安徽中考数学复习课件 第四章三角形 第16讲 全等三角形
中考数学总复习第四章三角形第16讲全等三角形课件
【例1】 已知：
如图，在△ABC中，D是BC的中点，ED⊥DF，求证：BE＋CF＞EF. 【分析】 利用中线加倍延长法结合全等三角形，把 BE，CF，EF 集中 在一个三角形中，利用三角形的两边之和大于第三边来
证明：延长 ED 到 M，使 DM＝ED，连接 CM，FM，
BD＝DC， ∵D 是 BC 的中点，∴BD＝CD.在△EDB 与△MDC 中，∠EDB＝∠CDM，
解：如图，连接CD， ∵∠C＝90°，D是AB的中点， ∴CD＝AB＝BD， ∵AC＝BC， ∴CD⊥AB，∠ACD＝∠B＝45°， ∴∠CDF＋∠BDF＝90°， ∵BD⊥DF， ∴∠EDF＝90°， ∴∠EDC＋∠CDF＝90°， ∴∠EDC＝∠BDF， ∴△ECD≌△FBD， ∴DE＝DF
2．(2015·龙东地区)如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连 接AE.将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延 长交直线DC于点F. (1)当点F与点C重合时如图①，易证：DF＋BE＝AF(不需证明)； (2)当点F在DC的延长线上时如图②，当点F在CD的延长线上时如图③， 线段DF，BE，AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种 情况给予证明．(导学号 02052266)
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试题 如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，E是AD上的一点，EB＝EC ，∠1＝∠2.求证：∠BAE＝∠CAE. 错解 证明：在△AEB和△AEC中，∵AE＝AE，EB＝EC，∠1＝∠2， ∴△AEB≌△AEC(SSA)，∴∠BAE＝∠CAE. 剖析 先看一个事实，如图，将等腰△ABC的底边BC延 长线上的任一点和顶点A相连，所得的△DAB和△DAC无疑是不全等的，由 此可知，有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形(简称“边边角”) 不一定全等．因此，在判定三角形全等时，一定要留心“边边角”，别上 当哟． 正解 证明：∵EB＝EC，∴∠3＝∠4，又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2 ＋∠4，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.在△AEB和△AEC中，∵EB＝EC ，∠1＝∠2，AB＝AC，∴△AEB≌△AEC(SAS)，∴∠BAE＝∠CAE
专题16 全等三角形的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮
专题16 全等三角形的核心知识点精讲1.熟悉全等三角形常考5种模型2.掌握全等三角形性质，并运用全等三角形性质解答。
考点1：全等三角形的概念及性质考点2：全等三角形的判定模型一：平移型模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等.模型示例概念两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．性质1.两全等三角形的对应边相等，对应角相等．2.全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．3.全等三角形的周长、面积相等．模型二：轴对称模型模型分析:所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等.模型三：旋转型模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角.模型四：一线三垂直型模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角【题型1：平移型】【典例1】（2023•广州）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E．1．（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求证：∠B＝∠E．2．（2022•柳州）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝D F，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．【题型2：对称型】【典例2】（2023•福建）如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．1．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．2．（2022•西藏）如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD．【题型3：旋转型】【典例3】（2023•大连）如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．1．（2023•乐山）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD．2．（2023•泸州）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB．3．（2023•西藏）如图，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求证：∠1＝∠2．【题型4：一线三等角】【典例4】（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝90°，作CD⊥AC，且使CD＝AC，作DE⊥BC，交BC 的延长线于点E．求证：CE＝AB．1．（2021•南充）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥A D于点F．求证：AF＝BE．一．选择题（共8小题）1．下列各组图案中，不是全等形的是（）A．B．C．D．2．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．50°B．58°C．60°D．72°3．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠B＝70°，则∠ACD的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．50°4．如图，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝4，则CD的长度为（）A．10B．6C．4D．25．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，添加下列选项中的条件，能用HL 判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．∠B＝∠E C．∠ACB＝∠DFE D．BC＝EF6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE7．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（）A．AAS B．HL C．SAS D．ASA8．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC ＝（）A．28°B．59°C．60°D．62°二．填空题（共4小题）9．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么∠1的度数为．10．已知：如图，△ABC和△BAD中，∠C＝∠D＝90°，再添加一个条件就可以判断△ABC ≌△BAD．11．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是．12．如图，若AC平分∠BCD，∠B+∠D＝180°，AE⊥BC于点E，BC＝13cm，CD＝7cm，则BE＝．三．解答题（共4小题）13．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠D＝45°，求∠EGC的大小．14．如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E，BE＝0.8，DE＝1.7，求AD的长．15．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q．