沪科版-数学-七年级上册-分层训练 3.3 二元一次方程组及其解法
最新沪科版七年级上3.31二元一次方程组及其解法—二元一次方程PPT课件
知识探究
例1、已知方程3xm+3-2y1-2n=0是一个二元一次方程，
则m= −2 , n= 0
.
7
例2、若 x 2Βιβλιοθήκη 是方程组 2 x y1 的解，则k= 2 .
y3
kx3 y2
例3、若 x a 是方程组 2x+y=0的解，则6a+3b+2= 2 . yb
题目解说：
2001年11月11日，在经过15的艰苦谈判后，我国终于完成了 加入世贸组织的所在法律程序，根据世贸组织的规定，在2001年 12月11日正式成为世贸组织成员。
2000年，在中国入世进入最后关键阶段的时候，作为中国首 席谈判代表的龙图和他的同事们在面临着某些西欧国家的蓄意阻 挠，还面临着国内一些不明事理的以讹传讹。对此，江泽民总书 记要求他们“要让全国大企业和各行各业了解什么是世贸组织，‘ 世’有什么利弊，以使全社会对‘入世’这样一个外交政治的重大 有深刻的认识”。为此龙永图主动召集新华社、中新社、中国日报 等重要媒体的记者，宣传有关于加入世贸组织的重要意义，本文 即龙永图与记者的一番谈话。
2x+y=60.
满足这个方程 的x、y的值有 哪些？什么关 系？
满足这个方程 的x、y的值又 有哪些？
显然这里的x，y既要满足树苗的总数关系，又要满 足购买树苗的总费用关系，也就是说它们必须同时 满足上面两个方程。
x y45
表示为： 2 x y 60
思考：这个 问题中的x,y 要满足什么 样的关系呢？
相关概念
二元一次方程组： 把两个二元一次方程结合在一起，就组成了二元一次方程组（确切的
说法是含有两个未知数的两个一次方程组成的方程组 ，叫二元一次方 程组） 二元一次方程的解：
沪科版-数学-七年级上册-3.3消元解方程组 细说二元一次方程(组)及解法
细说二元一次方程（组）及解法二元一次方程（组）及解法是本章的重点内容，特别是解法二元一次方程（组）更是我们解决问题时常用的一个“模型”。
一、二元一次方程及解1、像方程2x+y=0和3x-y=30，含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
说明：“一次”指的是含未知数的项的次数，而不是指某个未知数的次数。
不要把xy=4，x 2+y=5误当成二元一次方程，实际上xy=4含未知数的项的次数是2，而x 2+y=5中x 2不是整式，我们将会在后面的学习中遇到它的。
2、适合二元一次方程的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的解。
如x=8、y=3就是2x+3y=25的一个解。
记作：⎩⎨⎧==38y x 。
说明：1、与一元一次方程的解不同，二元一次方程的解是一对数值，必须用大括号合在一起。
2、与检验一元一次方程的解相同，检验一对未知数的值是否为二元一次方程的解，就是把这一对未知数的值分别代入方程的左边和右边，看是否相等。
3、一般情况下，二元一次方程的解有无数个，求解的方法是首先将方程写成含一个未知数的代数式表示另一个字母。
如写出3x+y=3的3个解，首先将3x+y=3写成y=3－3x ，然后x 任取3个数值，如x 取1、2、3，代入y=3－3x 求出y=0、-3、-6，记作：⎩⎨⎧==01y x ，⎩⎨⎧-==32y x ，⎩⎨⎧-==63y x 。
二、二元一次方程组及解1、含有两个未知数的一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
说明：在二元一次方程组，两个方程中可以有一个方程是一元一次方程，方程的个数也可以超过两个，同一个字母必须代表同一数值，这样才能组合在一起。
如下列方程组都是二元一次方程组：⎩⎨⎧=-=+0315y y x ，⎩⎨⎧-==32y x ，⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=-42931y x y x y x 。
2、一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
(沪科版)七年级数学上册专题复习 二元一次方程组及其解法例题与解析
（沪科版）七年级数学上册专题复习 二元一次方程组及其解法例题与解析1．二元一次方程组 (1)二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程，如5x ＋3y ＝34就是二元一次方程． 注意：“一次”指的是含未知数的项的次数，而不是指某个未知数的次数．不要把2xy ＋2＝4，2x ＋y ＝5误当成二元一次方程，实际上2xy ＋2＝4含未知数的项的次数是2，而2x＋y ＝5中2x不是整式，我们将会在后面的学习中遇到它．(2)二元一次方程组①联立在一起的几个方程，称为方程组．②由两个二元一次方程联立起来得到的方程组叫做二元一次方程组．实际上，在二元一次方程组中，两个方程中可以有方程是一元一次方程，方程的个数也可以超过两个，同一个字母必须代表同一数值，这样才能组合在一起．如下列方程组都是二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5y ＝1，y －3＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋3y ＝9，2x －y ＝4.【例1－1】 下列方程中，是二元一次方程的个数是( )． ①2x ＋3y ＝5；②xy ＝1；③3x －y2＝1；④2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －23＋1＝14m －2；⑤1－2m 3＝n ； ⑥1－23m ＝n ；⑦y ＝2x －3；⑧s ＝12vt.A ．1B ．2C ．3D ．4解析：题中①③⑤⑦都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数是1，因此它们4个是二元一次方程，②含未知数的项的次数是2，④是一元一次方程，⑥不是整式方程，⑧含有3个未知数，因此它们都不是二元一次方程，故应选D.答案：D【例1－2】 下列方程组中，不是二元一次方程组的是( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＋1，3x －4z ＝6B ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝4C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，x ＝5D ．⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y2＝2y ，y ＝23x解析：本题应根据二元一次方程组定义来判断，选项A 中每一个方程虽然都是一次方程，但是未知数的个数有三个，故否定A ；选项B ，D 只含有两个未知数且都是一次方程，符合二元一次方程组的定义，故都是二元一次方程组；选项C 中的第二个方程虽然是一元一次方程，但方程组中的第一个方程是二元一次方程，故它们也能组成二元一次方程组．所以不是二元一次方程组的是A.答案：A2．二元一次方程组的解使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5既是方程x ＋y ＝17的解又是方程5x ＋3y ＝75的解，这时我们就说⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝17，5x ＋3y ＝75的解．谈重点 理解二元一次方程组的解(1)二元一次方程组的解实质上是组成方程组的每个二元一次方程的公共解，也就是说，方程组的解一定是组成此方程组的每个方程的解，而组成此方程组的每个方程的解却不一定是方程组的解．(2)二元一次方程的解是一对数值，必须用大括号合在一起．【例2】 二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝6B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝4C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝2D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2解析：选项A ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6代入方程①，左边＝2×1＋6＝8，右边＝2，左边≠右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6不是方程组的解；选项B ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程①得，左边＝2×(－1)＋6＝4，右边＝4，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是方程①的解，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程②得，左边＝－(－1)＋4＝5，右边＝5，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是方程②的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解；按照以上方法对选项C ，D 加以判断，都不是方程组的解，故应选B.答案：B 3．代入消元法 (1)消元思想二元一次方程组中的两个未知数，可以消去其中的一个未知数，转化为我们熟悉的一元一次方程．