黑龙江省大庆铁人中学2021届高三下学期5月第四次高考模拟考试试题 理科数学【含答案】
黑龙江省大庆市2021年高三仿真数学试卷理(含解析)
2021年黑龙江省大庆市高考数学仿真试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．假设集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2〔x2﹣x〕＞1}，那么A∩B=〔〕A．〔2，4] B．[2，4] C．〔﹣∞，0〕∪[0，4] D．〔﹣∞，﹣1〕∪[0，4]2．复数z1=2+6i，z2=﹣2i，假设z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C 对应的复数为z，那么|z|=〔〕A．B．5 C．2 D．23．命题∀m∈[0，1]，那么的否认形式是〔〕A．∀m∈[0，1]，那么B．∃m∈[0，1]，那么C．∃m∈〔﹣∞，0〕∪〔1，+∞〕，那么D．∃m∈[0，1]，那么4．等差数列{a n}的公差为2，假设a1，a3，a4成等比数列，那么a6=〔〕A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣45．二项式〔x+1〕n〔n∈N*〕的展开式中x2项的系数为15，那么n=〔〕A．4 B．5 C．6 D．76．AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，说明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良〞．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，那么以下表达不正确的选项是〔〕A．这12天中有6天空气质量为“优良〞B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好7．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，假设输入的a i〔i=1，2，…，15〕分别为这15名学生的考试成绩，那么输出的结果为〔〕A．6 B．7 C．8 D．98．A={〔x，y〕|x2+y2≤π2}，B是曲线y=sinx与x轴围成的封闭区域，假设向区域A内随机投入一点M，那么点M落入区域B的概率为〔〕A．B．C． D．9．设点P〔x，y〕在不等式组所表示的平面区域内，那么的取值范围为〔〕A．〔2，5〕B．[2，5〕C．〔2，5] D．[2，5]10．某个几何体的三视图如下图，根据图中标出的尺寸，可得出这个几何体的内切球半径是〔〕A．B．C．D．11．如下图点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆x2+y2﹣4x﹣12=0的实线局部上运动，且AB总是平行于x轴，那么△FAB的周长的取值范围是〔〕A．〔6，10〕 B．〔8，12〕 C．[6，8] D．[8，12]12．函数f〔x〕=，假设存在x1、x2、…x n满足==…==，那么x1+x2+…+x n的值为〔〕A．4 B．6 C．8 D．10二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．函数f〔x〕=x2+x﹣b+〔a，b为正实数〕只有一个零点，那么+的最小值为．14．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，那么C的离心率为．15．把3男2女共5名新生分配给甲、乙两个班，每个班分配的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，那么不同的分配方案种数为．16．函数，点O为坐标原点，点，向量=〔0，1〕，θn 是向量与的夹角，那么使得恒成立的实数t的取值范围为．三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为．〔1〕求角C；〔2〕假设△ABC的中线CD的长为1，求△ABC的面积的最大值．18．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进展调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：非体育迷体育迷合计男女10 55合计将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷〞．〔1〕根据条件完成上面的2×2列联表，假设按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷〞与性别有关？〔2〕将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷〞人数为X．假设每次抽取的结果是相互独立的，求X分布列，期望E 〔X〕和方差D〔X〕．附：P〔K2≥k〕k19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA=AB=BC=CD=2，PD=2，PA⊥PD，Q为PD的中点．〔Ⅰ〕证明：CQ∥平面PAB；〔Ⅱ〕求直线PD与平面AQC所成角的正弦值．20．F1，F2分别是椭圆C： =1〔a＞b＞0〕的左，右焦点，D，E分别是椭圆C的上顶点和右顶点，且S=，离心率e=〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕设经过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求的最小值．21．函数f〔x〕=e x sinx﹣cosx，g〔x〕=xcosx﹣e x，其中e是自然对数的底数．〔1〕判断函数y=f〔x〕在〔0，〕内的零点的个数，并说明理由；〔2〕∀x1∈[0，]，∃x2∈[0，]，使得f〔x1〕+g〔x2〕≥m成立，试求实数m的取值范围；〔3〕假设x＞﹣1，求证：f〔x〕﹣g〔x〕＞0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．假设直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ=cosθ，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C1．〔Ⅰ〕求曲线C1的直角坐标方程；〔Ⅱ〕直线l与曲线C1交于A，B两点，点P〔2，0〕，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|x﹣a|．〔Ⅰ〕假设不等式f〔x〕≤2的解集为[0，4]，求实数a的值；〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，假设∃x0∈R，使得f〔x0〕+f〔x0+5〕﹣m2＜4m，求实数m的取值范围．2021年黑龙江省大庆实验中学高考数学仿真试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．假设集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2〔x2﹣x〕＞1}，那么A∩B=〔〕A．〔2，4] B．[2，4] C．〔﹣∞，0〕∪[0，4] D．〔﹣∞，﹣1〕∪[0，4]【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合，利用集合的根本运算进展求解．【解答】解：A={x|1≤3x≤81}{x|0≤x≤4}，B={x|log2〔x2﹣x〕＞1}={x|x2﹣x＞2}={x|x＞2或x＜﹣1}，那么A∩B={x|2＜x≤4}，应选：A2．复数z1=2+6i，z2=﹣2i，假设z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C 对应的复数为z，那么|z|=〔〕A．B．5 C．2 D．2【考点】A8：复数求模．【分析】复数z1=2+6i，z2=﹣2i，假设z1，z2在复平面内对应的点分别为A〔2，6〕，B〔0，﹣2〕，利用中点坐标公式可得：线段AB的中点C〔1，2〕．进而得出．【解答】解：复数z1=2+6i，z2=﹣2i，假设z1，z2在复平面内对应的点分别为A〔2，6〕，B 〔0，﹣2〕，线段AB的中点C〔1，2〕对应的复数为z=1+2i，那么|z|==．应选：A．3．命题∀m∈[0，1]，那么的否认形式是〔〕A．∀m∈[0，1]，那么B．∃m∈[0，1]，那么C．∃m∈〔﹣∞，0〕∪〔1，+∞〕，那么D．∃m∈[0，1]，那么【考点】2J：命题的否认．【分析】利用全称命题的否认是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题是否认是特称命题，所以，命题∀m∈[0，1]，那么的否认形式是：∃m∈[0，1]，那么应选：D．4．等差数列{a n}的公差为2，假设a1，a3，a4成等比数列，那么a6=〔〕A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，再由等差数列的通项公式即可得到所求值．【解答】解：a1，a3，a4成等比数列，可得a32=a1a4，可得〔a1+2d〕2=a1〔a1+3d〕，由等差数列{a n}的公差为d=2，即有〔a1+4〕2=a1〔a1+6〕，解得a1=﹣8，那么a6=a1+5d=﹣8+10=2．应选：A．5．二项式〔x+1〕n〔n∈N*〕的展开式中x2项的系数为15，那么n=〔〕A．4 B．5 C．6 D．7【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，列出方程求出n的值．【解答】解：二项式〔x+1〕n〔n∈N*〕的展开式中x2项的系数为15，∴=15，即=15，解得n=6或n=﹣5〔不合题意，舍去〕，∴n的值是6．应选：C．6．AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，说明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良〞．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，那么以下表达不正确的选项是〔〕A．这12天中有6天空气质量为“优良〞B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好【考点】B9：频率分布折线图、密度曲线．【分析】对4个选项分别进展判断，可得结论．【解答】解：这12天中，空气质量为“优良〞的有95，85，77，67，72，92，故A正确；这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI指数值为67，故正确；这12天的AQI指数值的中位数是=90，故正确；从4日到9日，空气质量越来越好，不正确，4月9日，AQI指数值为135，应选D．7．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，假设输入的a i〔i=1，2，…，15〕分别为这15名学生的考试成绩，那么输出的结果为〔〕A．6 B．7 C．8 D．9【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行算法流程图可知其统计的是成绩大于等于110的人数，由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，从而得解．【解答】解：由算法流程图可知，其统计的是成绩大于等于110的人数，所以由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，因此输出结果为9．应选：D．8．A={〔x，y〕|x2+y2≤π2}，B是曲线y=sinx与x轴围成的封闭区域，假设向区域A内随机投入一点M，那么点M落入区域B的概率为〔〕A．B．C． D．【考点】CF：几何概型．【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M的面积，代入几何概率的计算公式可求．【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3，正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得：面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|0π=4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，那么点A落在区域M内的概率P=，应选：D．9．设点P〔x，y〕在不等式组所表示的平面区域内，那么的取值范围为〔〕A．〔2，5〕B．[2，5〕C．〔2，5] D．[2，5]【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影局部．那么，表示直线的斜率，再将点P移动，观察倾斜角的变化即可得到k的最大、最小值，从而得到的取值范围．【解答】解：设直线y+x=6与直线x=1交于点A，直线2x=y与直线x=1交于点B，可得A〔1，5〕，B〔1，2〕，不等式组表示的平面区域如图：那么的几何意义是可行域内的P〔x，y〕与坐标原点连线的斜率，由可行域可得k的最大值为：k OA=5，k的最小值k OB=2．