新课程新教材高中数学选择性必修3：椭圆及其标准方程(第一课时)
【高中数学】3.1.1 椭圆及其标准方程(分层练习)高二数学新教材配套练习(人教A版选择性必修
3.1.1 椭圆及其标准方程
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1．已知点M是平面α内的动点，F1，F2是平面α内的两个定点，则“点M到点F1，F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知椭圆x225＋y2m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m的值为( )
A．9 B．4 C．3 D．2
3．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F (3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A.x245＋y236＝1 B.x236＋y227＝1
C.x227＋y218＝1 D.x218＋y29＝1
4．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线
5．设F1，F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则∶F1PF2的面积等于
( )
A．5 B．4 C．3 D．1
6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________．
7．已知经过椭圆x225＋y216＝1右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为左焦点，则∶ABF1的周长为________．
8．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
3.1.1 椭圆及其标准方程-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册同步练习
椭圆及其标准方程同步练习
一、选择题
1.
若方程𝑥2𝑚+𝑦24−𝑚=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )
A. 𝑚<2 B. 0<𝑚<2 C. 2<𝑚<4 D. 𝑚>2
2. 若过椭圆𝑥24+𝑦22=1内一点𝑃(1,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为( )
A. 𝑥−2𝑦+1=0 B. 𝑥−2𝑦−3=0 C. 𝑥+2𝑦−3=0 D. 𝑥+2𝑦+3=0
3. 如图𝐹1，𝐹2是双曲线𝐶1：𝑥2−𝑦28=1与椭圆𝐶2的公共焦点，点A是𝐶1，𝐶2在第一象限内的公共点，若|𝐹1𝐹2|=|𝐹1𝐴|，则𝐶2的离心率是( )
A. 23 B. 45 C. 35 D. 25
4. 若椭圆𝑥29+𝑦2𝑚+9=1的离心率是12，则m的值等于( )
A. −94 B. 14 C. −94或3 D. 14或3
5. 已知𝐹1，𝐹2分别是椭圆𝑥216+𝑦29=1的左、右焦点，过点𝐹2的直线交椭圆于A，B两点．在△𝐴𝐹1𝐵中，若有两边之和是10，则第三边的长为 ( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
6. 已知𝐹1，𝐹2为椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点，B为椭圆C的短轴的一个端点，直线𝐵𝐹1与椭圆C的另一个交点为𝐴.若𝛥𝐵𝐴𝐹2为等腰三角形，则|𝐴𝐹1||𝐴𝐹2|=( )
A. 13 B. 12 C. 23 D. 3
7. 过椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左焦点F的直线过C的上端点B，且与椭圆相交于点A，若𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =3𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ,则C的离心率为( )
A. 13 B. √33 C. √32 D. √22
8. 若椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1的右焦点坐标是(1,0)，长轴长是4，则椭圆的标准方程为( )
2019人教A版数学新教材选择性必修第一册第三章的第一节 椭圆及其标准方程
1 《椭圆及其标准方程》教学设计
【设计理念】
以单元整体性作为新的设计理念，把三种圆锥曲线在第一节课全部展示，在教学过程中重点强调了坐标法对于研究圆锥曲线的重要作用。充分利用各种学习资源（包括文字教材、音像资料、多媒体课件、软件工具以及从Internet上获取的各种教学信息等等），通过 “情境创设”、“协作学习”、“小组研讨”，逐步体会椭圆及其标准方程的获得过程，培养学生的数学审美素养、数学运算素养和数形结合素养。介绍坐标法和机械数学的发展历程和世界及中国的著名数学家吴文俊的“吴方法”，激励同学们学习的斗志，学习榜样的力量，了解数学历史和文化。
高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，让学生体会蕴涵在其中的思想方法。在“椭圆及其标准方程”的引入与推导中，遵循学生的认识规律，通过动手实践、观察思考、合作交流、应用反思等过程，让学生逐步将认识由感性上升到理性，把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学，努力揭示知识的发生、发展过程。
【教材分析】
解析几何是数学一个重要的分支，它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。平面解析几何问题，就是借助建立适当的坐标系，科学合理地把几何问题代数化，运用代数的方法来研究几何问题。
