2017-2018学年甘肃省兰州市兰州一中高二上学期文科数学期末试卷 - 学生版

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2017-2018学年甘肃省兰州高二上期末数学试卷(文科)含答案解析

2017-2018学年甘肃省兰州高二（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（每小题5分）1．（5分）在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项2．（5分）在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的取值范围为（）A．[2，6]B．（﹣∞，10]C．[2，10] D．（﹣∞，6]4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣105．（5分）若a＜b＜0，下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．D．6．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（）A．10 B．﹣14 C．14 D．﹣107．（5分）抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为（）A．B．C．D．48．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 9．（5分）已知向量=（1，m﹣1），=（m，2），则“m=2”是“与共线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．11．（5分）已知x，y＞0，且，则x+2y的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C． D．二、填空题（每小题5分）13．（5分）若当x＞2时，不等式恒成立，则a的取值范围是．14．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若（a2+c2﹣b2）tan B=ac，则角B的值为．16．（5分）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．三、解答题17．（10分）在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求b1+b2+b3+…+b10的值．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．（1）求b的值；（2）求sinC的值．19．（12分）已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．若命题p∧q是真命题，求a的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象经过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．21．（12分）已知动点M（x，y）到定点A（1，0）的距离与M到直线l：x=4的距离之比为．①求点M的轨迹C的方程；②过点N（﹣1，1）的直线与曲线C交于P，Q两点，且N为线段PQ中点，求直线PQ的方程．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．2017-2018学年兰州高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分）1．（5分）在数列1，2，，…中，2是这个数列的（）A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项【解答】解：数列1，2，，…就是数列，，，，，…，∴a n==，∴=2=，∴n=26，故2是这个数列的第26项，故选：C．2．（5分）在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【解答】解析：∵2cosB•sinA=sinC=sin（A+B）⇒sin（A﹣B）=0，又B、A为三角形的内角，∴A=B．答案：C3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的取值范围为（）A．[2，6]B．（﹣∞，10]C．[2，10] D．（﹣∞，6]【解答】解：根据变量x，y满足约束条件画出可行域，由⇒A（3，﹣3），由图得当z=x﹣y过点A（3，﹣3）时，Z最大为6．故所求z=x﹣y的取值范围是（﹣∞，6]故选：D．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=﹣8，∴a2=﹣6．故选：B．5．（5分）若a＜b＜0，下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．D．【解答】解：方法一：若a＜b＜0，不妨设a=﹣2，b=﹣1代入各个选项，错误的是A、B、D，故选C．方法二：∵a＜b＜0∴a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）＞0即a2＞b2，故选项A不正确；∵a＜b＜0∴a2﹣ab=a（a﹣b）＞0即a2＞ab，故选项B不正确；∵a＜b＜0∴﹣1=＜0即＜1，故选项C正确；∵a＜b＜0∴＞0即，故选项D不正确；故选C6．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（）A．10 B．﹣14 C．14 D．﹣10【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），∴﹣，是方程ax2+bx+2=0的两个实数根，且a＜0，∴﹣=﹣+，=﹣×，解得a=﹣12，b=﹣2，∴a+b=﹣14故选：B7．（5分）抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为（）A．B．C．D．4【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y=2x2，其标准方程为x2=y，其中p=，则抛物线的焦点到准线的距离p=，故选：C．8．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．9．（5分）已知向量=（1，m﹣1），=（m，2），则“m=2”是“与共线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若与共线，则1×2﹣m（m﹣1）=0，即m2﹣m﹣2=0，得m=2或m=﹣1，则“m=2”是“与共线”的充分不必要条件，故选：A10．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选A．11．（5分）已知x，y＞0，且，则x+2y的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：由得，，∴，当且仅当x=y=时取等号．故选：D．12．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：∵点P取端轴的一个端点时，使得∠F1PF2是最大角．已知椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2是钝角，∴b≥c，可得a2﹣c2≥c2，可得：a．∴．故选：A．二、填空题（每小题5分）13．（5分）若当x＞2时，不等式恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，2+2] ．【解答】解：当x＞2时，不等式恒成立，即求解x+的最小值，x+=x﹣2++2=2+2，当且仅当x=2+时，等号成立．所以a的取值范围是：（﹣∞，2+2]．故答案为：（﹣∞，2+2]．14．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为x﹣y﹣1=0．【解答】解：由y=x3﹣2x+1，得y′=3x2﹣2．∴y′|x=1=1．∴曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣1）．即x﹣y﹣1=0．故答案为：x﹣y﹣1=0．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若（a2+c2﹣b2）tan B=ac，则角B的值为或．【解答】解：∵，∴cosB×tanB=sinB=∴B=或故选B．16．（5分）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为，则a=5，由椭圆的定义得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10，两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=20，又由|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8，故答案为：8．三、解答题17．（10分）在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求b1+b2+b3+…+b10的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知得解得…（4分）∴a n=3+（n﹣1）×1，即a n=n+2…（6分）（2）由（1）知，b1+b2+b3+…+b10=21+22+…+210=…（10分）=2046…（12分）18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=5，cosB=．（1）求b的值；（2）求sinC的值．【解答】解：（1）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，代入数据可得b2=4+25﹣2×2×5×=17，∴b=；（2）∵cosB=，∴sinB==由正弦定理=，即=，解得sinC=19．（12分）已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．若命题p∧q是真命题，求a的取值范围．【解答】解：p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，只要（x2﹣a）min≥0，x∈[1，2]，又y=x2﹣a，x∈[1，2]的最小值为1﹣a，所以1﹣a≥0，a≤1．q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，所以△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，a≤﹣2或a≥1，由p且q为真可知p和q为均真，所以a≤﹣2或a=1，∴a的取值范围是{a|a≤﹣2或a=1}．20．（12分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象经过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）由y=f（x）的图象经过点P（0，2），知d=2，∴f（x）=x3+bx2+cx+2，f'（x）=3x2+2bx﹣c．由在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0，知﹣6﹣f（﹣1）+7=0，即f（﹣1）=1，又f'（﹣1）=6．解得b=c=﹣3．故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．（Ⅱ）f'（x）=3x2﹣6x﹣3．令f'（x）＞0，得或；令f'（x）＜0，得．故f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2的单调递增区间为和，单调递减区间为．21．（12分）已知动点M（x，y）到定点A（1，0）的距离与M到直线l：x=4的距离之比为．①求点M的轨迹C的方程；②过点N（﹣1，1）的直线与曲线C交于P，Q两点，且N为线段PQ中点，求直线PQ的方程．【解答】解：①由题意动点M（x，y）到定点A（1，0）的距离与它到定直线l：x=4的距离之比为，得=，化简并整理，得+=1．所以动点M（x，y）的轨迹C的方程为椭圆+=1．②设P，Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2），∴3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，两式相减可得3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∵x1+x2=﹣2，y1+y2=2，∴﹣6（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，∴k==，∴直线PQ的方程为y﹣1=（x+1），即为3x﹣4y+7=0．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0），∴，解得，b=1，∴椭圆C的方程为=1．（2）k1+k2是定值．证明如下：设过M的直线：y=k（x﹣1）=kx﹣k或者x=1①x=1时，代入椭圆，y=±，∴令A（1，），B（1，﹣），k1=，k2=，∴k1+k2=2．②y=kx﹣k代入椭圆，（3k2+1）x2﹣6k2x+（3k2﹣3）=0设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=，x1x2=，y1+y2=﹣2k=，y1y2=k2x1x2﹣k2（x1+x2）+k2=﹣，k1=，k2=，∴k1+k2==2．。