因此，的取值范围为[2，5]应选：D．10．某个几何体的三视图如下图，根据图中标出的尺寸，可得出这个几何体的内切球半径是〔〕A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，三棱锥的高是2，利用等积法得到关于r的等式，求得r．【解答】解：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，如图各侧面面积分别为=2，2，以及，，三棱锥的高是2，设内切球半径为r，那么，解得r=；应选C．11．如下图点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆x2+y2﹣4x﹣12=0的实线局部上运动，且AB总是平行于x轴，那么△FAB的周长的取值范围是〔〕A．〔6，10〕 B．〔8，12〕 C．[6，8] D．[8，12]【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由抛物线定义可得|AF|=x A+2，从而△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+〔x B﹣x A〕+4=6+x B，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．【解答】解：抛物线的准线l：x=﹣2，焦点F〔2，0〕，由抛物线定义可得|AF|=x A+2，圆〔x﹣2〕2+y2=16的圆心为〔2，0〕，半径为4，∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+〔x B﹣x A〕+4=6+x B，由抛物线y2=8x及圆〔x﹣2〕2+y2=16可得交点的横坐标为2，∴x B∈〔2，6〕∴6+x B∈〔8，12〕应选B．12．函数f〔x〕=，假设存在x1、x2、…x n满足==…==，那么x1+x2+…+x n的值为〔〕A．4 B．6 C．8 D．10【考点】3T：函数的值．【分析】由题意函数f〔x〕的图象关于点〔2，0〕对称，函数f〔x〕与y=的图象恰有个交点，且这个交点关于〔2，0〕对称，由此能求出x1+x2+…+x n的值．【解答】解：∵函数f〔x〕=，∴函数f〔x〕的图象关于点〔2，0〕对称，结合图象知：x1、x2、…x n满足==…==，∴函数f〔x〕与y=的图象恰有个交点，且这个交点关于〔2，0〕对称，除去点〔2，0〕，故有x1+x2+…+x n=x1+x2+x3+x4=8．应选：C．二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．函数f〔x〕=x2+x﹣b+〔a，b为正实数〕只有一个零点，那么+的最小值为9+4．【考点】7F：根本不等式．【分析】由题意可得a+4b=1，可得+=〔+〕〔a+4b〕=9++，由根本不等式可得．【解答】解：∵函数f〔x〕=x2+x﹣b+只有一个零点，∴△=a﹣4〔﹣b+〕=0，∴a+4b=1，∵a，b为正实数，∴+=〔+〕〔a+4b〕=9++≥9+2=9+4当且仅当=，即a=b时取等号，∴+的最小值为：9+4故答案为：9+414．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，那么C的离心率为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设双曲线方程，由题意可得丨AB丨==2×2a，求得b2=2a2，根据双曲线的离心率公式e==，即可求得C的离心率．【解答】解：设双曲线方程：〔a＞0，b＞0〕，由题意可知，将x=c代入，解得：y=±，那么丨AB丨=，由丨AB丨=2×2a，那么b2=2a2，∴双曲线离心率e===，故答案为：．15．把3男2女共5名新生分配给甲、乙两个班，每个班分配的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，那么不同的分配方案种数为16 ．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，用间接法分析：先计算将5人分配到2个班级的情况数目，再分析其中甲班全部为男生的情况数目，用“将5人分配到2个班级〞的情况数目减去“甲班没有女生即全部为男生〞的情况数目，即可得答案．【解答】解：根据题意，先将5人分配到2个班级，需要先把5人分成两组，有C52=10种分组方法，再把分好的2组对应2个班级，有A22=2种情况，那么将5人分配到2个班级，有10×2=20种分配方法；其中甲班没有女生即全部为男生的情况有2种：甲班只有3名男生，那么有C33=1种情况，甲班只有2名男生，那么有C32=3种情况，那么甲班没有女生的即全部为男生的情况有1+3=4种，那么甲班至少分配1名女生的分配方案有20﹣4=16种；故答案为：16．16．函数，点O为坐标原点，点，向量=〔0，1〕，θn 是向量与的夹角，那么使得恒成立的实数t的取值范围为t≥．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意得，﹣θn是直线OA n的倾斜角，化简=…==〔﹣〕；计算+++…+＜，从而求出t的取值范围．【解答】解：根据题意得，﹣θn是直线OA n的倾斜角，∴==tan〔﹣θn〕===〔﹣〕；∴+++…+=〔1﹣〕+〔﹣〕+〔﹣〕+…+〔﹣〕=〔1﹣+﹣+﹣+…+﹣〕=〔1+﹣﹣〕=﹣＜；要使恒成立，那么实数t的取值范围是t≥．故答案为：t≥．三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为．〔1〕求角C；〔2〕假设△ABC的中线CD的长为1，求△ABC的面积的最大值．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】〔1〕由及正弦定理可得： =sinC，由余弦定理，同角三角函数根本关系式可求tanC的值，结合范围C∈〔0，π〕，可得C的值．〔2〕由三角形中线长定理得：2〔a2+b2〕=4+c2，由三角形余弦定理得：c2=a2+b2﹣ab，消去c2，结合根本不等式可求ab≤，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：〔1〕∵由及正弦定理可得： =sinC，∴由余弦定理可得：，即，∴由C∈〔0，π〕，可得．〔2〕由三角形中线长定理得：2〔a2+b2〕=22+c2=4+c2，由三角形余弦定理得：c2=a2+b2﹣ab，消去c2得：〔当且仅当a=b时，等号成立〕，即．18．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进展调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：非体育迷体育迷合计男30 15 45女45 10 55合计75 25 100将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷〞．〔1〕根据条件完成上面的2×2列联表，假设按95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷〞与性别有关？〔2〕将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷〞人数为X．假设每次抽取的结果是相互独立的，求X分布列，期望E〔X〕和方差D〔X〕．附：P〔K2≥k〕k【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】〔1〕根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K2，与3.841比拟即可得出结论；〔2〕由题意，用频率代替概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷〞的概率是为．由于X～B〔3，〕，从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可【解答】解：〔1〕由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷〞有25人，从而2×2列联表如下：非体育迷体育迷合计男30 15 45女45 10 55合计75 25 100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得=．＜3.841，所以没有理由认为“体育迷〞与性别有关．〔2〕由频率分布直方图知抽到“体育迷〞的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷〞的概率为．由题意X～B〔3，〕，从而X的分布列为X 0 1 2 3P，D〔X〕=np〔1﹣p〕=．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA=AB=BC=CD=2，PD=2，PA⊥PD，Q为PD的中点．〔Ⅰ〕证明：CQ∥平面PAB；〔Ⅱ〕求直线PD与平面AQC所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角；LS：直线与平面平行的判定．【分析】〔I〕取PA的中点N，连接QN，BN，那么可证四边形BCQN为平行四边形，得出CQ ∥BN，于是CQ∥平面PAB；〔II〕取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO，那么可证OB⊥AD，PO⊥平面ABCD，以O为原点建立坐标系，求出和平面ACQ的法向量的坐标，那么|cos＜＞|即为直线PD与平面AQC所成角的正弦值．【解答】证明：〔Ⅰ〕取PA的中点N，连接QN，BN．∵Q，N是PD，PA的中点，∴QN∥AD，且QN=AD．∵PA=2，PD=2，PA⊥PD，∴AD==4，∴BC=AD．又BC∥AD，∴QN∥BC，且QN=BC，∴四边形BCQN为平行四边形，∴BN∥CQ．又BN⊂平面PAB，且CQ⊄平面PAB，∴CQ∥平面PAB．〔Ⅱ〕取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO由〔1〕知PA=AM=PM=2，∴△APM为等边三角形，∴PO⊥AM．同理：BO⊥AM．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，那么D〔0，3，0〕，A〔0，﹣1，0〕，P〔0，0，〕，C〔，2，0〕，Q〔0，，〕．∴=〔，3，0〕，=〔0，3，﹣〕，=〔0，，〕．设平面AQC的法向量为=〔x，y，z〕，，∴，令y=﹣得=〔3，﹣，5〕．∴cos＜，＞===﹣．∴直线PD与平面AQC所成角正弦值为．20．F1，F2分别是椭圆C： =1〔a＞b＞0〕的左，右焦点，D，E分别是椭圆C的上顶点和右顶点，且S=，离心率e=〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕设经过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求的最小值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】〔Ⅰ〕利用椭圆的离心率，三角形的面积，列出方程组，然后求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕设出直线方程，联立直线与椭圆方程的方程组，利用韦达定理以及三角形的面积公式，结合函数的单调性求解即可．【解答】解：〔Ⅰ〕依题意得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得，故所求椭圆方程为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔Ⅱ〕由〔1〕知F2〔1，0〕，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，AB的方程为x=ty+1，代入椭圆的方程，整理得〔3t2+4〕y2+6ty﹣9=0，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵，|AF2|=，|BF2|=，==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当且仅当t=0时上式取等号．∴的最小值为：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．函数f〔x〕=e x sinx﹣cosx，g〔x〕=xcosx﹣e x，其中e是自然对数的底数．〔1〕判断函数y=f〔x〕在〔0，〕内的零点的个数，并说明理由；〔2〕∀x1∈[0，]，∃x2∈[0，]，使得f〔x1〕+g〔x2〕≥m成立，试求实数m的取值范围；〔3〕假设x＞﹣1，求证：f〔x〕﹣g〔x〕＞0．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理；63：导数的运算．