重复测量资料方差分析
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方差分析(重复测量)
T 13024 时相测量患者的收缩压，试进行方差分析。
诱导
患者
方法
序号
T0
t3
A
1
120
A
2
118
A
3
119
A
4
121
A
5
127
B
6
121
B
7
122
B
8
128
B
9
117
B
10
118
C
11
131
C
12
129
C
13
123
C
14
123
C
15
125
麻醉诱导时相
t1 t2 t4
108
112
120
117
109
115
H uy nh-F eldt
2336.453
Low er-bound
2336.453
B * G RO U PS phericity A ssum ed 837.627
G reenhouse-G eisser 837.627
H uy nh-F eldt
837.627
Low er-bound
837.627
T es ts of Within-Sub je cts Effe cts
M easure: M E A S U RE _1
S ource
Ty pe III Sum of S quares
B
S phericity A ssum ed 2336.453
G reenhouse-G eisser 2336.453
Within SubjectsMEfafuecthly 's WC hi-Square
诱导
患者
方法
序号
T0
t3
A
1
120
A
2
118
A
3
119
A
4
121
A
5
127
B
6
121
B
7
122
B
8
128
B
9
117
B
10
118
C
11
131
C
12
129
C
13
123
C
14
123
C
15
125
麻醉诱导时相
t1 t2 t4
108
112
120
117
109
115
H uy nh-F eldt
2336.453
Low er-bound
2336.453
B * G RO U PS phericity A ssum ed 837.627
G reenhouse-G eisser 837.627
H uy nh-F eldt
837.627
Low er-bound
837.627
T es ts of Within-Sub je cts Effe cts
M easure: M E A S U RE _1
S ource
Ty pe III Sum of S quares
B
S phericity A ssum ed 2336.453
G reenhouse-G eisser 2336.453
Within SubjectsMEfafuecthly 's WC hi-Square
重复测量方差分析
重复测量方差分析1. 引言重复测量方差分析（Repeated Measures Analysis of Variance, RM-ANOVA）是一种统计方法，用于分析在不同时间点或不同处理条件下对同一组个体或样本进行多次测量的数据。
通过比较不同时间点或处理条件下的测量结果，我们可以确定是否存在显著的差异，并了解时间或处理对测量结果的潜在影响。
本文档将介绍重复测量方差分析的基本原理、假设条件、计算方法和结果解读，并提供使用Markdown格式编写重复测量方差分析报告的示例。
2. 基本原理重复测量方差分析的基本原理是基于方差分析（ANOVA）方法，但相对于普通的单因素方差分析，重复测量方差分析考虑了测量数据间的相关性。
在重复测量设计中，同一个个体或样本在不同时间点或处理条件下进行多次测量，因此测量数据之间存在一定的相关性。
为了解决相关性的问题，重复测量方差分析使用了独特的矩阵分解方法，将总体方差分解为组内方差和组间方差。
通过计算组间方差与组内方差的比值，可以判断不同时间点或处理条件下的测量结果是否存在显著差异。
3. 假设条件在进行重复测量方差分析之前，需要满足以下假设条件：•正态性假设：每个时间点或处理条件下的测量结果应当服从正态分布。
•同方差性假设：每个时间点或处理条件下的测量结果应具有相同的方差。
•相关性假设：各个时间点或处理条件下的测量结果之间应具有一定的相关性。
如果数据不满足正态性、同方差性或相关性假设，需要采取适当的数据转换、方差齐性检验或相关性分析等方法进行处理。
4. 计算方法重复测量方差分析的计算方法可以通过计算F统计量来进行。
具体步骤如下：步骤1：计算总体方差首先计算总体方差SSTotal，即测量数据的总体波动情况。