这样，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．(2)代入消元法的概念从二元一次方程组的一个方程中求出某一个未知数的表达式(即将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来)，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．解技巧 用代入法解二元一次方程组(1)用代入法解方程组一般将系数较小的方程变形，且用系数较大的未知数表示系数较小的未知数．(2)当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，一般用代入法来解．(3)用代入消元法解二元一次方程组的步骤①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x (或y )的代数式表示y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；②将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程(不能代入原变形方程)中，消去y (或x )，得到一个关于x (或y )的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；④把x (或y )的值代入y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，得到方程组的解． 谈重点 运用代入法需注意的问题运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值．【例3－1】 已知方程x －2y ＝6，用x 表示y ，则y ＝__________；用y 表示x ，则x ＝__________.解析：(1)因为x －2y ＝6，移项，得x －6＝2y ，两边都除以2，得12x －3＝y ，即y ＝12x－3；(2)因为x －2y ＝6，移项，得x ＝6＋2y .答案：12x －3 6＋2y【例3－2】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝6，①x ＋4y ＝－15.②分析：观察方程组中的每个方程，发现第二个方程中的x 的系数为1，所以选择将其变形，用含y 的代数式表示x ，得x ＝－15－4y ，然后把x ＝－15－4y 代入第一个方程，求出y 的值，再把y 的值代入变形后的方程x ＝－15－4y 中，求出x 的值．解：由②，得x ＝－15－4y ，③ 把③代入①，得3(－15－4y )－5y ＝6， 解得y ＝－3，把y ＝－3代入③，得x ＝－3.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－3.4．加减消元法 (1)加减消元法的概念两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法．(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”．第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数．第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元．第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等)，通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作如上加减消元的考虑．析规律 解二元一次方程组的方法(1)当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便． (2)通过两个方程相减消去未知数比通过两个方程相加消去未知数更易出错，所以一般是将两个方程中同一个未知数的系数化成互为相反数，然后相加消去一个未知数．【例4】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝5，①2x －y ＝8.②分析：经观察发现，①和②中y 的系数是倍数关系，若将方程②×2，可使两个方程中y 的系数互为相反数，再将两方程相加，便可消去y ，只剩关于x 的方程，问题便很容易解决了．解：将方程②×2，得 4x －2y ＝16，③ ③＋①，得 7x ＝21， 解得x ＝3. 把x ＝3代入②，得 2×3－y ＝8，y ＝－2.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.5．解二元一次方程组的策略解二元一次方程组的关键就在于将“二元”转化为“一元”，如何消元，要根据系数特点合理选择使用代入消元法和加减消元法．解二元一次方程组，关键要在根本上把握方程组的系数特点，若遇到不能直接看出系数特点的，应该先化简，化简后系数的特点比较明显．对于不能直接运用消元法的方程组，应通过观察，找到一个系数较小的，利用等式性质，通过扩大相应倍数变成具有相同系数或互为相反数的系数，然后再使用加减法来解决问题．(1)对于一般形式的二元一次方程组，用代入法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择未知数的系数是1或－1的方程；②常数项为0的方程；③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程；④方程组中某一未知数的系数成整数倍，选择小系数方程．(2)对于一般形式的二元一次方程组，用加减消元法求解关键是选择消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择系数是1或－1的未知数；②若未知数系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的未知数；③选方程组中系数成整数倍的未知数．【例5－1】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －1＝y ＋5，5y －1＝3x ＋5.分析：通过观察，发现方程组比较复杂，因此应先化简，方程组中的两个方程化为⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，5y －3x ＝20，通过观察决定使用加减法来解．解二元一次方程组往往需要对原方程组变形，在移项时要特别注意符号的改变．解：原方程组化简，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，①5y －3x ＝20.②①＋②，得4y ＝28，y ＝7.把y ＝7代入①得3x －7＝8，解得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝7.【例5－2】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①47x ＋53y ＝88.②分析：本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单．经过观察发现，若将两个方程相加，得出一个x ，y 的系数都是100、常数项是200的方程100x ＋100y ＝200，两边都除以100，得x ＋y ＝2，而此方程x ＋y ＝2与方程组中的①和②都同解．这样，用这个方程与原方程组中任何一个方程组成方程组，此时求解就使问题变得比较简单了．解：①＋②，得100x ＋100y ＝200， 化简，得x ＋y ＝2， ③于是原方程变为⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①x ＋y ＝2，③由③，得x ＝2－y ， ④把④代入①，得53(2－y )＋47y ＝112， 106－53y ＋47y ＝112，－6y ＝6，所以y ＝－1. 把y ＝－1代入④，得x ＝3， 所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.6.构造二元一次方程组解题 常见的考查方式有：(1)已知二元一次方程组的解，求方程中的待定系数的值．我们知道使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．解决此类问题的方法通常是把方程组的解代入原方程，即可通过变形求出未知系数的值．例如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝b 的解，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1代入方程组可得a ＝2，b＝0.(2)学习了二元一次方程组后，同学们应从前面所学的内容中挖掘涉及二元一次方程组的隐含条件，构造二元一次方程组解决许多问题，从而达到既沟通了知识之间的内在联系，又提高了同学们分析问题和解决问题的能力的目的．如同类项的概念等，解答此类题目的关键是真正理解概念，利用概念中的相关词语列出关系式．(3)同解问题，两个方程组的解相同，其实就是说这两个方程组的解是这两个方程组中四个二元一次方程的公共解．解技巧 用整体代入法解二元一次方程组当我们把二元一次方程组的解代入原方程后，通常得到关于未知系数的新的方程组，但有时可以不解方程组，整体代入求解．【例6－1】 已知2ay ＋3b 3x和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则x ＝__________，y ＝__________.