（1）求证：△ABE≌△DBC；（2）求∠DMA的度数．16．如图，AC＝DC，E为AB上一点，EC＝BC，并且∠1＝∠2．（1）求证：△ABC≌△DEC；（2）若∠B＝75°，求∠3的度数．一．选择题（共7小题）1．如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AP＝PC；④BD+CE＝BC；⑤S△PBA：S△PCA＝AB：AC，其中正确的个数是（）个．A．5B．4C．3D．22．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BE、CD为△ABC的角平分线．BE与CD相交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝CE；③BC＝BD+CE；④若BE⊥AC，△BDF≌△CE F．其中正确的是（）A．①③B．②③④C．①③④D．①②③④3．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，BD，CE交于点F，连接A F，下列结论：①BD＝CE②∠AEF＝∠ADF③BD⊥CE④AF平分∠CAD⑤∠AFE＝45°其中结论正确的序号是（）A．①②③④B．①②④⑤C．①③④⑤D．①②③⑤4．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠F AB．有下列结论：①∠B＝∠C；②ED＝FD；③AC＝BE；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+2S2+2S3+S4＝（）A．6B．8C．10D．126．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B，C，D三点在一条直线上，AD与BE相交于点P，AC、B E相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列四个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④CP平分∠MCN．其中，一定正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．47．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB 交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③MD平分∠E DF；④若AE＝3，则AB+AC＝6．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共5小题）8．如图，以△ABC的每一条边为边，在边AB的同侧作三个正三角形△ABD、△BCE和△ACF．已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和．则∠FCE＝°．9．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是．10．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，则下列结论中，正确的是（填序号）．①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD．11．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③A C＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的是．（填序号）12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是AB的中点，E、F在射线AC 与射线CB上运动，且满足AE＝CF，则在运动过程中△DEF面积的最小值为．三．解答题（共4小题）13．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，求证：AD＝BE；（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．14．如图所示，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．（1）求证：AP＝AQ；（2）试判断△APQ是什么形状的三角形？并说明你的理由．15．（1）【模型启迪】如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH＝AD，连接BH，则AC与BH的数量关系为，位置关系为．（2）【模型探索】如图2，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一点，连接BE交A D于点F，且BF＝AC．求证：AE＝EF．16．如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．（1）求证：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．1．（2023•甘孜州）如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD2．（2023•北京）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB ＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：①a+b＜c；②a+b＞；③（a+b）＞c．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③3．（2022•黑龙江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请你添加一个条件，使△AOB≌△COD．4．（2023•成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为．5．（2023•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B 作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为3．6．（2023•南通）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＝4，BD＝6，则AD+BC的最小值是．7．（2023•淮安）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝B C．8．（2023•吉林）如图，点C在线段BD上，△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：AC＝DC．9．（2022•兰州）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠B AD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．10．（2022•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．。
中考冲刺 数学 提分攻略--第16讲 三角形的基本知识全等三角形
第16讲三角形的基本知识全等三角形【试试火力】1.（2017•宁德）在△ABC中，AB=5，AC=8，则BC长不可能是（）A．4 B．8 C．10 D．132. （2017贵州）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（）A．120° B．90°C．100° D．30°3. （2017江苏徐州）△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，DE=7，则BC= 14 ．4.如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．【把握火苗】火点1三角形的概念及其分类⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎩⎩概念：由不在同一直线上的三条线段连接所得到的图形叫做三角形.角三角形按角分类角三角形角三角形分类不等边三角形底与腰不相等的等腰三角形按边分类等腰三角形三角形①②③④⑤火点2 与三角形有关的线段【掌握火候】1.判断给定的三条线段能否组成三角形，只需判断两条较短线段的和是否大于最长线段即可.2.“截长法”和“补短法”是证明和差关系的重要方法，无论用哪一种方法都是要将线段的和差关系转化为证明线段相等的问题，因此添加辅助线构造全等三角形是通向结论的桥梁.【突破火点】燃点1 三角形中的线段例1 （2017广西河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A．中线B．