2021届黑龙江省大庆铁人中学高三第一阶段考试文科数学试卷
2021届黑龙江省大庆铁人、鸡西一中、鹤岗一中三校高三上学期联考数学(文)试题(含解析)
2021届黑龙江省大庆铁人、鸡西一中、鹤岗一中三校高三上学期联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}2|280B x x x =--<，则AB 的一个真子集为（ ） A ．{}5 B ．{}3,4C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,3【答案】C【分析】首先求出集合B ，再根据交集的定义求出AB ，即可得出A B 的真子集；【详解】解：因为{}2|280B x x x =--<，所以{}|24B x x =-<<，所以{}0,1,2,3A B =，所以{}1,2,3A B故选：C2．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ⋅+=（ ）A B ．2C ．10D【答案】D【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案. 【详解】因为1z i =+， 所以1z i =-，12z i +=+，所以()()()1123z z i i i ⋅+=-⋅+=-== 故选:D.3．已知23log 2a =，232b =，223c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b << D ．c b a <<【答案】C【分析】先由对数与指数的性质，判定0a <，()>1,0,1b c ∈，即可得出结果.【详解】23log 20a =<，2321b =>，2240139c ⎛⎫<==< ⎪⎝⎭，故a c b <<.故选：C .【点睛】本题主要考查比较对数式、指数式的大小，常常先判断每一个数与0，1的大小关系，属于中档题.4．下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递减的函数是 A ．2yxB ．2xy =C ．21log y x= D ．cos y x =【答案】C【详解】逐一考查所给函数的性质：A .2y x =是偶函数，在()0,+∞上单调递增，不合题意；B .2x y =是非奇非偶函数，在()0,+∞上单调递增，不合题意；C .21y log x=是偶函数，在()0,+∞上单调递减，符合题意； D .y cosx =是偶函数，在()0,+∞上不具有单调性，不合题意； 本题选择C 选项.5．已知变量x ，y 满足约束条件24,4312,1x y x y y -+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为A ．12-B ．1C ．2-D ．112【答案】C【详解】画出不等式组24,4312,1x y x y y -+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域如图，目标函数2z x y =+化为=2y x z -+，结合图形可知当动直线=2y x z -+经过点3(,1)2A -时，动直线2y x z =-+在y 轴上的截距z 最小，则min 32()122z =-+=-，应选答案C ．点睛：本题旨在考查线性规划等有关知识的综合运用，解答这类问题的常规思路是将不等式组表示的区域在平面直角坐标系中直观地表示出来，再运用数形结合的思想，借助图形的直观求出目标函数的最值，从而使得问题获解．6．已知α和β表示两个不重合的平面，a 和b 表示两条不重合的直线，则平面//α平面β的一个充分条件是（ ） A ．//a b ，//a α且b β// B ．a α⊂，b α⊂且//a β，b β// C ．a b ⊥，//a α且b β⊥ D ．//a b ，a α⊥且b β⊥【答案】D【分析】分别考虑各选项中平面α与β相交时，是否符合所给的条件，即可得到答案. 【详解】A 、B 、C 选项中平面α和平面β均有可能相交；D 中由//a b ，a α⊥可得b α⊥，又b β⊥，所以//αβ.故选:D.7．已知在平面直角坐标系中，向量()1,2a =-，()1,1b =，且a m b =+，n a b =-，令m 与n 的夹角为θ，则cos θ=（ ）A B ．12C ．10D ．5【答案】A【分析】求出向量m 与n 的坐标，再由数量积公式得出cos θ. 【详解】因为()0,3a m b =+=，()2,1n b a =-=-，所以cos 35m n m n θ⋅===⋅⨯. 故选：A8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为A ．163B ．8C ．203D ．12【答案】C【详解】由三视图可知该几何体是由一个三棱柱和一个四棱锥组成的组合体，故其体积为221122223⨯⨯+⨯2023⨯=.选C.9．命题:p 当且仅当1m =时，直线()120x m y ++-=与直线240mx y ++=平行；命题:q 直线()()12110k x k y +-+-=与圆()2234x y -+=可能相切.下列命题中是真命题的是（ ） A ．p ⌝ B ．q ⌝C ．p q ∧D ．p q ⌝∨【答案】B【分析】命题p ，若直线()120x m y ++-=与直线240mx y ++=平行或重合时，由()12m m +=求解判断其真假；命题q ：由直线()()12110k x k y +-+-=转化为()210k x y x y -+--=，由该直线过定点()2,1P 判断其真假，再利用复合命题判断.【详解】命题p 中，当直线()120x m y ++-=与直线240mx y ++=平行或重合时，()12m m +=，所以2m =-或1m =，易验证1m =时，两直线平行；而2m =-时，所给直线重合，故p 为真命题；命题q ：直线()()12110k x k y +-+-=可化为()210k x y x y -+--=，可得该直线过定点()2,1P ，且易知P 在圆()2234x y -+=内，故所给直线和圆不可能相切，故q 为假命题.故选：B10．函数2ln xy x=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可.【详解】解：由ln 0x ≠得，0x >且1x ≠， 当01x <<时，ln 0x <此0y <时，排除B,C函数的导数'2212ln 22ln 2()(ln )(ln )x x x x f x x x -⋅-==，由'()0f x >得ln 1x >，即x e >时函数单调递增，由'()0f x <得ln 1x <且1x ≠，即01x <<或1x e <<时函数单调递减， 故选：D【点睛】此题考查函数图像的识别和判断，根据函数的性质，利用定义域，单调性，极值等函数特点是解决此题的关键，属于中档题.11．已知M 是边长为1的正△ABC 的边AC 上的动点，N 为AB 的中点，则BM MN ⋅的取值范围是（ ） A ．[34-，2364-] B ．[34-，12-] C ．[25-，15-] D ．[35-，12-] 【答案】A【分析】可取AC 的中点为O ，然后以点O 为原点，直线AC 为x 轴，建立平面直角坐标系，从而根据条件可得出3130,,,4B N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并设11(,0),22M x x -≤≤，从而可得出21348BM MN x x ⋅=---，根据x 的范围，配方即可求出BM MN ⋅的最大值和最小值，从而得出取值范围.【详解】解：取AC 的中点O ，以O 为原点，直线AC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：1313,0,0,,,2244A B N ⎛⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设11(,0),22M x x -≤≤， 313,,4BM x MN x ⎛⎫⎛∴=-=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，221312348864BM MN x x x ⎛⎫∴⋅=---=-+- ⎪⎝⎭，且1122x -≤≤，12x ∴=时，BM MN ⋅取最小值31;48x -=-时，BM MN ⋅取最大值2364-， ∴BM MN ⋅的取值范围是323,464⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.故选：A.【点睛】本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积运算，配方求二次函数值域的方法，考查了计算能力，属于中档题. 12．已知[]x 表示不大于x 的最大整数，若函数()[]()220f x ax x x a =+->在()0,2上仅有一个零点，则a 的取值范围为 A ．()0,2 B ．()()0,12,⋃+∞ C ．()1,2D ．(]()0,12,⋃+∞【答案】D【详解】①当01x <<时，[]0x =，()22f x ax =-，()02f =-，∴当(1)20f a =->，即2a >时()f x 在()0,1上有一个零点. ②当12x ≤<时，[]1x =，()22f x ax x =+-，∵()02f =-.∴当()110(2)40f a f a ⎧=-≤⎨=>⎩，即01a <≤时()f x 在[)1,2上有一个零点.综上可得当(]()0,12,a ∈⋃+∞时，()f x 在上()0,2仅有一个零点.选D ． 点睛：解答本题的关键是根据x 的取值范围及[]x 的定义，将所给函数的零点问题化为二次函数的零点问题处理．对二次函数的零点问题，可以采用根与系数的关系和判别式解决；比较复杂的题目，可利用二次函数的性质结合图象寻求条件．如在本题中，根据二次函数的图象并利用根据二次方程根的分布得到参数的取值范围．二、填空题 13．已知1cos 3α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α等于________．【答案】-【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得sin α的值，进而利用商数关系可求得tan α的值.【详解】,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，sin 3α∴==-sintan cos ααα==-故答案为：-．14．等比数列{}n a 中，1476a a a ++=，36924a a a ++=.则{}n a 的前9项之和为__________. 【答案】18或42【分析】利用2369147()a a a a a a q ++=++求解公比2q =±，再分情况计算{}n a 的前9项之和即可.【详解】因为22369147()624a a a a a a q q ++=++==所以2q =±， 当2q时，258147()12a a a a a a q ++=++=，9123456789147258369()()()6122442S a a a a a a a a a a a a a a a a a a ∴=++++++++=++++++++=++= 当2q =-时，258147()12a a a a a a q ++=++=-9123456789147258369()()()6122418S a a a a a a a a a a a a a a a a a a ∴=++++++++=++++++++=-+= 故答案为：18或42【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 15．如图所示，正四面体ABCD 中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP +PE的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是__________.【答案】12π【分析】先将面ABC 和面ACD 展开在同一个平面，分析当B 、P 、E 三点共线时BP BE +的取得最小值，在ABE △中利用余弦定理求得正四面体的棱长为22再利用补形法将正四面体补成一个棱长为2的正方体，利用正方体的体对角线是外接球的直径进行求解.【详解】将面ABC 和面ACD 展开在同一个平面的下图：由三角形两边和大于第三边得到，当点P 在F 点时BP BE +取得最小值， 所以14BE =，设AE a =，则2AB a =, 在ABE △中，23π∠=BAE 由余弦定理得：224141cos 222a a BAE a a +-∠==-⨯⨯ 解得2a =，故正四面体的棱长为22，如图将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，则该正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长， 所以223R =3R 故2412S R ππ==， 故答案为：12π【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 16．已知函数22()(ln 33)()f x x a x a =-+-，若存在0x 使得01()10f x ≤成立，则实数a 的值为__________. 【答案】130【分析】本题核心是求出0()f x 的最小值，由函数解析式知，函数22()(ln 33)()f x x a x a =-+-可以看作是动点(,ln3)M x x 与动点(,3)N a a 之间距离的平方，利用导数求出曲线ln 3y x =上与直线3y x =平行的切线的切点，得到曲线上点到直线的最小距离，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于110，然后由两直线斜率的关系列式求得实数a 的值.【详解】解：函数22()(ln 33)()f x x a x a =-+-可以看作是动点(,ln3)M x x 与动点(,3)N a a 之间距离的平方，其中动点M 在函数ln 3y x =的图象上，动点N 在函数3y x =的图象上，如图所示：故问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离.且当过点M 的切线与直线3y x =平行时，此时MN 有最小距离. 由ln 3y x =得1y x '=，令1133x x =⇒=， 故曲线上点1(,0)3M 到直线3y x =的距离最小.∴最小距离1910d ==+. ∴1()10f x ≥. 根据题意，若要存在0x 使得01()10f x ≤成立， 则01()10f x =，此时N 恰好为垂足， ∴由301133MNa k a -==--，解得130a =.故答案为：130. 【点睛】本题考查了不等式成立的有解问题，当()f x m ≥有解时()max f x m ⇔≥；当()f x m ≤有解时min ()f x m ⇔≤，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于难题.三、解答题17．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，()12222n n a a a n -=+-≥. （1）证明：{1}n a +为等比数列； （2）求n S .【答案】(1)见解析；（2）122n n +--. 【详解】试题分析：（1）由递推关系式构造111122211n n n n a a a a ---++==++，从而证明数列是等比数列；（2）根据等比数列的前n 项和公式计算即可. 试题解析：（1）证明：∵37a =，3232a a =-，∴23a =， ∴121n n a a -=+，∴11a =，则()1111222211n n n n a a n a a ---++==≥++， ∴{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列.