【分析】〔1〕利用导数得到函数y=f〔x〕在〔0，〕上单调递增，f〔0〕=﹣1＜0，f〔〕＞0，根据函数零点存在性定理得函数y=f〔x〕在〔0，〕内的零点的个数为1；〔2〕确定函数f〔x〕在[0，]上单调递增，可得f〔x〕min=f〔0〕=﹣1；函数g〔x〕在[0，]上单调递减，可得g〔x〕max=g〔0〕=﹣，即可求出实数m的范围；〔3〕先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证＞，令h〔x〕=，x ＞﹣1，利用导数求出h〔x〕min=h〔0〕=1，再令k=，其可看作点A〔sinx，cosx〕与点B〔﹣，0〕连线的斜率，根据其几何意义求出k的最大值，即可证明．【解答】解：〔1〕函数y=f〔x〕在〔0，〕内的零点的个数为1，理由如下：∵f〔x〕=e x sinx﹣cosx，∴f′〔x〕=e x〔sinx+cosx〕+sinx，∵x∈〔0，〕，∴f′〔x〕＞0，∴函数y=f〔x〕在〔0，〕上单调递增，∵f〔0〕=﹣1＜0，f〔〕＞0，根据函数零点存在性定理得函数y=f〔x〕在〔0，〕内的零点的个数为1．〔2〕∵f〔x1〕+g〔x2〕≥m，∴f〔x1〕≥m﹣g〔x2〕，∴f〔x1〕min≥[m﹣g〔x2〕]min，∴f〔x1〕min≥m﹣g〔x2〕max，当x∈[0，]时，f′〔x〕＞0，函数f〔x〕在[0，]上单调递增，∴f〔x〕min≥f〔0〕=﹣1，∵g〔x〕=xcosx﹣e x，∴g′〔x〕=cosx﹣xsinx﹣e x，∵x∈[0，]，∴0≤cosx≤1，xsinx≥0， e x≥，∴g′〔x〕≤0，∴函数g〔x〕在[0，]上单调递减，∴g〔x〕max≥g〔0〕=，∴﹣1≥m+，∴m≤﹣1﹣，∴实数m的取值范围为〔﹣∞，﹣1﹣]；〔3〕x＞﹣1，要证：f〔x〕﹣g〔x〕＞0，只要证f〔x〕＞g〔x〕，只要证e x sinx﹣cosx＞xcosx﹣e x，只要证e x〔sinx+〕＞〔x+1〕cosx，由于sinx+＞0，x+1＞0，只要证＞，下面证明x＞﹣1时，不等式＞成立，令h〔x〕=，x＞﹣1，∴h′〔x〕=，x＞﹣1，当x∈〔﹣1，0〕时，h′〔x〕＜0，h〔x〕单调递减，当x∈〔0，+∞〕时，h′〔x〕＞0，h〔x〕单调递增，∴h〔x〕min=h〔0〕=1令k=，其可看作点A〔sinx，cosx〕与点B〔﹣，0〕连线的斜率，∴直线AB的方程为y=k〔x+〕，由于点A在圆x2+y2=1上，∴直线AB与圆相交或相切，当直线AB与圆相切且切点在第二象限时，直线AB的斜率取得最大值为1，∴当x=0时，k=＜1=h〔0〕，x≠0时，h〔x〕＞1≥k，综上所述，当x＞﹣1，f〔x〕﹣g〔x〕＞0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．假设直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ=cosθ，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C1．〔Ⅰ〕求曲线C1的直角坐标方程；〔Ⅱ〕直线l与曲线C1交于A，B两点，点P〔2，0〕，求|PA|+|PB|的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】〔I〕曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ=cosθ，即ρ2sin2θ=ρcosθ，化为直角坐标方程：y2=x，通过变换可得曲线C1的方程．〔II〕直线l的极坐标方程为，展开可得：ρ〔cosθ+sinθ〕﹣2=0，利用互化公式可得直角坐标方程．可得参数方程：〔t为参数〕，代入曲线C1的直角坐标方程可得：t2+2t﹣4=0，利用|PA|+|PB|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：〔I〕曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ=cosθ，即ρ2sin2θ=ρcosθ，化为直角坐标方程：y2=x．将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C1：y2=2〔x﹣1〕．〔II〕直线l的极坐标方程为，展开可得：ρ〔cosθ+sinθ〕﹣2=0，可得直角坐标方程：x+y﹣2=0．可得参数方程：〔t为参数〕．代入曲线C1的直角坐标方程可得：t2+2t﹣4=0．解得t1+t2=﹣2，t1•t2=﹣4．．∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|===．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|x﹣a|．〔Ⅰ〕假设不等式f〔x〕≤2的解集为[0，4]，求实数a的值；〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，假设∃x0∈R，使得f〔x0〕+f〔x0+5〕﹣m2＜4m，求实数m的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】〔Ⅰ〕假设不等式f〔x〕≤2的解集为[0，4]，可得，即可求实数a的值；〔Ⅱ〕根据第一步所化出的分段函数求出函数f〔x〕的最小值，假设∃x0∈R，使得f〔x0〕+f〔x0+5〕﹣m2＜4m成立，只需4m+m2＞f min〔x〕，解出实数m的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕∵|x﹣a|≤2，∴a﹣2≤x≤a+2，∵f〔x〕≤2的解集为[0，4]，∴，∴a=2．〔Ⅱ〕∵f〔x〕+f〔x+5〕=|x﹣2|+|x+3|≥|〔x﹣2〕﹣〔x+3〕|=5，∵∃x0∈R，使得，即成立，∴4m+m2＞[f〔x〕+f〔x+5〕]min，即4m+m2＞5，解得m＜﹣5，或m＞1，∴实数m的取值范围是〔﹣∞，﹣5〕∪〔1，+∞〕．。
黑龙江省大庆市铁人中学届高三模拟训练数学(理)试题(五).docx
高中数学学习材料唐玲出品铁人中学模拟训练(五)数学（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1. 设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i2. 若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A. )2()1()23(f f f <-<- B. )2()23()1(f f f <-<-C. )23()1()2(-<-<f f fD. )1()23()2(-<-<f f f3、若βα,表示两个不同的平面，b a ,表示两条不同的直线，则α//a 的一个充分条件是( )A.ββα⊥⊥a ,B.b a b //,=βαC.α//,//b b aD.ββα⊂a ,//4. 已知P 为边长为2的正方形ABCD 及其内部一动点，若PBC PAB ∆∆,面积均不大于1，则BPAP ⋅取值范围是( )A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,21B. ()2,1-C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 D. []1,1-5. 同时抛掷三颗骰子一次，设=A “三个点数都不相同”，=B “至少有一个6点”则)|(A B P 为( ) A. 21 B. 9160 C. 185D.21691 6右面的程序框图表示求式子32×35×311×323×347×395的值, 则判断框内可以填的条件为( )开始S =1，i =2S = S ×i 3 i =2 i + 1 是 否A. ?90≤iB. ?100≤iC. ?200≤iD. ?300≤i 7. 下列命题中正确的是( )A. 函数[]π2,0,sin ∈=x x y 是奇函数B. 函数)26sin(2x y -=π在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π上是单调递增的 C. 函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值是1- D. 函数x x y ππcos sin ⋅=是最小正周期为2的奇函数8. 如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( ) A.π949 B.π37 C.π328 D.π9289. 等比数列{}n a 中，若384-=+a a ，则()106262a a a a ++ 的值是( )A.9- B.9 C.6- D.3 10.二项式nxx )2(4+的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为( ) A.61 B. 41 C.31 D.125 11．已知21,F F 分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+221,1 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+,221 C. ()21,1+ D. ()+∞+,21 12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数()ln f x x x x =-的图象上的动点，该曲线在点P 处的切线l 交y 轴于点(0,)M M y ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点(0,)N N y .则NMy y 的范围是( ) A.),3[]1,(+∞--∞ B. ),1[]3,(+∞--∞ C. [3,)+∞ D. ]3,(--∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.2222正视图俯视图侧视图13. 已知(0,)2πθ∈，由不等式1tan 2tan θθ+≥， 22222tan tan 2tan 3tan 22tan θθθθθ+=++≥, 33333tan tan tan 3tan 4tan 333tan θθθθθθ+=+++≥，归纳得到推广结论： tan 1()tan nm n n N θθ*+≥+∈，则实数=m _____________ 14. 五名铁中学生中午打篮球,将校服放在篮球架旁边,打完球回教室时由于时间太紧,只有两名同学拿对自己衣服的不同情况有_____________种.(具体数字作答)15. 已知(0,1),(0,1),(1,0)A B C -,动点P 满足22||AP BP PC ⋅=,则||AP BP +的最大值为_____________16. 在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且c A b B a 21c o s c o s =-，当)t a n (B A -取最大值时，角C 的值为三、解答题：本大题共6小题，共70分.17（1）. 已知α，β∈(0，π)，f (α)＝3－2cos2α4sin α.(1)用sin α表示f (α)；(2)若f (α)＝sin β，求α及β的值．17（2）已知数列{}n a 的前n 项和为n S , 满足)1(22--=n n a n S n n , 且211=a . (Ⅰ) 令n n S nn b 1+=, 证明:)2(1≥=--n n b b n n ；(Ⅱ) 求{}n a 的通项公式. 18. (本小题满分12分)某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n 名学生，并对这n 名学生按成绩分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数 为60.（I ）请在图中补全频率分布直方图；（II ）若Q 大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽 取6名学生进行面试.① 若Q 大学本次面试中有B 、C 、D 三位考官，规定获得两位考官的认可即面试 成功，且面试结果相互独立，已知频率组距0.020.04 0.06 0.080.03 0.05 0.07甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为12、13，15，求甲同学面试成功的概率；②若Q 大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B 的面试，第3组中有ξ名学生被考官B 面试，求ξ的分布列和数学期望. 19. (本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，︒=∠60BAD ，Q 为AD 的中点. （I ）若PD PA =，求证：平面⊥PQB 平面PAD ； （II ）若平面⊥PAD 平面ABCD ，且2===AD PD PA ， 点M 在线段PC 上，试确定点M 的位置，使二面角C BQ M --大小为︒60,并求出PCPM的值.20. 在平面直角坐标系中，已知()()()()()2,,1,,,,0,2,0,221--x N x M y x P A A ,若实数λ使得⋅=⋅P A ON OM 12λP A 2（O 为坐标原点）.(Ⅰ) 求P 点的轨迹方程，并讨论P 点的轨迹类型(Ⅱ) 当22=λ时，是否存在过点()2,0B 的直线l 与(Ⅰ)中P 点的轨迹交于不同的两点F E ,（E 在F B ,之间），且1>∆∆EOFOBES S . 