步骤2：计算组间方差然后计算组间方差SSBetween，即不同时间点或处理条件下的测量结果之间的差异。
步骤3：计算组内方差接下来计算组内方差SSWithin，即测量数据在同一个时间点或处理条件下的波动情况。
方差分析三重复测量资料方差分析
通过重复测量，可以减少实验误差，提高实验结果 的可靠性。
比较不同处理组之间的差 异
通过比较不同处理组之间的差异，可以了解 不同处理因素对实验结果的影响程度。
实验设计
处理因素
确定要研究的处理因素，并确保 其具有科学性和可行性。
重复测量
在相同的实验条件下，对实验对 象进行重复测量，以减少实验误 差，提高实验结果的可靠性。
方差分析三重复测量资料 方差分析
目录
• 引言 • 方差分析基本原理 • 三重复测量资料的方差分析 • 结果解释与结论 • 讨论与展望
01
引言
目的和背景
探讨不同处理因素对实验 结果的影响
通过方差分析三重复测量资料，可以分析不 同处理因素对实验结果的影响，从而为进一 步的研究提供依据。
提高实验结果的可靠性
方差齐性检验
使用Levene's test或 Bartlett's test检验各组方
差是否齐性。
假设检验
根据方差分析结果，进行 假设检验，判断各组均值
是否存在显著差异。
三重复测量资料的方差分析实例
数据来源
选取某实验组和对照组在不同时间点的观察 值作为三重复测量资料。
数据整理
整理数据，确保数据准确无误。
2
应用范围讨论
三重复测量资料方差分析不仅适用于生 物学、医学等领域的数据分析，还可广 泛应用于心理学、经济学、社会学等领 域。然而，由于该方法对数据的要求较 高，因此在应用时需要根据具体的数据 情况选择合适的数据处理和分析方法， 以确保结果的准确性和可靠性。
3
与其他方法的比较
除了三重复测量资料方差分析外，还有 其他多种统计分析方法可用于处理和分 析实验数据。每种方法都有其特点和适 用范围。在选择合适的分析方法时，需 要根据研究目的、数据特征和研究设计 等因素进行综合考虑。例如，对于非重 复测量数据，可以考虑使用独立样本t检 验或单因素方差分析等方法。
比较不同处理组之间的差 异
通过比较不同处理组之间的差异，可以了解 不同处理因素对实验结果的影响程度。
实验设计
处理因素
确定要研究的处理因素，并确保 其具有科学性和可行性。
重复测量
在相同的实验条件下，对实验对 象进行重复测量，以减少实验误 差，提高实验结果的可靠性。
方差分析三重复测量资料 方差分析
目录
• 引言 • 方差分析基本原理 • 三重复测量资料的方差分析 • 结果解释与结论 • 讨论与展望
01
引言
目的和背景
探讨不同处理因素对实验 结果的影响
通过方差分析三重复测量资料，可以分析不 同处理因素对实验结果的影响，从而为进一 步的研究提供依据。
提高实验结果的可靠性
方差齐性检验
使用Levene's test或 Bartlett's test检验各组方
差是否齐性。
假设检验
根据方差分析结果，进行 假设检验，判断各组均值
是否存在显著差异。
三重复测量资料的方差分析实例
数据来源
选取某实验组和对照组在不同时间点的观察 值作为三重复测量资料。
数据整理
整理数据，确保数据准确无误。
2
应用范围讨论
三重复测量资料方差分析不仅适用于生 物学、医学等领域的数据分析，还可广 泛应用于心理学、经济学、社会学等领 域。然而，由于该方法对数据的要求较 高，因此在应用时需要根据具体的数据 情况选择合适的数据处理和分析方法， 以确保结果的准确性和可靠性。
3
与其他方法的比较
除了三重复测量资料方差分析外，还有 其他多种统计分析方法可用于处理和分 析实验数据。每种方法都有其特点和适 用范围。在选择合适的分析方法时，需 要根据研究目的、数据特征和研究设计 等因素进行综合考虑。例如，对于非重 复测量数据，可以考虑使用独立样本t检 验或单因素方差分析等方法。
重复测量设计的方差分析
区组内实验单位彼此不独立。
u 随机区组设计 ●处理因素在区组内随机分配； 每个区组内实验单位彼此独立。
第二节
重复测量数据 的两因素两水平分析
高血压患者治疗前后的舒张压(mmHg)
处理组 a1
对照组(安慰剂组)a2
顺序号 治疗前 治疗后 合计(Mj) 顺序号 治疗前 治疗后 合计(Mj)
●处理因素在区组内随b机1分配； b2
118
124
-6
132
122
10
134
132
2
114
96
18
118
124
-6
128
118
10
118
116
2
132
122
10
120
124
-4
134
128
6
1248
1206
42
