高中数学知识点练兵检测试题12
高一数学下册知识点练兵检测试题15
第I卷必做题部分(必做题共160分时间：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接写在横线上)1 . 已知集合 A = {x|^= 1 —X ,x Z} , B={y|y = 2x-A},则A B= __________ 。
2. 命题“若a b,则a-1・b-1 ” 的否命题3.函数y=log2(x2 3 4 5-3x-4)的单调增区间是-2 2PF2的三边长成等差数列，Read S 1For I from 1 to 5 step 2x _ 24 .已知实数x、y满足约束条件<y^2 ,则z = 2x + 4y的最大值+ y 兰 6 7z 为 ______ 。
旨厶5. 如图所示,棱长为1cm的小正方体组成如图所示的几何体，那么这丿个几何体的表面积是____________2 28若抛物线y6 7 =2px的焦点与椭圆- 乂=1的右焦点重合，则P的值6 2为 ________29. 已知双曲线笃—y2=1(a 0)的一条渐近线与直线2x—厂3 = 0垂直，a则该双曲线的准线方程是 _____________10. 如果圆x2 y2-4x-4y-10 = 0上至少有三点到直线ax by = 0的距11. 观察下列不等式：-1 J丄,丄「1+丄〕》丄口+丄〕,2 1 23 i 3丿 2 124 丿> 1 .+1 +1 ；,…，由此猜测第n个不等式4 i 3 5.丿 3 12 4 6丿为 ______________________ . ( n • N * )12. 已知函数f(x)=x』og2x+3 ( x > 0 ),直线l与函数f(x )相切于点A1,m .贝卩直线l的方程为_______________________ .(写成直线方程一般式)13. △ ABC 中，.C 丄,AC =1,BC =2，则 f ()彳2 ■ CA (1 -)CB| 的7最小值是 _______ .14. 图(1)为相互成120°的三条线段，长度均为1,图(2)在第一张图的线段的前端作两条与该线段成120。
高二数学教学质量监测强化训练卷必修12试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年高二数学教学质量监测强化训练卷必修1-2本套试卷分第一卷〔选择填空题〕和第二卷〔解答题〕两局部，第一卷1至2页，第二卷3至6页，总分值是120分，考试时间是是90分钟。
第I 卷〔选择填空题总分值是56分〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题4分，总分值是40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕． 1．集合{10},{0,1},{1,2})A B CA B C ===－，，则(=〔*〕． (A)∅(B){1}(C){0,1,2}(D){-1,0,1,2}2．假设()1xf x x=-，那么(3)f -等于〔*〕． (A)32-(B)34-(C)34(D)32± 3．直线l 的方程为1y x =+，那么该直线l 的倾斜角为〔*〕． (A)30 (B)45(C)60(D)1354．两个球的外表积之比为1∶9，那么这两个球的半径之比为〔*〕． (A)1∶3(B)1∶3(C)1∶9(D)1∶815．以下函数中，在R 上单调递增的是〔*〕．(A)y x=(B)2log y x =(C)13y x=(D)0.5x y =6．点(,1,2)A x B 和点(2,3,4),且26AB =,那么实数x 的值是〔*〕．(A)-3或者4(B)–6或者2(C)3或者-4(D)6或者-27．直线l 、m 、n 与平面α、β①假设m ∥l ，n ∥l ，那么m ∥n ②假设m ⊥，m ∥，那么⊥③假设m ∥，n ∥，那么m ∥n ④假设m ⊥，⊥，那么m ∥或者m其中是〔*〕． (A)①(B)②(C)③ (D)④8．函数4()log f x x =与()4x f x =的图像〔*〕．(A)关于x 轴对称(B)关于y 轴对称(C)关于原点对称(D)关于直线y x =对称9．如图1，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积．．．为〔*〕． (A)4π(B)54π(C)π(D)32π10．2()22x f x x =-，那么在以下区间中，()0f x =有实数解的是〔*〕．(A)〔－3，－2〕(B)〔－1，0〕(C)〔2，3〕(D)〔4，5〕二．填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，总分值是16分〕． 11．0.622,0.6a b ==，那么实数a b 、的大小关系为*． 12．222212:1:349O x y O x y +=+=与（－）（＋），那么12O O 与的位置关系为*．13．()f x 是奇函数，且当0x >时，()1f x x =+，那么(1)f -的值是*．14．如图2-①，一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水.假设将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为2a〔如图2-②〕，那么图2-①中的水面高度为*．第二卷〔解答题总分值是64分〕三．解答题〔本大题一一共6小题，总分值是64分．解容许写出文字说明．证明过程或者演算步骤〕．15．〔本小题总分值是12分〕如图3，在OABC 中，点C 〔1，3〕．图1图22-①2-②〔1〕求OC 所在直线的斜率；〔2〕过点C 做CD ⊥AB 于点D ，求CD 所在直线的方程． 16．〔本小题总分值是10分〕如图4，正四棱锥V -ABCD 中，AC BD M VM 与交于点，是棱锥的高，假设6cm AC =，5cm VC =，求正四棱锥V -ABCD 的体积．17．〔本小题总分值是10分〕函数23,[1,2]()3,(2,5].x x f x x x ⎧-∈-=⎨-∈⎩，〔1〕在图5给定的直角坐标系内画出()f x 的图象；〔2〕写出()f x 的单调递增区间．18．〔本小题总分值是12分〕如图6，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点． 〔1〕求证：EF ∥平面CB 1D 1；〔2〕求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．19．〔本小题总分值是10分〕一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的75％，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的13〔结果保存1个有效数字〕？〔lg 20.3010≈，lg30.4771≈〕 20．〔本小题总分值是10分〕O ：221x y +=和定点A (2,1)，由O 外一点(,)P a b向O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PQ PA =．(1)务实数a 、b 间满足的等量关系；图6ABA 1F(2)求线段PQ长的最小值；(3)假设以P 为圆心所作的P 与O 有公一共点，试求半径取最小值时P的方程．图7[参考答案]一、选择题：本大题主要考察根底知识和根本运算．一共10小题，每一小题4分，总分值是40分．二、填空题：本大题主要考察根底知识和根本运算．一共4小题，每一小题4分，总分值是16分．1ab > 2.相离13.-214.(1a三、解答题15.本小题主要考察直线的斜率、两条直线的位置关系等根底知识，考察根本的逻辑推理才能和运算才能．总分值是12分． 解:(1)点O 〔0，0〕，点C 〔1，3〕，∴OC 所在直线的斜率为30310OCk -==-. 〔2〕在OABC 中，//AB OC ,CD ⊥AB ，∴CD ⊥OC .∴CD 所在直线的斜率为13CD k =-.∴CD 所在直线方程为13(1)3y x -=--，3100x y +-=即.16.本小题主要考察对正棱锥中点、线、面的位置关系的理解，锥体的体积计算等根底知识，考察根本的推理演算才能和空间观念．总分值是10分．解法1：正四棱锥V -ABCD 中，ABCD 是正方形，11163222MC AC BD ∴===⨯=(cm).且11661822ABCD S AC BD =⨯⨯=⨯⨯=(cm 2).图4ABCVM 是棱锥的高,∴Rt △VMC中，4VM ===(cm). ∴正四棱锥V -ABCD 的体积为111842433ABCD S VM ⨯=⨯⨯=(cm 3).解法2：正四棱锥V -ABCD 中，ABCD 是正方形，∴11163222MC AC BD ===⨯=(cm).且AB BC AC ===.∴2218ABCD S AB ===(cm 2).VM 是棱锥的高,∴Rt △VMC中，4VM ==(cm). ∴正四棱锥V -ABCD 的体积为111842433ABCD S VM ⨯=⨯⨯=(cm 3).说明：没有带单位，统一扣1分。
高考数学基础知识专项练习(含答案)
高考数学基础知识专项练习(含答案)以下是高考数学基础知识专项练，共有20道题目，每题均有详细解答。
1.已知函数$f(x)=3x+5$，求$f(-2)$的值。
解：直接将$x=-2$代入原函数，得$f(-2)=3*(-2)+5=-1$。
答案：$-1$2.解不等式$x-8\leq12$。
解：将不等式两边加上8，得$x\leq20$。
答案：$x\leq20$3.化简$\dfrac{6x^3}{9x^4}$。
解：将分子和分母同时除以$3x$，得$\dfrac{2}{3x}$。
答案：$\dfrac{2}{3x}$4.若$3x^2-6x=a$，求$x$的值。
解：将方程移项，得$3x^2-6x-a=0$，再利用求根公式，得$x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+3a}}{3}$。
答案：$x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+3a}}{3}$5.已知等差数列的公差$d=3$，首项$a_1=2$，求第10项的值。
解：利用等差数列的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$，得$a_{10}=2+9*3=29$。
答案：$29$6.已知直角三角形两直角边分别为3和4，求斜边长。
解：使用勾股定理，得斜边长$c=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
答案：$5$7.若$f(x)=x^2-2x+5$，求$f(3)$的值。
解：直接将$x=3$代入原函数，得$f(3)=3^2-2*3+5=7$。
答案：$7$8.已知函数$f(x)=\dfrac{1}{x+1}$，求$f(2)$的值。
解：直接将$x=2$代入原函数，得$f(2)=\dfrac{1}{2+1}=\dfrac{1}{3}$。
答案：$\dfrac{1}{3}$9.化简$2y-4y^2-3y+1$。
解：将同类项相加，得$-4y^2-y+1$。
答案：$-4y^2-y+1$10.已知函数$f(x)=\sqrt{x+3}$，求$f(1)$的值。
解：直接将$x=1$代入原函数，得$f(1)=\sqrt{1+3}=2$。
高中数学 全册测试卷知识基础练(含解析)新人教B版必修第二册-新人教B版高一必修第二册数学试题
必修二全册测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知幂函数y ＝f(x)的图像过点(9,3)，则log 4f(2)的值为( ) A .14B ．－14C ．2D ．－2 2．一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2:3:5，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为( )A ．100B ．80C ．60D ．403．如图，在矩形ABCD 中，点E 为CD 中点，那么向量12AB →＋AD →等于( )A .AE →B .AC →C .DC →D .BC →4．2021年某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A ：“他选择政治和地理”，事件B ：“他选择化学和地理”，则事件A 与事件B( )A ．是互斥事件，不是对立事件B ．是对立事件，不是互斥事件C ．既是互斥事件，也是对立事件D ．既不是互斥事件也不是对立事件 5．设a ＝2.10.3，b ＝log 43，c ＝log 21.8，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a>b>c B ．a>c>b C ．b>a>c D ．c>a>b6．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数的茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试成绩的极差与中位数之和为( )A ．117B ．118C ．118.5D ．119.57．若22x 1＋≤⎝⎛⎭⎫14x －2，则函数y ＝2x的值域是( )A .⎣⎡⎭⎫18，2B .⎣⎡⎦⎤18，2C .⎝⎛⎦⎤－∞，18D ．[2，＋∞) 8．《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养．为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是( )(注：雷达图(RadarChart )，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(SpiderChart )，可用于对研究对象的多维分析)A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲二、多项选择题(本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设a 0为单位向量，下列命题是假命题的为( )A ．若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0B ．若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0C ．若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0D ．若a 为单位向量，则|a |＝|a 0|10．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2X ，一次任意取出2X 卡片，则与事件“2X 卡片都为红色”互斥而不对立的事件有( )A ．2X 卡片都不是红色B ．2X 卡片恰有一X 红色C ．2X 卡片至少有一X 红色D ．2X 卡片都为绿色11．中国篮球职业联赛(CBA)中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表：投篮次数 投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A ，投中三分球为事件B ，没投中为事件C ，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是( )A ．P (A )＝0.55B ．P (B )＝0.18C ．P (C )＝0.27D ．P (B ＋C )＝0.5512．已知a >0，且a ≠1，把底数相同的指数函数f (x )＝a x 与对数函数g (x )＝log a x 图像的公共点称为f (x )(或g (x ))的“亮点”．当a ＝116时，在下列四点中，能成为f (x )“亮点”的有( )A ．(1,1) B.⎝⎛⎭⎫12，12 C.⎝⎛⎭⎫12，14 D.⎝⎛⎭⎫14，12 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 平行，则m ＝________. 14．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表的第1行第4列数由左到右由上到下开始读取，则选出来的第5个个体的编号为________．第1行 78 16 65 71 02 30 60 14 01 02 40 60 90 28 01 98 第2行 32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81 15．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元.(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________. (本题第一空2分，第二空3分)16．函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数的数k (k ∈N *)叫做企盼数，则在区间[1,2 020]上这样的企盼数共有________个．四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)计算：(1)733－3324－6319＋4333；(2)log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72.18．(12分)已知平面向量a，b，a＝(1,2)．(1)若b＝(0,1)，求|a＋2b|的值；(2)若b＝(2，m)，a与a－b共线，某某数m的值．19．(12分)某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示(试卷满分为100分)．(1)试计算这12份成绩的中位数；(2)用各班的样本方差比较两个班的数学学习水平，哪个班更稳定一些？20．(12分)已知函数f(x)＝log a(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，某某数a的取值X围．(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．21．(12分)某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400)(单位：克)中，经统计得频率分布直方图如图所示．(1)经计算估计这组数据的中位数；(2)现按分层抽样从质量为[250,300)，[300,350)的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在[300,350)内的概率．22．(12分)已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，且f (5)f (2)＝8.(1)若f (2m －3)<f (m ＋2)，某某数m 的取值X 围；(2)若y ＝g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，g (x )＝－1(2a )x ＋1a x ，求g (x )的值域．必修二全册测试卷1．解析：设幂函数为f (x )＝x α，则有3＝9α，得α＝12，所以f (x )＝x 12，f (2)＝2，所以log 4f (2)＝log 42＝log 4414＝14.答案：A2．解析：由题意，学校高一、高二、高三的学生人数之比为2:3:5，采用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，所以高三学生抽取的人数为200×52＋3＋5＝100，故选A.答案：A3．解析：12AB →＋AD →＝AD →＋DE →＝AE →，故选A.答案：A4．