整除和带余除法
§1.1整除的概念及带余除法
第一章整数的可除性整除性理论是初等数论的基础。
本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的q，使得成立，则称a能被b整除，a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），并且使用记号b∣a；如果不存在整数q使得a = bq成立，则称a不被b整除，记为显然每个非零整数a称这四个数为a的平凡约数，a下面的结论成立：∣a⇔±b∣±a；(ⅱ) c ∣b，b∣a⇒c∣a；(ⅲ) b∣a i，i = 1, 2, …, n⇒b∣a1q1+a2q2+…+a n q n，此处q i（i = 1, 2, , n）是任意的整数；(ⅳ) b∣a ⇒bc∣ac，此处c是任意的非零整数；(ⅴ) b∣a，a≠ 0 ⇒|b|≤|a|；b∣a且|a|<|b|⇒a = 0。
) 设a 与b 是两个整数，b > 0，则存在q 和r ，使得a = bq + r ，0 ≤ r <b (2) 成立且q 。
中的q 叫做a 被b 除所得的不完全商，r 叫做a 被例1 若1n >，且111n n -+ 求n222x y z +=的整数解能否全是奇数？为什300”位于哪个字母的下面A B C D E F G1 2 3 45 6 78 9 10 1112 13 1415 16 17 ……. 解：观察可以发现两行7个数组成一组故300=7×42+6与6同在字母D 的下面例4 a 除以b 商为c ，余数为r ，则am 除以bm 商为 ， 余数为 。
m N +∈某整数除以3余2，除以4余1，该整数除以12，余 ？三、整除的特征从正整数121n n N a a a a a a -=的末位a 起向左每k 个数码分为一节，最后剩下若有不足k 个数码的也为一节，记为()1()(),,,k k t k A A A并记()1()()()k k k t k S N A A A =+++----数节和1()1()2()()()(1)t kk k k t k S N A A A A -'=-++-----数节代数和 1、设d 是10k 的约数，则()k d N d A ⇔推论：能被2或5整除的数的特征是：这个数的末一位数能被2或5整除。
多项式的整除性和带余除法
多项式整除性理论主要讨论任给两个多项式 f(x),g(x), 是否有 g(x) 整除f(x)以及与此相关的多项式的最大公因式, 多项式的因式分解等问题. 在讨论一元多项式的整除性理论时,带余除法是 一个重要定理, 它给出了判断多项式 g(x)能否整除多项式f(x)的一个有效方法; 并且是讨论一元多项式的最大公因式及多项式根的理论基础.
如果f(x)|g(x),f(x)|h(x),则对任意多项式u(x),v(x) 都有f(x)|(u(x)g(x)+v(x)h(x));
为什么?
多项式的整除不是运算, 它是Ｆ[x]元素间的一种关系, 类似于实数集 R 元素间的大小关系, 相等关系; 多项式的整除性是不因数域的扩充而改变的.即当数域扩充时, 作为扩充后的数域上的多项式 f(x)和g(x), g(x)
g(x)≠0, g(x)│f(x)等价于 g(x)除 f(x)的余式零.
q(x)和r(x)的求法与中学的方
法基本相同. 在做除法时, 可
由定义不难看出 零多项式被任意一个多项式整除; 零多项式不能整除任意非零多项式; 任意多项式一定整除它自身. 零次多项式(非零常数)整除任意多项式. 当g(x)≠0时,由带余除法定理得到 Theorem1.对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中g(x)≠0, 则g(x)|f(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零.
多项式的整除性和带余除法
带余除法定理:对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中(g(x)≠0,一定有P[x]中的多项式q(x)和r(x)存在,使得
Definition5.(整除的定义)
称P[x]上的多项式g(x) 整除f(x),如果存在P[x]上的多项式h(x), 使得
初等数论第一章整除
例1:设 x, y 为整数,且5 | x 9 y 则 5 | 8x 7 y
证:因为 8x 7 y
8( x 9 y) 65y
因为5 | x 9 y
所以有
又
5 | 65y
5 | 8x 7 y
例2:证明若3|n,7|n,则21|n
证:因为3|n,所以n= 3n1 又因为7|n,所以 7 | 3n1 显然有 7 | 7n 1 则有 7 | 7n1 2 3n1 即 7 | n1 有 n1 ห้องสมุดไป่ตู้7n2 即有 n 21n2 所以有21|n
注： （1）连续n个整数中必有一个数被n整除。 可作为一个定理，在证明整除问题时非常 有用。 （2）注意整数的各种表示。 例2: 证明若a不是5的倍数，则
与
中有且仅有一个数被5整除
证明: 这四个数有一个是5的倍数 若 5 | a 1或 又 所以 即 a 1, a 1 有且仅有一个数被5整除
n 是整数，所以 3
n2 2
n3 6
是
注:这里用了连续n个整数的乘积是n！的 倍数的结论.
