19.估计量的评选标准

19.估计量的评选标准

【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第七章第§3估计量的评选标准

【教材分析】：前一节可以看到，用不同的估计方法求出的估计量可能不同，原则上任何统计量都可以作为位置参数的估计量，采用哪个估计量好呢，这就涉及到用什么样的标准来评价估计量的问题，本节重要介绍估计量的评选标准。

【学情分析】：

1、知识经验分析

学生已经学习了矩估计法和极大似然估计法，并看到用不同的估计方法求出的估计量可能不同。

2、学习能力分析

学生虽然具备一定的基础的知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。

【教学目标】：

1、知识与技能：

了解估计量的无偏性、有效性和相合性的概念，并会验证估计量的无偏性、有效性

2、过程与方法

由本节内容的特点，教学中采用启发式教学法，逐步引入估计量的评选标准。

3、情感态度与价值观

通过合作交流，让学生养成认真思考，锲而不舍的习惯，从而增加学习数学的兴趣。【教学重点、难点】：

重点：评选标准的提出。

难点：解估计量的无偏性、有效性和相合性的概念，并会验证估计量的无偏性、有效性。【教学方法】：讲授法启发式教学法

【教学课时】：1个课时

【教学过程】：

一、问题引入

x x x是一个样本值，试求例1 设总体X在[],a b上服从均匀分布，,a b未知，12,,,n

,a b的矩估计量和最大似然估计量。

解：可得矩估计量ˆˆa X b X ===+ 最大似然估计量：1ˆmin ,i i n

a X ≤≤= 1ˆmax .i

i n

b X ≤≤=

【设计意图】：用不同的估计方法求出的估计量可能不同，原则上任何统计量都可以作为位置参数的估计量，对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好，评价估计量的标准是什么? 二、无偏性

定义 若估计量()12ˆˆ,,,n X X X θθ=的数学期望()

ˆE θ

存在，且对任意θ∈Θ有 ()

ˆE θ

θ= 则称ˆθ

是θ的无偏估计量。 在科学技术中，称()

ˆE θ

θ-是以ˆθ作为θ估计的系统误差。 无偏估计的实际意义就是无系统误差。

例2 设总体X 的k 阶矩()()1k k E X k μ=≥存在，又设12,,

,n X X X 是X 的一个样本，

试证明不论总体服从什么分布，k 阶样本矩1

1n k

k i i A X n ==∑是k 阶总体矩k μ的无偏估计量 。

证明：12,,

,n X X X X 因为与同分布， ()()k k i E X E X =故有

,1,2,

,.k i n μ== 1

1()().n

k k i k i E A E X n μ===∑即

.k k k A k μ故阶样本矩是阶总体矩的无偏估计

【设计意图】：让学生掌握不论总体服从什么分布，k 阶样本矩1

1n k

k i i A X n ==∑是k 阶总

体矩k μ的无偏估计量。

例3 设总体X 服从指数分布，其概率密度为

()/1,0

;0,

.x e x f x θ

θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他

其中参数

0θ>为未知，又设12,,,n X X X 是来自X 的一样本，试证X 和

{}()12min ,,

,n nz n X X X =都是θ的无偏估计量。

证明：()(),E X E X θ==因为 .X θ所以是的无偏估计量

12 min(,,

,) ,

n Z X X X n

θ

=而服从参数为的指数分布

min e ,0,

(;)0,.

nx

n x f x θθθ

-⎧>⎪=⎨⎪⎩

概率密度其他 (),E Z n θ=故知 (),E nZ θ= .nZ θ所以也是的无偏估计量

【设计意图】：通过这个例子，让学生掌握一个未未知参数可以由不同的无偏估计量 同一个参数可以有多个无偏估计量，那么用哪一个为好呢? 三、有效性

设参数θ有两个无偏估计量1ˆθ和2ˆθ，在样本容量n 相同的情况下， 1ˆθ的观测值都集中在θ的真值附近，而2ˆθ的观测值较远离θ的真值，即1ˆθ的方差较2ˆθ的方差小，我们认为1ˆθ较2

ˆθ好，由此有如下的定义： 定义 设()1112

ˆˆ,,,n X X X θθ=和()2212

ˆˆ,,,n X X X θθ=都是θ的无偏估计量，

若对任意θ∈Θ，有

12

ˆˆ()()D D θθ≤ 且至少对于某一个θ∈Θ式中的不等号成立，则称1ˆθ较2

ˆθ有效。 例4 （续3）试证当1n >时，θ的无偏估计量X 较θ的无偏估计量nZ 有效。

证明：

2

(),D X θ=由于 2

(),D X n

θ=故有 2

2

(),D Z n θ=

又因为 2 (),D nZ θ=故有

【设计意图】：通过这个例子，加强学生对无偏性的理解。 四、相合性

无偏性和有效性都是在假设样本容量n 固定的条件下讨论的。由于估计量是样本的函数，它依赖样本容量n ，自然地，我们希望一个好的估计量，当n 越来越大时，它与参数的真值几乎一致，这就是估计量的相合性。

定义 设()12

ˆˆ,,,n n X X X θθ=为参数θ的一个估计量，若对对于任意θ∈Θ，当

n →∞时，()12ˆ,,,n

X X X θ依概率收敛于θ，即对任意0ε>，有 {}

ˆlim 1n

n P θθε→∞

-<= (1.3)