解析：事件A 与事件B 不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，故选A.答案：A5．解析：a ＝2.10.3＞2.10＝1，∵b ＝log 43＝log 23，c ＝log 21.8，且3<1.8＜2， ∴b ＜c ＜1.∴a ＞c ＞b . 故选B. 答案：B6．解析：22次考试成绩最高为98分，最低为56分，所以极差为98－56＝42，从小到大排列，中间两数为76,76，所以中位数为76，所以此学生该门功课考试成绩的极差与中位数之和为42＋76＝118，故选B.答案：B 7．解析：将221x ＋≤⎝⎛⎭⎫14x －2化为x 2＋1≤－2(x －2)，即x 2＋2x －3≤0， 解得x ∈[－3,1]， 所以2－3≤2x ≤21，所以函数y ＝2x 的值域是⎣⎡⎦⎤18，2.故选B. 答案：B8．解析：根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A 错误．根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B 错误．根据雷达图得乙的六大素养中数学建模、数学运算和数学抽象最差，所以C 错误．根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D 正确．故选D.答案：D9．解析：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故A 是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，当|a |＝1时，a ＝－a 0，故B ，C 也是假命题；D 为真命题．答案：ABC10．解析：6X 卡片中一次取出2X 卡片的所有情况有：“2X 都为红色”、“2X 都为绿色”、“2X 都为蓝色”、“1X 为红色1X 为绿色”、“1X 为红色1X 为蓝色”、“1X 为绿色1X 为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2X 都为红色”互斥而非对立“2X 都不是红色”“2X 恰有一X 红色”“2X 都为绿色”，其中“2X 至少一X 为红色”包含事件是“2X 都为红色”二者并非互斥．故选ABD.答案：ABD11．解析：记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A ，投中三分球为事件B ，没投中为事件C ，由古典概型得：P (A )＝55100＝0.55，故A 正确；P (B )＝18100＝0.18，故B 正确；P (C )＝1－P (A )－P (B )＝1－0.55－0.18＝0.27，故C 正确； P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝0.18＋0.27＝0.45，故D 错误． 答案：ABC12．解析：由题意得f (x )＝⎝⎛⎭⎫116x，g (x )＝log116x ，由于f (1)＝116≠1，所以点(1,1)不在函数f (x )的图像上，所以点(1,1)不是“亮点”；由于f ⎝⎛⎭⎫12＝14≠12，所以点⎝⎛⎭⎫12，12不在函数f (x )的图像上，所以点⎝⎛⎭⎫12，12不是“亮点”；由于f ⎝⎛⎭⎫12＝14，g ⎝⎛⎭⎫12＝14，所以点⎝⎛⎭⎫12，14在函数f (x )和g (x )的图像上，所以点⎝⎛⎭⎫12，14是“亮点”；由于f ⎝⎛⎭⎫14＝12，g ⎝⎛⎭⎫14＝12，所以点⎝⎛⎭⎫14，12在函数f (x )和g (x )的图像上，所以点⎝⎛⎭⎫14，12是“亮点”．故选CD.答案：CD13．解析：向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1) ，所以a ＋b ＝(m －1,3)，若向量a ＋b 与a 平行，可得－1×3－2(m －1)＝0 ，解得m ＝－12.答案：－1214．解析：第1行第4列数是6，由左到右进行读取10,06,01,09,02，所以第5个个体的编号为02.答案：0215．解析：(1)价格为60＋80＝140元，达到120元，少付10元，所以需支付130元． (2)设促销前总价为a 元，a ≥120，李明得到金额l (x )＝(a －x )×80%≥0.7a,0≤x ≤120，即x ≤a 8恒成立，又a 8最小值为1208＝15，所以x 的最大值为15.答案：(1)130 (2)1516．解析：令g (k )＝f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )，利用对数的换底公式可得f (k )＝log (k ＋1)(k ＋2)＝lg (k ＋2)lg (k ＋1)得到g (k )＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg (k ＋2)lg (k ＋1)＝lg (k ＋2)lg 2＝log 2(k ＋2)． 要使k 成为企盼数， 则k ＋2＝2n ，n ∈N *.由于k ∈[1,2 020]，即2n ∈[3,2 022]，因为22＝4,210＝1 024,211＝2 048，可取n ＝2,3， (10)因此在区间[1,2 020]内这样的企盼数共有9个． 答案：917．解析：(1)733－3324－6319＋4333＝7×313－3×2413－6×32-3＋313＝8×313－3×2×313－6×32-3＝2×313－2×313＝0.(2)原式log 331-4＋lg(25×4)＋2＝－14＋2＋2＝154.18．解析：(1)a ＋2b ＝(1,2)＋(0,2)＝(1,4), 所以|a ＋2b |＝12＋42＝17.(2)a －b ＝(－1,2－m ),因为a 与a －b 共线，所以1×(2－m )－2×(－1)＝0，解得m ＝4.19．解析：(1)从茎叶图中可以看到，这12份成绩按从小到大排列，第6个是78，第7个是82，所以中位数为78＋822＝80.(2)由表中数据，易得(1)班的6份成绩的平均数x 1＝80，(2)班的6份成绩的平均数x 2＝80，所以(1)班的6份成绩的方差为s 21＝16(132＋42＋22＋22＋52＋122)＝1813；(2)班的6份成绩的方差为s 22＝16(122＋82＋72＋52＋92＋132)＝2663. 所以有s 21<s 22，说明(1)班成绩波动较小，(2)班两极分化较严重些，所以(1)班成绩更稳定． 20．解析：(1)因为a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． 所以3－2a >0.所以a <32.又a >0且a ≠1，所以a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，因为a >0，所以函数t (x )为减函数． 因为f (x )在区间[1,2]上为减函数， 所以f (x )＝log a t 为增函数，所以a >1，x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 21．解析：(1)由频率分布直方图可知，前三组频率之和为0.002×50＋0.002×50＋0.003×50＝0.35，第四组频率为0.008×50＝0.4，所以中位数为(0.5－0.35)0.4×50＋250＝268.75.(2)抽取的6个芒果中，质量在[250,300)和[300,350)内的分别有4个和2个．设质量在[250,300)内的4个芒果分别为A ，B ，C ，D ，质量在[300,350)内的2个芒果分别为a ，b .从这6个芒果中选出3个的情况共有(A ，B ，C )，(A ，B ，D )，(A ，B ，a )，(A ，B ，b )，(A ，C ，D )，(A ，C ，a )，(A ，C ，b )，(A ，D ，a )，(A ，D ，b )，(A ，a ，b )，(B ，C ，D )，(B ，C ，a )，(B ，C ，b )，(B ，D ，a )，(B ，D ，b )，(B ，a ，b )，(C ，D ，a )，(C ，D ，b )，(C ，a ，b )，word- 11 - / 11 (D ，a ，b )，共计20种，其中恰有一个在[300,350)内的情况有(A ，B ，a )，(A ，B ，b )，(A ，C ，a )，(A ，C ，b )，(A ，D ，a )，(A ，D ，b )，(B ，C ，a )，(B ，C ，b )，(B ，D ，a )，(B ，D ，b )，(C ，D ，a )，(C ，D ，b )，共计12种，因此这3个芒果中恰有1个在[300,350)内的概率P ＝1220＝35.22．解析：(1)∵f (5)f (2)＝8，∴a 5a 2＝a 3＝8，则a ＝2，即f (x )＝2x ，则函数f (x )是增函数，由f (2m －3)<f (m ＋2)，得2m －3<m ＋2，得m <5，即实数m 的取值X 围是(－∞，5)．(2)当x ≥0时，g (x )＝－1(2a )x ＋1a x ＝－14x ＋12x＝－⎝⎛⎭⎫12x 2＋12x ＝－⎝⎛⎭⎫12x －122＋14，∵x ≥0时，2x ≥1，则0<12x ≤1，即当12x ＝12，即x ＝1时，g (x )取得最大值为14，∵g (x )是奇函数，∴当x ＝－1时，g (x )取得最小值为－14，即－14≤g (x )≤14，则函数g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－14，14.。
高三数学12月测试试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校第二2021届高三数学12月测试试题〔含解析〕一、单项选择题：此题一共8小题，每一小题5分，一共40分． 1.集合M =}{46y y x =-+，P ={(x ，})32y y x =+，那么MP 等于〔〕A.〔1,2〕B.{}{}12⋃C.(){}1,2D.∅【答案】D 【解析】【分析】分析两个集合中元素的类型可得.【详解】因为集合M 是数集,集合P 是点集,两个集合没有公一共元素, 所以两个集合的交集为空集. 应选D .【点睛】此题考察了集合的交集运算,属于根底题. 2.设z ii z+=,那么z 在复平面内对应的点位于〔〕 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】先由条件求得11122i zi i -==--，再确定z 在复平面内对应的点位于的象限即可. 【详解】解：由题意知()1,z i i -=-,即11122i zi i -==--， 故z 在复平面内对应的点位于第四象限，【点睛】此题考察了复数的运算及复数在复平面内对应的点的位置，属根底题. 3.己知向量()1,2OA =-，()3,OB m =.假设OA ⊥AB ，那么m 的值是()A.32 B.4C.-32D.-4【答案】B 【解析】 【分析】根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得m 的值. 【详解】依题意()4,2AB m =-，由于OA ⊥AB ，所以()()1,24,24240m m -⋅-=-+-=，解得4m =. 应选B.【点睛】本小题主要考察两个向量垂直的坐标表示，考察向量减法的坐标运算，属于根底题.4.722x ⎛⎫- ⎝的展开式中，4x 项的系数为〔〕A.-280B.280C.-560D.560【答案】C 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于4，求出r 的值，即可求得结果．【详解】在27(2x 的展开式中，通项公式为T r +1772r r C -=(﹣1〕r ，令14103r -=4，求得r ＝3，可得x 4项的系数为()347312C -＝﹣560，【点睛】此题主要考察二项式定理的应用，二项展开式的通项公式及系数的求解，属于根底题．5.把直线y x=绕原点逆时针转动，使它与圆22230x y y ++-+=相切，那么直线转动的最小正角度〔〕． A.3πB.2π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线过原点且与圆相切，求出直线的斜率，再数形结合计算最小旋转角．【详解】解析：由题意，设切线为y kx =1=.∴0k=或者k =k =∴最小正角为2362πππ-=. 应选B.【点睛】此题考察直线与圆的位置关系，属于根底题．6.假设甲是乙的充要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么〔〕 A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C.丙是甲的充要条件D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【答案】A 【解析】根据充分条件、必要条件的定义来对各选项的正误进展判断.【详解】因为甲是乙的充要条件，所以乙⇔甲；又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒丙．综上，丙⇒甲，但甲⇒丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． 应选A.【点睛】此题考察充分条件、必要条件的定义，考察逻辑推理才能，属于根底题. 7.菱形ABCD 的边长为2，现将ACD △沿对角线AC 折起使'ACD ACB ⊥平面平面，求此时所成空间四面体体积的最大值〔〕C.1 【答案】A 【解析】 【分析】在等腰三角形'ACD ∆中，取AC 的中点为O ，那么有'D O AC ⊥，通过'ACD ACB ⊥平面平面，根据面面垂直的性质定理，可以证明出'D O ABC ⊥平面，设ABC ADC α∠∠＝＝，(0,)απ∈，在ACD ∆中，cos2cos22DOAD αα==，由题意可知：'2cos2D Oα=，这样可以求出空间四面体体积的表达式，通过换元法，利用导数，可以求出空间四面体的体积的最大值. 【详解】设AC 的中点为O ，因为''D C D A =，所以'D O AC ⊥，又因为'ACD ACB ⊥平面平面，'ACD ACB AC ⋂=平面平面，所以'D O ABC ⊥平面，设ABC ADC α∠∠＝＝，(0,)απ∈，在ACD ∆中，cos2cos22DOAD αα==，由题意可知：'2cos 2D O DO α==，122sin 2sin 2ABCSαα=⨯⨯=''221488sin cos sin cos sin 1sin 033232232222ABC D ABC V SD O ααααααπα-⎛⎫⎛⎫=⨯===-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭设sin2t α=，那么()'383D ABCVt t -=-，且01t ＜＜， ∴()'28133D ABCVt '-=-，∴当03t<<时，'0D ABC V -'>，当13t <<时，'0D ABC V -'<，∴当3t =时，'ABC D V ﹣，∴四面体'D ABC ．应选A ．【点睛】此题考察了空间四面体体积最大值问题，正确求出体积的表达式，利用同角的三角函数关系、二倍角的正弦公式、换元法、导数法是解题的关键. 8.己知函数()()()|g 1l |01x f x x a a =--<<有两个零点1x ，2x ，那么有〔〕A.121x x <B.1212x x x x <+C.1212x x x x =+D.1212x x x x >+【答案】B 【解析】 【分析】 将函数()()()|g 1l |01x f x x a a =--<<有两个零点1x ，2x ,转化为:函数()x h x a =，那么()()lg 1g x x =-与()x h x a =的图象有两个交点,作出图象,根据图像可得:1212x x <<<,由此去绝对值,利用12x x a a >可得.【详解】解：因为函数()f x 有两个零点，故方程()()lg 101x x a a -=<<有两个解1x ，()212x x x <.设函数()()lg 1g x x =-，函数()x h x a =，那么()()lg 1g x x =-与()x h x a =的图象有两个交点， 如下列图: 由图象知，1212x x <<<，所以1011x <-<,211x ->,所以()11lg1x x a --=，()22lg 1xx a -=，因为01a <<且12x x <，所以12x x a a >，得()()12lg 1lg 1x x -->-，()()12lg[11]0x x --<，即()()120111x x <--<，整理得，1212x x x x <+.应选B.【点睛】此题考察了函数的零点,数形结合思想,指数函数的单调性与对数的运算,属于中档题.二、多项选择题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分． 9.25ab m ==〕 A.假设a b =，那么1m = B.假设10m =，那么111a b += C.假设ab =，那么10m =D.假设10m =，那么111+2a b =【答案】AB 【解析】 【分析】当ab =时，由2()15a =可得0a =，进而得1m =，当10m =时，利用指对互化及换底公式可得111a b+=. 【详解】当ab =时，由25abm ==，可得2()15a=，那么0a =，此时1m =，所以A 正确； 当10m =时，由25a b m ==，可得25log 10,log 10a b ==，那么11lg 2lg51a b+=+=，所以B 正确. 应选：AB.【点睛】此题主要考察了指数与对数的运算性质，属于根底题.10.假设方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C 〕A.假设C 为椭圆,那么13t <<B.假设C 为双曲线,那么3t >或者1t <C.曲线C 可能是圆D.假设C 为椭圆，且长轴在y 轴上，那么12t <<【答案】AD 【解析】 【分析】就t 的不同取值范围分类讨论可得曲线C 表示的可能的类型.【详解】假设3t >，那么方程可变形为22113y x t t -=--，它表示焦点在y 轴上的双曲线；假设1t <，那么方程可变形为22131x y t t-=--，它表示焦点在x 轴上的双曲线；假设23t <<，那么031t t <-<-，故方程22131x y t t +=--表示焦点在y 轴上的椭圆；假设12t <<，那么013t t <-<-，故方程22131x y t t +=--表示焦点在x 轴上的椭圆；假设2t =，方程22131x y t t +=--即为221x y +=，它表示圆，综上，选AD.【点睛】一般地，方程221mxny +=为双曲线方程等价于0mn <，假设0,0m n ><，那么焦点在x轴上，假设0,0m n <>，那么焦点在y 轴上；方程221mx ny +=为椭圆方程等价于0,0m n >>且m n ≠，假设m n >，焦点在y 轴上，假设m n <，那么焦点在x 轴上；假设0m n =>，那么方程为圆的方程.11.如下列图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AB ，CC 1的中点，△MB 1P 的顶点P 在棱CC 1与棱C 1D 1上运动，那么〔〕 A.平面MB 1P ⊥ND 1 B.平面MB 1P ⊥平面ND 1A 1C.△MB 1P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值D.△MB 1P 在侧面DD 1C 1C 上的射影图形是三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】A.由,P N 重合时判断；B.结合由正方体的性质，利用线面垂直的断定定理和面面垂直的断定定理判断C.由△MB 1P 在底面ABCD 上的射影的三角形的底边是MB ，点P 的射影到MB 的间隔不变判断；D.由1,P C 重合时判断.【详解】A.当,P N 重合时，平面MB 1P ⊥ND 1不可能，故错误； B.