理论力学期末复习
理论力学期末复习题
理论力学期末复习题一、填空题1. 在介质中上抛一质量为m 理论力学期末复习题v k R；若选择坐标轴x 铅直向上；则小球的运动微分方程为理论力学期末复习题_。
2. 质点在运动过程中；在下列条件下；各作何种运动？①0 t a ；0 n a （答）： ；②0 t a ；0 n a （答）： ；③0 t a ；0 n a （答）： ；④0 t a ；0 n a （答）： 。
3. 质量为kg 10的质点；受水平力F的作用；在光滑水平面上运动；设t F 43 （t 以s 计；F 以N 计）；初瞬间（0 t ）质点位于坐标原点；且其初速度为零。
则s t 3 时；质点的位移等于_______________；速度等于_______________。
4. 在平面极坐标系中；质点的径向加速度为__________；横向加速度为_______。
5. 哈密顿正则方程用泊松括号表示为 ； 。
6. 质量kg m 2 的重物M ；挂在长m l 5.0 的细绳下端；重物受到水平冲击后获得了速度105 s m v ；则此时绳子的拉力等于 。
7. 平面自然坐标系中的切向加速度为 ；法向加速度为 。
8. 如果V F；则力所作的功与 无关；只与 的位置有关。
9. 在南半球地面附近自南向北的气流有朝 的偏向；而北半球的河流岸冲刷较为严重。
10. 已知力的表达式为axy F x ；2az F y ；2ax F z 。
则该力做功与路径_ （填“有关”或“无关”）；该力_ 保守力（填“是”或“不是”）。
11. 一质量组由质量分别为0m 、20m 、30m 的三个质点组成；某时刻它们的位矢和速度分别为j i r 1、i v21 、k j r 2、i v 2、k r 3、k j i v3。
则该时刻质点组相对于坐标原点的动量等于 ；相对于坐标原点的动量矩等于_ 。
12. 一光滑水平直管中有一质量为m 的小球；直管以恒定角速度 绕通过管子一端的竖直轴转动；若某一时刻；小球到达距O 点的距离为a 的P 点；取x 轴沿管；y 轴竖直向上；Ox yz P v ma并垂直于管；z 轴水平向前；并于管面垂直；如图所示；此时小球相对于管子的速度为v；则惯性离心力大小为 ；方向为 ；科里奥利力大小为 ；方向为 。
《理论力学》期末复习资料
a
L
T k(2b cos b a)
L
L F k(2b x b a)
b
2L L
x
a
FL2 k b2
例16、试用牛顿方法和拉氏方法证明单摆的运动微分方程 g sin 0
l
其中为摆线与铅直线之间的夹角，l为摆线长度。
解： （1）用牛顿法：
l
ml mg sin
T
g sin 0
l
mg
3
3
33
v2 x2 y 2 an
v2
2 2m
9
11
例4、一质点受有心力 轨道的微分方程。
F
km r2
作用，列出求解其
解：
h2u
2
(
d 2u
d 2
u)
F (r) m
F km kmu2 r2
d 2u u k
d 2
h2
例5、如下图所示，船长为L=2a，质量为M的小船，在船头上站一质量为m的人，
cos3 d
L
o
x
mg
y
18
例12、如下图所示的机构，已知各杆长为L，弹簧的原长L，弹性系数 k，若忽略各处摩擦不计，各杆的重量忽略不计。试用虚功原理求平衡
时p的大小与角度之间的关系。
y
TT
解： 2TxD pyA 0
xD L cos xD L sin yA 2L sin yA 2L cos
x
(2TLsin 2 pLcos ) 0
o
2TLsin 2 pLcos 0
p T tan k(2L cos L) tan kL(2sin tan )
19
例13、如下图所示的机构，已知各杆长为L，弹簧的原长也L，弹性系数为 k，若忽略各处摩擦不计，各杆的重量也忽略不计。试用虚功原理求平衡时
理论力学 期末复习知识点
