2020年安徽省高考模拟考试文科数学试题与答案
安徽省2020年高考文科数学模拟试题及答案(一)
参考答案
一、选择题
1.A 2.A3.B 4.A5.C 6.D 7.B 8.B 9.D 10.C 11.B 12.A
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：(1)由已知及余弦定理得2c× ＝2a＋b,
整理得a2＋b2－c2＝－ab,
A．命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”
B．命题“存在 ，使得 ”的否定是：“任意 ，都有 ”
C．若命题“非 ”与命题“ 或 ”都是真命题，那么命题 一定是真命题
D．命题“若 ，则 ”的逆命题是真命题
6.三个数 的大小顺序是
A. B.
C. D.
7.某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为
所以△ABC为等腰三角形，且BC＝AC＝ .
所以△ABC的面积
S＝ BC·AC·sin ＝ × × × ＝ .
18.（1）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数为
.
（Ⅱ）根据题意，得出如下 列联表
骑行爱好者
非骑行爱好者
总计
青年人
700
100
800
非青年人
800
200
1000
总计
1500
300
在四边形 中， ,及(1) 为 中点， ,得 为等腰三角形，
故 ,
则
20.（1）由题设 ， ，
所以 .又 ，
所以 . 的方程为 .
（2）由题设 不平行于 轴，设 ： ，联立 ，
得 . ， .
因为 ，所以四边形 为平行四边形，
四边形 面积
2020年安徽省高考数学(文科)模拟试卷(8)
三棱锥 P﹣ ABC 的外接球表面积为
．
16．（ 5 分）设
F 1，F 2 分别是双曲线
??：
??2 ??2
-
??2 ??2
=
1(??＞ 0，??＞0) 的左、右焦点，
A 是双曲
3 √3
线的左顶点， 点 P 在过点 A 且斜率为
的直线上， 若△ PF1F 2 为等腰三角形， 且∠ F1F2P
7
＝ 120°，则双曲线 C 的离心率为
19．（ 12 分）如图所示，在三棱锥 P﹣ABC 中，△ PAB，△ ABC 均是等边三角形， PA⊥ AC．
（ 1）证明： AB⊥ PC；
（ 2）若 PC＝ 2，求三棱锥 P﹣ ABC 的体积．
20．（ 12 分）设函数 f（ x）＝ x+axlnx （ a∈R ）．
（Ⅰ）讨论函数 f（ x）的单调性；
m 的取值范围．
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2020 年安徽省高考数学（文科）模拟试卷（ 8）
参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）
1．（ 5 分）已知全集 U＝ R， A＝{ x|x﹣ 4＞0} ， B＝ { x|x＜2} ，则 A∪（ ?UB）＝（
）
A ．[2， +∞）
（Ⅱ）若函数 f（ x）的极大值点为 x＝ 1，证明： f（ x）≤ e﹣x+x2．
21．（ 12 分）动点 P 在抛物线
x2＝ 2y 上，过点 P 作 PQ 垂直于
x 轴，垂足为
→
Q，设 ????=
1 2
→
???．?
（Ⅰ）求点 M 的轨迹 E 的方程；
（Ⅱ）设点 S（﹣ 4， 4），过 N（ 4， 5）的直线 l 交轨迹 E 于 A， B 两点，设直线 SA， SB
安徽省黄山市2020届高考数学模拟考试(文科)试题Word版含解析
安徽省黄山市2020届高考数学模拟考试（文科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B（）A．（0，2] B．[﹣1，3）C．[2，3）D．[﹣1，0）2．若复数z满足，其中i是虚数单位，则复数z的共轭复数为=（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i3．已知数列{an }是等差数列，a3+a13=20，a2=﹣2，则a15=（）A．20 B．24 C．28 D．344．若圆锥曲线Γ： =1（m≠0且m≠5）的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则实数m=（）A．9 B．7 C．1 D．﹣15．已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ≤π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ=（）A．B．C．D．6．中国的计量单位可以追溯到4000多年前的氏族社会末期，公元前221年，秦王统一中国后，颁布同一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器．下图是古代的一种度量工具“斗”（无盖，不计量厚度）的三视图（其正视图和侧视图为等腰梯形），则此“斗”的体积为（单位：立方厘米）（）A．2000 B．2800 C．3000 D．60007．已知，c=cos50°cos10°+cos140°sin170°，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a8．若函数f（x）=（ax2+bx）e x的图象如图所示，则实数a，b的值可能为（）A．a=1，b=2 B．a=1，b=﹣2 C．a=﹣1，b=2 D．a=﹣1，b=﹣29．三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA=2，PB=PC=，则当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积和最大时，经过点P，A，B，C的球的表面积是（）A．4π B．8π C．12πD．16π10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1=2∠PF1F2，则双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．11．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2．右面是一个算法的程序框图，当输入n的值为12时，则输出的结果为（）A．2 B．3 C．4 D．512．已知数列{an }满足，Sn是数列{an}的前n项和，若S 2017+m=1010，且a1•m＞0，则的最小值为（）A．2 B．C．D．二、填空题13.已知平面向量=（1，m），=（2，5），=（m，3），且（+）∥（﹣），则m= ．14．已知θ是第四象限，且，则= ．15．过定点P（2，﹣1）作动圆C：x2+y2﹣2ay+a2﹣2=0的一条切线，切点为T，则线段PT长的最小值是．16．已知实x，y数满足，则的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，函数且f（A）=5．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．18．（12分）某民调机构为了了解民众是否支持英国脱离欧盟，随机抽调了100名民众，他们的年龄的频数及支持英国脱离欧盟的人数分布如下表：年龄段18﹣24岁25﹣49岁50﹣64岁65岁及以上频数35202520支持脱欧的人数10101515（Ⅰ）由以上统计数据填下面列联表，并判断是否有99%的把握认为以50岁胃分界点对是否支持脱离欧盟的态度有差异；年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计支持“脱欧”人数不支持“脱欧”人数合计附：P（K2≥k0）0.250.150.100.050.0250.01K1.3232.0722.7063.8415.0246.635（Ⅱ）若采用分层抽样的方式从18﹣64岁且支持英国脱离欧盟的民众中选出7人，再从这7人中随机选出2人，求这2人至少有1人年龄在18﹣24岁的概率．19．（12分）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，CG⊥平面ABCD，DE∥BF∥CG，．P 为线段EF的中点，AP与平面ABCD所成角为60°．在线段CG上取一点H，使得．（Ⅰ）求证：PH⊥平面AEF；（Ⅱ）求多面体ABDEFH的体积．20．（12分）如图所示，在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x，Q（﹣1，0），设点P是第一象限内抛物线C上一点，且PQ为抛物线C的切线．（1）求点P的坐标；（2）圆C1、C2均与直线OP相切于点P，且均与x轴相切，求圆C1、C2的半径之和．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当0＜a＜2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知a=1，函数．若对任意x1∈（0，e]，都存在x2∈（0，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知P为曲线上的动点，直线C2的参数方程为（t为参数）求点P到直线C2距离的最大值，并求出点P的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的方程在x∈[0，3]上有解．（Ⅰ）求正实数a取值所组成的集合A；（Ⅱ）若t2﹣at﹣3≥0对任意a∈A恒成立，求实数t的取值范围．安徽省黄山市2020届高考数学模拟考试（文科）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B（）A．（0，2] B．[﹣1，3）C．[2，3）D．[﹣1，0）【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}={x|x≤﹣1或x≥2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|2≤x＜3}=[2，3）．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．若复数z满足，其中i是虚数单位，则复数z的共轭复数为=（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i【考点】复数相等的充要条件．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵，∴z=i（1+i）=﹣1+i，∴，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知数列{an }是等差数列，a3+a13=20，a2=﹣2，则a15=（）A．20 B．24 C．28 D．34【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知结合等差数列的性质求得a8，进一步求得公差，再由等差数列的通项公式求得a15．【解答】解：∵a3+a13=2a8=20，∴a8=10，又a2=﹣2，∴d=2，得a15=a2+13d=24．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题．4．若圆锥曲线Γ： =1（m≠0且m≠5）的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则实数m=（）A．9 B．7 C．1 D．﹣1【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的性质求得焦点坐标，则c=2，由椭圆的性质可得m﹣5=4，即可求得m的值．【解答】解：由抛物线y2=8x的焦点（2，0），则抛物线的焦点在x轴上，c=2，∴m﹣5=4，∴m=9，故选A．【点评】本题考查圆锥曲线的简单几何性质，属于基础题．5．已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ≤π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ=（）A．B．C．D．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】利用在的函数值相等为，得到φ的表达式，利用已知范围求角．【解答】解：，或，或，又因为0≤φ≤π，所以；故选A．【点评】本题考查了函数值的求法，关键是将问题转化为在的函数值相等为，求出范围内的角．6．中国的计量单位可以追溯到4000多年前的氏族社会末期，公元前221年，秦王统一中国后，颁布同一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器．下图是古代的一种度量工具“斗”（无盖，不计量厚度）的三视图（其正视图和侧视图为等腰梯形），则此“斗”的体积为（单位：立方厘米）（）A．2000 B．2800 C．3000 D．6000【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得出该几何体是正四棱台，结合图中数据计算四棱台的体积即可．【解答】解：由三视图得该几何体是正四棱台，其上、下底面边长分别为10、20，棱台的高为12，所以棱台的体积为=×（102+202+10×20）×12=2800．V四棱台故选：B．【点评】本题考查了几何体三视图与棱台体积公式的应用问题，是基础题．7．已知，c=cos50°cos10°+cos140°sin170°，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用诱导公式与和差公式可得c，再利用指数的运算性质可得a，b．【解答】解：＞1，b==∈，c=cos50°cos10°﹣sin50°sin10°=cos（50°+10°）=cos60°=．∴a＞b＞c．故选：C．【点评】本题考查了诱导公式与和差公式、指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．若函数f（x）=（ax2+bx）e x的图象如图所示，则实数a，b的值可能为（）A．a=1，b=2 B．a=1，b=﹣2 C．a=﹣1，b=2 D．a=﹣1，b=﹣2【考点】函数的图象．【分析】根据函数的零点可得其中一个零点x=﹣＞1，即可判断．【解答】解：令f（x）=0，则（ax2+bx）e x=0，解得x=0或x=﹣，由图象可得﹣＞1，故当a=1，b=﹣2时符合，故选：B【点评】本题考查了函数的图象和识别，属于基础题．9．三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA=2，PB=PC=，则当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积和最大时，经过点P，A，B，C的球的表面积是（）A．4π B．8π C．12πD．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．【解答】解：当PA，PB，PC两两垂直时，三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积和最大，此时2R==4，S=4π•4=16π，故选D．【点评】本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1=2∠PF1F2，则双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意∠F1PF2=90°，利用直角三角形的边角关系即可得到|PF2|=c，|PF1|=c，再利用双曲线的定义及离心率的计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，∠PF2F1=2∠PF1F2=60°，∠F1PF2=90°，∴|PF2|=c，|PF1|=c，由双曲线的定义可得：|PF1|﹣|PF2|=2a，∴，解得e==．故选：D．【点评】熟练掌握圆的性质、直角三角形的边角关系、双曲线的定义、离心率的计算公式是解题的关键．11．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2．右面是一个算法的程序框图，当输入n的值为12时，则输出的结果为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量j的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：n=12，i=2，j=0满足条件i＜12，MOD（12，0）无意义，其逻辑值为0，j=1，i=3满足条件i＜n，MOD（12，1）=0，j=2，i=4满足条件i＜n，MOD（12，2）=0，j=3，i=5满足条件i＜n，MOD（12，3）=0，j=4，i=6满足条件i＜n，MOD（12，4）=0，j=5，i=7满足条件i＜n，MOD（12，5）=2，i=8满足条件i＜n，MOD（12，5）=2，i=9满足条件i＜n，MOD（12，5）=2，i=10满足条件i＜n，MOD（12，5）=2，i=11满足条件i＜n，MOD（12，5）=2，i=12不满足条件i＜n，退出循环，输出j的值为5．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的MOD（n，i）的值是解题的关键，属于基础题．12．已知数列{an }满足，Sn是数列{an}的前n项和，若S 2017+m=1010，且a1•m＞0，则的最小值为（）A．2 B．C．D．【考点】数列与函数的综合；基本不等式．【分析】由S2017﹣a1=（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2016+a2017），结合余弦函数值求和，再由S2017+m=1010，可得a1+m=2，由a1•m＞0，可得a1＞0，m＞0，运用乘1法和基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：数列{an}满足，可得a2+a3=3cosπ=﹣3，a4+a5=5cos2π=5，a6+a7=7cos3π=﹣7，…，a2016+a2017=2017cos1008π=2017，则S2017﹣a1=（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2016+a2017）=﹣3+5﹣7+9﹣…+2017=1008，又S2017+m=1010，所以a1+m=2，由a1•m＞0，可得a1＞0，m＞0，则=（a1+m）（）=（2++）≥（2+2）=2．当且仅当a1=m=1时，取得最小值2．故选：A．【点评】本题考查数列与三角函数的结合，注意运用整体思想和转化思想，考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．二、填空题13.已知平面向量=（1，m），=（2，5），=（m，3），且（+）∥（﹣），则m= ．【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列出方程求出m的值．【解答】解：平面向量=（1，m），=（2，5），=（m，3），则+=（1+m，m+3），﹣=（﹣1m﹣5），且（+）∥（﹣），∴（1+m）（m﹣5）+（m+3）=0，m2﹣3m﹣2=0，解得m=或m=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题目．14．已知θ是第四象限，且，则= ﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系，诱导公式，求得cos（θ﹣）和sin（θ﹣）的值，再利用两角差的正切公式求得的值．