角平分线 C．高 D．中位线【考点】K3：三角形的面积；K2：三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答．【解答】解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选A．【思路点拨】不管是哪种类型的三角形，三角形的角平分线、中线和中位线都在三角形内部，但是锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形的一条高在三角形内部，其余两条高与直角边重合，钝角三角形的一条高在三角形内部，其余两条高在三角形外部.方法归纳：解答本题的关键是熟练掌握三角形高、角平分线和中线的画法.燃点2 三角形中的角例2 （2017湖南株洲）如图，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（）A．145° B．150° C．155° D．160°【考点】K7：三角形内角和定理．【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．【解答】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，∴6x=180，∴x=30，∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，故选B．方法归纳：当问题中含有平行线时，可利用平行线的性质将其转化为其他角；当该角是一个三角形的外角或内角时，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理进行计算.燃点3 三角形的中位线例3 . (2017湖北宜昌)如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED．现测得AC=30m，BC=40m，DE=24m，则AB=（）A．50m B．48m C．45m D．35m【考点】KX：三角形中位线定理．【分析】根据中位线定理可得：AB=2DE=48m．【解答】解：∵D是AC的中点，E是BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AB，∵DE=24m，∴AB=2DE=48m，故选B．方法归纳：解答本题的关键是要依据题目条件，活用中位线定理的结论.燃点4 全等三角形的性质与判定例4如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）延长DE交AB于点G，连接AD．构建全等三角形△AED ≌△DFB（SAS），则由该全等三角形的对应边相等证得结论；（2）设AC与FD交于点O．利用（1）中全等三角形的对应角相等，等角的补角相等以及三角形内角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC．【解答】证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．∵四边形BCDE是平行四边形，∴ED∥BC，ED=BC．∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．又BF=BC，∴BF=DE．∴在△AED与△DFB中，，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；（2）设AC与FD交于点O．∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DEO+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定．方法归纳：证明两条边或两个角相等时，若两条边或两个角分别在两个三角形当中，通常证明这两条边或两个角所在的三角形全等.【冰火不容】1. （2017甘肃张掖）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b ﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（）A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．02. （2017江苏盐城）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= 120 °．3. （2017毕节）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF=CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为（）A．6 B．4 C．7 D．124. （2017四川眉山）如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（）A．114° B．122° C．123° D．132°5. 如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件BC=EF ，就得△ABC ≌△DEF．6. 如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是AE=AB ．7.（2017浙江湖州）已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是 5 ．8. 如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．9. 如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．10. （1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，试探索∠1+∠2与∠A的关系．（不必证明）．（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A 与点I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度数；（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．【展示火情】【试试火力】1.（2017•宁德）在△ABC中，AB=5，AC=8，则BC长不可能是（）A．4 B．8 C．10 D．13【考点】K6：三角形三边关系．【专题】11 ：计算题．【分析】根据三角形三边的关系得到3＜BC＜13，然后对各选项进行判断．【解答】解：∵AB=5，AC=8，∴3＜BC＜13．故选D．【点评】本题考查了三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边．2. （2017贵州）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（）A．120° B．90°C．100° D．30°【考点】K8：三角形的外角性质．【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣20°=100°，故选：C．3. （2017江苏徐州）△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，DE=7，则BC= 14 ．【考点】KX：三角形中位线定理．【分析】根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可知，BC=2DE，进而由DE的值求得BC．【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边AC和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵DE=7，∴BC=2DE=14．故答案是：14．4.如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先证出∠CAB=∠DAE ，再由SAS 证明△BAC ≌△DAE ，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠CAB=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，，∴△BAC ≌△DAE （SAS ），∴BC=DE ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．【把握火苗】①首尾顺次 ②锐 ③直 ④钝 ⑤等边 ⑥锐角 ⑦直角顶点 ⑧一点 ⑨相等⑩一点 ⑪内心 ⑫相等 ⑬大于 ⑭小于 ⑮中点 ⑯平行 ○17一半 ○18180°○19互余 ○20和 ○21相等 ○22相等 【冰火不容】1. （2017甘肃张掖）已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，化简|a+b ﹣c|﹣|c ﹣a ﹣b|的结果为（ ）A ．