解析：根据同类项的定义可知，若2a y ＋3b 3x和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则必有y ＋3＝2x ,3x＝8－2y ，将这两个二元一次方程合在一起组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ＋3，3x ＝8－2y ，即可求出x ＝2，y ＝1. 答案：2 1【例6－2】 已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋m －1y ＝2，nx ＋y ＝1的解，则m ＋n 的值是__________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋m －1y ＝2，①的解，nx ＋y ＝1②所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1同时满足方程①和方程②，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1分别代入方程①和方程②，可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋m －1＝2，③2n ＋1＝1.④由③和④可分别求出m ，n 的值为⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝0.所以m ＋n ＝－1＋0＝－1. 答案：－1【例6－3】 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝6与方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1的解相同，求a ，b的值．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝4，2a ＋b ＝6，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝1.7．求二元一次方程的正整数解任何一个二元一次方程都有无数组解，但是二元一次方程的整数解是有限的． 一般应用二元一次方程解决实际问题时所列出的二元一次方程的解应当是有限的．因为我们必须保证其解有意义．析规律 注重实际问题中的隐含条件生活中的实际问题常隐含着一个条件：(1)数量的取值为正整数；(2)最终的答案可能不止一个，只要符合条件即可．【例7】 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？ 分析：先根据题意列出二元一次方程，再求其正整数解． 解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得 3x ＋5y ＝38(x ，y 都是正整数)． 用含y 的代数式表示x 为x ＝38－5y3，当y ＝1时，x ＝11； 当y ＝4时，x ＝6； 当y ＝7时，x ＝1. 原方程所有的正整数解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝1.答：甲、乙两种书可分别买1本和7本或6本和4本或11本和1本．8.列方程组解决实际问题(1)解实际问题的关键在于理解题意，找出数量之间的相等关系，这里的相等关系应是一个或几个，正确的列出一个(或几个)方程，再组成方程组．(2)列方程组解应用题，常遇到隐含的等量关系，如：和、差、倍、分问题；行程问题；调配问题；工程问题；浓度问题；形积问题等等．我们在列方程(组)解应用题时，要注意充分挖掘这些关系．【例8】 某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1 680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2 280名学生就餐．求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？解：(1)设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1 680，2x ＋y ＝2 280.解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝960，y ＝360.答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐．。
沪科版七年级数学上册复习资料-二元一次方程组及其解法例题与解析
3.3 二元一次方程组及其解法1．二元一次方程组 (1)二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程，如5x ＋3y ＝34就是二元一次方程． 注意：“一次”指的是含未知数的项的次数，而不是指某个未知数的次数．不要把2xy ＋2＝4，2x ＋y ＝5误当成二元一次方程，实际上2xy ＋2＝4含未知数的项的次数是2，而2x＋y ＝5中2x不是整式，我们将会在后面的学习中遇到它．(2)二元一次方程组①联立在一起的几个方程，称为方程组．②由两个二元一次方程联立起来得到的方程组叫做二元一次方程组．实际上，在二元一次方程组中，两个方程中可以有方程是一元一次方程，方程的个数也可以超过两个，同一个字母必须代表同一数值，这样才能组合在一起．如下列方程组都是二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5y ＝1，y －3＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋3y ＝9，2x －y ＝4.【例1－1】 下列方程中，是二元一次方程的个数是( )． ①2x ＋3y ＝5；②xy ＝1；③3x －y2＝1；④2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －23＋1＝14m －2；⑤1－2m 3＝n ； ⑥1－23m ＝n ；⑦y ＝2x －3；⑧s ＝12vt.A ．1B ．2C ．3D ．4解析：题中①③⑤⑦都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数是1，因此它们4个是二元一次方程，②含未知数的项的次数是2，④是一元一次方程，⑥不是整式方程，⑧含有3个未知数，因此它们都不是二元一次方程，故应选D.答案：D【例1－2】 下列方程组中，不是二元一次方程组的是( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＋1，3x －4z ＝6B ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝4C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，x ＝5D ．⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y2＝2y ，y ＝23x解析：本题应根据二元一次方程组定义来判断，选项A 中每一个方程虽然都是一次方程，但是未知数的个数有三个，故否定A ；选项B ，D 只含有两个未知数且都是一次方程，符合二元一次方程组的定义，故都是二元一次方程组；选项C 中的第二个方程虽然是一元一次方程，但方程组中的第一个方程是二元一次方程，故它们也能组成二元一次方程组．所以不是二元一次方程组的是A.答案：A2．二元一次方程组的解使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5既是方程x ＋y ＝17的解又是方程5x ＋3y ＝75的解，这时我们就说⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝17，5x ＋3y ＝75的解．谈重点 理解二元一次方程组的解(1)二元一次方程组的解实质上是组成方程组的每个二元一次方程的公共解，也就是说，方程组的解一定是组成此方程组的每个方程的解，而组成此方程组的每个方程的解却不一定是方程组的解．(2)二元一次方程的解是一对数值，必须用大括号合在一起．【例2】 二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝6B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝4C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝2D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2解析：选项A ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6代入方程①，左边＝2×1＋6＝8，右边＝2，左边≠右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6不是方程组的解；选项B ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程①得，左边＝2×(－1)＋6＝4，右边＝4，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是方程①的解，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程②得，左边＝－(－1)＋4＝5，右边＝5，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是方程②的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解；按照以上方法对选项C ，D 加以判断，都不是方程组的解，故应选B.