【解答】解：因为θ为第四象限角且=cos（﹣θ）=cos（θ﹣），∴θ﹣还是第四象限角，故，∴==﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，以及三角函数在各个象限中的符号，两角差的正切公式的应用，属于基础题．15．过定点P（2，﹣1）作动圆C：x2+y2﹣2ay+a2﹣2=0的一条切线，切点为T，则线段PT长的最小值是．【考点】圆的切线方程．【分析】利用勾股定理表示PT，即可得出结论．【解答】解：由题意，当a=﹣1时PT长最小为，故答案为．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．16．已知实x，y数满足，则的取值范围为[0，1] ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0，﹣1）连线的斜率结合导数求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点与定点P（0，﹣1）连线的斜率．设过P（0，﹣1）的直线与曲线y=lnx相切于点B（x0，lnx），则，切线方程为y﹣lnx0=（x﹣x），把（0，﹣1）代入得：﹣1﹣lnx0=﹣1，得x=1．∴切线的斜率为1．则的取值范围为[0，1]．故答案为：[0，1]．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2017•安徽模拟）已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，函数且f（A）=5．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理．【分析】（1）利用三角恒等变换求得f（A）的解析式，由f（A）=5求得 sin（2A+）的值，从而求得2A+的值，可得A的值．（2）利用余弦定理，基本不等式，求得bc的最大值，可得△ABC面积bc•sinA的最大值．【解答】解：（1）由题意可得：=3+sin2A+cos2A+1=4+2sin（2A+），∴sin（2A+）=，∵A∈（0，π），∴2A+∈（，），∴2A+=，∴A=．（2）由余弦定理可得：，即4=b2+c2﹣bc≥bc（当且仅当b=c=2时“=”成立），即bc≤4，∴，故△ABC面积的最大值是．【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦定理，基本不等式的应用，属于中档题．18．（12分）（2017•安徽模拟）某民调机构为了了解民众是否支持英国脱离欧盟，随机抽调了100名民众，他们的年龄的频数及支持英国脱离欧盟的人数分布如下表：年龄段18﹣24岁25﹣49岁50﹣64岁65岁及以上频数35202520支持脱欧的人数10101515（Ⅰ）由以上统计数据填下面列联表，并判断是否有99%的把握认为以50岁胃分界点对是否支持脱离欧盟的态度有差异；年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计支持“脱欧”人数不支持“脱欧”人数合计附：P（K2≥k0）0.250.150.100.050.0250.01K1.3232.0722.7063.8415.0246.635（Ⅱ）若采用分层抽样的方式从18﹣64岁且支持英国脱离欧盟的民众中选出7人，再从这7人中随机选出2人，求这2人至少有1人年龄在18﹣24岁的概率．【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）根据统计数据，可得2×2列联表，根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论；（Ⅱ）利用列举法确定基本事件的个数，即可得出这2人至少有1人年龄在18﹣24岁的概率．【解答】解：（Ⅰ）年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计支持“脱欧”人数203050不支持“脱欧”人数351550合计5545100所以有99%的把握认为以50岁为分界点对是否支持脱离欧盟的态度有差异．（Ⅱ）18﹣24岁2人，25﹣49岁2人，50﹣64岁3人．记18﹣24岁的两人为A，B；25﹣49岁的两人为C，D；50﹣64岁的三人为E，F，G，则AB，AC，AD，AE，AF，AG，BC，BD，BE，BF，BG，CD，CE，CF，CG，DE，DF，DG，EF，EG，FG共21种，其中含有A或B的有11种．故．【点评】本题考查独立性检验，考查概率的计算，考查学生的阅读与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•安徽模拟）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，CG⊥平面ABCD，DE∥BF∥CG，．P为线段EF的中点，AP与平面ABCD所成角为60°．在线段CG上取一点H，使得．（Ⅰ）求证：PH⊥平面AEF；（Ⅱ）求多面体ABDEFH的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC，BD交于点O，连接OP，则O为BD中点，说明∠PAO为AP与平面ABCD 所成角，通过计算勾股定理证明AP⊥PH．结合PH⊥EF．证明PH⊥平面AEF．（Ⅱ）证明AC⊥平面BDEF．求解，推出点H到平面BFED的距离等于点C到平面BFED的距离，通过V=VA﹣BFED +VH﹣EFBD，求解即可【解答】解：（1）连接AC，BD交于点O，连接OP，则O为BD中点，∴OP⊥DE∴OP⊥平面ABCD，∴∠PAO为AP与平面ABCD所成角，∴∠PAO=60°．在Rt△AOP中，∴．在Rt△AHC中，．梯形OPHC中，．∴AP2+PH2=AH2∴AP⊥PH．又EH=FH，∴PH⊥EF．又AP∩EF=P，∴PH⊥平面AEF．（2）由（1）知，OP⊥平面ABCD，∴OP⊥AC．又AC⊥BD，BD∩OP=O，∴AC⊥平面BDEF．∴．∵CG∥BF，BF⊂平面BFED，CG⊄平面BFED，∴CG∥平面BFED，∴点H到平面BFED的距离等于点C到平面BFED的距离，∴．．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，转化思想的应用．20．（12分）（2017•安徽模拟）如图所示，在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x，Q（﹣1，0），设点P是第一象限内抛物线C上一点，且PQ为抛物线C的切线．（1）求点P的坐标；（2）圆C1、C2均与直线OP相切于点P，且均与x轴相切，求圆C1、C2的半径之和．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】（1）设直线PQ 的方程为：x=my ﹣1，联立利用PQ 为抛物线C 的切线，所以△=0求出m ，可得点P （1，2）．（2）OP 直线方程为：y=2x ，设圆C 1、C 2的圆心坐标分别为（a 1，b 1），（a 2，b 2），其中b 1＞0，b 2＞0，则圆C 1、C 2的半径分别为b 1、b 2，利用圆C 1与直线OP 相切于点P ，推出．说明圆C 1、C 2的半径b 1、b 2是方程b 2﹣5b+5=0的两根，利用韦达定理求解即可． 【解答】解：（1）设直线PQ 的方程为：x=my ﹣1因为PQ 为抛物线C 的切线，所以△=16m 2﹣16=0⇒m=±1． 又因为点P 是第一象限内抛物线C 上一点，所以m=1， 此时点P （1，2）．（2）OP 直线方程为：y=2x ，设圆C 1、C 2的圆心坐标分别为（a 1，b 1），（a 2，b 2），其中b 1＞0，b 2＞0， 则圆C 1、C 2的半径分别为b 1、b 2，因为圆C 1与直线OP 相切于点P ，所以．同理因为圆C2与直线OP相切于点P，所以．即圆C1、C2的半径b1、b2是方程b2﹣5b+5=0的两根，故b1+b2=5．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）（2017•安徽模拟）已知函数．（Ⅰ）当0＜a＜2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知a=1，函数．若对任意x1∈（0，e]，都存在x2∈（0，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当0＜a＜2时，求出函数的导数，当时，当时，分别求解导函数的符号，判断函数的单调性求解单调区间即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1，f（x）在（0，1）内单调递减，（1，2）内单调递增，（2，e）内单调递减，推出x1∈（0，e]，f（x）|min=f（1）=﹣1，∀x1∈（0，e]，∃x2∈[0，2]有f（x1）≥g（x2），转化为：只需g（x）在[0，2]上最小值小于等于﹣1即可．【解答】解：（Ⅰ）当0＜a＜2时，，当时，或0＜x＜2，f（x）在上递增，在（0，2）和上递减；当时，或，f（x）在上递增，在和（2，+∞）上递减；，f（x）在（0，+∞）上递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1，f（x）在（0，1）内单调递减，（1，2）内单调递增，（2，e）内单调递减，又，∴x1∈（0，e]，f（x）|min=f（1）=﹣1故∀x1∈（0，e]，∃x2∈[0，2]有f（x1）≥g（x2），只需g（x）在[0，2]上最小值小于等于﹣1即可．x=2b＜0即b＜0时g（x）最小值，不合题意，舍去；x=2b∈[0，2]，即0≤b≤1时g（x）最小值，；x=2b＞2即b＞1时g（x）最小值，∴b＞1；综上所述：．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及极值的求法，函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•安徽模拟）已知P为曲线上的动点，直线C2的参数方程为（t为参数）求点P到直线C2距离的最大值，并求出点P的坐标．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】化简直线的参数方程为普通方程，设椭圆的P的参数，利用点到直线的距离公式，通过三角函数的最值求解即可．【解答】解：由条件：．设点，点P到C2之距离.．此时cosθ=﹣，此时点．【点评】本题考查直线的参数方程椭圆的参数方程的应用，点到直线的距离公式以及三角函数的最值，考查转化思想以及计算能力．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•安徽模拟）已知关于x的方程在x∈[0，3]上有解．（Ⅰ）求正实数a取值所组成的集合A；（Ⅱ）若t2﹣at﹣3≥0对任意a∈A恒成立，求实数t的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出，然后推出2≤|2a﹣1|≤3求解即可．（Ⅱ）设g（a）=t•a+t2﹣3，利用恒成立列出不等式组，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当x∈[0，3]时，2≤|2a﹣1|≤3且，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，设g（a）=t•a+t2﹣3，则，可得或t≥3．【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，函数恒成立，考查转化思想以及计算能力．。
2020年高考模拟试卷安徽芜湖市(3月份)高考数学仿真模拟测试试卷(文科) 含答案
2020年高考模拟试卷高考数学仿真模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题1．集合A＝{x|﹣3＜x≤2}，B＝{0，1，2，3，4}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{0，1，2}C．C、{﹣1，0，1，2}D．{2}2．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．﹣6B．C．D．23．某课外小组为了了解什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类，随机对该校同学进行问卷调查，根据调查结果，得到如图所示的统计图，已知每个回答该问卷的同学都只能在问卷的五个选项中选择一个，以下结论错误的是（）A．回答该问卷的总人数不可能是100B．回答该问卷的同学中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C．回答该问卷的同学中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D．回答该问卷的同学中，选择播放“播放公益广告”的人数比选择“学校要求”的人数少84．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A．B．C．D．5．已知P（，）为双曲线C：x2﹣＝1（b＞0）上一点，则点P到双曲线C的渐近线的距离为（）A．B．或C．D．或6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①④B．②③C．②④D．①②7．实数x，y满足不等式组，若z＝3x+y的最大值为5，则正数m的值为（）A．2B．C．10D．8．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．9．已知椭圆的右顶点为A，左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），B（﹣a，a），C（﹣a，﹣a），过A，B，C三点的圆与直线相切，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．已知将曲线y＝sin（2x+）向左平移φ（φ＞0）个单位长度后，得到的曲线y＝g（x）经过点（﹣，1），有下列四个结论：①函数g（x）的最小正周期T＝π；②函数g（x）在[，]上单调递增；③曲线y＝g（x）关于直线x＝；④曲线y＝g（x）关于点（，0）对称．其中所有正确的结论是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝a（cos C+sin C），a＝2，c＝，则角C＝（）A．B．C．D．12．已知函数（其中无理数e＝2.718…），关于x的方程有四个不等的实根，则实数λ的取值范围是（）A．B．（2，+∞）C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量＝（2，﹣1），＝（1，3），且⊥（+m），则m＝．14．已知函数f（x）＝e x﹣x2的图象在点（1，f（1））处的切线过点（0，a），则a＝．15．已知tan（+α）＝﹣2，则＝．16．已知点A，B，C，D在同一个球的球面上，，若四面体ABCD的体积为，球心O恰好在棱DA上，则这个球的表面积为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项的和为S n，满足a2＝1，6S n＝3a n+1﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝a2n，数列{b n}的前n项和与积分别为R n与T n，求R n与T n．18．某省确定从2021年开始，高考采用“3+1+2”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目；“1”表示从物理、历史中任选一门：“2”则是从生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目．某高中从高一年级2000名学生（其中女生900人）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行调查（1）已知抽取的n名学生中含男生110人，求n的值及抽取到的女生人数；（2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目）．下表是根据调查结果得到的2×2列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由性别选择物理选择历史总计男生50女生30总计（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理”的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率附：，其中n＝a+d+c+dP（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.0050.001 K0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PBC⊥平面ABCD，PB⊥PD．（1）证明：平面PAB⊥平面PCD；（2）若PB＝PC，E为棱CD的中点，∠PEA＝90°，BC＝2，求四面体A﹣PED的体积．20．已知f（x）＝sin x﹣ax2+2a．（1）若函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线过点P（1，2），求a的值；（2）当a∈[，1]时，求证：f（x）＜．21．已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，抛物线C上的点M（2，y0）到F的距离为3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）斜率存在的直线l与抛物线相交于相异两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2＝4．若AB的垂直平分线交x轴于点G，且＝5，求直线l方程．二、选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（α是参数）．以原点O 为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜x2的解集；（2）若f（x）的最大值为M，且a2+b2＝M，求证：ab≥．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A＝{x|﹣3＜x≤2}，B＝{0，1，2，3，4}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{0，1，2}C．C、{﹣1，0，1，2}D．{2}【分析】利用交集的性质求解．解：∵A＝{x|﹣3＜x≤2}，B＝{0，1，2，3，4}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：B．2．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．﹣6B．C．D．2【分析】先将复数化简，确定其实部和虚部，利用实部和虚部互为相反数，可求b的值．解：由题意，＝＝∵复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数∴∴b＝，故选：C．3．某课外小组为了了解什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类，随机对该校同学进行问卷调查，根据调查结果，得到如图所示的统计图，已知每个回答该问卷的同学都只能在问卷的五个选项中选择一个，以下结论错误的是（）A．