甘肃省兰州市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

兰州一中2018-2019-1学期高二年级期末考试试题数学（文）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆上一点到一个焦点的距离为4，则点到另一个焦点的距离为( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义可知，即可得到椭圆上一点到一个焦点的距离为4，点到另一个焦点的距离，得到答案.【详解】由椭圆的方程，可得，又由椭圆的定义可知所以椭圆上一点到一个焦点的距离为4，则点到另一个焦点的距离为，故选B.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的定义的转化是解答本题点关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.2.已知函数，，其中为实数，为的导函数.若，则的值为( )A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】由题意，求得函数的导数，根据，即可求解.【详解】由题意，函数，，可得，又由，即，解得，故选C.【点睛】本题主要考查了导数的运算及应用，其中解答中熟记导数的运算公式，准确求解函数的导数是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据必要不充分条件的判定方法，即可作差判定，得到答案.【详解】由题意可知，“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破流量”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义及判定，其中解答中熟记充分条件和必要条件的定义，合理、准确盘判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4.若抛物线的焦点坐标是，则等于( )A. 4B.C. 8D.【答案】D【解析】【分析】由抛物线的方程，可知，则，所以其焦点坐标为，列出方程即可求解.【详解】由抛物线的方程，可知，则，所以其焦点坐标为，又因为抛物线的焦点坐标为，即，故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答熟记抛物线的方程的形式和简单的几何性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5.是过抛物线焦点的弦，且,则线段的中点横坐标为( )A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】由抛物线的焦点弦的行贿，即可求的线段AB的中点的横坐标，得到答案.【详解】因为抛物线，可得，设，因为直线AB过抛物线的焦点，根据抛物线的焦点弦的性质可得，即，所以AB的中点的横坐标为，故选A.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的焦点弦的性质，合理应用是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6.已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则该生产厂家获取的最大年利润为( )A. 300万元B. 252万元C. 200万元D. 128万元【答案】C【解析】【分析】求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最大值，即可得到答案.【详解】由题意，函数，所以，当时，，函数为单调递增函数；当时，，函数为单调递减函数，所以当时，有最大值，此时最大值为200万元，故选C.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记函数的导数在函数中的应用，准确判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7.下列命题中假命题为( )A. 已知函数在处导数存在，若，则的极值点为.B. “若，则或x=2”的逆否命题为“若，则”.C. 若，则方程有实根.D. 命题“存在，使得”的否定为“任意，都有”.【答案】A【解析】【分析】由题意，根据函数极值点的定义，逆否命题的概念，以及一元二次方程的性质和存在性命题与全称命题的关键，逐一判定，即可得到答案.【详解】对于A 中，例如，则，解得，但不是函数的极值点，所以函数在处导数存在，且，则不一定是函数的极值点，所以A不正确；对于B中，根据逆否命题的定义可知命题“若，则”的逆否命题为“若，则”是正确的.对于C中，方程，其中时，解得，所以，则方程有实根是正确；对于D中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题“存在，使得”的否定为“任意，都有”是正确的.故选A.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到函数的极值点的定义、逆否命题的概念、一元二次方程的性质和命题的否定等知识点的考查，熟记概念与性质，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.8.若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，利用导数有两个不同的零点，可得函数恰好有三个不同的单调区间，从而求解参数的取值范围，得到答案.【详解】因为函数，所以，由函数恰好有三个不同的单调区间，即有两个不同的零点，所以方程满足且，解得或，所以实数的取值范围是，故选D.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中把导数有两个不同的零点，转化为函数恰好有三个不同的单调区间，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.9.若是函数的极值点，则的极小值为( )A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可.【详解】函数，可得，因为是函数的极值点，可得，解得，可得，令，当或时，，此时函数为单调增函数，当时，，此时函数为单调减函数，所以当时函数取得极小值，此时极小值为，故选C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.10.已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，化简得出，利用双曲线的定义，得到点M的轨迹是以为焦点的双曲线的左支，即可求解其轨迹方程，得到答案.【详解】设动圆的圆心M的坐标为，半径为，则由题意可得，相减可得，所以点M的轨迹是以为焦点的双曲线的左支，由题意可得，所以，故点M的轨迹方程为，故选B.【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义、性质和标准方程的应用，其中解答中根据圆与圆的位置关系，利用双曲线的定义得到动点的轨迹是以为焦点的双曲线的左支是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.11.椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线斜率为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把直线代入椭圆中，利用根于系数的关键，求得M的坐标，再利用斜率公式，即可求解. 【详解】把直线代入椭圆中，得,设的坐标为，则有，所以点M的坐标为，所以OM的斜率为，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，其中此类问题的解答中用直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程根与系数的关系，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.12.定义在上的函数满足：，则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，即可求解.【详解】设g(x)＝e x f(x) (x∈R)，则(x)＝e x f(x)＋e x f′(x)＝e x[f(x)＋f′(x)]，因为f(x)＋f′(x)>0，所以 (x)>0，所以g(x)在定义域上单调递增，因为e x f(x)> 4，所以g(x)>4.又因为g(0)＝e0f(0)＝4，所以g(x)>g(0)，所以x>0.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.有一机器人的运动方程为 (是时间，是位移)，则该机器人在时刻时的瞬时速度为________. 【答案】1【解析】【分析】根据题意，对进行求导，然后代入即可得到答案.【详解】由题意知，则，当时，，即该机器人在是的瞬时速度为1.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，函数的瞬时变化率的应用去，其中极大中正确理解瞬时变化率的概念，以及求出函数的导数，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.14.若函数的导函数为,则=________.【答案】【解析】【分析】由题意，求得函数导数为，即可求解的值.【详解】由题意，函数的导数为，所以.【点睛】本题主要考查了导数的运算与求值问题，其中解答中熟记导数的运算法则，准确求出函数的导数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.15.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”.已知四位歌手有且只有一位说了假话，则获奖的歌手是________.【答案】乙【解析】【分析】根据乙丙；的说法是相互矛盾的，得出乙与丙说法一对一错，唉根据甲、丁的说法都准确，推出获奖的歌手是乙即可.【详解】由题意，乙与丙的说法是相互矛盾的，所以乙与丙的说法中一对一错，又甲说：“是乙或丙获奖”，是正确；丁说“是乙获奖”是正确，由此可知获奖的歌手是一，且乙说的也对.【点睛】本题主要考查了简单的合情推理的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用合情推理进行，逐一判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.16.已知是双曲线的右顶点，过左焦点与轴平行的直线交双曲线、两点，若是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为________.【答案】2【解析】【分析】求出各点的坐标，根据是等腰直角三角形，轴得出的关系，即可求解离心率.