若存在, 求出该直线的斜率的取值范围,若不存在,说明理由. 21.（本小题满分12分） 设a R ∈，函数21()(1)xf x x ea x -=--．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在3(,2)4内的极值； （Ⅱ）设函数1()()(1)xg x f x a x e-=+--，当()g x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）时，总有211()()x g x f x λ'≤，求实数λ的值．（其中()f x '是函数()f x 的导函数．） 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是的⊙O 直径，CB 与⊙O 相切于B ，E 为线段CB 上一点，连接AC 、AE分别交⊙O 于D 、G 两点，连接DG 交CB 于点F . （Ⅰ）求证：C 、D 、G 、E 四点共圆.（Ⅱ）若F 为EB 的三等分点且靠近E ，EG 1=，GA 3=，求线段CE 的长.BACDP Q23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=-=ty t x 33，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数1)(-=x x f .（Ⅰ）解不等式6)3()1(≥++-x f x f ；（Ⅱ）若1,1<<b a ，且0≠a ，求证：)()(ab f a ab f >.OBAC EFDG铁人中学模拟训练(五)一、选择题：1.A2.D3.D4.D5.A6.B7.C8.C9.B 10.D 11.C 12.A 二、填空题：13.nn 14. 20 15. 6 16.2π 三、解答题：17（1）.解：[解析] (1)f (α)＝3－21－2sin 2α4sin α＝1＋4sin 2α4sin α.(2)∵0<α<π，∴sin α>0.∴f (α)＝sin α＋14sin α≥214＝1，又f (α)＝sin β≤1，∴f (α)＝1，此时sin α＝14sin α，即sin α＝12，∴α＝π6或5π6.又∵0<β<π，0<sin β≤1，f (α)≥1，所以f (α)＝sin β＝1，所以β＝π2.综上可知α＝π6或5π6，β＝π2.17（2）. 解：(Ⅰ)()()1212---=-n n S S n S n n n ,n S nn S n n n n -+=--111,)2(1≥=--n n b b n n (Ⅱ) 11=b , n b b n n =--1, 121-=---n b b n n , , 212=-b b 累加得22n n b n +=22n S n =∴()22121≥-=-=-n n S S a n n n 经检验211=a 符212-=n a n ,212-=∴n a n …………… 12分 18. 解：（Ⅰ）因为第四组的人数为60，所以总人数为：560300⨯=，由直方图可知，第五组人数为:0.02530030⨯⨯=人，又6030152-=为公差，所以第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人（Ⅱ）设事件A =甲同学面试成功，则()=P A 114121111111423523523523515⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……………..8分（Ⅲ）由题意得，0,1,2,3=ξ频率组距O成绩0.020.04 0.06 75 80 85 90 95 1000.080.01 0.03 0.050.070333361(0)20===C C P C ξ， 1233369(1)20===C C P C ξ, 2133369(2)20===C C P C ξ, 3033361(3)20===C C P C ξ 分布列为19913()0123202020202=⨯+⨯+⨯+⨯=E ξ…………………12分 19. （I ）PD PA =，Q 为AD 的中点，AD PQ ⊥∴，又 底面ABCD 为菱形，︒=∠60BAD ，AD BQ ⊥∴ ,又Q BQ PQ = ∴⊥AD 平面PQB ，又 ⊂AD 平面PAD , ∴平面⊥PQB 平面PAD ;-----------------------------6分（II ） 平面⊥PAD 平面ABCD ,平面 PAD 平面AD ABCD =,AD PQ ⊥⊥∴PQ 平面ABCD .∴以Q 为坐标原点，分别以QP QB QA ,,为z y x ,,轴建立空间直角坐标系如图.则)0,3,2(),0,3,0(),3,0,0(),0,0,0(-C B P Q ,设−→−−→−=PC PM λ(10<<λ), 所以))1(3,3,2(λλλ--M ，平面CBQ 的一个法向量是)1,0,0(1=n ，设平面MQB 的一个法向量为=2n ),,(z y x ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅−→−−→−22n QB n QM取=2n )3,0,233(λλ-，-----------------------------------------9分B 由二面角C BQ M --大小为︒60，可得：||||||212121n n n n ⋅=，解得31=λ，此时31=PC PM --------------------------------12分20. 解：(Ⅰ) 化简得： ()()2222121λλ-=+-y x ①1±=λ时方程为0=y 轨迹为一条直线②0=λ时方程为222=+y x 轨迹为圆③()()1,00,1⋃-∈λ时方程为()1122222=-+λy x 轨迹为椭圆 ④()()+∞⋃-∞-∈,11,λ时方程为()1122222=--λy x 轨迹为双曲线. ……………………………… 6分zyxACDP Q(Ⅱ)P ∴=,22λ 点轨迹方程为1222=+y x .21::x x S S OBF OBE =∆∆ 由已知得1>-∆∆∆OBE OBF OBE S S S ,则1121>-x x x ,12121<<∴x x .设直线EF 直线方程为2+=kx y ，联立方程可得：()0682122=+++kx xk23,02>∴>∆k , 21,x x 同号∴2121x x x x =∴221221216,218k x x k k x x +=+-=+ ………………………… 8分设m x x =21 ,则()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+=+=+29,46332122221221k k m m x x x x 1027232<<k ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈26,1030310303,26k ．．…………………… 12分 21.解：（Ⅰ）当1a =时，21()(1)xf x x ex -=--，则211(2)()x x x x e f x e ----'=，令21()(2)x h x x x e-=--，则1()22x h x x e -'=--，显然()h x '在3(,2)4上单调递减.又因为4311()042h e'=-<，故3(,2)4x ∈时，总有()0h x '<， 所以()h x 在3(,2)4上单调递减.---------------------------------------------3分 又因为(1)0h =，所以当3(,1)4x ∈时，()0h x >，从而()0f x '>，这时()f x 单调递增， 当(1,2)x ∈时，()h x <，从而()0f x '<，这时()f x 单调递减,当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x 3(,1)4１ (1,2))('x f +0 －)(x f极大所以()f x 在3(,2)4上的极大值是(1)1f =.-----------------------------5分（Ⅱ）由题可知21()()xg x x a e-=-，则21()(2)xg x x x a e-'=-++.根据题意方程220x x a -++=有两个不等实数根1x ，2x ，且12x x <， 所以440a ∆=+>，即1a >-，且122x x +=.因为12x x <，所有11x <. 由211()()x g x f x λ'≤，其中21()(2)xf x x x ea -'=--，可得1111222111()[(2)]x xx x a e x x e a λ---≤--又因为221112,2x x x a x =--=，2112a x x =-，将其代入上式得：1111221111112(2)[(2)(2)]x x x x e x x e x x λ---≤-+-，整理得11111[2(1)]0x x x ee λ---+≤.--------------------------------------------------8分即不等式11111[2(1)]0x x x ee λ---+≤对任意1(,1)x ∈-∞恒成立(1) 当10x =时，不等式11111[2(1)]0x xx e e λ---+≤恒成立，即R λ∈；(2) 当1(0,1)x ∈时，11112(1)0x x eeλ---+≤恒成立，即111121x x e e λ--≥+令11121()2(1)11x xx e k x e e ---==-++，显然()k x 是R 上的减函数， 所以当(0,1)x ∈时，2()(0)1e k x k e <=+，所以21ee λ≥+； (3)当1(,0)x ∈-∞时，11112(1)0x x eeλ---+≥恒成立，即111121x x e e λ--≤+由（2）可知，当(,0)x ∈-∞时，2()(0)1e k x k e >=+，所以21ee λ≤+； 综上所述，21ee λ=+.-------------------------------------12分 22. （Ⅰ）连接BD ，则ABD AGD ∠=∠，90︒∠+∠=ABD DAB ，90︒∠+∠=C CAB 所以∠=∠C AGD ，所以180︒∠+∠=C DGE ，所以,,,C E G D 四点共圆. ………………………………..5分（Ⅱ）因为2⋅=EG EA EB ，则2=EB ，又F 为EB 三等分，所以23=EF ，43=FB ， 又因为2FB FC FE FD FG =⋅=⋅，所以83=FC ，2=CE …………………….10分 23.（I ）直线l 的普通方程为：0333=+-y x ；曲线的直角坐标方程为1)2(22=+-y x ---------------------------4分 （II ）设点)sin ,cos 2(θθ+P )(R ∈θ，则2|35)6cos(2|2|33sin )cos 2(3|++=+-+=πθθθd所以d 的取值范围是]2235,2235[+-.--------------------------10分 24. （I ）不等式的解集是),3[]3,(+∞--∞ ------------------------------5分（II ）要证)()(ab f a ab f >，只需证|||1|a b ab ->-，只需证22)()1(a b ab ->-而0)1)(1(1)()1(22222222>--=+--=---b a b a b a a b ab。
2021届黑龙江省大庆铁人中学高三下学期一模考试数学(理)试卷参考答案解析
C , b
c
A, c
B, c
C, c
则两名患者选择药方完全不同的情况有 C16C14 24 (种)，两名患者可选择的药方共有 C19C16 54 (种)，所以
P 24 4 ，故答案为 4 ．
54 9
9
16． 33 2 【解析】设直线 l 与函数 f (x) 及 g(x) 的图象分别相切于 A(m, 1 )(m 0) ， B(n, n2 a) ，
如图所示.因为正方形 ABCD 的边长为 2 ，所以 CH 1, SC 2, SH 1，所以 H ,O 重合，即四棱锥的外接球
的半径为 R 1 ，所以四棱锥的外接球的表面积为 S 4πR2 4π .故选 D．
12．C 【解析】设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，直线 AB 的方程为 x my 4 ，与 y2 4x 联立得 y2 4my 16 0 ，
涨幅最大的是 2020 年 1 月，环比涨幅最大的也是 2020 年 1 月，故 C 正确；环比跌幅最大的是 2019 年 3 月，
同比涨幅最小的是 2019 年 2 月，故 D 错误，故选 D．
x 2y 2 0 5．B【解析】作出不等式组 2x y 2 0 表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设 z 2x y ，则 y 2x z ，
铁人中学 2021 年高考模拟试题（理科数学） 全解全析
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
D
B
D
B
A
A
B
C
B
D
C
1．C 【解析】因为 A {x | 2 x 0} {x | x 2} ，B {x Z | y ln(x 1)} {x Z | x 1} ，所以 A B {0,1, 2} .
