19估计量的评选标准
估计量的评选标准与区间估计
置信区间 设总体X的分布函数F(x;)含有一个未知 参数. 对于给定值a(0<a<1), 若由样本X1 ,X2 ,…,Xn确定 的两个统计量 ( X1, X 2 ,..., X n )和 ( X1, X 2 ,..., X n ) 满足
P{ ( X1, X 2 ,..., X n ) ( X1, X 2 ,..., X n )} 1 a, 则称随机区间 ( , )是的置信度为1 a的置信区间,和 分
n 1
S 2
1 n 1
n
(Xi
i 1
X 2 ).
这就是说S2是2的无偏估计，因此，一般都是取S2作为 方差2的估计量。
例3 设总体X服从参数为的指数分布，概率密度为
f
( x,
பைடு நூலகம்
ex /
,
x 0,
0,
其它。
其中>0为未知,又设X1 ,X2 ,…,Xn是来自X的样本,试证
都是统计量 , 那么( , )就是的一个置信度为1 a的置信区间。
函数Z(X1 ,X2,…,Xn ; )的构造, 可以从 的点估计着 手考虑。
(三)单个总体N(,2)的情况
设已给定置信度为1-a, 并设X1 ,X2,…,Xn为总体N(,2)
的样本. X, S2分别是样本均值和样本 方差。
2的无偏估计为S2 由第六章2定理一知
(n 1)S 2 ~ 2 (n 1), 2
故
P{
2 1-a/2
(n
1)
(n 1)S 2
2
2 a/2
(n
估计量的评价标准
ˆ 2 X 和 n 1 X 哪一个更有效？ ˆ ( 2) 问：1 2 ( n) n ˆ 解 由于 D(1 ) 4 D( X )
4 2 D( X ) , n 3n
ˆ ) D( n 1 X ) ( n 1)2 D( X ), D( 2 ( n) ( n) n n
三、有效性
ˆ ˆ 比较参数 的两个无偏估计量1和 2 , 如果 ˆ ˆ 在样本容量 n相同的情况下, 1 的观察值较 2更 ˆ ˆ 密集在真值 的附近, 则认为1 较 2 理想.
换句话说，对参数 的无偏估计量 ˆ 关于 的波动越小，即方差 ˆ ˆ ˆ D( ) E[ E ( )]2
ˆ 可算得： 1 2 x 555550 ˆ 6 x 1200000 2 5 ( n) ˆ ˆ 用来估计N , 2 来估计N比 1 更合理.
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四、 最小方差无偏估计量
定义
ˆ 设 0 是 的 一 个 无 偏 估 计 量 对 于 ,若 的 任 一 方 差 存 在 的 无 估 计 量 ˆ , 都 有 偏 ˆ ˆ D( 0 ) D( ) ˆ 则 称 0 是 的 最 小 方 差 无 偏 估 计 ), 缩 写 为 (量 MVUE.
ˆ E ( )2
ˆ ( E ( ) )
越小越好.
定义6.3 设 ˆ1 ˆ1 ( X 1 , X 2 ,, X n )，ˆ2 ˆ2 ( X 1 , X 2 ,, X n )
均是 的无偏估计量，若
ˆ ˆ 则称 1比 2有效.