第一章静力学公理与物体的受力分析§1.1 静力学公理✧公理1 二力平衡公理（条件）作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充分必要条件是：这两个力大小相等，方向相反，且在同一直线上。
✧公理2 加减平衡力系原理在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，不改变原力系对刚体的作用。
（效应不变）✧公理3 力的平行四边形法则作用在物体上的同一点的两个力，可以合成为一个合力。
合力作用点也是该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。
✧公理4 作用和反作用定律作用力与反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反、沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。
✧公理5 刚化原理变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。
✓推论1 力的可传性作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
✓推理2 三力平衡汇交定理作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三力的作用线通过汇交点。
§1.2 约束和约束力一、约束的概念•自由体：位移不受限制的物体。
•非自由体：位移受限制的物体。
•约束：对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体。
二、约束反力（约束力）•约束力：约束对物体作用的力。
•在静力学中，约束力和物体受到的其它已知力（主动力）组成平衡力系，可用平衡条件求出未知的约束力。
三、工程常见约束•光滑平面约束•柔索约束•光滑铰链约束•固定铰链支座•止推轴承径向轴承•平面固定端约束§1.3 物体的受力分析和受力图受力分析：确定构件受了几个外力，每个力的作用位置和方向的分析过程。
•步骤：1．取研究对象（画分离体：按原方位画出简图）。
2．画主动力：主动力照搬。
3．画约束反力：根据约束性质确定。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系§2–1 平面汇交力系平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。
成人教育专升本《理论力学》期末考试复习题及参考答案
专升本理论力学一单选1、力对刚体的作用效果决定于（）。
A、力的大小和力的方向B、力的方向和力的作用点C、力的大小、力的方向、力的作用点D、力的大小、力的作用点2、物体的平衡是指物体相对于地球处于（）状态。
A、静止B、静止或匀速直线运动C、加速运动D、减速运动3、作用力与反作用力是（）。
A、作用在一个物体上B、分别作用在两个物体上C、作用在第三各物体上D、作用在任意物体4、力系合力在某坐标轴上的投影等于该力系中 ( )。
A、各分力在该坐标轴上投影的代数和B、各分力的矢量和C、合力的大小D、合力在该坐标轴方向的分力5、固定铰链支座其约束反力一般用（）分量来表示。
A、三个B、平行C、一个D、两个正交6、在任一力系中加上或减去一个（），不会影响原力系对刚体的作用效果。
A、空间力系B、任意力系C、平面力系D、平衡力系7、力在坐标轴上的投影等于力的大小乘以与坐标轴正向间夹角（）。
A、正弦B、余弦C、正切D、余切8、平面汇交力系平衡的几何条件是（）。
A、力多边形自行封闭B、力多边形成圆形C、力多边形成正方形D、力多边形成三角形9、平面任意力系平衡的必要和充分条件是（）。
A、主矢等于零B、主矩等于零C、主矢和主矩同时等于零D、以上都不是10、同一个平面内的两个力偶的等效条件是（）。
A、力偶矩大小相等B、力偶转向相同C、力偶矩大小相等且力偶转向相同D、以上都不是11、作用于物体同一点的两个力可以合成一个力，合力的大小等于两个力的（）和。
