数字信号处理 习题集2015

2
…0 …0
1 0
0 1
1 0
0 10 01 0 Nhomakorabea0 1
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…0
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0
1… 1… 0 1…
v((1 − m))5 1 v((2 − m))5 1 v((3 − m))5 2 ((4 − m))5 1v …
2
0 …0
1 0 …0
0 1
1 0
2 0 0 2
1 0 1 1
0 1 2 1
0 2 3 2 2 4 2 5
已知4点复序列c ( n ) = u ( n ) + jv ( n )的DFT 为 C ( k ) = {10 + 2 j , −2 + 2 j , −2 + 2 j , −2 − 2 j} u ( n ) 和v ( n ) 为两个实序列 (a)求序列u (n)和v(n)的4点DFT (b)求序列x ( n ) = u ( ( 2 − n ) ) R4 ( n ) 和y ( n ) = v ( ( n − 1) ) R4 ( n ) (c)求序列u (n)和v(n)5点圆周卷积，与线性卷积哪些值结果相同， 并说明原因； (d )写出利用FFT 求序列u (n)和v(n)线性卷积的步骤；
(1) C ( k ) = {10 + 2 j, −2 + 2 j, −2 + 2 j, −2 − 2 j} C ∗ ( 4 − k ) = {10 − 2 j , −2 + 2 j , −2 − 2 j , −2 − 2 j} Q DFT{c∗ ( n )} = C ∗ ( N − k ) c ( n ) = u ( n ) + jv ( n )
(c)
1 0 1 1 3 2 2 3
(c) x((n))3 R3 (n)
x ( n)
4 5 1 2 1 3 2…
(e) x((n − 3))5 R5 (n) ( f ) x((n))7 R7 (n)
1 1 2 1 3 0 2
1 1
3 2
1 2 3
1
3
结合后面讲到的 线性卷积和圆周 卷积关系来理解 重叠。
0 0 0 1 1 2 2 3 2 4 0 0 1 2 0 0 0 1 1 2 2 3 2 4 5 2 5 1 0 0
u (( m))5 v(( m))5 v(( −m))5
2
v((1 − m))5 1
掌握将L点线性卷积 v((2 − m))5 1 转化为N点圆周卷积 的方法。 和前面讲到的圆周移 v ((3 − m))5 2 位计算(习题集P38-4 第(c)问)结合理解。 v ((4 − m))5 2
数字信号处理
习题集
周治国
2015.12
考核范围：
第三章 离散傅里叶变换(DFT) 1． DFT的定义与性质 2． 频域取样 3． DFT应用中的问题与参数选择 4． DFT与Z变换的关系
考核范围：
第四章 快速傅里叶变换（FFT） 1． 提高DFT运算效率的基本途径 2． 基-2 FFT算法 3． N为复合数的FFT算法 4． 分裂基FFT算法 5． 实序列的FFT算法 6． FFT的应用
{

−n = ∑ x n ( )0.25 e n =0
3
}
∴ x(n)0.25− n = IDFT {1,1,1,1} = {1, 0, 0, 0} ⇒ x(n) = {1, 0, 0, 0} ⇒ DFT { x(n)} = {1,1,1,1}
(2)补零至32点序列，其DFT值在k=5时对应着 w =
( 2 ) x ( n ) = u ( ( 2 − n ) ) R4 ( n ) ⇒ x ( n ) = {3, 2,1, 4} y ( n ) = v ( ( n − 1) ) R4 ( n ) ⇒ y ( n ) = {0,1, 0,1} ( 3) u ( ( n ) ) R5 ( n ) = {1, 2,3, 4, 0} v ( ( n ) ) R5 ( n ) = {1, 0,1, 0, 0} 5 v ( ( n ) ) R5 ( n ) = {5, 2, 4, 6,3} ⇒ u ( ( n ) ) R5 ( n ) e u ( n ) ∗ v ( n ) = {1, 2, 4, 6,3, 4, 0}
2、DFT计算、证明、性质
历年考试真题
求序列y ( n ) = sin ( 2π n N ) + cos ( 4π n N ) , 0 ≤ n ≤ N − 1的DFT
考核范围：
第五章 数字滤波器 1． 数字滤波器的基本结构 2． 无限冲激响应（IIR）数字滤波器设计 3． 有限冲激响应（FIR）数字滤波器设计
考核重点：
第三章 离散傅里叶变换(DFT) 1． DFT的计算及其性质（含性质的证明）； 2． 线性卷积、周期卷积、圆周卷积的定义、 计算及三者关系； 3． DFT计算连续时间信号、离散时间信号 频谱（逼近的原理和方法、存在的问题及解 决办法）；