2a+2b ﹣2cB ．2a+2bC ．2cD ．0【考点】K6：三角形三边关系．【分析】先根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c与c﹣b+a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三条边长，∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，∴原式=a+b﹣c+（c﹣a﹣b）=0．故选D．2. （2017江苏盐城）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= 120 °．【考点】K8：三角形的外角性质；K7：三角形内角和定理．【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠1=90°+30°=120°，故答案为：120．3. （2017毕节）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF=CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为（）A．6 B．4 C．7 D．12【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线．【分析】先根据直角三角形的性质求出CD的长，再由三角形中位线定理即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，∴CD=AB=4.5．∵CF=CD，∴DF=CD=×4.5=3．∵BE∥DC，∴DF是△ABE的中位线，∴BE=2DF=6．故选A．4. （2017四川眉山）如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（）A．114° B．122° C．123° D．132°【考点】MI：三角形的内切圆与内心．【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据内心的概念得到∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵∠A=66°，∴∠ABC+∠ACB=114°，∵点I是内心，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠IBC+∠ICB=57°，∴∠BIC=180°﹣57°=123°，故选：C．5. 如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件BC=EF ，就得△ABC ≌△DEF．【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】补充条件BC=EF，首先根据AF=DC可得AC=DF，再根据BC∥EF可得∠EFC=∠BCF，然后再加上条件CB=EF可利用SAS定理证明△ABC≌△DEF．【解答】解：补充条件BC=EF，∵AF=DC，∴AF+FC=CD+FC，即AC=DF，∵BC∥EF，∴∠EFC=∠BCF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故答案为：BC=EF．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6. 如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是AE=AB ．【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】添加条件AE=AB，根据等式的性质可得∠BAC=∠EAD，然后再用SAS证明△BAC≌△EAD．【解答】解：添加条件AE=AB，∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，∴∠BAC=∠EAD，在△BCA和△EDA中，，∴△BAC≌△EAD（SAS）．故答案为：AE=AB．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7.（2017浙江湖州）已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是 5 ．【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】用多边形的外角和360°除以72°即可．【解答】解：边数n=360°÷72°=5．故答案为：5．8. 如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．【考点】全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】首先根据∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD，再加上条件AB=AE，∠C=∠D可证明△ABC≌△AED．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，∵在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS）．【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9. 如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．【分析】由三角形的内角和是180°，可求∠A=60°．又因为BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，所以∠ABE=30°．同理，∠ACF=30度，又因为∠BHC是△CEH的一个外角，所以∠BHC=120°．【解答】解：∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．同理，∠ACF=30°，∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．【点评】此题主要考查了三角形外角的性质及三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．10. （1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，试探索∠1+∠2与∠A的关系．（不必证明）．（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A 与点I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度数；（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；（2）根据三角形角平分线的性质得出∠IBC+∠ICB=90°﹣∠A，得出∠BIC的度数即可；（3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，进而求出∠A=（∠1+∠2），即可得出答案．【解答】解：（1）∠1+∠2=2∠A；（2）由（1）∠1+∠2=2∠A，得2∠A=130°，∴∠A=65°∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A，∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB），=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+×65°=122.5°；（3）∵BF⊥AC，CG⊥AB，∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，∠FHG+∠A=180°，∴∠BHC=∠FHG=180°﹣∠A，由（1）知∠1+∠2=2∠A，∴∠A=（∠1+∠2），∴∠BHC=180°﹣（∠1+∠2）．【点评】此题主要考查了图形的翻着变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键．。
中考数学复习 第一部分 知识梳理 第四章 三角形 第16讲 全等三角形课件
第16讲 全等三角形
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知识 梳理 (zhī shi)
1. 全等三角形的概念：能够完全___________重___合__的两个三 (chónghé)
角形叫做(jiàozuò)全等三角形，全等用符号“≌”表示，读作 “全等于”. 如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三 角形DEF”.