注：连续n个整数的乘积是n！的倍数。 a、当n个整数都大于零时,由
m( m1)( m n1) n!
C
n m n1
而组合数为整数，可知连续n个整数的乘积是n！ 的倍数。 b、当n个整数中有一个为零时，显然成立。
n 注：1、
2、
a b (a b)M1
n
n
a b (a b)M 2 , 2†n
n
3、
(a b) aM3 b ,
n n
例5、试证明任意一个整数与它的各位数 字和的差必能被9整除。
多项式整除
例3．求实数 m , p, q 满足什么条件时多项式
x mx 1 整除多项式 x 3 px q.
2
附：整数上的带余除法
对任意整数a、b（b≠0）都存在唯一的整数q、r， 使 a＝qb＋r，
其中 0 r b .
q x g x r x q x g x r x
即
q x －q x g x ＝r x －r x .
若q x q x ，由g x 0, 有r x －r x 0
4 2i 5 2i
9 8i 9 8i
１ 有
f ( x ) g( x ) x 2 2ix 5 2i 9 8i .
例２.
把 f ( x ) x 表成 x 1的方幂和．
5
０ ０ ０ ０ ０ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １= c0 2 3 4 １ 2 3 4 5= c1 １ １ 1 3 6 3 6 10= c2 １ １ 1 4 4 10= c3 １ １ 1 1 5= c4 x 5 ( x 1)5 5( x 1)4 10( x 1)3 10( x 1)2 5( x 1) 1
g( x ) | f ( x ) h2 x 使得 f ( x ) g ( x )h2 x .
f ( x ) h1 x h2 x f ( x ).
若 f ( x ) 0,
则 g ( x )＝0,
f ( x )＝cg( x )，c P ,c 0
② g ( x ) 不能整除 f ( x ) 时记作： g ( x ) | f ( x ).
整除与有余数除法
第二十一讲整除与有余数除法【】同学们，我们在二年级就已经学过“有余数的除法”，下面，向大家介绍整除与有余数除法的基础知识与基本方法。
1、整除：两个数相除时（除数不为0），它们的商是整数。
例如：12÷4＝3我们就说“12被4整除”或“4整除12”。
2、有余数除法：两个整数相除时（除数不为0），它们的商不是整数。
例如：1313÷7＝7我们就说“13不能被7整除”，可写成：13÷7=1……6,我们称6为13除以7的余数，这种带有余数的除法叫有余数除法，可表示为：被除数÷除数＝商……余数.有时为了讨论方便和统一，也将两整数整除时称作余数为零。
3、被除数＝除数×商＋余数4、可被2整除的数的特征是：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。
5、可被3整除的数的特征是：如果一个数的个位数字的各位上的数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。
6、可被5整除的数的特征是：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。
7、数的整除有两个简单的性质：（1）如果甲、乙两个整数都能被整数丙整除，那么甲、乙两数的和以及甲、乙两数的差也能被丙整除。
（2）几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某个整数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
【典型例题】例一、一个除法运算，被除数是10，除数比10小，则可能出现的所有不同的余数的和是多少仿练一、哪些数除以5，能使商与余数相同例二、两个整数相除商是12，余数是8，并且被除数与除数的差是822，求这两个整数。
仿练二、两个数的和是444，较大的数除以较小的数所得的商是4余24，这两个数各是多少例三、下面算式中的两个方框内应填什么数，才能使这道整数除法题的余数最大仿练三、被除数、除数、商与余数的总和是100，已知商是12，余数是5，求被除数与除数；例四、从4,0,5,7四个数中任选三个，组成能同时被2,3,5整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
除法的运算法则掌握除法的整除和有余数的情况
