求；（2）当直线L垂直x轴时，直线方程为x=1，求出A，B的坐标，得|AB|=，满足题意；当直线L的斜率存在时，设L的方程为y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2=0．利用垂径定理列式求得k，则直线方程可求．【解答】解（1）显然直线l的斜率存在，设切线方程为y﹣2=k（x﹣1），则由=2，得k1=0，k2=﹣，从而所求的切线方程为y=2和4x+3y﹣10=0；（2）当直线L垂直x轴时，直线方程为x=1，代入x2+y2=4，解得A（1，），B（1，﹣），|AB|=，满足题意；当直线L的斜率存在时，设L的方程为y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2=0．设圆心到此直线的距离为d，则，解得d=1．从而1=，解得k=．此时直线方程为3x﹣4y+5=0，综上，所求直线方程为3x﹣4y+5=0或x=1．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．20．（16分）已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a），（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；（2）若，过点M的圆的两条弦AC．BD互相垂直，求AC+BD的最大值．【分析】本题考查的是圆的切线方程，即直线与圆方程的应用．（1）要求过点M 的切线方程，关键是求出切点坐标，由M点也在圆上，故满足圆的方程，则易求M点坐标，然后代入圆的切线方程，整理即可得到答案．（2）由于直线AC、BD均过M点，故可以考虑设两个直线的方程为点斜式方程，但由于点斜式方程不能表示斜率不存在的情况，故要先讨论斜率不存在和斜率为0的情况，然后利用弦长公式，及基本不等式进行求解．【解答】解：（1）由条件知点M在圆O上，∴1+a2=4∴a=±当a=时，点M为（1，），k OM=，此时切线方程为：y﹣=﹣（x﹣1）即：x+y﹣4=0当a=﹣时，点M为（1，﹣），k OM=﹣，此时切线方程为：y+=（x﹣1）即：x﹣y﹣4=0∴所求的切线方程为：x+y﹣4=0或即：x﹣y﹣4=0（2）当AC的斜率为0或不存在时，可求得AC+BD=2（+）当AC的斜率存在且不为0时，设直线AC的方程为y﹣=k（x﹣1），直线BD的方程为y﹣=（x﹣1），由弦长公式l=2可得：AC=2BD=2∵AC2+BD2=4（+）=20∴（AC+BD）2=AC2+BD2+2AC×BD≤2（AC2+BD2）=40故AC+BD≤2即AC+BD的最大值为2【点评】求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上．若在圆上，则该点为切点，若点P（x0，y0）在圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）上，则过点P的切线方程为（x﹣a）（x0﹣a）+（y﹣b）（y0﹣b）=r2（r＞0）；若在圆外，切线应有两条．一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单．若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线．。
【精品】2017年江苏省扬州中学高一上学期期中数学试卷
2016-2017学年江苏省扬州中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（5*14=70）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x＜2}，集合B={x|x＜1}，则A∩B=．2．（5分）函数f（x）=ln（x﹣2）的定义域为．3．（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=．4．（5分）函数f（x）=x2﹣4x+5，x∈[1，5]，则该函数值域为．5．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx+1，且f（﹣2）=3，则f（2）=．6．（5分）计算﹣lg2﹣lg5=．7．（5分）集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是．8．（5分）若函数f（x）=﹣x2+2ax与函数g（x）=在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围是．9．（5分）函数f（x）=2log a（x﹣2）+3（a＞0，a≠1）恒过定点的坐标为．10．（5分）已知函数f（x﹣1）=x2﹣2x，则f（x）=．11．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，且f（x﹣1）＞f（3﹣2x），求x的取值范围．12．（5分）f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f（），c=f（0.20.6），则a，b，c大小关系是．13．（5分）已知函数y=lg（﹣1）的定义域为A，若对任意x∈A都有不等式﹣m2x﹣2mx＞﹣2恒成立，则正实数m的取值范围是．14．（5分）已知函数，关于x的方程f2（x）+a|f（x）|+b=0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，则a的取值范围是．