ˆ ˆ D(1 ) D( 2 ),
FX
( n)
( x)
P{ X ( n ) x }
F n( x)
X ( n) max( X1 , X 2 ,, X n )的概率密度为 nx n 1 n , 0 x n 1 pX ( x ) FX ( x ) nF ( x ) p( x ) ( n) ( n) 0, 其它
第十八讲 估计量的评选标准及区间估计
第十八讲 估计量的评选标准及区间估计1. 估计量的评价标准判断估计量好坏的标准是：有无系统偏差；波动性的大小；伴随样本容量的增大是否是越来越精确，这就是估计的无偏性，有效性和相合性。
（1）无偏性设∧θ是未知参数θ的估计量，则∧θ是一个随机变量，对于不同的样本值就会得到不同的估计值，我们总希望估计值在θ的真实值左右徘徊，即其数学期望恰等于θ的真实值。
定义: 设∧∧=θθ（n X X X ,,,21 ）是未知参数θ的估计量，若)(∧θE 存在，且对Θ∈∀θ有)(∧θE =θ，则称∧θ是θ的无偏估计量，称∧θ具有无偏性。
在科学技术中，)(∧θE -θ称为以∧θ作为θ的估计的系统误差，无偏估计的实际意义就是无系统误差。
例１：设总体X 的k 阶中心矩)(kk X E =μ)1(≥k 存在，),,,(21n X X X 是X 的一个样本，证明：不论X 服从什么分布，∑==n i ki k X n A 11是k μ的无偏估计量。
证明：n X X X ,,21与X 同分布，n i X E X E k k ki ,,2,1)()( ===∴μ第七章 参数估计第3节 估计量的评选标准从上一节得到：对于同一参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相同，用相同的方法也可能得到不同的估计量，也就是说，同一参数可能具有多种估计量，而且，原则上讲，其中任何统计量都可以作为未知参数的估计量，那么采用哪一个估计量为好呢？这就涉及到估计量的评价问题。
对定义的理解：设Θ∈θ是总体X 的分布参数，Θ∈∀θ，即服从某一分布形式的任意总体分布，参数θ的估计量∧∧=θθ（,,21X X n X , ）（是简单随机样本的函数）的数学期望都等于θ。
k n i ki k X E n A E μ==∴∑=1)(1)(特别，不论X 服从什么分布，只要)(X E 存在，X 总是)(X E 的无偏估计。
例２：设总体X 的2)(,)(σμ==X D X E 都存在，且02>σ，若2,σμ均为未知，则2σ的估计量∑=-=ni i X X n 122)(1ˆσ是有偏的。
估计量的评选标准
p(x,θ )，g(θ )为待估参数，设 gˆ(X1)为 g(θ) 的
任意无偏估计，考虑
Var(gˆ(X1)) 的下界？
注：积分形式的 Cauchy 不等式：
uvdx 2 u2dx v2dx
1、 Fisher信息量的定义.
设总体 X 的概率函数为 p (x; ), ,且满足一定条件:
ln p(x;) x ln ln x! x!
I ()
E[ d ln
p( X ; )]2 d
E[ X
1]2
E(X )2 2
1
故 1 , nI () n
显然,Var(x) 1 ,
nI ()
所以, x是的有效估计.
例1 设 X1, X2,… Xn 是取自总体 X ~ N( 0,σ2) 的一个 样本，试证：
两者不同!
对于同一个未知参数,用不同的方法得到 的估计量可能不同,于是提出问题：
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
ˆ( X1,..., Xn ) 越接近 越好！
如何刻画？
例：估计农大12级本科生高数的平均成绩：
方案一：设计一个抽样方案，取200个同学 的高数成绩，计算出他们的平均成绩，作为 真实成绩的估计； 方案二：随便取一个同学的成绩作为真实成 绩的估计。
1 n
Var (ˆ )
1
n
2
Var(ˆ1)
例如 X ~ N( , 2 ) , ( x 1, x 2 ) 是一个样本.
ˆ1
2 3
x1
1 3
x2
估计量的评选标准
估计量的评选标准估计量是指在缺乏准确数据的情况下，根据一定的方法和经验，对某一现象或数值进行估算的过程。
在实际生活和工作中，我们经常需要对各种各样的数据进行估计，比如市场需求量、产品销售额、人口数量等等。
而估计量的准确性和可靠性对于决策和规划具有重要意义。
因此，对估计量的评选标准也显得尤为重要。