由正方体的性质得111111111,,MB A D MB D N A D D N D ⊥⊥⋂=,所以MB 1⊥平面ND 1A 1，又1MB ⊂平面MB 1P ，所以平面MB 1P ⊥平面ND 1A 1，故正确；C.△MB 1P 在底面ABCD 上的射影的三角形的底边是MB ，点P 在底面ABCD 上的射影在DC 上，所以点P 当MB 的间隔不变，即射影图形的面积为定值，故正确；D.当1,P C 重合时，1,P B 在侧面DD 1C 1C 上的射影重合，所以射影不能构成三角形，故错误； 应选：BC【点睛】此题主要考察直线与平面，平面与平面的位置关系以及投影的概念，还考察了逻辑推理的才能，属于中档题. 12.函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈R ，都有()()f x f x =-及()()()42f x f x f +=+成立，当[]12,0,2x x ∈且12x x ≠时，都有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦成立，以下四个结论中正确的选项是〔〕 A.()20f =B.函数()f x 在区间[]6,4--上为增函数C.直线4x =-是函数()f x 的一条对称轴D.方程()0f x =在区间[]6,6-上有4个不同的实根 【答案】ACD 【解析】 【分析】 由()()f x f x =-，得到函数()f x 为偶函数，又由当[]12,0,2x x ∈且12x x ≠时，都有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦成立，得到()f x 在[0,2]为增函数，再根据()()()42f x f x f +=+，得出函数为周期为4的函数，逐项断定，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为R ，以为对于任意x ∈R ，都有()()f x f x =-，可得函数()f x 为偶函数，又因为当[]12,0,2x x ∈且12x x ≠时，都有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦成立，可得函数()f x 在区间[0,2]为增函数，又由()()()42f x f x f +=+，令2x =-，可得()()()222f f f =-+，解得()()220f f -==，所以()()4f x f x +=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数，那么函数的图形，如下列图， 由图象可得()20f =，所以A 正确；函数()f x 在区间[6,4]--上为减函数，所以B 不正确；直线4x =-是函数()f x 的一条对称轴，所以C 正确；方程()0f x =在区间[6,6]-上6,2,2,6--，一共有4个不同的实数根，所以D 正确.应选：ACD.【点睛】此题主要考察了函数的根本性质的综合应用，此类问题解答的一般步骤为：先确定函数的定义域，再化简解析式，求出函数的解析式的最简形式，并分析解析式与哪个根本函数相似，根据函数的定义域和解析式画出函数的图象，结合函数的图象再分析函数的性质进展求解. 三、填空题:本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.13.语文里流行一种特别的句子，正和反读起来都一样的，比方：“自来水来自海上〞、“自鸣钟鸣自山中〞，那么在所有的4位数中符合这个规律且四个数字不能都一样的四位数有______种． 【答案】81 【解析】 【分析】根据题意可知求4位数的回文数且四个数字不能都一样，由分步计数原理即可求解． 【详解】设4位数的回文数为xyyx ，即可知4位数的回文数为91090⨯=， 又因为四个数字不能都一样，需减掉x y =，即形如xxxx 一共9，所以90981-= 故答案为81【点睛】此题考察分步计数原理，同时需理解“回文数〞，属于根底题．14.双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为_____，设双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点(4,1),且与双曲线C 具有一样渐近线,那么双曲线1C 的HY 方程为_______．【答案】(1).12y x =±(2).221123y x -=【解析】 【分析】(1)由焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程可得；(2)设224xy λ-=,代入点(4,1)求得λ即可.【详解】(1)双曲线:C 2214x y -=的焦点在y 轴上,且1,2a b ==,渐近线方程为a y x b =±,故渐近线方程为12y x =±故答案为12y x =±(2)由双曲线1C 与双曲线C 具有一样渐近线,可设221:4y C x λ-=,代入(4,1)有224134λλ-=⇒=-,故212:34x C y -=-,化简得221123y x -=故答案为221123y x -=【点睛】此题主要考察双曲线22221y x a b -=渐近线的方程为a y x b =±, 与22221y x a b-=一共渐近线方程可设为2222y x a b λ-=15.sin 3αα+=，那么cos 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭__________. 【答案】59-【解析】 【分析】先逆用两角和的正弦得到sin 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，令3παθ=-，那么cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值即为cos2θ-的值，利用二倍角的余弦值可求此值.sin 3αα+=可以得到12sin 2αα⎫+=⎪⎪⎝⎭所以sin 3πα⎛⎫+=⎪⎝⎭3πθα=+，那么3παθ=- 那么222333πππαθπθ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，所以()245cos 2cos 2cos 22sin 11399παπθθθ⎛⎫-=-=-=-=-=-⎪⎝⎭.故答案为59-. 【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、构造的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而构造上差异的处理那么是公式的逆用等，最后角的差异的处理那么往往是用的角去表示未知的角. 16.在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒且14BB =，设其外接球的球心为O ，三棱锥O -ABC的体积为2，那么球O 的外表积的最小值是_____________． 【答案】28π 【解析】 【分析】设AB c =，=AC b ，那么BC BC ，11B C 的中点分别为2O ，1O ，外接球的球心为O ，那么O 为12O O 的中点即O 为三棱柱外接球的球心，由三棱锥的体积可得6bc =，表示出2R ，根据根本不等式即可得到球的外表积的最小值． 【详解】如图，在Rt ABC △中，设AB c =，=AC b ，那么BC =取BC ，11B C 的中点分别为2O ，1O ，那么2O ，1O 分别为Rt ABC △和111Rt A B C △的外接圆的圆心，连接2O 1O ，又直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心为O ，那么O 为2O 1O 的中点，连接OB ，那么OB 为三棱柱外接球的半径． 设半径为R ，因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1214BB O O ==，所以三棱锥O ABC -的高为2，即22OO =，又三棱锥O ABC -体积为2，所以1122632O ABC V bc bc -=⨯⨯=⇒=． 在2Rt OO B △中，22222221()4424b c R BC OO +⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2=4πS R =球表22224π4π()16π2π16π12π16π28π4b c b c bc ⎛⎫++=+++=+=⎪⎝⎭≥，当且仅当b c =时取“=〞，所以球O 的外表积的最小值是28π，故答案为28π.【点睛】此题主要考察借助直三棱柱的外接球，考察了根本不等式、球的外表积等，属于中档题． 三、解答题:此题一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤. 17.数列{}n a 的前n 项和为n S ,23n n S a n =-〔n ∈N *〕．〔1〕证明数列{3}na +是等比数列，求出数列{}n a 的通项公式；〔2〕数列{}n a 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？假设存在，求出一组符合条件的项；假设不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析，3(21)n n a =-；(2)不存在【解析】 【分析】(1)由11,1,2nnn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求出1a 、2a 以及1323n n a a -+=+，即可证明数列{3}n a +是等比数列，进而写出{}n a 的通项公式；(2)假设数列{}n a 中存在三项构成等差数列：1m n k>>≥，m a 、n a 、k a ，由等差中项性质2n m k a a a =+，结合(1)的通项公式有1221n k m k -+-=+即出现矛盾，即不存在【详解】(1)当1n =时，11123a S a ==-，即13a =当2n ≥时，11223n n n n n a S S a a --=-=--，即1323n n a a -+=+所以数列{3}na +是首项为6，公比为2的等比数列∴数列{}n a 的通项公式为3(21)n n a =-(2)假设存在，令1m n k >>≥，m a 、n a 、k a 三项成等差数列∴2nm k a a a =+，即1222n m k +=+，1221n k m k -+-=+∵*,,m n k N ∈，即11n k -+>，0m k ->且1n k -+、*m k N -∈∴12n k -+是偶数，而21m k-+是奇数，故1221n k m k -+-=+不成立故数列{}n a 中不存在三项构成等差数列【点睛】此题考察了利用n S 与n a 的关系式求数列通项公式，注意1nn n a S S -=-时2n ≥，求通项公式时需要验证1n =是否也符合公式；应用等差中项的性质证法证明数列{}n a 中三项构成等差数列的存在性. 18.点()2,0A，()0,2B -，()2,0F -，设AOC α∠=，[)0,2απ∈，其中O 为坐标原点.〔1〕设点C 在x 轴上方，到线段AF3AFC π∠=，求α和线段AC 的大小；〔2〕设点D 为线段OA 的中点，假设2OC =，且点C 在第二象限内,求)cos y OB BC OA α=⋅+⋅的取值范围.【答案】〔1〕23πα=，AC =〔2〕(]0,6. 【解析】 【分析】 〔1〕过点C 作AF 的垂线，垂足为点E，可得出CE 2CF =，可得出OCF ∆为等边三角形，可求出α的值，然后在ACF ∆中利用余弦定理求出AC ；〔2〕由题中条件求出DC 、OB 、OA 的坐标，化简)cos y OB BC OA α=⋅+⋅的解析式为4cos 223y πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据α的取值范围，结合余弦函数的定义域与根本性质可求出y 的取值范围.【详解】〔1〕过C 作AF 的垂线，垂足为E ，那么CE =在直角三角形FCE 中，2sin CEFC CFE==∠，又2OF=，3OFC π∠=，所以OFC ∆为正三角形.所以3FOCπ∠=，从而23FOC παπ=-∠=. 在AFC ∆中，AC ==； 〔2〕()2,0A ，点D 为线段OA 的中点，()1,0D ∴，2OC =且点C 在第二象限内，()2cos ,2sin C αα∴，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而()2cos 1,2sin DC αα=-，()2cos ,2sin 2BC αα=+，()2,0OA =，()0,2OB =-，那么)2cos cos 4cos y OB BC OA αααα=⋅+⋅=-+()221cos 24cos 223πααα⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭，因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以472,333πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，从而1cos 2123πα⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭， 04cos 2263πα⎛⎫∴<++≤ ⎪⎝⎭，因此，)3cos y DC OB BC OA α=⋅+⋅的取值范围为(]0,6.【点睛】此题考察平面向量的坐标运算与三角恒等变换的综合问题，同时也考察了三角函数的值域问题，在解题时应充分利用三角恒等变换思想将三角函数式化简，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.19.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PAC 为等边三角形，AB AC ⊥，D是BC 的中点.〔1〕证明：AC PD ⊥； 〔2〕假设AB AC =，求二面角D PA B --平面角的余弦值.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕7. 【解析】 【分析】 〔1〕取AC 的中点E ，连接,PE DE ，可得AC PE ⊥，AC DE ⊥，即AC ⊥面PDE ，即可得证；〔2〕以E 为坐标原点，,,EC ED EP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，显然二面角D PA B --是锐二面角，利用二面角的向量公式即可求出. 【详解】〔1〕如图， 取AC 的中点E ，连接,PE DE ，PAC为等边三角形，∴PE AC ⊥，D是BC 的中点， ∴//DE AB ，AB AC ⊥，∴DE AC ⊥，PEDE E =，,PE DE ⊂面PDE ，∴AC ⊥面PDE ，PD ⊂面PDE ，∴AC PD ⊥.〔2〕如图，以E 为坐标原点，,,EC ED EP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 设2AC =，AB AC =，∴(1,0,0)A -，P ，(1,2,0)B -，(0,1,0)D ， ∴(1,1,0)AD =，(0,2,0)AB =，AP =，设面ADP 的法向量为：111(,,)n x y z =，那么由·0·0n AD n AP ⎧=⎨=⎩得：111100x y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩∴(n =-，设面ABP 的法向量为：222(,,)m x y z =，那么由·0·0m AB m AP ⎧=⎨=⎩得：222200y x =⎧⎪⎨=⎪⎩∴(m =-，∴12cos 21n m n mθ===⋅，∴二面角D PA B --.【点睛】〔1〕证明异面直线垂直，可以构造一个平面，先证明线面垂直，再得线线垂直；〔2〕求二面角的平面角一般利用空间向量求解，建系之前假设没有三条线两两垂直关系，要先经过证明再建系，关键是点的坐标要找对，一般中点和等分点可以利用向量求解点的坐标. 20.如图是我国2021年至2021年生活垃圾无害化处理量〔单位：亿吨〕的折线图： 〔1〕由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明; 〔2〕建立y 关于t 的回归方程〔系数准确到〕，预测2021年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：参考数据：719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑0.55= 2.646≈参考公式：相关系数()()niit t y y r --=∑y a bt =+中斜率和截距最小二乘估计公式分别为()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑，a y bt =-【答案】(1)0.9929r=，y 与t 有高度线性正相关关系；(2)ˆ0.920.10yt =+，2021年我国生活垃圾无害化处理量约为亿吨 【解析】 【分析】应用相关系数公式求其值，由0.9929r=说明y 与t 有高度线性正相关性；利用最小二乘法公式求回归方程的参数，写出回归方程，进而预测2021年我国生活垃圾无害化处理量【详解】(1)由相关系数公式知：()()7iit t y y r --=∑()()7771111771()7i iii iiii iiii i i i t t y y t y ty t y t y t y t y y tt y =====--=---+=-+∑∑∑∑∑，而4t =，9.321.337y =≈ ∴()()712.89iii t t y y =--=∑==2.9106=综上，有0.9929r =∴y 与t 有高度线性正相关关系(2)由()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑，知： 2.8928b =而a y bt =-，知：9.32 2.894728a⨯=- ∴系数准确到有：0.10b =，0.92a =那么回归方程为ˆ0.920.10yt =+ ∴2021年我国生活垃圾无害化处理量，即13t=时，ˆ 2.22y=(亿吨) 【点睛】此题考察了相关系数的计算，利用最小二乘法求回归方程参数并写出回归方程并计算预测值，属于简单题21.椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F 、2F ，12F F =Q 方程(()2211x y -+-=，且圆心Q 在椭圆上．〔1〕求椭圆1C 的方程； 〔2〕直线1:1l y =+交椭圆1C 于A 、B 两点，过直线1l 上一动点P 作与1l 垂直的直线2l 交圆Q 于C 、D 两点，M 为弦CD中点，MAB ∆的面积是否为定值？假设为定值，求出此定值；假设不为定值，说明你的理由．【答案】〔1〕22142x y +=〔2 【解析】 【分析】〔1〕由椭圆的定义求得2a=，再根据焦点坐标得c =222b a c =-得到b 的值，从而得到椭圆的方程； 〔2〕设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线1l 的方程代入椭圆方程，利用弦长公式求得AB ；由题设条件得//MQ AB ，从而有MAB QAB S S ∆∆=，所以MAB ∆的面积为定值，利用面积公式可得答案.【详解】解：〔1〕由题意可知：()1F，)2F，)Q ，∴12242a QF QF a =+=⇒=，2222b a c ∴=-=，∴椭圆1C 的方程为22142x y +=.