(文数试题)六校2013届高三考前模拟考试

六校2013届高三考前模拟考试数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{|1}A x x =≥，)}2(log |{2+==x y x B ，则=A BA ．)1,2(-B ．]1,2(-C ．)1,2[-D ．]1,2[-2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2i)i z a =-在复平面内对应的点为M ， 则“2a <-”是“点M 在第四象限”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知等比数列}{n a 中，公比0q >，若42=a ， 则321a a a ++的最值情况为A ．有最小值4-B ．有最大值4-C ．有最小值12D ．有最大值12 4．由两个完全相同的正四棱锥组合而成的空间几何体的 正(主)视图、侧(左)视图、俯视图相同，如右图所示， 其中四边形ABCD 是边长为1的正方形，则该几何体 的表面积为 A ．34 B ．33 C ．32 D ．3 5．执行如图所示的程序框图，输出的S 是 A ． 0 B ．12C ． 1D ．1-6．下列四个命题中，正确的有①两个变量间的相关系数r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题p ：“R ∈∃0x ，01020>--x x ”的否定p ⌝：“R ∈∀x ，012<--x x ”； ③用相关指数2R 来刻画回归效果，若2R 越大，则说明模型的拟合效果越好； ④若23.0=a ，3.02=b ，2log3.0=c ，则b a c <<．A ．①③B ．①④C ．②③D ．③④7．把正奇数数列按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个ABCD第4题图是否开始S输出结束1,0==n S co s3n S S π=+?2013≤n 1+=n n 第5题图数，第五个括号两个数，第六个括号三个数，…．依次划分为)1(，)5,3(，)11,9,7(，)13(，)17,15(，)23,21,19(，)25(，…．则第50个括号内各数之和为A ．396B ．394C ．392D ．3908．已知函数)(x f y =的定义域是R ，若对于任意的正数a ，函数)()()(a x f x f x g --= 都是其定义域上的减函数，则函数)(x f y =的图象可能是A ．B ．C ．D ．9．已知定点)0,2(-A ，)0,2(B ,N 是圆O ：122=+y x 上任意一点，点A 关于点N 的对称点为M ，线段AM 的中垂线与直线BM 相交于点P ，则点P 的轨迹是A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 10．设函数)(x f 在区间I 上可导，若I x x ∈∀,0,总有))(()()(000x x x f x f x f -'+≥，则称)(x f y =为区间I 上的U 函数． 在下列四个函数2x y =，xx y 1+=，xy e -=，x y 2cos =中，在区间)0,1(-上为U 函数的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题：11、12、13题为必做题． 11．如图，菱形ABCD 的边长为2，︒=∠60A ，M 为DC 的中点，则AB AM ⋅的值为 ．12．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥+≤0,0121y x x y x y ，若目标函数z m x y =+（0m >）的最大值为35，则m的值为 ．13．设1>a，则当xa y =与x y alog=两个函数图象有且只有一个公共点时，=a ln ln ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 23221（t 为参数），以原点Ox yO x yO xyOxyO A BCDM第11题图为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，则l 上的动点P 与C 上的动点Q 间的最短距离为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的圆O 交于点F ，连接CF 并延长CF 交AB 于E ．则线段BF 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分13分）某校为了解高三年级不同性别的学生对体育课改上自习课的态度（肯定还是否定），进行了如下的调查研究.全年级共有630名学生，男女生人数之比为10:11，现按分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为16．（1）求抽取的男学生人数和女学生人数；（2）通过对被抽取的学生的问卷调查，得到如下22⨯列联表：否定 肯定 总计男生 10 女生30总计①完成列联表；②能否有97.5%的把握认为态度与性别有关？（3）若一班有5名男生被抽到，其中4人持否定态度，1人持肯定态度；二班有4名女生被抽到，其中2人持否定态度，2人持肯定态度．