答案：B 3．代入消元法 (1)消元思想二元一次方程组中的两个未知数，可以消去其中的一个未知数，转化为我们熟悉的一元一次方程．这样，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．(2)代入消元法的概念从二元一次方程组的一个方程中求出某一个未知数的表达式(即将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来)，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．解技巧 用代入法解二元一次方程组(1)用代入法解方程组一般将系数较小的方程变形，且用系数较大的未知数表示系数较小的未知数．(2)当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，一般用代入法来解．(3)用代入消元法解二元一次方程组的步骤①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x (或y )的代数式表示y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；②将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程(不能代入原变形方程)中，消去y (或x )，得到一个关于x (或y )的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；④把x (或y )的值代入y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，得到方程组的解． 谈重点 运用代入法需注意的问题运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值．【例3－1】 已知方程x －2y ＝6，用x 表示y ，则y ＝__________；用y 表示x ，则x ＝__________.解析：(1)因为x －2y ＝6，移项，得x －6＝2y ，两边都除以2，得12x －3＝y ，即y ＝12x－3；(2)因为x －2y ＝6，移项，得x ＝6＋2y .答案：12x －3 6＋2y【例3－2】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝6，①x ＋4y ＝－15.②分析：观察方程组中的每个方程，发现第二个方程中的x 的系数为1，所以选择将其变形，用含y 的代数式表示x ，得x ＝－15－4y ，然后把x ＝－15－4y 代入第一个方程，求出y 的值，再把y 的值代入变形后的方程x ＝－15－4y 中，求出x 的值．解：由②，得x ＝－15－4y ，③ 把③代入①，得3(－15－4y )－5y ＝6， 解得y ＝－3，把y ＝－3代入③，得x ＝－3.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－3.4．加减消元法 (1)加减消元法的概念两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法．(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”．第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数．第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元．第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等)，通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作如上加减消元的考虑．析规律 解二元一次方程组的方法(1)当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便． (2)通过两个方程相减消去未知数比通过两个方程相加消去未知数更易出错，所以一般是将两个方程中同一个未知数的系数化成互为相反数，然后相加消去一个未知数．【例4】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝5，①2x －y ＝8.②分析：经观察发现，①和②中y 的系数是倍数关系，若将方程②×2，可使两个方程中y 的系数互为相反数，再将两方程相加，便可消去y ，只剩关于x 的方程，问题便很容易解决了．解：将方程②×2，得 4x －2y ＝16，③ ③＋①，得 7x ＝21， 解得x ＝3. 把x ＝3代入②，得 2×3－y ＝8，y ＝－2.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.5．解二元一次方程组的策略解二元一次方程组的关键就在于将“二元”转化为“一元”，如何消元，要根据系数特点合理选择使用代入消元法和加减消元法．解二元一次方程组，关键要在根本上把握方程组的系数特点，若遇到不能直接看出系数特点的，应该先化简，化简后系数的特点比较明显．对于不能直接运用消元法的方程组，应通过观察，找到一个系数较小的，利用等式性质，通过扩大相应倍数变成具有相同系数或互为相反数的系数，然后再使用加减法来解决问题．(1)对于一般形式的二元一次方程组，用代入法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择未知数的系数是1或－1的方程；②常数项为0的方程；③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程；④方程组中某一未知数的系数成整数倍，选择小系数方程．(2)对于一般形式的二元一次方程组，用加减消元法求解关键是选择消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择系数是1或－1的未知数；②若未知数系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的未知数；③选方程组中系数成整数倍的未知数．【例5－1】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －1y ＋5，5y －13x ＋5.分析：通过观察，发现方程组比较复杂，因此应先化简，方程组中的两个方程化为⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，5y －3x ＝20，通过观察决定使用加减法来解．解二元一次方程组往往需要对原方程组变形，在移项时要特别注意符号的改变．解：原方程组化简，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，①5y －3x ＝20.②①＋②，得4y ＝28，y ＝7.把y ＝7代入①得3x －7＝8，解得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝7.【例5－2】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①47x ＋53y ＝88.②分析：本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单．经过观察发现，若将两个方程相加，得出一个x ，y 的系数都是100、常数项是200的方程100x ＋100y ＝200，两边都除以100，得x ＋y ＝2，而此方程x ＋y ＝2与方程组中的①和②都同解．这样，用这个方程与原方程组中任何一个方程组成方程组，此时求解就使问题变得比较简单了．解：①＋②，得100x ＋100y ＝200， 化简，得x ＋y ＝2， ③于是原方程变为⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①x ＋y ＝2，③由③，得x ＝2－y ， ④把④代入①，得53(2－y )＋47y ＝112， 106－53y ＋47y ＝112，－6y ＝6，所以y ＝－1. 把y ＝－1代入④，得x ＝3，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.6.构造二元一次方程组解题 常见的考查方式有：(1)已知二元一次方程组的解，求方程中的待定系数的值．我们知道使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．解决此类问题的方法通常是把方程组的解代入原方程，即可通过变形求出未知系数的值．例如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝b 的解，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1代入方程组可得a ＝2，b＝0.(2)学习了二元一次方程组后，同学们应从前面所学的内容中挖掘涉及二元一次方程组的隐含条件，构造二元一次方程组解决许多问题，从而达到既沟通了知识之间的内在联系，又提高了同学们分析问题和解决问题的能力的目的．如同类项的概念等，解答此类题目的关键是真正理解概念，利用概念中的相关词语列出关系式．(3)同解问题，两个方程组的解相同，其实就是说这两个方程组的解是这两个方程组中四个二元一次方程的公共解．