除法的运算法则掌握除法的整除和有余数的情况除法是数学中一种常见的运算方法，它可以将一个数平均地分成若干个相等的部分。
在进行除法运算时，我们需要掌握除法的整除和有余数的情况，以便准确地得出计算结果。
一、整除的情况整除是指被除数可以被除数整除，没有余数。
在这种情况下，除法的结果是一个整数。
下面是一个例子：例：36 ÷ 6 = 6在这个例子中，被除数36可以被除数6整除，没有余数，所以结果为6。
当进行整除的除法运算时，除数可以直接整除被除数，得到一个整数结果。
这种情况下，我们不需要进行进一步的计算，直接将商作为最终结果。
二、有余数的情况有余数的情况下，被除数无法完全被除数整除，会有一个余数留下。
在这种情况下，除法的结果是一个带余数的分数或小数。
下面是一个例子：例：17 ÷ 5 = 3 余 2在这个例子中，被除数17除以除数5所得的商是3，余数是2。
这意味着17除以5等于3又2/5。
当进行有余数的除法运算时，我们需要先计算商，并将余数写在分数线上方，除数写在分数线下方，得到一个带余数的分数。
如果需要，我们还可以将这个分数化为小数，得到一个更准确的结果。
无论是整除还是有余数的除法运算，我们都应该遵守一些基本的运算法则。
1. 除法的运算法则（1）左除原则：先除大的数，再除小的数。
例如，16 ÷ 8 与 8 ÷ 16的结果是不一样的。
（2）逐位相除：从高位向低位依次进行相除操作。
例如，124 ÷ 4可以先将百位数除以4，然后再将十位数除以4，最后将个位数除以4。
（3）末尾补零：当除数无法整除被除数时，可以向被除数的末尾补零，使得被除数能够被除数整除。
例如，15 ÷ 4 可以先将15末尾补零变为150，再进行运算。
2. 检验除法运算的结果为了确保除法运算的结果准确无误，我们可以通过乘法来检验结果。
方法是将除数乘以商，再加上余数，得到的结果应该等于被除数。
原题目：多项式的整除性质
原题目：多项式的整除性质
多项式的整除性质
在代数学中，多项式的整除性质是一种非常重要的属性。
它描
述了多项式之间的除法关系。
本文将介绍多项式的整除性质及其应用。
定义
设A(x)和B(x)是两个多项式，如果存在另一个多项式C(x)，
使得A(x) = B(x) * C(x)，则称B(x)可以整除A(x)，记作B(x) | A(x)。
整除定理
多项式的整除性质可以通过整除定理来描述。
整除定理指出，
当B(x)是一个一次多项式，即B(x) = ax + b，并且B(x)整除A(x)时，A(x)在x = -b/a时取值为零。
应用
多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。
一些重要的应用包括：
1. 确定多项式的公因式：如果B(x)整除A(x)，则B(x)是A(x)的一个公因式。
这可以用来简化多项式、分解多项式或找到多项式的根。
2. 带余除法：根据整除性质，可以使用带余除法来将一个多项式除以另一个多项式。
带余除法是一种有效的算法，可以用于多项式的除法运算。
3. 多项式的因式分解：利用多项式的整除性质，可以将一个多项式因式分解为较低次数的多项式乘积的形式。
这在代数学和数值计算中都是非常重要的操作。
4. 多项式的最大公因式：通过利用多项式的整除性质，可以求解多项式的最大公因式。
最大公因式是两个或多个多项式共有的最高次数的公因式。
总结
多项式的整除性质是一种重要的代数属性，它描述了多项式之间的除法关系。
整除定理提供了判断多项式整除性的方法，而多项式的整除性质在代数学和计算学中有广泛的应用。
第2讲 整除、带余除法
第2讲 整除、带余除法1、定义：对于整数a 和不为零的整数b ，总存在整数,m n 使得(0)a bm n n b =+≤<,其中m 称为商，n 称为余数，特别地，当0n =时，即a bm =，便称a 被b 整除（也称a 是b 的倍数或b 是a 的约数），记为|.b a2、性质（1）若|,|a b b c ，则|a c ；（2）若|b a ，则|b ka ，其中k 是任意整数；（3）若|,|a b a c ，则|();a b c ±（4）若|a bc 且(),1a c =，则|a b .特别地，若质数|,p bc 则必有|p b 或|p c ；（5）若|,|b a c a 且(),1b c =，则|;bc a（6）若|,|,b a c a 则[],|b c a .