〔2〕设()11,A x y ，()22,B x y，由22124y x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 消去y，得2520x --=，∴12AB x =-=, ∵M 为线段CD 中点，∴MQ CD ⊥，又∵12l l ⊥，//MQ AB ，∴MAB QAB S S ∆∆=，又点Q 到1l的间隔d==，∴125MABSAB d ∆=⋅=. 【点睛】此题考察利用待定系数法求椭圆的方程、直线与椭圆位置关系中的定值问题，考察坐标法思想、数形结合思想的应用，考察运算求解才能，求解过程中注意平面几何知识的应用，即两平行线间的间隔处处相等. 22.函数1ln(1)()(0)x f x x x++=> (1)判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性(2)假设()1k f x x >+恒成立，求整数k 的最大值 (3)求证：23(112)(123)[1(1)]n n n e -+⨯+⨯++> 【答案】〔1〕函数()f x 在(0,)+∞上为减函数〔2〕整数k 的最大值为3〔3〕见解析【解析】【分析】〔1〕由导数的应用，结合'()0f x <，得函数()f x 在(0,)+∞上为减函数；1(1)ln(1)x x x k x ++++<恒成立，即min 1(1)ln(1)()x x x k x++++<，再构造函数1(1)ln(1)()x x x h x x++++=，利用导数求其最小值即可； 〔3〕由〔2〕知，213ln(1)211x x x x -+>=-++，(0)x >，令(1)x n n =+，再求和即可证明不等式，得解.【详解】解：〔1〕因为1ln(1)()(0)x f x x x++=>， 所以'21ln(1)1()x x f x x --++=，(0)x >， 又因为0x >，所以101x >+，ln(1)0x +>， 所以'()0f x <，即函数()f x 在(0,)+∞上为减函数；〔2〕由()1k f x x >+恒成立， 即1(1)ln(1)x x x k x++++<恒成立， 即min 1(1)ln(1)()x x x k x++++<， 设1(1)ln(1)()x x x h x x++++=， 所以'21ln(1)()x x h x x --+=，(0)x >， 令()1ln(1)g x x x =--+，那么'1()1011x g x x x =-=>++， 即()g x 在()0,∞+为增函数， 又(2)1ln30g =-<，(3)22ln20g =->，即存在唯一的实数根a ，满足()0g a =，且()2,3a ∈，1ln(1)0a a --+=， 当x a >时，()0>g x ，'()0h x >，当0x a <<时，()0<g x ，'()0h x <，即函数()h x 在()0,a 为减函数，在(),a +∞为增函数， 那么()min 1(1)ln(1)()()13,4a a a h x h a a a ++++===+∈， 故整数k 的最大值为3；〔3〕由〔2〕知，213ln(1)211x x x x -+>=-++，(0)x >， 令(1)x n n =+， 那么3311ln[1(1))]2223()(1)1(1)1n n n n n n n n ++>->-=--++++， 那么ln(112)ln(123)...ln[1(1)]n n +⨯++⨯++++>1111123(1)2()...23()2231n n --+--++--+=123(1)231n n n -->-+， 故23(112)(123)[1(1)]n n n e -+⨯+⨯++>【点睛】此题考察了利用导数判断函数的单调性、构造函数求解不等式恒成立问题及利用证明的结论证明不等式，属综合性较强的题型.。
教育最新K12高三数学12月检测试卷(含解析)
四川省营山县回龙中学2016届高三12月检测数学试题一、单选题1．设集合,则=A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查集合的运算,意在考查考生的运算求解能力.则.故本题正确答案为A.2．函数的图象在处的切线在轴上的截距为A.10B.5C.D.【答案】D【解析】本题考查导数的几何意义、直线方程的求法、直线在x轴的截距的定义,意在考查考生的运算求解能力.由得,则直线的切线方程为,令得.则切线在轴上的截距为.故本题正确答案为D.3．在正项等比数列中,存在两项,使得,且,则的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查等比数列的通项公式,等比数列性质、基本不等式的应用,意在考查考生的运算求解能力.设数列公比为,由,则,即,解得或(舍),则,由,则,得则,由==≥=.故本题正确答案为B.4．已知，，则使成立的一个充分不必要条件是A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查不等式的解法，充分条件与必要条件，意在考查考生的分析理解能力.依题意，使成立，则，得，故使成立的一个充分不必要条件是.故本题正确答案为A.5．若定义在实数集上的偶函数满足,,对任意恒成立,则A.4B.3C.2D.1【答案】D【解析】本题考查函数的周期性、函数的奇偶性、函数值的计算,由,得函数为周期为4的周期函数，则，又由，令得，由，得,故1.故本题正确答案为D.6．已知向量满足，，则在方向上的投影为A.1B.C.－1D.【答案】A【解析】本题考查平面向量数量积、向量的投影，意在考查考生的运算求解能力.由，，则在方向上的投影为.故本题正确答案为A.7．已知函数的最小正周期为,下列四个判断:(1)当时,的最小值为;(2)函数的图象关于直线对称;(3)函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到;(4)函数在区间上是减函数.以上正确判断的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】本题考查三角函数性质，意在考查考生的分析理解能力.函数的最小正周期为,则，则，当，得，则，得最小值为，故(1)正确；由得函数的对称轴为，令得，故(2)正确；由的图象向右平移个单位长度得到，故(3)错误；当时，，则为减函数，故(4)正确；故正确的有3个.故本题正确答案为C.8．设与是定义在同一区间上的两个函数,若对任意的,都有,则称和在上是“密切函数”,称为“密切区间”,设与在上是“密切函数”,则它的“密切区间”可以是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查新定义的概念、一元二次不等式的解法、绝对值不等式.因为和在上是“密切函数”,所以,即,即,化简得,不等式恒成立；不等式的解集为,所以它的“密切区间”是,故选C.9．函数(其中)的图象如图所示,为了得到的图像,则只要将的图像A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度【答案】A【解析】本题主要考查正弦型函数解析式的求法、正弦型函数图像的平移.根据函数图像可得, ,当时, ,所以要得到的图像,则只需将的图像向右平移个长度单位.故选A.10．已知曲线与直线相交,若在轴右侧的交点自左向右依次记为P1, P2, P3,…,则||等于A.πB.2πC.3πD.4π【答案】B【解析】本题主要考查三角函数的恒等变换,直线与曲线的相交的性质,此题的关键是求交点坐标.曲线==；由,解得或,或故的横坐标分别为故, 故选B.11．已知函数,则满足不等式的的取值范围为A. B.(-3,1) C.[-3,0) D.(-3,0)【答案】D【解析】本题主要考查分段函数求函数值,主要体现分类讨论的思想.当时,应该满足此时不等式无解；当时,应该满足得；当时,应该满足得.综上可得,的取值范围为(-3,0),故选D.12．已知函数，则下列结论正确的是A.f(x)在(-1,0)上恰有一个零点B.f(x)在(0,1)上恰有一个零点C.(x)在(-1,0)上恰有两个零点D.f(x)在(0,1)上恰有两个零点【答案】A【解析】本题考查函数与方程.，，即，所以f(x)在(-1,0)上存在零点；而,即函数单增；所以f(x)在(-1,0)上恰有一个零点.选A.二、填空题13．如图,已知是圆的切线,是切点,直线交圆于两点,是的中点,连接并延长交圆于点,若,则．【答案】【解析】本题主要考查圆中的相关定理.由得半径为2,作OF则F为AE的中点,在中,OA=2,OD=1,由余弦定理得AD=,则OF=所以【备注】熟练掌握圆的相关定理和性质.14．已知函数对, ,使成立,则实数的取值范围是______________．【答案】【解析】本题主要考查函数与方程.当x,当a=0时,满足已知；当a>0时若满足题意则有解得0<a当a<0时,若满足题意则有解得-1a.综上,a【备注】分情况讨论要做到不重不漏.15．设,函数,则的值等于．【答案】8【解析】本题考查诱导公式求三角函数值、分段函数求值，意在考查考生的运算求解能力.，得故填8.16．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a的取值范围是________.【答案】【解析】本题考查利用导数求函数的单调性，意在考查考生的分析理解能力.依题意，对[1，＋∞)恒成立，即对[1，＋∞)，故，又，故.故本题正确答案为.三、解答题17．已知函数f(x)＝2sin x co＋2x＋2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调递增区间.【答案】∵f(x)＝2sin x co＋2x＋2x＝2sin ＋2x＋2x＝sin x cos x－2x＋2x＋2x＝sin 2x＋2x＝2si，(1)f(x)的最小正周期为T＝＝π，(2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，∴x∈(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．【解析】本题考查两角和与差的三角公式、二倍角公式、三角函数的单调性，意在考查考生的运算求解能力. (1)先利用公式化简f(x)，从而求得函数的周期. (2)利用整体思想求得函数的单调增区间.18．在数列{a n}中，已知a=-20，a=a＋4(n∈)．(1)求数列{a n}的通项公式和前n项和A n；(2)若(n∈)，求数列{b n}的前n项S n．【答案】(1)∵数列{a n}满足a=a＋4(n∈)，∴数列{a n}是以公差为4，以a=-20为首项的等差数列．故数列{a n}的通项公式为a= (n∈)，数列{a n}的前n项和A= (n∈)；(2)∵(n∈)，∴．【解析】本题考查数列的通项与求和. (1)由等差数列的定义可得数列{a n}是等差数列，a=，A= (n∈)；(2)裂项相消可得．【备注】等差数列中，；掌握裂项相消法.19．如图,在四棱锥中,⊥底面∥,．(Ⅰ)求证：⊥平面；(Ⅱ)求与平面所成角的正切值；(Ⅲ)设点在线段上,若,求证：∥平面．【答案】(Ⅰ)∵∥,∴⊥．又⊥底面平面,∴⊥．又∩,∴⊥平面．(Ⅱ)由(Ⅰ)知⊥平面,∴是与平面所成的角．∵⊥,∴,又∵,∴．∴与平面所成角的正切值为．(Ⅲ)在上取一点,使得,连接,∵,∴∥且.又由已知得∥且,∴；又∥,∴是平行四边形,∴∥．又⊂平面平面,∴∥平面．【解析】本题主要考查线面垂直的判定,求线面所成的角及线面平行的判定.(Ⅰ)欲证线面垂直需证线线垂直；(Ⅱ)根据线面所成角的定义作出角,利用三角函数的定义找到正切值；(Ⅲ)欲证线面平行需证线线平行,利用等比例线段证得平行四边形,得到所需平行线.【备注】读懂几何体的直观图是关键.20．现有4个学生去参加某高校的面试,面试要求用汉语或英语中的一种回答问题,每个学生被要求用英语回答问题的概率均为．(Ⅰ)求这4个学生中恰有2人用英语回答问题的概率；(Ⅱ)若分别表示用汉语,英语回答问题的人数,记,求随机变量的概率分布和数学期望．【答案】(Ⅰ)设“4个学生中恰有2人用英语回答问题”为事件,则．(Ⅱ)随机变量X的所有取值为0,2,4．,,,∴随机变量X的分布列为：∴．【解析】本题主要考查互斥事件的概率及随机变量的分布列和期望. (Ⅰ)根据已知可直接求出概率；(Ⅱ)根据已知分析随机变量的取值,再求出取每一个值时的概率,进而列出分布列求出期望.【备注】随机变量的取值不能有遗漏.21．设分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,且点和关于点对称.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过右焦点的直线与椭圆相交于两点,过点且平行于的直线与椭圆交于另一点,问是否存在直线,使得四边形的对角线互相平分？若存在,求出的方程；若不存在,说明理由.【答案】(Ⅰ)解：由点和(-c,0)关于点对称,得所以椭圆E的焦点为,由椭圆定义,得.所以.故椭圆E的方程为.(II)解：假设存在直线,使得四边形的对角线互相平分.由题可知直线,直线PQ的斜率存在,设直线的方程为,直线PQ的方程为.由得,由题意可知,设,则,由得,由,可知,设,又,则,所以四边形的对角线互相平分即与的中点重合,所以,即,两边平方得.所以.解得.所以直线为时,四边形的对角线互相平分.【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质及直线与椭圆的位置关系. (Ⅰ)利用中点坐标公式求出c的值,利用椭圆的定义求出a的值,利用; (II)设出直线l和直线PQ的方程分别于椭圆方程联立消元得到韦达定理,然后利用中点坐标公式求出k的值.【备注】利用四边形为平行四边形,则有,也可解决问题22．已知函数(其中为常数)．(1)当时,求函数的单调区间；(2)当时,设函数的3个极值点为,且．证明：．【答案】(1)当m=0时,令即;令即解得且．所以函数的单调减区间为;增区间为．(2)由已知得令,则∴函数在上单调递减,在上单调递增∵有3个极值点,∴有两个极值点.即有两个不相等的根.从而,所以,当时,,∴函数的递增区间有和,递减区间有,此时,函数的3个极值点中；∴当时,是函数的两个零点,即有,消去有,令有零点,且,∴函数在上递减,在上递增,要证明,即证,构造函数=0,只需要证明单调递减即可．而在上单调递增,.【解析】本题主要考查导数的综合应用. (1)代入m=0,对f(x)进行求导,分别解不等式与,得到单调区间；(2)构造函数h(x),确定h(x)的极点,再构造函数g(x)与F(x),对其进行求导证明不等式.【备注】合理构造新函数是解决导数问题常用的方法.。
高中数学基础训练测试及参考答案1-10
高中数学基础训练测试题（1）集合的概念，集合间的基本关系一、填空题（共12题，每题5分）1、集合中元素的特征： ， ， .2、集合的表示法： ， ， .3、已知集合A ={1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是 .4、设集合I={1，2，3}，A ⊆I,若把集合M ∪A=I 的集合M 叫做集合A 的配集. 则A={1，2}的配集有 个 .5、设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是 . （1）．P Q （2）．Q P （3）．P =Q （4）．P ∩Q =Q6、满足条件∅≠⊂M ≠⊂{0，1，2}的集合共有 个.7、 若集合a B A a a a B a a A 则且},1{},43|,2|,12{},1,1,{22-=+--=-+= = .8、 满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有_____个.9、集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且AB B =，则实数a ＝______、10、已知集合{}{}A x x x RB x x a a R =≤∈=-≤∈||||||43，，，，若A B ⊇，则a 的取值范围是_______ .11、 若2{|30}A x x x a =++=，求集合A 中所有元素之和 .12、任意两正整数m 、n 之间定义某种运算⊕，m ⊕n=⎝⎛+异奇偶）与同奇偶）与n m mn n m n m ((,则集合M={(a,b)|a ⊕b=36,a 、b ∈N +}中元素的个数是___________.高三数学基础训练测试题（1）答题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、 5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、、已知集合A =}2432{2++a a ，，，B=}24270{2-+-a a a ，，，，A ∩B={3，7}，求B A a ⋃的值及集合.高中数学基础训练测试题（2）集合的基本运算一、填空题（共12题，每题5分）1、已知集合{}12S x x =∈+R ≥，{}21012T =--，，，，，则S T =.2、 如果{}|9U x x =是小于的正整数{}1234A =，，，，{}3456B =，，，， 那么U UA B =痧 .3、若22{228}{log 1}xA xB x x -=∈<=∈>Z R ≤，，则()AB R ð的元素个数为.4、已知集合{}11M =-，，11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N = .5、已知集合M ＝｛x |x ＜3}，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝ .6、设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C AB 等于.7、已知集合M =｛直线的倾斜角｝，集合N ={两条异面直线所成的角}，集合P=｛直线与平面所成的角｝，则(M ∩N)∪P= .8、设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___、9、设集合{|M x y =，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则MN =___10、设集合{}{}22|21,|25M y y x x N x y x x ==++==-+，则N M ⋂等于.11、设集合}0|{≥+=m x x M ，}082|{2<--=x x x N ，若U ＝R ，且∅=N M U，则实数m 的取值范围是 .12、设a 是实数, {}22|,210,M x x R x ax a =∈-+-≤{}22|,11,N x x R a x a =∈-≤≤+若M 是N 的真子集,则a 的取值范围是 、高三数学基础训练测试题（2）答题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、求实数m的范围，使关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0（1）有两个实根；（2）有两个实根，且一个比0大，一个比0小；（3）有两个实根，且都比1大；高中数学基础训练测试题（3）命题及其关系一、填空题（共12题，每题5分）1、设集合""""},3{},2{P M x P x M x x x P x x M ∈∈∈<=>=是或那么的.2、 πα≠“”3是α≠1“cos ”2的 .3、“a =1”是“函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的.4、已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题： .①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④p ⌝是s ⌝的必要条件而不是充分条件； ⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件． 