解技巧 用整体代入法解二元一次方程组当我们把二元一次方程组的解代入原方程后，通常得到关于未知系数的新的方程组，但有时可以不解方程组，整体代入求解．【例6－1】 已知2ay ＋3b 3x和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则x ＝__________，y ＝__________.解析：根据同类项的定义可知，若2a y ＋3b 3x和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则必有y ＋3＝2x ,3x＝8－2y ，将这两个二元一次方程合在一起组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ＋3，3x ＝8－2y ，即可求出x ＝2，y ＝1. 答案：2 1【例6－2】 已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2xm －1y ＝2，nx ＋y ＝1的解，则m ＋n 的值是__________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x m －1y ＝2，①的解，nx ＋y ＝1②所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1同时满足方程①和方程②，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1分别代入方程①和方程②，可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋m －1＝2，③2n ＋1＝1.④由③和④可分别求出m ，n 的值为⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝0.所以m ＋n ＝－1＋0＝－1. 答案：－1【例6－3】 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝6与方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1的解相同，求a ，b的值．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝4，2a ＋b ＝6，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝1.7．求二元一次方程的正整数解任何一个二元一次方程都有无数组解，但是二元一次方程的整数解是有限的． 一般应用二元一次方程解决实际问题时所列出的二元一次方程的解应当是有限的．因为我们必须保证其解有意义．析规律 注重实际问题中的隐含条件生活中的实际问题常隐含着一个条件：(1)数量的取值为正整数；(2)最终的答案可能不止一个，只要符合条件即可．【例7】 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？ 分析：先根据题意列出二元一次方程，再求其正整数解． 解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得 3x ＋5y ＝38(x ，y 都是正整数)． 用含y 的代数式表示x 为x ＝38－5y3，当y ＝1时，x ＝11； 当y ＝4时，x ＝6； 当y ＝7时，x ＝1. 原方程所有的正整数解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝1.答：甲、乙两种书可分别买1本和7本或6本和4本或11本和1本． 8.列方程组解决实际问题(1)解实际问题的关键在于理解题意，找出数量之间的相等关系，这里的相等关系应是一个或几个，正确的列出一个(或几个)方程，再组成方程组．(2)列方程组解应用题，常遇到隐含的等量关系，如：和、差、倍、分问题；行程问题；调配问题；工程问题；浓度问题；形积问题等等．我们在列方程(组)解应用题时，要注意充分挖掘这些关系．【例8】 某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1 680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2 280名学生就餐．求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？解：(1)设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1 680，2x ＋y ＝2 280.解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝960，y ＝360.答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐．。
七年级数学上册 3.3 二元一次方程组及其解法(二)习题
【综合运用】
18．(12 分)已知关于 x，y 的二元一次方程组aa12xx＋＋bb12yy＝＝cc12，的解是 xy＝＝34，，求关于 x，y 的二元一次方程组33aa12xx＋＋22bb12yy＝＝55cc12，的解，三 个同学对这个问题提出各自的想法，甲说：“这个题目好像条件不够， 不能求解．”乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试．”丙说： “能不能把两个方程组的两个方程两边都除以 5，通过换元替代的 方法来解决．”参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是多少？
53a1x＋52b1y＝c1， 解：将第二个方程组中的方程两边都除以 5，得35a2x＋25b2y＝c2 即
a1（53x）＋b1（25y）＝c1， a2（53x）＋b2（25y）＝c2
将
3 5
x
，
2 5
y
作为整体，看成
X
，
Y
，
则
得
a1X＋b1Y＝c1， a2X＋b2Y＝c2，
根
据
aa12xx＋＋bb12yy＝＝cc12，的解
A．－1 B．1 C．2 D．3
13．若|x－y－4|＋(x＋2y－1)2＝0，则xy的值为___－__3____．
x＋2y＝k， 14．如果关于 x，y 的方程组3x＋5y＝k－1的解 x，y 满足 x－y＝7，
那么 k 的值是__－__2___．
x＋2y＝10，
bx＋ay＝6，
15．已知关于 x，y 的方程组ax＋by＝1 与方程组2x－y＝5 有
9x＋6y＝6 9x＋6y＝18 A.4x＋6y＝1 B.4x－6y＝2
9x＋6y＝18 6x＋4y＝12 C.4x＋6y＝2 D.6x＋9y＝1
3 ． (4
七年级数学上册3_3二元一次方程组及其解法教案新版沪
二元一次方程组及其解法教学目标：一、了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判定一组数是不是某个二元一次方程组的解。
二、会用代入消元法解简单的二元一次方程组。
3、通过研究解决问题的方式，培育学生合作交流意识与探讨精神.学习重点：用代入消元法解二元一次方程组学习难点：用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数学习进程：一、趣味引入—熟悉二元一次方程组一、鸡兔同笼问题：有假设干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。
问笼中各有几只鸡和兔？二、引导学生分析：鸡头数+兔头数=35，鸡脚数+兔脚数=94，3、引导学生：设鸡有y只，兔有x只，依照题意，列出关系式：x+y=35 ①2x+4y=94 ②4、合作探讨：(1)这两个方程与咱们学过的一元一次方程有何不同？（方程有几个未知数？含未知数的项的次数是多少？) （含有两个未知数，而且所含未知数项的次数是1）(2)试探：二元一次方程中的次数指的是谁的次数？5、总结：上面的两个方程含有两个未知数，而且含未知数项的次数都是1，像如此的方程的方程叫做二元一次方程。
六、火眼金睛。
以下方程是二元一次方程的有：1）、x+y+2z=6 2）、 3x2-2y2=10 3）、xy+4y-5y=9 、4)、2x-3y=2x+10 5）、2x-5=3y 6）、7、合作探讨：x+y=35 ①2x+4y=94 ②那个地址的x、y既要满足鸡、兔头数关系，又要知足鸡、兔脚数关系，确实是说它必需同时知足上面①、②两个方程．因此，咱们把上面两个方程加上括号联合在一路，写成：像上面这种含有两个未知数的，由两个二元一次一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
八、、引入新课学习，板书：二元一次方程组及其解法九、练一练。
教材p99 练习一、2.二、自主探讨——二元一次方程组解法（代入法）1、出示问题1：某班同窗在植树节时植樟树和白杨树共45棵．已知樟树苗每棵2元，白杨树苗每棵1元，购买这些树苗用了60元．问樟树苗、白杨树苗各买了多少棵?二、学生试探分析：（1）题目中有几个未知数,列一元一次方程能解吗？（2）若是设两个未知数x、y，你能列出二元一次方程组吗？3、动手做一做。
数学沪科七年级上册3.3 二元一次方程组及其解法【课件】 (共22张PPT)
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探究新知
例1
解方程组：൝43������������
− +
������ = 5 2������ = 11
① ②
解：由①得，y=3x-5. ③
把③代入②得，4x+2(3x-5)=11.