（2）解：由（1）知，12nn a +=，则21n n a =-.∴()2222n n S n =+++- 122n n +=--.18．已知圆C 的圆心在x 轴上，圆C 过点()1,0，()3,2-. （1）求圆C 的标准方程；（2）已知点M 在直线2x =上且位于第一象限，若过点M 且倾斜角为135︒的直线l 与圆C 相切，求切线l 的方程.【答案】（1）()2234x y -+=；（2）3y x =-++【分析】（1）设圆C 的标准方程为()()2220x a y r r -+=>，将点()()1,0,3,2-代入圆的方程，求得,a r 的值，即可求得圆C 的标准方程；（2）设()()2,0M m m >，得到直线l 的方程为20x y m +--=，根据圆心到直线的距离等于半径，求得m 的值，即可得到切线的方程.【详解】（1）设圆C 的标准方程为()()2220x a y r r -+=>，因为圆C 过点()1,0，()3,2-，可得()()2222134a r a r⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，解得32a r =⎧⎨=⎩， 所以圆C 的标准方程为()2234x y -+=. （2）设()()2,0M m m >，因为直线l 的倾斜角为135︒，可得直线l 的斜率为1-， 则直线l 的方程为()2y m x -=--，即20x y m +--=，可得圆心到直线的距离为122m-=，解得122m =±，因为0m >，所以122m =+，所以切线l 的方程为322y x =-++. 19．在直三棱柱111ABC A B C -中，2AC BC ==，12AB AA ==，E 是棱1CC 的中点.(1)求证：1A B AE ⊥； (2)求点1A 到平面ABE 的距离. 【答案】(1)证明见解析；2.【分析】(1)取1A B 中点F ，联结AF ，EF ，AE ，由题意可证得1A B EF ⊥，1A B AF ⊥，则1A B ⊥面AEF ，从而有1A B AE ⊥； (2)由题意可求得三棱锥1A ABE 的体积为23，设1A 到平面ABE 的距离为h ，转化顶点，结合2ABE S =2h =【详解】(1)取1A B 中点F ，连结AF ，EF ，AE ，∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴111CC AC ⊥，1CC CB ⊥，又∵E 是1CC 的中点，11A C BC =，∴1A E BE =，又∵1AB AA =， ∴1A B EF ⊥，1A B AF ⊥，∴1A B ⊥面AEF ，∴1A B AE ⊥； (2)11112222323A ABEB A AE V V --==⨯⨯=，设1A 到平面ABE 的距离为h ，则1233ABE h S ⨯⨯=， 由已知得3AE BE ==∴2ABE S =，∴2h =点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积． 20．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 3sin b A B =，222b c a bc +-=．（1）求ABC 外接圆的面积； （2）若BC 33，求ABC 的周长． 【答案】（1）3π；（2）9.【分析】(1)由正弦定理可求出3a =，结合余弦定理可求出3A π=，进而可求出三角形外接圆的半径，从而可求出外接圆的面积. (2) 设BC 的中点为D ，则33AD =，结合向量加法可得2227c b bc ++=，结合余弦定理可求出3b =，3c =.【详解】解：（1）因为sin 3sin b A B =，又sin sin a bA B=，即sin sin b A a B =，所以3a =，由2221cos 22b c a A bc --==，得3A π=，设ABC 外接圆的半径为R则13 2sin32aRA=⋅==⨯，所以ABC外接圆的面积为3π．（2）设BC的中点为D，则33AD=．因为()12AD AB AC=+，所以()()222221127||2444AD AB AC AB AC c b bc=++⋅=++=，即2227c b bc++=，又222b c a bc+-=，3a=，则22918bcb c=⎧⎨+=⎩，整理得()2290b-=，解得3b=或3-（舍去），则3c=．所以ABC的周长为9．【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是结合向量加法运算，用向量,AB AC表示中线所在的向量.21．已知)3,0为椭圆C：2222x ya b+=1(a>b>0)的一个焦点，且点13,2⎫⎪⎭在椭圆C 上.（1）求椭圆C的方程；（2）若点P(m，0)为椭圆C的长轴上一动点，过P且斜率为12的直线l交椭圆C于A，B两点，求证|PA|2+|PB|2为定值.【答案】（1）2214xy+=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题得到关于,,a b c的方程组，解方程组即得解；（2）设直线l的方程为1()2y x m=-，联立椭圆方程得到韦达定理，过A作1AA x⊥轴交x轴于点1A，过B作1BB x⊥轴交x轴于点1B，再利用直角三角函数得解.【详解】（1）由题意：3c=22314a b+=1，a2=b2+c2，解得：2,1a b==，故椭圆C的方程为2214xy+=；（2）证明：设直线l的方程：1()2y x m=-，与椭圆联立2214xy+=，消去x整理得：228440y my m++-=，24,28A B A Bm my y y y--+=⋅=，如图：过A作1AA x⊥轴交x轴于点1A，过B作1BB x⊥轴交x轴于点1B，1111||5,||5sin sin55A BA BAA y BB yPA PBAPA BPB======∠∠，所以()()22222224 ||||5525544A B A B A Bym m PA PB y y y y y⎡⎤-⎡⎤+==+-=-=⎢⎥⎣⎦⎣⎦+，所以22||||PA PB+为定值.【点睛】方法点睛：定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明.（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.22．已知函数()()2122,0,2xf x xe m x x m⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭.（1）若14m=，求曲线()y f x=在点()()0,0f处的切线方程；（2）若函数()()442xg x f x e m mx=-++，记函数()g x在()0,∞+上的最小值为A，求证：22e A-<<-.【答案】(1) 520x y-=;(2)见解析.【详解】试题分析：（1）求导得()0f'，结合()00f=，由点斜式可得切线方程；（2）由()g x，得()g x'，令()()h x g x='，()220xh x xe m+'=>，则()g x'在()0,+∞上单调递增，又()()0420,160g m g m ''=-=，则存在()0,1t ∈使得()0g t '=成立，从而得()()()2min 2t g x g t e t t ==-+-，求导求范围即可.试题解析：（1）由题意知，()()21224xf x xe x x =++，∴()()12212x x f x e xe x +'=++， ∴()502f '=，()00f =，则所求切线方程为52y x =，即520x y -=.（2）由题意知，()()22444xxg x xe m x x e m =++-+，∴()()()()()224222222xxxg x e x e m x x e m x =+-++=-++'.令()()h x g x ='，∴()220xh x xe m +'=>，则()g x '在()0,+∞上单调递增，又()()0420,160g m g m ''=-=，则存在()0,1t ∈使得()0g t '=成立，∵()0g t '=，∴()12t t e m t -=-+.当()0,x t ∈时，()0g t '<，当(),x t ∈+∞时，()0g t '>， ∴()()()()()22min 2422ttg x g t t e m t e t t ==-++=-+-.令()()22th t e t t =-+-，则()()210th t e t t '=---<，∵01t <<，∴()()()10h h t h <<，∴22e A -<<-.点睛：利用导数求函数的最值问题，先对函数求导，再求导函数的零点，一般先看能不能因式分解，如果不能就要分三个方面考虑，一是导函数恒正或恒负，二是可观察出函数的零点，再通过二阶导证明导函数单调，导函数只有唯一零点，三是导函数的零点不可求，我们一般称为隐零点，通过图像和根的存在性定理，先判定和设零点，后面一般需要回代消去隐零点或参数，得到最值.。
2021届黑龙江省大庆市高三上学期期初考试数学(文)试题Word版含解析
2021届黑龙江省大庆市高三上学期期初考试数学（文）试题一、选择题1．设全集{}0,1,2,3,4,5,6,U =集合{}|0 2.5 ,A x Z x =∈<< 集合()(){}|150 B x Z x x =∈--<则()U C A B ⋃= （ ） A. {}0,1,2,3,6 B. {}0,5,6 C. {}1,2,4 D. {}045,6，， 【答案】B【解析】由题意可得{}{}{}(){}1,2,2,3,4,1,2,3,4,0,5,6UA B A B A B ==⋃=⋃=，选B.2．若复数2,1z i=-其中i 为虚数单位，则z =（ ） A. 1i + B. 1i - C. 1i -- D. 1i --【答案】B【解析】由题意可得1,1z i z i =+=-,选B.3．已知命题:0,p x ∀>总有()11,xx e +≥则p ⌝为 （ ）A. 00,x ∃≤使得()0011xx e +≤ B. 00,x ∃>使得()0011xx e +≤C. 00,x ∃>使得()0011xx e +< D. 0,x ∀≤总有()0011xx e +≤【答案】C【解析】由全称性命题的否定是特称性命题，可知选C.4．已知()()320,f x ax bx ab =++≠若()2017f k =，则()-2017f =（ ）A. kB. k -C. 4-kD. 2-k 【答案】C【解析】由题意可得f(x)+f(-x)=4,令x=2017, 得f(-2017)=4-f(2017)=4-k ，选C. 5．将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向右平移8π个单位长度，得到的图象关于原点对称，则ϕ的一个可能取值为（ ） A.34π B. 4πC. 0D. 4π- 【答案】B【解析】试题分析：当函数()()sin 2f x x ϕ=+向左平移8π个单位，所得的函数为，由函数关于y 轴对称，可知，所以ϕ的一个可能取值为4π． 【考点】三角函数的性质．6．若圆()()()221,x a y b a R b R -+-=∈∈关于直线1y x =+对称的圆的方程是()()22131,x y -+-=则a b +等于（ ）A. 4B. 2C. 6D. 8 【答案】A【解析】圆心(1,3)关于直线y=x+1的对称点为（2,2）2,2,4a b a b ==+=，选A.7．设,αβ是两个不同的平面， ,l m 是两条不同的直线，且,l m αβ⊂⊂，下列命题正确的是（ ） A. 若//l β，则//αβ B. 若αβ⊥，则l m ⊥ C. 若l β⊥，则αβ⊥ D. 若//αβ，则//l m 【答案】C【解析】A 中, //l β也可能两平面相交，A 错。
2020-2021学年黑龙江省大庆市铁人中学高三(上)开学数学试卷(文科)
2020-2021学年黑龙江省大庆市铁人中学高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1. 已知集合＝，＝，则的真子集个数为（）A. B. C. D.2. 在中，“”是“”的（）A.必要不充分条件B.充要条件C.既不充分也不必要条件D.充分不必要条件3. 已知命题＝在其定义域内是减函数；命题＝的图象关于对称．则下列命题中真命题是（）A. B. C.￢ D.￢4. 设方程＝的根为，方程＝的根为，则＝（）A. B. C. D.5. 设＝，，，则（）A. B. C. D.6. 已知函数，则（）（）＝（）A. B. C. D.7. 欲得到函数＝的图象，只需将函数的图象（）A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位8. 函数在的图象大致是（）A.B.C.D.9. 命题“存在，”的否定是（）A.存在，B.不存在，C.对任意的，D.对任意的，10. 设，为正数，且，则（）A. B. C.＝ D.＝11. 定义在上的函数＝是奇函数，＝为偶函数，若＝，则＝（）A. B. C. D.12. 函数是定义在上的函数，其导函数记为，＝的图象关于对称，当时，恒成立，若＝，则不等式的解集为（）A. B. C. D.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 若函数在上不单调，则实数的取值范围是________．14. 已知钝角的三边都是正整数，且成等差，公差为偶数，则满足条件的的外接圆的面积的最小值为________．（2）若在上恒成立，求正数的取值范围．15. 设，，（是自然对数的底），若对，，使得＝成立，则正数＝________．16. 关于函数＝有如下四个命题：①的图象关于轴对称；②的图象关于原点对称；③在上单调递减；④的最小值为；⑤的最小正周期为．其中所有真命题的序号是________．三、解答题（共70分）17. 已知＝，（1）求＝在＝处的切线方程；（2）求＝在上的最值．18. 已知，为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．19. 已知＝．（1）求的最小正周期；（2）若＝（为常数）在上有两个不同的零点和，求．20. 的三个内角，，所对的边分别为，，，三个内角，，满足．（1）求；（2）若＝，的内角平分线，求的周长．21. 已知椭圆的离心率为，点在上．Ⅰ求的方程；Ⅱ直线不经过原点，且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段中点为，证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．22. 已知函数＝（是自然对数的底）．（1）当＝时，求函数＝的单调区间；参考答案与试题解析2020-2021学年黑龙江省大庆市铁人中学高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】复合命题常育真假判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函数根助点与驶还根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】对数值于小的侧较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】分段水正的应用函使的以值求都北的值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】函来锰略也与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】命正算否定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】有理数三数幂的要算性质赤化简求古【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】函体奇序微病性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（每小题5分，共20分）13.【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】此题暂无答案【考点】正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】此题暂无答案【考点】函数于成立姆题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（共70分）17.【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值利用三数定究曲纵上迹点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】此题暂无答案【考点】两角和与射的三题函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】此题暂无答案【考点】函数根助点与驶还根的关系两角和与射的三题函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】此题暂无答案【考点】正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答21.【答案】此题暂无答案【考点】直线与椭常画位置关系椭圆较标准划程椭明的钾用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020-2021学年黑龙江省大庆市铁人中学高三(上)开学数学试卷(文科)