其中(),b c 表示,b c 两数的最大公约数，[],b c 表示,b c 两数的最小公倍数，若(),b c =1，则称,b c 两个数互质.3.具有整除性的数的特征.（1）被2整除的数：个位数字是偶数；（2）被3整除的数：数字和被3整除；（3）被4（25）整除的数：末两位数字组成的两位数能被4（或25）整除；（4）被5整除的数：个位数字是0或5；（5）被7（或11或13）整除的数：奇数位的数字和与偶数位的数字和的差（偶数位的数字和与奇数位的数字和的差）能被7（或11或13）整除；（6）被8（或125）整除的数：末三位数字组成的三位数能被8（或125）整除；（7）被9整除的数：数字和被9整除.典例分析例题 1 如果五位数1234a 是3的倍数，那么a 是_______________.能力冲浪数．n n+除所得的商数q及余数r都是正值，则r的最大值与最例题 2 n为正整数，302被()1小值的和是（）A. 148B.247C.93D.1222-1. 整数A除以3余2，除以4余1，那么A除以12的余数是_________________.n+被4除余数是___________________.2-2. 如果2n被4除余数为1，则()252-3.（第14届“五羊杯”）五羊足球学校有3位教练带着学员一起跑步，如果学员每2人一行，那么最后一行只有1人；如果学员每3人一行，那么最后一行只有2人；如果教练和学员合起来每5人一行，那么刚好可以跑成一个方阵，已知学员人数约为250左右，那么跑步的人数为（ ）A.230B. 250C. 260D.280例题 3 （第十九届江苏省初中数学竞赛）在0,1,2,3,4，…,100这101个整数中,能被2或3整除的数一共有( )A. 85个B. 68C. 34个D. 17个3-1．（第14届“希望杯”）在1,2,3，…，100中，不能被2整除也不能被5整除的所有整数的乘积的个位数字是（ ）A. 7B. 1C. 3D.例题 4 （第十五届江苏省初中数学竞赛）今天是星期天，从今天起第20001111天是星期_____.4-1. (第14届“五羊杯”) 2002年10月1日是星期二，2008年10月1日是星期__________ 4-2. （第十六届江苏省初中数学竞赛）给出一列数1237,7,7， ，20017，其中末位数是3的有_________个.4-3. （第十八届江苏省初中数学竞赛）设2222=1+2+3++2003,m 今天是星期一，若算为第一天，则第m 天是星期几？。
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第四编 整除和带余除法§1 自 然 数1．1 自然数① 本编规定 0,1, 2, 3, , 12, 13, 是自然数。
② 自然数最重要的性质是可以比较大小，即两个自然数，或者相等，或者其中 一个小于另一个，或者大于另一个。
而且，它们必有其中一个关系。
这条性 质称为自然数的有序性质。
③ 自然数有两条重要的原理：1. 最小自然数原理——一个自然数的集合，如果至少包含有一个自然数，则在 这个集合中，一定有一个自然数最小；2. 最大自然数原理——一个自然数的集合，如果至少包含有一个自然数，而且 个数有限，则在这个集合中，一定有一个最大的自然数。
【说明和建议】（1）自然数也可以规定为不包括 0，本编则规定包括零，两者都符 合数学严格的关于自然数的公理化定义。
做题时需要注意题目中的自然数是何种规定， 例如：第一届至第八届的“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题中涉及的自然数就规定不 包括 0。
（2）③的内容及其有关的例题仅供老师参考。
例1.1 将下列自然数 12、7、10、103 和 3 按从小到大排列成一个新的自然数。
解：这个自然数是 371012103。
例1.2 说明在小明的班级中，一定有一个同学，他的年龄最小。
解：用最小自然数原理。
例 1.3 说明对任意的自然数 m >2，一定有唯一的自然数 k 使2k m 2k1 。
（1.1）解：用符号 S 标记具有如下性质的自然数的集合：n 是任意一个自然数，如果 2n m ，n 就是 S 中的成员；如果 n 是 S 中的一个成员，就一定满足 2n m 。
S 一定至少包含一个自然数，例如：1。
而且， S 不会包含无穷多个自然数，否则,可以将这些自然数按从小到大排列，没有上界，它就有一个成员，例如 j，它不满足 2 j m 。