解得，������
=
21 .
10
把������
=
2110代入③得，������
=
3
×
21 10
−
5
解得，������ = 31
第3章 ·一次方程与方程组
3.3 二元一次方程组及其解法
情境引入
问题：你能根据题意列出方程吗？ 小丽母亲的生日到了，小丽打算买一束康乃馨送给母亲，这束康乃馨由红色和粉 色康乃馨组成. 问题一：小丽买了红色和粉色康乃馨共16枝，若设红色康乃馨有x枝，粉色康乃 馨有y枝，那么可得方程__������_+___������__=__���_������_���__. 问题二：小丽一共花了10元钱，已知红色康乃馨0.7元一枝，粉色康乃馨0.5元一 枝，若设红色康乃馨有x枝，粉色康乃馨有y枝，那么可得方程_������_���_��� _+__���_������_���_=__���_���_������_���_���.
解：设鸡有x只，兔有y只，根据题意可得ቊ2������������
+ +
4y���=��� =3594.
探究新知 2. 二元一次方程组的有关概念. 问题：这个方程组有什么特点？
这个方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次. 二元一次方程组的定义： 方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次的方程组，叫做 二元一次方程组．
沪科版七年级上册数学《二元一次方程组及其解法》
《二元一次方程组及其解法》教学设计本节课是上海科学技术出版社七年级上册第三章一次方程与方程组中第三节课二元一次方程及其解法，本章是在学习了正负数及整式的基础上进一步学习用方程解决问题。
本节课要求理解二元一次方程、二元一次方程组的概念，培养用类比的方法发现新知识的能力。
因此本节课重点二元一次方程、二元一次方程组的含义。
所渗透的数学思想方法有：类比，转化，建模。
【知识与能力目标】理解二元一次方程、二元一次方程组的概念，培养用类比的方法发现新知识的能力。
【过程与方法目标】通过创设问题情境，引导学生思考，从而得出概念。
【情感态度价值观目标】体验二元一次方程组模型在解决实际问题中的优越性，感受学习数学的乐趣。
在解决问题的过程中，增进对建立方程及方程组解决问题的必要性的认识。
【教学重点】二元一次方程、二元一次方程组的含义。
【教学难点】弄懂二元一次方程组解的含义，利用二元一次方程组分析与解决实际问题。
多媒体课件。
一、导入新课研究以下对话并解决问题老牛：累死我了！小马：你还累？这么大的个，才比我多驮了2个。
老牛：哼!我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！请你帮小马和老牛评判一下谁驮的多？含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程。
方程ax+b=0(a≠0）叫做一元一次方程的标准形式。
使方程左、右两边的未知数的值相等的未知数的值，叫做方程的解。
二、新课学习问题1:某班同学在植树节时植樟树和白杨树共45课，已知樟树苗每棵2元，白杨树苗每棵1元，购买这些树苗共用了60元。
问樟树苗、白杨树苗各买了多少棵？1，在这个问题中，有几个未知数？列一元一次方程能解吗？2，如果设两个未知数x，y，你能列出几个独立的方程？把两个一次方程合在一起后共有两个未知数，这样就组成了一个二元一次方程组。
<<孙子算经>>是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣.其中下卷第31题“鸡兔同笼”问题流传尤为广泛，飘洋过海传到了日本等国今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？板书定义：在一个方程组中，含有两个未知数，并且每个方程都是一次方程，这样的方程组是二元一次方程组。
数学沪科七年级上册3.3 二元一次方程组及其解法【课件】 (共22张PPT)
将第一个方程中的 x用 2y+6 表示，再代入第二个方程，得到一个关于 y
的一元一次方程.
问题：这个方程组的两个方程中未知数前的系数有什么特征？还有什么方法
能将方程组转化为一个一元二元一次方程组.
问题：这个方程组的两个方程中未知数前的系数有什么特征？还有什么方法
二元一次方程组．
课堂总结 问题：通过这节课的学习，你有哪些收获？ 3. 代入消元法解二元一次方程组的步骤： ①把其中一个方程变形成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式； ②代入另一个方程，消元变成一元一次方程，求出未知数的解；
③把未知数的解回代，求出另一个未知数的解.
课堂总结 问题：通过这节课的学习，你有哪些收获？ 4. 加减消元法解二元一次方程组的步骤： ①变形，使某个未知数的系数相等或互为相反数； ②加减消元；
③解一元一次方程；
④代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解．
巩固练习
巩固练习
课堂总结 问题：通过这节课的学习，你有哪些收获？ 1. 二元一次方程的概念： 含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程. 2. 二元一次方程组的概念： 方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次的方程组，叫做
做代入消元法，简称代入法．
问题：你能总结一下代入消元法解二元一次方程组的步骤吗？
①把其中一个方程变形成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形
式； ②代入另一个方程，消元变成一元一次方程，求出未知数的解； ③把未知数的解回代，求出另一个未知数的解.