2020-2021学年黑龙江省大庆市铁人中学高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1. 已知集合P ＝{x ∈N|x 2≤5}，Q ＝{x ∈R|ln x >−1}，则P ∩Q 的真子集个数为（ ） A.3 B.2 C.7 D.42. 在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的（ ） A.必要不充分条件B.充要条件C.既不充分也不必要条件D.充分不必要条件3. 已知命题p:f(x)＝x −1在其定义域内是减函数；命题q:g(x)＝tan x 的图象关于x =π2对称．则下列命题中真命题是（ ） A.p ∧q B.p ∨q C.￢(p ∨q) D.(￢p)∧q4. 设方程2x+x −2＝0的根为x 1，方程log 21x−x +2＝0的根为x 2，则x 1+x 2＝（ ）A.2B.1C.4D.35. 设a ＝ln √32，b=(ln 3)25，c =√sin 75，则（ ） A.b <a <c B.a <b <cC.c <a <bD.a <c <b6. 已知函数f(x)={log 2(1−x),x <022x−1,x ≥0 ，则f （f(−3)）+f （f(0)）＝（ ）A.7+ln 3B.7C.9D.87. 欲得到函数f(x)＝2sin 2x 的图象，只需将函数g(x)=2cos (2x −π4)的图象（ ） A.向右平移π4个单位 B.向右平移π8个单位 C.向左平移π4个单位 D.向左平移π8个单位8. 函数f(x)=x+sin x x 2+cos x在[−π, π]的图象大致是（ ）A.B.C.D.9. 命题“存在x 0∈R ，2x 0≤0”的否定是（ ） A.存在x 0∈R ，2x 0≥0 B.不存在x 0∈R ，2x 0>0C.对任意的x ∈R ，2x >0D.对任意的x ∈R ，2x ≤010. 设a ，b 为正数，且2−a −4−b +1=log 2ab，则（ ）A.a >2bB.a <2bC.a +2b ＝1D.a ＝2b11. 定义在R 上的函数y ＝f(x)是奇函数，y ＝f(2−x)为偶函数，若f(1)＝1，则f(2019)+f(2020)+f(2021)＝（ ） A.0 B.−2 C.3 D.212. 函数f(x)是定义在R 上的函数，其导函数记为f ′(x)，g(x)＝f(x −a)+b 的图象关于P(a, b)对称，当x >0时，f ′(x)<f(x)x恒成立，若f(2)＝0，则不等式f(x)x−1>0的解集为（ ）A.(−2, 0)∪(0, 1)B.(−2, 0)∪(1, 2)C.(−2, 0)∪(2, +∞)D.(1, 2)∪(−∞, −2)二、填空题（每小题5分，共20分）若函数f(x)=13x 3−x 2+ax +a 在(0, 1)上不单调，则实数a 的取值范围是________．已知钝角△ABC 的三边都是正整数，且成等差，公差为偶数，则满足条件的△ABC 的外接圆的面积的最小值为________．设a >0，f(x)=√22ax ，g(x)=ex−32（e 是自然对数的底），若对∀x 1∈[12,2]，∃x 2∈[12,2]，使得f(x 1)f(x 2)＝g(x 1)g(x 2)成立，则正数a ＝________．关于函数f(x)＝sin x +1sin x 有如下四个命题：①f(x)的图象关于y 轴对称；②f(x)的图象关于原点对称；③f(x)在(0,π2)上单调递减；④f(x)的最小值为2；⑤f(x)的最小正周期为π．其中所有真命题的序号是________． 三、解答题（共70分）已知f(x)＝x −sin 2x ，（1）求y ＝f(x)在x ＝0处的切线方程；（2）求y ＝f(x)在[0,π2]上的最值．已知α，β为锐角，tan α=43，cos (α+β)=−√55． （1）求cos 2α+sin 2α的值；（2）求tan (β−α)的值．已知f(x)＝[sin (π−x)+sin (π2+x)]2+2cos (x −π4)cos (x +π4)．（1）求f(x)的最小正周期；（2）若g(x)＝f(x)−a （a 为常数）在[0,π2]上有两个不同的零点x 1和x 2，求x 1+x 2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，三个内角A ，B ，C 满足sin B sin C+sin C sin B−sin 2A sin B sin C=1．（1）求A ；（2）若a ＝2，△ABC 的内角平分线AE =5√39，求△ABC 的周长．已知椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的离心率为√22，点(2,√2)在C 上．(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)直线l 不经过原点O ，且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值．已知函数f(x)＝ae x−1−ln x +ln a （e 是自然对数的底）． （1）当a ＝1时，求函数y ＝f(x)的单调区间；（2）若f(x)≥1在(0, +∞)上恒成立，求正数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年黑龙江省大庆市铁人中学高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】复合命题常育真假判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函数根助点与驶还根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】对数值于小的侧较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】分段水正的应用函使的以值求都北的值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】函来锰略也与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】命正算否定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】有理数三数幂的要算性质赤化简求古【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】函体奇序微病性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（每小题5分，共20分）【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数于成立姆题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（共70分）【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值利用三数定究曲纵上迹点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】两角和与射的三题函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数根助点与驶还根的关系两角和与射的三题函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与椭常画位置关系椭圆较标准划程椭明的钾用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2021年黑龙江省大庆市铁人中学高考数学一模试卷(文科)
2021年黑龙江省大庆市铁人中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，3，5}，B＝{x|x＞3或x＜1}R B）∩A＝（）A．{﹣1，0，5}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{1，3}2．（5分）复数（其中i为虚数单位），则的实部和虚部的和为（）A．2B．C．D．3．（5分）正五边形的对角线构成的图形是一个非常优美的几何图形，它与黄金分割有着密切的联系，正五边形ABCDE的对角线构成的图形如图所示（）A．B．C．D．4．（5分）甲、乙、丙、丁四位扶贫干部，要下派到A，B，C三个贫困村进行扶贫工作，每村至少一人，由于A村情况特殊，则甲派到A村的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）某公司2019年1月至7月空调销售完成情况如图，如7月份销售量是190台，若月份为x，由统计数据（x i，y i）（i＝1，2，⋅⋅⋅，7）得到散点图，下面四个回归方程类型中最适合作为销售量y和月份x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx6．（5分）已知正数a，b满足，则＝（）A．1B．2C．3D．47．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出y＝4，则输入的x为（）A．﹣B．4C．2﹣D．2+8．（5分）已知点P（6，0），点A（1，1），动点C满足（O为坐标原点）（）A．y＝2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．D．9．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），，，f（x）在内有相邻两个最值点，则ω的最小正整数值为（）A．5B．7C．9D．1010．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，前n项积为T n，且，．若b n＝﹣log2T n，则数列的前n项和A n为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，以坐标原点O为圆心，以|F1F2|为直径的圆交双曲线右支上一点M，，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．B．1＜e≤2C．D．1＜e＜3 12．（5分）已知四面体ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，H是BD的中点，CH⊥BD，则四面体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设x，y满足约束条件则的最大值为．14．（5分）已知向量，，若，则的最小值为．15．（5分）曲线f（x）＝e x﹣xlnx+2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为．16．（5分）设正项数列{a n}，已知，记b n＝log2a2n﹣1+log2a2n，则数列{（﹣1）n b n}的前10项和为．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．（12分）开学初学校进行了一次摸底考试，物理老师为了了解自己所教的班级参加本次考试的物理成绩的情况，从参考的本班同学中随机抽取n名学生的物理成绩（满分100分），将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的学生中成绩在[50（1）求n的值，并估计本班参考学生的平均成绩；（2）已知抽取的n名参考学生中，在[90，100]的人中，现从[90，100]的人中随机抽取2人参加物理竞赛18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a（1+cos B）（2﹣cos A）．（1）求角B的最大值；（2）若B取（1）中最大值，a＞1，，求a的值．19．（12分）在如图所示的斜三棱柱中，AA1B1B是正方形，且点C1在平面AA1B1B上的投影恰是AB的中点H，M是B1C1的中点．（1）判断HM与平面CAA1C1的位置关系，并证明你的结论．（2）若，AB＝2，求三棱锥H﹣C1A1B1的体积．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，|F1F2|＝2，离心率e为．（1）求椭圆C的标准方程．（2）C的左顶点为A，过右焦点F2的直线l交椭圆C于D，E两点，记直线l，AE的斜率分别为k，k1，k2，求证：．21．（12分）已知f（x）＝e x﹣ax+b，a，b∈R．（1）若b＝2a，讨论f（x）的零点个数．（2）若f（x）≥1恒成立，求a+b的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度）1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数），两条曲线相交于A，B两点．（1）求A，B两点的直角坐标；（2）根据变换公式由曲线C1变换得到曲线C3，设点P是曲线C3上的一个动点，求△P AB的面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝3﹣|x+a|﹣|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围．2021年黑龙江省大庆市铁人中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，3，5}，B＝{x|x＞3或x＜1}R B）∩A＝（）A．{﹣1，0，5}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{1，3}【分析】根据补集和交集的定义，计算即可．【解答】解：集合A＝{﹣1，0，6，3，5}，则∁R B＝{x|4≤x≤3}，所以（∁R B）∩A＝{1，4}．故选：D．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2．（5分）复数（其中i为虚数单位），则的实部和虚部的和为（）A．2B．C．D．【分析】根据复数的运算法则和共轭复数以及复数的定义即可求出．【解答】解：由复数，＝﹣i，则．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数，属于基础题．3．（5分）正五边形的对角线构成的图形是一个非常优美的几何图形，它与黄金分割有着密切的联系，正五边形ABCDE的对角线构成的图形如图所示（）A．B．C．D．