124.8
120.6
4.2
7.90
9.75
8.02
三、重复测同相量一关受的设试。计者的(单血样因重素复测)量的结果是高度
受试者血糖浓度(mmol/L)
214
17
118
明“服8药”有效； 138
122
260
18
132
重复测量设计与随机区组设计区别
降压药9物与安慰剂间疗12效6差别无统计学1意08义；
234
19
120
注若意球事 对1项称0 1性、质单不因能素满实足1验2，重4则复方测差量分数析据的1分F0析值6是偏大的，2增3大0了犯第一类错2误0 的概率。 134
重复测量设计的方差分析
讲课内容
第一节 重复测量资料的数据特征 第二节 重复测量数据的两因素两水平分析
u 随机区组设计 ●处理因素在区组内随机分配； 每个区组内实验单位彼此独立。
第二节
重复测量数据 的两因素两水平分析
高血压患者治疗前后的舒张压(mmHg)
处理组 a1
对照组(安慰剂组)a2
顺序号 治疗前 治疗后 合计(Mj) 顺序号 治疗前 治疗后 合计(Mj)
●处理因素在区组内随b机1分配； b2
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1248
1206
42
124.8
120.6
4.2
7.90
9.75
8.02
三、重复测同相量一关受的设试。计者的(单血样因重素复测)量的结果是高度
受试者血糖浓度(mmol/L)
214
17
118
明“服8药”有效； 138
122
260
18
132
重复测量设计与随机区组设计区别
降压药9物与安慰剂间疗12效6差别无统计学1意08义；
234
19
120
注若意球事 对1项称0 1性、质单不因能素满实足1验2，重4则复方测差量分数析据的1分F0析值6是偏大的，2增3大0了犯第一类错2误0 的概率。 134
重复测量设计的方差分析
讲课内容
第一节 重复测量资料的数据特征 第二节 重复测量数据的两因素两水平分析
方差分析三重复测量资料的方差分析
缺点
实验成本高
需要进行多次测量，增加了实验成本和时间。
数据处理复杂
三重复测量资料的方差分析需要处理大量的数据，并且需要进行复 杂的统计分析，对数据分析的要求较高。
样本量要求高
为了获得更可靠的结果，需要较大的样本量，增加了实验难度。
06
三重复测量资料的方差分析的未来 发展
研究方向
1 2
拓展应用领域
通过比较组间方差和组内 方差的差异，判断各组之
间的差异是否显著。
01
02
03
04
05
1. 建立假设
确定要检验的原假设（H0） 和备择假设（H1）。
3. 计算方差
根据数据计算组间方差和 组内方差。
5. 解读结果
根据统计结果解释实验结 果，确定处理因素对实验 结果的影响是否显著。
03
三重复测量资料的方差分析
感谢您的观看
THANKS
5. 结果解释
根据模型的拟合结果， 解释三重复测量资料 的变化情况，并给出 相应的结论和建议。
04
三重复测量资料的方差分析实例
实例一：药物效果研究
总结词
药物效果研究是三重复测量资料方差分析的重要应用领域之一，主要用于评估药物治疗前后的效果差 异。
详细描述
在药物效果研究中，通常会对同一组受试者在药物治疗前、治疗中、以及治疗后的不同时间点进行测 量，以评估药物对受试者的影响。通过三重复测量资料的方差分析，可以比较不同时间点上受试者的 生理指标、症状改善程度等方面的差异，从而为药物的疗效提供科学依据。
02
方差分析概述
方差分析的定义
方差分析（ANOVA）是一种统计方 法，用于比较两个或多个组之间的平 均值差异是否显著。
重复测量数据方差分析
74.4
77.0
75.2 77.4
82.6
80.4
81.2 79.6
68.6
65.0
63.2 63.4
79.0
77.0
73.8 72.5
69.4
66.8
64.4 60.8
72.6
71.0
68.2 70.2
72.4
72.6
72.8 72.6
75.6
73.4
73.4 72.2
80.0
78.0
76.4 74.8
7.90
9.75 8.02
经检验处理组与对照组的差值 d 方差不齐（F S12 / S22 6.58 ， P 0.01），不符合两均数比较 t 检验的前提条件。
设置对照旳前后测量设计
前后测量数据间存在明显差别时，并不能阐明这种差 别是由前后测量之间施加旳处理所产生，还是因为存 在于前后两次测量之间旳时间效应所致。
比较
表9-2 两种措施对乳酸饮料中脂肪含量旳测定成果(%)
编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