2021年高三下学期第四次模拟考试数学(理)试题含答案
2021年高三下学期第四次模拟考试数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．设全集，集合{}(){}222,log 3A y y x B x y x ==-==-，则 （ ） A. B. C. D. 2. 复数等于（ ）A ． B. C. D. 3.的展开式中，常数项等于（ ）A. 15B. 10C.D.4．已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A ，编号落入区间[401，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷C 的人数为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 6．A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边(A 、B 可以不相邻)，那么不同 的排法共有( )A ．24种B ．60种C ．90种D ．120种 7.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是( )A.8B.9C.10D.118．已知抛物线的方程为，焦点为F ，O 为坐标原点，A 是该抛物线上一点，与轴的正方向的夹角为，若的面积为，则的值为（ ）A. 2B.C.2或D. 2或9.已知函数, 则( )A. B. C. D.10.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图（第8题图）所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．11．设，满足约束条件，则的最小值是 .12．某四面体的三视图如下图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和．是_______.13．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10………………按照以上排列的规律，第行（≥3）从左向右的第3 个数为．14．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是 . 15．（考生注意：请在以下三个小题中，任选一个作答．．．．．．.若多做,则按所做的第一题评卷计分） A．（不等式选做题）若不等式的解集为空集，则实数的取值范围为．B．（几何证明选做题）是圆O的直径，为圆O上一点，过作圆O的切线交延长线于点，若DC=2，BC=1，则 .C．（坐标系与参数方程选做题），在极坐标系（）中，直线被圆截得的弦的长是．三、解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知等差数列{}满足，.（I）求数列{}的通项公式；（II）求数列的前项和．17．（本小题满分12分）已知=(,),=(, )，（R）．（I ）求函数的最小值和最小正周期；（II ）设∆ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c 且,，若，求a,b 的值． 18．（本小题满分12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图中的信息，回答下列问题．(Ⅰ)求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ)根据频率分布直方图，估计本次考试的平均分；(Ⅲ)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，抽到的学生成绩在[70，100]记1分，用X 表示抽取结束后的总记分，求X 的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，//，，， ，平面平面．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若直线与平面所成的角的正弦值为 ，求二面角的平面角的余弦值． 20．（本小题满分13分）已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，且△的周长为． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过原点的两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点，求证：点到直线 的距离为定值，并求出这个定值． 21．（本小题满分14分）已知函数x xx g x x m mx x f ln 1)(,ln 1)(+=---=． （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若在上为单调增函数，求实数的取值范围； （Ⅲ）证明：…．西安市第八十三中学xx 届第4次模拟数学答案（理）一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分,满分50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCABABCABD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．-3. 12。
黑龙江大庆铁人中学2025届高考仿真模拟数学试卷含解析
黑龙江大庆铁人中学2025届高考仿真模拟数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知(,)a bi a b R +∈是11ii +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-B ．12- C ．12D ．12．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“1322a a a +<”是“210n S -<”的（ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要3．要得到函数3cos 2sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 23cos 2y x x =-的图像（ ）A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移712π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向右平移3π个单位 4．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．325．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]eB ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-6．设向量a ，b 满足2=a ，1b =，,60a b =，则a tb +的取值范围是 A ．)2,⎡+∞⎣B ．)3,⎡+∞⎣C ．2,6⎡⎤⎣⎦D ．3,6⎡⎤⎣⎦7．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．58．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174π B ．214π C ．4π D ．5π10．若双曲线E ：221x y m n-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（ ）A ．33B 3C ．2或233D ．2311．在复平面内，复数z =i 对应的点为Z ，将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是（ ）A ．1322i -+ B ．3122i -+ C ．1322-- D ．3122i -- 12．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ） A ．32B ．12C ．78 D ．98二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三下学期第四次模拟数学(理)试卷含解析
2021年高三下学期第四次模拟数学（理）试卷含解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．若函数f（x）=sinxcosx，下列结论中正确的是（） A．函数f（x）的图象关于原点对称 B．函数f（x）最小正周期为2π C．函数f（x）为偶函数 D．函数f（x）的最大值为12．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．命题“∃x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为假命题D．若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题3．执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A． 4 B． 5 C． 6 D． 74．若z=sinθ﹣+i（cosθ﹣）是纯虚数，则tan（θ﹣π）的值为（）A． B． C． D．5．某种动物繁殖量y（只）与时间x（年）的关系为y=alog3（x+1），设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到（）A． 200只 B． 300只 C． 400只 D． 500只6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（）A． B． C． 1 D．7．已知集合A={x|2x2﹣x﹣3＜0}，B={x|y=lg}，在区间（﹣3，3）上任取一实数x，则“x ∈A∩B”的概率为（）A． B． C． D．8．各项都是正数的等比数列{a n}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值是（）A． B． C． D．或9．实系数一元二次方程x2+ax+2b=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，则的取值范围是（）A． [1，4] B．（1，4） C． [，1] D．（，1）10．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为F1F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（）A．（0，） B． C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.答案须填在答题纸相应的横线上. 11．将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标保持不变得到新函数g（x），则g（x）的最小正周期是．12．已知直线l：3x+y﹣6=0和圆心为C的圆x2+y2﹣2y﹣4=0相交于A，B两点，则线段AB 的长度等于．13．若的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x项的系数为．14．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为．15．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+7…23=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19…根据上述分解规律，若m2=1+3+5+…+11，p3分解中最小正整数是21，则m+p= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内，写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知向量，，若．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，（A为锐角），2sinC=sinB，求A、c、b的值．17．口袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各2个，从口袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的8倍计分，每个小球被取出的可能性相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（I）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（II）随机变量ξ的概率分布和数学期望；（III）计分介于17分到35分之间的概率．18．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．19．已知双曲线=1的一个焦点为，一条渐近线方程为y=x，其中{a n}是以4为首项的正数数列．（Ⅰ）求数列{c n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式对一切正常整数n恒成立，求实数x的取值范围．20．在直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2．其中F2也是抛物线C2：y2=4x 的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）若过点D（4，0）的直线l与C1交于不同的两点E，F．E在DF之间，试求△ODE 与△ODF面积之比的取值范围．（O为坐标原点）21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=+bx（a≠0）（Ⅰ）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e2x+be x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；（Ⅲ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．xx年山东省济南市山师附中高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．若函数f（x）=sinxcosx，下列结论中正确的是（）A．函数f（x）的图象关于原点对称 B．函数f（x）最小正周期为2πC．函数f（x）为偶函数 D．函数f（x）的最大值为1考点：二倍角的正弦．专题：三角函数的图像与性质．分析：由已知中函数f（x）=sinxcosx=sin2x，根据正弦函数的图象和性质可得该函数为奇函数，最小正周期T=π，最大值=，逐一分析四个答案，可得结论．解答：解：∵f（x）=sinxcosx=sin2x，∴该函数为奇函数，最小正周期T=π，最大值=．故C，B，D错误，A正确故选：A点评：本题考查的知识点是正弦函数的对称性，二倍角的正弦，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性，其中熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答本题的关键．2．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”B．命题“∃x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为假命题D．