【分析】由正五边形的对称性、三角形外角的性质及三角形内角和即可求解∠A，从而判断选项A；在△APT中，取AP＝1，PT＝x，过P点作∠APT的平分线交AT于点M，利用相似即可求解x的值，从而即可判断选项B，C，D．【解答】解：由正五边形的对称性可知∠ATP＝∠APT，且∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，又由三角形外角的性质得∠ATP＝∠B+∠D，∠APT＝∠C+∠E，所以∠A+∠ATP+∠APT＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝π，所以，故A错；在△APT中，取AP＝1，如图，过P点作∠APT的平分线交AT于点M，则，所以，所以AM＝PM＝PT＝x，则MT＝1﹣x．易得△APT∽△PMT，所以，即，即x2+x﹣8＝0，解得，所以．故C正确；，故B错；，故D错．故选：C．【点评】本题主要考查三角形中的几何计算，熟练掌握三角形的性质是解题的关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．4．（5分）甲、乙、丙、丁四位扶贫干部，要下派到A，B，C三个贫困村进行扶贫工作，每村至少一人，由于A村情况特殊，则甲派到A村的概率为（）A．B．C．D．【分析】先列出所有事件，再找出符合题意的事件，求出概率．【解答】解：甲、乙、丙、丁四位扶贫干部，B，C三个贫困村进行扶贫工作的所有情形．∴A村去两名干部共12种情形，其中，由古典概型的概率公式得所求概率为，故选：A．【点评】本题考查概率，可利用树状图，属于基础题．5．（5分）某公司2019年1月至7月空调销售完成情况如图，如7月份销售量是190台，若月份为x，由统计数据（x i，y i）（i＝1，2，⋅⋅⋅，7）得到散点图，下面四个回归方程类型中最适合作为销售量y和月份x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx【分析】根据已知条件，结合散点图分布在一个二次函数的图像附近，即可求解．【解答】解：由散点图分布可知，散点图分布在一个二次函数的图像附近，因此最适合作为销售量y和月份x的回归方程类型的是y＝a+bx2．故选：B．【点评】本题考查了回归方程的类型，考查数形结合思想，属于基础题．6．（5分）已知正数a，b满足，则＝（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用对数的运算性质，求出a，b的值，再计算即可．【解答】解：因为，所以a＝16，b＝3，所以．故选：D．【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出y＝4，则输入的x为（）A．﹣B．4C．2﹣D．2+【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：框图显示的算法函数为，∵y＝4，又∵当x≥5时，f（x）＝（x﹣2）2+3，∴（x﹣2）2+6＝4，解得x＝（舍去），故x＝．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．（5分）已知点P（6，0），点A（1，1），动点C满足（O为坐标原点）（）A．y＝2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．D．【分析】设C（x，y），由向量数量积的坐标表示可得C的轨迹方程，根据两直线垂直的条件和直线的点斜式方程可得所求直线的方程．【解答】解：设C（x，y），由，可得（x，y）•（x﹣64＝0，即x2+y8﹣6x＝0，即（x﹣8）2+y2＝3，则动点C的轨迹曲线为圆，圆心为D（3．又点A（1，5）在圆内，，所以最短弦所在直线的斜率为2，所以所求直线方程为y﹣1＝3（x﹣1），即y＝2x﹣6．另解：运用排除法，因为直线经过点A（1，而选项B，C，D表示的直线都不经过点A，C，D．故选：A．【点评】本题考查轨迹方程的求法，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．9．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），，，f（x）在内有相邻两个最值点，则ω的最小正整数值为（）A．5B．7C．9D．10【分析】由f（0）＝，结合已知及“五点作图法”可求得φ的值，由f（）＝0，结合条件可得，再求出ω的最小正整数值．【解答】解：因为，结合已知，由“五点作图法”知，又因为7＜φ＜π，所以，所以．因为，所以，k∈Z，k∈Z．又因为，所以ω＞6，所以当k＝3时，ω的最小正整数值为9．故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，三角函数的最值问题，考查运算求解能力，属于中档题．10．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，前n项积为T n，且，．若b n＝﹣log2T n，则数列的前n项和A n为（）A．B．C．D．【分析】由递推关系式可得数列{a n}是首项为，公比为的等比数列，从而可求得a n，进而求得b n，由裂项求和公式即可求得A n．【解答】解：因为，所以＝，即，所以S5＝2a2，所以．所以，整理得．又因为，，所以数列{a n}是首项为，公比为，所以，所以＝，所以．所以．故选：A．【点评】本题主要考查递推关系式，数列的求和，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．11．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，以坐标原点O为圆心，以|F1F2|为直径的圆交双曲线右支上一点M，，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．B．1＜e≤2C．D．1＜e＜3【分析】设∠MF2F1＝θ，则r1＝2c sinθ，r2＝2c cosθ，可得2a＝r1﹣r2＝2c（sinθ﹣cosθ），，利用三角函数知识求解．【解答】解：设∠MF2F1＝θ，则r4＝2c sinθ，r2＝2c cosθ，∴2a＝r1﹣r4＝2c（sinθ﹣cosθ），∴，∴＝＝＝，∴．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12．（5分）已知四面体ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，H是BD的中点，CH⊥BD，则四面体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【分析】四面体ABCD的外接球为球O，连接OH，OA，设球的半径为R，则R2﹣OH2＝1，在△AHO中，由余弦定理求出R，然后由球的表面积公式求解即可．【解答】解：如图，四面体ABCD的外接球为球O，OA，因为∠BCD＝90°，则BD为△BDC所在小圆的直径，又因为∠BAD＝60°，且AB＝AD＝2，又H是BD的中点，所以，又因为∠AHC＝120°，则∠AHO＝150°或30°，设球的半径为R，则R2﹣OH2＝1，在△AHO中，由余弦定理可知，，则（不合题意，又，则，则，解得，所以球的表面积为．故选：D．【点评】本题考查了空间多面体的外接球问题，球的表面积公式的应用，求解多面体的外接球半径的常用方法为：①补形法；②利用球的性质；③定义法，考查了逻辑推理能力、空间想象能力、化简运算能力，属于中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设x，y满足约束条件则的最大值为3．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内动点与定点A（1，3）连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件画出可行域如图阴影部分所示，的几何意义为可行域内动点与定点A（6，3）连线的斜率，由图可知，点O（0，5）连线斜率最大．故答案为：3．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14．（5分）已知向量，，若，则的最小值为﹣1．【分析】设，根据平面向量数量积的坐标运算法则，推出（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1，再结合圆的标准方程，即可得解．【解答】解：设，由•＝02＝7，整理得（x﹣3）2+（y﹣3）2＝1，所以点（x，y）的轨迹是以M（7，1为半径的圆，而|OM|＝＝，所以|≥，所以|的最小值为．故答案为：﹣8．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量数量积的坐标运算法则，以及圆的标准方程是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．15．（5分）曲线f（x）＝e x﹣xlnx+2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为．【分析】先利用导数求出切线方程，然后分别求出切线与x，y轴的交点，利用面积公式即可求出结果．【解答】解析：因为f'（x）＝e x﹣lnx﹣1，所以f'（1）＝e﹣1，故曲线y＝f（x）在x＝7处的切线方程为y﹣（e+2）＝（e﹣1）（x﹣4），解得切线分别交两坐标轴于点A（0，3），，所以．故答案为：．【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，属于基础题．16．（5分）设正项数列{a n}，已知，记b n＝log2a2n﹣1+log2a2n，则数列{（﹣1）n b n}的前10项和为10．【分析】由递推关系式可得数列{a n}的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，从而可得，，进而求出b n，计算可求得数列{（﹣1）n b n}的前10项和．【解答】解：∵，∴当n＞8时，．两式相除可得a n+1＝2a n﹣3，∴数列{a n}的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，∴，，∴，则，则{（﹣1）n b n}的前10项和S10＝﹣1+5﹣5+7﹣4+11﹣13+15﹣17+19＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．（12分）开学初学校进行了一次摸底考试，物理老师为了了解自己所教的班级参加本次考试的物理成绩的情况，从参考的本班同学中随机抽取n名学生的物理成绩（满分100分），将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的学生中成绩在[50（1）求n的值，并估计本班参考学生的平均成绩；（2）已知抽取的n名参考学生中，在[90，100]的人中，现从[90，100]的人中随机抽取2人参加物理竞赛【分析】（1）根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，以及平均数公式，即可求解．（2）根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．【解答】解：（1）由频率分布直方图知，成绩在[50，因为成绩在[50，60）内的频数为3，所以抽取的样本容量，所以参考学生的平均成绩为55×0.075+65×0.3+75×0.4+85×8.125+95×0.1＝73.75（分）．（2）由频率分布直方图知，抽取的学生中成绩在[90，因为有甲、乙两名女生，用A，B表示两名男生，甲A，乙A，AB，其中女学生甲被抽到的情况共2种，所以随机抽取2人参加物理竞赛，其中女学生甲被抽到的概率为．【点评】本题主要考查了频率分布直方图的性质，以及古典概型的概率公式，属于基础题．18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a（1+cos B）（2﹣cos A）．（1）求角B的最大值；（2）若B取（1）中最大值，a＞1，，求a的值．【分析】（1）利用余弦定理化简已知等式可得2b＝a+c，进而根据余弦定理，基本不等式可求cos B≥，结合范围B∈（0，π），可求B的最大值．（2）由（1）及余弦定理可求，记△ABC的周长为l，利用基本不等式即可求解．【解答】解：（1）∵a（1+cos B）＝b（2﹣cos A），∴，∴2b＝a+c，∴＝．又∵a2+c4≥2ac，则，即．又∵B∈（0，π），∴B的最大值为．（2）由（1）可知，，则．又a＞1，∴．记△ABC的周长为l，则＝，当且仅当，即当或（不合题意，∴当△ABC的周长最小时，a的值为．【点评】本题主要考查了余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（12分）在如图所示的斜三棱柱中，AA1B1B是正方形，且点C1在平面AA1B1B上的投影恰是AB的中点H，M是B1C1的中点．（1）判断HM与平面CAA1C1的位置关系，并证明你的结论．（2）若，AB＝2，求三棱锥H﹣C1A1B1的体积．【分析】（1）根据题意，取C1A1的中点N，连接NM，AN，分析可得HM∥AN，由线面平行的判定定理可得结论；（2）因为三棱锥H﹣C1A1B1的体积等于三棱锥C1﹣HA1B1的体积，据此计算可得答案．【解答】解：（1）HM∥平面CAA1C1．证明如下：取C5A1的中点N，连接NM．因为点M是B1C2的中点，所以MN∥A1B1，且，又因为AA1B1B是正方形，所以AH∥A3B1，，所以AH∥MN，AH＝MN，所以四边形ANMH为平行四边形．所以HM∥AN．因为AN⊂平面CAA4C1，HM⊄平面CAA1C8，所以HM∥平面CAA1C1．（2）因为三棱锥H﹣C8A1B1的体积等于三棱锥C5﹣HA1B1的体积，所以．【点评】本题考查直线与平面平行的判断，涉及三棱锥的体积计算，属于基础题．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，|F1F2|＝2，离心率e为．（1）求椭圆C的标准方程．（2）C的左顶点为A，过右焦点F2的直线l交椭圆C于D，E两点，记直线l，AE的斜率分别为k，k1，k2，求证：．【分析】（1）由|F1F2|＝2，离心率e为求出a，c的值，再利用a2＝b2+c2求出b的值，从而得到椭圆C的标准方程．（2）由题意知，A（﹣2，0），F2（1，0），直线DE的解析式为y＝k（x﹣1），与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，代入k（k1+k2）＝，可得k（k1+k2）＝﹣1，又因为，所以．【解答】（1）解：因为|F1F2|＝5，所以c＝1．又因为离心率，所以a＝2，则，所以椭圆C的标准方程是．（2）证明：由题意知，A（﹣2，F6（1，0），则直线DE的解析式为y＝k（x﹣4），代入椭圆方程，得（6+4k2）x6﹣8k2x+5k2﹣12＝0．设D（x7，y1），E（x2，y6），则．所以＝＝＝，又因为，所以．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的计算能力，是中档题．21．（12分）已知f（x）＝e x﹣ax+b，a，b∈R．（1）若b＝2a，讨论f（x）的零点个数．（2）若f（x）≥1恒成立，求a+b的取值范围．【分析】（1）当b＝2a，求导，根据导数与函数单调性的关系及函数零点存在定理，即可判断函数f（x）的零点的个数；（2）根据题意，分类讨论，由f（x）≥1恒成立，则只需要f（x）min≥1，因此可求得a+b 的取值范围．【解答】解：（1）b＝2a，所以f（x）＝e x﹣ax+b＝e x﹣ax+2a，所以f'（x）＝e x﹣a．当a＝3时，f'（x）＝e x＞0，f（x）＝e x＞0，无零点，当a＜4时，f'（x）＞0恒成立，且f（1）＝e＞0，，由函数零点存在定理可在，f（x）只有1个零点．