第十九页，共二十页。
内容(nèiróng)总结
第四章 三角形。∴AD=BC，AB=CD．。∴AD=CE，AE=CD．。∵E为CD的中点，∴CE=DE=EF=3.。3. (2017
黑龙江)如图1-16-6，BC∥。EF，AC∥DF，添加一个(yī ɡè)条件_____。∵AB=CD，∴AE=DF.。∵AD∥EC.∴四边形
1.（2018广东改编）如图1-16-4，矩形ABCD中，AB＞AD，把 矩形沿对角线AC所在直线折叠(zhédié)，使点B落在点E处，AE 交CD于点F，连接DE． 求证：△ADE≌△CED. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AB=CD． 由折叠的性质,得BC=CE，AB=AE， ∴AD=CE，AE=CD． 在△ADE和△CED中，
(1)上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的根据； 若不正确，请指出(zhǐ chū)错在哪一步；
(2)写出你认为正确的推理过程. 解：(1)不正确，错在第一步． (2)提示:先用AAS证出
△ABD≌△ACD即可得证.
第六页，共二十页。
考点 突破 (kǎo diǎn)
考点(kǎo diǎn): 全等三角形的判定与性质
夹边
(4)角角边：两角和其中一组对应边对应相等的两个三角形全
等(可简写成“________________”).
安徽省2024中考数学第4章三角形pptx课件
补角
若∠3+∠4=180°,则∠3与∠4互为补角.
性质
同角(或等角)的余角相等; 同角(或等角)的补角相等.
考点 2 角的相关概念及性质
6.角平分线的概念及其定理
(1)概念 在角的内部,从角的顶点引出的一条射线,把这个角分成 两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.如图,OC 是从∠AOB的顶点O引出的一条射线,∠AOB被OC分成 两个角,若∠AOC=∠BOC,则OC叫做∠AOB的平分线. (2)常用结论 ∠AOC=∠BOC= ∠AOB,∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.
图(1)
图(2)
(1)如图(1),AC交EF于点G,若α=30°,则DE与AB的位置关系为 DE∥AB ,DF
与AB的位置关系为 DF⊥AB ,∠AGE= 105 °;
(2)如图(2),AB交DF于点H,若EF∥BC,则α=
,∠AHD=
°;
45
°,AC与EF的位置关系为
AC⊥EF
75
命题角度1 平行线的判定与性质
考点 3 相交线
(4)垂线的基本性质 ①在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,⑪垂线段 最短. (5)线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 ①性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. ②逆定理:到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分 线上.
名称 端 1个 可向一方无限延伸
线段 2个 有一定长度,可度量
图示
表示及读法 直线AB或直线BA
射线OA 线段AB或线段BA
考点 1 直线与线段
(2)两个基本事实 ①直线的基本事实:经过两点④ 有且只有 一条直线. ②线段的基本事实:两点之间,⑤ 线段 最短.