A、代数B、矢量C、投影D、力矩12、一动点沿一曲线作匀加速运动，则该点的切向加速度一定（）。
A、指向该曲线的曲率中心B、与速度的方向无关C、与速度异号D、与速度同号13、直角坐标表示的动点的运动方程为x=2t,y=2t2,由此可知该动点的轨迹为（）。
A、直线B、圆弧C、抛物线D、椭圆14、切向加速度反映了（）。
A、速度大小的变化率B、速度方向的变化率C、速度大小和方向的变化率D、以上答案都不是15、描述刚体绕定轴转动快慢的物理量是（）。
(完整版)理论力学复习总结(知识点)
第一篇静力学第1 章静力学公理与物体的受力分析1.1 静力学公理公理 1 二力平衡公理：作用于刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等、方向相反且作用于同一直线上。
F=-F’工程上常遇到只受两个力作用而平衡的构件，称为二力构件或二力杆。
公理 2 加减平衡力系公理：在作用于刚体的任意力系上添加或取去任意平衡力系，不改变原力系对刚体的效应。
推论力的可传递性原理：作用于刚体上某点的力，可沿其作用线移至刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的作用。
公理 3 力的平行四边形法则：作用于物体上某点的两个力的合力，也作用于同一点上，其大小和方向可由这两个力所组成的平行四边形的对角线来表示。
推论三力平衡汇交定理：作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三个力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
公理4作用与反作用定律：两物体间相互作用的力总是同时存在，且其大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个物体上。
公理5 钢化原理：变形体在某一力系作用下平衡，若将它钢化成刚体，其平衡状态保持不变。
对处于平衡状态的变形体，总可以把它视为刚体来研究。
1.2 约束及其约束力１．柔性体约束２．光滑接触面约束３．光滑铰链约束第2章平面汇交力系与平面力偶系1.平面汇交力系合成的结果是一个合力,合力的作用线通过各力作用线的汇交点,其大小和方向可由失多边形的封闭边来表示,即等于个力失的矢量和,即FR=F1+F2+…..+Fn=∑F2.矢量投影定理：合矢量在某轴上的投影，等于其分矢量在同一轴上的投影的代数和。
3.力对刚体的作用效应分为移动和转动。
力对刚体的移动效应用力失来度量；力对刚体的转动效应用力矩来度量，即力矩是度量力使刚体绕某点或某轴转动的强弱程度的物理量。
（Mo（F）=±Fh）4.把作用在同一物体上大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系称为力偶，记为（F,F’）。
理论力学期末复习题
1、圆柱O 重G=1000N 放在斜面上用撑架支承如图；不计架重，求铰链A 、B 、C 处反力？解：(1) 研究圆柱，受力分析，画受力图：由力三角形得：(2) 研究AB 杆，受力分析（注意BC 为二力杆），画受力图：(3) 列平衡方程(4) 解方程组：2、求下图所示桁架中杆HI 、EG 、AC 的内力？FHC A E答：F F F F HI AC EG -===003、重物悬挂如图，已知G=1.8kN ，其他重量不计；求铰链A 的约束反力和杆BC 所受的力？解：(1) 研究整体，受力分析（BC 是二力杆），画受力图：（2）列平衡方程：（3）解方程组：X A =2.4KN; Y A =1.2KN; S=0,848KN4、三铰门式刚架受集中荷载F P 作用，不计架重，求支座A 、B 的约束力。
答：F A ＝F B ＝0。
707F P5、求梁的支座约束力，长度单位为m 。