当a＞2时，令f'（x）＝e x﹣a＝0，解得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，函数f（x）单调递减，f（x）→+∞．当x∈（lna，+∞）时，函数f（x）单调递增，f（x）→+∞．所以f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna+2a＝4a﹣alna，若①3a﹣alna＞0，即6＜a＜e3时无零点，②3a﹣alna＝6，即a＝e3时有一个零点，③3a﹣alna＜2，即a＞e3时有两个零点．综上可知，当0≤a＜e6时，f（x）无零点；当a＜0或a＝e3时，f（x）有8个零点；当a＞e3时，f（x）有2个零点．（2）由（1）知当a＜6时，f（x）≥1不恒成立．当a＝0时，f（x）＝e x+b≥4恒成立，则b≥1，+∞）．当a＞0时，f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna+b，因为f（x）≥7恒成立，所以a﹣alna+b≥1．所以a+b≥1+alna．设h（a）＝4+alna（a＞0），则h'（a）＝1+lna．令h'（a）＝6，解得．当a变化时，h'（a）ah'（a）﹣3+h（a）↘↗此时a+b的取值范围为．所以a+b的取值范围为．【点评】本题考查导数的综合应用，利用导数判断函数的单调性与最值，函数零点的存在定理，函数零点个数的判断，考查分类讨论思想，属于难题．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度）1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数），两条曲线相交于A，B两点．（1）求A，B两点的直角坐标；（2）根据变换公式由曲线C1变换得到曲线C3，设点P是曲线C3上的一个动点，求△P AB的面积的最小值．【分析】（1）先化成普通方程，再联立求交点，（2）先根据变换求出C3，再求面积．【解答】解：（1）由ρ＝4cosθ，得ρ2＝8ρcosθ．又ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，所以x2+y2＝3x．由（t为参数），由解得或所以A（3，﹣2），0）或A（5，B（2．（2）由（1）知，根据变换公式由曲线C1变换得到曲线C3，则，即曲线C6的方程为．设点P（2cosφ，sinφ）＝＝（其中，），故当sin（α﹣φ）＝1时，d取得最小值，且，因此，当点P到直线AB的距离最小时，所以△P AB的面积的最小值为．【点评】本题考查方程转化，以及曲线变换，面积，属于难题．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝3﹣|x+a|﹣|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据题意可得，|x+1|+|x﹣1|≤3，两边同时平方，即可求解．（2）令x+a＝0，则x＝﹣a，令x﹣1＝0，则x＝1，若f（x）≤1恒成立，即|x+a|+|x﹣1|≥2恒成立，所以|1+a|≥2，解出a，即可求解．【解答】解：（1）当a＝1时，若f（x）≥0则|x+7|+|x﹣1|≤3，∵（x+2）2+（x﹣1）2+2|x+1||x﹣8|≤9，∴，即，解得，故不等式f（x）≥0的解集为．（2）令x+a＝7，则x＝﹣a，则x＝1，若f（x）≤1恒成立，即|x+a|+|x﹣8|≥2恒成立，所以|1+a|≥7，解得a≤﹣3或a≥1，故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣7]∪[1．+∞）【点评】本题考查了绝对值不等式的求解，以及函数恒成立问题，需要学生较强的综合能力，属于中档题．。
大庆铁人中学高三上学期期中考试数学 (文科) 试卷
大庆铁人中学高三上学期期中考试数学 (文科) 试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.sin600°的值是A.21B. -21C. 23D. -232.等差数列{}n a 中，11a =,3514a a +=，其前n 项和100n S =,则n =（ ）A.9B.10C.11D.123. 函数1y =04x ≤≤）的反函数是（ ）（A ）2(1)y x =-（13x ≤≤） （B ）2(1)y x =-（04x ≤≤）（C ）21y x =-（13x ≤≤） （D ）21y x =-（04x ≤≤ 4.若()x x f 2cos 3sin -=，则()=x f cos ( )（A ）3－cos2x （B ）3－sin2x （C ）3＋cos2x （D ）3＋sin2x 5. 要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只要将函数x y 2cos =的图象 （ ）A.向左平移3π个单位 B.向左平移125π个单位C.向右平移3π个单位 D.向右平移125π个单位6.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ） A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]37.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n n T S 、，已知37+=n nT S n n ，则55b a 等于（ ） A ． 7 B ．32 C ．827 D ．4218.设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，9.函数)2(log )(2+-=ax x x f a 在区间()+∞,1上恒为正值，则实数a 的取值范围是（ ）A.()2,1B.(]2,1C.()()2,11,0D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛25,1 10.若数列{}n a 的通项公式为)()43(3)43(7*122N n a n n n ∈-=--，则数列{}n a 的 ( )A.最大项为,5a 最小项为6aB. 最大项为,6a 最小项为7aC. 最大项为,1a 最小项为6aD. 最大项为,7a 最小项为6a11.设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）21312.设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为 （ ）（A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3}第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题：（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置） 13.已知数列{}n a 为等比数列，若S n ＝49，S n 2＝112，求S n 3= 。
2021届黑龙江省大庆市铁人中学高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)
2021届黑龙江省大庆市铁人中学高三上学期期中考试数学（文）试题一、单选题 1．复数21i-的共轭复数是（ ） A ．1i - B ．1i +C ．1i --D ．1i -+【答案】A【解析】根据复数的除法运算，先化简复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】 因为()()()2122211112i i i i i i ++===+--+， 所以其共轭复数为1i -. 故选：A. 【点睛】本题主要考查求复数的共轭复数，属于基础题型.2．已知集合2{|6}=0A x x x --≤，函数()=(1)f x ln x -的定义域为集合B ，则AB =（ ）A ．[21]-， B ．[21)-， C ．[1]3， D ．(13]，【答案】B【解析】利用一元二次不等式的解法求出集合A ，根据对数复合函数的定义域求法求出集合B ，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】解：∵{|23}A x x =-≤≤，=10{|}{|}1B x x x x >=<- ∴21[)AB ＝﹣，.故选：B . 【点睛】本题考查了集合的基本运算、一元二次不等式的解法、对数型复合函数的定义域，综合性比较强，属于基础题.3．已知等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】结合等比数列通项公式可求得q 的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由14a a <得：311a a q <，又10a >，31q ∴>，解得：1q >，243115a a q a q a ∴=<=，充分性成立；由35a a <得：2411a q a q <，又10a >，42q q ∴>，解得：1q >或1q <-， 当1q <-时，3410a a q =<，41a a ∴<，必要性不成立.∴“14a a <”是“35a a <”的充分不必要条件.故选：A . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到等比数列通项公式的应用，属于基础题. 4．函数()f x 是定义在[2,]m m -上的奇函数，当0x <时，()31x f x =-，则()f m 的值为（ ）. A ．2 B ．2- C ．23D ．23-【答案】C【解析】根据函数为奇函数可得20m m -+=，从而求出1m =，再由()=(1)=f m f ()()121313f ---=--=【详解】函数()f x 是定义在[2,]m m -上的奇函数， 则20m m -+=，解得：1m =，则()()12()=(1)=1313f m f f ---=--=.故选：C. 【点睛】本题考查了奇函数的性质，考查了基本运算求解能力，属于基础题.5．若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值. 【详解】作出约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得1122y x z =-，平移直线12y x =可知，当直线经过点()1,1C -时，直线的截距最小，代值计算可得z 取最大值()max 1213z =-⨯-= 故选B. 【点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．函数()111f x x =--的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】把函数1y x=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】 把1y x = 的图象向右平移一个单位得到11y x =-的图象， 把11y x =-的图象关于x 轴对称得到11y x =--的图象， 把11y x =--的图象向上平移一个单位得到()111f x x =--的图象，故选：B . 【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.7．已知65a =，0.216b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，375log 2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】利用指数函数单调性得到11651155⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，幂函数的单调性得到11551156⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而得到a ，b 的关系，再利用“1”与c 比较. 【详解】因为51110.2656111155665a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>>== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且10611155a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1a b >>，而337 7235log log17c=>=，所以c a b>>．故选：C．【点睛】本题主要考查指数式比较大小，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.8．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．1083cm B．1003cm C．933cm D．843cm【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长分别为6、6、3的长方体截去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．由此即可得出体积．【详解】由三视图可知，该几何体是一个棱长分别为6、6、3的长方体截去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角），∴该几何体的体积2116634310032V=⨯⨯-⨯⨯⨯=．故选：B．【点睛】本题主要考查由三视图求几何体的体积，属于常考题型.9．已知函数221,0()log,0x xf xx x⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a≤，则实数a的取值范围是（）A ．(4][2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．[4,0)(0,2]-D ．[4,2]-【答案】D【解析】分0a ≤，0a >两种情况进行讨论，结合绝对值不等式的求解以及对数函数的性质即可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：当0a ≤时，()211f a a =+-≤，解得40a -≤≤； 当0a >时，()22log 1log 2f a a =≤=，解得02a <≤； 综上所述，[]4,2a ∈-. 故选:D. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解，考查了对数不等式的求解，考查了分类的思想. 10．已知向量()1,m a =，()()21,30,0n b a b =->>，若1m n ⋅=，则12a b+的最小值为（ ）A ．7B ．72+C ．7+ D ．【答案】B【解析】先由向量数量积的坐标表示，得到312a b +=，再由321212a b a a b b ⎛⎫+⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝+⎭=展开后，根据基本不等式求解，即可得出最值. 【详解】因为向量()1,m a =，()()21,30,0n b a b =->>， 若1m n ⋅=，则2131b a -+=，即312a b +=，因此33377222221212a b a a ba ab b b ⎛⎫⎛⎫+=+=++++≥+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当3a bb a=，即b =时，等号成立； 故选：B.【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，考查向量数量积的坐标表示，属于基础题型.11．已知函数()()(0) ,2f x sin x πωϕωϕ=+><的部分图像如图所示，为了得到()2g x sin x =的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】A【解析】利用函数()f x 的图象求得,ωϕ的值，再利用左加右减的平移原则，得到()f x 向右平移6π个单位得()2g x sin x =的图象. 