哥特里－罗紫法
0.840 0.591 0.674 0.632 0.687 0.978 0.750 0.730 1.200 0.870
脂肪酸水解法
0.580 0.509 0.500 0.316 0.337 0.517 0.454 0.512 0.997 0.506
受试 对象j
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
剂型 k
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
服药后测定时间i(周)
第十四章 重复测量的资料方差分析
编号
治疗前
治疗后
差值
1
130
114
16
2
124
110
14
3
136
126
10
4
128
116
12
5
122
102
20
6
118
100
18
7
116
98
18
8
138
122
16
9
126
108
18
10
124
106
18
X
126.2
110.2
16.0
S
7.08
9.31
3.13
比较
表3-3 两种方法对乳酸饮料中脂肪含量的测定结果(%)
SS
MS
F
P
总变异
14 0.5328
处理间
2 0.2280 0.1140 11.88 <0.01
区组间
4 0.2284 0.0571 5.95 <0.05
误差
8 0.0764 0.0096
2．重复测量设计区组内即同一受试者 的重复测量数据是高度相关的。例如，计 算表 12-3 中各时间点数据间的相关系数 结果见表 12-6。
表12-4 表 12-3数据的方差分析表
变异来源 自由度 SS MS F
P
总变异
31 5.751
区组(受试者)
7
2.828 0.361 27.77 <0.01
放置时间
3
2.959 0.986 75.85 <0.01
误差
21 0.264 0.013
表12-7 表12-3数据“球对称”检验结果
第三讲重复测量资料的方差分析
第三讲 重复测量资料的方差分析一、重复测量资料的概念例2—1 测量8例受实试者在餐后不同时间的血糖值，以研究血糖的变化规律。
见表2-1 表2-1 不同受试者在不同时间的餐后血糖（mmol/L）code 餐后 餐后30分钟 餐后60分钟 餐后90分钟1 5.32 5.32 4.98 4.652 5.32 5.26 4.93 4.703 5.94 5.88 5.43 5.044 5.49 5.43 5.32 5.045 5.71 5.49 5.43 4.936 6.27 6.27 5.66 5.267 5.88 5.77 5.43 4.938 5.32 5.15 5.04 4.48上述研究中对每一个观察单位重复进行4次观测，每一次观察同一个指标，这样所获得的资料称之为重复测量的资料一般说来，研究设计中考虑到以下问题时应采用重复测量研究设计及其方差分析：1、研究主要目的之一是考察某指标在不同时间的变化情况。
如考察某种减肥药的疗效，需随访研究对象在一段时间内休重的变化。
2、研究个体间变异很大，应用普通研究设计的方差分析时，方差分析表中的误差项值将很大，即计算F值时的分母很大，对反应变量有作用的因素常难以识别。
应用重复测量设计时可将受试者内变异从普通方差分析表的误差项中分离出来，减小误差项。
如以家庭为观察单位，考察家庭中每一成员对某类食品的喜爱程度；以窝别为观察单位，观察一窝仔鼠食用某种饲料后体重增加情况；以人为观察单位，观察牙齿中患龋齿的个数；以某集团公司为观察单位，考察其旗下上市子公司股票价格表现等等。
所有这些类型的资料都存在一个共性，即观察结果相互之间存在一定程度的内在相关性，即不满足方差分析、线性模型应用的前提条件，即各观测结果间相互独立。
重复测量仍然应用方差分析的基本思想，将反应变量的变异分解成以下四个部分：1、研究对象内的变异，又称为组内效应，即测量时间点（或测量条件下）的效应2、研究对象间的变异，有称为组间效应，即处理因素(treatment)的效应3、上述两者的交互作用，组内效应和组间效应的交互作用，表现为在不同时间点（测量条件），处理因素的效应不同。
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' 2 2
(1) Geenhouse-Geisser调整系数(G-G) (2) Huynh-Feldt调整系数(H-F)
自由度调整方法1
ˆ ˆ ( 1 ) G e e n h o u s e - G e i s s e r 调 整 系 数 ( G - G ) 为 ：
ˆ