回答该问卷的总人数不可能是100B．回答该问卷的同学中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C．回答该问卷的同学中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D．回答该问卷的同学中，选择播放“播放公益广告”的人数比选择“学校要求”的人数少8【分析】根据统计图，一一判断即可．解：根据题意，里面含有13.5%等，所以不可能100人，从统计图可得最多的是⑤，最少的是③，回答该问卷的同学中，选择播放“播放公益广告”的人数比选择“学校要求”的人数少8%，故D错误，故选：D．4．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】设出大正方形的面积，求出阴影部分的面积，从而求出满足条件的概率即可．解：设“东方模板”的面积是4，则阴影部分的三角形面积是1，阴影部分平行四边形的面积是，则满足条件的概率p＝＝，故选：C．5．已知P（，）为双曲线C：x2﹣＝1（b＞0）上一点，则点P到双曲线C的渐近线的距离为（）A．B．或C．D．或【分析】把点P的坐标代入双曲线方程求得b，在利用点到直线距离公式即可求解．解：∵P（，）为双曲线C：x2﹣＝1（b＞0）上一点，∴，∴．∴双曲线C的渐近线方程为则点P到双曲线C的渐近线的距离为＝．故选：B．6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①④B．②③C．②④D．①②【分析】由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点P、A在各个面上的投影，再把它们连接起来，即，△PAC在该正方体各个面上的射影．解：从上下方向上看，△PAC的投影为①图所示的情况；从左右方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；从前后方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；故选：A．7．实数x，y满足不等式组，若z＝3x+y的最大值为5，则正数m的值为（）A．2B．C．10D．【分析】由题意作出其平面区域，将z＝3x+y化为y＝﹣3x+z，z相当于直线y＝﹣3x+z 的纵截距，从而解方程可求出m，即可．解：由题意作出实数x，y满足不等式组的平面区域，将z＝3x+y化为y＝﹣3x+z，z相当于直线y＝﹣3x+z的纵截距，故结合图象可得，，解得，x＝1，y＝2；故m＝2；故选：A．8．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数奇偶性，对称性，单调性和最值之间的关系进行判断即可．解：f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，则图象关于原点对称，故排除D．当x∈（0，π）时，f′（x）＝，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，x∈（，π）时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，则当x＝时，f（x）取得极大值同时也是最大值f（）＝＝＜1，故选：A．9．已知椭圆的右顶点为A，左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），B（﹣a，a），C（﹣a，﹣a），过A，B，C三点的圆与直线相切，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】画出图形．利用射影定理转化求解离心率即可；另解：设过A，B，C三点的圆的圆心为M（m，0），由|MA|＝|MB|，列出方程，转化求解即可．解：射影定理可得：BE2＝AE•ED，即，所以即椭圆的离心率．故选：D．另解：设过A，B，C三点的圆的圆心为M（m，0），由|MA|＝|MB|得：，解得：，所以，∴．故选：D．10．已知将曲线y＝sin（2x+）向左平移φ（φ＞0）个单位长度后，得到的曲线y＝g（x）经过点（﹣，1），有下列四个结论：①函数g（x）的最小正周期T＝π；②函数g（x）在[，]上单调递增；③曲线y＝g（x）关于直线x＝；④曲线y＝g（x）关于点（，0）对称．其中所有正确的结论是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③【分析】根据三角函数的变化关系求出函数的解析式，结合三角函数的周期性，对称性，以及单调性分别进行判断即可．解：将曲线y＝sin（2x+）向左平移φ（φ＞0）个单位长度后，得到y＝sin[2（x+φ）+]＝sin（2x+2φ+），∵y＝g（x）经过点（﹣，1），∴sin[2×（﹣）+2φ+]＝sin（﹣+2φ+）＝sin2φ＝1，即2φ＝2kπ+，则g（x）＝sin（2x+2φ+）＝sin（2x+2kπ++）＝sin（2x++）＝cos（2x+），①函数g（x）的最小正周期T＝＝π；故①正确，②当x∈[，]时，2x∈[，]，2x+∈[2π，3π]，此时函数为减函数，即函数g（x）在[，]上单调递增错误，故②错误；③当x＝时，g（）＝cos（2×+）＝cos＝0，曲线y＝g（x）关于直线x＝不正确；故③错误，④当x＝时，g（）＝cos（2×+）＝cos＝0，曲线y＝g（x）关于点（，0）对称，故④正确，故正确的是①④，故选：C．11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝a（cos C+sin C），a＝2，c＝，则角C＝（）A．B．C．D．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式tan A＝，结合范围A∈（0，π），可求sin A的值，进而根据正弦定理可得sin C的值，结合大边对大角可求C为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求解．解：∵b＝a（cos C+sin C），∴由正弦定理可得：sin B＝sin A cos C+sin C sin A，又∵sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∴可得：sin A＝cos A，可得：tan A＝，∵A∈（0，π），∴A＝，可得：sin A＝，又∵a＝2，c＝，∴由正弦定理可得：sin C＝＝＝，∵c＜a，C为锐角，∴C＝．故选：D．12．已知函数（其中无理数e＝2.718…），关于x的方程有四个不等的实根，则实数λ的取值范围是（）A．B．（2，+∞）C．D．【分析】求导数，确定函数的单调性，可得x＝2时，函数取得极小值，关于x的方程有四个相异实根，则t+＝λ的一根在（0，），另一根在（，+∞）之间，再由对勾函数的单调性即可得出结论．解：由题意，函数的导数为f′（x）＝，∴0＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，x＜0或x＞2时，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x＝2时，函数取得极小值，关于x的方程x的方程有四个相异实根，设t＝，则t+＝λ的一根在（0，），另一根在（，+∞）之间，∴y＝t+在t＝处取得最小值+，∴λ＞+，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量＝（2，﹣1），＝（1，3），且⊥（+m），则m＝5．【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，列方程求出m的值．解：向量＝（2，﹣1），＝（1，3），且⊥（+m），∴•（+m）＝+m•＝0，即22+（﹣1）2+m（2﹣3）＝0，解得m═5．故答案为：5．14．已知函数f（x）＝e x﹣x2的图象在点（1，f（1））处的切线过点（0，a），则a＝1．【分析】求得函数f（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得a 的值．解：函数f（x）＝e x﹣x2的导数为f′（x）＝e x﹣2x，函数f（x）＝e x﹣x2的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为e﹣2，切点为（1，e﹣1），由切线过点（0，a），可得：e﹣2＝，解得a＝1，故答案为：1．15．已知tan（+α）＝﹣2，则＝．【分析】由已知求得tanα，把要求值的式子化弦为切求解．解：由tan（+α）＝＝＝﹣2，得tanα＝3，∴＝＝＝．故答案为：．16．已知点A，B，C，D在同一个球的球面上，，若四面体ABCD的体积为，球心O恰好在棱DA上，则这个球的表面积为16π．【分析】确定△ABC外接圆直径为AC，由四面体ABCD中球心O恰好在侧棱DA上，V＝＝，可得D到面ABC的距离为2，即可得球半径R＝AO＝即可．解：∵点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB＝BC＝，AC＝2，∴AB2+BC2＝AC2，∴AB⊥BC，∴△ABC外接圆直径为AC，圆心O1是AC中点，∵四面体ABCD中球心O恰好在侧棱DA上，∵四面体ABCD的体积为，∴V＝＝，∴h＝2，即D到面ABC的距离为2，∴球心O到面ABC的距离为．∴球半径R＝AO＝，∴这个球的表面积S＝4πR2＝4π×22＝16π．故答案为：16π．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项的和为S n，满足a2＝1，6S n＝3a n+1﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝a2n，数列{b n}的前n项和与积分别为R n与T n，求R n与T n．【分析】（Ⅰ）a2＝1，6S n＝3a n+1﹣1．n＝1时，6a1＝3a2﹣1，解得a1．n≥2时，6a n ＝6S n﹣6S n﹣1．化为：a n+1＝3a n，n＝1时满足．利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）b n＝a2n＝32n﹣2＝9n﹣1．分别利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．解：（Ⅰ）∵a2＝1，6S n＝3a n+1﹣1．∴n＝1时，6a1＝3a2﹣1，解得a1＝．n≥2时，6a n＝6S n﹣6S n﹣1＝3a n+1﹣1﹣（3a n﹣1）．化为：a n+1＝3a n，n＝1时满足．∴数列{a n}是等比数列，首项为，公比为3．∴＝3n﹣2．（Ⅱ）b n＝a2n＝32n﹣2＝9n﹣1．∴R n＝＝．T n＝90+1+2+……+（n﹣1）＝＝．18．某省确定从2021年开始，高考采用“3+1+2”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目；“1”表示从物理、历史中任选一门：“2”则是从生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目．某高中从高一年级2000名学生（其中女生900人）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行调查（1）已知抽取的n名学生中含男生110人，求n的值及抽取到的女生人数；（2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目）．下表是根据调查结果得到的2×2列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由性别选择物理选择历史总计男生6050110女生306090总计90110200（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理”的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率附：，其中n＝a+d+c+dP（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.0050.001 K0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（1）根据题意列方程求出n的值，再求出女生人数；（2）根据题意填写列联表，计算K2的值，对照临界值得出结论；（3）利用分层抽样法和列举法，求出基本事件数，计算所求的概率值．解：（1）根据题意知，＝，解得n＝200，所以女生人数为200﹣110＝90（人）；（2）根据题意填写列联表如下，性别选择物理选择历史总计男生6050110女生306090总计90110200计算K2＝≈8.999＞7.879，所以有99.5%的把握认为选择科目与性别有关；（3）从90个选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，这这6名学生中有4名男生，记为a、b、c、d，2名女生，记为E、F，从这6人中抽取2人，基本事件为：ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种；抽取的2人中至少有1名女生的基本事件为：aE、aF、bE、bF、cE、cF、dE、dF、EF共9种；故所求的概率为P＝＝．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PBC⊥平面ABCD，PB⊥PD．（1）证明：平面PAB⊥平面PCD；（2）若PB＝PC，E为棱CD的中点，∠PEA＝90°，BC＝2，求四面体A﹣PED的体积．【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得CD⊥BC．再由已知结合面面垂直的性质可得CD⊥平面PBC，进一步得到CD⊥PB．再由PB⊥PD，利用线面垂直的判定可得PB⊥面PCD，进一步得到平面PAB⊥平面PCD；（2）取BC的中点O，连接OP、OE．由PB⊥平面PCD，可得PB⊥PC，求得OP，然后求解三角形可得ED，再求出三角形AED的面积，利用等积法即可求得四面体A﹣PED 的体积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥BC．∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面PBC，则CD⊥PB．∵PB⊥PD，CD∩PD＝D，CD、PD⊂平面PCD，∴PB⊥平面PCD．∵PB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）解：取BC的中点O，连接OP、OE．∵PB⊥平面PCD，∴PB⊥PC，∴，∵PB＝PC，∴PO⊥BC．∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC，∴PO⊥平面ABCD，∵AE⊂平面ABCD，∴PO⊥AE．∵∠PEA＝90°，∴PE⊥AE．∵PO∩PE＝P，∴AE⊥平面POE，则AE⊥OE．∵∠C＝∠D＝90°，∴∠OEC＝∠EAD，∴Rt△OCE～Rt△EDA，则．∵OC＝1，AD＝2，CE＝ED，∴，∴＝．20．已知f（x）＝sin x﹣ax2+2a．（1）若函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线过点P（1，2），求a的值；（2）当a∈[，1]时，求证：f（x）＜．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义及已知直线的斜率公式即可求解a；（2）要证：f（x）＜即证sin x﹣ax2+2a﹣＜0，构造函数g（a）＝（2﹣x2）a+sin x ﹣，a∈[，1]，结合一次函数的性质，只要证g（）＜0，g（1）＜0，结合函数的性质及导数即可证明．解：（1）f′（x）＝cos x﹣2ax，因为函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线过点P（1，2），所以切线的斜率k＝f′（0）＝1＝，所以a＝；（2）要证：f（x）＜即证sin x﹣ax2+2a﹣＜0，令g（a）＝（2﹣x2）a+sin x﹣，a∈[，1]，因为g（）＝sin x﹣x2﹣，故只要证明g（1）＝sin x﹣x2＜0，令h（x）＝sin x﹣x2，则h′（x）＝cos x﹣2x，因为h′（x）在（0，）上单调递减，且h′（0）＞0，＝＜0，故存在使得cos x0﹣2x0＝0，则x∈（0，x0）时，h′（x）＞0，函数单调递增，当x时，h′（x）＜0，函数单调递减，所以h（x）≤h（x0）＝sin x0﹣＝sin x0﹣＝，＝﹣＜0，∴g（1）＝sin x﹣x2＜0，根据一次函数的性质可得，当a∈[，1]时，f（x）＜．21．已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，抛物线C上的点M（2，y0）到F的距离为3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）斜率存在的直线l与抛物线相交于相异两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2＝4．若AB的垂直平分线交x轴于点G，且＝5，求直线l方程．【分析】（Ⅰ）由抛物线定义知MF＝2+＝3，⇒p＝2．即可得抛物线方程．（Ⅱ）设AB中点坐标（2，m），＝，由得y2﹣2my+2m2﹣8＝0，其中△＞0得到m2＜8，．AB的垂直平分线方程为：y﹣m＝﹣，可得G（4，0），，．由＝5 可得m＝，即可．解：（Ⅰ）由抛物线定义知MF＝2+所以2+＝3，⇒p＝2．所以，抛物线方程为y2＝4x．（Ⅱ）设AB中点坐标（2，m），直线l的斜率存在，所以m≠0，＝，所以直线AB方程为：y﹣m＝，即2x﹣my+m2﹣4＝0．由得y2﹣2my+2m2﹣8＝0，其中△＞0得到m2＜8，．AB的垂直平分线方程为：y﹣m＝﹣，，令y＝0，得x＝4，所以G（4，0），，．因为＝5，所以（x1﹣4）（x2﹣4）+y1y2＝5．x1x2﹣4（x1+x2）+16+y1y2＝5，③，把②代入③得（（m2﹣4）2+8（m2﹣4）﹣20＝0，（m2+6）（m2﹣6）＝0，m2＝6＜8，m＝，所以，直线l方程为2x﹣或2x+．二、选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（α是参数）．以原点O 为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的直角坐标．【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x＝ρcosθ、y＝ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．（2）求得椭圆上的点到直线x+y﹣8＝0的距离为，可得d的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P的坐标．解：（1）由曲线C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线C1的普通方程为：．由曲线C2：得：，即ρsinθ+ρcosθ＝8，所以x+y﹣8＝0，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8＝0．（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x+y﹣8＝0的距离为，∴当时，d的最小值为，此时点P的坐标为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜x2的解集；（2）若f（x）的最大值为M，且a2+b2＝M，求证：ab≥．【分析】（1）对x讨论，分x＜0，0＜x＜1，x≥1，去绝对值，结合二次不等式的解法，求并集可得所求解集；（2）由分段函数的最值求法，可得M，再由重要不等式结合绝对值不等式的解法，即可得证．解：（1）不等式f（x）＜x2即为﹣|x﹣1|＜x2，可得或或，即有x＞1或x∈∅或x＜0，综上可得原不等式的解集为（﹣∞，0）∪（1．+∞）；（2）证明：当x≥1时，f（x）＝2﹣x，此时f（x）≤1；当0＜x＜1时，f（x）＝x∈（0，1）；当x＜0时，f（x）＝x﹣2，此时f（x）＜﹣2，可得f（x）的最大值为1，即a2+b2＝1，由a2+b2≥2|ab|，可得﹣≤ab≤，故ab≥﹣．。