则正确命题的序号是 5、设p ：25x x >≤-或；q ：502x x+<-,则非q 是p 的 .6、设集合U={(x,y)｜x ∈R,y ∈R},A ={(x,y)｜x+y ＞m},B= {(x,y)｜22x y n +≤},那么点(1,2)∈()U C A B ⋂的充要条件是 .7、下列四个命题：①在空间，存在无数个点到三角形各边的距离相等； ②在空间，存在无数个点到长方形各边的距离相等； ③在空间，既存在到长方体各顶点距离相等的点，又存在到它的各个面距离相等的点； ④在空间，既存在到四面体各顶点距离相等的点，又存在到它的各个面距离相等的点、 其中真命题的序号是 、（写出所有真命题的序号） 8、设命题p ：|43|1x -≤；命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x .若┐p 是┐q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 .9、对于[0,1]x ∈的一切值，20a b +>是使0ax b +>恒成立的.10、设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0和a 2x 2+b 2x+c 2>0的解集分别为集合M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的_______条件. 11、 、设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个.12、给出下列命题：①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件；③已知R y x ∈,，“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ”；④“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 .其中正确命题的序号是_____ .高三数学基础训练测试题（3）答题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、 5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、已知集合()3,12y A x y x ⎧-⎫==⎨⎬-⎩⎭，()(){},115B x y a x y =++=，试问当a 取何实数时，A B =∅．高中数学基础训练测试题（4）逻辑联接词一、填空题（共12题，每题5分） 1、下列语句①“一个自然数不是合数是就是质数”②“求证若x ∈R ，方程x 2＋x ＋1＝0无实根” ③“垂直于同一直线的两条直线平行吗？” ④“难道等边三角形各角不都相等吗？” ⑤“x ＋y 是有理数，则x 、y 也都是有理数” 其中有________个是命题，________个真命题2、命题“方程x 2－1＝0的解是x=±1”中使用逻辑联结词的情况是________.3、下列四个命题p ：有两个内角互补的四边形是梯形或是圆内接四边形或是平行四边形q ：π不是有理数；r ：等边三角形是中心对称图形；s ：12是3与4的公倍数 其中简单命题只有________.4、如果命题“p 或q ”是真命题，那么下列叙述正确的为________.（1）．命题p 与命题q 都是真命题 （2）．命题p 与命题q 的真值是相同的，即同真同假 （3）．命题p 与命题q 中只有一个是真命题 （4）．命题p 与命题q 中至少有一个是真命题5、下列说法正确的有________个．①a ≥0是指a ＞0且a ＝0；②x 2≠1是指x ≠1且x ≠－1 ③x 2≤0是指x=0；④x ·y ≠0是指x ，y 不都是0⑤＞是指＝或＜a b a b a b / 6、复合命题s 具有p 或q 的形式，已知p 且r 是真命题，那么s 是________. 7、命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是8、分别用“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”填空：(1)命题“非空集A ∩B 中的元素既是A 中的元素，也是B 中的元素”是________的形式．(2)命题“非空集A ∪B 中的元素是A 中的元素或B 中的元素”是________的形式． (3)命题“C I A 中的元素是I 中的元素但不是A 中的元素”是________的形式．(4)x y =1x y =1x =1y =0x =0y =1221122命题“方程组＋＋的整数解是，”是⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩_______的形式． 9、P: 菱形的对角线互相垂直，q ：菱形的对角线互相平分，p 或q 形式的复合命题是________10、有四个命题：(1)空集是任何集合的真子集；(2)若x∈R，则|x|≥x(3)单元素集不是空集；(4)自然数集就是正整数集其中真命题是________(填命题的序号)11、指出命题的结构及构成它的简单命题：24 4x x +-有意义时，2x≠±12、已知命题p、q，写出“p或q”、“p且q”、“非p”并判断真假．(1)p：2是偶数q：2是质数________；(2)p：0的倒数还是0 q：0的相反数还是0________高三数学基础训练测试题（4）题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断此复合命题的真假．(1)A A B/⊆∪(2)方程x2＋2x＋3=0没有实根(3)3≥3高中数学基础训练测试题（5）综合运用一、填空题（共12题，每题5分）1、 设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P ★Q={（},|),Q b P a b a ∈∈则P ★Q 中元素的个数为 .2、设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，A B =∅，b的取值范围是 .3、设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，若()x y A B ∈，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是 .4、1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有_______个5、定义符号函数⎪⎩⎪⎨⎧-=101sgn x 000<=>x x x ，则不等式：x x x sgn )12(2->+的解集是 .6、满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是 .7、若不等式的值等于则实数的解集为a x a x x ],5,4[4|8|2-≤+-8、设集合}0|{≥+=m x x M ，}082|{2>--=x x x N ，若U ＝R ，且∅=)(N M U，则实数m 的取值范围是 .9、设[]x 表示不超过x 的最大整数(例[5、5]=5,[－5、5]=－6),则不等式2[]5[]6x x -+≤0的解集为10、 记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． 若Q P ⊆，正数a 的取值范围是11、 已知集合A ={x ||x |≤2，x ∈R }，B ={x |x ≥a }，且A B ，则实数a 的取值范围是____ _ 12、{25},{121},A x x B x p x p =-<<=+<<-若A B A ⋃=，则实数p 的取值范围是 .高三数学基础训练测试题（5）题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、 5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、设命题:p 函数()2lg y ax x a =-+的定义域为R ．命题:q 函数()2lg 1y x ax =-+的值域为R ．如果命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数a 的范围．高中数学基础训练测试题（6）函数及其表示方法一、 填空题（共12题，每题5分）1、若f (x -1)=2x +5，则f (x 2) = ．2、已知在x 克%a 的盐水中，加入y 克%b 的盐水，浓度变为%c ，将y 表示成x 的函数关系式 ．3、已知⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,00,0,1)(x x x x x f π，则f {f [f (-1)]}= ．4、已知函数f (x ) = ⎩⎨⎧2x 2+1，x ≤0，-2x ， x ＞0，当f (x ) = 33时，x = ．5、设函数x xxf =+-)11(，则)(x f 的表达式为 ．6、已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = .7、已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于 .8、设f (x )是一次函数，且f [f (x )]=4x +3，则f (x )= ．9、集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成 个不同的映射.10、若记号“*”表示的是2*ba b a +=，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式 .11、从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满、 这样继续下去，建立所倒次数x 和酒精残留量y 之间的函数关系式 .12、若f (x )满足f (x )+2f (x1)=x ，则f (x )= ．高三数学基础训练测试题（6）答题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点出发顺次经过B、C、D再回到A；设x表示P点的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数解析式、高中数学基础训练测试题（7）函数的解析式和定义域一、 填空题（共12题，每题5分）1、下列各组函数中，表示同一函数的是 ．①xxy y ==,1 ②1,112-=+⨯-=x y x x y③33,x y x y == ④2)(|,|x y x y ==2、函数y =的定义域为 ．3、函数1()1f x n x=的定义域为 ．4、函数1)y a =<<的定义域是 ．5、已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为 ．6、下列函数：①y =2x +5；②y = xx 2+1 ；③y = |x |-x ；④y = ⎩⎨⎧2x ， x ＜0，x +4，x ≥0．其中定义域为R 的函数共有m 个，则m 的值为 ．7、若f[g (x )] = 9x +3，且g (x ) = 3x +1，则f (x )的解析式为 ．8、已知g (x )=1-2x ，f [g (x )]= 1-x 2x 2 (x ≠0)，则f (0.5)= ．9、若函数f(x )的定义域为[a ，b ]，且b ＞-a ＞0，则函数g (x )=f(x )-f (-x )的定义域是 ．10、若f (2x +3)的定义域是[-4,5)，则函数f (2x -3)的定义域是 ．11、函数xx x x x x f +-++-=02)1(65)(的定义域为 ．12、 若函数 y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R ，实数a 的取值范围为 ．高三数学基础训练测试题（7）答题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、已知f(x)是定义在R上的函数，且f(1)=1，对任意x∈R都有下列两式成立：（1）f(x+5)≥f(x)+5；（2）f(x+1)≤f(x)+1．若g(x)=f(x)+1-x，求g(6)的值．高中数学基础训练测试题（8）函数的值域与最值一、 填空题：（共12题，每题5分）1、函数y = － x 2 + x , x ∈ [1 ,3 ]的值域为 ． ２、函数y =2312+-x x 的值域是 ．３、函数y=2－x x 42+-的最大值是 ．４、函数y x =的值域是 ．５、函数y =的最小值是 ．６、已知函数2323(0),2y x x x =-+≤≤则函数的最大值与最小值的积是 ．７、若函数y=x 2－3x －4的定义域为[0,m],值域为[－425,－4],则m 的取值范围是 ．8、已知函数 y =lg(x 2+ax +1)的值域为R ，则a 的取值范围是 ．9、若指数函数xa y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 是 ．10、函数y = 3122+---x x x x 的值域为 ．11、已知x ∈[0,1],则函数y =的值域是 ．12、已知函数y =的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为 ．高三数学基础训练测试题（8）答题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、已知函数f(x) =xax+b(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)=1，f(x)=x只有惟一实数解，试求函数y=f(x)的解析式及f[f(-3)]的值．高中数学基础训练测试题（9）函数的单调性与奇偶性一、 填空题：（共12题，每题5分）1、函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则k 的范围是 ．2、函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围 ．3、函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是 ．4、定义在R 上的函数)(x s （已知）可用)(),(x g x f 的和来表示，且)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，则)(x f = ．5、函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f ．6、函数||2x x y +-=，单调递减区间为 ．7、定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()1(x f x f -=+，且在区间]0,1[-上为递增，则)2(f 、)2(f 、)3(f 的大小关系为 ．8、构造一个满足下面三个条件的函数实例，①函数在)1,(--∞上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为0 所构造的函数为 ．9、已知]3,1[,)2()(2-∈-=x x x f ，则函数)1(+x f 的单调递减区间为 ．10、下面说法正确的选项为 ．①函数的单调区间可以是函数的定义域②函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 ③具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称 ④关于原点对称的图象一定是奇函数的图象11、下列函数具有奇偶性的是 ． ①xx y 13+=； ②x x y 2112-+-=； ③x x y +=4； ④⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+=)0(2)0(0)0(222x x x x x y .12、已知8)(32009--+=xbax x x f ，10)2(=-f ，则(2)f = .高三数学基础训练测试题（9）答题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、 5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、已知函数1)(2+=x x f ，且)]([)(x f f x g =，)()()(x f x g x G λ-=，试问，是否存在实数λ，使得)(x G 在]1,(--∞上为减函数，并且在)0,1(-上为增函数、高中数学基础训练测试题（10）函数的图像一、 填空题：（共12题，每题5分）1、函数34x y =的图象是 ．① ② ③ ④ 2、下列函数图象正确的是 ．① ② ③ ④3、若)(x f y =为偶函数，则下列点的坐标在函数图像上的是 ． ①(,())a f a - ②))(,(a f a - ③))(,(a f a - ④))(,(a f a ---4、将函数x y 2=的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，则C 2的解析式为 ．5、当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax=的图象只可能是 ．6、函数x xx y +=的图象是 ．7、已知()x f 是偶函数,且图象与x 轴有4个交点,则方程()0=x f 的所有实根的和是 ． 8、下列四个命题，其中正确的命题个数是 ．（1）f(x)=x x -+-12有意义;（2）函数是其定义域到值域的映射;（3）函数y=2x(x N ∈)的图象是一直线；（4）函数y=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0,0,22x x x x 的图象是抛物线. 9、当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 ．10、已知函数f(x)是R 上的增函数,A(0,－1)、B((3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)| <1的解集的补集为 ． 11、下列命题中正确的是 ．①当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 ②幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点③若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数④幂函数的图象不可能出现在第四象限12、定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数)(x f 为增函数，偶函数)(x g 在［０，＋∞)上图像与)(x f 的图像重合、设ａ＞ｂ＞０，给出下列不等式：①)()()()(b g a g a f b f -->-- ②)()()()(b g a g a f b f --<--③)()()()(a g b g b f a f -->-- ④)()()()(a g b g b f a f --<--其中成立的是 ．高三数学基础训练测试题（10）答题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、 5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、 如图,已知底角为450的等腰梯形ABCD,底边BC 的长为7,腰长为 22 ,当一条平行于AB 的直线L 从左至右移动时,直线L 把梯形分成两部分,令BF=x,试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式,并画出大致图象、C1、 集合的概念，集合间的基本关系1．确定性 ， 互异性 ， 无序性 .2． 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 . 3． 15． 4． 4 5． （3） 6． 6 个7．