第六章：1时变线性

(6 − 2)
0 < a 3 (s )I ≤ Φ (t + s , t ) W (t , t + s )ΦT (t + s , t ) ≤ a 4 (s )I (6 − 3)
这 里 ， 可 控 性 G ram 矩 阵
W (t , t + s ) := ∫
t +s
t
Φ (t , t )B(t )B (t )Φ (t , t )d t
t
t −s
Φ (t , t )B(t )BT (t )ΦT (t , t )d t
Φ(t + s , t )B(t )BT (t )ΦT (t + s , t )d t
s s −s
∫ →
t + s =s
Φ(s , t )B(t )BT (t )ΦT (s , t )d t
3) 一致可控性保证在时间定义域内任何时刻 任何时刻的状态 任何时刻 转移均可在时间间隔σ 内完成，而与时间的起点 无关。这里所说的状态转移，包括了 从 t 时刻的任何状态转移到 t+σ 时刻的零状态 （可控） 从t−σ 时刻的零状态转移到 t 时刻的任意状态（可 达） 这两点分别由（6-2）式与（6-3）式所保证。
T T
注意： 注意：对n×n实对称阵A, B， ， A>B ⇔ xT(A－B)x >0，即A−B 正定； A≥B ⇔A－B 为半正定。 讨论： 讨论： 1) 由第二章：(A(t),B(t))在t0时刻可控的充分必要条 件是存在有限的 t1>t0， 使得W(t0,t1)非奇异。注 意到W(t0,t1) 至少半正定，故非奇异意味其正定。 易见，满足上述矩阵不等式，W正定。
从工程应用角度，可用时变线性系统近似描述 的典型系统是： • 飞机在标称高度和速度附近变化时的动态特性； 飞机在标称高度和速度附近变化时的动态特性； • 空间站的运动。空间站的运动可用非线性微分方程 空间站的运动。 组描述，线性化之后， 组描述，线性化之后，线性模型的参数仍会在一个 大范围内变化，难以用定常线性系统来描述； 大范围内变化，难以用定常线性系统来描述； • 化工过程中热传导速度的控制、一些化学反映的动 化工过程中热传导速度的控制、 态过程等都是高度非线性的， 态过程等都是高度非线性的，其工作点和参数变化 剧烈，因此， 剧烈，因此，即使线性化后也要用时变线性系统来 近似。 近似。 • 参考文献：Linear Time-Varying Systems: Control and 参考文献： Adaptation. K. S. Tsakalis and P 1 2
若选择 σ =5，有
1 < W (t , t + 5 ) =
∫t
t +5
b 2 ( t )d t ≤ 5 , ∀ t
此时(6-2)式成立。又因为Φ=I，所以(6-3)式也成立。 在 (−∞, +∞) 内系统是一致完全可控的，当然也是可 控的。
2. W(t0,t1) 的一些性质 定义6-1表明，判别一个系统的一致可控性有赖 于W(t0,t1) ，因此，首先研究 W(t0,t1) 的一些性质。
（4） W(t0, t1 )满足
W (t 0 , t 1 ) = W (t 0 , t ) + Φ (t 0 , t ) W (t , t 1 ) ΦT (t 0 , t )
3. 一致完全可控性的判据 定理6-2： 定理 ：若A(t)及B(t)有界，即存在K使得对任意 的t ， 均有
|| A (t ) ||< K ,
t −σ t+ σ
t
采用第二章（习题）中的方法，可以证明，控制
u (t ) = −B (t )Φ (t , t ) W (t , t + s )[x 0 − Φ(t , t + s )x1 ]
T T
−1
可在时间段σ 中将时刻x(t)的任意状态转移到时刻 x(t+ σ)的任意状态x1。若系统仅仅是可控的，则完成 状态转移可能需要很长的时间，或者要求控制的幅 度极大。然而，若其是一致完全可控的，则总能在 长度为σ 的一段时间完成，此外，控制输入的幅度 不会是任意大的（正比于W−1)。 在最优控制理论中，为了保证系统的稳定性， 有时需要一致完全可控这一条件。
最后，
Φ(t + s , t ) W(t , t + s )ΦT (t + s , t )
≤ Φ(t + s , t )
2
W(t , t + s ) ≤ e 2K s a 2 (s )： a 4 (s ) = (s - 2)
⇒ Φ(t + s , t ) W (t , t + s )ΦT (t + s , t ) ≤ a 4 (s )I
|| Φ ( t , s ) ||≤ e
K t −s
∀ s ,t