首先，估计量的评选标准应当包括准确性。
准确性是估计量的基本要求，也是最为重要的一个方面。
一个准确的估计量应当尽可能接近真实数值，能够反映出实际情况。
在评选估计量时，需要对比不同估计量的准确度，选择最为接近真实情况的估计量作为最终结果。
其次，估计量的评选标准还应当考虑到可靠性。
可靠性是指估计量的稳定性和一致性，即在不同条件下得到的估计量应当是相近的。
一个可靠的估计量应当具有较小的误差范围，能够在不同情况下保持一致性。
在评选估计量时，需要对其可靠性进行充分的考量，选择稳定性和一致性较高的估计量作为最终结果。
此外，估计量的评选标准还应当考虑到数据来源和方法的科学性和合理性。
一个科学合理的估计量应当基于充分的数据支撑和合理的估算方法，能够经得起推敲和验证。
在评选估计量时，需要对其数据来源和估算方法进行审查，选择数据充分、方法科学的估计量作为最终结果。
最后，估计量的评选标准还应当考虑到应用的实际性和适用性。
一个优秀的估计量应当能够满足实际应用的需求，能够为决策和规划提供有力支持。
在评选估计量时，需要对其实际应用价值进行评估，选择能够最大程度满足实际需求的估计量作为最终结果。
综上所述，估计量的评选标准应当包括准确性、可靠性、数据来源和方法的科学性和合理性，以及应用的实际性和适用性。
只有在综合考量这些方面的因素之后，我们才能够选择出最为合适的估计量，为决策和规划提供可靠的支持。
因此，在进行估计量的评选时，需要全面考量各方面因素，以确保选择出最为优秀的估计量。
估计量的评价标准
4 1 1 ˆ D( 2 ) ( )DX 0.72DX , 9 4 36 1 1 1 ˆ D( 3 ) ( )DX 0.33DX . 9 9 9
最有效 3
三、相合性
定义 如果对 0 , 有
ˆ } 0， lim P{ n
ˆ 是 的相合估计量。 则称 n
1
一、无偏性
估计量是随机变量, 对于不同的样本值就会得到
不同的估计值, 希望估计值在未知参数真值左右徘徊, 最好它的数学期望等于未知参数的真值, 这就导致了 无偏性这个标准。
是未知参数 的估计量, 如果有
ˆ ˆ( X ,, X ) 一个样本, 定义 设( X1 ,, X n ) 是总体X 的 1 n
ˆ , ˆ ,则 ˆ a ˆ b ˆ 1 2 1 2
当a+b=1时都是 的无偏估计量。 估计量的无偏性只保证了估计量的取值在参数 真值周围波动,但是波动的幅度有多大呢?自然的, 我们希望估计量波动的幅度越小越好,幅度越小,则 估计量取值与参数真值有较大偏差的可能性越小, 而衡量随机变量波动幅度的量就是方差.这样就有 了我们下面要介绍的有效性的概念.
对于同一个参数,用不同的方法可以得到不同的 估计量. 现在的问题是,当同一参数出现多个估计 量时,究竟哪一个更好呢? 这就涉及到用什么标准
来评价估计量的问题. 确定估计量好坏的标准必须是整体性的,说得 明确一点就是,必须在大量观察的基础上从统计的 意义上来评价估计量的好坏.也就是说,估计的好 坏取决于估计量的统计性质.一般认为,一个“好” 的估计量应该具有如下的条件:
定义 设总体有一未知参数
均为 的无偏估计，如果
ˆ1 , ˆ2 , 样本( X 1 , , X n ) ，
常用估计量的评价标准
常用估计量的评价标准
常用估计量的评价标准有：
1. 偏差（Bias）：估计量的期望值与真实值之间的差距。
偏差越小越好。
2. 方差（Variance）：估计量的离散度，即估计量与其期望值之间的差异。
方差越小越好。
3. 平均绝对误差（MAE）：估计量的绝对误差的平均值。
MAE越小越好。
4. 均方误差（MSE）：估计量的误差的平方的平均值。
MSE越小越好。
5. 均方根误差（RMSE）：MSE的平方根。
RMSE越小越好。
6. 相对误差（Relative Error）：估计量的误差与真实值之间的比率。
相对误差越小越好。
7. 系数相关度（Correlation Coefficient）：估计量与真实值之间的相关程度。
系数相关度越大越好。
8. 准确率（Accuracy）：估计量正确的比率。
准确率越高越好。
9. 召回率（Recall）：真实值中被正确估计量估计到的比率。
召回率越高越好。
10. F1得分（F1 Score）：综合考虑准确率和召回率的得分。
F1得分越高越好。
估计量的评选标准
估计量的评选标准估计量是指在没有全部数据的情况下，根据部分数据对总体数据进行估计的方法。
