空间解析几何 二次曲面共15页文档
第八节二次曲面
z
(c z1 )
2
1
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及 也为椭圆. (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面. 的截痕
x2 y2 z2 椭球面的伸缩法： 2 2 2 1 a b c
x 2 y2 （1）将xoy面上的椭圆 2 1 2 a b
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.
(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到)
5 柱面
x 2 y2 2 1 椭圆柱面 2 a b
双曲柱面
抛物柱面 母线平行于 z 轴
x2 y2 2 1 2 a b
x2 a y
母线平行于 z 轴
母线平行于 z 轴
内容小结
( p, q 同号)
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方 程
x5
x y 9
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
y x 1
高数A
c
a
x
O
b y
2. 抛物面
x2 y2 (1) 椭圆抛物面 2 2 z a b
x2 由xoz面上的抛物线： 2 z a 2 2 x y z 绕z轴旋转，得一旋转抛物面： 2 a b a 再将其沿y轴方向伸缩 倍： y y, b a
即得椭圆抛物面：
x2 y2 z 2 p 2q ( p , q 同号)
结论1：将平面曲线 C ：F ( x , y ) = 0 沿 y 轴方向伸缩 倍而得到平面曲线C´的平面方程为： y F ( x, ) 0
空间解析几何-第3章-常见的曲面2
截线为双曲线
y = h
y
x
z
o
③当 时
截线为直线
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
(0 , b , 0)
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
③当 时
截线为直线
②当 时
①当 时
（1）单叶双曲面与x，y轴分别交于（±a，0，0）， （0，±b，0）而与z轴无实交点. 上述四点称为单叶双曲面的实顶点， 而与z轴的交点（0，0，±ci） 称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0， 代入得x,y轴上的截距为: ， ； 在z轴上没有截距.
*
空间解析几何
第3章 常见的曲面2
本章主要内容
柱面 2 锥面 3 旋转曲面 4 曲线与曲面的参数方程 5 椭球面 6 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面） 7 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面） 8 二次直纹面 9 作图
五种典型的 二次曲面
§3.5 五种典型的二次曲面
x
y
z
o
2°用y = 0 截曲面
3°用x = 0 截曲面
1°用z = 0 截曲面
x
z
y
O
4.主截线
Cx＝0
Cy＝0
两条主抛物线具有相同的顶点,对称轴和开口方向
————其为点（0，0，0）
————xoz 面上的抛物线
主抛物线
———— yoz 面上的抛物线
有相同的定点（0，0，0） 相同的对称轴z轴，开口均向z轴正方向
单叶双曲面 双叶双曲面
x
y
o
z
x
y
o
z
单叶双曲面
2二次曲面分类简介
或
x cos1 cos 1 cos1 x y cos2 cos 2 cos 2 y
z cos3 cos 3 cos 3 z
空间直角坐标变换
一般的空间直角坐标 (点) 变换公式:
x y
x cos1 x cos2
y cos 1 z cos y cos 2 z cos
1
d1 2 d2
z x cos3 y cos 3 z cos 3 d3
或
x cos1 cos 1 cos1 x d1 y cos2 cos 2 cos 2 y d2 ,
z cos3 cos 3 cos 3 z d3
空间直角坐标变换
空间一般坐标变换公式, 还可以由新坐标系的 三个坐标面来确定.
x2 y2 a2 b2 1;
x2 y2 a2 b2 1;
x2 a2
y2 b2
0;
二次曲面的类型
[12] 双曲柱面: [13] 一对相交平面:
x2 y2 a2 b2 1;
x2 a2
y2 b2
0;
[14] 抛物柱面:
x2 2 py;
[15] 一对平行平面:
x2 a2 , a 0.
[16] 一对平行平面:
a13 a23 a33 z
x
x
y
z
A0
y
z
用不变量判断二次曲面类型
记 F1(x, y, z) = a11x + a12y + a13z + b1
F2(x, y, z) = a12x + a22y + a23z + b2
F3(x, y, z) = a13x + a23y + a33z + b3
空间解析几何常见的曲面
c
o a
by
x
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化，因此椭球面 可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生 .
用平行于xoy坐标面的平面截割椭球面，得截线的方程为：
? ? ?
x a
2 2
?
y2 b2
? 1?
h2 c2
(5)
?? z ? h
y
x
4 主截线
与三坐标平面z = 0，y = 0和x = 0交于三条曲线
? x2 ?? a 2
?
y2 b2
?