2 a 2 s kk s 2
2 s12 ( y1i y1 )( y2i y2 ) (n 1)
y1i y2i y1i y2i n
2 sij 2 sii s 2 jj
rij
球形对称的实际意义举例
协方差 阵 A1 A2 A3 A4
A1
10 5 10 15
A2
5 20 15 20
A3
10 15 30 25
2 kl
2 2 a 2 是 所 有 元 素 的 总 平 均 值 ， s kk ( s ll ) a 是 l
2 2 主 对 角 线 元 素 的 平 均 值 ， s k = ( s kl ) a 是 第 k 行 的 平 均 值 。 l
ˆ 的 取 值 在 1 . 0 与 1 / ( a - 1 ) 之 间 。
重复测量设计的优缺点
每一个体作为自身的对照， 克服了个体间的变异。分析时 可更好地集中于处理效应. 因重复测量设计的每一个 体作为自身的对照，所以研究 所需的个体相对较少，因此更 加经济。
优点
缺点
滞留效应(Carry-over effect) 前面的处理效应有可能滞留到 下一次的处理. 潜隐效应(Latent effect) 前面的处理效应有可能激活原 本以前不活跃的效应. 学习效应(Learning effect) 由于逐步熟悉实验，研究对象 的反应能力有可能逐步得到了提高。
检验的P值若大于研究者所选择的显著性水准α时， 说明协方差阵的球形性质得到满足。
球形条件不满足怎么办
• 常有两种方法可供选择： 1. 采用MANOVA（多变量方差分析方法）
2. 对重复测量ANOVA检验结果中与时间有关 的F值的自由度进行调整（调小） ' 分子自由度 1 1
分母自由度
协方差构成的矩阵称协方差阵。
•
设 k、l为两个测定时点，skl 代表协方差阵中的元素。当k＝l时为方差， k≠l时为协方差。共有a个测定时点，将这a个方差和（a-1）/2个协方差 排成协方差阵V为：
2 s11 2 s21 V s2 a1 2 s12 2 s22
2
s12a 2 s2 a 2 saa (n 1)
对于第8、章，几个处理 9 组间的协方差矩阵为：
2 s11 0 0 2 0 s22 0 V 0 0 s2 aa 2 2 且假定s11 saa
• Mauchly氏检验的P值若大于研究者所选择的显著 性水准α时，说明协方差阵的球形性质得到满足。 否则，必须对与时间有关的F统计量的分子、分母 自由度进行调整，以便减少犯I类错误的概率。调 整系数为ε(读作epsilon)。
球形对称的实际意义
所有两两时间点变量间差值对应的方差相等
2 2 s11 s12 2 2 s21 s22 V 2 2 s a1 sa 2 2 s11 ( y1i y1 ) 2
5周后
10周后
两组家兔血清胆固醇的对数随时间的变化
每一根线代表1位病人
血药浓度（μ mol/L)
180 150 120 90 60 30 0
图10.附2
旧剂型 新剂型
4
8
时间（小时）
12
某药新旧剂型血药浓度随时间的变化
内容
• • • • • • •
概述 重复测量概念 几种重复测量资料 协方差 单因素重复测量资料分析 两因素重复测量资料分析 应用
2 sa 2
2 s1a 2 s2 a 2 saa
(10 1)
协方差阵的球形性质是指该矩阵主对角线元素（方差） 相等、非主对角线元素（协方差）为零。
球形性
• 协方差阵的球形性质是指该矩阵主对角线元素(方 差)相等、非主对角线元素(协方差)为零。
• 常用Mauchly氏法检验协方差阵的球形性质。
自由度调整方法2
(2)Huynh-Feldt 调 整 系 数 (H-F )
2
2 a 1 s kl k l
2
2 2a s k k
2
a2 s2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 式 ( 1 0 - 3 ) 中 的 s kl 是 矩 阵 ( 1 0 - 1 ) 中 第 k 行 第 l 列 元 素 ，
s2 = s k l
本例差值对应的方差精确 相等，说明球形对称。
2 2 2 2 s yi y j s yi s y j 2s yi y j
如：s
2 y1 y2
s s 2s
2 11 2 22
2 12
球形对称的检验
用Mauchly法检验协方差阵是否为球形
H0：资料符合球形要求，
H1：资料不满足球形要求
2 s12 ( y1i y1 )( y2i y2 ) (n 1)
y1i y2i y1i y2i n
2 sij 2 sii s 2 jj
rij
重复测量资料方差分析对协方差阵的要求