若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：根据原命题与否命题的关系，可得A选项不正确；根据含有量词的命题否定的规律，得到B选项是不正确的；根据原命题与逆否命题真值相同，可知C选项不正确；对于D，得到复合命题p或q的真值表，可得D选项正确．解答：解：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”所以A错误．命题“∃x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1≥0”，所以B错误．命题“若x=y，则sinx=siny”正确，则命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题也正确，所以C错误．若“p或q”为真命题，根据复合命题p或q的真值表，则p，q至少有一个为真命题，故D 为真．故选D．点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了四种命题及其相互关系和含有量词的命题的否定等知识点，属于基础题．3．执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A． 4 B． 5 C． 6 D． 7考点：循环结构．专题：计算题．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出k的值．解答：解：第一次循环：n=3×5+1=16，k=0+1=1，继续循环；第二次循环：n==8，k=1+1=2，继续循环；第三次循环：n==4，k=2+1=3，继续循环；第四次循环：n==2，k=3+1=4，继续循环；第五次循环：n==1，k=4+1=5，结束循环．输出k=5．故选B．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．4．若z=sinθ﹣+i（cosθ﹣）是纯虚数，则tan（θ﹣π）的值为（）A． B． C． D．考点：复数的基本概念；运用诱导公式化简求值．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的有关概念进行求解即可．解答：解：∵z=sinθ﹣+i（cosθ﹣）是纯虚数，∴sinθ﹣=0且cosθ﹣≠0，即sinθ=且cosθ≠，即cosθ=﹣，则tanθ==，则tan（θ﹣π）=tanθ=，故选：C点评：本题主要考查复数的有关概念的应用以及三角函数值的计算，比较基础．5．某种动物繁殖量y（只）与时间x（年）的关系为y=alog3（x+1），设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到（）A． 200只 B． 300只 C． 400只 D． 500只考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．专题：计算题．分析：根据这种动物第2年有100只，先确定函数解析式，再计算第8年的繁殖数量即可．解答：解：由题意，繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y=alog3（x+1），这种动物第2年有100只∴100=alog3（2+1），∴a=100，∴y=100log3（x+1），∴当x=8时，y=100 log3（8+1）=100×2=200．故选A．点评：本题主要考查了学生对函数解析式的理解，以及考查运算能力，属于基础题．6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（）A． B． C． 1 D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；压轴题．分析：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高．据此可计算出答案．解答：解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高．于是此几何体的体积V==．故选D．点评：由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．7．已知集合A={x|2x2﹣x﹣3＜0}，B={x|y=lg}，在区间（﹣3，3）上任取一实数x，则“x ∈A∩B”的概率为（）A． B． C． D．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：分布求解二次不等式及分式不等式可求集合A，B，进而可求A∩B，由几何概率的求解公式即可求解解答：解：∵，B={x|y=lg}={x|}={﹣3＜x＜1}所以A∩B={x|﹣1＜x＜1}，所以在区间（﹣3，3）上任取一实数x，则“x∈A∩B”的概率为，故选C．点评：本题主要考查了二次不等式、分式不等式的求解及与区间长度有关的几何概率的求解，属于知识的简单应用8．各项都是正数的等比数列{a n}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值是（）A． B． C． D．或考点：等差数列的性质；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由a2，a3，a1成等差数列可得a1、a2、a3的关系，结合等比数列的通项公式即可求出q，而由等比数列的性质可得则 =，故本题得解．解答：解：设{a n}的公比为q（q＞0），由a3=a2+a1，得q2﹣q﹣1=0，解得q=．∴则 ==．故答案为．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求值，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道基础题．9．实系数一元二次方程x2+ax+2b=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，则的取值范围是（）A． [1，4] B．（1，4） C． [，1] D．（，1）考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：设f（x）=x2+ax+2b，根据二次函数的性质与零点存在性定理可得f（0）＞0、f（1）＜0且f（2）＞0．由此建立关于a、b的二元一次不等式组，设点E（a，b）为区域内的任意一点，根据直线的斜率公式可得k=表示D（1，2）、E连线的斜率，将点E在区域内运动并观察直线的倾斜角的变化，即可算出k=的取值范围；解答：解：（1）设f（x）=x2+ax+2b，∵方程x2+ax+2b=0的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，∴可得，即．作出满足上述不等式组对应的点（a，b）所在的平面区域，得到△ABC及其内部，即如图所示的阴影部分（不含边界）．其中A（﹣3，1），B（﹣2，0），C（﹣1，0），设点E（a，b）为区域内的任意一点，则k=，表示点E（a，b）与点D（1，2）连线的斜率∵k AD=，k CD=，结合图形可知：k AD＜k CD，∴的取值范围是（，1）；故选D．点评：本题给出含有参数a、b的一元二次方程满足的条件，求参数a、b满足的不等式组，并依此求关于a、b式子的取值范围．着重考查了二次函数的性质、零点存在性定理、二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率公式与两点间的距离公式等知识，属于中档题．10．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为F1F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（）A．（0，） B． C． D．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出e1•e2的取值范围，即可得答案．解答：解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．由题意知r1=10，r2=2c，且r1＞r2，2r2＞r1，∴2c＜10，2c+2c＞10，⇒＜c＜5．⇒，∴=；=．∴，故选C．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、椭圆的简单性质、双曲线的简单性质、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.答案须填在答题纸相应的横线上. 11．将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标保持不变得到新函数g（x），则g（x）的最小正周期是π．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：由左加右减上加下减的原则，函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，得到新函数g（x），然后利用函数的周期公式求解即可．解答：解：将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，得到函数g（x）=，所以g （x）的最小正周期是：=π；故答案为：π．点评：本题是基础题，考查三角函数的图象的变换，三角函数的周期的求法，注意平移与伸缩变换的差别．12．已知直线l：3x+y﹣6=0和圆心为C的圆x2+y2﹣2y﹣4=0相交于A，B两点，则线段AB 的长度等于．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．解答：解：圆的标准方程为x2+（y﹣1）2=5，则圆心为C（0，1），半径R=，则圆心到直线的距离d=，则线段AB的长度|AB|=2==，故答案为：点评：本题主要考查直线和圆相交以及弦长的求解，根据弦长公式是解决本题的关键．13．若的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x项的系数为﹣15 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：根据展开式的各项系数绝对值之和为4n=1024，求得n=5．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求得r的值，可得展开式中x项的系数．解答：解：在的展开式中，令x=1，可得展开式的各项系数绝对值之和为4n=22n=1024=210，∴n=5．故展开式的通项公式为T r+1=令=1，求得r=1，故展开式中x项的系数为﹣15．故答案为：﹣15．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：利用微积分基本定理即可求出．解答：解：如图所示：联立解得，∴M（4，2）．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积S===．故答案为．点评：熟练掌握微积分基本定理是解题的关键．15．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+7…23=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19…根据上述分解规律，若m2=1+3+5+…+11，p3分解中最小正整数是21，则m+p= 11 ．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：根据m2=1+3+5+…+11，p3的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、p，即可求得m+p的值．解答：解：∵m2=1+3+5+…+11==36，∴m=6∵23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，∴53=21+23+25+27+29，∵p3的分解中最小的数是21，∴p3=53，p=5∴m+p=6+5=11故答案为：11点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、p的值是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内，写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知向量，，若．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，（A为锐角），2sinC=sinB，求A、c、b的值．考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣），由此求得函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）已知△ABC中，由（A为锐角），求得sinA=，可得 A=．由正弦定理可得b=2c，根据 a=3，再由余弦定理求出c、b的值．解答：解：（Ⅰ） =sinxcosx﹣cos2x+=﹣=sin（2x﹣），故函数f（x）的最小正周期为π．（Ⅱ）已知△ABC中，（A为锐角），∴sinA=，∴A=．∵2sinC=sinB，∴由正弦定理可得b=2c，∵a=3，再由余弦定理可得 9=b2+c2﹣2bc•cos．解得 b=2，c=．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．17．口袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各2个，从口袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的8倍计分，每个小球被取出的可能性相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（I）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（II）随机变量ξ的概率分布和数学期望；（III）计分介于17分到35分之间的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，由此利用等可能事件概率计算公式能求出取出的3个小球上的数字互不相同的概率．（Ⅱ）由题意ξ所有可能的取值为：2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的概率分布和数学期望．（Ⅲ）“一次取球所得计分介于17分到35分之间”的事件记为C，则P（C）=P（“ξ=3”或“ξ=4”），由此能求出结果．解答：（满分12分）解：（Ⅰ）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则．…（3分）（Ⅱ）由题意ξ所有可能的取值为：2，3，4．P（ξ=2）=+=，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，…（7分）∴随机变量ξ的概率分布为ξ 2 3 4P∴ξ的数学期望为．…（9分）（Ⅲ）“一次取球所得计分介于17分到35分之间”的事件记为C，则P（C）=P（“ξ=3”或“ξ=4”）=P（“ξ=3”）+P（“ξ=4”）==．…（12分）点评：本题考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，是中档题．18．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由AD∥EF，EF∥BC，知AD∥BC．由BC=2AD，G是BC的中点，知四边形ADGB 是平行四边形，由此能证明AB∥平面DEG．（Ⅱ）由EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，知EF⊥AE，EF⊥BE，由AE⊥EB，知EB，EF，EA两两垂直．以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角C﹣DF﹣E的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG．…（6分）（Ⅱ）解：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE，又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．…（7分）以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由已知得A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），G（2，2，0），由已知得=（2，0，0）是平面EFDA的法向量，设平面DCF的法向量=（x，y，z），∵=（0，﹣1，2），=（2，1，0），∴，解得=（﹣1，2，1）．设二面角C﹣DF﹣E的平面角为θ，则cosθ=cos＜，＞==﹣．∴二面角C﹣DF﹣E的余弦值为﹣．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．19．已知双曲线=1的一个焦点为，一条渐近线方程为y=x，其中{a n}是以4为首项的正数数列．（Ⅰ）求数列{c n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式对一切正常整数n恒成立，求实数x的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由于双曲线方程为的一个焦点为（，0），可得c n=a n+a n﹣1．由于一条渐近线方程为，可得，即=2，利用等比数列的通项公式即可得出．（II）设T n=+…+，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式可得T n=﹣﹣，故原不等式等价于+log a x恒成立，化为log a x≥0．由于a＞1，即可得出．解答：解：（Ⅰ）∵双曲线方程为的一个焦点为（，0），∴c n=a n+a n﹣1．又∵一条渐近线方程为，∴，即=2，∴=2n+1．∴=3×2n．（II）设T n=+…+①，=②，①﹣②得，•==，∴T n=﹣﹣，故原不等式等价于+log a x恒成立，∴log a x≥0．∵a＞1，∴x≥1，∴实数x的取值范围是[1，+∞）．点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、等比数列的通项公式及前n项和公式、“错位相减法”，考查了不等式恒成立的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．在直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2．其中F2也是抛物线C2：y2=4x 的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）若过点D（4，0）的直线l与C1交于不同的两点E，F．E在DF之间，试求△ODE 与△ODF面积之比的取值范围．（O为坐标原点）考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．分析：（Ⅰ）依题意知F2（1，0），设M（x1，y1）．由抛物线定义得，即．由此能够求出C1的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=sy+4，代入，得（3s2+4）y2+24sy+36=0，由△＞0，解得s2＞4．设E（x1，y1），F（x2，y2），再结合韦达定理能够导出△ODE与△ODF面积之比的取值范围．解答：解：（Ⅰ）依题意知F2（1，0），设M（x1，y1）．由抛物线定义得，即．将代入抛物线方程得（2分），进而由及a2﹣b2=1解得a2=4，b2=3．故C1的方程为（4分）（Ⅱ）依题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x=sy+4代入，整理得（3s2+4）y2+24sy+36=0（6分）由△＞0，解得s2＞4．设E（x1，y1），F（x2，y2），则，（1）（8分）令且0＜λ＜1．将y1=λy2代入（1）得消去y2得（10分），即，即3λ2﹣10λ+3＜0解得．∵0＜λ＜1，故△ODE与△ODF面积之比的取值范围为（12分）点评：本题考查轨迹方程的求法和求△ODE与△ODF面积之比的取值范围．解题时要认真审题，注意培养直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=+bx（a≠0）（Ⅰ）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设φ（x）=e2x+be x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；（Ⅲ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；两条直线平行的判定．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（I）根据a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，知道h′（x）在其定义域内大于等于零，得到一个关于b的不等式，解此不等式即得b的取值范围；（II）先设t=e x，将原函数化为关于t的二次函数，最后将原函数φ（x）的最小值问题转化成二次函数在某区间上的最值问题即可；（III）先假设存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行，利用导数的几何意义求出切线的斜率进而得出切线的方程，后利用斜率相等求出R的横坐标，如出现矛盾，则不存在；若不出现矛盾，则存在．解答：解：（I）依题意：h（x）=lnx+x2﹣bx．∵h（x）在（0，+∞）上是增函数，∴对x∈（0，+∞）恒成立，∴，∵x＞0，则．∴b的取值范围是．（II）设t=e x，则函数化为y=t2+bt，t∈[1，2]．∵．∴当，即时，函数y在[1，2]上为增函数，当t=1时，y min=b+1；当1＜﹣＜2，即﹣4＜b＜﹣2时，当t=﹣时，；，即b≤﹣4时，函数y在[1，2]上是减函数，当t=2时，y min=4+2b．综上所述：（III）设点P、Q的坐标是（x1，y1），（x2，y2），且0＜x1＜x2．则点M、N的横坐标为．C1在点M处的切线斜率为．C2在点N处的切线斜率为．假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．即．则=，∴设，则，（1）令，则，∵u＞1，∴r′（u）＞0，所以r（u）在[1，+∞）上单调递增，故r（u）＞r（1）=0，则，与（1）矛盾！点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性、两条直线平行的判定等基础知识，属于中档题．9X L29765 7445 瑅25216 6280 技24769 60C1 惁Q20835 5163 兣&23514 5BDA 寚A32806 8026 耦"c。
2021年高三第四次模拟考试数学理试题 WORD版
2021年高三第四次模拟考试数学理试题 WORD版本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）—（24）题为选考题，其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式：样本数据的标准差；x x x x x x x ns n 其中],)()()[(122221-+-+-= 为样本平均数； 柱体体积公式：、h 为高；锥体体积公式：为高；球的表面积、体积公式：其中R 为球的半径。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 为虚数单位，则复数z=A ．iB ．1-iC ．1+iD ．-i2．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是A ．B ．C ．D ．3．下列判断错误的是A ．“am 2< bm 2”是“a<b ”的充分不必要条件B ．命题“x ∈R ，x 2一x 2—1≤0”的否定是“∈R ，”C ．若p ，q 均为假命题，则p/\q 为假命题D ．若4．56(13)(,6)n x n N n x x +∈≥其中的展开式中与的系数相等，则n 等于A ．6B ．7C ．8D ．95．如图是将二进制数1111111(2)化为十进制数的程序框图，判断框内填入的条件是A ．i>5B ．i>6C ．i ≤5D ．i ≤66．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．2 B．1 C．D．7．已知函数y=sin2x --，下列结论正确的个数是①图象关于对称②函数在[0，]上的最大值为2③函数图象向左平移个单位后为奇函数A．0 B．1 C．2 D．38．下表提供了某厂生产某种产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，那么表中t的值为A．3 B．3. 15 C．3.5 D．4.59．设F是抛物线的焦点，点A足抛物线与双曲线l(a>0，b>0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为A．2 B．C．D．1.510．如图，设D是图中所示的矩形区域，E是D内函数图象上方的点构成的区域，向D中随机投一点，则该点落入E（阴影部分）中的概率为A．B．C．D．11．已知且函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是A．[-1,+) B．[-1,0) C．(0,+ ) D．[-2,+ )12．已知数列表示不超过x的最大整数，则的值等于A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答，第(22)题～第(24)题为选考题，考试根据要求做答。
黑龙江省大庆市铁人中学届高三模拟训练数学(理)试题(四).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作铁人中学模拟训练(四)数学（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合{}0322<--=x x x A ，Z 为整数集，则集合Z A ⋂中所有元素的和为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.已知1,1xyi i=-+其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则x yi +的共轭复数为 （ ） A ．2i + B. 2i - C ．12i + D ．12i -3.若框图所给的程序运行结果为S =90．那么判断框中应填人后的条件是 ( )A.k=9 B ．k ≤8 C ．k<8 D ．k>84. 圆2222x y x y +=+上到直线10x y ++=的点 的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 5.给出下面四个结论：①命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题； ②把2015化为八进制数为(8)1037 ；③命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．④“平面α//平面β”的必要而不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”．其中正确命题的个数是（ ）A.1 B ．2 C ．3 D ．4 6. 在等差数列{}n a 中，16,7523=+=a a a ，设21()1n n b n N a *=∈-， 则数列{}n b 的前n 项和n S 为（ ） A ．1n n + B ．()141n + C ．()41n n + D ．14n n-7.设函数na x x f )()(+=,其中⎰=20cos 6πxdx n ,3)0()0(-='f f ,则)(x f 的展开式中4x 的系数为( )A ．360-B ．360C ．60-D ．608. 三棱锥ABC P -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形 ，⊥PA 平面62,==AB PA ABC 则该球的体积为（ ）A. π316B. π332C. π48D. π364 9.假如今年省运会给岭师附中高中三个年级7个自主推荐的志愿者名额，则每个年级至少分到一个名额的方法数为( ) A ．10B ．35C ．21D ．3010.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=＞＞与双曲线2C 1422=-y x 有公共的焦点,2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则 A. 2132a =B. 213a =C. 212b =D. 22b =11.在ABC ∆中，E 为AC 上一点，且4AC AE =，P 为BE 上一点，且(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则11m n+取最小值时，向量a (,)m n =的模为（ ） A ．45 B ．66 C ．65 D ．2正视图侧视图俯视图22111P12.若函数)(x f y =满足，存在00≠x ，001x x ≠，使0)1()(00==x f x f ，则0x叫做函数)(x f y =的“基点”，已知函数1)(23+++=bx ax x x f 存在“基点”，则22)2(-+b a 的取值范围是（ ）A.),2[+∞B.),4[+∞C.),8[+∞D.),10[+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()1sin 1cos 1αα+-=，则()()1sin 1cos αα-+= 14.某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的最长棱 的棱长为15.设变量x ，y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数231z x y =++的最大值为16. 设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0,2]x ∈时，()22x f x =-，若函数()()log (1)a g x f x x =-+()0,1a a >≠在区间(1,9]-内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共70分.17(1).已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c , 若△ABC 的外接圆的半径为 2 ，且sin sin ()sin .a A c C a b B -=- （1）求∠C ；（2）求△ABC 的面积S 的最大值．17(2).数列{}n a 的前n 项和13,2,1()2n n n S a S a n N *==-∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