【详解】因为712344T πππ-==， 所以22T ππωω==⇒=. 因为7()112f π=-， 所以7322,122k k Z ππϕπ⋅+=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈， 因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以() 23f x sin x π⎛⎫⎪⎝=⎭+. 所以() 2() 2663f x sin x sin x g x πππ⎛⎫⎛⎪-=-+⎫==⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 的图象向右平移6π个单位 可得()2g x sin x =的图象. 故选A. 【点睛】本题考查利用函数的图象提取信息求,ωϕ的值、图象平移问题，考查数形结合思想的应用，求解时注意是由哪个函数平移到哪个函数，同时注意左右平移是针对自变量x 而言的.12．给出下面四个推理：①由“若a b 、是实数，则+≤+a b a b ”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则1212z z z z +≤+”；②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”．其中，推理得到的结论是正确的个数有（ ）个 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】分析：根据题意，利用类比推理的概念逐一判定，即可得到结论．详解：由题意，对于①中，根据复数的表示和复数的几何意义，可知“若复数12,z z ，则1212z z z z +≤+”是正确的；对于②中，根据平面与空间的类比推理可得：“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”是正确的； 对于③中，由球的体积公式为343V R π=，其表面积公式为24S R π=，所以V S '=，所以是正确的；对于④中，如在极坐标系中，点(1,0),(1,)2C D π，此时CD 的中点坐标为)24π，不满足“极坐标系中两点1122(,),(,)C D ρθρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”，所以不正确，综上，正确命题的个数为三个，故选C ．点睛：本题主要考查了命题的真假判定，以及类比推理的应用，其中熟记类比推理的概念和应用，以及命题的真假判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题，以及推理与论证能力．二、填空题13．已知a R ∈，命题“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题，则a 的取值范围为______. 【答案】()12,0-【解析】将条件转化为任意x ∈R ，230x ax a -->恒成立，此时有∆<0，从而解出实数a 的取值范围. 【详解】命题：“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题 即230x ax a -->恒成立，则∆<0， 即：2120a a ∆=+<，解得120a -<<， 故实数a 的取值范围为()12,0- 故答案为：()12,0- 【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，考查一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.14．曲线C :ln y x x =在点(),M e e 处的切线方程为_______________. 【答案】y=2x ﹣e【解析】'ln 1y x =+，'|ln 12x e y e ==+=，所以切线方程为2()y e x e -=-，化简得20x y e --=.15．若tan 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3cos 22πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________. 【答案】45【解析】根据题中条件，先得到tan 2θ=-，根据二倍公式，诱导公式，以及同角三角函数基本关系，将所求式子化简整理，即可得出结果. 【详解】 由tan 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得tan 131tan -=+θθ，解得tan 2θ=-，则22232sin cos 2tan 44cos 2sin 22sin cos tan 1415⎛⎫-=-=-=-==⎪+++⎝⎭πθθθθθθθθ， 故答案为：45. 【点睛】本题主要考查由三角函数值求三角函数值，涉及诱导公式，二倍角公式，以及同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.16．已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()1f x +是奇函数，当1122x -≤≤时，()2f x x =，则方程()12f x =-在区间[]3,5-内的所有零点之和为_____________. 【答案】4【解析】由已知可得函数()f x 的图象关于点()1,0对称，由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得函数()f x 的周期为2，且图象关于直线12x =对称，从而画出函数的图像，结合图像可得出结果 【详解】 ∵函数()1f x +是奇函数，∴函数()1f x +的图象关于点()0,0对称， ∴把函数()1f x +的图象向右平移1个单位可得函数()f x 的图象，即函数()f x 的图象关于点()1,0对称， 则()()2f x f x -=-，又∵1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()()1f x f x -=，从而()()21f x f x -=--， ∴()()1f x f x +=-，即()()()21f x f x f x +=-+=，∴函数()f x 的周期为2，且图象关于直线12x =对称， 画出函数()f x 的图象如图所示：∴结合图象可得()12f x =-区间[]3,5-内有8个零点，且所有零点之和为12442⨯⨯=. 故答案为：4. 【点睛】此题考查函数的奇偶性和周期性，考查函数与方程，考查数形结合思想，属于中档题.三、解答题17．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足21322n S n n =+. （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）1n a n =+；（2）1122n T n =-+. 【解析】(1)根据知n S 求n a 公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，即可求出n a ；(2)利用裂项相消法，即可求出n T . 【详解】(1)当2n ≥时，2211313(1)(1)2222n n n a S S n n n n -=-=+---- 22131133222222n n n n n =+-+--+1n =+， 当1n =时，1113222a S ==+=也适合上式，所以{}n a 的通项公式1n a n =+. (2)因为11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++，所以12233411111n n n T a a a a a a a a +=++++1111111123344512n n =-+-+-++-++ 1122n =-+ 【点睛】本题主要考查了已知n S 求n a 及裂项相消法求和，属于基础题. 18．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足1cos 2a b c B +=⋅. （1）求角C ;（2）若2,3a b ==，求ABC 外接圆的半径.【答案】（1）23C π=；（2【解析】(1)利用正弦定理边化角公式可得sin si c 1n sin os 2A B C B +=,再将()sin sin A C B =+整理可得1cos 2C =-2,3C π= (2)根据余弦定理可得c =再根据正弦定理求出2sin cR C=,即可得R 【详解】解:(1)由正弦定理知sin si c 1n sin os 2A B C B += 有sin cos cos s i 1in sin s n cos 2B C B C B C B ++=，且sin 0,(0,)B C π≠∈所以1cos 2C =-2,3C π=(2)2222cos 19,c ab ab Cc ==+=-所以2sin c R R C ====【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用,属于基础题.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =-，55S =，数列{}n b 的前n 项和为122n +-.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）25=-n a n ，2n n b =（*n N ∈）；（2）114(27)2n n ++-.【解析】（1）先设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件求出公差，即可得出{}n a 的通项公式；根据题意，记{}n b 的前n 项和122n n G +=-，由1n n n b G G -=-，即可求出数列{}n b 的通项公式；（2）根据（1）的结果，由错位相减法，即可求出数列的和. 【详解】（1）先设等差数列{}n a 的公差为d ， 由55S =得1545+52a d ⨯=，即121a d +=， 又∵13a =-，解得2d =，所以1(1)3(1)225n a a n d n n =+-=-+-⨯=-；由题意，记{}n b 的前n 项和122n n G +=-， ∴1n=时，21222b =-=，2n ≥时，1122222n n nn n n b G G +-=-=--+=； ∴2nn b =（*n ∈N ）；（2）由（1）可得，()252nn n n c a b n ==-⋅，则12312(3)2(1)212(25)2n n n T c c c n =+++=-⋅+-⋅+⋅++-⋅，所以23412(3)2(1)212(25)2n n T n +=-⋅+-⋅+⋅++-⋅，因此2n T -34116222(25)2n n n T n ++=-++++--⋅，即131211262(25)2682(25)212n n n n n T n n -+++--=-+--⋅=--+⋅⨯---114(27)2n n +=---⋅，所以114(27)2n n T n +=+-.【点睛】本题主要考查求等差数列与等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和，属于常考题型.20．已知函数()2cos 2sin 1f x x x x =+-．（1）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）若()23fα=-，且0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，求cos2α的值．【答案】（1）[]1,2-；（2． 【解析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数转化()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的性质求解. （2）由2()3f α=-，得到1sin 2063πα⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，再根据52666πππα-≤-≤，利用平分关系得到cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后由cos 2cos 266ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和的余弦公式求解. 【详解】（1）2()cos 2sin 1f x x x x =+-，2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以52666x πππ-≤-≤， 所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭． 故()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是[1,2]-． （2）由2()3f α=-，知1sin 2063πα⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，又因为52666πππα-≤-≤，所以cos 263πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 故cos 2cos sin 2sin cos 2co 6666s 266ππππππαααα⎛⎫⎛⎫=-⎡⎤⎛⎫=-+⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎭⎝11332⎛⎫=--⨯=⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查二倍角公式，辅助角公式以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．已知点(A 是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>上的一点，椭圆C 的离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数，直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，且A ，B ，D 三点互不重合.（1）求椭圆C 的方程；（2）若1k ，2k ，分别为直线AB ，AD 的斜率，求证：12k k +为定值.【答案】（1）22142y x +=；（2）证明见解析.【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，根据题中条件，得出椭圆的离心率2c e a ==，再由点(A 代入椭圆方程，根据222+=a b c ，即可求出,,a b c ，从而可得椭圆方程；（2）设直线BD 的方程为y m =+，根据题意得0m ≠，设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，结合斜率计算公式，直接计算12k k +，即可得出结果. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由双曲线方程221x y -=则椭圆的离心率2c e a ==，将(A 代入22221y x a b+=，得22211a b += ，又222+=a b c，解得2a b c =⎧⎪⎨==⎪⎩所以椭圆C 的方程22142y x +=； （2）证明：设直线BD的方程为y m =+，又A ，B ，D 三点不重合，∴0m ≠， 设()11,B x y ，()22,D x y ，则由22142y my x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y，整理得22440x m ++-= ，所以12x x +=，21244m x x -=，28640m ∆=-+>，则m -<，设直线AB ，AD 的斜率分别为1k ，2k ，则12121212121111y y m m k k x x x x +++=+=+----()21212122201m m x x x x x x ++-=====--+所以120k k +=，即直线AB ，AD 的斜率之和为定值. 