二、解答题：（14+14+14+16+16+16）15．（14分）已知全集为R，集合A={x|y=lgx+}，B={x|＜2x﹣a≤8}．（I）当a=0时，求（?R A）∩B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．16．（14分）已知二次函数y=f（x）满足f（﹣2）=f（4）=﹣16，且f（x）最大值为2．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最大值．17．（14分）已知函数f（x）=log a（ax2﹣x+1），其中a＞0且a≠1．（1）当a=时，求函数f（x）的值域；（2）当f（x）在区间上为增函数时，求实数a的取值范围．18．（16分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x．（1）求f（π）的值；（2）求﹣1≤x≤3时，f（x）的解析式；（3）当﹣4≤x≤4时，求f（x）=m（m＜0）的所有实根之和．19．（16分）设a为实数，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值．20．（16分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．2016-2017学年江苏省扬州中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（5*14=70）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x＜2}，集合B={x|x＜1}，则A∩B={x|﹣1≤x ＜1} ．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，集合B={x|x＜1}，∴A∩B={x|﹣1≤x＜1}，故答案为：{x|﹣1≤x＜1}2．（5分）函数f（x）=ln（x﹣2）的定义域为（2，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）=ln（x﹣2），∴x﹣2＞0；解得x＞2，∴该函数的定义域为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．3．（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=．【解答】解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=．故答案为：．4．（5分）函数f（x）=x2﹣4x+5，x∈[1，5]，则该函数值域为[1，10] ．【解答】解：由于函数f（x）=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1，x∈[1，5]，则当x=2时，函数取得最小值为1，当x=5时，函数取得最大值为10，故该函数值域为[1，10]，故答案为[1，10]．5．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx+1，且f（﹣2）=3，则f（2）=﹣1．【解答】解：函数f（x）=ax3+bx+1，且f（﹣2）=3，则f（2）=8a+2b+1=﹣（﹣8a﹣2b+1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣1．6．（5分）计算﹣lg2﹣lg5=3．【解答】解：=4﹣2=3．故答案为：3．7．（5分）集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是0或1．【解答】解：根据集合A={x|ax2+2x﹣1=0}只有一个元素，可得方程ax2+2x﹣1=0只有一个根，①a=0，x=，满足题意；②a≠0时，则应满足△=0，即（﹣2）2﹣4a×1=4﹣4a=0解得a=1．所以a=0或a=1．故答案为：0或1．8．（5分）若函数f（x）=﹣x2+2ax与函数g（x）=在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围是（0，1] ．【解答】解：因为函数f（x）=﹣x2+2ax在[1，2]上是减函数，所以﹣=a≤1①，又函数g（x）=在区间[1，2]上是减函数，所以a＞0②，综①②，得0＜a≤1，即实数a的取值范围是（0，1]．故答案为：（0，1]．9．（5分）函数f（x）=2log a（x﹣2）+3（a＞0，a≠1）恒过定点的坐标为（3，3）．【解答】解：令x﹣2=1，则x=3，f（3）=2log a（3﹣2）+3=3，故函数f（x）=2log a（x﹣2）+3（a＞0，a≠1）恒过定点的坐标为（3，3），故答案为：（3，3）．10．（5分）已知函数f（x﹣1）=x2﹣2x，则f（x）=x2﹣1．【解答】解：函数f（x﹣1）=x2﹣2x，令x﹣1=t，则x=t+1那么f（x﹣1）=x2﹣2x转化为f（t）=（t+1）2﹣2（t+1）=t2﹣1．所以得f（x）=x2﹣1故答案为：x2﹣1．11．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，且f（x﹣1）＞f（3﹣2x），求x的取值范围．