解：∑M A（F）=0 F B×4-2×Sin450×6-1.5=O∑M B（F）=0 -F AY×4-2×Sin450×2-1.5=O∑F X=0 F AX+2×coS450=O解得: F AX=-1.41KN，F AY=-1.1KN，F B=2.50KN6、求刚架的支座约束力。
解得：F AX＝0 F AY＝17KN F B＝33KN。
M7、四连杆机构OABO1在图示位置平衡，已知OA=40㎝，O1B=60㎝，作用在曲柄OA上的力偶矩大小为M1=1N.m,求力偶矩M2的大小及连杆AB所受的力(各杆的重量不计)？解：（1）先取0A杆为研究对象，∑M=0 F AB×OAsin300-M1=0解得：F AB=5N（2）取O1B杆研究。
F′AB= F AB=5N∑M=0 M2- F′AB×O1B=0解得：M2= F′AB×O1B=3N.m飞轮加速转动时，其轮缘上一点M的运动规律为s=0.02 t3（单位为m、s），飞轮的半径R=0.4m。
理论力学期末考试纲要
a n
=
=
ρ
24
=
2
t = 1s时
π ϕ=
4
a τ
= 6π
v = 6π
3π 2
a n
=
2
解法 2 直角坐标法（坐标建立如图）
应用力的平移定理，将力系向一点简化的方法是力系简化的普遍方法。
4．平面力系向平面内一点简化
力系向任一点 O（称简化中心）简化，得到通过简化中心的一个力及一个力偶。力的大小、方 向决定于力系的主矢量，力偶的矩决定于力系对简化中心的主矩。
力系中各力的矢量和称为力系的主矢量(简称主矢)。即
FR′ = ∑ F
小为 3P / 3，此力系向 O 点简化的主矩大小为（ 3Pa / 3）。
B
1.基本概念
第 5 章摩擦
C
D
3
v P
v P
3
动滑动摩擦、静滑动摩擦
O
A
当物体处于临界平衡状态时，静摩擦力的大小 F 与相互接触物体之间的正压力大小与正比。
2.基本计算
动滑动摩擦、静滑动摩擦的计算
【例】物 A 重 100KN，物 B 重 25KN，A 物与地面
2
主矢量与简化中心位置无关。 力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心的主矩。即
∑ M O = M O (F )
主矩与简化中心位置有关。
5．主矢和主矩的解析式
如以简化中心为原点，建立直角坐标系 Oxy 则主矢与主矩的解析表达式分别为
FR′ = ∑ Xi + ∑Yj
∑ ∑ MO = MO (F ) = (xiYi − yi X i )
3．力对点之矩
力对点之矩是力使物体绕该点转动效果的度量，是定位矢量。表为
理论力学期末复习
讨论三种可能发生
FD f D FND 0.4 300N 120N, 的运动情况 FE f E FNE 0.2 643N 128.6N
Fx 0, FT1 FD FE 0
FT1 FD FE 248.6N
线圈架沿AB梁滚动而无滑动
FD f D FND , FE f E FNE ＝128.6 N
解：解除约束，画整体受力图
列平衡方程
M A F 0
•
FNB AB FT AD r FT DE r 0
FNB FT AD DE 120 2 1.5 kN 105 kN AB 4
FAy FNB FT 0
•
Fy 0
2-4-2 物系平衡问题解法
受力分析
① 首先从二力构件入手，可使受力图比较简单，易于求解。
② 解除约束时，要严格地按照约束的性质，画出相应的约 束力，切忌凭主观想象。对于一个销钉连接三个或三个以上物 体时，要明确所选对象中是否包括该销钉？解除了哪些约束？ 然后正确画出相应的约束力。
③ 画受力图时，关键在于正确画出铰链约束力，除二力构
d FR
MO FR
FR 0 M O 0
FR 0
MO 0
合力 力螺旋
FR 0 M O 0 FR // MO
FR 0 M O 0 ( FR , MO )= 力螺旋
1-3-3 力系的最简形式
1.图示力系沿正方体棱边作用，F1=F2=F3=F,
三 点的复合运动
3-1 运动学基础(填空题) 3-2 点的复合运动概念 3-3 点的运动合成定理（注意科氏加速度） 3-4 点的复合运动问题(计算题2)