中考数学总复习 第一部分 考点全解 第四章 三角形 第16讲 全等三角形课件
12/9/2021
考点一 全等图形、全等三角形及其性质 1．全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 2．全等三角形：能够__完__全__重__合____的两个三角形是全等三角形．
12/9/2021
3．全等三角形的性质： 全等三角形的对应角、对应边___相__等____；全等三角形的周长___相__等____、面积 __相__等____；全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都__相__等_____.
12/9/2021
解：(1)B C ＝B D ＋C E . (2)过点 D 作 D E ⊥A B 交 B A 的延长线于点 E ，如解图所示． ∵△D A C 是等腰直角三角形， ∴A C ＝A D ，∠C A D ＝90°， ∴∠C A B ＋∠D A E ＝90°.
12/9/2021
在 Rt△ABC 中， ∠CAB＋∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠DAE，∠ABC＝∠DEA＝90°. 在△ABC 和△DEA 中， ∠ABC＝∠DEA， ∠ACB＝∠DAE， AC＝AD，
【答案】 C
12/9/2021
(2018·东营)如图，点 E 在△D B C 的边 D B 上，点 A 在△D B C 内部，
∠D A E ＝∠B A C ＝90°，A D ＝A E ，A B ＝A C ．给出下列结论：①B D ＝C E ；②∠A B D ＋
∠E C B ＝45°；③B D ⊥C E ；④B E 2＝2(A D 2＋A B 2)－C D 2.其中正确的是( )
D ．A B ∥D E
12/9/2021
2．如图，在△A O C 和△B O C 中，若∠A O C ＝∠B O C ，添加一个条件_A__O_＝__B__O_， 使得△A O C ≌△B O C ．
全等三角形-中考数学总复习精品课件
三角形全等的条件
如何找边相等、 角相等
1.找“角”相等的途径主要有:对顶角相等;两直线平行,同位角、 内错角相等;余角等角代换;角平分线;平行四边形对角相等等.
2.找“边”相等主要借助中点、平行四边形对边相等来证明.
三角形全等的证明
如何找边相等、 角相等
3．判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的．
垂足分别是点 D，E，AD＝3，BE＝1，则 DE 的长是( B )
3 A.2
B．2
C．2 2
D. 10
61．2如0° 图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝________.
7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB， ③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是_②_____(只填序号)．
A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC
平移加翻折型
2．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，且 BC＝5，∠A＝70°，∠B＝75°，EC＝2，则下列结论中错误的是
( C)
A．BE＝3 B．∠F＝35° C．DF＝5 D．AB∥DE
平移型
3．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离，如果
对称型
解：(1)在△ABC 和△ADC 中，AABC＝ ＝AADC，，∴△ABC≌△ADC(SSS)， BC＝DC，
∴∠BAC＝∠DAC，即 AC 平分∠BAD (2) 由 (1) 得 ∠BAE ＝ ∠ DAE ， 在 △BAE 和 △DAE 中 ，
BA＝DA， ∠BAE＝∠DAE，∴△BAE≌△DAE(SAS)，∴BE＝DE AE＝AE，
安徽数学中考一轮复习课件：18全等三角形
22
命题点一：全等三角形的判定与性质
中考真题
6.【2015·安徽,23,14分】如图①，在四边形ABCD中，点E、F分
别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，
两垂线交于点G，连接GA、GB、GC、GD、EF，若∠AGD＝
∠BGC. 提示：顶点重合的等腰三角形问题，证三角形全等
(1)①∠MPN= 60° ; ②求证:PM+PN=3a;
9
命题点一：全等三角形的判定与性质
中考真题
1.【2014·安徽,23,14分】
(2)如图2,点O是AD的中点,连接OM,ON,求证:OM=ON;
(2)证明:如图2,连接OE,
∵六边形ABCDEF是正六边形,AB∥MP,PN∥DC,O为
AD中点,∴AM=BP=EN,OA=OD=OE,
在四边形OCRD中，∠OCR＝∠ODR＝90°，
∠MON＝150°，
∴∠CRD＝30°，
∴∠ARB＝∠ARO＋∠BRO＝2∠CRO＋2∠ORD＝
2∠CRD＝60°. ............(9分)
∴∠ABR为等边三角形；
18
命题点一：全等三角形的判定与性质
中考真题
4.【202X·安徽,23,14分】(2)延长PC，QD交于点R.