现从这9人中随机抽取一男一女进一步询问所持态度的原因，求其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率．解答时可参考下面临界值表：20()P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0050k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87917．（本小题满分12分） 设A B C ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin ()co s 6A A π-=.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求b c +的最大值． 18．（本小题满分14分）在四棱锥ABCD P -中，︒=∠=∠90ACD ABC ，︒=∠=∠60CAD BAC ，⊥PA 面ABCD ，E 为PD 的中点，42==AB PA ．（1）求证：AE PC ⊥； （2）求证：//CE 面PAB ；（3）求三棱锥ACE P -的体积V ． 19．（本小题满分13分） 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21=a ，()11++=⋅+n n S a n n n ，*N ∈n ．（1）求数列}{n a 的通项公式：A BCDE F ∙O第15题图PABDE（2）令nn n S T 2=，*N ∈n ．①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ；②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围．20．（本小题满分14分）如图，点F 是椭圆12222=+by ax （0>>b a ）的左焦点，点A ，B 分别是椭圆的左顶点和上顶点，椭圆的离心率为21，点C 在x 轴上，且BC BF ⊥，过点A 作斜率为(0)k k >的直线l 与由三点B ,F ，C 确定的圆M 相交于D ，E 两点，满足221a ME MD -=⋅．（1）若B O F ∆的面积为3，求椭圆的方程；（2）直线l 的斜率是否为定值？证明你的结论. 21．（本小题满分14分）已知函数1)1(ln )(+--=x x a x x f （R ∈a ，0≠a ），x x x g +=2)(．（1）求函数(1)()ln ()1a x h x a x g x x -=-⋅+的单调区间,并确定其零点个数；（2）若)(x f 在其定义域内单调递增，求a 的取值范围； （3）证明不等式1ln121715131+<+++++n n （*N ∈n ）．参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案AACCDDCBBA二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． 11． 4 12． 16 13．1- 14．3215．255三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分13分）某校为了解高三年级不同性别的学生对体育课改上自习课的态度（肯定还是否定），进行了如下的调查研究.全年级共有630名学生，男女生人数之比为10:11，现按分层抽样方 法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为16．（1）求抽取的男学生人数和女学生人数；（2）通过对被抽取的学生的问卷调查，得到如下22⨯列联表：否定 肯定 总计 男生 10 女生 30 总计①完成列联表；②能否有97.5%的把握认为态度与性别有关？（3）若一班有5名男生被抽到，其中4人持否定态度，1人持肯定态度；二班有4名女生被抽到，其中2人持否定态度，2人持肯定态度．现从这9人中随机抽取一男一女进一步询问所持态度的原因，求其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率．解答时可参考下面临界值表：20()P Kk ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0k2.7063.8415.0246.6357.879解：（1）共抽取6306105÷=人，…………………………………………………………1分男生 111055521⨯=人， 女生101055021⨯=人，……………………………3分（2）①否定肯定总计男生 45 10 55 女生 30 20 50 总计7530105…………4分 ② 假设0H : 学生对体育课改上自习课的态度与性别无关 220()105(45201030)6.110()()()()75305550n a d b c k a c b d a b c d -⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯因为 6.1105.02>, 2( 5.024)0.025P K ≥=所以 有97.5%的把握认为态度与性别有关.………………………………8分（3）记一班被抽到的男生为1234,,,,A A A A a ，1234,,,A A A A 持否定态度，a 持肯定态度； 二班被抽到的女生为1212,,,B B b b ，12,B B 持否定态度，12,b b 持肯定态度.