2020年安徽省安庆市示范高中高考数学模拟试卷（文科）（5月份）（解析版）
2020年安徽省安庆市⽰范⾼中⾼考数学模拟试卷（⽂科）（5⽉份）（解析版）2020年⾼考（⽂科）数学（5⽉份）模拟试卷⼀、选择题（共12⼩题）.1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2，x∈Z}，B＝{x|2x＜1}，则集合A∩B的⼦集个数为（）A．1B．2C．3D．42．若复数z＝（i是虚数单位），则z在复平⾯内对应的点在（）A．第四象限B．第三象限C．第⼆象限D．第⼀象限3．若平⾯向量＝（2，0），﹣＝（1，﹣），则?＝（）A．3+B．2C．1﹣D．24．某单位统计了本单位的职⼯⼀天⾏⾛步数（单位：百步）得到如图频率分布直⽅图：估计该单位职⼯⼀天⾏⾛步数的平均值为（同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值为代表）（）A．125B．125.6C．124D．1265．已知项数为奇数的等⽐数列{a n}的⾸项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等⽐数列的项数为（）A．5B．7C．9D．116．古代《冰糖葫芦》算法题：⼀个⼩摊上摆满了五彩缤纷的“冰糖葫芦”，“冰糖葫芦”制作有两种，⼀种是5个⼭楂；另⼀种是2个⼭楂、3个⼩桔⼦．若⼩摊上⼭楂共640个，⼩桔⼦共360个，现从⼩摊上随机选取⼀个“冰糖葫芦”，则这个“冰糖葫芦”是5个⼭楂的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.67．已知函数f（x）＝2|x|+|x|﹣3，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）8．我国古代数学专著《九章算术》⽤“更相减损术”求两个正整数的最⼤公约数是⼀个伟⼤创举，这个伟⼤创举与古⽼的算法“辗转相除法”实质⼀样，如图的程序框图既源于“辗转相除法”．当输⼊a＝1081，b＝805时，输出的a＝（）A．7B．11C．23D．479．已知函数f（x）＝2cos（sin（ω＞0），若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数f（x）的图象关于直线x＝ω对称，将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）任意两个不同零点之差的绝对值得最⼩值为（）A．B．πC．3D．3π10．COVID﹣19是⼀种新型冠状病毒（因其表⾯有类似王冠上的突起⽽得名），感染者在潜伏期便已具备传染能⼒．为⽅便病⼈的转移及隔离，某企业设计了⼀种微型全封闭有底的隔离舱，其三视图如图所⽰（单位：m），其中正视图的上半部分是⼀段圆弧，则该隔离舱的表⾯积为（）A．3B．3C．D．11．已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线C的右⽀交于A，B两点，设点H（x H，y H），G（x G，y G）分别为△AF1F2，△BF1F2的内⼼，若|y H|＝3|y G|，则|HG|＝（）A．2B．3C．3D．412．下列命题为真命题的是（）①1nπ＞1n2 ②π＞e③sin3＜sin4 ④sin1＞A．①④B．②④C．②③D．①②④⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝的图象在点（1，f（1））处的切线⽅程为．14．已知变量x，y满⾜不等式组则z＝x+3y的最⼤值为．15．已知椭圆E：＝1（m＞0）的右焦点为F，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆E的⽅程为．16．已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝1，AF⊥平⾯ABCD，且AF＝3，E为线段DC 上⼀点，沿直线AE将△DAE翻折成△D'AE，M为BD'的中点，则三棱锥M﹣BCF体积的最⼩值是．三、解答题：共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考⽣都必须作答．第22、23题为选考题，考⽣根据要求作答．（⼀）必考题：共60分．17．在3+1+2的新⾼考模式下，某学校计划在⾼⼀下学期开设“物理”和“历史”两个选修科⽬．为了了解学⽣对这两个科⽬的选课意向，以便提前规划教育资源，教务处从⾼⼀年级500名学⽣（其中男⽣200⼈，⼥⽣300⼈）中，采⽤分层抽样的⽅法从中抽取部分学⽣进⾏调查．其中，⼥⽣⽐男⽣多抽取20⼈．（1）请问总共抽取了多少名学⽣进⾏调查；（2）新⾼考模式要求每名学⽣在“物理”和“历史”这两个科⽬中必须选择⼀个科⽬且只能选择⼀个科⽬，下表是根据调查结果得到的⼀个不完整的列联表，请将下⾯的列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择科⽬与性别有关？选择“物理”选择“历史”总计男⽣⼥⽣25总计55附：．P（K2≥k e）0.050.010.0050.001k e 3.841 6.6357.87910.82818．在△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）当cos B＝时，求的值；（2）在（1）的条件下，若，且△ACD的⾯积为，求△ABC的周长．19．如图，已知AB⊥平⾯ACD，DE⊥平⾯ACD，△ACD 是边长为2的正三⾓形，F是CD的中点，且BC＝BE＝．（1）求证：AF∥平⾯BCE；（2）求点D到平⾯BCE的距离．20．已知抛物线C：y2＝2px上⼀点M（，y0）到其焦点F的距离等于．（1）求抛物线C的标准⽅程；（2）若不垂直于x轴的直线l交抛物线C于A，B两点，直线FA与FB的倾斜⾓互补，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21．已知函数f（x）＝e2x+2ae x+2ax，其中a＜0．（1）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线⽅程；（2）若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x）≥0恒成⽴，求实数a的取值范围．（⼆）选考题：共10分．请考⽣在第22、23两题中任选⼀题作答．如果多做，则按所做的第⼀题计分．（本⼩题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数⽅程]22．在平⾯直⾓坐标系xOy中，直线l的参数⽅程是，（t是参数，，曲线C1的参数⽅程是（φ为参数）．以O为极点，x轴的⾮负半轴为极轴且取相同的单位长度建⽴极坐标系，曲线C2的极坐标⽅程是ρ＝4b sinθ．（1）求直线l及曲线C1的极坐标⽅程；（2）若，l与C1交于O，M两点，l与C2交于O，N两点，求|OM||ON|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（本⼩题满分0分）23．已知函数f（x）＝|3x+m|﹣2m（m∈R）．（1）当m＝﹣1时，求不等式f（x）＜10的解集；（2）若?x∈R，f（x）+3|x﹣1|≥5恒成⽴，求实数m的取值范围．参考答案⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2，x∈Z}，B＝{x|2x＜1}，则集合A∩B的⼦集个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】求出集合A，B，从⽽求出集合A∩B，由此能求出集合A∩B的⼦集个数．解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤2，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|2x＜1}＝{x|x＜0}，∴集合A∩B＝{﹣1}，∴集合A∩B的⼦集个数为2．故选：B．2．若复数z＝（i是虚数单位），则z在复平⾯内对应的点在（）A．第四象限B．第三象限C．第⼆象限D．第⼀象限【分析】利⽤复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解：∵z＝＝，∴z在复平⾯内对应的点的坐标为（），在第⼆象限．故选：C．3．若平⾯向量＝（2，0），﹣＝（1，﹣），则?＝（）A．3+B．2C．1﹣D．2【分析】利⽤已知条件求出，然后求解向量的数量积即可．解：平⾯向量＝（2，0），﹣＝（1，﹣），可得＝（1，），所以?＝（2，0）?（1，）＝2．故选：B．4．某单位统计了本单位的职⼯⼀天⾏⾛步数（单位：百步）得到如图频率分布直⽅图：估计该单位职⼯⼀天⾏⾛步数的平均值为（同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值为代表）（）A．125B．125.6C．124D．126【分析】由频率分布直⽅图能估计该单位职⼯⼀天⾏⾛步数的平均值．解：由频率分布直⽅图：估计该单位职⼯⼀天⾏⾛步数的平均值为：＝60×0.002×20+80×0.006×20+100×0.008×20+120×0.012×20+140×0.010×20+160×0.008×20+180×0.002×20+200×0.002×20＝125.6．故选：B．5．已知项数为奇数的等⽐数列{a n}的⾸项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等⽐数列的项数为（）A．5B．7C．9D．11【分析】根据题意，设a n＝a1?q n﹣1＝q n﹣1，由等⽐数列的前n项和公式可得q的值，进⽽求得结论．解：根据题意，数列{a n}为等⽐数列，设a n＝a1?q n﹣1＝q n﹣1，⼜由数列{a n}的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则q＝＝2，故s n＝21+10＝?2n﹣1＝31?n＝5；故选：A．6．古代《冰糖葫芦》算法题：⼀个⼩摊上摆满了五彩缤纷的“冰糖葫芦”，“冰糖葫芦”制作有两种，⼀种是5个⼭楂；另⼀种是2个⼭楂、3个⼩桔⼦．若⼩摊上⼭楂共640个，⼩桔⼦共360个，现从⼩摊上随机选取⼀个“冰糖葫芦”，则这个“冰糖葫芦”是5个⼭楂的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6【分析】设5个⼭楂的“冰糖葫芦”有x个，2个⼭楂、3个⼩桔⼦的“冰糖葫芦”有y 个，列出⽅程组求出x＝80，y＝120，基本事件总数n＝80+120＝200，这个“冰糖葫芦”是5个⼭楂包含的基本事件个数m＝80，由此能求出这个“冰糖葫芦”是5个⼭楂的概率．解：设5个⼭楂的“冰糖葫芦”有x个，2个⼭楂、3个⼩桔⼦的“冰糖葫芦”有y个，则，解得x＝80，y＝120，基本事件总数n＝80+120＝200，这个“冰糖葫芦”是5个⼭楂包含的基本事件个数m＝80，则这个“冰糖葫芦”是5个⼭楂的概率为P＝．故选：B．7．已知函数f（x）＝2|x|+|x|﹣3，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【分析】由f（x）＝2|x|+|x|﹣3＞0，得2|x|＞﹣|x|+3，作出函数y＝2|x|与y＝﹣|x|+3的图象，数形结合得答案．解：由f（x）＝2|x|+|x|﹣3＞0，得2|x|＞﹣|x|+3，作出函数y＝2|x|与y＝﹣|x|+3的图象如图，当x＞0时，由2|x|＞﹣|x|+3，得2x＞﹣x+3，再令g（x）＝2x+x﹣3，当x＞0时，该函数为增函数，⽽g（1）＝0，∴x＞0时，函数y＝2|x|与y＝﹣|x|+3的图象的交点的横坐标为1，由对称性可得，x＜0时，函数y＝2|x|与y＝﹣|x|+3的图象的交点的横坐标为﹣1，由图可知，不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：C．8．我国古代数学专著《九章算术》⽤“更相减损术”求两个正整数的最⼤公约数是⼀个伟⼤创举，这个伟⼤创举与古⽼的算法“辗转相除法”实质⼀样，如图的程序框图既源于“辗转相除法”．当输⼊a＝1081，b＝805时，输出的a＝（）A．7B．11C．23D．47【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利⽤循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运⾏过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序框图的运⾏过程，如下；a＝1081，b＝805，执⾏循环体，r＝276，a＝805，b＝276，不满⾜退出循环的条件，执⾏循环体，r＝253，a＝276，b＝253，不满⾜退出循环的条件，执⾏循环体，r＝23，a＝253，b＝23，不满⾜退出循环的条件，执⾏循环体，r＝0，a＝23，b＝0，此时，满⾜退出循环的条件r＝0，退出循环，输出a的值为23．故选：C．9．已知函数f（x）＝2cos（sin（ω＞0），若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数f（x）的图象关于直线x＝ω对称，将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）任意两个不同零点之差的绝对值得最⼩值为（）A．B．πC．3D．3π【分析】由题意利⽤三⾓恒等变换化简f（x）的解析式，再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，结合正弦函数的周期性和零点，求出函数g（x）任意两个不同零点之差的绝对值得最⼩值．解：∵函数f（x）＝2cos（sin＝sinωx+cosωx+1＝sin （ωx+）+1（ω＞0），若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ωx+∈（﹣ω2+，ω2+），∴﹣ω2+≥﹣，ω2+≤，求得ω≤．⼜函数f（x）的图象关于直线x＝ω对称，∴ω2+＝kπ+，即ω＝，∴ω＝，f（x）＝sin（x+）+1．将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）＝sin（x++）+1＝sin（x+）+1的图象．令g（x）＝0，求得sin（x+）＝﹣，则函数g（x）任意两个不同零点之差的绝对值得最⼩值为＝?＝，故选：A．10．COVID﹣19是⼀种新型冠状病毒（因其表⾯有类似王冠上的突起⽽得名），感染者在潜伏期便已具备传染能⼒．为⽅便病⼈的转移及隔离，某企业设计了⼀种微型全封闭有底的隔离舱，其三视图如图所⽰（单位：m），其中正视图的上半部分是⼀段圆弧，则该隔离舱的表⾯积为（）A．3B．3C．D．【分析】⾸先把三视图转换为直观图，进⼀步求出⼏何体的表⾯积．解：根据⼏何体的三视图转换为直观图为：该⼏何体为由圆柱的⼀部分和四棱柱体构成的组合体．如图所⽰：所以侧⾯的弧半径为：r＝，该⼏何体的表⾯积为：S═+2×+＝．故选：C．11．已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线C 的右⽀交于A，B两点，设点H（x H，yH），G（x G，y G）分别为△AF1F2，△BF1F2的内⼼，若|y H|＝3|y G|，则|HG|＝（）A．2B．3C．3D．4【分析】不妨设直线AB的斜率⼤于0，连接HG，HF2，GF2，设△AF1F2的内切圆与三边的交点分别为D，E，F，运⽤切线的性质和双曲线的定义，求得G，H的横坐标为a，结合直⾓三⾓形的正切函数的定义和⼆倍⾓公式，计算可得所求值．解：不妨设直线AB的斜率⼤于0，连接HG，HF2，GF2，设△AF1F2的内切圆与三边的交点分别为D，E，F，则|AF1|﹣|AF2|＝|AD|+|DF1|﹣（|AE|+|EF2|）﹣|DF1|﹣|EF2|＝|F1F|﹣|FF2|，即为2a＝c+x H﹣（c﹣x H），可得x H＝a，同理可得x G＝a，则HG⊥F1F2，在直⾓三⾓形F2FG中，|FG|＝|FF2|tan＝（c﹣a）tan，在直⾓三⾓形F2FH中，|FH|＝|FF2|tan（﹣θ）＝（c﹣a）tan（﹣θ），⼜|y H|＝3|y G|，所以|FH|＝3|HG|，即（c﹣a）tan（﹣θ）＝＝3（c﹣a）tan，解得tan＝，tanθ＝＝，可得θ＝，所以|HG|＝4|FG|＝4（2﹣）tan＝4，故选：D．12．下列命题为真命题的是（）①1nπ＞1n2 ②π＞e③sin3＜sin4 ④sin1＞A．①④B．②④C．②③D．①②④【分析】构造函数f（x）＝lnx﹣ln2，根据函数单调性判断①，构造函数f（x）＝lnx ﹣，根据函数单调性判断②，根据正弦函数单调性判断③，作差，提公因式，再根据余弦函数单调性判断④．解：（1）令f（x）＝lnx﹣?ln2，则f′（x）＝﹣＝，∴当0＜x＜4时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，4）上单调递增，∴f（π）＜f（4），即lnπ﹣ln2＜0，故lnπ＜ln2，故①错误；（2）令f（x）＝lnx﹣，则f′（x）＝﹣＝，∴当0＜x＜4e时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，4e）上单调递增，∴f（π）＞f（e），即lnπ﹣＞0，即lnπ＞，故π＞e，故②正确；（3）令f（x）＝sin x，则f（x）在（，）上单调递减，⼜＜3＜4＜，∴sin3＞sin4，故③错误；（4）sin1﹣sin＝sin（2cos﹣），∵y＝cos x在（0，）上是减函数，∴cos＞cos＝＞，∴2cos﹣＞0，⼜sin＞0，∴sin1﹣sin＞0，即sin1＞sin，故④正确．故选：B．⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝的图象在点（1，f（1））处的切线⽅程为y＝3x﹣4．【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，求得切点，由点斜式⽅程可得所求切线的⽅程．解：函数f（x）＝的导数为f′（x）＝，可得f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为k＝1+2＝3，⼜f（1）＝﹣1，则切线的⽅程为y+1＝3（x﹣1），即为y＝3x﹣4．故答案为：y＝3x﹣4．14．已知变量x，y满⾜不等式组则z＝x+3y的最⼤值为．【分析】作出不等式组对应的平⾯区域，利⽤⽬标函数的⼏何意义进⾏求解即可．解：作出不等式组对应的平⾯区域如图：由z＝x+3y得y＝﹣+，平移直线y＝﹣+，由图象知当直线经过A点时直线的纵截距最⼤，此时z最⼤，由，得A（，），此时z＝+3×＝，即⽬标函数的最⼤值为，故答案为：．15．已知椭圆E：＝1（m＞0）的右焦点为F，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆E的⽅程为．