?1
?? z ? 0
—xoy面上的 椭圆叫做腰 椭圆
? ? ?
y b
2 2
?
z2 c2
?1
?? x ? 0
—yoz面 上的双曲 线
? ? ?
x a
2 2
?
z2 c2
?1
—xoz面上
?? y ? 0
z2 c2
?
1 与三个坐标面的交线
xOy面
:
?? ?
x2 a2
?
y2 b2
?1
?? z ? 0
xOz面
:
?? ?
x2 a2
?
z2 c2
?
1
?? y ? 0
yOz面
:
?? ?
y2 b2
?
z2 c2
?
1
?? x ? 0
椭球面的主截线（主椭圆）
z 椭球面
o
x
y
5.平截线：
z
x2 ? y2 ? z2 ? 1 a 2 b2 c2
简单的二次曲面
柱面上任取一点 P(x,y,z)
z
沿母线与 xoy平面的交点是 P?(x,y,0)
P(x,y,z)
P ?(x,y,0) 在准线上，从而柱面上 任一点 P 的坐标均满足方程
o
y
F(x,y)=0.
x
P?(x,y,0)
柱面方程：F(x,y)=0
准线方程
?F (x, y) ?
? ?
z
?
0.
0,
柱面的 特征：
? ?
y
?
a sin ?
?? z ? b?
(? ? ? t,
螺旋线的重要 性质：
b? v)
?
上升的高度与转过的角度成正比．
即 ? : ? 0 ? ? 0 ? ? , z : b? 0 ? b? 0 ? b? , ? ? 2? , 上升的高度 h ? 2b? 螺距
M f ( y, z) ? 0
（2）点 M 到 z 轴的距离
d ? x 2 ? y2 ? | y1 |
o
y
x
将 z1 ? z, y1 ? ? x 2 ? y2 代入 f ( y1 , z1 ) ? 0
将 z1 ? z, y1 ? ? x 2 ? y2 代入 f ( y1 , z1 ) ? 0
? ? 得方程 f ? x 2 ? y2 , z ? 0,
?
1
曲 面
? y2 z2
（2）椭圆
? ?
a
2
?
c2
?
1绕y
轴和z
轴；
?? x ? 0
绕 y 轴旋转
y2 x2 ? z2 a2 ? c2 ? 1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 ? a2
第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程
第3讲 空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节 曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱 面 4二次曲面第四节 空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数第三节 曲面及其方程一、 曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。
四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。
例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。
例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。
例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节 空间曲线及其方程一、 空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、 空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。
空间解析几何-第3章-常见的曲面2
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就 表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐 标轴的标注要符合右手系的原则.
1、椭圆抛物面
x2 a2
, 椭圆
z h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b时
截线为双曲线
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝b 时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h ＝b 时
x2 Cyh： a2
x2 Czh： a2
y2 b2
h2 c2
1,
z h.
结论：双叶双曲面可看作由 一个椭圆的变动（大小位置 都改变）而产生，该椭圆在 变动中，保持所在平面与 x
xOy 面平行，且两轴的端点
分别在两定双曲线上滑动.
z
o
y
（2）用 y t截曲面
空间解析几何-第3章 常见的曲面2
单叶双曲面 双叶双曲面
抛物面
椭圆抛物面 双曲抛物面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
x2 y 2 h2 2 2 1＋ 2 , Cz h： b c 椭圆 a z h.
z
O x y
结论：单叶双曲面可看作由一 个椭圆的变动（大小位置都改 变）而产生，该椭圆在变动中， 保持所在平面与xOy 面平行， 且两对顶点分别在两定双曲线 上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
（1）双叶双曲面与x轴、y轴不交，而与 z轴交于（0，0，±c），此为其实顶点. （2）用x=0,y=0代入，得曲线在z轴上的 截距，而在x,y轴上无截距.
z
x
o
y
3 图形范围
x2 y 2 z2 2 1 2 2 a b c
，易知
所以曲面分成两叶，一叶在 z c 的上方，另一叶在 z c 平面的下方，曲面在面的上半空间下半空间延伸到无穷。
z
此时的单叶双曲面是双曲线
y2 z2 1, : b2 c2 x 0
o
b
y
绕虚轴（即 z 轴）旋转形成的 x .
单叶旋转双曲面
例 用一组平行平面 z h （ h 为任意实数）截割单叶双曲面
x2 y 2 z 2 2 2 1 a b 得一族椭圆，求这些椭圆焦点的轨迹. 2 a b c
（0，±b，0）而与z轴无实交点.
上述四点称为单叶双曲面的实顶点， 而与z轴的交点（0，0，±ci） 称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0，