所以，这个集合满足最大自然数原理的条件，在 S 中一定有一个最大的自然数，把它记作 k ，则（1.1）成立。
否则， k 不是 S 中最大自然数。
1..2 自然数的运算和运算规律① 在自然数中有两个自然的运算：加法和乘法，它们具有如下性质：对任何自然第4页 共5页数 a,b,c ， （1） 加法有零元“0”， 即 a 0 a; 乘法有单位元“1”，即1 a a ； （2） 加法和乘法有交换律，即 a b b a ， ab ba ；（3） 加法和乘法有结合律，即 a b c a b c, abc abc ；（4） 加法和乘法有分配律： a (b c) a b a c 。
② 两个自然数的加法和乘法运算都可以理解为将两个自然数对应于一个自然数的 运算（或操作）。
例如，可以将乘法记作*运算，将加法记作&运算，a 和 b 是两个自然数， a b a b ， a & b a b 。
加法和乘法的混合运算也可以用符号*和&表示，例如我们规定*运算优于&运算，则 a 2b a & 2* b。
将乘法和加法理解为某种有规律的运算或操作，这种认识启发我们可以在自然数中 以加法和乘法为基础定义新的运算。
【说明和建议】介绍新的运算的目的是使学生加深对自然数加法和乘法的理解，提 高数学抽象的能力。
例1.4 对自然数 n 规定一种“G”运算：① 当 n 是奇数时，G(n)＝3n＋1； ② 当 n 是偶数时，G(n)＝ n 持续被 2 整除直到是奇数的商； 将 k 次“G”运算记作 Gk ，请计算 G250 （13）＝？ 解： G(13 ) 40 , G2(13 ) 5 , G3(13 ) 16, G4(13 ) 1, G5 1;，所以， G250 （13）＝1. 【说明】例 1.4 是数论近年来研究活跃的一个猜测的特例，这个猜测是： “对任何非零自然数 n ，均存在一个自然数 k ，使 Gk （ n ）＝1。
”例 1.5 定义一个用符号#表示的运算：a# b 3 a b b 5如果有一个自然数 m ，对任何自然数 a ，有 a# m a 或者 m# a a 成立，就称 m 是运算#的单位元。
请回答： 1) 3#7=？ 2) 运算#是否有单位元? 3) 运算#是否有交换率和结合率？解：3#7 3 3 7 7 5 446 .如果运算#有单位元 m ，则应当有等式：a# m 3am2 5 a ，或 m# a 3ma2 5 a ，而且要求两个等式中 a 是任意自然数。
可以取 a ＝0，这时候得到 5 0 ，这是不可能的。
所以运算#没有单位元。
计算：第4页 共5页2#1 3 2 11 5 11, 1#2 3 1 2 2 5 17 ，所以运算#没有交换律。
计算：1#2& 3 (3 1 22 5)#3 3 17 32 5 464, 1& 2#3 3 1 2#32 5 3 1 (3 2 32 5)2 5 10448.所以，这个运算没有结合律。
1.3 进位制① 通常用十个数字 0、1、2、3、…9 记载自然数，这种表示自然数的方法隐含了 十进制，即采取逢十进一的法则记数。
此外，还可以用其它进制表示自然数。
设 M （ 0 ）和 L 0 是自然数，若M an Ln an1Ln1 a1L a0 , an 0 ，（1.1）其中，ak k 0,1,2,n 是小于 L 的自然数，Lk 表示 k 个 L 连乘，则称 M an an1a1a0是 L 进制数。
有时候，为了清楚表示 M 是 L 进制数， M 可以记为 M L 。
② 当 L 10 时，是通常使用的十进制， M L an an1a1a0 时，an 0 ，称为首位，a0 称为个位， a1 称为十位，依次类推。
通常，一个数如无特别说明，是指十进制数。
③ 利用（1.1）式可以对自然数做不同进位制之间的转换。
【说明和建议】计算机使用二进位制，如果学生有充裕的时间和精力，课外可以学 习一点进位制，扩展与自已生活和学习密切相关的数学知识。
本节介绍初步的进位制的 知识，例题则侧重于介绍如何用进位制解答问题，目的是提高学生用数学解决问题的能 力。
例1.6 将 10 进制数 9324 写成 9 进制数。
解：9324 9 1036 0 9 9 115 1 0 9 9 9 12 7 1 0 9 9 9 9 3 7 1 0 94 3 93 7 92 9,所以，9324 的 9 进制数是 13710。
【说明】能被 9 整除的自然数，它的 9 进制数的个位一定是零。
