2.1.2直线的方程3教案 高中数学 必修二 苏教版 Word版

第3课 直线的方程（3）
【学习导航】 学习要求
（1）掌握直线方程的一般式
0=++C By Ax （,A B 不同时为0）
， 理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：①直线的方程是都是关于,x y 的二元一次方程；②关于,x y 的二元一次方程的图形是直线；
（2）掌握直线方程的各种形式之间的互相转化．
【课堂互动】
自学评价
1．直线方程的一般式0=++C By Ax 中，
,A B 满足条件 不全为零 ，当
0A =，0B ≠时，方程表示垂直于 y 轴 的直线，当0B =，0A ≠时，方程表示垂直于 x 轴 的直线．
【精典范例】
例1：已知直线过点(6,4)A -，斜率为43
-
，求该直线的点斜式和一般式方程及截距式方程．
【解】经过点(6,4)A -且斜率4
3
-的直线方程的点斜式4
4(6)3
y x +=-
-，化成一般式，得：43120x y +-=，化成截距式，
得：134
x y
+=．
例2：求直线:35150l x y +-=的斜率及x 轴，y 轴上的截距，并作图．
【解】直线:35150l x y +-=的方程可写
成335y x =-+，∴直线l 的斜率3
5k =-；
y 轴上的截距为3；当0y =时，5x =，
∴ x 轴上的截距为5．图略．
例3：设直线2:(23)l m m x --+2(21)m m y +-
260m -+=(1)m ≠-根据下列条件分别确定m
的值：（1）直线l 在 x 轴上的截距为3-；（2）直线l 的斜率为1．
【解】（1）令0y =得 226
23
m x m m -=
--，
由题知，2
26323m m m -=---，解得3
5
-=m ． （2）∵直线l 的斜率为22
23
21m m k m m --=-+-， ∴22
23
121
m m m m ---=+-，解得43m =．
例4: 求斜率为
3
4
，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程．
【解】设直线方程为3
4
y x b =+， 令0y =，得43
x b =-
， ∴14|()|62
3
b
b ⋅-
=，∴3b =±， 所以，所求直线方程为34120x y --=或34120x y -+=．
追踪训练一
1.已知直线l 的倾斜角为60
，在y 轴上的截距为4-，求直线l
的点斜式、截距式、斜截式和一般式方程．
答案：点斜式方程：40)y x +
=- 斜截式方程：4y =-
14
y
+
=- 40y --= 【选修延伸】
一、直线经过象限问题
例5: 若直线(23)20t x y t -++=不经过第二象限，求t 的取值范围． 分析：可以从直线的斜率和直线在y 轴上的截距
听课随笔
两方面来考虑．
【解】直线方程可化为：
3()22
t y t x =--，
由题意得：3
02
2
t t ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得302t ≤≤．
二、直线过定点问题
例6：求证：不论m 取什么实数，直线
(21)(3)(11)0m x m y m --+--=恒过定
点，并求此定点坐标． 【解】法1：令1
2
m =
得3y =；令3m =-得2x =；两直线交点为(2,3)P ，将点
(2,3)P 坐标代入原直线方程，得 (21)2(3)3(11)0m m m -⨯-+⨯--=恒
成立，因此，直线过定点(2,3)P ． 法2：将方程化为
(311)(21)0x y x y m +----=，
当3110210x y x y +-=⎧⎨
--=⎩
即2
3x y =⎧⎨=⎩时，以上方程恒
成立，即定点(2,3)P 的坐标恒满足原直线方程，因此，直线过定点(2,3)P ． 例7：在例5中，能证明“直线恒过第三象
限”吗？
提示：直线恒过定点13
(,)24
P --，而P 点在第三象限．
思维点拔：
证明直线过定点问题，要找到一定点，证明其坐标始终满足直线方程即可，通常采用“例6”中的两种方法来寻求定点．
追踪训练二
1．若0,0pr qr <<，则直线0px qy r ++=不经过（ C ）
()A 第一象限 ()B 第二象限 ()C 第三象限 ()D 第四象限
2．若直线10mx ny +-=经过第一、二、三象限，求实数,m n 满足的条件． 答案：将直线方程化为：1
(0)m y x n n n
=-
+≠，由已知可得00100
m m n
n n
⎧->⎪<⎧⎪⇒⎨⎨>⎩⎪>⎪⎩； 当0n =时，直线方程为10mx -=，不满足条
件，
∴实数,m n 满足条件0
m n <⎧⎨
>⎩
3．证明：不论m 取什么实数，直线(2)m x +-
(21)34m y m -=-恒过定点，并求出该定点坐
标．
提示：仿“例6”可证得直线过定点(1,2)--．
听课随笔。