《椭圆及其标准方程》2019人教A版新教材选择性必修第一册第三章的第一节，是继学习圆以后运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例，从知识上说，本节课是对坐标法研究几何问题的又一次实际运用，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础，因此本节课起到了承上启下的重要作用．
【学情分析】
知识层面：在选择性必修第一册第二章里学生已经学习了直线和圆的方程，并初步熟悉了求曲线方程的一般方法和步骤，具备主动探究椭圆知识的基础；根据日常生活中的经验，学生对椭圆有了一定的认识，但仍没有上升到成为“概念”的水平，将感性认识理性化将会是对他们的一个挑战；在初中阶段没有涉及过含两个字母、两个根式的方程化简问题；
3.1.1 椭圆及其标准方程备课笔记
3.1.1椭圆及其标准方程
本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《圆锥曲
线的方程》的第一节《椭圆》。以下是本节的课时安排：
第三章圆锥曲线的方程
课时内容3.1.1椭圆及其标准方程3.1.2椭圆的简单几何性质
所在位置教材第105页教材第109页新教材
内容
分析椭圆是生产生活中的常见曲线，教材在用细
绳画椭圆的过程中，体会椭圆的定义，感知
椭圆的形状，为选择适当的坐标系，建立椭
圆的标准方程、研究椭圆的几何性质做好铺
垫。通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握标
准方程中的a,b,c,e的几何意义及相互关
系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与
方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具
有的程序化、普适性特点。
核心素养培
养通过椭圆的标准方程的推导，培养数学运算
的核心素养；通过对椭圆的定义理解，培养
数学抽象的核心素养。通过椭圆的几何性质的研究，培养数学运算
的核心素养；通过直线与椭圆的位置关系的
判定，培养逻辑推理的核心素养。
教学主线椭圆的标准方程、几何性质
学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。本
章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。
1.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义，培养数学抽象的核心素养．
2.掌握椭圆的标准方程，培养数学运算的核心素养．
3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程，培养逻辑推理的核心素养.
重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程
难点：运用标准方程解决相关问题
（一）新知导入
椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那
么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。
探究
取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，
这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板
椭圆及其标准方程 教学设计-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
椭圆及其标准方程 教学设计
一、教学目标
1.知识目标：
（1）理解并掌握椭圆的定义和椭圆的标准方程；
（2）能运用“先定位，后定量”的方法求解椭圆的标准方程。
2.能力目标：
通过“先定位，后定量”求解方法，培养学生分析探索能力。
3.学科渗透：
通过椭圆标准方程的教学，提高学生对知识的综合运用能力。
二、教材分析
1.重点：椭圆的标准方程的求解方法。
2.难点：运用“先定位，后定量”求椭圆。
三、教学过程
（一）复习回顾
1.椭圆的定义
平面内与两个定点𝐹1,𝐹2距离的和等于常数（大于|𝐹1𝐹2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
设轨迹上任一点M到两定点𝐹1,𝐹2的距离和为常数2a，两定点间的距离为2c，由椭圆的定义，椭圆就是集合：
P={|𝑀𝐹1|+|𝑀𝐹2|=2𝑎}(2𝑎>2𝑐=|𝐹1𝐹2|)
2.椭圆的标准方程
焦点在x轴上和焦点在y轴上的椭圆的标准方程比较： M
标准方程
𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0) 𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)
不同点 图形
焦点坐标 𝐹1(−𝑐,0),𝐹2(𝑐,0) 𝐹1(0,−𝑐),𝐹2(0,𝑐)
相同点 定义 平面内与两个定点𝐹1,𝐹2距离的和等于常数（大于|𝐹1𝐹2|）的点的轨迹叫做椭圆。
a,b,c关系 𝑎2=𝑏2+𝑐2
焦点位置判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上。
（二）精准释难
已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0)，(2,0)，并且经过P(52,−32),求它的标准方程。
法一: 解:椭圆的焦点在𝑥轴上，
设它的标准方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)
∵c=2，且 𝑐2=𝑎2−𝑏2
∴ 𝑎2−𝑏2=4……①
椭圆的标准方程学案(共3课时)-2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修一
人教版A选择性必修第一册第三章
第 1 页 第3章:椭圆与方程
第1课：椭圆的标准方程
一．学习目标：理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程.