【分析】由题意可知，点F（，0），所以直线AB的斜率为，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），利⽤点差法可得，＝＝k，从⽽求得m的值，再代⼊椭圆E的⽅程中即可得解．解：由题意可知，点F（，0），所以直线AB的斜率为，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，两式相减，整理得，＝，所以＝，解得m＝9，∴椭圆E的⽅程为．故答案为：．16．已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝1，AF⊥平⾯ABCD，且AF＝3，E为线段DC 上⼀点，沿直线AE将△DAE翻折成△D'AE，M为BD'的中点，则三棱锥M﹣BCF体积的最⼩值是．【分析】由题意画出图形，可得△BCF的⾯积为定值，求出D′到平⾯BCF的最⼩值，可得M到平⾯BCF的最⼩值，则三棱锥M ﹣BCF的体积的最⼩值可求．解：三棱锥M﹣BCF的底⾯三⾓形BCF是固定的，⼜AF⊥底⾯ABC，BC?平⾯ABC，∴AF⊥BC，⼜在矩形ABCD中，BC⊥AB，AB∩AF＝A，∴BC⊥平⾯ABF，⼜BF?平⾯ABF，∴BF⊥BC．∴＝．要求三棱锥M﹣BCF体积的最⼩值，只需求点M到平⾯BCF距离的最⼩值h即可．∵M为BD'的中点，∴点M到平⾯BCF的距离等于D′到底⾯BCF距离h′的⼀半．∵E为DC上的动点，且AD′＝1，∴D′的轨迹为以A为球⼼，以为半径的球⾯的⼀部分，作AG⊥BF，交BF于G，当D′为AG与球⾯的交点时，h′最⼩，此时h′＝AG﹣AD′＝，∴V M﹣BCF≥＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考⽣都必须作答．第22、23题为选考题，考⽣根据要求作答．（⼀）必考题：共60分．17．在3+1+2的新⾼考模式下，某学校计划在⾼⼀下学期开设“物理”和“历史”两个选修科⽬．为了了解学⽣对这两个科⽬的选课意向，以便提前规划教育资源，教务处从⾼⼀年级500名学⽣（其中男⽣200⼈，⼥⽣300⼈）中，采⽤分层抽样的⽅法从中抽取部分学⽣进⾏调查．其中，⼥⽣⽐男⽣多抽取20⼈．（1）请问总共抽取了多少名学⽣进⾏调查；（2）新⾼考模式要求每名学⽣在“物理”和“历史”这两个科⽬中必须选择⼀个科⽬且只能选择⼀个科⽬，下表是根据调查结果得到的⼀个不完整的列联表，请将下⾯的列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择科⽬与性别有关？选择“物理”选择“历史”总计男⽣⼥⽣25总计55附：．P（K2≥k e）0.050.010.0050.001k e 3.841 6.6357.87910.828【分析】（1）设⼥⽣抽取x⼈，则男⽣抽取（x﹣20）⼈，利⽤抽样⽐例列⽅程求出即可；（2）根据题意补充完整列联表，计算K2，对照数表得出结论．解：（1）设⼥⽣抽取x⼈，则男⽣抽取（x﹣20）⼈，则x：（x﹣20）＝3：2，解得x＝60，所以总共抽取了60+（60﹣20）＝100（⼈）；（2）根据题意补充完整列联表如下；选择“物理”选择“历史”总计男⽣301040⼥⽣253560总计5545100由表中数据，计算K2＝＝≈10.774＜10.828，所以没有99.9%的把握认为选择科⽬与性别有关．18．在△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）当cos B＝时，求的值；（2）在（1）的条件下，若，且△ACD的⾯积为，求△ABC的周长．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差⾓公式进⾏化简，即可求解．（2）由已知结合三⾓形的⾯积公式可求c，进⽽可求a，b，从⽽可求三⾓形的周长．解：（1）因为，cos B＝，由正弦定理可得，＝1，且sin B＝整理可得，sin B cos A+sin A cos B＝sin A sin B，即sin（A+B）＝sin C＝sin A sin B＝sin A，由正弦定理可得，＝＝；（2）由（1）可得a＝c，B＝，由，且△ACD的⾯积为，可得△ACB的⾯积为2，故＝2，所以c＝2，a＝2，由余弦定理可得，＝4+8＝4，故b＝2，故△ABC的周长为4+2．19．如图，已知AB⊥平⾯ACD，DE⊥平⾯ACD，△ACD是边长为2的正三⾓形，F是CD的中点，且BC＝BE＝．（1）求证：AF∥平⾯BCE；（2）求点D到平⾯BCE的距离．【分析】（1）取CE的中点G，连接BG，FG．证明四边形ABGF是平⾏四边形可得AF∥BG，故AF∥平⾯BCE；（2）证明BG⊥平⾯CDE，计算三棱锥B﹣CDE的体积，根据V B﹣CDE＝V D﹣BCE计算点D到平⾯BCE的距离．【解答】（1）证明：取CE的中点G，连接BG，FG．∵F，G分别是CD，CE的中点，∴FG∥DE，FG＝DE，∵AB⊥平⾯ACD，DE⊥平⾯ACD，∴AB∥DE，∵AC＝AD＝2，BC＝BE＝，∴AB＝1，DE＝2或DE＝0（舍），∴AB＝DE，∴FG∥AB，FG＝AB，∴四边形ABGF是平⾏四边形，∴AF∥BG，⼜BG?平⾯BCE，AF?平⾯BCE，∴AF∥平⾯BCE．（2）解：∵DE⊥平⾯ACD，AF?平⾯ACD，∴DE⊥AF，⼜AF∥BG，∴DE⊥BG，∵BC＝BE，G是CE的中点，∴BG⊥CE，⼜CE∩DE＝E，CE?平⾯CDE，DE?平⾯CDE，∴BG⊥平⾯CDE．∵△ACD是边长为2的等边三⾓形，∴BG＝AF＝，∴V B﹣CDE＝＝＝，∵BC＝BE＝，CE＝＝2，∴S△BCE＝×＝，设D到平⾯BCE的距离为h，则V D﹣BCE＝＝＝，∴＝，解得h＝．∴点D到平⾯BCE的距离为．20．已知抛物线C：y2＝2px上⼀点M（，y0）到其焦点F的距离等于．（1）求抛物线C的标准⽅程；（2）若不垂直于x轴的直线l交抛物线C于A，B两点，直线FA与FB的倾斜⾓互补，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得p 的值，进⽽求出抛物线的⽅程；（2）设直线l的⽅程，与抛物线的⽅程联⽴求出两根之和及两根之积，进⽽求出直线FA，FB的斜率之和，由题意可得两条直线的斜率值为0，可证得恒过定点．解：（1）由抛物线的⽅程可得抛物线的准线⽅程为：x＝﹣，由M（，y0）到其焦点F的距离等于可得：+＝，解得：p＝1，所以抛物线的⽅程为：y2＝2x；（2）显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l的⽅程为x＝my+t，设A（x1，y1），B （x2，y2），联⽴直线与抛物线的⽅程：，整理可得：y2﹣2my﹣2t＝0，△＝4m2+8t＞0，即m2+2t＞0，y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2t，。
2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷(文科)
2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|−1<x<3}，集合B={x|−2<x<2}，则A∩B=()A. (−2,2)B. (−1,2)C. (−2,3)D. (−1,3)2.已知i是虚数单位，则复数z=1−2i1+i在复平面上所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A，B，C三个小区志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．若每个小区安排1人，则每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为()A. 16B. 13C. 12D. 234.若x，y∈R，则x2>y2是xy>1成立的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知函数f(x)=1a x−a x(a>1)，则不等式f(2x2)+f(x−1)>0的解集是()A. (−∞,−1)∪(12,+∞) B. (−∞,−12)∪(1,+∞)C. (−12,1) D. (−1,12)6.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗−2b⃗ |，其中b⃗ 是单位向量，则a⃗在b⃗ 方向上的投影是()A. 1B. 34C. 12D. 147.公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米()A. 10×810810−710斗 B. 10×89810−710斗 C. 10×88810−710斗 D. 70×89810−1斗8.在△ABC中，若1sinA +1sinB=2(1tanA+1tanB)，则()A. C的最大值为π3B. C的最大值为2π3C. C的最小值为π3D. C的最小值为π69.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移f p =2vsinφλ，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1550nm(1nm =10−9m)，测得某时刻频移为9.030×109(1/ℎ)，则该时刻高铁的速度约等于( )A. 320km/ℎB. 330km/ℎC. 340km/ℎD. 350km/ℎ10. 已知过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点，则|AF|+4|BF|的最小值为( )A. 4B. 8C. 9D. 1211. 点P 是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的侧面DCC 1D 1内的一个动点，若△APD 与△BCP 的面积之比等于2，则点P 的轨迹是( )A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分12. 若关于x 的不等式(a +2)x ≤x 2+alnx 在区间[1e ,e](e 为自然对数的底数)上有实数解，则实数a 的最大值是( )A. −1B. 1−2ee(e+1)C.e(3−e)e−1D.e(e−2)e−1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数f(x)={2e x ,x <elog 2(x 2−5),x ≥e (其中e 为自然对数的底数)，则f(f(3))的值等于______． 14. 某高中各年级男、女生人数统计如表：按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a =______．15. 已知数列{a n }中a n =n ，数列{b n }的前n 项和S n =2n −1.若数列{a nb n }的前n 项和T n <M 对于∀n ∈N ∗都成立，则实数M 的最小值等于______．16. 已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱AA 1=2，AD =3，点E ，F 分别为棱BC ，CC 1上的动点．若四面体A 1B 1EF 的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是______.(写出所有正确命题的编号) ①存在点E ，使得EF ⊥A 1F ；②不存在点E，使得B1E⊥A1F；③当点E为BC中点时，满足条件的点F有3个；④当点F为CC1中点时，满足条件的点E有3个；⑤四面体A1B1EF四个面所在平面，有4对相互垂直．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善．该市生态环境局统计了某月(30天)空气质量指数，绘制成如图频率分布直方图．已知空气质量等级与空气质量指数对照如表：空气质量指数(0,50](50,100](100,150](150,200](200,300]300以上空气质量等级一级(优)二级(良)三级(轻度污染)四级(中度污染)五级(重度污染)六级(严重污染)(1)在这30天中随机抽取一天，试估计这一天空气质量等级是优或良的概率；(2)根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，某市民不宜进行户外体育运动．试问：该市民在这30天内，有多少天适宜进行户外体育运动？18.如图，边长为2的等边△ABC所在平面与菱形A1ACC1所在平面互相垂直，且BC//B1C1，BC=2B1C1，A1C=√3AC1．(1)求证：A1B1//平面ABC；(2)求多面体ABC−A1B1C1的体积V．)的部分图象如图所示．19.已知函数f(x)=√2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向左平移π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到4原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0,π]上的值域．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：x 24+y 2=1上的动点，不经过点P 的直线l 交椭圆E于A ，B 两点．(1)若直线l 经过坐标原点，证明：直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值；(2)若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，证明：△ABP 三边的中点在同一个椭圆上，并求出这个椭圆的方程．21. 已知函数f(x)=e x −e −x ，g(x)=ax(e 为自然对数的底数)，其中a ∈R ．(1)试讨论函数F(x)=f(x)−g(x)的单调性；(2)当a =2时，记函数f(x)，g(x)的图象分别为曲线C 1，C 2.在C 2上取点P n (x n ,y n )作x 轴的垂线交C 1于Q n ，再过点Q n 作y 轴的垂线交C 2于P n+1(x n+1,y n+1)(n ∈N ∗)，且x 1=1． ①用x n 表示x n+1；②设数列{x n }和{lnx n }的前n 项和分别为S n ，T n ，求证：S n −T n+1>nln2．22. 在平面直角坐标系中，直线m 的参数方程为{x =tcosαy =tsinα(t 为参数，0≤α<π).以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线E 的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ−3=0，直线m 与曲线E交于A，C两点．(1)求曲线E的直角坐标方程和直线m的极坐标方程；(2)过原点且与直线m垂直的直线n，交曲线E于B，D两点，求四边形ABCD面积的最大值．23.已知函数f(x)=|2x−2|−|x+1|的最小值为m．(1)求m的值；(2)若a+b+c+m=0，证明：a2+b2+c2−2b+4c+2≥0．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|−1<x<3}，集合B={x|−2<x<2}，∴A∩B={x|−1<x<2}=(−1,2)．故选：B．求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵z=1−2i1+i =(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−32i，∴z在复平面上所对应的点的坐标为(−12,−32)，位于第三象限．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】B【解析】解：在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A，B，C三个小区志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．每个小区安排1人，基本事件总数n=A33=6，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数m=C21C11C11=2，∴每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为p=mn =26=13．故选：B．基本事件总数n=A33=6，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数m=C21C11C11=2，由此能求出每位志愿者不安排在自己居住小区的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：xy >1⇔x−yy>0⇔y(x−y)>0⇔{y>0x−y>0，或{y<0x−y<0，⇒x2>y2，反之不成立，例如x=2，y=−1，满足x2>y2，而x y>1不成立．∴x2>y2是xy>1成立的必要不充分条件．故选：B．x y >1⇔x−yy>0⇔y(x−y)>0，解出不等式可得：x2>y2成立；反之，举例可知不成立．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)=1a x −a x(a>1)，其定义域为R，有f(−x)=a x−1a x=−(1a x−a x)=−f(x)，则f(x)为R上的奇函数，f(x)=1a x −a x=(1a)x+(−a x)，函数y=(1a)x和y=(−a x)都是R上的减函数，则函数f(x)=1a x−a x在R上为减函数，f(2x2)+f(x−1)>0⇒f(2x2)>−f(x−1)⇒f(2x2)>f(1−x)⇒2x2<1−x⇒2x2+x−1<0，解可得：−1<x<12，即不等式的解集为(−1,12)；故选：D．根据题意，分析可得f(x)为R上的奇函数且在R上是减函数，据此可得原不等式等价于2x2+x−1<0，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性综合应用，注意分析函数的奇偶性与单调性，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：b⃗ 是单位向量，∴|b⃗ |=1，∵|a⃗+b⃗ |=|a⃗−2b⃗ |，∴(a⃗+b⃗ )2=(a⃗−2b⃗ )2，化简得2a⃗⋅b⃗ =b⃗ 2=1，即a⃗⋅b⃗ =12，∴a⃗在b⃗ 方向上的投影是a⃗ ⋅b⃗|b|⃗⃗⃗ =12，将已知等式两边平方，由b ⃗ 是单位向量，可求出向量a ⃗ 和b ⃗ 的数量积，代入公式计算即可． 本题考查向量的投影的定义，以及与向量有关的运算，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由题可得：每人所得玉米数构成公比为78的等比数列； 且数列的前10项和为10； 设首项为a ； 则有：a(1−(78)10)1−78=10；∴a =10×181−710810=10×89810−710；故选：B ．直接根据等比数列的求和公式求解即可．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8.【答案】A【解析】解：由题可知，1sinA +1sinB =2(1tanA +1tanB )=2(cosAsinA +cosBsinB )， ∴sinB +sinA =2(sinBcosA +cosBsinA)=2sin(A +B)=2sinC ， 由正弦定理知，asinA =bsinB =c sinC ，∴b +a =2c ， 由均值不等式可知，ab ≤(a+b)24=c 2， 由余弦定理知，cosC =a 2+b 2−c 22ab =3c 2−2ab 2ab=3c 22ab −1≥3c 22c2−1=12， ∵C ∈(0,π)，∴0<C ≤π3，即C 的最大值为π3． 