【解答】解：因为偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，所以f（x﹣1）＞f（3﹣2x）?f（|x﹣1|）＞f（|3﹣2x|）?|x﹣1|＞|3﹣2x|，两边平方并化简得3x2﹣10x+8＜0，解得，所以x的取值范围为（）．故答案为：（）．12．（5分）f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f（），c=f（0.20.6），则a，b，c大小关系是c＞a＞b．【解答】解：f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，故f（x）在[0，+∞）上是减函数，∵a=f（log47），b=f（），c=f（0.20.6），∵log47=log2＞1，∵=﹣log23=﹣log49＜﹣1，0＜0.20.6＜1，∴|log23|＞|log47|＞|0.20.6|＞0，∴f（0.20.6）＞f（log47）＞f（），即c＞a＞b，故答案为：c＞a＞b．13．（5分）已知函数y=lg（﹣1）的定义域为A，若对任意x∈A都有不等式﹣m2x﹣2mx＞﹣2恒成立，则正实数m的取值范围是（0，）．【解答】解：由函数y=lg（﹣1）可得，﹣1＞0，解得0＜x＜1，即有A=（0，1），对任意x∈A都有不等式﹣m2x﹣2mx＞﹣2恒成立，即有﹣m2﹣2m＞﹣，整理可得m2+2m＜+在（0，1）恒成立，由+=（+）（1﹣x+x）=+2++≥+2=．即有m2+2m＜，由于m＞0，解得0＜m＜，故答案为：（0，）．14．（5分）已知函数，关于x的方程f2（x）+a|f（x）|+b=0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，则a的取值范围是（﹣4，﹣2）．【解答】解：先根据题意作出f（x）的简图：得f（x）＞0．∵题中原方程f2（x）+a|f（x）|+b=0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，即方程f2（x）+af（x）+b=0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，∴故由图可知，只有当f（x）=2时，它有二个根．故关于x的方程f2（x）+af （x）+b=0中，有：4+2a+b=0，b=﹣4﹣2a，且当f（x）=k，0＜k＜2时，关于x的方程f2（x）+af（x）+b=0有4个不同实数解，∴k2+ak﹣4﹣2a=0，a=﹣2﹣k，∵0＜k＜2，∴a∈（﹣4，﹣2）．故答案为：（﹣4，﹣2）．二、解答题：（14+14+14+16+16+16）15．（14分）已知全集为R，集合A={x|y=lgx+}，B={x|＜2x﹣a≤8}．（I）当a=0时，求（?R A）∩B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|y=lgx+}=（0，2]，∴?R A=（﹣∞，0]∪（2，+∞）当a=0时，＜2x≤8，∴﹣2＜x≤3，∴B=（﹣2，3]，则（?R A）∩B=（﹣2，0]∪（2，3]；（2）B={x|＜2x﹣a≤8}=（a﹣2，a+3]．∵A∪B=B，∴A?B，∴，∴﹣1≤a≤2．16．（14分）已知二次函数y=f（x）满足f（﹣2）=f（4）=﹣16，且f（x）最大值为2．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最大值．【解答】解：（1）∵已知二次函数y=f（x）满足f（﹣2）=f（4）=﹣16，且f（x）最大值为2，故函数的图象的对称轴为x=1，可设函数f（x）=a（x﹣1）2+2，a＜0．根据f（﹣2）=9a+2=﹣16，求得a=﹣2，故f（x）=﹣2（x﹣1）2+2=﹣2x2+4x．（2）当t≥1时，函数f（x）在[t，t+1]上是减函数，故最大值为f（t）=﹣2t2+4t，当0＜t＜1时，函数f（x）在[t，1]上是增函数，在[1，t+1]上是减函数，故函数的最大值为f（1）=2．综上，f max（x）=．17．（14分）已知函数f（x）=log a（ax2﹣x+1），其中a＞0且a≠1．（1）当a=时，求函数f（x）的值域；（2）当f（x）在区间上为增函数时，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当时，恒成立，故定义域为R，又∵，且函数在（0，+∞）单调递减，∴，即函数f（x）的值域为（﹣∞，1]；（2）依题意可知，i）当a＞1时，由复合函数的单调性可知，必须ax2﹣x+1在上递增，且ax2﹣x+1＞0对恒成立．故有，解得：a≥2；ii）当0＜a＜1时，同理必须ax2﹣x+1在上递减，且ax2﹣x+1＞0对恒成立．故有，解得：．综上，实数a的取值范围为．18．（16分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x．（1）求f（π）的值；（2）求﹣1≤x≤3时，f（x）的解析式；（3）当﹣4≤x≤4时，求f（x）=m（m＜0）的所有实根之和．