【详解】由题意，A是双曲线的右顶点，所以，所以，解得，所以，所以，因为是等腰直角三角形，轴，所以，所以，所以，即，所以，解得或（舍去），故选.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，以及离心率的求解问题，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理应用题设条件得到的关系式是求解的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1)若椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，求椭圆方程.(2)已知双曲线与圆.若双曲线的焦距为，它的两条渐近线恰好与圆相切，求双曲线的方程.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1，代入点的坐标，列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程；(2)由渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离，利用点到直线的距离公式，求得的值，即可得到双曲线的方程.【详解】(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).由，解得，，所以椭圆的方程为.(2)由，知.渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.∴，得a＝3，b＝4，∴双曲线的方程为.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及双曲线的标准方程的求解，其中解答中熟记圆锥曲线的几何性质，合理求解得值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.18.设命题：实数满足 (其中)，命题：实数满足(1)若，且为真命题，求实数的取值范围.(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)当a＝1时，解得1<x<4，得到当p为真时，实数x的取值范围是1<x<4.当q为真时，解得2<x≤5，进而根据p∧q 为真，即可求解；(2)由是的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件，即且，根据集合的运算即可求解.【详解】(1)当a＝1时，x2－5ax＋4a2<0即为x2－5x＋4<0，解得1<x<4，当p为真时，实数x的取值范围是1<x<4.当q为真时，由，知2<x≤5.若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(2，4).(2)是的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件.设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则且.由x2－5ax＋4a2<0得(x－4a)(x－a)<0，∵a>0，∴A＝{x|a<x<4a}，又B＝{x|2<x≤5}，则a≤2且4a>5，解得<a≤2.∴实数a的取值范围是.【点睛】本题主要考查了集合与简易逻辑的应用，其中解答中正确求解命题，再根据复合命题的关系和必要不充分条件的运算求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题.19.已知函数.(1) 设，求曲线在点处的切线方程.(2)设，若函数有三个不同零点，求实数的取值范围.【答案】(1) y＝x＋1；(2)【解析】【分析】（1）求得函数的导数，得到，根据导数的几何意义，即可求解切线的方程；（2）利用导数求得函数的单调性和极值，再根据函数由三个不同的零点，列出相应的关系式，即可求解.【详解】(1)由f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，得f′(x)＝3x2＋2ax＋1.∵f(0)＝1，f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x＋1.(2)当a＝b＝4时，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，∴f′(x)＝3x2＋8x＋4.令f′(x)＝0，得3x2＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝.当x变化时，f(x)与f′(x)在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：∴当c>0且<0时，f(－4)＝c－16<0，f(0)＝c>0，存在x1∈(－4，－2)，x2∈，x3∈，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.由f(x)的单调性知，当且仅当c∈时，函数f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性与极值的应用，其中解答中熟记导数的几何意义求解在某点处的切线方程的方法，以及合理利用导数判定函数的单调性和求解函数的极值是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.20.已知椭圆的中心在坐标原点，左焦点为，点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程.(2)过点的直线交椭圆于两个不同的点、，，求直线的方程．【答案】(1) (2) x＋y－1＝0或x－y－1＝0【解析】【分析】(1)由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a，求得，进而求得，即可得到椭圆的方程；(2)由题可设直线AB的方程为x＝my＋1，与椭圆的方程联立方程组，利用弦长公式得到关于m的方程，求得m的值，即可得到所求直线的方程.【详解】(1)设椭圆C的方程为，因为椭圆的左焦点为F1(－，0)，设椭圆的右焦点为F2(，0),由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a，所以2a=4，所以a=2，从而b=1，所以椭圆C的方程为．(2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题可设直线AB的方程为x＝my＋1．由消去x得(4＋m2)y2＋2my－3＝0，所以，则，化简得解得m2＝1或（舍），故m＝±1．故直线AB的方程为x＝±y＋1，即x＋y－1＝0或x－y－1＝0为所求．【点睛】本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中用直线的方程和椭圆的方程联立方程组，合理利用弦长公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知抛物线：的焦点为，抛物线与直线交于两点（为坐标原点）,且.(1)求抛物线的方程.(2)不过原点的直线与垂直，且与抛物线交于不同的两点、，若坐标原点在以线段为直径的圆上，求的面积.【答案】(1) y2＝8x；(2)24【解析】【分析】(1)由直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，代入抛物线的方程，可求得，得出抛物线的方程；(2)可设直线l2：x＝y＋m，联立方程组，利用根与系数的关系和OA⊥OB，求得m＝8，得到直线l2：x＝y＋8，和点M(8，0)，进而利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x.(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.由得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2.由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍)，∴直线l2：x＝y＋8，M(8，0).故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中用直线的方程和抛物线的方程联立方程组，合理利用根与系数的关系和OA⊥OB，求得实数m的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.22.已知为函数的导函数，且的两个零点为-3和0.(1)求的单调区间.(2)若的极小值为，当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) 单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)；(2)【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数 )，令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，根据－3和0是y＝g(x)的零点，进而可求解函数的单调区间；(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，列出方程组，求得的值，进而求得函数的单调区间和最值，进而可求解实数k的值.【详解】解:(1)f′(x)＝，令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，由于e x>0.令f′(x)＝0，则g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c＝0，∴－3和0是y＝g(x)的零点，且f′(x)与g(x)的符号相同.又因为a>0，所以－3<x<0时，g(x)>0，即f′(x)>0，当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞).(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有，解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝.因为f(x)的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞).所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，又f(－5)＝＝5e5>5＝f(0)，所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.，即所求范围为【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和求解函数的最值，以及利用导数解决函数不等式恒成立问题，其中对于恒成立问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.。

甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月

兰州一中2017-2018高二9月月考数学试题考试时间：120分钟满分：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，()5283S a a =+，则53a a 的值为（） A ．56 B ．13 C ．35 D ．162.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+（）A．2．2．3- D．3+ 3.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且()cos 2cos cos 1,B B C A ++-=则（）A ．,,a b c 成等比数列B ．,,a b c 成等差数列C ．,,a c b 成等比数列D ．,,a c b 成等差数列4.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为（） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 5. ABC ∆中，tan A 是以-4为第三项，-1为第七项的等差数列的公差，tan B 是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均错 6.已知等比数列{}n a 为递增数列，262,3a a --为偶函数()()2212f x x a x a =-++的两个零点，若123n n T a a a a =，则7T =（）A ．128B ．-128C ．128或-128D ．64或-647. 数列{}n a 满足1111,12n na a a +==-，则2010a 等于（）A.12B.-1C.2D.3 8.已知函数()af x x =的图象过点()4,2，令()()*1,1n a n N f n f n =∈++，记{}n a 的前n项为n S ，则2016S =（）A1 B1 C．1- D1- 9.如果满足B =60，AC =12，BC = k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（） A.k = B.012k <≤ C.12k ≥ D.012k <≤或k =10.已知数列{}n a 满足()*21102,4n n a a a n n N +=-=∈，则数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值为（）A ．25B ．26C ．27D ．2811.数列{}n a 的前n 项和为()*21n n S n N =-∈，则22212n a a a +++=（）A ．()221n- B ．()1213n - C ．41n- D ．()1413n - 12.等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若231n n S nT n =+，则4637a ab b +=+（） A ．23 B ．149 C ．914 D ．32第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.△ABC 中,A =60，b= 1, ABCS,则sin sin sin a b cA B C++=++ .14.在公差不为0的等差数列{}n a 中， 138a a +=，且4a 为2a 和9a 的等比中项，则5a =_ _．15.ABC ∆三内角A B C 、、的对边分别为,,a b c，sin cos 20A a B a --=，则B ∠=_______．16.已知数列{}n a 中，1160,3n n a a a +=-=+，则12330a a a a ++++=___________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）在ABC ∆中， 4,a c ==,sin 4sin A B =．（1）求b 边的长；（2）求角C 的大小.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，()()2*11n n na n a n n n N +=+++∈．（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）若数列{}n b 满足121n n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19.（本题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别是,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=．（1）求sin sin CA的值；（2）若1cos ,24B b ==，求ABC S ∆．20.（本题满分12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2243n n n a a S +=+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和．21．（本小题满分12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . （1）求A 的大小；（2）求sin B ＋sin C 的最大值．22.（本小题满分12分）已知递增等差数列{}n a 中的25,a a 是函数2()710f x x x =-+的两个零点．数列{}n b 满足，点(,)n n b S 在直线1y x =-+上，其中n S 是数列{}n b 的前n 项和．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．1-5 ADACA 6-10 ACDDB 11-12 DC13 3 14 . 13 15 23π16. 76517. 解（1）依正弦定理sin sin a bA B=有sin sin b A a B = …………………………3分又4,a =sin 4sin A B =，∴1b = …………………………5分（2）依余弦定理有 222161131cos 22412a b c C ab +-+-===⨯⨯ ………………8分又0︒＜C ＜180︒，∴60C ︒= …………………………………………10分 18. （1）证明：()()111111n nn n na n a a a n n n n ++-+-==++，1219.解：（1）∵cos 2cos 2cos A C c aB b--=， ∴cos 2cos 2sin sin cos sin A C C A B B--=， ∴cos sin 2cos sinB 2sinCcosB sinAcosB A B C -=-， ∴()()sin 2sin A B B C +=+， ∴sin 2sin C A =，∴sin 2sin CA= …………………………………………………6分（2）ABC S ∆=…………………………………………………………12分 20. 解（1）由2243n n n a a S +=+，知2111243n n n a a S ++++=+，得221112()4n n n n n a a a a a +++-+-=，即2211112()()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=-+，由于0n a >，可得12n n a a +-=，又2111243a a a +=+，解得11a =-（舍去），13a =，所以{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为21n a n =+. ………………6分（2）由21n a n =+知 111(21)(23)n n n b a a n n +==++111()22123n n =-++．设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则 12n n T b b b =+++…1111111()()()235572123n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥++⎣⎦…3(23)n n =+．…12分21．解(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得cosA =2222b c a bc+-，故cosA ＝－21，A ＝120°. …………………………………………………………6分(2) 由(1)得：sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin (60°－B)=＋12sinB ＝sin (60°＋B )．故当B ＝30°时，sinB ＋sinC 取得最大值1. …………………………………………12分 22．解（1）∵，是函数的两个零点，则，解得：或.又等差数列递增，则，∴ ………………………………………………………3分 ∵点在直线上，则。

甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题(解析版)

兰州一中2017-2018-2学期高二年级期末考试试题数学（文）选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 直线x－y＋3＝0的倾斜角为A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】B【解析】分析：先求直线的斜率，再求直线的倾斜角.详解：由题得直线的斜率为所以.故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查直线倾斜角和斜率的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)直线ax+by+c=0(b≠0)的斜率为2. 设集合，集合，则A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先化简集合B,再求A∪B.详解：由题得，所以A∪B=，故答案为:D.点睛：(1)本题主要考查集合的化简和并集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)无限集的运算一般通过数轴进行，有限集的运算一般通过韦恩图进行.3. 等差数列的前项和为，且满足，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据等差数列的性质得到再求.详解：由题得所以.故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查等差数列的性质和数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)等差数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等差中项.4. 若命题“∃R，使得”是真命题，则实数a的取值范围是A. (－1，3)B. [－1，3]C.D.【答案】C【解析】分析:由题得，解不等式即得实数a的取值范围.详解：由题得，所以.故答案为：C.点睛：本题主要考查一元二次不等式的解和特称命题，意在考查学生对这些知识的掌握水平.5. 已知，，，则、、的大小关系是A. B. C. D.【答案】D【解析】因为幂函数在定义域内单调递增，所以，由指数函数的性质可得，故选D.【方法点睛】本题主要考查幂函数单调性、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题. 解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】分析：首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.详解：设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.7. 已知向量满足，，则A. 2B.C. 4D. 8【答案】B【解析】分析：先化简，求出的值，再求的值.详解：因为，所以所以.故答案为：B.8. 若执行下面的程序框图，输出的值为3，则判断框中应填入的条件是A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．详解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环 log23 3第二次循环 log23•log34 4第三次循环 log23•log34•log45 5第四次循环 log23•log34•log45•log56 6第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k＜8．故答案为：D．点睛：本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律是解题关键.9. 已知实数满足，则的最小值是A. B. C. 4 D.【答案】A【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．详解：由约束条件，写出可行域如图，化z=x+2y为y=，由图可知，当直线y=过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z=2+2×0=2．故答案为：A．点睛：（1）本题主要考查线性规划求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.10. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A. 2B. 3C.D.【答案】C【解析】分析：先画出三视图对应的原图，再展开求从M到N的路径中的最短路径的长度.详解：先画出圆柱原图再展开得，由题得数形结合得M,N的最短路径为故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查三视图和圆柱中的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法. (2)对于曲面的最值问题，由于用直接法比较困难，一般利用展开法来分析解答.11. 已知函数（）的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求出图像变换后的解析式y=2cos（2x﹣φ+）,再令﹣φ+=kπ，k∈Z，求得的值.详解：由题得函数f（x）=cos（2x﹣φ）﹣sin（2x﹣φ）=2cos（2x﹣φ+），（|φ|＜）所以函数的图象向右平移个单位后，可得y=2cos（2x﹣﹣φ+）=2cos（2x﹣φ+）的图象，由于所得图象关于y轴对称，可得﹣φ+=kπ，k∈Z，故φ=.故答案为：B.12. 已知函数，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先分析出函数f(x)的性质，再根据函数f(x)的图像解不等式.详解：由题得y==,所以当x≥0时，函数单调递减，所以此时当x=0时，.当x＞0时，y=2是一个常数函数，所以不等式可以化为，解之得x∈.故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查函数的单调性和最值，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答本题的关键有两点，其一是分析出当x≥0时，函数单调递减，所以此时当x=0时，.其二是通过图像分析出.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，则的最小值是_____________________．【答案】2【解析】分析：先化简已知得到xy=10,再利用基本不等式求的最小值.详解：因为，所以所以，当且仅当即x=2,y=5时取到最小值.故答案为：2.点睛：（1）本题主要考查对数运算和基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可。