图 (1)三角形的有关概念
形 (2)三角形的稳定性 (3)三角形内角和定理
的 (4)三角形内角和定理的推论 性 (5)三角形的任意两边之和大于第三边
质 (6)全等三角形的有关概念
考试要求目标
ABCD
√ √
√ √ √ √
3
考纲解读（参202X考纲）
单元
考试内容
知识条目
初三复习专题课件--全等三角形
所以AC＝BC且∠ACB＝90°，所以∠1＋∠2
＝90°，由BE⊥ l 得∠2＋∠3＝90°，所
以∠1＝∠3，在△ACD和△BCE中，∠ADC＝
∠BEC＝90°，所以△ACD≌△CBE。
（A.A.S.）
A
B
3
A
l
E
12
D
C
E
①
D
1
l
2
B
C
②
• （2）由△ACB是等腰直角三角形可知∠ACB＝90°，
即∠1＋∠2＝90°，AC＝BC，而由BE⊥ 得∠2l－
∠CBE＝90°，所以∠1＝∠CBE，于是
△ACD≌△CBE（AAS）
A
B
3
12
D
C
E
l
①
A
l
E
D
1
2
B
C
②
• 误点剖析：图②看上去较复杂，但只要针 对问题的要求，把观察点置于△ACD和 △CBE中，然后研究它们的边与角之间的关 系，就不致于混乱而感到复杂。
• 如果两个直角三角形有一条斜边和一 条直角边对应相等，那么这两个直角三角
形全等，简称为（斜边，直角边或HL ）
• 3.全等三角形的性质 • 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
• 三:典型例题
• 例1. 判断：都有两边长分别为3cm和5cm的 两个等腰三角形全等。
• 分析：以3cm为腰或以5cm为腰画两个等腰 三角形。
• 即∠APD＝∠BPC，所以△APD≌△CPB。
（SAS)，所以AD＝BC
D
• 误点剖析 实际上，△PBC
• 可看作是△PDA绕着P点按顺
C • 时针方向旋转60°得到，
2015届安徽中考数学总复习课件：第16讲 统计的应用
物的变化情况．
1．(2013·南宁)2013年6月，某中学结合广西中小学阅读素养评 估活动，以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的一种 书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两 幅未完成的统计图，请根据图①和图②提供的信息，解答下列 问题：
1．(2014·温州)如图是某班45名同学爱心捐款额的频
数分布直方图(每组含前一个边界值，不含后一个边界 值)，则捐款人数最多的一组是( C )
A．5～10元
C．15～20元
B．10～15元
D．20～25元
2．(2014·随州)在2014年的体育中考中，某校6名 学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中 位数、方差依次是( A ) A．18，18，1 B．18，17.5，3 C．18，18，3 D．18，17.5，1
安 徽 省
数
学
第四章 统计与概率
第16讲 统计的应用
要点梳理
1．统计图是表示统计数据的图形，是数据及其之间关系的 直观表现 常见的统计图有： (1)条形统计图：条形统计图就是用长方形的高来表示数据的 图形； (2)折线统计图：用几条线段连成的折线来表示数据的图形； (3)扇形统计图：用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代
扇形统计图 【例2】 (2014·河南)某兴趣小组为了了解本校男生 参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300名男生进
行了问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完
整的统计图．
请根据以上信息解答下列问题：
(1)课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加” 144°
所对应的圆心角的度数为
(2)请补全条形统计图；
3．(2014· 扬州)如图，某校根据学生上学方式的一次抽