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黑龙江省大庆铁人中学2021届高三下学期5月第四次高考模拟考试试题 理科数学【含答案】第Ⅰ卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1.已知集合{|2}A x x =>，{0,1,2,3,4}B =，则B A ⋂的子集个数为 A ．1B ．2C ．3D ．42．设i 是虚数单位，则复数()232z i i =-对应的点在复平面内位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. 命题“2,20210x R x x ∀∈-+>”的否定是A ．2000,20210x R x x ∃∈-+< B ．2000,20210x R x x ∃∈-+≤ C ．2,20210x R x x ∀∈-+< D ．2,20210x R x x ∀∈-+≤4.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2-2勾）（股股勾+⨯⨯弦实黄实朱实=+⨯=4，化简，得222弦股勾=+，设勾股中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在红（朱）色图形内的图钉数大约为（参考数据：732.13,414.12≈≈） A ．866B ．500C ．300D ．1345．已知直线1l ：10mx y +-=，2l ：(23)10m x my ++-=，m ∈R ，则“2m =-”是“12l l ⊥”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 下列命题中，不正确的是A.线性回归直线ˆˆˆy bx a =+必过样本点的中心(),x y ；B.若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，则平面//α平面β；（4题图）C.若“ba 11<，则b a >”的逆命题为假命题； D.若ABC ∆为锐角三角形，则sin cos A B >. 7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.73 B.92 C. 94 D. 728.已知R x ∈,n x x )13(32-的展开式中二项式系数的和为128，则展开式中31x的系数是 A.7 B.-7 C.21 D.-219.黑龙江省即将进行高考改革，实行“321++”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有 A.8种 B.12种 C.16种 D ．20种10．已知函数()sin 2cos f x x x =+，若直线x θ=是曲线()y f x =的一条对称轴，则cos2θ=A.53 B. 54 C.55 D. 552 11．已知双曲线)0(14222>=-b by x 的一条渐近线方程为03=-y x ，右焦点为，F 点M 在 双曲线左支上运动，点N 在圆1)3(22=++y x上运动，则MF MN +的最小值为A.6B.7C.8D.912.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，xe x xf 1)(-=，给出下列命题： ①当0x <时，x e x x f )1()(+=； ②函数()f x 有2个零点；③0)(≤x f 的解集为(](]1,01--⋃∞，； ④1x ∀，2x R ∈，都有2)()(21≤-x f x f . 其中正确的命题是 A. ①④B. ②③C. ①③D. ②④第Ⅱ卷二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13.设随机变量ξ服从正态分布)9,2(N ,若)2()(+<=>c P c P ξξ，则c 的值是__________．14．铁人中学高三某班共有48人，学号依次为1,2,3，……，48，现采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知学号为3,11,19,35,43的同学在样本中，那么样本中还有一名同学的学号应为 ____________．15.已知平面向量b a ,满足2,1==b a ，0=⋅b a ，设a 与b a k +的夹角为θ，若21cos =θ，则实数k 的值为____________．16．如图，已知圆柱和半径为3的半球O ，圆柱的下底面在半球O 底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O ，则该圆柱体积的最大值为____________．三、解答题(本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（12分）已知数列{}n a 的首项为11a =，且()121n n a a +=+()*N n ∈.（Ⅰ）证明数列{}2+n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若122log 3n n a b ++⎛⎫=⎪⎝⎭，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18.（12分）2020年年底，铁人中学新址建设项目已经基本完工，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取若干市民对该项目进行评分(评分均为整数，最低分40分，最高分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将市民的所有打分分数从低到高分为四个等级：已知满意度等级为“基本满意”的市民有680人．（Ⅰ）求频率分布于直方图中a 的值，并依据频率分布直方图估计评分等级为“不满意”的人数；（Ⅱ）在（Ⅰ）所得评分等级为“不满意”的市民中，老年人占31，青年人占32，现从该等级市民中按年龄分 层抽取6人了解不满意的原因，并从6人中随机选取3 人组成整改督导组，用X 表示督导组中青年人的人 数，求X 的分布列及数学期望)(X E .19.（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，2,//π=∠ABC BC AD ，2=AD ，32=AB ，6=BC ．（Ⅰ）求证：平面⊥PBD 平面PAC ；（Ⅱ）PA 长为何值时，直线PC 与平面PBD 所成角最大？并求此时该角的正弦值．20.（12分）已知函数)(ln )(R a ax x x f ∈-=． (Ⅰ)讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅱ)证明：0ln 2>-x e e x (e 为自然对数的底数)恒成立．21．（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，四边形1122A B A B 的面积为43，坐标原点O 到直线11B A 的距离为2217. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 上一点P 作两条直线，分别与椭圆C 相交于异于点P 的点A ，B ，若四边形OAPB 为平行四边形，探究四边形OAPB 的面积是否为定值.若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.22.（10分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合．若曲线C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 6+=，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y tx 222221（为参数t ）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点)0，3(Q ，直线l 与曲线C 交于B A 、两点，求QB QA ⋅的值． 23. （10分）已知函数()22f x x a x =--+. （Ⅰ）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （Ⅱ）当2a =时，函数()f x 的最小值为t ，114t m n+=-（0,0m n >>），求m n +的最小值.答案一．选择题（60分）二．填空题（20分）13. 1 14. 27 15. 332 16.π2 三．解答题（70分）17. （12分）（1）解：（Ⅰ）由()121n n a a +=+得()1222n n a a ++=+， 因为02≠+n a ，所以2221=+++n n a a ，又因为321=+a所以数列{}2n a +是以3为首项，以2为公比的等比数列， ……………3分 可得1232n n a -+=⨯，从而1322n n a -=⨯-()*N n ∈. ………………6分（Ⅱ）依题意，12+2log =3n n a b +⎛⎫=⎪⎝⎭2log 2n n =， 故()1111n n b b n n +==+111n n -+， ………………………………………9分 故1111223n T =-+-+1111n n n n +-=++.……………………………12分 18.（12分）（1）由频率分布直方图知，0.0350.0200.0140.0040.0020.075,++++= 由100.075)1a ⨯+=（解得0.025a =， 设总共调查了N 个人，则基本满意的为10(0.0140.020)680N ⨯⨯+=，解得2000N =人.不满意的频率为10(0.0020.004)0.06⨯+=，所以共有20000.06120⨯=人，即不满意的人数为120人.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DABABBDCCACA（2）评分等级为“不满意”的120名市民中按年龄分层抽取6人，则青年人抽取4人分别记为1234A A A A 、、、，老年人抽取2人分别记为12B B 、，从6人中选取3人担任整改督导员，X 的所有取值为1,2,351)1(361422===C C C X P ,53)2(362412===C C C X P ,51)3(363402===C C C X P 所以X 的分布列为 X123P 5153 512513532511)(=⨯+⨯+⨯=X E19. （12分）（1）∵PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，∴BD PA ⊥，又3tan ,tan 33AD BCABD BAC AB AB∠==∠==， 90,60,30=∠∴=∠=∠∴AEB BAC ABD ，即BD AC ⊥（E 为AC 与BD 交点）． 又A AC PA =⋂，∴BD ⊥平面PAC ，又因为BD ⊂平面PBD ，所以，平面PAC ⊥平面PBD （2）如图，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图， 设AP t =，则()()()()23,0,0,23,6,0,0,2,0,0,0,B C D P t ， 则()23,2,0BD =-，()0,2,t DP =-，()23,6,PC t =-，设平面PBD 法向量为(),,n x y z =，则00n BD n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即232020x y y tz ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，得平面PBD 的一个法向量为231,3,n t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以22226333cos ,1214448451PC n PC n PC nt t t t ⋅===++++，因为22221441445151275t t t t+++=≥，当且仅当23t =时等号成立， 所以5c 33353os ,PC n ≤=，记直线PC 与平面PBD 所成角为θ，则sin cos ,PC n θ=，故3sin 5θ≤， 即23t =时，直线PC 与平面PBD 所成角最大，此时该角的正弦值为35． 20.(Ⅰ)解：函数的定义域为，1分当时，恒成立，所以在内单调递增； 2分 当时，令，得，所以当时，单调递增； 3分当时，单调递减， 4分综上所述，当时，在内单调递增；当时，在内单调递增，在内单调递减 5分(Ⅱ)证明：由(1)可知，当时，特别地，取，有，即，所以(当且仅当时等号成立)，因此，要证恒成立，只要证明在上恒成立即可 7分设，则， 8分当时，单调递减，当时，单调递增． 10分 故当时，，即在上恒成立因此，有，又因为两个等号不能同时成立，所以有恒成立 12分或：令，则，再令，则， 由知，存， 使得，得，由可证，进而得证．21. （1）直线11A B 的方程为1x ya b-+=，由题意可得22243221711ab a b ⎧=⎪⎪=+23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 或)(23舍⎩⎨⎧==b a ∴椭圆C 的方程为22143x y +=（2）当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =±，此时3OAPBS=当直线AB 的斜率存在时，设AB ：y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得222(43)84120k x kmx m +++-=， 则2248(43)0k m ∆=-+>，122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，()121226243my y k x x m k +=++=+， ∵四边形OAPB 为平行四边形，∴OA OB OP +=，∴2286,4343km m P k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭， ∵点P 在椭圆上，∴2222864343143km m k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得2234m k =+， 2222124343||11k m AB k x k ⋅-+=+-=+，原点O 到直线AB 的距离21d k =+2243||43||3OAPBm k m SAB d -+=⋅==， 综上，四边形OAPB 的面积为定值3.22.(Ⅰ)由ρ＝6cos θ＋2sin θ，得ρ2＝6ρcos θ＋2ρsin θ，又由222,sin ,cos ρθρθρ=+==y x y x 2分得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝6x ＋2y ，即 10)1()3(22=-+-y x 3分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 222221，消去参数t ，得直线l 的普通方程为x ＋y －3＝0. ………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线l 的参数方程可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 22223 (为参数t )， ………6分代入曲线C 的直角坐标方程10)1()3(22=-+-y x 得0922=--t t.… 8分由韦达定理，得921-=⋅t t ，则由直线参数方程t 的几何意义得 |QA |·|QB |＝21t t ⋅＝9 ………10分23解：（1）当1a =时，不等式为2120212x x x x --+≥⇔-≥+ 两边平方得()()22412x x -≥+，解得4x ≥或0x ≤ ∴()0f x ≥的解集为(][),04,-∞⋃+∞（2）当2a =时，()6,2,22223,226,2x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=--+=--<<⎨⎪-≥⎩，可得4t =-，∴1144m n+= (0,0)m n >> ∴()11144m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1515914444416n m m n ⎛⎫⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2m n =，即316n =，38m =时取等号.。