则所有抽取可能共有20种：11(,)A B ,12(,)A B ,11(,)A b ，12(,)A b ；21(,)A B ，22(,)A B ，21(,)A b ，22(,)A b ；31(,)A B ，32(,)A B ，31(,)A b ，32(,)A b ；41(,)A B ，42(,)A B ，41(,)A b ，42(,)A b ；1(,)a B ，2(,)a B ，1(,)a b ，2(,)a b .………10分其中恰有一人持否定态度一人持肯定态度的有10种：11(,)A b ，12(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，31(,)A b ，32(,)A b ，41(,)A b ，42(,)A b ，1(,)a B ，2(,)a B .……11分记“从这9人中随机抽取一男一女，其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度”事件为M ,则101()202P M ==. ……………………………………………………12分答：（1）抽取男生55人，女生50人；（2）有有97.5%的把握认为态度与性别有关；（3）恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率为12.……………………………13分17．（本小题满分12分）设A B C ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin ()co s 6A A π-=.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求b c +的最大值． 解：（1）由已知有sin co sco s sinco s 66A A A ππ⋅-⋅=，………………………………1分得31sin co s co s 22A A A -=，则 sin 3cos A A =，………………3分tan 3A =.………………………………………………………………4分又0A π<<，故3A π=.……………………………………………………5分（2）（法一）由正弦定理得sin 2sin 4sin sin 3sin3a B Bb B Aπ⋅⋅===, sin 2sin 4sin sin 3sin3a C C c C Aπ⋅⋅===,则 4(sin sin )3b c B C +=+.……………………………………………7分而 231sin sin sin sin ()sin (co s sin )322B C B B B B B π+=+-=++3331sin co s 3(sin co s )3sin ()22226B B B B B π=+=+=+.…9分则 4sin()6b c B π+=+.又 203B π<<， 所以5666B πππ<+<.……………………………10分所以 当且仅当62B ππ+=，即3B π=时，sin ()6B π+取得最大值1，11分故 m ax ()4b c +=. …………………………………………………………12分（法二）由余弦定理得22222co s3b c b c π=+-，即224b c bc =+-， …………7分则 24()3b c bc =+-， 又 2()2b c b c +≤则 10分 22()()434b c b c ++-≤⋅…………………10分得 2()16b c +≤， 故 4b c +≤，当且仅当b c =时，m ax ()4b c +=.…… ………………………………………12分18．（本小题满分14分）在四棱锥ABCD P -中，︒=∠=∠90ACD ABC ，︒=∠=∠60CAD BAC ，⊥PA 面ABCD ，E 为PD 的中点，42==AB PA ．（1）求证：AE PC ⊥； （2）求证：//CE 面PAB ； （3）求三棱锥ACE P -的体积V ．解：（1）证明 取P C 中点F ，连接,A F E F . ……1分在R t A B C ∆中，2A B =，60B A C ∠=，PABDE则 23B C =,4A C =． 而 4P A =则 在等腰三角形A P C 中 P C A F ⊥. ① ………………2分又 在P C D ∆中，,P E E D P F F C ==,则 E F ∥C D ……………………………………………………………………3分因 P A ⊥面A B C D ，C D ⊂面A B C D ， 则 P A ⊥C D ，又 90A C D ∠=，即C D A C ⊥， 则 C D ⊥面P A C ，……………………4分C D P C ⊥，所以 E F P C ⊥． ② ………………5分 由①②知 P C ⊥面A E F ． 故P C ⊥A E ．…………………………6分（2）（法一）取A D 中点M ，连接,E M C M ． 则 在P A D ∆中, E M ∥P A . 又 E M ⊄面P A B , P A ⊂面P A B则 E M ∥面P A B , …………………………………………………………………7分 在R t A C D ∆中，60C A D ∠=所以A C M ∆为正三角形，则 60A C M *∆= ……………………………………………………………………8分 又 60B A C ∠= 则 M C ∥A B .