从（1.1）可以推 断，能被 L 整除的自然数，它的 L 进制数的个位一定是零。
例1.7 在计算机软件中，有一种码是校验码，是用来验证输入的数据是否正确。
例 如：一个数据是 9324，输入时为 9324-10，后面的 10 是 9324 的九进制的十位和个位数， 如果录入数据 9324 时，出了差错，就可能不符合后面的校验码 10。
10 就称为八进制的 2 位码。
小民录入一个 12 进制的数据 4885-A1，A 代表 11。
问：小民录入的数据是否正第4页 共5页确？ 解：4885 12 12 2 12 9 11 1 2 123 9 12 2 11 12 1，将 4885 写成十二进制数是 29A1，小民录入的数据“正确”。
【说明】① 严格讲，还不能非常肯定小民录入的数据“正确”。
校验码能判错，不 能百分之百地判“正确”，因为会有两个不同的数据对应于同一个码。
但是，在录入数 据时，录入这种错误数据的可能性太小了，所以，可以认为小民录入的数据“正确”。
② 用 L 进制表示一个自然数，当 L >10 时，10 个数码 0、1、2、…、9 就不够用了，我 们可以用一些符号来代表大于 9 的“数码”。
例如：在例 3.7 中，就是用 A 代表 11。
例 1.8 一个细长圆柱，等分为 5 节，用红、黄和蓝色涂每节。
问：可以得到多少种 颜色不同的圆柱？（第五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第一试第 3 题）解：等分的 5 节，涂有 3 种颜色，红色用 0 代表，黄色用 1 代表，蓝色用 2 代表， 则每个涂色的圆柱对应一个“5”位的数。
例如：如果圆柱的 5 节涂色是黄、红、黄、 蓝和蓝，则对应的“5”位数是 10122，如果圆柱的 5 节涂色是红、红、蓝、黄、蓝和蓝， 则对应的“5”位数是 00212。
所以，每种涂法可以看做一个三进制的数，最多是 5 位。
最大的三进制的 5 位数是 22222，化成十进制的数是234 233 232 23 2 242， 加上 5 节均涂为红色的圆柱，用 00000 代表，可以看做是数 0。
所以，如果用三进制的 数代表涂色的圆柱，则共有 243 个三进制的数。
现在，我们将不超过 5 位的三进制数一律认为是 5 位的三进制数，例如：102 可以 被认为是 00102，只是第 4 位和第 5 位是 0。
这时候，102 的 5 位反序数就是 00102 的 反序数，即 20100。
102 和 20100 是 5 位的互为反序数。
由于棒的规格相同、均匀，是在等分的 5 节上涂色。
因此，将一个涂过色的棒倒转 180 度，它可能与另一个棒的涂色完全相同。
这种对称的性质反映在三进制数上，则是 表示一个三进制的数等于它的 5 位的反序数。
也就是，在 243 个三进制数中，如果两个 三进制数是 5 位的互为反序数，则它们代表相同的涂法。
但是，在这 243 个三进制数中， 会有一些数和它的 5 位的反序数相同。
例如：12021 的反序数也是 12021，1010 的五位 的反序数也是 1010。
从右向左计算，一个位数不超过 5 位的三进制数如果和它的 5 位反 序数相同，第 1 位一定和第 5 位相同，第 2 位一定和第 4 位相同。
所以，一个数如果和 它的反序数相同时，只有 3 位可以取 0,1 和 2，即在 243 个三进制数，共有 333 27 个数和它的 5 位反序数相同。
在 243 各三进制数中，有 243－27 个和它们的 5 位反序数 不同，而且，一对 5 位的互为反序数代表相同的涂法。
所以，可以得到不同的涂法共有 243 27 2 27 135 种涂法。
例 1.9 一块圆形的纸片分成 4 个相同的扇形，用红、黄两种颜色分别涂满各扇形， 如果两种涂法经过旋转后，圆形纸片的染色相同，则认为是相同的涂法。
问共有几种不 同的涂法? （第九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第 6 题）第4页 共5页解：若涂红色用 1 代表，涂黄色用 0 代表，固定圆形纸片中某个扇形为起始位置， 则如同例 1.8，涂上颜色的圆形纸片可以用二进制数表示，位数不超过 4 位，共有 16 个。
两种涂法经过旋转后，如果圆形纸片的染色相同，则代表这两种涂法的两个二进制 的 4 位数是同在一组 4 位的旋转数内。