0提示：2a-1 =-1，a=0;此类问题要注意验证集合中元素的互异性.8、7提示：满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆-集合M 有32=8个.去除M={1,2}，满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有7个. 9、 10,1,2a =提示：A B B =A B ⊆=，{}2|320B x x x =-+== {}1,2，x=1时,a=1;x=2时,a=12、而a=0时,A=φ，满足A B B =. 10、1a ≤提示：{}{}|||4|44A x x x R B x x =≤∈=-≤≤，=， a<0时,{}||3|B x x a a R =-≤∈，= φ,满足A B ⊇a ≥0时,{}||3|B x x a a R =-≤∈，={}|33x x a x a -≤≤+，A B ⊇ 4334aa -≤-⎧⎨+≥⎩ 1a ≤；11、 32-提示：注意到0∆=时集合中只有一个元素，此时集合A 中所有元素之和为-3；0∆≠时，集合A 中所有元素之和为32-.12、41提示： a 、b 同奇偶时，有35个；a 、b 异奇偶时，有(1,36)、(3,12)、(4,9)、(9,4)、(12,3)、(36,1)6个，共计41个.填41.13、解：∵ A ∩B={3，7} ∴ 7∈A ∴ 7242=++a a ，即 15=-=a a 或当 5-=a 时，B={0，7，7，3} （舍去）当 1=a 时，B={0，7，1，3} ∴ B={0，7，1，3}2．集合的基本运算1、 {}1,2 ；2、{}7,8 ；3、2；4．{}1- ； 5、｛x |2＜x ＜3}； 6、{},0x x R x ∈≠； 7、 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦提示： M =｛直线的倾斜角｝=[]0,π， N ={两条异面直线所成的角}=0,2π⎛⎤⎥⎝⎦， P =｛直线与平面所成的角｝=0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则(M ∩N)∪P=0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦8、提示：利用韦恩图和()()()U U U C A C B C A B =⋃易求{2,3}A =，{2,4}B =9、 [4,)+∞ 提示：[){| 2.M x y ===+∞，N ＝{}[)2|,4,y y x x M =∈=+∞，则MN = [4,)+∞10、 [)+∞,0提示：{}[){}22|210,,|25M y y x x N x y x x R ==++=+∞==-+= 所以N M ⋂=[)+∞,0；11、 m ≥2提示： {|0}M x x m =+≥，2{|280}(2,4)N x x x =--<=-，U M =（,m -∞-），所以-m ≤-2, 、m ≥2；12、 1,a >或2a ≤-提示：2221011x ax a a x a -+-≤⇔-≤≤+，M N ⊆时2211,11a a a a -≥-+≤+但对边缘值1，-2进行检验知1不合；13、 解：（1）方程有两个实根时，得2[2(m-1)]4(2m+6)0∆=-⨯≥解得m -1m 5≤≥或（2）令2f()=+2(m-1)+2m+6x x x 由题意得(0)0f <，解得3m <-（3）令2f()=+2(m-1)+2m+6x x x 由题意得 2(1)12(1)2602(1)112[2(m-1)]4(2m+6)0f m m m m =+-++>--=->∆=-⨯≥ 解得5-14m <≤-3、命题及其关系1、必要不充分条件2、必要不充分条件3、充分不必要条件4、①②④5、必要不充分条件6、35m n ≥≥且7、 提示： ②在空间，不存在点到长方形各边的距离相等； ③在空间，存在到长方体各顶点距离相等的点，但不存在到它的各个面距离相等的点；真命题的序号是①④8、 a 1[0,]2∈提示：┐p 是┐q 的必要而不充分的条件，所以q 是p 的必要而不充分的条件, 所以p q ⊆，P:|43|1x -≤ 所以112x ≤≤，q:0)1()12(2≤+++-a a x a x 所以a ≤x ≤a+1，1211a a ⎧≤⎪⎪⎨+≥⎪⎪⎩a 1[0,]2∈； 9必要不充分条件提示：对于[0,1]x ∈的一切值0axb +>恒成立 00a b b +>⎧⎨>⎩所以20a b +>；10、 既不必要不充分条件提示：2x 2+x+1>0和2x 2+x+1>0的解集为R, M=N,111222a b c a b c ==不成立；若212121c c b b a a ==，- x 2+2x-1>0和x 2-2x+1>0，此时 M ≠N11、 8、个.12、 提示：②ab>0时b a b a +=+成立.③若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 且0≠y 则0≠xy ”； 正确命题的序号是①④.13、 解：联立关于,x y 的方程组：()3121150y x a x y -⎧=⎪-⎨⎪+++=⎩．消去y 得到关于x 的方程：()214a x += （*） 由题意，关于x 的方程（*）无解或者解为2x =． 若（*）无解，则20a +=，解得2a =-．若（*）的解为2x =，则()2214a +=，解得5a =． 综上所述，2a =-或者5a =．4、逻辑联接词1．三个是命题，一个真命题；2．使用了逻辑联结词“或”；3．r ；4．（4）5．3个．6．真命题．7．提示：3210x x ∃∈-+>R ，．8．提示：(1)p 且q (2)p 或q (3)非p (4)p 或q ；9．提示：(1)菱形的对角线互相垂直或互相平分． 10．②③提示： 11．P 且q;p:244x x +-有意义时，2x ≠;244x x +-有意义时，2x ≠-; 12、提示：1．(1)p 或q ：2是偶数或质数，真命题 p 且q ：2是偶数且是质数，真命题 非p ：2不是偶数，假命题．(2)p 或q ：0的倒数还是0或0的相反数还是0，真命题． p 且q ：0的倒数还是0且0的相反数还是0，假命题． 非p ：0的倒数不是0，真命题．13．解：3(1)p p A A B ．非形式的复合命题：：∪，此复合命题为假．⊆(2)非P 形式的复合命题：p ：方程x 2＋2x ＋3=0有实数根．此复合命题为真．(3)p 或q 形式的复合命题：p ：3＞3为假，q ：3=3为真．此复合命题为真5、综合运用1、 12 ； 2． b<2 ； 3、 92；4、54 ；5、3x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭； 6、 2 ；7、 16提示：等价于(4)(5)0x x --≤；8、 2;m ≥提示：M N R ⋂= ；9、提示：2[]5[]6x x -+≤0 ∴ 2[]3x ≤≤ ∴ 24x ≤<∴不等式2[]5[]6x x -+≤0的解集为{}24x x ≤<10、 a>2 提示：a>-1时，解集为P =（-1，a ）因为Q P ⊆，a>2; a<-1时，解集为P =（a ，-1）因为Q P ⊆，舍; a=-1时，解集为P = φ因为Q P ⊆，舍∴a>211、 a ≤－2提示：A ={x ||x |≤2，x ∈R }=[-2,2]，B ={x |x ≥a }，且A B ，∴ a ≤－212．3≤p 提示： A B A ⋃= ∴ B A ⊆ ∴3≤p13、解：若p 真，则()22140a a >⎧⎪⎨--<⎪⎩，解得12a >． 若q 真，则()240a --≥，解得2a ≤-或者2a ≥． 因为命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题， 所以命题p 和q 有且仅有一个为真．所以实数a 范围为：2a ≤-或122a <<.6、函数及其表示方法1．2x 2+7 ； 2．x c b a c y --=； 3．π+1 ； 4． - 4 ； 5．xx+-11 ； 6．－1；7．提示：327223,(72)32f p q =⨯∴=+ 8．提示：设f (x )=ax +b (a ≠0)，则f [f (x )]=af (x )+b =a (ax +b )+b =a 2x +ab +b ，∴ ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=12342b a b ab a 或⎩⎨⎧-=-=32b a ， ∴ f (x )=2x +1或f (x )= -2x -3． 9． 4 ; 10．c b a c b a *+=+)()*(; 11．*,)2019(20N x y x ∈⨯= ； 12．提示：在f (x )+2f (x 1)=x ①中，用x1代换x 得 f (x 1)+2 ;f (x )= x 1 ②，联立①、②解得 )0(32)(2≠-=x xx x f ． 13.显然当P 在AB 上时，PA=x ；当P 在BC 上时，PA=2)1(1-+x ；当P 在CD 上时， PA=2)3(1x -+；当P 在DA 上时，PA=x -4，再写成分段函数的形式.7、函数的解析式和定义域一．填空题：1．③ 2．{}|1x x ≥ 3．[4,0)(0,1]-⋃ 4． (2,3] 5．)2,2(-；6．4 7．f (x )=3x 8．15 9．[a ，-a ] 10． {x |-1≤x ＜8} 11．),3[]2,1()1,0(+∞ 提示：由函数解析式有意义，得⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+≠-≥+-010652x x x x x ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，或x ≤2x ≠1，x ＞0．⇒0＜x ＜1或1＜x ≤2，或x ≥3．故函数的定义域是),3[]2,1()1,0(+∞ ．12．()2,2-提示： 因函数 y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R ，故x 2+ax +1＞0对x ∈R 恒成立，而f (x )= x 2+ax +1是开口向上的抛物线，从而△＜0，即a 2-4＜0，解得 -2＜a ＜2．13：反复利用条件（2），有f (x +5) ≤f (x +4)+1≤f (x +3)+2≤f (x +2)+3≤f (x +1)+4≤f (x )+5，（★）结合条件（1）得 f (x +5)=f (x )+5．于是，由（★），可得 f (x +1) = f (x )+1． 故 g (6)=f (6)+1-6= [f (1)+5 ]-5=1．8、函数的值域与最值一．填空题：1． {y|164y -≤≤} ；２．(－∞, 23)∪(23,+ ∞) ； ３．2 ；４．(,1]-∞ ；５． ；６．6 ； 7．[23 ,3] ； 8．利用△≥0⇒ a ≥2或a ≤-2． 9．215± 10．.1115|⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤-y y 提示：将函数整理为：0)13)(1(4)1(,1,013)1()1(22≥+---=∆≠=++---y y y y y x y x y 由可见，得.1115|,1115⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤-∴≤≤-y y y 函数的值域为 11．[3,12-]提示：注意到函数y =在［０，１］上是单调递增的，故函数的值域是 [3,12-] ；12．2提示：22+(x+3)=4,14sin ,x+34cos ,[0,]2x πθθθ∴-==∈（1-x ）令于是2sin 2cos sin()4y πθθθ==+=+2,2m M ∴===、13、 f (x ) =x 只有惟一实数解，即xax+b= x (*)只有惟一实数解， 当ax 2+(b -1)x =0有相等的实数根x 0, 且a x 0+b≠0时,解得f(x)=2x x +2, f [f (-3)] = 32, 当ax 2+(b -1)x =0有不相等的实数根,且其中之一为方程(*)的增根时,解得f(x)= 1, f [f (-3)] =1．9、函数的单调性与奇偶性一．填空题：1．21->k 2．2b ≤- 3．]2,7[-- 4．2)()(x s x s -- 5．1---=x y 6．]0,21[-和),21[+∞ 7．)2()2()3(f f f << 8．R x x y ∈=,2 提示：本题答案不唯一.9．]1,2[-提示：函数12)1(]2)1[()1(222+-=-=-+=+x x x x x f ，]2,2[-∈x ，故函数的单调递减区间为]1,2[-、10．①③ 11．①④提示：①定义域),0()0,(+∞⋃-∞关于原点对称，且)()(x f x f -=-，奇函数、 ②定义域为}21{不关于原点对称.该函数不具有奇偶性、 ③定义域为R ，关于原点对称，且x x x x x f +≠-=-44)(，)()(44x x x x x f +-≠-=-，故其不具有奇偶性、 ④定义域为R ，关于原点对称， 当0>x 时，)()2(2)()(22x f x x x f -=+-=---=-；当0<x 时，)()2(2)()(22x f x x x f -=---=+-=-；当0=x 时，0)0(=f ；故该函数为奇函数、 故填①④12．-26提示： 已知)(x f 中xb ax x -+32005为奇函数，即)(x g =xb ax x -+32005中)()(x g x g -=-，也即)2()2(g g -=-，108)2(8)2()2(=--=--=-g g f ，得18)2(-=g ，268)2()2(-=-=g f 、二．解答题： 221)1()1()]([)(24222++=++=+==x x x x f x f f x g 、)()()(x f x g x G λ-=λλ--++=22422x x x )2()2(24λλ-+-+=x x)()(21x G x G -)]2()2([2141λλ-+-+=x x )]2()2([2242λλ-+-+-x x)]2()[)((22212121λ-++-+=x x x x x x由题设当121-<<x x 时，0))((2121>-+x x x x ，λλλ-=-++>-++4211)2(2221x x ，则4,04≤≥-λλ 当0121<<<-x x 时，0))((2121>-+x x x x ，λλλ-=-++<-++4211)2(2221x x ，则4,04≥≥-λλ 故4=λ、10、函数的图像1．① 2．② 3． ① ③ 4．121x y +=+ 5．① 6．④7．0提示：()x f 是偶函数，图象与x 轴有4个交点关于一y 轴对称，其横坐标互为相反数，故()0=x f 的所有实根的和是0、 8．1 ，提示：（2）是对的. 9．(2，－2)；提示：f (x )=a x 过定点（0，1），故f (x )=a x －2－3过定点（2，—2）. 10．(－∞,－1]∪[2,+ ∞)提示：由于函数f(x)是R 上的增函数,且过点A(0,－1)、B((3,1), |f(x+1)| <1的解集为（—1，2），故其补集为(－∞,－1]∪[2,+ ∞) 11．④提示：0y x =不过点（0，1）；当α<0时，αx y =不过（0，0）；1y x -=在定义域上不是增函数，只有④是对的. 12．①③提示：采用特殊值法.根据题意，可设x x g x x f ==)(,)( ，又设1,2==b a ，易验证①与③成立. 13.（1）()⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=73,4710,30,22x x x x y（2）图形如右。
湖北监利实验高中高一数学上学期周练12新人教A版
正视图侧视图4 24俯视图期末复习高一数学周练十二班级： 姓名： 组别： 得分： 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分) 1. 若直线a ‖直线b ，且a ‖α,则b 与平面α的关系是（ ）A ．b ‖αB. b α⊂ C. b ‖α或b α⊂ D. b 与α相交或 b ‖α或b α⊂ 2. 已知等差数列{an}一共有12项，其中奇数项之和为10，偶数项之和为22，则公差为( )A ．12B ．5C ．2D ．1 3. 设a 、b 、c 分别是ΔABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线0sin =++c ay A x 与0sin sin =+-C B y bx 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直4. 如右图所示，正三棱锥V ABC -(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中，,,D E F 分别是,,VC VA AC 的中点，P 为VB 上任意一点，则直线DE 与PF 所成的角的大小是( ) A30° B90°C60°D 随P 点的变化而变化. 5. 某四棱锥的三视图如图所示，该四面体的表面积是( )A.32B.21616+C.48D.23216+6、已知函数()()12lg 2++=x ax x f 的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．1>aB ．1≥aC ．10≤<aD ．10≤≤a7. 设1>m ，在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y x y 下，目标函数 Z=my x +的最大值大于2，则实数m 的取值范围是( )A.)21,1(+B. ),21(+∞+C.（1，3）D. ),3(+∞8. 设三棱锥P ABC -的顶点P 在底面ABC 内射影O 在ABC △内部，且到三个侧面的距C VEDP FAABCDB 1 D 1P第10题. AB.第14题离相等，则O 是ABC △的( ) Ａ．外心 Ｂ．垂心Ｃ．内心Ｄ．重心9.以下命题中正确的是 ( )A ．21,≥+∈x x R x 恒成立； B ．在ABC ∆中，若B A 2sin 2sin =，则ABC ∆是等腰三角形； C ．对等比数列}{n a 的前n 项和,n S 若对任意正整数n 都有nn n n a a S S >>++11,则对任意正整数n 恒成立； D ．a =3是直线032=++a y ax 与直线7)1(3-=-+a y a x 平行且不重合的充要条件； 10. 正四棱锥P －ABCD ，B1为PB 的中点，D1为PD 的中点，则两个棱锥A －B1CD1,P －ABCD 的体积之比是( ) A. 1:4 B. 3:8 C. 1:2 D. 2:3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分）11. 不等式215≥-+x x 的解集是 ________________12. 三角形ABC 中，已知A (－1，2)，B (3，4)，C (－2，5)，则BC 边上的高AH 所在的直线方程为_______________. 13. 设y x ,是满足42=+y x 的正数，则y x lg lg +的最大值是 ．14. 如右上图，有一个圆柱形杯子，底面周长为12cm ，高为8cm ， A 点在内壁距杯口2cm 处，在A 点正对面的外壁距杯底2cm 的B 处有一只小虫，小虫要到A 处饱餐一顿至少要走_________(cm)的路(杯子厚度忽略不计).15. 函数1710296222+-++-=x x x x y 的值域是_______________. 三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）ABC △21，且sin sin 2A B C +=．(1)求边AB 的长；(2)若ABC △的面积为1sin 6C，求角C 的度数．17. （12分）已知直线0:11=+-C y x l ，，21=C 0:22=+-C y x l ，:33=+-C y x l ，……，:=+-n n C y x l (其中nC C C C <<<<Λ321)，当2≥n 时，直线1-n l 与nl 间的距离为n.(1)求nC ;(2)求直线0:11=+---n n C y x l 与直线:=+-n n C y x l 及x 轴、y 轴围成图形的面积.18．（12分）在梯形ABCD 中AB∥CD,A D=DC=CB=a ，ο60=∠ABC ,平面ACFE⊥平面ABCD,四边形ACFE 是矩形，AE=a . (1)求证：BC⊥平面ACFE;(2)求EC 与平面BEF 所成角的正弦值.C E A BDF第18题A BC P α第19题D 河边19. （12分）如图，一条笔直的小路CA 通向河边的一座凉亭A ，小路与河边成α角（4tan =α），在凉亭北偏东45。