在下面对定理6-2的证明中，需要如下有关n×n 实对称正定阵A, B 的知识：
1.若A ≥ B > 0, 则B
2. 若 A
2
−1
≥A
−1
> 0;
≤ α , 则A ≤ α I。
是酉不变的。
A 2 := λmax ( AT A)；此外，⋅
2
本章所考虑的n 维线性时变系统的方程为
ɺ x = A (t )x + B (t )u y = C (t )x
（6—1）
式中u 是 p 维输入向量，y 是 q 维输出向量，并假 定状态方程满足解存在和唯一性条件。 首先， 首先，时变系统的分析和设计中会遇到哪些 问题？时变系统的特点是什么？ 问题？时变系统的特点是什么？ 1) 第二章已清楚， 时变线性系统的一些重要性质， 如可控性、可达性、可观测性、 可重构性等均 和所研究的时刻 t0 有关，因此就提出这些性质对 t 是否具有一致性的问题。在时变系统的设计中， 一致性常常是设计问题有解的条件。
定理6-2的证明 充分性： 定理 的证明@p15 ：必要性显然。充分性 的证明 充分性 1）证明
1 W ( t , t + s ) < a 2 ( s ) I : = K (1 − e − 2 K 2
s
)I
此式与(6-9)一起就证明了(6-2)@p6。为此，只要利用 B(t) <K 及引理2：
d Φ (t , t 0 ) = AΦ (t , t 0 ) dt
Φ (t 0 , t 0 ) = I
对方程两边从t0到 t 积分，即可将初值问题转换为一 个积分方程：
Φ (t , t 0 ) = I + ∫ A ( t ) Φ ( t , t 0 )d t
t0
t
两边取范数，就可用上述公式。事实上
Φ (t , t 0 ) = I + ≤ 1+
2） 条件(6-3)等价为如下的可达性条件(p.46)：
0 < a 3 (s )I ≤ Y(t − s ,t ) ≤ a 4 (s )I (6 − 4)
这里，
Y(t − s , t ) = ∫
事实上，
Φ(t + s , t ) W (t , t + s )ΦT (t + s , t ) =∫
t +s t
−1
1 ΦT (t , t + s )Φ(t , t + s ) ⇒ Φ (t , t + s ) W (t , t + s )Φ(t , t + s ) ≤ a 0 (s )
T −1
因
ΦT (t , t + s ) = Φ(t , t + s ) ≤ e K s
故
1 1 2K s Φ (t , t + s ) W (t , t + s )Φ(t , t + s ) ≤ e := a 0 (s ) a 3 (s )
一、一致完全可控性的定义和判据
定义@ 1. 定义 p15 @p20 @p21 定义6-1（ 一致完全可控性）线性时变系统（6-1)为 定义 一致完全可控的，如果存在 σ > 0 以及与 σ 有关的正 数 αi (σ) (i=1,2,3,4)，使得对所有t ∈(−∞, + ∞),
0 < a 1 (s )I ≤ W (t , t + s ) ≤ a 2 (s )I
这 里 ， 利 用 了 W ( t , t + s ) ≤ a 2( s ) I 。证完。 证完。
定理6-1 可控性矩阵W(t0, t)具有如下性质： 定理 （1） W(t0, t)是对称的; （2） W(t0, t1 )对于t1>t0 是非负定的; （3） W( t0, t )满足线性矩阵微分方程：
d T T W(t , t1 ) = A(t )W(t , t1 ) + W(t , t1 ) A (t ) − B (t )B (t ) dt W(t1 , t1 ) = 0
Φ (t , t ) ≤ e K (t − t ) , t ≥ t
就有
W (t , t + s ) < K
t +s 2
∫
t
Φ (t , t )
2
dt ≤
1 K (1 − e − 2 K 2
s
)
2）证明（6-3）成立@p6。这只要注意到由定理条件
1 0 < a 0 (s )I ≤ W(t , t + s ) ⇒ W (t , t + s ) ≤ I a 0 (s )
第六章 时变线性系统
本章将主要讨论线性时变系统的一致可控性和 一致可观测性问题，为今后的学习建立一定的基 础。 第二章已讨论了系统在t0时刻的可控性和可 观测性问题。但在最优控制、系统辨识、自适应 控制及其它系统的分析中，往往需要对可控性或 可观测性给出更强的条件。此外，即使对象是时 不变的，由于有时要将控制器设计成时变的，则 整个闭环系统仍然是时变系统，这时，利用一致 可控性等概念进行系统分析就不可避免。