• 重复测量资料方差分析的条件： 1. 正态性 处理因素的各处理水平的样本个体之间是相互独立的随机 样本，其总体均数服从正态分布； 2. 方差齐性 相互比较的各处理水平的总体方差相等，即具有方差齐 同 3. 各 时 间 点 组 成 的 协 方 差 阵 (covariance matrix) 具 有 球 形 性 (sphericity)特征。
内容
• • • • • • •
概述 重复测量概念 几种重复测量资料 协方差 单因素重复测量资料分析 两因素重复测量资料分析 应用
重复测量资料方差分析对协方差阵的要求 协方差矩阵
2 2 s11 s12 2 2 s21 s22 V 2 2 s a1 sa 2 2 s11 ( y1i y1 ) 2
• Box(1954)指出，若球形性质得不到满足，则方差 分析的F值是有偏的，这会造成过多的拒绝本来是 真的无效假设。
协方差阵的球形性检验
• 方差是指在某一时点上测定值变异性的
大小，而协方差是指在两个不同时点上
测定值相互变异性的大小。如果在某个
时点上的取值不影响其他时点上的取值，
则协方差为0，反之，则不为0。由方差
s12a 2 s2 a 2 saa (n 1)
对于yi与yj两时间点变量间差值 对应的方差可采用协方差矩阵 计算为：
2 2 2 2 s yi y j s yi s y j 2s yi y j 2 2 2 2 如：s y1 y2 s11 s22 2s12
d 66
设立对照的前后测量设计
表 19-2 肥胖患者治疗前后体重（kg） 观察对 象编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计 均数 标准差 试验组 体重（kg） 服药前 （X1） 101 131 131 150 124 137 126 105 90 67 84 109 1355 112.9 24.5 服药后 （X2） 100 136 126 143 128 126 116 95 87 57 74 101 1289 107.4 26.3 差值 d= X1- X2 1 -5 5 7 -4 11 10 10 3 10 10 8 66 5.5 5.6 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 观察对 象编号 对照组 体重（kg） 服药前 （X1） 100 129 127 145 137 128 115 130 87 69 85 109 1361 113.4 23.6 服药后 （X2） 101 131 126 140 135 126 116 126 90 70 84 101 1346 112.2 22.5 差值 d= X1- X2 -1 -2 1 5 2 2 -1 4 -3 -1 1 8 15 1.25 3.2
重复测量设计资料的方差分析
内容
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概述 重复测量概念 几种重复测量资料 协方差 单因素重复测量资料分析 两因素重复测量资料分析 应用
内容
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概述 重复测量概念 几种重复测量资料 协方差 单因素重复测量资料分析 两因素重复测量资料分析 应用
方差分析
单 反 应 变 量
A4
15 20 25 40
s1-22 = 10 + 20 - 2(5) = 20 s1-32 = 10 + 30 - 2(10) = 20 s1-42 = 10 + 40 - 2(15) = 20 s2-32 = 20 + 30 - 2(15) = 20 s2-42 = 20 + 40 - 2(20) = 20 s3-42 = 30 + 40 - 2(25) = 20
重复测量的概念
狭义 时间 重复测量(repeated measure)是指对同一观察对象的同一观察指标在 不同时间点上进行的多次测量，用于分析该观察指标在不同时间上 的变化特点。
部位 重复测量(repeated measure)是指对同一观察对象的同一观察指标在 个体的不同部位（或组织）上重复获得指标的观察值。
场合
广义
重复测量(repeated measure)是指对同一研究对象的某一观察指标在 不同场合（occasion，如时间点、部位等）进行的多次测量。
(1) Geenhouse-Geisser调整系数(G-G) (2) Huynh-Feldt调整系数(H-F)
自由度调整方法1
ˆ ˆ ( 1 ) G e e n h o u s e - G e i s s e r 调 整 系 数 ( G - G ) 为 ：