【解答】解：（1）∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（π）=f（π﹣4）=﹣f（4﹣π）=﹣（4﹣π）=π﹣4；（2）若﹣1≤x≤0，则0≤﹣x≤1，则f（﹣x）=﹣x，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），即f（x）=x，﹣1≤x≤0，即当﹣1≤x≤1时，f（x）=x，若1≤x≤3，则﹣1≤x﹣2≤1，∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x﹣2）=﹣（x﹣2）=﹣x+2，即当﹣1≤x≤3时，f（x）的解析式为f（x）=；（3）作出函数f（x）在﹣4≤x≤4时的图象如图，则函数的最小值为﹣1，若m＜﹣1，则方程f（x）=m（m＜0）无解，若m=﹣1，则函数在﹣4≤x≤4上的零点为x=﹣1，x=3，则﹣1+3=2，若﹣1＜m＜0，则函数在﹣4≤x≤4上共有4个零点，则它们分别关于x=﹣1和x=3对称，设分别为a，b，c，d，则a+b=﹣2，b+d=6，即a+b+c+d=﹣2+6=4．19．（16分）设a为实数，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值．【解答】解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为R．当a=0时f（x）=x|x﹣a|=x|x|，为奇函数．当a≠0时，f（x）=x|x﹣a|，f（1）=|1﹣a|，f（﹣1）=﹣|1+a|，f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），∴此时函数f（x）为非奇非偶函数．（2）若a≤0，则函数f（x）=x|x﹣a|在0≤x≤1上为增函数，∴函数f（x）的最大值为f（1）=|1﹣a|=1﹣a，若a＞0，由题意可得f（x）=，由于a＞0且0≤x≤1，结合函数f（x）的图象可知，由，当，即a≥2时，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）的最大值为f（1）=a﹣1；当，即时，f（x）在[0，]上递增，在[，a]上递减，∴f（x）的最大值为f（）=；当，即时，f（x）在[0，]上递增，在[，a]上递减，在[a，1]上递增，∴f（x）的最大值为f（1）=1﹣a．20．（16分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）若已知f（1）=，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．【解答】解：（1）∵f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．∴f（0）=0，即k﹣1=0，解得k=1．（2）∵f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），当a＞1时，f（x）在R上递增．理由如下：设m＜n，则f（m）﹣f（n）=a m﹣a﹣m﹣（a n﹣a﹣n）=（a m﹣a n）+（a﹣n﹣a﹣m）=（a m﹣a n）（1+），由于m＜n，则0＜a m＜a n，即a m﹣a n＜0，f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n），则当a＞1时，f（x）在R上递增．（3）∵f（1）=，∴a﹣=，即3a2﹣8a﹣3=0，解得a=3或a=﹣（舍去）．∴g （x ）=32x +3﹣2x ﹣2m （3x ﹣3﹣x ）=（3x ﹣3﹣x ）2﹣2m （3x ﹣3﹣x）+2，令t=3x ﹣3﹣x ，∵x ≥1，∴t ≥f （1）=，∴（3x ﹣3﹣x ）2﹣2m （3x ﹣3﹣x ）+2=（t ﹣m ）2+2﹣m 2，当m时，2﹣m 2=﹣2，解得m=2，不成立舍去．当m时，（）2﹣2m ×+2=﹣2，解得m=，满足条件，∴m=．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l PA'A Bl C PA B D 运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为M FEACB P 2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。
扬州中学高一上学期数学期中考试
扬州中学高一上学期期中考试高一数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．集合{1,1},{0,1,2}P Q =-=，则P Q = ▲2．若函数23y x ax =++为偶函数，则a = ▲3．函数lg y x =的定义域为 ▲4．=+5lg 38lg ▲5．若,210,410==y x 则=-y x 10 ▲6．已知12a =，函数()x f x a =，若实数m ，n 满足()()f m f n <，则m 、n 的大小关系是 ▲7．幂函数()f x 的图象过点，则()f x 的解析式为 ▲8．已知集合2{|log 2},(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ▲9．已知()f x 是偶函数，且当0x >时，2()2f x x x =-，则当0x <时，()f x = ▲10．函数212log (25)y x x =-+的值域是 ▲11．已知3(9)()(4)(9)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(1)f 的值为 ▲ 12．三个数0.70.7333,log ,0.7a b c ===按从大到小的顺序排列为 ▲13．函数22()log (2)f x x x =+的单调递减区间为 ▲14．