二．概念梳理.
1.平面内 ，叫做椭圆.
叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距.
2.根据椭圆的定义可知：集合aMFMFMP221，0,0,221cacFF，且ca, 为常数.当aFF221时，集合P为_______；当aFF21时，集合P为 当aFF221时，集合P为 .
3.焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 .焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 .其中cba,,满足关系为 .
三．典例分析.
例1.求下列椭圆的焦点坐标.
(1).13422yx (2).14322yx
(3).13422yx (4).123422yx
例2.已知方程125922mymx.
(1) 若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围；
(2) 若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围；
(3) 若上述方程表示椭圆，求实数m的取值范围.
例3.(多选题)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地球转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，下列式子正确的是( ) 人教版A选择性必修第一册第三章
高中数学_椭圆的定义和标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思
课题: 椭圆的定义和标准方程
教学设计
教学环节 教师活动 学生活动 教学意图
课前准备 提醒同学们准备好课本，一轮复习资料，学案，练习本和激情斗志 同学们将材料准备好，然后自纠学案 课前准备到位是上课顺利高效的保证
引入 前面我们学习了直线与圆的方程，学生思考直线与圆的引导学生对学以及直线与圆，圆与圆的位置关系，能够解决一些关于直线与圆应用的基本问题。 相关知识 过知识进行迁移提升
课标分析（考什么 怎么考） 展示课标要求，结合具体题目进行分析。并进行大胆预测。 明确椭圆的考点及考查方式。 让学生明确本单元在高考中具体考什么、怎么考，明确课本在一轮复习中的作用及其重要性。
介绍本专题在高考当中的地位及本单元在高考中的试题分布统计情况。
演示幻灯片（1）。教师介绍本专题在高考中的地位，以及本单元在高考中的试题分布统计情况。
预测2021年的考试形势。
师：椭圆的定义，标准方程以及性质在高考中占有重要的地位，大家请看（幻灯片）本单元在高考中一般考查一道小题、一道解答题，分值在17分左右，2020年卷考查了一道选择题一道解答题，分值为17分。那这部分具体考什么呢?我们来看具体的题目。
师：这节课我们来研究椭圆的定义和标准方程。对标题进行勾画，任务进行解读。
仔细观察，认真分析，明确本单元的重要性。
引起学生对这部分知识的足够重视。
学习目标解读 结合课标和近几年高考题目的研究，确定了本节课的学习目标。
1.能够说出椭圆的定义，根据不同情境，建立椭圆的标准方程。
2.会根据椭圆定义与几何性质求解学生有清晰的学习目标，更有效更有针对性的思考学习。 培养学生的目标意识，做任何事情目标永远挺在最前面，有了目标，椭圆的标准方程，总结求解标准方程的规律方法。
3.探究代数与平面几何的关系，提升用代数方法解决几何问题的能力。 课堂活动才有方向。
基础知识梳理 老师引导学生回顾基础知识
师：同学们用自己的话来描述一下椭圆的定义。自告奋勇。老师在黑板板书椭圆满足的两个条件。
高中数学同步讲义(人教A版选择性必修一)椭圆及其标准方程(教师版)
第01讲3.1.1椭圆及其标准方程
课程标准学习目标
①了解圆锥曲线的实际背景。
②了解圆锥
曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的
作用。
③掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程。
④会根据相关的条件求椭圆的标准方程。
⑤会求与椭圆有关的量。1.通过本节课的学习，要求掌握椭圆的定义（相关的量
的掌握）及椭圆的标准方程（满足的条件），会求与椭
圆有关的几何量
知识点01：椭圆的定义
1、椭圆的定义：平面内一个动点P到两个定点
1F
、
2F
的距离之和等于常数)2(
2121FFaPFPF
，
这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点（
1F
,
2F
）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（
12||FF
）叫作椭圆的焦距.