4
5
…1
1
3
延拓
1 1 1 1 3 2 3 2 3 4 5 3 3 1 4 3… 5
… 3
1
3
3 0 3 0
x(( n))3
x(( n))3 R3 ( n)
圆周卷积计算方法小结： 1，哑元坐标 2，周期延拓 3，反转 4，周期移位，相乘相加
历年考试真题
已知两个时间序列u (n) = {0,1, 2,1, 0}和v (n) = {0,1, 0,1, 0} (a )画出x (n) = u ((2 − n))5 R5 (n)的图形 (b)求序列u ( n)和v (n)的线性卷积 (c)求序列u (n)和v (n)的5点圆周卷积
1 1 1 1 0 1
3 2 3 2 2 2
2 3 2 3 3 3 1 4 0 4 1 5 4 1 5 0 2 3 1… 5 1 3 2 0…
x ( n) 延拓 x(( n))5 反转 x(( − n))5
已知序列x(n) = {1,1, 3, 2}，画出 (a ) x((− n))5 (b) x((− n))6 R6 (n) (d ) x((n))6
解：
(1) 根据题意X ( z )
x(n) 0.25e ∑ n=0
3 2π j k 4
z = 0.25e −n
j
2π k 4
( z ) == {1,1,1,1} , k = 0,1, 2,3
−j 2π kn 4
−n x n = DFT ( )0.25 = {1,1,1,1} = Z (k )
历年考试真题
设有长度分别为12和21的两个因果序列x (n)和y (n)， 若分别作二者的线性卷积和L=21点的循环卷积 (a )试问循环卷积结果中那些序列值与线性卷积的 结果相同 (b)如果要用FFT计算两序列的线性卷积，试给出 相应的方法步骤
参考P122 15
已知4点序列x(n)的z变换X(z)在z平面上0.25， 0.25j，-0.25和-0.25j四点处的值均是1 求： 1，x(n)的4点DFT值X(k)； 2 ，若 想进一步通过 DFT计算 考 察 x(n) 的 DTFT 谱 在 频率 5π/16 处 的 值， 有 什么可行 的 方 法 ？ 写出该方法的具体思想和步骤。
已知两个时间序列u (n) = {0,1, 2,1, 0}和v(n) = {0,1, 0,1, 0} (a )画出x(n) = u ((2 − n))5 R5 (n)的图形
0 0 …0 1 2 1 0 0 0 …0 0 1 2 1 0 0 2 0
1 1 1 1 0 1 1 1
2 2 2 2 1 2 0 2
考核重点：
第四章 快速傅里叶变换（FFT） 1． 基-2 DIT/DIF FFT算法原理与蝶形运算 公式推导、算法特点及16点以内算法流图； 2． 分裂基L型运算的公式及8点以内算法流 图（推导过程不作为重点）； 3． 复合数FFT和基-4 FFT算法原理（推导 过程不作为重点）； 4． 实序列的FFT算法 5． FFT的应用（快速卷积和快速相关）
2π 5π 5= 32 16
2、DFT计算、证明、性质
历年考试真题
求序列x ( n ) = {1 −1 1 −1}的DFT
求序列x ( n ) = {1 −1 1 −1}的DFT 解： x ( n ) = {1 −1 1 −1} X ( k ) = ∑ x( n)W4 kn = x ( 0 ) + x (1) e
1 3 1 3 2 3 0 3
0 4 0 4 1 4 1 4 5 0 5 0 5 2 5 0 1 2 1… 1 2 1 0…
u ( n) 延拓 u (( n))5 反转 u (( − n))5
2 1…
…0
0
1
1
0
0
1
移位 u ((2 − n))5
已知两个时间序列u (n) = {0,1, 2,1, 0}和v(n) = {0,1, 0,1, 0} (b)求序列u (n)和v(n)的线性卷积
0 0 1 2 2 2 1 0 0
已知两个时间序列u (n) = {0,1, 2,1, 0}和v(n) = {0,1, 0,1, 0} (c)求序列u (n)和v(n)的5点圆周卷积
…0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0…
u (( m))5 v(( m))5 v(( −m))5
1 ∗ u (n) = c n + c ( ) ( n ) 2 1 ∗ v (n) = c n − c ( ) ( n ) 2j 1 ∗ = + = {10, −2 + 2 j , −2, −2 − 2 j} U ( k ) C k C 4 − k ) ( ) ( 2 ⇒ 1 ∗ − = {2, 0, 2, 0} V (k ) = C k C 4 − k ) ( ) ( 2 u ( n ) = {1, 2,3, 4} ⇒ v ( n ) = {1, 0,1, 0}