高三数学一轮复习 第二章第12课时知能演练轻松闯关 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年高三数学一轮复习第二章第12课时知能演练轻松闯关1．函数y＝ln x－x在x∈(0，e]上的最大值为()A．e B．1C．－1 D．－ey＝ln x－x的定义域为(0，＋∞)，又y′＝－1＝，令y′＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，y′＞0，函数单调递增；当x∈(1，e]时，y′＜0，函数单调递减．当x＝1时，函数获得最大值－1，应选C.2．(2021·高考卷)设f(x)＝假设f(f(1))＝1，那么a＝________.解析：由题意知f(1)＝lg1＝0，∴f(0)＝0＋a3－03＝1，∴a＝1.答案：13．(2021·高考卷)函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解：(1)f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的变化情况如下：↘↗所以，f(x)(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.一、选择题1．(2021·高考卷)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为()A. B．1C. D.解析：选D.根据定积分的定义，所围成的封闭图形的面积为cos x dx＝sin x＝sin－sin＝.2．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A．6cm B．8cmC．10cm D．12cmx cm，那么V＝x·(48－2x)2＝4x(24－x)2，∴V′(x)＝4(24－x)2＋8x(24－x)(－1)，令V′(x)＝0可以得x＝8.应选B.3．函数f(x)＝e x(sin x＋cos x)在区间[0，]上的值域为()A．[，e] B．(，e)C．[1，e] D．(1，e)解析：选A.f′(x)＝e x(sin x＋cos x)＋e x(cos x－sin x)＝e x cos x，当0≤x≤时，f′(x)≥0，∴f(x)是[0，]上的增函数．∴f(x)的最大值为f()＝e，f(x)的最小值为f(0)＝.4．(2021·调研)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，那么a的取值范围为()A．0≤a<1 B．0<a<1C．－1<a<1 D．0<a<解析：选B.∵y′＝3x2－3a，令y′＝0，可得：a＝x2.又∵x∈(0,1)，∴0<a<1.应选B.5．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]；②f(x)的极值点有且仅有一个；③f(x)的最大值与最小值之和等于0.其中正确的结论有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选C.∵f(0)＝0，∴c＝0，∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∴，即.解得a＝0，b＝－4，∴f(x)＝x3－4x，∴f′(x)＝3x2－4.令f′(x)＝0，得x＝±∈[－2,2]，∴极值点有两个．∵f(x)为奇函数，∴f(x)max＋f(x)min＝0.∴①③正确，应选C.二、填空题6．函数f(x)＝x2－ln x在[1，e]上的最大值为________．解析：∵f′(x)＝x－，∴当x∈(1，e)时，f′(x)＞0，∴f(x)在[1，e]上是增函数，故f(x)min＝f(1)＝.答案：7．f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，那么m的取值范围是________．解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，那么x＝，由题设得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．答案：[－4，－2]8．函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，那么实数a的取值范围是________．解析：当x∈(0,1]时不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥，设g(x)＝，x∈(0,1]，g′(x)＝＝－，g′(x)与g(x)随x变化情况如下表：↗↘因此g(x)答案：[4，＋∞)三、解答题9．a为实数，函数f(x)＝(x2＋1)(x＋a)．假设f′(－1)＝0，求函数y＝f(x)在上的最大值和最小值．解：∵f′(－1)＝0，∴3－2a＋1＝0，即a＝2.∴f′(x)＝3x2＋4x＋1＝3(x＋1)．由f′(x)＞0，得x＜－1或者x＞－；由f′(x)＜0，得－1＜x＜－.因此，函数f(x)在上的单调递增区间为，，单调递减区间为.∴f(x)在x＝－1处获得极大值为f(－1)＝2；f(x)在x＝－处获得极小值为f＝.又∵f＝，f(1)＝6，且＞，∴f(x)在上的最大值为f(1)＝6，最小值为f＝.10．(2021·高考卷)设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a>0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．注：e为自然对数的底数．解：(1)因为f(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x>0，所以f′(x)＝－2x＋a＝－.由于a>0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．(2)由题意得f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e.由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增，要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．只要解得a＝e.11．某造船公司年造船量是20艘，造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，本钱函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)的定义为Mf(x)＝f(x ＋1)－f(x)．(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－本钱)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在此题中的实际意义是什么？解：(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N*，且1≤x≤20)；MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3275(x∈N*，且1≤x≤19)．(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x－12)(x＋9)，∵1≤x≤20，x∈N*，∴P′(x)＝0时，x＝12，当1≤x<12，且x∈N*时，P′(x)>0，当12<x≤20，且x∈N*时，P′(x)<0，∴x＝12时，P(x)有最大值．即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305.所以当x≥1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为[1,19]，且x∈N*.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘船的利润相比，在减少．。
高二数学下学期课堂强化训练12(答案含解析)
(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是()A．分层抽样 B．抽签抽样C．随机抽样D．系统抽样答案：D2．下列各选项中的两个变量具有相关关系的是()A．长方体的体积与边长B．大气压强与水的沸点C．人们着装越鲜艳，经济越景气D．球的半径与表面积解析：A、B、D均为函数关系，C是相关关系．答案：C3．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2 500名城镇居民．这2 500名城镇居民的寿命的全体是()A．总体B．个体C．样本D．样本容量答案：C4．已知总体容量为106，若用随机数表法抽取一个容量为10的样本．下面对总体的编号最方便的是()A．1,2，…，106 B．0,1,2，…，105C．00,01，…，105 D．000,001，…，105解析：由随机数抽取原则可知选D.答案：D5．(2011·湖北高考)有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为()A．18 B．36C．54 D．72解析：易得样本数据在区间[10,12)内的频率为0.18，则样本数据在区间[10,12)内的频数为36.答案：B6．对一组数据x i(i＝1,2,3，…，n)，如果将它们改变为x i＋c(i＝1,2,3，…，n)，其中c≠0，则下面结论中正确的是()A．平均数与方差均不变B．平均数变了，而方差保持不变C．平均数不变，而方差变了D．平均数与方差均发生了变化解析：设原来数据的平均数为x－，将它们改变为x i＋c后平均数为x′，则x′＝x－＋c，而方差s′2＝1n[(x1＋c－x－－c)2＋…＋(x n＋c－x－－c)2]＝s2.答案：B7.如果是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知()A ．甲运动员的成绩好于乙运动员B ．乙运动员的成绩好于甲运动员C ．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异D ．甲运动员的最低得分为0分解析：从这个茎叶图可以看出运动员得分大致对称，平均得分及中位数都是30多分；乙运动员的得分除一个52外，也大致对称，平均得分及中位数都是20多分，因此，甲运动员发挥比较稳定，总体得分情况比乙好． 答案：A8．(2011·江西高考)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为( ) A.y ^＝x －1B.y ^＝x ＋1C.y ^＝88＋12xD.y ^＝176解析：设y 对x 的线性回归方程为y ^＝bx ＋a ，因为b ＝－2×(－1)＋0×(－1)＋0×0＋0×1＋2×1(－2)2＋22＝12，a ＝176－12×176＝88，所以y 对x 的线性回归方程为y ^＝12x ＋88.答案：C9．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数是3.2，全年进球数的标准差为3；乙队平均每场进球数是1.8，全年进球数的标准差为0.3.下列说法中，正确的个数为()①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：因为甲队的平均进球数比乙队多，所以甲队技术较好，①正确；乙队的标准差比甲队小，标准差越小越稳定，所以乙队发挥稳定，②也正确；乙队平均每场进球数为1.8，所以乙队几乎每场都进球，③正确；由于s甲＝3，s乙＝0.3，所以甲队与乙队相比，不稳定，所以甲队的表现时好时坏，④正确．答案：D10．已知数据：①18,32，－6,14,8,12；②21,4,7,14，－3,11；③5,4,6,5,7,3；④－1,3,1,0,0，－3.各组数据中平均数和中位数相等的是()A．①B．②C．③D．①②③④解析：运用计算公式x＝1n(x1＋x2＋…＋x n)，可知四组数据的平均数分别为13,9,5,0.根据中位数的定义：把每组数据从小到大排列，取中间一位数(或两位的平均数)即为该组数据的中位数，可知四组数据的中位数分别为13,9,5,0.故每组数据的平均数和中位数均对应相等．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．)11．(2012·银川模拟)将一个总体分为A、B、C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．解析：由题意，应从C中抽取100×25＋3＋2＝20个个体．答案：2012．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图如图所示，由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．解析：因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以有10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.03.由直方图可知三个区域的学生总数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60，其中身高在[140,150]内的学生人数为10，所以从身高在[140,150]内抽取的学生人数为1860×10＝3.答案：0.03 313．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投蓝练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班6 7 6 7 9则以上两组数据的方差中较小的一个为s 2＝________.解析：甲班的平均数为7，方差s ？＝15[(6－7) 2＋02＋02＋(8－7)2＋02]＝25；乙班的平均数为7，方差s 2＝2(6－7)2＋2(7－7)2＋(9－7)25＝65.答案：2514．某班12位学生父母年龄的茎叶图如图所示，则12位同学母亲的年龄的中位数是________，父亲的平均年龄比母亲的平均年龄多________岁.解析：由41＋432＝42，得中位数是42.母亲平均年龄＝42.5， 父亲平均年龄为45.5，因而父亲平均年龄比母亲平均年龄多3岁． 答案：42 3三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)某花木公司为了调查某种树苗的生长情况，抽取了一个容量为100的样本，测得树苗的高度(cm)数据的分组及相应频数如下：[107,109)3株；[109,111)9株；[111,113)13株；[113,115)16株；[115,117)26株；[117,119)20株；[119,121)7株；[121,123)4株；[123,125]2株．(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)据上述图表，估计数据在[109,121)范围内的可能性是百分之几？解：(2)频率分布直方图如下：(3)由上述图表可知数据落在[109,121)范围内的频率为：0.94－0.03＝0.91，即数据落在[109,121)范围内的可能性是91%. 16．(12分)(2012·福建六校联考)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲8281797895889384乙9295807583809085(1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由？解：(1)作出茎叶图如下：(2)x甲＝18(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，x乙＝18(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.2 s 甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85) 2＋(93－85) 2＋(95－85) 2]＝35.5，2s 乙＝18[(75－85) 2＋(80－85) 2＋(80－85) 2＋(83－85) 2＋(85－85) 2＋(90－85) 2＋(92－85) 2＋(95－85) 2]＝41， ∵x 甲＝x 乙，2s 甲< 2s 乙，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．17．(12分)某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y (元)与该周每天销售这些服装件数x 之间有如下一组数据：已知∑i ＝17x 2i ＝280，∑i ＝17x i y i ＝3 487， (1)求x ，y ；(2)求纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程； (3)每天多销售1件，纯利y 增加多少元？ 解：(1)x ＝17(3＋4＋5＋…＋9)＝6，y ＝17(66＋69＋…＋91)≈79.86.(2)设回归直线方程为y ^＝a ^＋b ^x ，则b ^＝∑i ＝17x i y i －7x － y－∑i ＝17x 2i －7x 2＝3 487－7×6×79.86280－7×6？≈4.75.a ^＝y －b x －≈79.86－4.75×6＝51.36.∴所求的回归直线方程为y^＝51.36＋4.75x.(3)由回归直线方程知，每天多销售1件，纯利增加4.75元．18．(14分)某地统计局就该地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500))．(1)求居民月收入在[3 000,3 500)的频率；(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用]分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽多少人？解：(1)月收入在[3 000,3 500)的频率为0.000 3×(3 500－3 000)＝0.15.(2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1，0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2，0．000 5×(2 500－2 000)＝0.25，0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5.∴样本数据的中位数为2 000＋0.5－(0.1＋0.2)0.000 5＝2 000＋400＝2400(元)．(3)居民月收入在[2 500,3 000)的频率为0.000 5×(3 000－2 500)＝0.25，所以10 000人中月收入在[2 500,3 000)的人数为0.25×10 000＝2 500(人)．再从10 000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500,3000)的这段应抽取100×2 50010 000＝25人．。