定义：区间1212[,]()x x x x <的长度为21x x -，已知函数0.5|log (2)|y x =+定义域为[,]a b ，值域为[0，2]，则区间[,]a b 的长度的最大值为 ▲二、解答题（本大题共6小题，计90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题14分）已知集合23{|log (33)0},{|20}A x x x B x mx =-+==-=，且AB B =，求实数m 的值．16．（本小题14分）已知函数()log (1)log (3)a a f x x x =-++⑴求函数()f x 的定义域；⑵若函数()f x 的最小值为－2，求a 的值．17．（本小题14分）函数()(,x f x k a k a -=⋅为常数，0a >且1)a ≠的图象过点A （0，1），B （3，8）．⑴求函数()f x 的解析式； ⑵若函数()1()()1f xg x f x -=+，试判断函数()g x 的奇偶性．18．（本小题16分）已知偶函数223()()mm f x x m Z --=∈在（0，+∞）上单调递减．⑴求函数()f x 的解析式； ⑵若(21)()f a f a +=，求实数a 的值．19．（本小题16分）已知函数2211()a f x a a x+=-，],[n m x ∈)(n m <． ⑴用函数单调性的定义证明：函数()f x 在[,m n ]上单调递增；⑵()f x 的定义域和值域都是[,m n ]，求常数a 的取值范围．20．（本小题16分）已知函数22()(2)(2)x x f x a a -=-++，x ∈[－1，1]．⑴求()f x 的最小值；⑵关于x 的方程()f x 22a =有解，求实数a 的取值范围．。
江苏省扬州中学2017-2018学年高一数学10月月考试题
江苏省扬州中学2017-2018学年第一学期10月月考高一数学试卷2017.10.7一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答题卡上．．．．．．．．) 1．集合{}03x x x Z <<∈且的非空子集个数为 ▲ ． 2.函数12y x -的定义域是 ▲ .3. 定义在R 上的奇函数)(x f ，当0<x 时，11)(+=x x f ，则)21(f = ▲ ．4．若函数2()(2)(1)2f x p x p x =-+-+是偶函数，则p= ▲ ． 5．函数1)(+++-=a x ax x f 图象的对称中心横坐标为3，则a = ▲ .6．已知{}23,(5,)A x a x a B =≤≤+=+∞，若,A B =∅则实数a 的取值范围为 ▲ . 7．已知集合{1,1}A =-，{1}B x mx ==，且AB B =，则实数m 的值为 ▲ .8.函数)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数且)1(11)()(±≠+=+x x x g x f ，则=-)3(f ▲ .9.已知函数2460()60x x x f x x x ⎧-+≤=⎨-+>⎩，，，，若()(1)f x f <-，则实数x 的取值范围是 ▲ .10.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则实数x 的取值范围是 ▲ ．11. 已知定义在R 上的函数()x f 在[)+∞-,4上为增函数，且()4-=x f y 是偶函数，则()()()0,4,6f f f --的大小关为 ▲ .12. 已知函数2()2f x x x a =++和函数()2g x x =,对任意1x ,总存在2x 使12()()g x f x =成立,则实数a 的取值范围是 ▲ .13.设函数()(1)1||mxf x m x =>+其中常数，区间[,]()M a b a b =<，集合{|(),}N y y f x x M ==∈，则使M N =成立的实数对(),a b 有 ▲ 对．14.已知函数()(),11+=+x f x f 当[]1,0∈x 时，().113--=x x f 若对任意实数x ，都有()()x f a x f <+成立，则实数a 的取值范围 ▲ .二、解答题：(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．答．案写在答题卡上．．．．．．．) 15. （本小题满分14分）已知集合A ={x |||4x a -<}，2{|450}B x x x =-->． （1）若1=a ，求B A ；（2）若=B A R ，求实数a 的取值范围．16. （本小题满分14分）已知函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，x x x f 2)(2+-=. （1）求)(x f 的解析式；（2）若函数)(x f 在区间]2,1[--a 上单调递增，求实数a 的取值范围.17. （本小题满分15分） 已知函数f (x )=|x 2-1|+x 2+kx . (1) 当k =2时,求方程f (x )=0的解;(2) 若关于x 的方程f (x )=0在(0,2)上有两个实数解x 1,x 2,求实数k 的取值范围.18（本小题满分15分）学校欲在甲、乙两点采购某款投影仪，该款投影仪原价为每台2000元。