7—18学年下学期高二期末考试数学(文)试题(附答案)

兰州一中2017-2018-2学期高二年级期末考试试题数学（文）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线3x －y ＋3＝0的倾斜角为 A ．30°B ． 60°C ． 120°D ．150°2．设集合{|22}A x x =-≤≤，集合2{|230}B x x x =-->，则A B =A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,2]- C ．[2,1)-- D ．(,2](3,)-∞+∞3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足41020a a +=，则13S = A ．130B ．150C ．200D ．2604．若命题“∃∈0x R ，使得01)1(020<+-+x a x ”是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．(－1，3) B ．[－1，3] C ．(,1)(3,)-∞-+∞ D ．(,1][3,)-∞-+∞5. 已知 2.10.5a =，0.52b =， 2.10.2c =，则a 、b 、c 的大小关系是A ． a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b << 6．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半7．已知向量，a b 满足2=|a |=|b |，2⋅-=-（）a b a ，则|2|-=a b A ． 2B ．C ． 4D ．88．若执行下面的程序框图，输出S 的值为3，则判断框中应填入的条件是A ． ?7<k B ． ?6<k C ．?9<k D ．?8<k9．已知实数y x ,满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值是A ． 2B ．2-C ．4D ． 4-10．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．2B ．3C ．D ． 11．已知函数()cos(2))f x x x ϕϕ=--（||2πϕ<）的图象向右平移12π个单位后关于y 轴对称，则ϕ的值为 A ．12π B ．6π C ．3π- D ．3π12．已知函数20()12xx f x x x -⎧≥⎪=+⎨⎪<⎩，则不等式2(2)(2)f x x f x -<的解集为A ． (,0)(4,)-∞+∞ B ．(,0)(2,)-∞+∞ C ．(,2)-∞ D ．(2,4)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知lg lg 1x y +=，则的最小值是． 14．若直线1:m 60l x y ++=与直线2:(m 2)320l x y m -++=平行，则实数m 的值为．15．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(,0]-∞上是减函数，则不等式(1)(ln )f f x -<的解集是．16．半径为4的球的球面上有四点A ,B ,C ,D ，已知ABC ∆为等边三角形且其面积为39，则三棱锥D ABC -体积的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=，求数列}{n b 的前n 项和n S ． 18．（本小题12分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-．（Ⅰ）求()x f 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求()x f 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及取得最大值时x 的值． 19．（本小题12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan cos cos )c C a B b A +. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若点D 在边BC 上，且4AD CD ==，ABD ∆的面积为c . 20．（本小题12分）某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查,情况如下表:（Ⅰ）求出表中数据m ，n ；（Ⅱ）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关；（Ⅲ）)为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现：它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率. 附：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++21．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD DA ⊥,PD DC ⊥.（Ⅰ）若E 是PA 的中点，求证：PC ∥平面BED ；（Ⅱ）若4PD AD ==，PE AE =，求三棱锥A BED -的高. 22.（本小题12分）已知直线l ：0x y ++=，半径为4的圆C 与直线l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点M (2，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.兰州一中2017-2018-2学期高二年级期末试题答案数学（文）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．2 14．1- 15．()10,,e e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16．318三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=，求数列}{n b 的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）设公比为，则，，∵是和的等差中项，∴，，解得或（舍），∴． ..........................5分（Ⅱ），则．................10分18、（本小题12分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-．（Ⅰ）求()x f 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求()x f 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值及取得最大值时x 的值．解：（Ⅰ）因为()4cos sin f x x =()16x π+-1cos 21sin 23cos 4-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=x x x222cos 12cos22sin 26x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭....................4分故()f x 最小正周期为π. ................................................................................5分由222262k x k πππππ-≤+≤+得36k x k ππππ-≤≤+故()f x 的单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． ................................ 8分（Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤．于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2............................12分19、（本小题12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知tan cos cos )c C a B b A +. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若点D 在边BC 上，且4AD CD ==，ABD ∆的面积为c . 解：（Ⅰ）由tan cos cos )c C a B b A =+及正弦定理可得sin tan cos sin cos )C C A B B A =+，故sin tan )C C A B =+，而sin sin()0C A B =+>，所以tan C =3C π=. ...............................6分（Ⅱ）由4AD CD ==及3C π=可得ACD ∆是正三角形.由ABD ∆的面积为12sin 23AD BD π⋅⋅=142BD ⨯⨯= 故8BD =，在ABD ∆中，由余弦定理可得222248248cos1123c π=+-⨯⨯⨯=，即c = ..............................12分 20、（本小题12分）某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查,情况如下表:（Ⅰ）求出表中数据m ，n ；（Ⅱ）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关；（Ⅲ）为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现：它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率. 附：2(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++解：（Ⅰ）根据分层抽样方法抽得女生50人，男生75人，所以m =50-20=30(人)， n =75-25=50(人) ………………………………………………………………3分（Ⅱ）因为22125(20253050)8.66 6.635(2030)(5025)(2050)(3025)K ⨯-⨯=≈>++++，所以有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关.………………………………………7分（Ⅲ）设5名男生分别为A 、B 、C 、D 、E ，2名女生分别为a 、b ，由题意可知从7人中选出5人接受电视台采访，相当于从7人中挑选2人不接受采访，并且2人中恰有一男一女.而从7人中挑选2人的所有可能的结果为{A ,B }{A ,C }{A ,D }{A ,E }{A ,a }{A ,b }{B ,C }{B ,D }{B ,E }{B ,a }{B ,b }{C ,D }{C ,E }{C ,a } {C ,b }{D ,E }{D ,a }{D ,b }{E ,a }{E ,b }{a ,b }，共21种，其中恰为一男一女的包括，{A ,a }{A ,b }{B ,a }{B ,b }{C ,a }{C ,b }{D ,a }{D ,b }{E ,a }{E ,b },共10种. 因此所求概率为1021P =. ………………………………………12分21、（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD DA ⊥,PD DC ⊥. （Ⅰ）若E 是PA 的中点，求证：PC ∥平面BED ；（Ⅱ）若4PD AD ==，PE AE =，求点A 到平面BED 的距离. 解：（Ⅰ）设AC 交BD 于G ,连接EG .在正方形ABCD 中，G 为AC 中点，则在三角形ACP 中,中位线 EG ∥PC ,又EG ⊂平面BED ,PC ⊄平面BED , ∴PC ∥平面BED . ............5分（Ⅱ）在PAD ∆中，设AD 的中点为O ，连接EO ，则122EO PD ==，且EO ∥PD 又∵PD DA ⊥,PD DC ⊥，∴PD ⊥平面ABCD . ∴EO ⊥平面ABCD . 又4PD AD ==，∴DE AE DB BE ==== ∴ 三角形BED 为直角三角形.又∵A BDE E ABD V V --=，（设三棱锥A BED -的高为h ） ∴1133ABD BDE S EO S h ∆∆⨯=⨯，∴11114423232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得h =. 所以点A 到平面BED的距离为. ............12分22．（本小题12分）已知直线l：0x y ++=，半径为4的圆C 与直线l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点M (2，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）设圆心C (a ，0) (a >-，4=⇒a ＝0或a＝-(舍).所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝16. .........................4分（Ⅱ）当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，假设N (t ，0) (0)t >符合题意，又设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由22(2)16y k x x y =-⎧⎨+=⎩得(k 2＋1)x 2－4k 2x ＋4k 2－16＝0，所以x 1＋x 2＝2241k k +，x 1x 2＝224161k k -+. .....................................................6分若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN …………8分即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒11(2)k x x t --＋22(2)k x x t--＝0⇒2x 1x 2－(t ＋2)(x 1＋x 2)＋4t ＝0⇒222(416)1k k -+－224(t 2)1k k ++＋4t ＝0⇒t ＝8. …………11分所以存在点N 为(8，0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立. ……………12分。