【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，考查椭圆中的定值问题，涉及双曲线的离心率，属于常考题型.22．已知函数()(2)(2)xf x ax e e a =---. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1x >时，()0f x >，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析;（2）[1)+∞，. 【解析】试题分析：（1）先求导数，再讨论2ax a -+符号，根据符号确定对应单调性，（2）由于()10f =，所以1得右侧附近函数单调递增，再结合（1）可得0a >且21aa-≤，即得a 的取值范围. 试题解析：解：（1）()()2xf x ax a e =-+'，当0a =时，()20xf x e '=-<，∴()f x 在R 上单调递减.当0a >时，令()0f x '<，得2a x a -<；令()0f x '>，得2ax a->. ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 当0a <时，令()0f x '<，得2a x a ->；令()0f x '>，得2ax a-<. ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）当0a =时，()f x 在()1,+∞上单调递减，∴()()10f x f <=，不合题意. 当0a <时，()()()()22222222220f a e e a a e e e e =---=--+<，不合题意.当1a ≥时，()()20xf x ax a e '=-+>，()f x 在()1,+∞上单调递增，∴()()10f x f >=，故1a ≥满足题意. 当01a <<时，()f x 在21,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，∴()()min210a f x f f a -⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，故01a <<不满足题意. 综上，a 的取值范围为[)1,+∞.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。
黑龙江省大庆中学2021届高三上学期期中考试数学(文)试题Word版含答案
绝密★启用前黑龙江省大庆中学2021届高三上学期期中考试数学（文）试题总分：150 时间：120分钟注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设i 是虚数单位,若复数,则复数z 的模为( ) A. 1B. C.D.2. 设集合,集合,则等于A.B.C.D.3. 设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12C ．32D ．524. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据单位：件,若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为A. 3,5B. 5,5C. 3,7D. 5,75. 不等式成立的一个必要不充分条件是( )A. B.或C.D.或6. 已知直线a ,b 和平面,下列四个说法 ,,则；,,则a 与b 不平行； 若,,则；,,则．其中说法正确的是( )A.B. C. D.7.等比数列的各项均为正数,且,则A. 12B. 10C. 8D.8.函数的部分图象如图所示,则( )A. B.C. D.9.若直线被圆截得弦长为4,则的最小值是A. 9B. 4C.D.10.若函数的导函数的图象如图所示,则的图象可能( )A. B.C. D.11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为、若双曲线C上存在一点P,使得为等腰三角形,且,则双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D. 312.已知函数,若关于x的方程恰有3个不同的实数解,则实数m的取值范围是( )A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x,y满足约束条件,则的最大值为______．14.函数的最大值是______．15.如图,在正方体中,E,F分别是,DC的中点,则异面直线与EF所成角的大小为_______．16.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB、直角边AC,的三边所围成的区域若,过点A作于D,当面积最大时,黑色区域的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）（一）必考题：共60分17.如图,已知面ABCD,四边形ABEF为矩形,四边形ABCD为直角梯形,,,,．求证：面BCE；求三棱锥的体积．18.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,．求c；设D为BC边上一点,且,求的面积．19.某高校共有学生15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据单位：小时．Ⅰ应收集多少位女生的样本数据？Ⅱ根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图所示,其中样本数据的分组区间为：,,,,,,估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；Ⅲ在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”附：．20.已知,椭圆的离心率,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点．求椭圆的方程；设过点A的动直线l与椭圆E相交于P,Q两点,当的面积最大时,求直线l的方程．21.已知函数是自然对数的底数．求证：；若不等式在上恒成立,求正数a的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答。
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2021年黑龙江省大庆铁人中学高三第一阶段考试文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{0,1,2}A =，2{|320}B x x x =-+≤，则A B =（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,2}2．设:|43|1P x -≤；2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，若┑p 是┑q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1[0,]2 B ．1(0,)2 C ．1(,0][,)2-∞+∞ D ．1(,0)(,)2-∞+∞ 3．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A．B ．C ．4D ．24．角α的终边过点(1,2)P -，则sin α等于（ ）A．5 B ．5 C．5-．5- 5．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-6．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A ．3B ．2C ．-2D ．-37．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．53-或53B ．35或32C ．23-或23D ．43-或34-8．若函数2)1(log )(223++++=x x b ax x f 在)0,(-∞上有最小值－5，（a ，b 为常数），则函数)(x f 在),0(+∞上（ ）A ．有最大值9B ．有最小值5C ．有最大值3D ．有最大值59．已知函数2()3f x x ax b =++- （x ∈R ）图象恒过点（2,0），则22a b +的最小值为（ ）A ．5B ．15 C ．4 D ．1410．已知函数2()f x ax bx c =++，且a b c >>，0a b c ++=，集合{|()0}A x f x =<，则下列结论中正确的是（ ） A ．任意x A ∈，都有(3)0f x +> B ．任意x A ∈，都有(3)0f x +< C ．存在x A ∈，都有(3)0f x +=D ．存在x A ∈，都有(3)0f x +<11．设函数()(sin cos )x f x e x x =-(02015)x π≤≤，则函数()f x 的各极大值之和为（ ）A ．220152(1)1e e e πππ--B ．22015(1)1e e e πππ-- C ．2015211e e ππ-- D ．20162(1)1e e e πππ--12．当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9[6,]8-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- [来二、填空题13．已知2,2()(2),2x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则2(log 7)f =________．14．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，并且1(2)()f x f x +=-，当23x ≤≤时，()f x x =，则(105.5)f =______．15．设1<x<2，则ln x x ，（ln x x）2，22ln x x 的大小关系是__________________．（用“<”连接）16．已知()xf x xe =，2()(1)g x x a =-++，若12,x x R ∃∈，使得21()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是____________．三、解答题17．（本小题满分12分）已知ABC ∆中, 角C B A ,,对边分别为c b a ,,,已知3,2π==C c ．（1）若ABC ∆的面积等于3,求b a ,（2）若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+,求ABC ∆的面积．[来源18．（本小题满分12分）关于x 的二次方程2(1)10x m x +-+=在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．19．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，4AB =，2BC CD ==，12AA =，1,,E E F 分别是棱1,,AD AA AB 的中点．（1）证明：直线1//EE 平面1FCC ； （2）求二面角1B FC C --的余弦值．20．（本小题满分12分）抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．（1）若2AF FB =，求直线AB 的斜率；（2）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．21．（本小题满分12分）已知曲线2()(1)ln (,)y f x a x b x a b R ==-+∈在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1．（1）若函数f （x ）的图象在[)2,+∞上为减函数，求a 的取值范围； （2）当[)1,x ∈+∞时，不等式()1f x x ≤-恒成立，求a 的取值范围． 22．（本小题满分12分）设函数()2()1.x f x x e ax =--（1）若1,2a =求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围．参考答案1．D 【解析】分析:先化简集合B,再求A∩B 得解.详解：由题得{|12}B x x =≤≤，所以{}1,2A B ⋂=.故答案为D点睛：本题主要考查集合和集合的交集运算，意在考查学生集合基础知识的掌握能力.要注意集合A 和集合B 的交集是有限集，不要写成了不等式. 2．A 【解析】试题分析：∵:|43|1P x -≤，∴1:12P x ≤≤，∴1:12P x x ⌝><或；∵2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，∴:1q a x a ≤≤+，∴:1q x a x a ⌝>+<或，又∵┑p 是┑q 的必要不充分条件，即q p ⌝⇒⌝，而p ⌝推不出q ⌝，∴1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，∴102a ≤≤． 考点：命题的否定、必要条件、充分条件、充要条件的判断． 3．C 【分析】首先解方程确定积分上限和积分下限，然后利用定积分可得封闭图形的面积. 【详解】解方程34x x =可得：1232,0,2x x x =-==，求解第一象限内围成的封闭图形的面积，则积分上限为2，积分下限为0， 利用定积分求解面积的方法可得所求面积的值为：()2324200142|8444S x x dx x x ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰.故选C . 【点睛】本题主要考查定积分的应用，利用定积分求解封闭图形的面积的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．B 【解析】试题分析：∵角α的终边过点(1,2)P -，∴||5r OP ==，∴25sin 55α==． 考点：任意角的三角函数的定义． 5．A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 6．B 【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域如图：则(2,0),(1,1)A B ，若z ax y =+过A 时取得最大值为4，则24a =，解得2a =，此时目标函数2z x y =+，即2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，当直线经过(2,0)A 时，截距最大，此时z 最大为4，满足条件，若z ax y =+过B 时取得最大值为4，则14a +=，解得3a =，此时，目标函数为3z x y =+，即3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，当直线经过(2,0)A 时，截距最大，此时z 最大为-6，不满足条件，故2a =． 考点：线性规划． 7．D 【详解】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3-，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线方程为：()32y k x +=-，即：230kx y k ---=. 