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2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B=．2．（5分）sin960°的值为．3．（5分）若幂函数f（x）的图象过点（2，8），则f（3）=．4．（5分）已知函数f（2x+1）=4x2，则f（5）=．5．（5分）函数f（x）=a x﹣1+1（a＞0且a≠1）恒过定点．6．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a为．7．（5分）函数y=ln（x﹣1）的定义域为．8．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则cosα的值为．9．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时有，则f（﹣1）=．10．（5分）若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在x∈[1，2]上的最大值和最小值的和是3a，则实数a的值是．11．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，3]的最大值是．12．（5分）方程lgx+x=2的根x0∈（k，k+1），其中k∈Z，则k=．13．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，若f（﹣3）=0，则＜0的解集为．14．（5分）已知a＞0，函数在区间[1，4]上的最大值等于，则a 的值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）（1）计算；（2）已知，求的值．16．（14分）已知A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|m﹣2≤x≤m+2，m∈R}（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值．（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．17．（14分）已知函数，（Ⅰ）若a=2，求f（x）的定义域；（Ⅱ）若f（x）在（﹣1，5]内有意义，求a的取值范围．18．（16分）有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：M=，N=（x≥1）．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，（1）设投入乙种商品的资金为x万元，总利润y；（2）为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少？共能获得多大利润？19．（16分）已知函数（1）用定义证明f（x）在R上单调递增；（2）若f（x）是R上的奇函数，求m的值；（3）若f（x）的值域为D，且D⊆[﹣3，1]，求m的取值范围．20．（16分）对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）•f（a ﹣x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．（Ⅰ）判断函数f1（x）=x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；（Ⅱ）若函数f2（x）=4x是“（a，b）型函数”，求出满足条件的一组实数对（a，b）；（Ⅲ）已知函数g（x）是“（a，b）型函数”，对应的实数对（a，b）为（1，4）．当x∈[0，1]时，g（x）=x2﹣m（x﹣1）+1（m＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4，试求m的取值范围．2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B={2} ．【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∩B={1，2}∩{2，3}={2}．故答案为：{2}．2．（5分）sin960°的值为．【解答】解：由题意，sin960°=sin（720°+240°）=sin240°=sin（180°+60°）=﹣故答案为：3．（5分）若幂函数f（x）的图象过点（2，8），则f（3）=27．【解答】解：设f（x）=x a，因为幂函数图象过（2，8），则有8=2a，∴a=3，即f（x）=x3，∴f（3）=（3）3=27故答案为：274．（5分）已知函数f（2x+1）=4x2，则f（5）=16．【解答】解：已知函数f（2x+1）=4x2，令t=2x+1，则x=，故有f（t）=4 ．故f（5）=4=16，故答案为16．5．（5分）函数f（x）=a x﹣1+1（a＞0且a≠1）恒过定点（1，2）．【解答】解：令x﹣1=0，求得x=1，且y=2，故函数f（x）=a x﹣1+1（a＞0且a≠1）恒过定点（1，2），故答案为（1，2）．6．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a为﹣4或2．【解答】解：当a≤0时，f（a）=﹣a=4∴a=﹣4当a＞0时，f（a）=a2=4∴a=2或a=﹣2（舍）综上可得，a=2或a=﹣4故答案为：﹣4或27．（5分）函数y=ln（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1＞0，解得x＞1．