在实际生活和工作中，我们经常需要对某些数据进行估计，比如市场调研中的销售额、人口普查中的人口数量等。
而对于估计量的评选标准，我们需要考虑以下几个方面：首先，估计量的准确性是评选标准的重要因素之一。
一个好的估计量应该能够尽可能接近真实数值，即使在缺乏全部数据的情况下，也能够给出一个较为准确的估计值。
为了评估估计量的准确性，我们可以采用均方误差、标准误差等统计指标进行评估。
其次，估计量的稳定性也是评选标准的重要考量。
一个好的估计量应该在不同样本下能够保持一定的稳定性，即不会因为样本的变化而导致估计值的大幅波动。
为了评估估计量的稳定性，我们可以采用置信区间、方差分析等方法进行评估。
另外，估计量的偏差也是评选标准的重要指标之一。
一个好的估计量应该能够尽可能减小估计值与真实值之间的偏差，即使在样本数据存在一定的误差情况下，也能够给出一个较为接近真实值的估计结果。
为了评估估计量的偏差，我们可以采用偏差率、相对误差等指标进行评估。
此外，估计量的置信度也是评选标准的重要考量。
一个好的估计量应该能够给出一个较高的置信度，即在一定置信水平下，能够给出一个较为可靠的估计结果。
为了评估估计量的置信度，我们可以采用置信水平、置信区间等统计方法进行评估。
最后，估计量的应用范围也是评选标准的重要因素之一。
一个好的估计量应该能够适用于不同的场景和数据类型，即不会因为数据的特殊性而导致估计结果的失真。
为了评估估计量的应用范围，我们可以采用模型适用性分析、数据类型适用性分析等方法进行评估。
综上所述，估计量的评选标准包括准确性、稳定性、偏差、置信度和应用范围等多个方面。
在实际应用中，我们需要综合考量这些因素，选择一个合适的估计量进行数据估计，以确保我们能够得到一个较为可靠和准确的估计结果。
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可得矩估计量 aˆ X
3 n
n i1
(Xi
X
)2
, bˆ
X
3 n
n i1
(Xi
X )2
最大似然估计量：
aˆ
min
1in
Xi
,
bˆ
max
1in
X
i
.
二、无偏性
若 X1, X2 ,, Xn 为总体 X 的一个样本，
是包含在总体X 的分布中的待估参数, ( 是 的取值范围)
若估计量ˆ ( X1, X2 ,, Xn ) 的数学期望 E(ˆ) 存在, 且对于任意 有 E(ˆ) , 则称 ˆ 是 的无偏估计量.
X
n
)
服从参数为 的指数分布,
n
概率密度
fmin ( x; )
n
e
nx
,
0,
x 0, 其他.
故知 E(Z ) ,
n
E(nZ ) ,
所以 nZ 也是 的无偏估计量.
由以上两例可知,一个参数可以有不同的无 偏估计量.
故有
E
(
X
k i
)
E(X
k
)
k
,
i 1,2,,n.
即
E( Ak
)
1 n
n i 1
E(
X
k i
)
k
.
故 k 阶样本矩 Ak 是 k 阶总体矩 k 的无偏估计.
特别的: 不论总体 X 服从什么分布, 只要它的数学期望存在,
X 总是总体 X 的数学期望1 E( X )的无偏
估计量.
例3 设总体 X 服从参数为 的指数分布, 概率密度
无偏估计的实际意义: 无系统误差.
例2 设总体 X 的k 阶矩 k E( X k ) (k 1)存在,
又设 X1, X2 ,, Xn 是 X 的一个样本，试证明不论
总体服从什么分布,
k 阶样本矩 Ak
1 n
n i 1Xk i是k阶总体矩 k 的无偏估计.
证 因为 X1, X2 ,, Xn 与 X 同分布，
《概率论与数理统计》 第十九课：估计量的评选标准
19 估计量的评选标准
问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2)评价估计量的标准是什么?
下面介绍几个常用标准.
例1 设总体 X 在 [a,b] 上服从均匀分布,其中 a,
b 未知, (X1, X 2, , X n ) 是来自总体X的样本,求a, b 的估计量.
f
(
x;
)
1
x
e
,
0,
x 0, 其他.
其中参数 0, 又设 X1, X2,, Xn 是来自总体X 的
样本, 试证 X 和nZ n[min(X1, X2 ,, Xn )] 都是
的无偏估计.
证明 因为 E( X ) E( X ) ,
所以 X 是 的无偏估计量.
而
Z
min(
X1,
X2 ,,