ˆ
2 a 2 s kk s 2
2 s12 ( y1i y1 )( y2i y2 ) (n 1)
y1i y2i y1i y2i n
2 sij 2 sii s 2 jj
rij
球形对称的实际意义举例
协方差 阵 A1 A2 A3 A4
A1
10 5 10 15
A2
5 20 15 20
A3
10 15 30 25
2 kl
2 2 a 2 是 所 有 元 素 的 总 平 均 值 ， s kk ( s ll ) a 是 l
2 2 主 对 角 线 元 素 的 平 均 值 ， s k = ( s kl ) a 是 第 k 行 的 平 均 值 。 l
ˆ 的 取 值 在 1 . 0 与 1 / ( a - 1 ) 之 间 。
重复测量设计的优缺点
每一个体作为自身的对照， 克服了个体间的变异。分析时 可更好地集中于处理效应. 因重复测量设计的每一个 体作为自身的对照，所以研究 所需的个体相对较少，因此更 加经济。
优点
缺点
滞留效应(Carry-over effect) 前面的处理效应有可能滞留到 下一次的处理. 潜隐效应(Latent effect) 前面的处理效应有可能激活原 本以前不活跃的效应. 学习效应(Learning effect) 由于逐步熟悉实验，研究对象 的反应能力有可能逐步得到了提高。
检验的P值若大于研究者所选择的显著性水准α时， 说明协方差阵的球形性质得到满足。
球形条件不满足怎么办
• 常有两种方法可供选择： 1. 采用MANOVA（多变量方差分析方法）
2. 对重复测量ANOVA检验结果中与时间有关 的F值的自由度进行调整（调小） ' 分子自由度 1 1
分母自由度
协方差构成的矩阵称协方差阵。
•
设 k、l为两个测定时点，skl 代表协方差阵中的元素。当k＝l时为方差， k≠l时为协方差。共有a个测定时点，将这a个方差和（a-1）/2个协方差 排成协方差阵V为：
2 s11 2 s21 V s2 a1 2 s12 2 s22
2
s12a 2 s2 a 2 saa (n 1)
对于第8、章，几个处理 9 组间的协方差矩阵为：
2 s11 0 0 2 0 s22 0 V 0 0 s2 aa 2 2 且假定s11 saa
• Mauchly氏检验的P值若大于研究者所选择的显著 性水准α时，说明协方差阵的球形性质得到满足。 否则，必须对与时间有关的F统计量的分子、分母 自由度进行调整，以便减少犯I类错误的概率。调 整系数为ε(读作epsilon)。
球形对称的实际意义
所有两两时间点变量间差值对应的方差相等
2 2 s11 s12 2 2 s21 s22 V 2 2 s a1 sa 2 2 s11 ( y1i y1 ) 2
5周后
10周后
两组家兔血清胆固醇的对数随时间的变化
每一根线代表1位病人
血药浓度（μ mol/L)
180 150 120 90 60 30 0
图10.附2
旧剂型 新剂型
4
8
时间（小时）
12
某药新旧剂型血药浓度随时间的变化
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概述 重复测量概念 几种重复测量资料 协方差 单因素重复测量资料分析 两因素重复测量资料分析 应用
2 sa 2
2 s1a 2 s2 a 2 saa
(10 1)
协方差阵的球形性质是指该矩阵主对角线元素（方差） 相等、非主对角线元素（协方差）为零。
球形性
• 协方差阵的球形性质是指该矩阵主对角线元素(方 差)相等、非主对角线元素(协方差)为零。
• 常用Mauchly氏法检验协方差阵的球形性质。
自由度调整方法2
(2)Huynh-Feldt 调 整 系 数 (H-F )
2
2 a 1 s kl k l
2
2 2a s k k
2
a2 s2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 式 ( 1 0 - 3 ) 中 的 s kl 是 矩 阵 ( 1 0 - 1 ) 中 第 k 行 第 l 列 元 素 ，
s2 = s k l
本例差值对应的方差精确 相等，说明球形对称。
2 2 2 2 s yi y j s yi s y j 2s yi y j
如：s
2 y1 y2
s s 2s
2 11 2 22
2 12
球形对称的检验
用Mauchly法检验协方差阵是否为球形
H0：资料符合球形要求，
H1：资料不满足球形要求
2 s12 ( y1i y1 )( y2i y2 ) (n 1)