∴函数的定义域为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．8．（5分）已知角α的终边经过点（﹣3，4），则cosα的值为．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣3，4）到原点的距离为r=5，由任意角的三角函数的定义得cosα==．故答案为：．9．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时有，则f（﹣1）=．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x），故f（﹣1）=﹣f（1），而f（1）=，故f（﹣1）=﹣，故答案为：﹣．10．（5分）若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在x∈[1，2]上的最大值和最小值的和是3a，则实数a的值是2．【解答】解：函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在x∈[1，2]上的最大值和最小值的和是3a，若a＞1时，f（x）在[1，2]递增，可得最小值为f（1），最大值为f（2）；若0＜a＜1时，f（x）在[1，2]递减，可得最小值为f（2），最大值为f（1）；则和为f（1）+f（2）=a+a2=3a，解得a=2（0舍去），故答案为：2．11．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，3]的最大值是6．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x+3，开口向上，对称轴为：x=1，所以函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，3]的最大值是：f（3）=9﹣6+3=6．故答案为：6．12．（5分）方程lgx+x=2的根x0∈（k，k+1），其中k∈Z，则k=1．【解答】解：由题意设f（x）=lgx+x﹣2，则函数f（x）的定义域是（0，+∞），所以函数f（x）在（0，+∞）是单调增函数，因为f（1）=0+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=lg2+2﹣2=lg2＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上有一个零点，即方程lgx+x=2的一个根x0∈（1，2），因为x0∈（k，k+1），k∈Z，所以k=1，故答案为：1．13．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，若f（﹣3）=0，则＜0的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）．【解答】解：由题意可得，函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，且f（3）=0．画出函数f（x）的单调性示意图，不等式＜0，即x与f（x）的符号相反，数形结合可得不等式的解集为{x|x＞3，或﹣3＜x＜0}，故答案为：{x|x＞3，或﹣3＜x＜0}．14．（5分）已知a＞0，函数在区间[1，4]上的最大值等于，则a的值为或．【解答】解：（1）当x﹣2a在区间[1，4]上恒大于零时，∵x﹣2a＞0，∴a＜；当x=1时，满足x﹣2a在[1，4]上恒大于零，即a＜；此时函数f（x）==1﹣，该函数在定义域[1，4]上为增函数，在x=4时，取最大值f（4）=，∴a=，不满足a＜的假设，舍去．（2）当x﹣2a在区间[1，4]上恒小于零时，∵x﹣2a＜0，∴a＞；当x=4时，满足x﹣2a在[1，4]上恒小于零，即a＞2；此时函数f（x）==﹣1，该函数在定义域[1，4]上为减函数，在x=1时，取最大值f（1）=，∴a=，不满足a＞2的假设，舍去．（3）由前面讨论知，当＜a＜2时，x﹣2a在区间[1，4]上既有大于零又有小于零时，①当x＜2a时，x﹣2a＜0，此时函数f（x）=﹣1在[1，2a）上为减函数，在x=1时，取到最大值f（1）=；②当x＞2a时，x﹣2a＞0．此时函数f（x）=1﹣在（2a，4]时为增函数，在x=4时，取到最大值f（4）=；总之，此时函数在区间[1，4]上先减后增，在端点处取到最大值；当函数在x=1处取最大值时，解得a=，此时函数f（x）=，将函数的另一个最大值点x=4代入得：f（4）=，∵f（1）＞f（4），∴满足条件；当函数在x=4处取最大值时，解得a=，此时函数f（x）=，将函数的另一个最大值点x=1代入得：f（1）=，∵f（1）＜f（4），∴满足条件；∴a=或a=；故答案为：或．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）（1）计算；（2）已知，求的值．【解答】解：（1）计算；原式==0﹣2=﹣2（2）已知，则（）2=x+=9那么=9﹣2=7．16．（14分）已知A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|m﹣2≤x≤m+2，m∈R}（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值．