甘肃省兰州市第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题

兰州一中2017-2018学年2学期期末考试试题高二数学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟第I卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数的实部与虚部之和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，复数的实部和虚部之和是，故选B.2. 已知等比数列满足，则（）A. 64B. 81C. 128D. 243【答案】A【解析】试题分析：∵，∴，∴，∴．考点：等比数列的通项公式．3. 已知，则的最小值是 ( )A. 6B. 5C.D.【答案】C【解析】试题分析：，考点：基本不等式4. 图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】函数的周期，相邻最高点和最低点的横坐标间的距离为，根据勾股定理最高点和最低点之间的距离为，故选A.5. 参数方程（为参数）所表示的曲线是（）A. 一条射线B. 两条射线C. 一条直线D. 两条直线【答案】B【解析】或，所以表示的曲线是两条射线.故选B.考点：参数方程.6. 如图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是（）A. ?B. ?C. ?D. ?【答案】D【解析】由题意可知输出结果为第1次循环,第2次循环,第3次循环,第4次循环,第5次循环,此时满足输出结果,退出循环,所以判断框中的条件为.故选7. 已知关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，则关于x的不等式bx2-x+a≤0的解集为（）A. [-1，2]B. [-1，]C. [-，1]D. [-1，-]【答案】C【解析】由题意得为方程的根,且,所以,因此不等式bx2-x+a≤0为 ,选C.8. 圆的圆心极坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】略9. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A. 向左平移单位B. 向右平移单位C. 向右平移单位D. 向左平移单位【答案】C【解析】分析：根据平移的性质，2x2x，根据平移法则“左加右减”可知向右平移个单位．解答：解：∵y=sin2x y=sin(2x)故选：C10. 若，，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以且，因为所以，又，所以，故故选D.点睛：本题主要考查了三角函数求值，属于基础题，在本题中，将所求的拆成是关键。

甘肃省兰州一中高二数学上学期期末考试文【会员独享】

甘肃省兰州一中高二数学上学期期末考试文【会员独享】说明：本试卷满分100分，答卷时间100分钟，答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡一．选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，每小题提供的四个选项中只有一项符合题目要求，请选择后填在答题卡上）1．已知ABC ∆的顶点B ,C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（）A 2．如果曲线C 上的点满足(,)0,F x y =则下列说法正确的是（） A 曲线C 的方程是(,)0F x y =B 方程(,)0F x y =的曲线是CC 坐标满足方程(,)0F x y =的点在曲线C 上D 坐标不满足方程(,)0F x y =的点不在曲线C 上3．“0a b >>”是“222a b ab +<”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件4．函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a 等于（）A18 B 14 C 12D 1 5．已知函数()f x 在1x =处导数值为3，则()f x 的解析式可能是（）A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D ()1f x x =-6．将曲线224x y +=上各点的纵坐标缩短到原来的12（横坐标不变），所得曲线的方程是（）A 2244y x += B 2244x y += C 2244x y += D 2244x y += 7．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F ,点111222333(,),(,),(,)P x y P x y P x y 在抛物线上，且2132x x x =+,则有 ( )A 123||||2||FP FP FP +=B 222123||||||FP FP FP += C 2132||||||FP FP FP =+ D 2222||||||FP FP FP =⋅8．双曲线22221(0)x y a b a b-=<≤的离心率为e ，则e 的取值范围是（）A 02e <<B 12e <<C 12e <≤D 2e ≥9．函数32()32f x x x =-+在区间[-1,1]上的极大值是 ( )A -2B 0C 2D 4 10．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如右图所示，则()y f x =的图象最有可能是（）11．抛物线24y x =上一动点P 到直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-的距离之和的最小值是（）A 2B 3 C115 D 371612．若,x y R ∈，且221x y +=.当0x y c ++=时，c 的最大值是（） A 2 B 2- C 22 D 22- 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡中相应题号的横线上）13．()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是_______________.14．过点(0,2)M 且与双曲线22194x y -=仅有一个公共点的直线共有条. 15．命题“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值区间为 . 16．已知p 是r 的充分条件而不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有以下命题： ① s 是q 的充要条件；② p 是q 的充分而不必要条件； ③ r 是q 的必要而不充分条件； ④ p ⌝是s ⌝的必要而不充分条件；⑤ r 是s 的充分而不必要条件；则以上命题正确的是_________________（填上所有正确命题的序号）. 三、解答题（共4道题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本题8分) 设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1()f x x'=， ()()()g x f x f x '=+. 求()g x 的单调区间和最小值.18. (本题8分) 已知直线:24l y x =-被抛物线C ：22(0)y px p =>截得的弦长AB = (Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)若抛物线C 的焦点为F ，求三角形ABF 的面积.19.（本题10分）设3211()232f x x x ax =-++.若()f x 在 2(,)3+∞存在单调增区间，求a 的取值范围.20.(本题10分)中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ,B 两点（A,B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标.参考答案′′二、填空题（4×4=16）13. 1(,)e+∞ 14. 4 ; 15. ⎡-⎣; 16. ①②④ .三、解答题（共4道题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本题8分)解：由题设易知1()ln ,()ln ,f x x g x x x ==+21'(),x g x x-=令'()0g x =,得1x = 2′ 当 (0,1)x ∈时， '()0g x <，故（0,1）是()g x 的单调减区间， 4′当(1,)x ∈+∞ 时，'()0g x > ，故(1,)+∞ 是()g x 的单调增区间， 6′因此，1x =是 ()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(1)1g =.8′18. (本题8分) 解：（1）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2) ∵22242(8)802y x x p x y px=-⎧⇒-++=⎨=⎩而AB =即2228(12)()442p+⎡⎤=+-⨯⎢⎥⎣⎦∴p =2故抛物线C 的方程为：24y x = 4′（2）由（1）知F (1,0) ∴点F 到AB的距离d =∴132ABFSd AB =⋅= 19.（本题10分）解:（1）由2211()2()224f x x x a x a '=-++=--++ 当222[,),()()2;339x f x f a ''∈+∞=+时的最大值为 2′ 令2120,99a a +>>-得所以，当12,()(,)93a f x >-+∞时在上存在单调递增区间. 4′（2）令1211()0,22f x x x -+'===得两根所以12()(,),(,)f x x x -∞+∞在上单调递减，在12(,)x x 上单调递增 5′ 当1202,14,()a x x f x <<<<<时有所以在[1，4]上的最大值为2()f x又27(4)(1)60,(4)(1)2f f a f f -=-+<<即 7′ 所以()f x 在[1，4]上的最小值为4016(4)833f a =-=- 8′ 得21,2a x ==，从而()f x 在[1，4]上的最大值为10(2).3f = 10′ 20.(本题10分)解：（1）依题意知a =2,c =1,得 2b =3，∴椭圆C 的方程是： 22143x y += 4′（2）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，知椭圆C 的右顶点为M （2,0）由22222(34)84(3)0143y kx mk x mkx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩ 2′且2234k m而即0AMBM AM BM∴11222211121222(2,)(2,)(1)(2)()40x y x y y kx m k x x mkx x m y kx m∴222224(3)8(1)(2)403434m mk k mkm k k 2′整理得即2271640(2)(72)0m mk k m k m k当2m k 时，:(2)l y k x 过定点M （2,0）为右顶点，舍去；当27mk 时，2:()7l y k x过定点2(,0)7，此时22340k m ，综上知，直线l 过定点2(,0)7. 2′。