故选：A ．由商数关系，可得1sinA +1sinB =2(1tanA +1tanB )=2(cosAsinA +cosBsinB )，结合辅助角公式，化简整理为sinB +sinA =2sinC ，于是b +a =2c ，由均值不等式可知，ab ≤(a+b)24=c 2，由余弦定理知，cosC =a 2+b 2−c 22ab，将所得结论代入进行运算可得cosC ≥12，而C ∈(0,π)，所以0<C ≤π3，故而得解．本题考查正弦定理、余弦定理的综合运用，采用了角化边的思维，还用到了同角三角函数的商数关系、辅助角公式和均值不等式等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．【解析】解：sinφ=−3√1+(20×10−3)2=√1.0004，故9.030×109=2v⋅√1.00041550×10−9，即9.03=1550√1.004，故v=9.03×1550√1.00040.04≈349982.48米/小时≈350km/ℎ．故选：D．先计算sinφ，再根据所给公式计算v即可．本题考查了三角函数计算，计算量较大，可借助计算器完成．10.【答案】C【解析】解：设AF，BF的长分别为m，n，由题意，1m +1n=2p=1，∴m+4n=(1m +1n)(m+4n)=5+4nm+mn≥5+2√4nm⋅mn=9，当且仅当m=2n时，m+4n的最小值为9，故选：C．设AF，BF的长分别为m，n，由题意，1m +1n=2p=1，再利用基本不等式可求m+4n的最小值．本题考查抛物线的性质和应用，正确运用基本不等式是关键．11.【答案】A【解析】解：由题意得，若△APD与△BCP的面积之比等于2，因为两个三角形的底相等；故对应的高之比为2：1；动点P到侧棱BC的距离实际上是P点到点C的距离，点P到侧棱AD的距离就是P到点D的距离．即PD=2PC；建立如图所示的坐标系； 则C(0,0)，D(a,0)，设P(x,y) 故有：PD 2=(2PC)2； ∴(x −a)2+y 2=4(x 2+y 2)； ∴3x 2+2ax +3y 2−a 2=0； 故点P 的轨迹是圆的一部分． 故选：A ．根据题意得，动点P 到侧棱BC 的距离实际上是P 点到点C 的距离，点P 到侧棱AD 的距离就是P 到点D 的距离；根据面积比转化为高的比，建立平面直角坐标系求解即可得到结论． 本题的考点是轨迹方程，主要考查立体几何中的轨迹问题，关键是将题意合理转化．12.【答案】D【解析】解：因为(a +2)x ≤x 2+alnx 在区间[1e ,e]上有实数解，所以不等式变形为a(x −lnx)≤x 2−2x ， ∵x ∈(0,1)，则x −lnx >0，∴a ≤x 2−2x x−lnx ，设f(x)=x 2−2xx−lnx ，下面求f(x)的最大值．∵f′(x)=(2x−2)(x−lnx)−(x 2−2x)(1−1x)(x−lnx)2=(x−1)(x−2lnx+2)(x−lnx)2，∵x ∈[1e,e]，∴x −2lnx +2=x +2(1−lnx)>0，则1<x ≤e 时，f′(x)>0， 则f(x)在[1,e]单调递增；[1e ,1)单调递减， 又f(e)=e 2−2e e−1；f(1e )=1e 2−2e 1e+1=1−2ee+e ，∴f(x)max =f(e)=e(e−2)e−1，则a ≤e(e−2)e−1，即实数a 的最大值是e(e−2)e−1．故选：D ．把不等式分离变量，由不等式有解转化成求函数f(x)=x 2−2x x−lnx的最大值，利用导数判断函数在区间[1e ,e]上的单调区间，进而求出最大值，可求a ．本题通过分离变量把不等式有解问题转化成函数最值问题，进而考查函数的导数的应用，同时考查了函数在闭区间上的最值，属于中档题．13.【答案】2e 2【解析】解：因为函数f(x)={2e x ,x <elog 2(x 2−5),x ≥e ；所以：f(3)=log 2(32−5)=log 24=2； ∴f(f(3))=f(2)=2e 2； 故答案为：2e 2．由分段函数与复合函数知f(3)=2，从而再求f(f(3))=f(2)即可得到结论． 本题考查了分段函数与复合函数的简单应用，属于基础题目．14.【答案】480【解析】解：由题意可得80592+563+520+528+517+a =27563+517，求得a =480， 故答案为：480．由题意利用分层抽样的定义和方法，求出a 的值． 本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．15.【答案】4【解析】解：∵数列{b n }的前n 项和S n =2n −1，∴当n ≥2时，有b n =S n −S n−1=(2n −1)−(2n−1−1)=2n−1；又当n =1时，有S 1=2−1=1=b 1也适合上式，故b n =2n−1.∵a n =n ，∴a n b n=n ⋅(12)n−1．∴T n =1×(12)0+2×(12)1+3×(12)2+⋯+n ⋅(12)n−1①，12T n =1×(12)1+2×(12)2+3×(12)3+⋯+(n −1)⋅(12)n−1+n ⋅(12)n ②，由①−②可得：12T n =1+12+(12)2+⋯+(12)n−1−n ⋅(12)n=1−(12)n1−12−n ⋅(12)n =2−(n +2)⋅(12)n ，即T n =4−n+22n−1<4．又∵T n <M 对于∀n ∈N ∗都成立，∴M ≥4，故M 的最小值等于4． 故答案为：4．先利用b n =S n −S n−1求得b n ，再检验n =1时是否适合，从而求得b n ，然后根据a n =n 求得a nb n=n ⋅(12)n−1，再利用错位相减法求得前n项和T n，进而求得实数M的最小值．本题主要考查数列通项公式的求法及错位相减法求和在数列求和中的应用，属于基础题．16.【答案】①②④【解析】解：如图，由题意知A1B1⊥面B1EF，则A1B1⊥B1E，A1B1⊥B1F，A1B1⊥EF，则△A1B1E2，△A1B1F为直角三角形，在△B1EF中，由题意知B1E不能垂直B1F，又△B1EF为直角三角形，则∠B1EF=90°或∠B1FE=90°．①假设存在点E，使得EF⊥A1F，又A1B1⊥EF，A1B1∩A1F=A1，则EF⊥面A1B1F，即EF⊥B1F，满足题意，故①正确；②假设存在点E，使得B1E⊥A1F，又A1B1⊥B1E，A1B1∩A1F=A1，则B1E⊥面A1B1F，则B1E⊥B1F这与B1E不能垂直B1F矛盾，所以不存在点E，使得B1E⊥A1F，故②正确；③建立如图所示的空间坐标系，设BE=m，C1F=n，则0<m<3，0<n<2，由题意得B 1(0,0,0),E(2,32,0),F(n,3,0)， EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(n −2,32,0),B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(n,3,0)，若EF ⊥B 1F ，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即n(n −2)+92=0，整理得：2n 2−4n +9=0， △<0，所以方程无实根，③错误； ④B 1(0,0，0)，E(2,m ，0)，F(1,3，0)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,3−m,0),B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3,0),B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,m,0)， 若EF ⊥B 1F ，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 则−1+3(3−m)=0，解得m =83， 若EF ⊥B 1E ，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则−2+m(3−m)=0，解得m =1或m =2，故④正确； ⑤由题意知A 1B 1⊥面B 1EF ，若EF ⊥面A 1B 1E ， 由图形观察可知：有3对相互垂直，分别为面A 1B 1E ⊥面B 1EF ，面A 1B 1F ⊥面B 1EF ，面A 1B 1E ⊥面A 1EF ， 故⑤不正确． 故答案为：①②④．①②利用假设存在，推出条件正确，推出矛盾，则不存在；③④建立空间直角坐标系利用已知条件设BE =m ，C 1F =n ，写坐标，利用垂直关系，求出m ，n 的值，即可得出结论；⑤利用线面垂直推面面垂直关系即可得出结论．本题主要考查线面垂直判定定理性质定理以及利用空间向量求值的问题，属于较难题．17.【答案】解：(1)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数在区间[90,110)内的天数为30−[(7300+7 600+1100+1600)×20]×30=2天，空气质量等级为优或良，即空气质量指数不超过100，∴在这30天中随机抽取一天，其空气质量等级是优或良的概率为P=1−1+130=1415．(2)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数不高于90有[(7300+7600+1100)×20]×30=27(天)，∴某市民在这个月内，有27天适宜进行户外体育运动．【解析】(1)先算出在这30天中，空气质量指数在区间[90,110)内的天数天，在这30天中随机抽取一天，再计算其空气质量等级是优或良的概率为P=1415．(2)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数不高于90有[(7300+7600+1100)×20]×30=27(天)，即可得出答案．本题考查了频率分布直方图与古典概型的概率计算问题，也考查了数据计算能力的应用问题，是综合性问题．18.【答案】(1)证明：∵四边形A1ACC1是菱形，∴AC//A1C1．又∵AC⊂平面ABC，A1C1⊄平面ABC，∴A1C1//平面ABC．同理得，B1C1//平面ABC．∵A1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，且A1C1∩B1C1=C1，∴平面ABC//平面A1B1C1．又∵A1B1⊂平面A1B1C1，∴A1B1//平面ABC．(2)解：∵AC//A1C1，B1C1//BC，∴∠A1C1B1=∠ACB=60°．∵A1C1=AC=2，2B1C1=BC=2，∴S△A1B1C1=12×1×2×√32=√32．在菱形A1ACC1中，∵A1C=√3AC1，∴∠ACC1=60°，S A1ACC1=2×2×√32=2√3．∵平面ABC⊥平面ACC1，取AC的中点为M，连接BM，C1M，∴BM⊥平面ACC1，C1M⊥平面ABC．由(1)知，平面ABC//平面A1B1C1，∴点B到平面A1B1C1的距离为C1M=√3．又∵点B到平面A1ACC1的距离为BM=√3，连接BC1，则V=V B−A1B1C1+V B−A1ACC1=13×(√32+2√3)×√3=52．【解析】(1)证明AC//A1C1.推出A1C1//平面ABC.然后证明平面ABC//平面A1B1C1.说明A1B1//平面ABC．(2)取AC的中点为M，连接BM，C1M，连接BC1，通过V=V B−A1B1C1+V B−A1ACC1.求解即可．本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由已知函数f(x)=√2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象得{√2sinφ=−1ω⋅π8+φ=0，解得{ω=2ϕ=−π4，∴f(x)=√2sin(2x−π4)．(2)将函数f(x)的图象向左平移π4个单位，可得y=√2sin(2x+π4)的图象；再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)=√2sin(x+π4)的图象．∵x∈[0,π]，∴x+π4∈[π4,5π4]，∴sin(x+π4)∈[−√22,1]，∴g(x)的值域为[−1,√2]．【解析】(1)由五点法作图以及特殊点的坐标求出ω、φ的值，可得f(x)得解析式．(2)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求出函数g(x)在区间[0,π]上的值域．本题主础题要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析，由五点法作图、特殊点的坐标求出ω和φ的值，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．20.【答案】解：设点P(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2).(1)∵直线l经过坐标原点，∴x2=−x1，y2=−y1．∵x024+y02=1，∴y02=1−x024．同理得，y12=1−x124．∴k PA⋅k PB=y0−y1x0−x1⋅y0+y1x0+x1=y02−y12x02−x12=(1−x024)−(1−x124)x02−x12=−14，∴直线PA与直线PB的斜率之积为定值；(2)证明：设线段AB 的中点为Q(x,y)，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则{x 0=−2xy 0=−2y， 将{x 0=−2x y 0=−2y 代入x 024+y 02=1中可得：x 2+4y 2=1， 所以线段AB 的中点Q 的轨迹方程为：x 2+4y 2=1同理，线段AP 和线段BP 中点的轨迹方程也为x 2+4y 2=1． ∴△ABP 三边的中点在同一个椭圆x 2+4y 2=1上．【解析】(1)设P ，A 的坐标，由题意可得B 的坐标用A 的坐标的表示，将A ，P 的坐标代入椭圆的方程，两式相减可得直线PA ，PB 的斜率之积的值；(2)设线段AB 的中点D 的坐标，可得则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，可得Q 的坐标用P 的坐标表示，而P 在椭圆上，所以线段AB 的中点Q 的轨迹方程为：x 2+4y 2=1同理，线段AP 和线段BP 中点的轨迹方程也为x 2+4y 2=1，△ABP 三边的中点在同一个椭圆x 2+4y 2=1上．本题考查直线与椭圆的综合，及中点坐标用向量表示的等式，和相关点法求轨迹方程的方法，属于中档题．21.【答案】解：(1)F′(x)=e x −e −x −a ，当a ≤2时，F′(x)=e x +e −x −a ≥2−a ≥0恒成立，F(x)R 上单调递增． 当a >2时，由F′(x)=0得，e x =a±√a2−42，∴x =ln a±√a2−42．∴F(x)在(−∞,ln a−√a2−42)和(lna+√a2−42,+∞)上单调递增，在(ln a−√a2−42,lna+√a 2−42)上单调递减．…………………………………(5分)(2)①由(1)知，当x ≥1时，F(x)≥F(1)>0， 即当x ≥1时，曲线C 1恒在C 2上方．按题意有，f(x n )=g(x n+1)，即e x n −e −x n =2x n+1， ∴x n+1=e x n −e −x n2．②由①知x n+1=e x n −e −x n2<e x n 2．注意到x 1=1，∴x n+1⋅x n ⋅…⋅x 2=x n+1⋅x n ⋅…⋅x 2⋅x 1<e x n 2⋅e x n−12⋅…⋅e x 12，∴x n+1⋅x n ⋅…⋅x 2⋅x 1<(12)n ⋅e x n +x n−1+⋯+x 1，两边同取自然对数得，lnx n+1+lnx n +⋯+lnx 2+lnx 1<nln 12+(x n +x n−1+⋯+x 1)，即S n −T n+1>nln2.…………………………………………(12分)【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； (2)①求出f(x n )=g(x n+1)，代入整理即可；②根据x n+1=e x n −e −x n2<e x n 2，得到x n+1⋅x n ⋅…⋅x 2⋅x 1<(12)n ⋅e x n +x n−1+⋯+x 1，证明即可．本题考查了函数的单调性问题，考查不等式的证明以及导数的应用，分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：(1)曲线E 的直角坐标方程为(x +1)2+y 2=4，直线m 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)． (2)设点A ，C 的极坐标分别为(ρ1,α)，(ρ2,α)． 由{θ=αρ2+2ρcosθ−3=0得，ρ2+2ρcosα−3=0， ∴ρ1+ρ2=−2cosα，ρ1ρ2=−3， ∴|AC|=|ρ1−ρ2|=2√cos 2α+3． 同理得|BD|=2√sin 2α+3．∵S ABCD =12|AC|⋅|BD|=2√cos 2α+3⋅√sin 2α+3≤cos 2α+3+sin 2α+3=7， 当且仅当cos 2α+3=sin 2α+3，即α=π4或3π4时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为7．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.【答案】(1)解：f(x)=|2x −2|−|x +1|={3−x,x <−11−3x,−1≤x <1x −3,x ≥1，作出函数的图象如图：根据函数图象得，f(x)的最小值为−2，∴m=−2；(2)证明：由(1)知，a+b+c=2，∴[a2+(b−1)2+(c+2)2]⋅(12+12+12)≥[a⋅1+(b−1)⋅1+(c+2)⋅1]2=(a+b+c+1)2=9，∴a2+(b−1)2+(c+2)2≥3，当且仅当a=b−1=c+2，a+b+c=2，即a=1，b=2，c=−1时等号成立，∴a2+b2+c2−2b+4c+2≥0．【解析】(1)写出分段函数解析式，画图求得函数最小值；(2)结合(1)可得a+b+c=2，然后配凑柯西不等式证明a2+b2+c2−2b+4c+2≥0．本题考查分段函数最值的求法，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用柯西不等式求最值，是中档题．。
2020届安徽省芜湖市高三高考(文科)数学仿真模拟卷(一)含解析
2020届安徽省芜湖市高三高考（文科）数学仿真模拟卷（一）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A＝{x|－3<x≤2}，B＝{0，1，2，3，4}，则A∩B＝A.{0，1}B.{0，1，2}C.{－1，0，1，2}D.{2}2.如果复数212bii-+(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于A.－6B.23C.－23D.23.某课外小组为了了解什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类，随机对该校同学进行问卷调查，根据调查结果，得到如图F1－1所示的统计图，已知每个回答该问卷的同学都只能在问卷的五个选项中选择一个，以下结论错误的是A.回答该问卷的总人数不可能是100B.回答该问卷的同学中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C.回答该问卷的同学中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D.回答该问卷的同学中，选择播放“播放公益广告”的人数比选择“学校要求”的人数少84.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的。