（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|x2﹣2x﹣3≤0}=[﹣1，3]，…（3分）B={x|m﹣2≤x≤m+2，m∈R}A∩B=[0，3]，∴m﹣2=0，解得m=2．…（7分）（2）∵B={x|m﹣2≤x≤m+2，m∈R}，∴C R B=（﹣∞，m+2）∪（m+2，+∞）…（10分）∵A={x|x2﹣2x﹣3≤0}=[﹣1，3]，A⊆∁R B，∴m﹣2＞3或m+2＜﹣1，…（12分）解得m＞5或m＜﹣3，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．…（14分）17．（14分）已知函数，（Ⅰ）若a=2，求f（x）的定义域；（Ⅱ）若f（x）在（﹣1，5]内有意义，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，由得：，解得：x∈（﹣1，2）．即f（x）的定义域为（﹣1，2）…（6分）（Ⅱ）∵若f（x）在（﹣1，5]内恒有意义，则在（﹣1，5]上∵x+1＞0∴a﹣x＞0∴a＞x在（﹣1，5]上恒成立∴a＞5…（14分）18．（16分）有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：M=，N=（x≥1）．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，（1）设投入乙种商品的资金为x万元，总利润y；（2）为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少？共能获得多大利润？【解答】解：（1）设投入乙种商品的资金为x万元，则投入甲种商品的资金为（8﹣x）万元，共获利润．（2）令（0≤t≤），则x=t2+1，∴，故当t=时，可获最大利润万元．此时，投入乙种商品的资金为（）2+1=万元，投入甲种商品的资金为万元．∴对甲、乙两商品的资金投入分别为万元，万元时，利润最大，最大利润为万元．19．（16分）已知函数（1）用定义证明f（x）在R上单调递增；（2）若f（x）是R上的奇函数，求m的值；（3）若f（x）的值域为D，且D⊆[﹣3，1]，求m的取值范围．【解答】（1）解：设x1＜x2且x1，x2∈R，则，∵，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上单调递增；（2）∵f（x）是R上的奇函数，∴，即，解得m=1；（3）由，∴D=（m﹣2，m），∵D⊆[﹣3，1]，∴，∴m的取值范围是[﹣1，1]．20．（16分）对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）•f（a ﹣x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．（Ⅰ）判断函数f1（x）=x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；（Ⅱ）若函数f2（x）=4x是“（a，b）型函数”，求出满足条件的一组实数对（a，b）；（Ⅲ）已知函数g（x）是“（a，b）型函数”，对应的实数对（a，b）为（1，4）．当x∈[0，1]时，g（x）=x2﹣m（x﹣1）+1（m＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4，试求m的取值范围．【解答】解：（1）f1（x）=x不是“（a，b）型函数”，∵f1（x）=x，∴f1（a+x）=a+x，f1（a﹣x）=a﹣x，∴f1（a+x）•f1（a﹣x）=（a+x）（a﹣x）=b，即a2﹣x2=b，∴不存在实数对（a，b）使得a2﹣x2=b对定义域中的每一个x都成立，∴f1（x）=x不是“（a，b）型函数”；（2）∵函数是“（a，b）型函数”，∴4a+x•4a﹣x=b，∴16a=b，∴存在实数对，如a=1，b=16，使得f1（a+x）•f1（a﹣x）=b对任意的x∈R都成立；∴满足条件的一组实数对（a，b）为（1，16）；（3）∵函数g（x）是“（a，b）型函数”，对应的实数对（a，b）为（1，4），∴g（1+x）g（1﹣x）=4，∴当x∈[1，2]时，，其中2﹣x∈[0，1]，又∵x∈[0，1]时，g（x）=x2+m（1﹣x）+1=x2﹣mx+m+1，其对称轴方程为，①当，即m＞2时，g（x）在[0，1]上的值域为[g（1），g（0）]，即[2，m+1]，∴g（x）在[0，2]上的值域为，由题意，得，∴2＜m≤3；②当，即1≤m≤2时，g（x）的值域为，即，∴g（x）在[0，2]上的值域为，由题意，得，且，解得1≤m≤2；③当，即0＜m≤1时，g（x）的值域为，即，∴g（x）在[0，2]上的值域为，即，由题意，得，解得0＜m≤1．综合①②③，所求m的取值范围是0＜m≤3．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321A1FDAB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DFE-a1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：a+bbx-aa 45°DBa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．ND CABM3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。