又 M C ⊄面P A B , A B ⊂面P A B则 M C ∥面P A B , …………………………………………………………………9分 而 E M M C M = ，所以 面E M C ∥面P A B . …………………………………………………………10分 又 E C ⊂面E M C则 E C ∥面P A B ． ………………………………………………………………11分 (法二)延长,D C A B 交于N ，连接P N ． …………………………………………7分在A N D ∆中，60N A C D A C ∠=∠=，A C ⊥C D ，则 C 为N D 的中点…………………………………………………………………9分又 P E E D =所以 E C ∥P N ……………………………………………………………………10分PADBCEF M又 E C ⊄面P A B , P N ⊂面P A B则 E C ∥面P A B .…………………………………………………………………11分 （3）由（1）（2）知 4A C =, 43C D =1232E F C D ==因 C D ⊥面P A C ， E F ∥C D则 E F ⊥面P A C ，……………………………………………………………12分 而 1144822R t P A C S P A A C ∆=⋅=⨯⨯=………………………………………13分故 11163823333P A E C E P A C R t P A C V V S E F --∆==⋅=⨯⨯=………………14分19．（本小题满分13分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21=a ，()11++=⋅+n n S a n n n ，*N ∈n ． （1）求数列}{n a 的通项公式： （2）令nn n S T 2=，*N ∈n ．①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ；②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围．解：（1）在()11++=⋅+n n S a n n n 中令1n =，得2111(11)a S ⨯=+⨯+又12a =，则24a =，所以212a a -=. ………………………………………1分 当2n ≥时，()11++=⋅+n n S a n n n1(1)(1)n n n a S n n --=+-相减得 11(1)2n n n n na n a S S n +---=-+ ……………………………………3分 即 1(1)2n n n na n a a n +--=+，整理得 12(2)n n a a n +-=≥ ………4分 结合到 212a a -=，所以 数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，………………………5分 则 2(1)2n a n =+-⨯，即2n a n =.…………………………………………6分（2）①(法一) (22)(1)2n n nS n n +==+…………………………………………7分则 (1)22n n nnS n n T +==………………………………………………………8分1111(1)(2)(1)1(1)(2)(22)2222n n n nn n n n n n n n n T T n n +++++++++--=-=+-=由 10n n T T +-<……………………………………………………………9分得 2n >，即n 取不小于3的正整数. …………………………………10分 （法二） 把 12(1)n a n +=+代入()11++=⋅+n n S a n n n得 ()2(1)1n n n S n n ⨯+=++所以 (1)n S n n =+.……………………………………………7分以下同法一.② 由①知 数列{}n T 各项的大小情况为 12345T T T T T <=>>> .11分 则 {}n T 的各项中数值最大的项为3222(21)322T T +===，………12分因为对一切正整数n ，总有m T n ≤，则 32m ≥……………………13分20．（本小题满分14分）如图，点F 是椭圆12222=+by ax （0>>b a ）的左焦点，点A ，B 分别是椭圆的左顶点和上顶点，椭圆的离心率为21，点C 在x 轴上，且BC BF ⊥，过点A 作斜率为(0)k k >的直线l 与由三点B ,F ，C 确定的圆M 相交于D ，E 两点，满足221a ME MD -=⋅．（1）若B O F ∆的面积为3，求椭圆的方程； （2）直线l 的斜率是否为定值？证明你的结论. 解：（1）由已知可得12c a=，132cb =，…2分又222a b c =+，解得2222,6,8c b a ===. …………3分所求椭圆方程为22186xy+=.