如图F1－2是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为A.932B.516C.38D.7165.已知)为双曲线C：2221(0)yx bb-=>上一点，则点P到双曲线C的渐近线的距离为6.如图F1－3，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的正投影可能是A.①②B.①④C.②③D.②④7.已知实数x ，y 满足()20200x y x y y y m ⎧-≤⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若z ＝3x ＋y 的最大值为5，则正实数m 的值为A.2B.12C.10D.1108.函数f(x)＝2sin x x e在[－π，π]，上的图像大致为9.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，且B(－a ，a)，C(－a ，－a)，若过A ，B ，C 三点的圆与直线x ＝2a c-相切，则此椭圆的离心率为 A.13 B.12C.2D.2310.已知将曲线y ＝sin(2x ＋6π)向左平移φ(φ>0)个单位长度后，得到的曲线y ＝g(x)经过点(12π-，1)，有下列四个结论：其中所有正确的结论是①函数g(x)的最小正周期T ＝π；②函数g(x)在[1112π，1712π]上单调递增； ③曲线y ＝g(x)关于直线x ＝6π对称；④曲线y ＝g(x)关于点(23π，0)对称。
2020年安徽省高考数学(文科)模拟试卷(3)
2020年安徽省高考数学（文科）模拟试卷（3）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜5}B．{x|x＞1}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4，5}2．（5分）设i为虚数单位，复数z=2+3ii，则z的共轭复数是（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i3．（5分）如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P由点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P旋转过的弧AP̂为l，弦AP为d则函数d＝f（l）的图象是（）A．B．C．D．4．（5分）函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）log3x2的图象大致为（）A．B．C．D．5．（5分）为了推进课堂改革，提高课堂效率，银川一中引进了平板教学，开始推进“智慧课堂”改革．学校教务处为了了解我校高二年级同学平板使用情况，从高二年级923名同学中抽取50名同学进行调查．先用简单随机抽样从923人中剔除23人，剩下的900人再按系统抽样方法抽取50人，则在这923人中，每个人被抽取的可能性（）A ．都相等，且为118B ．不全相等C ．都相等，且为50923D ．都不相等6．（5分）sin20°cos20°cos50°=（ ） A ．2B ．12C ．√2D ．√227．（5分）已知a ＝21.2，b ＝30.4，c =ln 83，则（ ） A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b8．（5分）如图是把二进制数11111（2）化成十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）A ．i ＞5B ．i ≤4C ．i ＞4D ．i ≤59．（5分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（ ） A ．19B ．16C ．118D ．51210．（5分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对应边分别为a ，b ，c ，已知a 2+b 2﹣c 2=√3ab ，且bc sin A ＝2sin C ，则△ABC 的面积为（ ） A ．1B ．12C ．√32D ．√3411．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，短轴长为2，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点．若AF →=3FB →，则k ＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．212．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）(A ＞0，0＜ω＜4，−π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数为①f （x ）的最小正周期为2π②f （x ）在(π2，3π4)内单调递减③x =−3π4是f （x ）的一条对称轴 ④(2π3，0)是f （x ）的一个对称中心（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）曲线f （x ）＝2sin x 在x =π3处的切线与直线ax +y ﹣1＝0垂直，则a ＝ ． 14．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF ＝6，则双曲线C 的离心率为 ．15．（5分）已知向量a →=（2，﹣1），b →=（1，3），且a →⊥（a →+m b →），则m ＝ ． 16．（5分）已知三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝BC ＝2，∠BAC =π2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S 4＝a 4+a 5． （1）求a n ；（2）求数列{an 2n }的前n 项和T n ．18．（12分）某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗种植．工作小组根据市场前景重点考察了A ，B 两种景观树苗，为对比两种树苗的成活率，工作小组进行了引种试验，分别引种树苗A ，B 各50株，试验发现有80%的树苗成活，未成活的树苗A ，B 株数之比为1：3．（1）完成2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为树苗A ，B 的成活率有差异？A B 合计 成活株数 未成活株数合计5050100K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2≥k0）0.050.0100.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.828（2）已知树苗A经引种成活后再经过1年的生长即可作为景观树A在市场上出售，但每株售价y（单位：百元）受其树干的直径x（单位：cm）影响，扶贫工作小组对一批已出售的景观树A的相关数据进行统计，得到结果如表：直径x1015202530单株售价y48101627根据上述数据，判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？并用相关系数r加以说明．（一般认为，|r|＞0.75为高度线性相关）参考公式及数据：相关系数r=∑n i=1i−x)(y i−y)√∑i=1i −x)2√∑i=1i−y)2，∑5i=1（x i−x）2＝250，∑5i=1（y i−y）2＝32019．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，P A＝PC＝5，点M，N分别是AB，PC的中点．（1）求证：MN∥平面P AD；（2）若cos∠PCD=45，∠DAB＝60°，求三棱锥P﹣ADN的体积．20．（12分）已知函数f(x)=2lnx+12ax2+(2a+1)x，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＜0时，证明：f(x)≤−52a−4．21．（12分）如图，设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），M为直线y＝﹣2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A ，B ． （Ⅰ）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（Ⅱ）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA ，MB 分别交于点C ，D ，记λ=S △EABS △MCD，问λ是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 五．解答题（共1小题）23．已知f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +a |（a ∈R ）． （1）若a ＝1，求不等式f （x ）＞2的解集； （2）若存在x 0∈R ，对任意m ∈（0，1）恒有1m+41−m＞f(x 0)，求实数a 的取值范围．2020年安徽省高考数学（文科）模拟试卷（3）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜5}B．{x|x＞1}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4，5}【解答】解：∵集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，∴A∩B＝{x∈N|1＜x＜5}＝{2，3，4}．故选：C．2．（5分）设i为虚数单位，复数z=2+3ii，则z的共轭复数是（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i【解答】解：∵z=2+3ii=(2+3i)(−i)−i2=3−2i，∴z=3+2i．故选：B．3．（5分）如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P由点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P旋转过的弧AP̂为l，弦AP为d则函数d＝f（l）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：取AP的中点为D，设∠DOA＝θ，则d＝2sinθ，l＝2θR＝2θ，∴θ=l 2∴d＝2sin l2，根据正弦函数的图象知，C中的图象符合解析式．故选：C．4．（5分）函数f （x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据题意，函数f （x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2，其定义域为{x |x ≠0}， 且f （﹣x ）＝（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2＝﹣（3x ﹣3﹣x ）log 3x 2）＝﹣f （x ），即函数f （x ）为奇函数，排除A 、C ，又由x →0时，（3x ﹣3﹣x ）→0，则f （x ）→0，排除D ；故选：B ．5．（5分）为了推进课堂改革，提高课堂效率，银川一中引进了平板教学，开始推进“智慧课堂”改革．学校教务处为了了解我校高二年级同学平板使用情况，从高二年级923名同学中抽取50名同学进行调查．先用简单随机抽样从923人中剔除23人，剩下的900人再按系统抽样方法抽取50人，则在这923人中，每个人被抽取的可能性（ ） A ．都相等，且为118B ．不全相等C ．都相等，且为50923D ．都不相等【解答】解：根据系统抽样的定义和方法，它和简单随机抽样的概率是一样的，都是50923，故选：C ． 6．（5分）sin20°cos20°cos50°=（ ） A ．2B ．12C ．√2D ．√22【解答】解：根据题意，原式=sin20°cos20°cos50°=12×2sin20°cos20°cos50°=12×sin40°cos50°=12；故选：B ．7．（5分）已知a ＝21.2，b ＝30.4，c =ln 83，则（ ） A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b【解答】解：由题意得：a ＝21.2∈（2，4），b ＝30.4∈(1，√3)，c =ln 83＜lne ＝1． ∴a ＞b ＞c ， 故选：B ．8．（5分）如图是把二进制数11111（2）化成十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）A ．i ＞5B ．i ≤4C ．i ＞4D ．i ≤5【解答】解：由题意输出的S ＝1+1×2+1×22+1×23+1×24， 按照程序运行：S ＝1，i ＝1，不应此时输出S ， S ＝1+1×2，i ＝2；不应此时输出S ， S ＝1+1×2+1×22，i ＝3；不应此时输出S ， S ＝1+1×2+1×22+1×23，i ＝4；不应此时输出S ，S ＝1+1×2+1×22+1×23+1×24，i ＝5，此时跳出循环输出结果， 故判断框内的条件应为i ＞4． 故选：C ．9．（5分）同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为（ ） A ．19B ．16C ．118D ．512【解答】解：同时抛掷两个质地均匀的骰子， 基本事件总数n ＝6×6＝36，向上的点数之和小于5包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1），共6个， ∴向上的点数之和小于5的概率为p =636=16．故选：B ．10．（5分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对应边分别为a ，b ，c ，已知a 2+b 2﹣c 2=√3ab ，且bc sin A ＝2sin C ，则△ABC 的面积为（ ） A ．1B ．12C ．√32D ．√34【解答】解：△ABC 中，A ，B ，C 所对应边分别为a ，b ，c ，已知a 2+b 2﹣c 2=√3ab ，所以cosC =a 2+b 2−c 22ab=√32， 由于0＜C ＜π，所以C =π6，所以S △ABC =12bcsinA =12×2sinC =12． 故选：B ．11．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，短轴长为2，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点．若AF →=3FB →，则k ＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解答】解：椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，短轴长为2，可得b ＝1，ca =√32，解得a ＝2，c =√3，b ＝1，x 24+y 2=1 右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵AF →=3FB →， ∴y 1＝﹣3y 2，设直线AB 方程为y ＝k （x −√3）， 代入x 24+y 2=1，消去x ，可得（14k 2+1）y 2+√32ky −14=0，∴y 1+y 2=−√32k1+14k2=−2√3k 1+4k2，y 1y 2=−141+14k2=−k24k 2+1， ﹣2y 2=−2√3k 1+4k2，﹣3y 22=−k24k 2+1，解得：k =√2． 故选：B ．12．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）(A ＞0，0＜ω＜4，−π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数为①f （x ）的最小正周期为2π②f （x ）在(π2，3π4)内单调递减 ③x =−3π4是f （x ）的一条对称轴 ④(2π3，0)是f （x ）的一个对称中心（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【解答】解：由函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的部分图象知，A ＝2， 又f （0）＝2sin φ=−√3，所以sin φ=−√32； 又−π2＜φ＜π2，所以φ=−π3； 又f （−π3）＝2sin[ω×（−π3）−π3]＝0， 所以sin （π3ω+π3）＝0，所以π3ω+π3=k π，k ∈Z ；又0＜ω＜4，所以ω＝2； 所以f （x ）＝2sin （2x −π3）；所以f （x ）的最小正周期为T =2π2=π，①错误； 当x ∈（π2，3π4）时，2x −π3∈（2π3，7π6），f （x ）在(π2，3π4)内单调递减，②正确； f （−3π4）＝2sin[2×（−3π4）−π3]＝﹣2sin 11π6=1，所以x =−3π4不是f （x ）的一条对称轴，③错误； f （2π3）＝2sin （2×2π3−π3）＝2sin π＝0，所以(2π3，0)是f （x ）的一个对称中心，④错误．综上知，正确的命题序号是②④，共2个． 故选：B ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）曲线f （x ）＝2sin x 在x =π3处的切线与直线ax +y ﹣1＝0垂直，则a ＝ 1 ． 【解答】解：∵f ′（x ）＝2cos x ， ∴f ′(π3)=2cos π3=1， ∵切线与直线ax +y ﹣1＝0垂直， 所以﹣a ＝﹣1 ∴a ＝1． 故答案为：1．14．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF ＝6，则双曲线C 的离心率为54．【解答】解：由题意可得a ＝4，双曲线的一条渐近线方程为bx ﹣ay ＝0，F （c ，0）， 可得|MF |=√b +a 2=b ，在直角三角形OMF 中，可得|OM |=√|OF|2−|MF|2=√c 2−b 2=a ， 则△OMF 的面积为12ab ＝2b ＝6，可得b ＝3，c =√a 2+b 2=5，则e =c a =54． 故答案为：54．15．（5分）已知向量a →=（2，﹣1），b →=（1，3），且a →⊥（a →+m b →），则m ＝ 5 ． 【解答】解：向量a →=（2，﹣1），b →=（1，3）， 且a →⊥（a →+m b →），∴a →•（a →+m b →）=a →2+m a →•b →=0， 即22+（﹣1）2+m （2﹣3）＝0， 解得m ═5． 故答案为：5．16．（5分）已知三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝BC ＝2，∠BAC =π2，则三棱锥P﹣ABC 的外接球的表面积为 8π ． 【解答】解：将三棱锥还原成直三棱柱，则三棱柱的外接球即为求O ，D ，D ′，为上下底面的外心，O 为DD ′的中点，AD 为底面外接圆的半径， 由正弦定理可得：2AD =2sin π2=2；由OD ＝1，AD ＝1；得R ＝AO =√2， 所以球O 的表面积为：4πR 2＝8π． 故答案为：8π．