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L不显含时间，因此能量守恒： 在此已经有3个独立的运动积分了，原则上可以把欧拉角参数随时 间变化的关系解出
第四部分：关于应考
一、往年试卷的解读 2017年试卷考察了有心力场，通过拉格朗日函数求哈密顿函数， 判断正则变换，求母函数，求变换后的哈密顿函数，泊松括号，哈 密顿雅可比方程，刚体主转动惯量和主轴，欧拉刚体动力学方程； 2018年试卷考察了首次积分，通过拉格朗日函数求哈密顿函数， 正则方程，泊松括号，判断正则变换，求母函数，求变换后的哈密 顿函数，哈密顿雅可比方程，刚体动能（或拉格朗日函数），刚体 拉格朗日力学，求刚体欧拉角
重要知识点和基本方法： 1.勒让德变换和哈密顿函数（注意！哈密顿函数的自变量和拉格朗 日函数不同！） 2.修正的哈密顿变分原理，正则方程 3.劳斯函数，了解其即有“拉格朗日”部分也有“哈密顿”部分 4.正则变换，要求掌握判断xx变换是不是正则变换和求生成函数 5.泊松括号，要求掌握基本性质，算法和物理意义 6.哈密顿雅可比方法 注明：勒让德变换仅仅要求会用，经典力学的延伸不考！
二、关于复习范围 期中前内容约占1/3，期中后内容约占2/3 课本需要复习的章节，黑体字为重点： 1.3，1.4，1.5；2.1，2.2；3.1，3.2，3.3，3.4；4.2，4.3，4.4 着重复习课本的基本概念，基本例题，基本方法，基本习题（以布 置过的作业题为准）；要求概念清晰（特别是近似的概念不要混 淆！），例题的方法熟练掌握，习题一看就有思路 不考的地方包括：群论，流形，广义相对论 注意：期末考试题目都很正则，解法很机械，不会有偏难怪题目
4.正则变换
四类生成函数（也叫母函数）：
根据偏微分关系可以通过生成函数求出广义动量或坐标，以第一类 生成函数为例：
第二，三，四类生成函数同理
5.泊松括号
定义： 基本性质：
6.哈密顿雅可比方法
第三部分：刚体专题
本章是重点！基本知识点和基本方法： 1.刚体的定义：刚体中任意两点的距离保持不变，自由刚体的自由 度为6。包括平动（同质点，自由度3），定轴转动（自由度1）， 定点转动（自由度3），平面平行运动（2平动自由度，1定轴转动 自由度），一般运动（自由度6），要求了解，因此仅在此简介 2.刚体上某点运动的描述：旋转中心速度和旋转速度叠加 3.欧拉角的定义与转动矩阵，刚体运动学 4.惯量张量和惯量主轴，刚体动能和角动量 5.欧拉动力学方程 6.几种典型刚体：欧拉陀螺，特别是对称欧拉陀螺；拉格朗日陀螺 注明：只对几种简单的有解析解的情形做要求
1.勒让德变换和哈密顿函数
2.正则方程和修正的变分原理
根据哈密顿量的定义和拉格朗日方程推导正则方程
利用拉格朗日方程： 比较系数可以得到正则方程：
以及
修正的哈密顿变分原理：δ S=0
使用分部积分：
因此：
使用哈密顿函数的定义可以验证正则方程和拉格朗日方程等价
哈密顿力学的解题一般步骤： （1）写出拉格朗日函数，这一步在拉格朗日力学中已经讲过 （2）写出广义动量，做勒让德变换 （3）改变自变量得到哈密顿函数 （4）写出正则方程，并将其化简 （5）数学上解正则方程
3.循环坐标和劳斯函数法
劳斯函数法解题一般步骤： （1）写出拉格朗日函数，这一步在拉格朗日力学中已经讲过 （2）找到循环坐标，写出守恒的广义动量 （3）对循环坐标部分做勒让德变换 （3）改变自变量得到劳斯函数，且将守恒的广义动量代入化简 （4）对非循环坐标写出拉格朗日方程，并将其化简 （5）数学上解正则方程
致谢
最后由衷感谢袁业飞老师，袁铭同志和各位同学对我工作的支持。 由于本人能力和时间都有限，工作中难免发生过疏忽和错漏，在此 深表歉意，望大家海涵。如果大家对我的工作比较满意，欢迎大家 下个学期选王少杰老师的电动力学，我乐意继续给大家担任助教。 谢谢大家！ 肖诗麒 2019.1.4