甘肃省兰州市高二上学期期末考试数学试卷有答案

甘肃省兰州市第一高二上学期期末考试数学试卷说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）第I 卷（选择题）一、选择题(每小题3分，共30分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．) 1．如果命题pq 为真命题，pq 为假命题，那么（）A ．命题p 、q 都是真命题B ．命题p 、q 都是假命题C ．命题p 、q 至少有一个是真命题D ．命题p 、q 只有一个真命题 2．过点P （2,4）且与抛物线y 2=8x 有且只有一个公共点的的直线有（） A ．0条 B ． 1条 C ．2 条 D ． 3条 3．双曲线22549x y -=-的一条渐近线方程是 ( )A ．230x y -=B ．320x y +=C ．940x y -=D ．490x y -= 4．曲线()2216106xym mm+=<--与曲线()2215959xn nny +=<<--的（）A ．焦距相等B ．离心率相等C ．准线相同D ．焦点相同 5．设点()()()3,3,1,1,0,5,0,1,0A B C ，则AB 的中点到C 的距离为（）A 4B ．2C 4D ．26．下列命题错误．．的是 ( ) A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”. B ．若命题:R p x ∃∈，210x x ++=，则“p ⌝”为：2R 10x x x ∀∈++≠，.C ．若命题p :1,x <-或1x >；命题q :2,x <-或1x >，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件.D ．“2x > ”是“2320x x -+>”的充分不必要条件.7．已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==-，且()()2ka b a b +⊥-，则k 的值为（） A ． 1 B ．75C ．35D ．158．已知线段AB 、BD 在平面α内，∠ABD =120°，线段AC ⊥α，如果AB =a ，BD =b ，AC =c ，则线段CD 的长为（）A B C D 9．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 1、F 1分别是A 1B 1、C 1D 1上的点，并且4B 1E 1＝4D 1F 1＝A 1B 1，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（）A 2B ．12C ．817D ．151710．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 ( ) A ． (1，+∞) B ．(1,2) C ．(1,1+2) D ．(2,1+2)第II 卷（非选择题）二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共18分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．） 11．已知点()3,1A ，在抛物线22y x =上找一点P ，使得PF PA +取最小值（F 为抛物线的焦点），此时点P 的坐标是 . 12．对于以下命题：①a b a b -=+是,a b 共线的充要条件；②对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若2OP OA OB OC =-+，则P 、A 、B 、C 四点共面. ③如果0<⋅,那么与的夹角为钝角④若{},,a b c 为空间一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底； ⑤若23,246m a b c n a b c =-+=-+-，则//m n . 其中不正确结论的序号是___________________. 13．已知椭圆22162x y +=与双曲线2213x y -=的公共焦点为F 1，F 2，点P 是两条曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2的值为 .14．若椭圆221(0,0)mx ny m n +=>>与直线10x y +-=交于A ，B 两点，若:m n =，则过原点与线段AB 的中点M 的连线的斜率为．参考答案第I 卷（选择题）一、选择题二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共16分）11．1,12⎛⎫⎪⎝⎭12．①③ 13．13 14三、解答题（本题共5小题，共54分）15．（本小题满分10分）已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，，且过点(4, （Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）若点()3,M m 在双曲线上，求证：120MF MF ⋅=.解析：（Ⅰ）由题意，可设双曲线方程为22x y λ-=，又双曲线过点(4,，解得6λ=故双曲线方程为226x y -=. ……………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a b ==，c =， ∴()1F -，()2F∴ ()13,MF m =--，()23,MF m =--， ∴2123MF MF m ⋅=-，又点()3,M m 在双曲线上， ∴ 296m -=， ∴23m =，即120MF MF ⋅=.……………………………10分16．(本小题满分10分) 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB和BC 的中点，试在棱B 1B 上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.证明：分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B1(1,1,1)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0， M (1,1，m )．∴AC →＝(－1,1,0)，又E 、F 分别为AB 、BC 的中点，∴EF →＝12AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 又∵B 1E →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－1，D 1M →＝(1,1，m －1)， ∵D 1M ⊥平面FEB 1，∴D 1M ⊥EF 且D 1M ⊥B 1E .即D 1M →·EF →＝0，且D 1M →·B 1E →＝0. ∴⎩⎨⎧－12＋12＋(m －1)·0＝00－12＋(1－m )＝0，∴m ＝12.故取B 1B 的中点M 就能满足D 1M ⊥平面EFB 1.17．（本小题满分10分）已知定点A （1,0）和定圆B ：,x y x 015222=-++动圆P 和定圆B 相切并过A 点，（Ⅰ）求动圆P 的圆心P 的轨迹C 的方程.（Ⅱ）设Q 是轨迹C 上任意一点，求AQB ∠的最大值. 解析：（Ⅰ）设)y ,x (P ，则24>=+PB PA ,∴所以点P 的轨迹是以A ,B 为焦点，长轴长为4的椭圆所以点P 的轨迹方程是13422=+y x ……………………………………………………4分（Ⅱ）设,n QB ,m QA ==则4=+n m2112616242242222=-+≥-=--+=-+=∠∴)n m (mn mn mn )n m (mn n m AQB cos当且仅当n m =时取“=”，),(AQB π0∈∠ ，∴AQB ∠的最大值是3π.……………………………………………………10分注：其它解答参考给分.18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,22ACB AC AA BC ∠====. （Ⅰ）若D 为1AA 中点，求证：平面1B CD ⊥平面11B C D ；（Ⅱ）若二面角B 1—DC —C 1的大小为60°，求AD 的长. 解法1：（Ⅰ）∵11190AC B ACB ∠=∠=，∴1111B C AC ⊥，又由直三棱柱性质知111B C CC ⊥，∴11B C ⊥平面ACC 1A 1.∴11B C CD ⊥……① 由D为中点可知，1DC DC ==22211DC DC CC +=即1CD DC ⊥……②由①②可知CD ⊥平面11B C D ，又CD ⊂平面1B CD ，故平面1B CD 平面11B C D .………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（1）可知11B C ⊥平面ACC 1A 1，如图，在面ACC 1A 1内过C 1作1C E CD ⊥，交CD 或延长线或于E ，连EB 1，可知11B EC ∠为二面角B 1—DC —C 1的平面角， ∴1160.B EC ∠= 由B 1C 1=2知，13C E =，设AD=x，则DC =∵11DC C ∆的面积为1，∴13321212=⋅+⋅x ，解得x =AD ……………………………………………………12分C 11A 1BA DC解法二：（Ⅰ）如图，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 则 C （0，0，0），A （1，0，0），B 1（0，2，2），C 1（0，0，2），D （1，0，1）即11(0,2,0),(1,0,1),(1,0,1)C B DC CD ==-=0101)1,0,1()1,0,1(;,0000)0,2,0()1,0,1(111=++-=-⋅=⋅⊥=++=⋅=⋅DC CD B C CD C 由得由得1CD DC ⊥；又111DC C B C =，∴CD ⊥平面B 1C 1D .又CD ⊂平面B 1CD ，∴平面1B CD 平面11B C D …………………………………………6分（Ⅱ）设AD=a ，则D 点坐标为（1，0，a ），1(1,0,)(0,2,2)CD a C B ==，设平面B 1CD 的法向量为(,,)m x y z =. 则由,1,0220001-=⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅z z y ax x CB 令得(,1,1)m a =-，又平面C 1DC 的法向量为(0,1,0)n =，则由212160cos 2=+a，即a =，故AD = ………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）已知两点)0,1(1-F 及)0,1(2F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上，且1PF 、21F F 、2PF 构成等差数列．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C共点，点,M N 是直线l 上的两点，且12,F M l F N l ⊥⊥求四边形12F MNF 面积S 的最大值．解析：(Ⅰ)依题意，设椭圆C 的方程为22221x y a b+=．1122PF F F PF 、、构成等差数列，11222242a PF PF F F a ⇒=+==⇒=．又1c =，故23b =．从而，椭圆C 的方程为22143x y +=． …………………………………………4分 (Ⅱ)将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程223412x y +=中，得：01248)34(222=-+++m kmx x k ． ……………………5分由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+-=，化简得：2243m k =+． …………………………6分设11d F M ==，22d F M ==， …………………………8分（法一）当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ，则12tan d d MN θ-=⨯，12d d MN k-⇒=， 22121212221()221m d d d d S d d k k k --=+==+mm m m 1814322+=+-=， …………………………10分又2243m k =+，∴当0k ≠时，3>m ，3343131=+>+m m ，32<S ．当0=k 时，四边形12F MNF是矩形，S =．故四边形12F MNF 面积S的最大值为 ……………………………12分（法二）222222212222()2(53)11m k k d d k k +++=+==++，222122233311m k k d d k k -+====++．MN ⇒===．四边形12F MNF 的面积121()2S MN d d =+)(11212d d k ++=， ………10分22221222122)1(1216)2(11++=+++=k k d d d d k S12)211(41622≤-+-=k ．当且仅当0k =时，212,S S ==max S =所以四边形12F MNF 的面积S的最大值为…………………………………12分。