探究新知 4. 利用加减消元法解二元一次方程组.
… …
22 23
24
25
… …
y
…
…
12.5 12 11.5 11
七年级数学上册 3.3 二元一次方程组及其解法分层训练
3.3 二元一次方程组及其解法基础巩固1．在方程组21,31,x y y z -=⎧⎨=+⎩2,31,x y x =⎧⎨-=⎩0,35,x y x y +=⎧⎨-=⎩ 1,23,xy x y =⎧⎨+=⎩ 111,1,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩1,1x y =⎧⎨=⎩中，是二元一次方程组的有( )． A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 2．若方程2xm －1＋y 2n ＋m ＝12是二元一次方程，则mn 为( )． A ．0 B ．1 C ．－2 D ．－13．二元一次方程组3,20x y x y -=-⎧⎨+=⎩的解是( )． A ．1,2x y =-⎧⎨=⎩ B ．1,2x y =⎧⎨=-⎩C ．1,2x y =-⎧⎨=-⎩D ．2,1x y =-⎧⎨=⎩ 4．小明在解关于x ，y 的二元一次方程组3,31x y x y +⊗=⎧⎨-⊗=⎩时得到了正确结果,1,x y =⊕⎧⎨=⎩后来发现“⊗”“ ⊕”处被墨水污损了，请你帮他找出⊗、⊕处的值分别是( )．A ．⊗＝1，⊕＝1B ．⊗＝2，⊕＝1C ．⊗＝1，⊕＝2D ．⊗＝2，⊕＝25．从方程组1,21x a y a =-⎧⎨=+⎩中得到x 与y 的关系式为__________． 6．方程组25,211x y x y -=-⎧⎨+=⎩的解是__________．7．根据下图提供的信息，可知一个杯子的价格是__________．8．解下列方程组：(1),2325%15% 1.25;x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩(2)22,622 2.3x x y y x y x --⎧-=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩能力提升9．若2,1x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组35,22ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解，求a ＋2b 的值．10．已知满足方程组352,23x y mx y m+=+⎧⎨+=⎩的x，y值的和等于2，求m2－2m＋1的值．11．已知|a＋2b－9|＋(3a－b+1)2＝0，求a，b的值．12．已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6 000元，B型每台4 000元，C型每台2 500元．某市东坡中学计划将100 500元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由．参考答案1答案：B 点拨：第1,4,5个不是二元一次方程组．2答案：D 点拨：由题意知m－1＝1，解得m＝2，2n＋m＝1，解得n＝12-，所以mn＝－1.3答案：A4答案：B 点拨：把,1xy=⊕⎧⎨=⎩代入二元一次方程组3,31x yx y+⊗=⎧⎨-⊗=⎩中，得3,3 1.⊕+⊗=⎧⎨⊕-⊗=⎩解这个二元一次方程组得2,1.⊗=⎧⎨⊗=⎩5答案：2x－y＋3＝0 点拨：由于方程组中a的系数较小，故利用加减消元法或代入消元法均可消去未知数a，得到关于x，y的关系式．6答案：3,4.xy=⎧⎨=⎩点拨：两个方程相加得2x＝6.所以x＝3.第二个方程减第一个方程得，4y＝16，所以y＝4.所以方程组的解是3,4. xy=⎧⎨=⎩7答案：8元点拨：仔细观察图形，可知本题存在两个等量关系，即一个水壶的价格＋一个杯子的价格＝43，两个水壶的价格＋三个杯子的价格＝94.根据这两个等量关系可列出方程组．8解：(1)化简方程组，得320, 5325. x yx y-=⎧⎨+=⎩①②①×3＋②×2得19x＝50，所以x＝50 19.把x＝5019代入①得3×5019－2y＝0，所以y＝7519.所以50,1975.19xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(2)化简方程组，得2310, 52 6.x yx y+=⎧⎨-=⎩①②①×2＋②×3，得19x＝38. 所以x＝2.把x＝2代入②，得y＝2.所以2,2. xy=⎧⎨=⎩9解：因为2,1xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组35,22ax byax by⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解，把2,1xy=⎧⎨=⎩代入方程组中，得35,2 2.a ba b+=⎧⎨-=⎩两方程相减得a＋2b＝3.即a ＋2b 的值是3.10解：将方程组中的两个方程相减，得x ＋2y ＝2，即(x ＋y )＋y ＝2.因为x ＋y ＝2，所以2＋y ＝2，所以y ＝0，于是得x ＝2.把x ＝2，y ＝0代入2x ＋3y ＝m ，得m ＝4.把m ＝4代入m 2－2m ＋1，得m 2－2m ＋1＝16－2×4＋1＝9.11解：根据题意，得290,310.a b a b +-=⎧⎨-+=⎩①②由①得a ＝9－2b ，③ 把③代入②，得3(9－2b )－b ＋1＝0，解得b ＝4.把b ＝4代入③，得a ＝1.所以1,4.a b =⎧⎨=⎩12解：设从该电脑公司购进A 型电脑x 台，购进B 型电脑y 台，购进C 型电脑z 台．则可分以下三种情况考虑：①只购进A 型电脑和B 型电脑，依题意可列方程组6004000100500,36.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得21.75,57.75.x y =-⎧⎨=⎩不合题意，应该舍去．②只购进A 型电脑和C 型电脑， 依题意可列方程组6002500100500,36.x z x z +=⎧⎨+=⎩解得3,33.x z =⎧⎨=⎩③只购进B 型电脑和C 型电脑，依题意可列方程组4002500100500,36.y z y z +=⎧⎨+=⎩ 解得7,29.y z =⎧⎨=⎩答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A 型电脑3台和B 型电脑33台；第二种方案是购进B 型电脑7台和C 型电脑29台．。
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课后训练
基础巩固
1．在方程组21,
31,x y y z -=⎧⎨=+⎩2,31,x y x =⎧⎨-=⎩0,35,