理论力学期末复习
肖诗麒 2019.1.4
知识框架
牛顿力学 ↓←达朗贝尔原理+约束与广义坐标概念（位形空间） ↓←哈密顿变分原理←引入数学：变分法 拉格朗日力学→应用：中心力场，振动，电磁场，连续介质，刚体 ↓→延伸：诺特定理，对称和守恒 ↓←勒让德变换，相空间 ↓←修正哈密顿原理 哈密顿力学→泊松括号，正则变换，劳斯函数，哈密顿雅可比方法 ↓ 经典力学的延伸：刘维尔定理，位力定理，定态薛定谔方程
6.几个重要的例子
重要概念： 本体圆锥：转动瞬轴（即角动量矢量方向）转动过程中在本体系扫 出的圆锥 空间圆锥：在惯性系中角动量守恒，转动瞬轴绕角动量转动扫出的 圆锥
拉格朗日陀螺：尖端固定，重力场中的对称陀螺 保守力场，方便使用拉格朗日力学求解 发现φ 和ψ 是循环坐标！因此对应的广义动量守恒！
1.变分原理与变分法
2.拉格朗日函数，拉格朗日方程，拉格朗 日力学
3.广义动量与循环坐标
4.对称与守恒
（1）运动积分概念：求解拉格朗日方程需要引入的积分常数，也 叫首次积分，第一积分 （2）需要掌握的是能量守恒，动量守恒，角动量守恒 （3）诺特定理了解即可，不需要掌握
时间平移不变性和能量守恒：
说明
本PPT分为4个部分，即 第一部分：拉格朗日力学回顾 第二部分：哈密顿力学 第三部分：刚体专题 第四部分：关于应考
第一部分：拉格朗日力学回顾
重要知识点与基本方法： 1.变分原理与变分法 2.拉格朗日函数，拉格朗日方程，拉格朗日力学 3.广义动量，特别是循环坐标→广义动量守恒 4.对称性与守恒律（只要求动量，能量和角动量） 主要应用： 5.中心力场；6.振动；7.电磁场 8.刚体（非常重要！因此第三部分专门讲这一点） 注明：达朗贝尔原理期末不做要求，连续介质不考，广义相对论绝 对不考！
3.欧拉角和刚体运动学
4.惯量张量，刚体动能和角动量
5.欧拉刚体动力学方程
刚体动力学问题一般解题步骤： （1）求出惯量张量 （2）将惯量张量对角化，求出惯量主轴和主转动惯量 注意：可以利用刚体几何的对称性直接猜出惯量主轴！ （3）求出外力矩在惯量主轴上的分量，列欧拉动力学方程并求解 （4）最后求出欧拉角随时间的变化 或者： （5）根据其运动形式利用欧拉动力学方程求所受外力矩
五、大家担心的事情 1.现在课程已经结束，一个学期的表现基本上决定了期末分数，哪 怕有涨落也不会太大。因此过多的担心发挥是没必要的 2.最终总评的成绩预计按照平时20%，期中30%，期末50%给出； 但期中和期末的比例可以调整，即考得较好的一次加权较高 3.据统计，大家作业成绩平均19/20，这样作业分会拉一下大家的 总评，一般来说总评会比期末高 4.事实证明袁老师最后会调分，优秀率给到上限，往届学生对理论 力学总评基本满意 5.如果大家有需要，我们可以最后安排也很固定： 1.通过拉格朗日函数求哈密顿函数。方法：勒让德变换 2.（1）判断正则变换。方法：雅可比行列式或者全变分条件 （2）求母函数和变换后的哈密顿函数。方法：使用定义 3.泊松括号的计算和应用。方法：使用定义和性质 4.哈密顿雅可比方程。方法：分离变量 5.刚体转动惯量和动能，动力学方程，求欧拉角。方法：使用定义
三、关于考试给出的参考公式
四、关于考试过程的几点建议 1.先易后难：每道题先写出拉格朗日函数，哈密顿函数，基本方程 等基本点，有时间再写方程求解，积分计算等内容。毕竟这是物理 考试而不是数学考试，结果没算出来扣不了多少分 2.基本点尽量认真，力求少犯错，避免扣掉无谓的分！ 3.相关公式请看附录 4.读题一定要仔细，不要带有预先的想法而理解错题目的意思；相 近的概念一定要看清；务必看清题目问的是什么
空间平移不变性和动量守恒：
空间转动不变性和角动量守恒：
因此，拉格朗日力学解体步骤可以改进： （1）确定自由度和广义坐标 （2）写出拉格朗日函数 （3）找出守恒量以减少需要求解的自由度 （4）写出拉格朗日方程并化简 （5）在数学上解方程
5.中心力场（2维问题）
6.振动
7.电磁场
第二部分：哈密顿力学