说明：
若)(
2121FFPFPF
，P的轨迹为线段
21FF
；
若)(
2121FFPFPF
，P的轨迹无图形
2、定义的集合语言表述
集合
1212{2}PPPFPFaFF
.
【即学即练
1】（
2023秋
·四川南充
·高二四川省南充高级中学校考期末）设定点
10,2F
，
20,2F
，动点
P满足条件
125PFPF
，则点P的轨迹是（）
A．椭圆
B．线段
C．不存在
D．椭圆或线段
【答案】
A
【详解】因为
10,2F
，
20,2F
，所以
124FF
，
所以
12125PFPFFF
，所以点
P的轨迹是以
1F
，
2F
为焦点的椭圆
.
故选：
A.
知识点02：椭圆的标准方程
焦点位置焦点在x
轴上焦点在y
轴上
标准方程22
221xy
ab
（0ab
）22
221yx
ab
（0ab
）
图象
焦点坐标
1(,0)Fc
，
2(,0)Fc
1(0,)Fc
，
2(0,)Fc
,,abc
的关系222abc
【即学即练
2】（
2023秋
·广东广州
·高二广州市第八十六中学校考期末）已知ABC的周长为
20，且顶点
(0,4),(0,4)BC
，则顶点
A的轨迹方程是（）
A．22
1(0)
3620xy
xB．22
1(0)
2036xy
x
C．22
1(0)
620xy
xD．22
高中数学人教A版选择性必修1第三章第一节椭圆及其标准方程
- 1 - 教学设计
椭圆及其标准方程
学 习 目 标 核 心 素 养
1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)
2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)
3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 1．通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题学习，培养学生的数学运算素养．
2．借助轨迹方程的学习，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养．
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
[提示] (1)点的轨迹是线段F1F2．
(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)
焦点 (－c,0)与(c,0) (0，－c)与(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
- 2 -
求椭圆的标准方程
【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(3)经过点A(3，－2)和点B(－23，1)．
[解] (1)由于椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．
∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9．
故所求椭圆的标准方程为x225＋y29＝1．
(2)由于椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．∴a＝2，b＝1．
2023版高中数学新同步精讲精炼(选择性必修第一册) 3
3.1.1 椭圆及其标准方程(精练)
【题组一 椭圆的定义】
1．(2020·北京五十五中高二月考)若椭圆22110036xy上一点P到其焦点1F的距离为6，则P到另一焦点2F的距离为
A．4 B．194 C．94 D．14
2．(2021·江西新余四中高三其他模拟(文))椭圆22137xy上一点到两个焦点的距离之和为( )
A．23 B．4 C．27 D．210
3．(2021·四川川大附中高二月考)椭圆221259xy上一点M到焦点1F的距离为2，N是1MF的中点，则ON等于( )
A．2 B．4 C．8 D．32
4．(2021·陕西高二期末(文))已知椭圆221716xy的上下焦点为1F，2F，点P在椭圆上，则12PFPF的最大值是( )
A．9 B．16 C．25 D．27
5．(2021·广西南宁二中高二期中(理))在椭圆22143xy内有一点1,1P，F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使MPMF的值最大，则这一最大值是
A．45 B．45 C．43 D．43
6．(2021·六安市裕安区新安中学高二期末(理))命题p：“35m”是命题q：“曲线22135xymm表示椭圆”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【题组二 椭圆定义的应用】 1．(2021·广西田东中学高二期末(理))设P是椭圆221259xy上一点，M、N分别是两圆：2241xy和2241xy上的点，则PMPN的最小值和最大值分别为( )
A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，12
2．(2021·四川高二期中(文))已知12,FF分别是椭圆22143xy的焦点，过点1F的直线交椭圆E于,AB两点，则2ABF的周长是
A．23 B．4 C．6 D．8