y1i y2i y1i y2i n
2 sij 2 sii s 2 jj
rij
重复测量资料方差分析对协方差阵的要求
• 重复测量资料方差分析的条件： 1. 正态性 处理因素的各处理水平的样本个体之间是相互独立的随机 样本，其总体均数服从正态分布； 2. 方差齐性 相互比较的各处理水平的总体方差相等，即具有方差齐 同 3. 各 时 间 点 组 成 的 协 方 差 阵 (covariance matrix) 具 有 球 形 性 (sphericity)特征。
内容
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概述 重复测量概念 几种重复测量资料 协方差 单因素重复测量资料分析 两因素重复测量资料分析 应用
重复测量资料方差分析对协方差阵的要求 协方差矩阵
2 2 s11 s12 2 2 s21 s22 V 2 2 s a1 sa 2 2 s11 ( y1i y1 ) 2
• Box(1954)指出，若球形性质得不到满足，则方差 分析的F值是有偏的，这会造成过多的拒绝本来是 真的无效假设。
协方差阵的球形性检验
• 方差是指在某一时点上测定值变异性的
大小，而协方差是指在两个不同时点上
测定值相互变异性的大小。如果在某个
时点上的取值不影响其他时点上的取值，
则协方差为0，反之，则不为0。由方差
s12a 2 s2 a 2 saa (n 1)
对于yi与yj两时间点变量间差值 对应的方差可采用协方差矩阵 计算为：
2 2 2 2 s yi y j s yi s y j 2s yi y j 2 2 2 2 如：s y1 y2 s11 s22 2s12
d 66
设立对照的前后测量设计
表 19-2 肥胖患者治疗前后体重（kg） 观察对 象编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计 均数 标准差 试验组 体重（kg） 服药前 （X1） 101 131 131 150 124 137 126 105 90 67 84 109 1355 112.9 24.5 服药后 （X2） 100 136 126 143 128 126 116 95 87 57 74 101 1289 107.4 26.3 差值 d= X1- X2 1 -5 5 7 -4 11 10 10 3 10 10 8 66 5.5 5.6 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 观察对 象编号 对照组 体重（kg） 服药前 （X1） 100 129 127 145 137 128 115 130 87 69 85 109 1361 113.4 23.6 服药后 （X2） 101 131 126 140 135 126 116 126 90 70 84 101 1346 112.2 22.5 差值 d= X1- X2 -1 -2 1 5 2 2 -1 4 -3 -1 1 8 15 1.25 3.2
重复测量设计资料的方差分析
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概述 重复测量概念 几种重复测量资料 协方差 单因素重复测量资料分析 两因素重复测量资料分析 应用
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概述 重复测量概念 几种重复测量资料 协方差 单因素重复测量资料分析 两因素重复测量资料分析 应用
方差分析
单 反 应 变 量
A4
15 20 25 40
s1-22 = 10 + 20 - 2(5) = 20 s1-32 = 10 + 30 - 2(10) = 20 s1-42 = 10 + 40 - 2(15) = 20 s2-32 = 20 + 30 - 2(15) = 20 s2-42 = 20 + 40 - 2(20) = 20 s3-42 = 30 + 40 - 2(25) = 20
重复测量的概念
狭义 时间 重复测量(repeated measure)是指对同一观察对象的同一观察指标在 不同时间点上进行的多次测量，用于分析该观察指标在不同时间上 的变化特点。
部位 重复测量(repeated measure)是指对同一观察对象的同一观察指标在 个体的不同部位（或组织）上重复获得指标的观察值。
场合
广义
重复测量(repeated measure)是指对同一研究对象的某一观察指标在 不同场合（occasion，如时间点、部位等）进行的多次测量。