…………4分（2）由12c a =得3b c =，则 (,0),(0,3)F c B c -……5分因BC BF ⊥ 则1-=⋅BF BC k k (斜率显然存在且不为零）……………6分 而 3030()F B c k c -==--xyOAB FC∙MD El第20题图设 (,0)C t ， 则30303B C c k t-==--得 c t 3=，所以)0,3(c C ……………………………………………………7分则圆心M 的坐标为(,0)M c ，半径为2r c =………………………………………8分 据题意 直线l 的方程可设为 (2)y k x c =+，即20kx y ck -+=………………9分 由 221aME MD -=⋅得 2122co s 2c c D M E a ⨯⨯∠=-………………………10分 即 2122co s (2)2c c D M E c ⨯⨯∠=-，得1co s 2D ME ∠=-，而0D M E π≤∠≤所以 23D M E π∠=…………………………………………………………………11分在等腰三角形M E D 中 由垂径定理可得点M 到直线l 的距离为c .………………12分则2021ck ckc k -+=+…………………………………………………………………13分解得 24k =±而0k > 故 24k =（定值）……………………………14分21．（本小题满分14分）已知函数1)1(ln )(+--=x x a x x f （R ∈a ，0≠a ），x x x g +=2)(．（1）求函数(1)()ln ()1a x h x a x g x x -=-⋅+的单调区间,并确定其零点个数；（2）若)(x f 在其定义域内单调递增，求a 的取值范围； （3）证明不等式1ln 121715131+<+++++n n （*N ∈n ）．解：（1）2()ln (0)h x a x ax ax x =-+> …………………………………………1分 则 1()(21)(0)h x a x x x'=-+>2(21)a x x x--=-12(1)()2a x x x-+=-……………………………………………2分（i ）若0a >，则当(0,1)x ∈时，()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '< 所以 (0,1)为()h x 的增区间，(1,)+∞为()h x 的减区间. ………………3分 极大值为0111ln )1(2=⨯+⨯-=a a a h 所以)(x h 只有一个零点1=x .（ii ）若0a <，则当(0,1)x ∈时，()0h x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '> 所以 (0,1)为()h x 的减区间，(1,)+∞为()h x 的增区间.极小值为0111ln )1(2=⨯+⨯-=a a a h ……………………………………4分 所以)(x h 只有一个零点1=x .综上所述，当0a <时，(0,1)为()h x 的减区间，(1,)+∞为()h x 的增区间，)(x h 有且只有一个零点； 当0a >时，(0,1)为()h x 的增区间，(1,)+∞为()h x 的减区间，)(x h 有且只有一个零点. ……………………………………………………………………5分 （2） 21[1(1)]()(1)a x x f x x x +--'=-+212(1)a xx =-+22(22)1(0)(1)x a x x x x +-+=>+……………………………………6分由)(x f 在其定义域内单调递增，可知(0,)x ∀∈+∞,()0f x '≥恒成立.则 2(22)10x a x +-+≥ (0,)x ∀∈+∞ 恒成立.…………………………7分(法一)由二次函数的图象(开口向上，过定点(0,1))可得10a -≤或100a ->⎧⎨∆≤⎩………………………………………………………8分则 1a ≤或210(22)40a a ->⎧⎨--≤⎩ 则 1a ≤或102a a >⎧⎨≤≤⎩得 2a ≤.可以验证 当2a =时)(x f 在其定义域(0,)+∞内单调递增故 2a ≤.……………………………………………………………………9分(法二)分离变量 122(0)a x x x≤++>因 12224x x++≥+= （当且仅当1x x=，即1x =时取到等号）…8分所以 24a ≤， 则2a ≤.可以验证 当2a =时)(x f 在其定义域(0,)+∞内单调递增故 2a ≤……………………………………………………………………9分（3）由（2）可知 当2a =时，2(1)()ln 1x f x x x -=-+在(0,)+∞内单调递增，而2(11)(1)ln 1011f -=-=+所以当1x >时，()(1)0f x f >= 即 2(1)ln (1)1x x x x ->>+……………………………………………………10分令 *11()x n N n=+∈，则 12(11)1ln (1)111n nn+-+>++…………………………………………………11分则 12ln21n n n +>+ 所以 2ln121nn n >--，22ln323n n n ->--，…… , 32ln25>,22ln13>,以上n 个式子累加可得132222lnlnlnln 212212153n n nn n n +++++>++++-+-…………………………………12分则 131111ln (2)2()12212153n n nn n n +⋅⋅⋅>++++-+-则 1111ln (1)2()212153n n n +>+++++- …………………………13分则 11111ln (1)2212153n n n +>+++++-故 1111ln 135721n n ++++<++（*N ∈n ）．………………14分。