又因为光线与圆相切，()()22321x y ++-=2322311k k k ----=+,整理：21225120k k ++=，解得：43k =-，或34k =-,故选D ．考点：1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系. 8．A 【解析】试题分析：令322()log (1)g x ax b x x =++，其定义域为R ，又322()()log (()1)g x a x b x x -=-+--+322[log (1)]()ax b x x g x =-++=-，∴函数()g x 是奇函数，根据题意，2)1(log )(223++++=x x b ax x f 在)0,(-∞上有最小值－5，∴函数()g x 在)0,(-∞上有最小值-7，由函数()g x 在(0,)+∞上有最大值7，∴()()2f x g x =+在(0,)+∞上有最大值9．考点：函数的奇偶性、函数的最值．9．B 【解析】试题分析：把(2,0)代入二次函数解析式中得：4230a b ++-=，即21a b +=-，解得：12b a =--，则22222221(12)5415()55a b a a a a a +=+--=++=++，∴当21,55a b =-=-时，22a b +的最小值为15．考点：配方法求函数的最值． 10．A 【分析】由题意可得 0a >，且0c <，122c a -<<-，1x =为()f x 的一个零点，再由根与系数的关系可得，另一零点为c a．可得{|1}cA x x a =<<，31x +>，有(3)0f x +>恒成立，从而得出结论． 【详解】 解：函数2()f x ax bx c =++，且a b c >>，0a b c ++=，故有0a >，且0c <，02a a c a c ∴<++=+，即2ca>-，且02a c c a c >++=+， 即12c a <-，因此有122c a -<<-， 又(1)0f a b c =++=，故1x =为()f x 的一个零点， 由根与系数的关系可得，另一零点为0c a<，所以有：{|1}cA x x a =<<，所以，331cx a+>+>，所以有(3)0f x +>恒成立， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题． 11．D 【解析】 试题分析：∵函数()(sin cos )x f x e x x =-，∴'''()()(sin cos )(sin cos )2sin x x x f x e x x e x x e x =-+-=，∴(2,2)x k k πππ∈+时原函数递增，(2,22)x k k ππππ∈++时，函数递减，故当2x k ππ=+时，()f x 取极大值，其极大值为22(2)[sin(2)cos(2)]k k f k e k k e ππππππππππ+++=+-+=，又02015x π≤≤，∴函数()f x 的各极大值之和为21008201635201522(1())(1)11e e e e S e e e ee eππππππππππ--=++++==--． 考点：利用导数研究函数的单调性、函数的极值、等比数列的前n 项和公式． 12．C 【解析】试题分析：当0x =时，不等式32430ax x x -++≥对任意a R ∈恒成立； 当01x <≤时，32430ax x x -++≥可化为23143a x x x ≥--，令23143()f x x x x=--，则'2344189(9)(1)()+=x x f x x x x x-+=-+-（*），当01x <≤时，'()0f x >，()f x 在(0,1]上单调递增，max ()(1)6f x f ==-，∴6a ≥-； 当20x -≤<时，32430ax x x -++≥可化为23143a x x x ≤--，由（*）式可知，当21x -≤<-时，'()0f x <，()f x 单调递减，当10x -<<时，'()0f x >，()f x 单调递增，min ()(1)2f x f =-=-， ∴2a ≤-；综上所述，实数a 的取值范围是62a -≤≤-． 考点：函数恒成立问题、不等式的解法． 13．74【解析】试题分析：27log 422277(log 7)(log 72)(log )244f f f =-===．考点：分段函数的函数值．14．2．5 【解析】试题分析：∵1(2)()f x f x +=-，∴1(4)()(2)f x f x f x +=-=+，∴函数是周期为4的周期函数，∴(105.5)(426 1.5)(1.5)f f f =⨯+=，又(1.5)(1.54)( 2.5)f f f =-=-，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，∴( 2.5)(2.5)f f -=，∵当23x ≤≤时，()f x x =，∴(2.5) 2.5f =，则(105.5)(2.5) 2.5f f ==． 考点：函数的周期性、奇偶性．15．222ln ln ln x x x x x x <<⎪⎭⎫⎝⎛ 【解析】试题分析:令x x y ln =，则2ln 1x xy -='；∵21<<x ，∴1ln 2ln ln 1ln 0=<<<=e x ，∴0ln 1>-x ，∴0>'y ，∴x x y ln =在()2,1上为增函数，∴12122ln ln 11ln 0<<<<=x x ，∴x xx x ln ln 2<⎪⎭⎫ ⎝⎛，∵()2222ln 2ln ln 2ln ln x x x x x x x x x x x -=-=-，∵21<<x ，∴02>-x ，1ln 0<<x ，∴0ln ln 22>-x x x x ，即xxx x ln ln 22>，综上所述：答案为222ln ln ln x x x x x x <<⎪⎭⎫⎝⎛. 考点：不等式比较大小. 16．1[,)e-+∞ 【解析】试题分析：12,x x R ∃∈，使得21()()f x g x ≤成立，等价于min max ()()f x g x ≤，'()(1)x x x f x e xe x e =+=+，当1x <-时，'()0f x <，()f x 递减，当1x >-时，'()0f x >，()f x 递增，∴当1x =-时，()f x 取得最小值，min 1()(1)f x f e =-=-；当1x =-时，()g x 取得最大值为max ()(1)g x g a =-=，∴1a e -≤，即实数a 的取值范围是1a e≥-． 考点：利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值．17．（1）2,2a b ==；（2）S =【解析】试题分析：本题主要考查余弦定理、三角形面积公式、两角和与差的正弦公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-的式子，代入题中的数据化简得224ab a b =+-，而ABC ∆的面积等于1sin 2ab C =4ab =，两式联立解方程组得出a 和b 的值；第二问，先利用两角和与差的正弦公式将已知表达式展开，合并同类项，得出cos (sin 2sin )0A B A -=，得到cos 0A =或sin 2sin 0B A -=，分别解方程得出边长和角的值，再求三角形的面积．试题解析：（1）∵2222cos c a b ab C =+-，3,2π==C c ，∴224ab a b =+-，①∵ABC ∆的面积等于3,∴1sin 2S ab C ∆==，∴4ab =，②， ∴①②结合解得：2,2a b ==．（2）∵A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，∴cos (sin 2sin )0A B A -=，∴cos 0A =或sin 2sin 0B A -=，∴090A =或2b a =，当090A =时，b =，S =当2b a =且224ab a b =+-时，243a =，∴S =∴3S =．考点：余弦定理、三角形面积公式、两角和与差的正弦公式．18．(,1]-∞-【解析】试题分析：本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．先对关于x 的一元二次方程2(1)10x m x +-+=在区间[0,2]上有解分有一解和两解两种情况进行讨论，再对每一种情况分别求对应的m 的取值范围，最后综合即可．试题解析：解法一 设2()(1)1f x x m x =+-+，[0,2]x ∈，①若()0f x =在区间[0,2]上有一解，∵(0)10f =>，则应有(2)0f <，又∵2(2)2(1)21f m =+-⨯+，∴32m <-． ②若()0f x =在区间[0,2]上有两解，则 01022(2)0m f ∆≥⎧⎪-⎪<-<⎨⎪≥⎪⎩，∴2(1)40314(1)210m m m ⎧--≥⎪-<<⎨⎪+-⨯+≥⎩，∴313132m m m m ⎧⎪≥≤-⎪-<<⎨⎪⎪≥-⎩或，∴312m -≤≤-． 由①②可知m 的取值范围是(,1]-∞-．方法二 显然0x =不是方程2(1)10x m x +-+=的解， 02x <≤时，方程可变形为11m x x -=+，又∵1y x x =+在(0,1]上单调递减，[1,2]上单调递增， ∴1y x x=+在(0,2]的取值范围是[2,)+∞，∴12m -≥，∴1m ≤-， 故m 的取值范围是(,1]-∞-．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．19．（1）证明详见解析；（2． 【解析】试题分析：本题主要考查直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定、二面角的求法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力．第一问，主要借助辅助线在1FCC 平面构造出与1EE 平行的直线，借助AD 构造对称的1C F 与1EE ，证明出线面平行；第二问，二面角的求解分为两步：首先通过已知的线线垂直，证明线面垂直，从而证明出BGH ∠为所求二面角的平面角，再在三角形中解出BGH ∠的余弦值．试题解析：（1）证：取11A B 的中点1F ，连接1FF ，11C F ，由于111////FF BB CC ，所以1F ∈平面1FCC ，因此平面1FCC ，即为平面11C CFF ， 连接1A D ，1F C ，由于1111////A F D C CD ，所以四边形11A DCF 为平行四边形，因此11//A D F C ．又11//EE A D ，得11//EE F C ，而1EE ⊄平面1FCC ，1F C ⊂平面1FCC ，故1//EE 平面1FCC ．（2）取FC 的中点H ，由于FC BC FB ==，所以BH FC ⊥．又1BH CC ⊥，所以BH ⊥平面1FCC ． 过H 作1HG C F ⊥于G ，连接BG ．由于1HG C F ⊥，BH ⊥平面1FCC ，所以1C F BHG ⊥面，因此1BG C F ⊥，所以BGH ∠为所求二面角的平面角，在Rt BHG ∆中，3BH =，又FH ＝1，且1FCC ∆为等腰直角三角形，所以22HG =，114322BG =+=，因此272cos 714GH BGH BG ∠===，即所求二面角的余弦值为77．考点：直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定、二面角的求法．20．（1）22±；（2）面积最小值是4．【解析】试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，依题意F （1,0），设直线AB 的方程为1x my =+．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，得2440y my --=，由此能够求出直线AB 的斜率；第二问，由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2AOB S ∆，由此能求出四边形OACB 的面积的最小值．试题解析：（1）依题意知F （1,0），设直线AB 的方程为1x my =+．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得2440y my --=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以124y y m +=，124y y =-．①因为2AF FB =，所以122y y =-．②联立①和②，消去12,y y ，得24m =±． 所以直线AB 的斜率是22±（2）由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2AOB S ∆． 因为22121212122||||()4412AOB S OF y y y y y y m ∆=⨯⋅⋅-=+-=+，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4．考点：抛物线的标准方程及其几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率．21．（1）1,4a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦；（2）(],0-∞． 【解析】试题分析：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的极值和最值、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，对()f x 求导，根据函数的单调性将函数f （x ）的图象在[)2,+∞上为减函数，转化为'()0f x ≤在[)2,+∞上恒成立，转化为'()f x 的最大值小于等于0成立即可；第二问，当[)1,x ∈+∞时，不等式()1f x x ≤-恒成立，转化为构造()()1g x f x x =-+在[)1,+∞上恒有()0g x ≤，再利用分类讨论的方法，利用()g x 最大值问题求解即可．试题解析：（1）因为'()2ax 2a b f x x =-+，由题可知'(1)1f b ==2()(1)ln f x a x x =-+，2'1221(x)2ax 2a ax ax f x x -+=-+=，2min 1112,,24a a x x ⎛⎫⎛⎤≤-=-∈-∞- ⎪ ⎥-⎝⎭⎝⎦ （2）令()()[)'2111()()1,()2ax 2a 1,1,ax x g x f x x g x x x x --=-+=-+-=∈+∞ 当20a ≤，即0a ≤，'()0g x ≤，()g x 在[)1,+∞上递减，则≤g(x)g(1)=0,符合． 当112a≤0<时，'()0,g(x)g x ≥在[)1,+∞递增，()(1)0g x g >=，矛盾， 当112a >时，111,a +>且11g(1)ln(1)0a a +=+>，矛盾， 综上a 的取值范围是(],0-∞．考点：利用导数求闭区间上函数的极值和最值、利用导数研究函数的单调性．22．（1）在(),1-∞-，()0,+∞单调增加，在（-1，0）单调递减；（2）(],1-∞．【解析】试题分析：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的极值和最值、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先对()f x 求导，再利用'()0f x >和'()0f x <判断函数的单调性；第二问，()(1)a f x x x ax =--，构造函数()1a g x x ax =--，分类讨论，先利用导数判断确定函数()g x 的单调性，再确定函数()g x 的正负，从而求出函数()f x 的正负，即可得到a 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）12a =时，21()(1)2x f x x e x =--， '()1(1)(1)x x x f x e xe x e x =-+-=-+。