x y x y +=⎧⎨-=⎩ 1,23,xy x y =⎧⎨+=⎩ 111,1,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩
1,1x y =⎧⎨=⎩中，是二元一次方程组的有( )． A ．
2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 2．若方程2x m －1＋y 2n
＋m ＝12是二元一次方程，则mn 为( )． A ．0 B ．1 C ．－2 D ．－1
3．二元一次方程组3,20x y x y -=-⎧⎨
+=⎩
的解是( )． A ．1,2
x y =-⎧⎨=⎩ B ．1,2x y =⎧⎨=-⎩ C ．1,2x y =-⎧⎨=-⎩
D ．2,1x y =-⎧⎨=⎩ 4．小明在解关于x ，y 的二元一次方程组3,31x y x y +⊗=⎧⎨-⊗=⎩时得到了正确结果,1,
x y =⊕⎧⎨=⎩后来
发现“⊗”“ ⊕”处被墨水污损了，请你帮他找出⊗、⊕处的值分别是( )．
A ．⊗＝1，⊕＝1
B ．⊗＝2，⊕＝1
C ．⊗＝1，⊕＝2
D ．⊗＝2，⊕＝2
5．从方程组1,21x a y a =-⎧⎨=+⎩
中得到x 与y 的关系式为__________． 6．方程组25,211x y x y -=-⎧⎨+=⎩的解是__________．
7．根据下图提供的信息，可知一个杯子的价格是__________．
8．解下列方程组： (1),2325%15% 1.25;
x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩
(2)22,622 2.3x x y y x y x --⎧-=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩
能力提升
9．若
2,
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
是二元一次方程组
3
5,
2
2
ax by
ax by
⎧
+=
⎪
⎨
⎪-=
⎩
的解，求a＋2b的值．
10．已知满足方程组
352,
23
x y m
x y m
+=+
⎧
⎨
+=
⎩
的x，y值的和等于2，求m2－2m＋1的值．
11．已知|a＋2b－9|＋(3a－b+1)2＝0，求a，b的值．
12．已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6 000元，B型每台4 000元，C型每台2 500元．某市东坡中学计划将100 500元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由．
参考答案
1答案：B点拨：第1,4,5个不是二元一次方程组．
2答案：D点拨：由题意知m－1＝1，解得m＝2，2n＋m＝1，解得n＝
1
2
-，所以
mn＝－1.
3答案：A
4答案：B点拨：把
,
1
x
y
=⊕
⎧
⎨
=
⎩
代入二元一次方程组
3,
31
x y
x y
+⊗=
⎧
⎨
-⊗=
⎩
中，得
3,
3 1.
⊕+⊗=
⎧
⎨
⊕-⊗=
⎩
解这个二元一次方程组得
2,
1.⊗=⎧
⎨
⊗=⎩
5答案：2x－y＋3＝0点拨：由于方程组中a的系数较小，故利用加减消元法或代入消元法均可消去未知数a，得到关于x，y的关系式．
6答案：
3,
4. x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
点拨：两个方程相加得2x＝6.所以x＝3.第二个方程减第一个方程得，
4y＝16，所以y＝4.所以方程组的解是
3,
4. x
y
=⎧
⎨
=⎩
7答案：8元点拨：仔细观察图形，可知本题存在两个等量关系，即一个水壶的价格＋一个杯子的价格＝43，两个水壶的价格＋三个杯子的价格＝94.根据这两个等量关系可列出方程组．
8解：(1)化简方程组，得
320, 5325. x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
①×3＋②×2得19x＝50，
所以x＝50 19
.
把x＝50
19
代入①得3×
50
19
－2y＝0，
所以y＝75
19
.所以
50
,
19
75
.
19
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
(2)化简方程组，得
2310, 52 6.
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
①
②
①×2＋②×3，得19x＝38. 所以x＝2.
把x＝2代入②，得y＝2.
所以
2,
2. x
y
=⎧
⎨
=⎩
9解：因为
2,
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
是二元一次方程组
3
5,
2
2
ax by
ax by
⎧
+=
⎪
⎨
⎪-=
⎩
的解，
把
2,
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程组中，得
35,
2 2.
a b
a b
+=
⎧
⎨
-=
⎩
两方程相减得a ＋2b ＝3.
即a ＋2b 的值是3.
10解：将方程组中的两个方程相减，得x ＋2y ＝2，即(x ＋y )＋y ＝2.
因为x ＋y ＝2，所以2＋y ＝2，所以y ＝0，于是得x ＝2.把x ＝2，y ＝0代入2x ＋3y ＝m ，得m ＝4.把m ＝4代入m 2－2m ＋1，得
m 2－2m ＋1＝16－2×4＋1＝9.
11解：根据题意，得290,310.a b a b +-=⎧⎨-+=⎩
①② 由①得a ＝9－2b ，③
把③代入②，得3(9－2b )－b ＋1＝0，
解得b ＝4.
把b ＝4代入③，得a ＝1.
所以1,4.a b =⎧⎨=⎩
12解：设从该电脑公司购进A 型电脑x 台，购进B 型电脑y 台，购进C 型电脑z 台．则可分以下三种情况考虑：
①只购进A 型电脑和B 型电脑，
依题意可列方程组
6004000100500,36.x y x y +=⎧⎨+=⎩
解得21.75,57.75.
x y =-⎧⎨=⎩ 不合题意，应该舍去．
②只购进A 型电脑和C 型电脑，
依题意可列方程组
6002500100500,36.
x z x z +=⎧⎨+=⎩ 解得3,33.x z =⎧⎨=⎩
③只购进B 型电脑和C 型电脑，
依题意可列方程组
4002500100500,36.
y z y z +=⎧⎨+=⎩ 解得7,29.y z =⎧⎨=⎩
答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A 型电脑3台和B 型电脑33台；第二种方案是购进B 型电脑7台和C 型电脑29台．。