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第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知121,63i a a i +=+则的值为（ ） A ．3B ．-3C ．4D ．-42．已知全集U=R ，集合2{|1}M y y x ==-，集合{|N x y ==，则()U C M N ⋂=（ ） A ．（-2，-1） B ．[-2，-1） C ．[-2，1）D ．[-2，1]3．关于直线,a b 以及平面,αβ，给出下列命题： ①若//,//,//a b a b αα则 ②若//,,a b a b αα⊥⊥则 ③若//,//,//a b b a αα则 ④若,//,a a αβαβ⊥⊥则其中真命题的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．在等比数列{}n a 中，若292369101232,a a a a a a a =则的值为（ ） A ．4B ．2C ．-2D ．-45．给定性质：①最小正周期为π；；②图象关于直线3x π=对称，则下列四个函数中，同时 具有性质①、②的是 （ ）A ．sin()26xy π=+B ．sin(2)6y x π=+C ．sin(2)6y x π=-D ．sin ||y x =6．将A 、B 、C 、D 、E 、F 六位同学排成一排，要求A 、B 、C 、D在排列中顺序为“A 、B 、C 、D ”或“D 、C 、B 、A ”（可以不相邻），则排列的种数为 （ ）A ．20B ．30C ．40D ．607．已知函数222(1)()65(1)x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，则函数()ln f x x -的零点个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．如图1，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，则PA 与BD 所成角的度数为 （ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°9．下列说法正确的是（ ）A ．命题：“已知函数(),(1)(1)f x f x f x +-若与均为奇函数，则()f x 为奇函数，”为直命题B ．“1x >”是“||1x >”的必要不充分条件。
C ．若“p q 且”为假命题，则,p q 均为假命题。
D ．命题2:",10"p x R x x ∃∈++<使得，则2:",10".p x R x x ⌝∀∈++≥均有10．已知(,2)M a 是抛物线22y x =上的一点，直线MP 、MQ 分别与抛物线交于P 、Q 两点，且直线MP 、MQ 的倾斜角之和为π，则直线PQ 的斜率为（ ）A ．12-B ．14- C ．12D ．1411．P 为双 曲线2215y x -=右支上一动点，M 、N 分别是圆22(4)4x y ++=和圆22(4)1x y -+=上的点，则||||PM PN -的最大值为 （ ） A ．5B ．6C ．7D ．412．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，且()(0,1)()x f x a a a g x =>≠且，(1)(1)5()()()(),(1)(1)2f f f xg x f x g x g g -''<+=-，则a 的值为 （ ）A ．12B ．35C ．53D ．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）说明：本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题—第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．执行图2所示的框图，如果输入4N =，则输出的结果等于 。
14．如图3，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线22x y =与两直线20x y ==及所围成的阴影部分的面积S ：（1）先产生两组0~1的均匀随机数，(),()a rand b rand ==； （2）做变换，令2,2x a y b ==；（3）产生N个点(,)x y ，并统计满足条件22x y <的点(,)x y 的个数N 1，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1000时，N 1=332，则据此可估计S 的值为 。
15．设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长为(1,2,3,4)i a i =，P 是该四边形内一点，点P 到第i 条边的距离记为4312412,,()1234i i i a a a a S h k ih k ======∑若则，类比上述结论，体积为V的三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，Q 是该三棱锥内的一点，点Q到第i 个面的距离记为i d ，若431241,()1234i i S S S S k i d =====∑则等于 。
16．已知等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都是整数，前n 项和为n S ，若141,3,9n a a S >>≤，设122,n n n n b a b b b =+++ 则的结果为 。
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,cos23A C a b c += （Ⅰ）求cosB 的值；（Ⅱ）若2,BA BC b a c ⋅==求和的值。
18．（本小题满分12分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，且每次遇到红灯的概率都是25，每次遇到红灯时停留的时间都是1min 。
（Ⅰ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是2min 的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间X 的分布列及期望。
19．（本小题满分12分）如图4所示是一个几何体的直观图及它的三视图（其中主视图为直角梯形，俯视图为正方形，左视图为直角三角形，尺寸如图所示）。
（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）求二面角E —PC —D 的大小。
20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>（Ⅰ）过椭圆C 的右焦点F 且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过椭圆C 右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点P ，且12,PA AF PB BF λλ==，求12λλ+的值。
21．（本小题满分12分）已知函数21()ln .2f x x a x =+（Ⅰ）当0a <时，若0,()0x f x ∃>≤使成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）令()()(1),(1,]g x f x a x a e =-+∈，证明：对12,[1,]x x a ∀∈，恒有12|()()| 1.g x g x -<请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图5，已知AB 是O 的直径，AC 是弦，AD CE ⊥，垂足为D ，AC 平分.BAD ∠（Ⅰ）求证：直线CE 是O 的切线； （Ⅱ）求证：2.AC AB AD =⋅23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为12cos ,2sin .x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长。
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知12|2|1,|2| 1.x x -<-<（Ⅰ）求证：12||2x x -<；（Ⅱ）若2121212()1,:|||()()|5||.f x x x x x f x f x x x =-+-≤-≤-求证参考答案一．选择题1．A ；2．B ；3.C ；4．B ；5.C ；6.D ；7. C ；8.C ；9. D ；10.A ；11．A ；12．A ；二、填空题13．54；14. 1.328；15.3Vk ；16.12n n +⋅ .三、解答题17. 解：(1)∵cos A ＋C 2＝33，∴sin B 2＝sin(π2－A ＋C 2)＝33， . 2分∴cos B ＝1－2sin 2B2＝13. ................................................ 5分(2)由BA ·BC ＝2可得a ·c ·cos B ＝2，又cos B ＝13，故ac ＝6，7分 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 可得a 2＋c 2＝12， ................... 10分 ∴(a －c )2＝0，故a ＝c ，∴a ＝c ＝ 6. ............................. 12分 18. 解：(Ⅰ)设这名学生在上学路上因红灯停留的总时间至多是 2min 为事件B ，这名学生上学路上因遇到红灯停留的总时间为X,则X ～B(4,25)．则由题意，得P (X=0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫354＝81625， ................. 2分P (X=1)＝14C ⎝ ⎛⎭⎪⎫353·⎝ ⎛⎭⎪⎫251＝216625， ....................... 4分P (X=2)＝24C ·⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝216625. ...................... 6分∴事件B 的概率为P (B )＝P (X=0)＋P (X=1)＋P (X=2)＝513625.8分(Ⅱ)由题意，可得X 可能取得的值为0,1,2,3,4(单位：min)．由题意X ～B(4,25)∴P (X ＝k )＝4C k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫354－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫25k(k ＝0,1,2,3,4)．∴即X 的分布列是................................................. 10分∴X 的期望是E (X )＝425⨯＝85. ........................ 12分19解：(Ⅰ)由几何体的三视图可知，底面ABCD 是边长为4的正方形， ................................................... 1分PA ⊥面ABCD ，PA ∥EB ，且PA ＝42，BE ＝22，AB ＝AD ＝CD＝CB ＝4， .......................................... 3分∴V P －ABCD ＝13PA x S ABCD ＝13×42×4×4＝6423. ........ 4分(Ⅱ)由三视图可知,,,BE BC BE BA ⊥⊥以B 为原点，以BC,BA,BE 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),P(............ 5分 所以(4,0,(0,4,0)=-=PD CD.设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =1n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩1n PD n CD，即4040x y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，取=1n . ........... 8分 设平面PCE 的法向量为2n ，同理可求(1,1=-2n . ..... 10分cos ⋅<>==121212n n n ,n n n 所以二面角E-PC-D 的大小为π分20. 解：（Ⅰ）由题意得222221,3.4b aa b a ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩ ....................... 2分 所以所求的椭圆方程为：2214x y +=. ....................................... 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知22234a b a -=，得2,a b c ==.设直线l方程为：()y k x =，A 点坐标为11(,)x y ，B 点坐标为22(,)x y ，得P点坐标(0,)，F点坐标为,0)因为1λ=PA AF，所以1111(,),)x y x y λ=--因为2λ=P ΒBF，所以2222(,),)x y x y λ=--. ................... 6分得1λ=，2λ=7分由22221,4().x y b b y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩............................................................................ 8分得222222(14)1240k x bx k b b +-+-=.所以2222121222124,1414b k b b x x x x k k -+==++. ........................................ 10分12λλ+==222222222222224248141481242431414k b k b b k k k b b k bb k k--++=---+++. ................................................... 12分 21．解：当a ＜0，由`()af x x x=+.令'()0,f x x =∴=列表：x)+∞`()f x -0 + ()f x减函数极小值增函数........................................................................................................ 2分 这是min ()2a f x f a ==-+ ............................................ 3分 ∵x ∃＞0，使()0f x ≤成立，∴02a a -+≤，∴a e ≤-， ∴a 范围为(,]e -∞-. ...................................................................... 5分（Ⅱ）法一：因为对对[1,]x a ∀∈，(1)()`()0x x a g x x --=≤，所以()g x 在[1,]a 内单调递减.所以21211()()(1)()ln 22g x g x g g a a a a -≤-=--. .... 7分要证明12()()g x g x -＜1，只需证明211ln 22a a a --＜1，即证明13ln 22a a a--＜0. 令13()ln 22h a a a a =--,221133111`()()22233h a a a a =-+=-+＞0, (10)所以13()ln 22h a a a a=--在(1,]a e ∈是单调递增函数，所以3(3)(1)()()1222e e e h a h e e e-+≤=--=＜0，故命题成立. .... 12分法二：因为对对[1,]x a ∀∈，(1)()`()0x x a g x x --=≤，所以()g x 在[1,]a 内单调递减.所以21211()()(1)()ln 22g x g x g g a a a a -≤-=--. ........ 7分令211()ln 22h a a a a =--，则`()ln 1h a a a =--.令()ln 1m a a a =--，则1`()1m a a=-，因为(1,]a e ∈，所以`()m a ＞0，所以`()h a 在(1,]a e ∈为单调递增函数，所以`()h a ＞`(1)h =0，所以()h a 在(1,]a e ∈为单调递增函数. ............................................................ 10分所以22111()()(1)1222h a h e e e e ≤=--=--＜21(31)112--=，所以12()()g x g x -＜1，故命题成立. .................... 12分 22．证明：（Ⅰ）连接OC ，因为OA OC =,所以OCA OAC ∠=∠.2分又因为AD CE ⊥，所以090ACD CAD ∠+∠=，又因为AC 平分BAD ∠，所以OCA CAD ∠=∠，......................... 4分 所以090OCA CAD ∠+∠=，即OC CE ⊥，所以CE 是O 的切线.6分 （Ⅱ）连接BC ，因为AB 是O 的直径，所以090BCA ADC ∠=∠=，因为CE 是O 的切线，所以B ACD ∠=∠， (8)分所以△ABC ∽△ACD ，所以AC ADAB AC=，即2AC AB AD =⋅. ... 10分23．解：直线l 的直角坐标方程为y =， ........................... 3分曲线C 的直角坐标方程为22(1)4x y -+=， .................... 6分 它是以C(1,0)为圆心，半径r=2的圆.圆心C 到直线l 的距离d=2........................................ 8分AB ∴===. .............................. 10分 24. 证明：（I ）∵|2||2||)2()2(|||212121-+-≤---=-x x x x x x ， ∴2||21<-x x ； ...................................................................... 4分 .. （II ）|1||||||)()(|212121222121-+-=+--=-x x x x x x x x x f x f ， ......... 6分 ∵1|2|1<-x ，∴1211<-<-x ，即311<<x ，同理312<<x ，∴6221<+<x x ，∵6221<+<x x ，∴51121<-+<x x ，8分 1202x x ≤-< ,12||x x -≤1212|||1|x x x x -+-≤512||x x - ∴121212|||()()|5||x x f x f x x x -≤-≤- . .................................. 10分。