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2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷（文科）
注意事项：
1.全卷共150分，考试时间120分钟。

2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上。

3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。

4.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，共150分，考试时间120分钟.
一、第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小5题分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设复数12z i =-，则z =（） A ．5
B ．5
C ．2
D ．2
2．（5分）与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是（） A ．能被3整除的整数，一定能被6整除
B ．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C ．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D ．不能被6整除的整数，不一定能被3整除 3．（5分）抛物线216y x =的准线方程是（） A.4x = B.4x =-
C.1
64
y =
D.164
y =-
4．（5分）若双曲线22
221x y a b -=的一条渐近线经过点()3,4-，则此双曲线的离心率为（）
A.
7 B.
54
C.
45
D.
53
5．（5分）“1＜m ＜3”是“方程+
=1表示椭圆”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l 位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（）米．
A ．22
B ．42
C ．43
D ．23
7．（5分）椭圆()22
2210x y a b a b +=>>的左、右顶点分别是,A B ,左、右焦点分别是12,F F ．若1121,,AF F F F B
成等比数列，则此椭圆的离心率为（） A ．
14
B ．
5 C ．
12
D ．52-
8．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5,2，则输出的n =（）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
9．（5分）已知椭圆的方程为22
194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于,A B 两点,2F 是椭圆的右焦点，则2ABF ∆的周长的最小值为（） A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
10．（5分）已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线
的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（） A ．
22
154
x y -= B ．
22
145
x y -=
C ．22
136x y -= D ．22
163
x y -= 11．（5分）设12,F F 为曲线221:162x y C +=的焦点,P 是曲线2
22:13x C y -=与1C 的一个交点，则12cos F PF ∠的
值是（）
A ．
1
2
B C ．
13
D 12．（5分）已知直线l 的斜率为k ，它与抛物线24y x =相交于A B 、两点，F 为抛物线的焦点，3AF FB =，则k =（）
A ．
B C
D 第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为_________． 14．（5分）已知命题:0p x ∀>，总有()11x x e +>．则p ⌝为__________．
15．（5分）已知A 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右顶点，过左焦点F 与y 轴平行的直线交双曲线C
于P Q 、两点，若APQ ∆是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的范围_________．
16．（5分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e ，,A B 是椭圆C 上两点，()3,1N 是线段AB
的中点．则直线AB 的方程为__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知a 为实数，命题:p 点()1,1M 在圆()()2
2
4x a y a ++-=的内部；命题 :q x R ∀∈，都有
210x ax ++≥．若“p q ∧”为假命题，且“p q ∨”为真命题，求a 的取值范围． 18．（12分）设,A B 是抛物线28y x =上的两点，A 与B 的纵坐标之和为8．（1）求直线AB 的斜率；
（2）若直线AB 过抛物线的焦点F ，求AB ．
19．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，渐近线方程为y x =±，且双曲线过点
(
4,P ．
（1）求双曲线的方程；
（2）若点()11,M x y 在双曲线上，求12MF MF ⋅的范围．
20．（12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，左焦点为()
13,0F -，点13,2M ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭在椭圆上．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点()1,0P 的直线l 交椭圆C 于两个不同的点,A B ，若AOB ∆（O 是坐标原点）的面积4
5
S =，求直线AB 的方程．
21．（12分）已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点()1,0F 的距离减去它到y 轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点(),0M m 且与曲线C 有两个交点,A B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率2
e =，右焦点为F ，过点()0,B b -和点F 的直线
与原点的距离为1．（1）求此椭圆的方程；
（2）过该椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆222x y a +=于相异两点,P Q ．若PQ AP λ=，则实数λ的取值范围．。