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S 4＝a 4+a 5． （1）求a n ；（2）求数列{an 2n }的前n 项和T n ．【解答】解：（1）设公差为d ，由S 4＝a 4+a 5，得4a 1+4×32d =a 1+3d +a 1+4d ，即4+6d ＝2+7d ，解得d ＝2，所以，a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1； （2）a n 2=2n−12，可得T n =12+322+523+⋯+2n−12n ，两边同乘以12，有12T n =12+32+52+⋯+2n−12， 两式相减，得T n −12T n =12+222+223+224+⋯+22n −2n−12n+1=12+2×14(1−12n−1)1−12−2n−12n+1=32−2n+32n+1．所以，T n =3−2n+32n ． 18．（12分）某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗种植．工作小组根据市场前景重点考察了A ，B 两种景观树苗，为对比两种树苗的成活率，工作小组进行了引种试验，分别引种树苗A，B各50株，试验发现有80%的树苗成活，未成活的树苗A，B株数之比为1：3．（1）完成2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为树苗A，B的成活率有差异？A B合计成活株数未成活株数合计5050100K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2≥k0）0.050.0100.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.828（2）已知树苗A经引种成活后再经过1年的生长即可作为景观树A在市场上出售，但每株售价y（单位：百元）受其树干的直径x（单位：cm）影响，扶贫工作小组对一批已出售的景观树A的相关数据进行统计，得到结果如表：直径x1015202530单株售价y48101627根据上述数据，判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？并用相关系数r加以说明．（一般认为，|r|＞0.75为高度线性相关）参考公式及数据：相关系数r=∑n i=1i−x)(y i−y)√∑i=1i −x)2√∑i=1i−y)2，∑5i=1（x i−x）2＝250，∑5i=1（y i−y）2＝320【解答】解：（1）由题意填写列联表如下；A B合计成活株数453580未成活株数51520合计5050100由表中数据，计算K2=100×(45×15−5×35)280×20×50×50=6.25＜6.635，所以没有99%的把握认为二者有差异；（2）由题意计算x=15×（10+15+20+25+30）＝20，y=15×（4+8+10+16+27）＝13；所以相关系数为r=250×320=202≈0.95＞0.75；所以可以用线性回归模型拟合．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，P A＝PC＝5，点M，N分别是AB，PC的中点．（1）求证：MN∥平面P AD；（2）若cos∠PCD=45，∠DAB＝60°，求三棱锥P﹣ADN的体积．【解答】（1）证明：取PD的中点H，连接NH，AH，∵N是PC的中点，∴NH∥DC，NH=12 DC，又AM∥DC，AM=12DC，∴NH∥AM且NH＝AM，∴四边形AMNH为平行四边形，则MN∥AH，又MN⊄平面P AD，AH⊂平面P AD，∴MN∥平面P AD；（2）解：∵PC＝5，DC＝4，cos∠PCD=4 5，∴PD2=25+16−2×5×4×45=9，则PC2＝PD2+DC2，∴PD⊥DC，同理PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD，又MN∥平面P AD，∴V P﹣ADN＝V N﹣P AD＝V M﹣P AD＝V P﹣ADM，又∵∠DAB＝60°，∴S△ADM=12×4×2×√32=2√3．∴V P−ADN=12×2√3×3=2√3．20．（12分）已知函数f(x)=2lnx+12ax2+(2a+1)x，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＜0时，证明：f(x)≤−52a−4．【解答】解法一：（1）因为f(x)=2lnx+12ax2+(2a+1)x，定义域为（0，+∞），所以f′（x）=2x+ax+(2a+1)=(x+2)(ax+1)x．当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，x∈(0，−1a)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈(−1a，+∞)时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在(0，−1a)上单调递增，在(−1a，+∞)上单调递减．（2）由（1）可知，当a＜0时，f（x）在(0，−1a)上单调递增，在(−1a，+∞)上单调递减．所以f(x)max=f(−1a)=2ln(−1a)−12a−2．要证f(x)≤−52a−4，只要证2ln(−1a)−12a−2≤−52a−4，即证ln(−1a)+1a+1≤0．令t=−1a，即证lnt+t+1≤0在t＞0上成立．令g（t）＝lnt﹣t+1，即证g（t）≤0．因为g′(t)=1t−1，所以g（t）在（0，1）．上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．所以g（t）≤g（1）＝0，命题得证．解法二：（1）同解法．（2）由（1）可知，当a＜0时，f（x）在(0，−1a)单调递增，在(−1a，+∞)单调递减，所以f(x)max=f(−1a)=2ln(−1a)−12a−2．要证f(x)≤−52a−4，只要证2ln(−1a)−12a−2≤−52a−4，即证ln(−1a)+1a+1≤0．因为g′(a)=−1a−1a2=a+1a2，所以g（a）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减．所以g（a）≤g（﹣1）＝0，命题得证．21．（12分）如图，设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），M为直线y＝﹣2p上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A，B．（Ⅰ）求直线AB与y轴的交点坐标；（Ⅱ）若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA，MB分别交于点C，D，记λ=S△EABS△MCD，问λ是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由．【解答】解：（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），过A点的切线方程为y−x122p=x1p(x−x1)，过B点的切线方程为y−x222p=x2p(x−x2)，联立这两个方程可得x M=x2+x12，y M=x1x22p，又k AB=y2−y1x2−x1=x1+x22p，所以直线AB的方程为：y−x122p=x1+x22p（x﹣x1），化简得（x 1+x 2）x ﹣2py ﹣x 1x 2＝0，令x ＝0，y =−x 1x22p ，又y M =x 1x22p =−2p ，∴y ＝2p ∴直线AB 过点（0，2p ）； （Ⅱ）记x M =x 1+x 22，同理可得x C =x 1+x E 2，x D =x 2+x E2， |AC CM |=|x C−x 1x M−x C |=|x 1+x E 2−x 1||x 1+x 22−x 1+x E 2|=|x E−x 1x 2−x E |，|CEED |=|x E−x c x D−x E |=|x E−x 1+xE 2x 2+x E 2−x E|=|x E−x 1x 2−x E |，∴|AC CM |=|CE ED |，同理|MDDB |=|x E−X C x 2−x E| ∴|AC CM |=|EC DB |＝|DM DB|， ∴设|AC CM |=|EC ED |=|DMDB|=t ，记S △MCE ＝S ，则S △ACE ＝tS ， 同理，S △MDE =S t ，S △BDE =S t2，S △MABS △MCD =|MA||MB||MC||MD|=t+11⋅t+1t =(t+1)2t ， 于是S △MAB=(t+1)2t S △MCD =(t+1)2t (S +S t )=(t+1)3t 2S ， ∴S △EAB ＝S △MAB ﹣S △MCD ﹣S △ACE −S △BDE =2(t+1)t S ，S △MCD=t+1tS ， ∴λ=S△EAB S △MCD=2．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①． 直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m 3k（m 为参数）．转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②． 所以①×②得到x 23+y 2=1（y ≠0）．（Ⅱ）直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y ﹣6＝0． 设曲线C 1的上的点Q （√3cosθ，sinθ）到直线x +y ﹣8＝0的距离d =|√3cosθ+sinθ−6|√2=|2sin(θ+π3)−6|2，当sin(θ+π3)=−1时，d max =8√2=4√2． 五．解答题（共1小题）23．已知f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +a |（a ∈R ）． （1）若a ＝1，求不等式f （x ）＞2的解集； （2）若存在x 0∈R ，对任意m ∈（0，1）恒有1m+41−m＞f(x 0)，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）a ＝1，不等式f （x ）＞2即为|2x ﹣1|+|x +1|＞2， 可得{x ≥122x −1+x +1＞2或{−1＜x ＜121−2x +x +1＞2或{x ≤−11−2x −x −1＞2，解得x ＞23或﹣1＜x ＜0或x ≤﹣1， 则原不等式的解集为{x |x ＜0或x ＞23}；（2）f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +a |＝|x −12|+|x −12|+|x +a |≥0+|x −12−x ﹣a |＝|a +12|， 当x =12时，f （x ）取得最小值|a +12|， 存在x 0∈R ，对任意m ∈（0，1）恒有1m+41−m ＞f(x 0)，可得任意m ∈（0，1）恒有1m+41−m＞|a +12|，由（m +1﹣m ）（1m+41−m）＝5+1−m m +4m 1−m ≥5+2√1−m m ⋅4m 1−m =9，当且仅当m =13取得等号，则|a +12|＜9，解得−192＜a ＜172．。
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.
15. 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直， l 与 C 交于 A, B 两点，
为C
的实轴长的 2 倍，则双曲线 C 的离心率为
.
16. 给出下列四个命题：
①如果平面 外一条直线 a 与平面 内一条直线 b 平行，那么 a ；
②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；
3 P ，那么使 ABP 与 ADP 的
面积都小于 4 的概率为
A. 1 36
1
B.
12
C. 1 9
D. 4 9
5. 在等差数列 { an} 中， a3 ， a9是方程 x2 24 x 12 0 的两根，则数列 { an} 的前 11 项和等于
A. 66
B. 132
C. -66
D. -132
6. 设函数 f ( x) x2 2x 3 ，若从区间 [ 2,4] 上任取一个实数 x ，则所选取的实数 x 满足 f ( x) 0
x2 2y2 2 0
则
2
16
4 8 t2
8 2t 2
8 t 4 4t 2
0，
x1
x2
16 8 t 2 , x1 x2
8 2t 2 ， 8 t2
AB
4 1 t2
2 2t t 2 4 8 t2
2 2 t2 4
，
8 t2
又 OM
t2
4 ，所以 S1
1 OM 2
AB
1 t2 2
2 2 t2 4
4
8 t2
2 t2 4 t2 4 ， 8 t2
交于点 N ，四边形 AMBO 和 ONP 的面积分别为 S1， S2 ，求 S1S2 的最大值 .
21．（ 12 分）
已知函数
.
的 （1）当
时，
恒成立，求 的值；
（ 2）若
恒成立，求
的最小值 .
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计
分。
y2 3
1(a
0 ) 的离心率为 2，则 a
A. 2 B.
6
C.
2
5
D. 1
2
ln x
9. 函数 f ( x)
的图象大致为
x
A.
B.
C.
D.
5 10. 已知函数 y 2sin 2x
6
3 0x
的图象与一条平行于 x 轴的直线有两个交点， 其横
4
坐标分别为 x1 ， x 2 ，则 x1 + x2
4 A.
（一）必考题：共 60 分。 17. （ 12 分）
已知△ 中，
，
，
. 求：
（ 1）角 的大小；
（ 2）△ ABC中最小边 边长 .
18. （ 12 分）
如图所示，四棱锥
中，
为 的中点 .
底面
3
（ 1）求证：
平面 ；
（ 2）求三棱锥
的体积 .
19. （ 12 分）
郴州市某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取
y2 b2
1(a b 0) 的四个顶点组成的四边形的面积为
2
2 2 ，且经过点
1, 2
.
（ 1）求椭圆 C 的方程；
（ 2）若椭圆 C 下顶点
为 P ，如图所示， 点 M 为直
线 x 2 上的一个动点， 过椭圆 C 的右焦点 F 的直线 l 垂直于 OM ，且与 C 交于 A ， B 两点， 与 OM
3
2 B.
3
C. 3
11. 已知三棱锥 D ABC 四个顶点均在半径为 R 的球面上， 且 AB BC
锥体积的最大值为 1，则这个球的表面积为
500
100
A.
B.
C.
81
9
25
D.
4
9
D. 6
2，AC 2 ，若该三棱
2
12.
已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左、右焦点分別为
F1, F2 ，过 F2 的直线与椭圆交于
，
．
在
中，
∴
，
∴
是直角三角形．
又 为 的中点，
∴
，
∴
是等边三角形，
∴
，
∴
，
∴
．
又 平面
平面 ，
∴
平面 ．
7
（ 2）解：
∵
底面
，
∴
底面 ，
∴ 为三棱锥
的高．
∵
，
∴
．
又
∴
，
∴
．
19. 解：（ 1）由甲教师分数的频率分布直方图，得
对甲教师的评分低于 70 分的概率为
所以，对甲教师的评分低于 70 分的人数为
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1. 已知集合 A 1,2 ，集合 B 0,2 ，设集合 C z z xy, x A, y B ，则下列结论中正确
的是
A. A C
B.
A C C C.
，解得：
8
评为该年度该校优秀教师
2
11
20. （ 1）因为 1, 2
在椭圆 C 上，所以 a 2
2b2
1，
又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为
1 2 2 ，所以 2a 2b 2 2, ab 2 ，
2
2
解得 a2 2, b 2 1，所以椭圆 C 的方程为 x y2 1 2
A, B 两
点，若 F1AB 是以 A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为
A． 2 2
B ． 2 3 C.
52
D ．6 3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 在 ABC 中， cos A 3 , cos B 5 ,则 cosC
.
5
13
14. 已知函数 y f (x)，若 f (x 1) f (x 1) 3且 f (1) 2,则 f (2019)
22． [ 选修 4— 4：坐标系与参数方程 ] （ 10 分）
x t cos
在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
（ t 为参数）．以坐标原点为极点，
y 1 t sin
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
C 的极坐标方程为 sin 2 2 3 cos 0 ．
x
（ 1）写出直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；
恒成立，则
.
而
恒成立
恒成立 函数
的图象不在函数
图象的上方，
又需使得
的值最小，则需使直线
与曲线
的图象相切 .
设切点为
，则切线方程为
，即
..
∴
.
令
，则
.
∴当
时，
， 递减；当
时，
， 递增 .
∴
.
故 的最小值为 0. 22. 解（ 1）由直线 l 的参数方程消去 t ，得 l 的普通方程为 x sin y cos cos 0 ， 由 sin 2 2 3 cos 0 得 2 sin 2 2 3 cos 0 ， 所以曲线 C 的直角坐标方程为 y2 2 3x ．
③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；
④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面．
其中真命题的序号为 ______．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
17~21 题为必考题，每个试
题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。
2
，
2
所以当 t 0时， S1S2 max
2. 2
21. 解：（ 1）由
，得
，则
.
∴
.
若 ，则
，在
又
，∴ . 当 时，
上递增 . 不符合题意 .
② 若 ，则当
时，
， 递增；当
时，
， 递减 .
∴当 时，
.
欲使
恒成立，则需
记
，则
.
∴当
时，
， 递减；当
时，
， 递增 .
∴当 时，
综上所述，满足题意的
.
（ 2）由（ 1）知，欲使
（ 2） 由（ 1）可知 F 1,0 ，设 M 2,t , A x1, y1 , B x2, y2 ，
则当 t 0 时， OM : y
t x ，所以 k AB
2
，
2
t
直线 AB 的方程为 y
2 x 1 ，即 2x ty 2 0 t 0 ， t
y
由
2 t x 1 得 8 t 2 x2 16 x 8 2t2 0 ，
6
一、选择题
1.C 2.B 3.A 4.A 5.D 6.C 7.A 8.D 9.A 10.B 11.B 12.D
二、填空题
33
13.
65
14. 1 15.
3 16. ①②④
三、解答题 17. 解： (1)
=–
=–
，所以
，
(2) 因为 又因为
，所以最小角为
，所以
，
，又
，
所以
．
18. （ 1）证明：∵
2020 年安徽省高考模拟考试 文科数学试题与答案
（满分 150 分，考试时间 120 分钟） 注意事项：