高数自测题
1、证明： ＜
2、证明 （ 是任意常数）是微分方程 的通解。
3、函数 在 处的全微分 （ ）
A． ．B． ．C． ．D． ．
4、下列微分方程中，属于变量可分离的微分方程是（ ）
A、 B、
C、 D、
5、微分方程 的特解可设为 ( )．
A. B. C. D.
二、填空题
1、设 则
2、定积分
3、微分方程 的通解为
4、设
5、经过点（1，-1，1）且ห้องสมุดไป่ตู้直于平面2x+3y-z=0的直线方程为
三、计算下列各题
1、计算
2、计算
3、写出直线 的对称式方程与参数式方程.
4、设 ,求 ，
5、设函数 具有连续的偏导数，而 ，求 ，
6、设函数 由方程 确定，求 ，
7、求微分方程 满足 的特解.
8、解方程
四、应用题
1、求由曲线 一周所生成的旋转体的体积。
2、欲造一个无盖的长方形容器，已知底部造价为每平方米3元，侧面造价均为每平方米1元，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。
高数自测题
武汉理工大学网络继续学院自测题
课程名称：高等数学（下）专业班级：工科类
题号
一
二
三
四
五
总分
题分
备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)
一、单项选择题
1、设函数 在 连续， 则
A、 B、 C、 D、
2、设函数
A、不是驻点 B、是驻点但不是极值点
C、是驻点且是极大值点 D、是驻点且是极小值点
(完整版)高等数学自测题第13章自测题1答案
第13章自测题1答案一、选择题（每小题4分）1、答：(A).2、答：(B).3、设C为分段光滑的任意闭曲线，ϕ(x)及ψ(y)为连续函数，则的值(A)与C有关(B)等于0(C)与ϕ(x)、ψ(x)形式有关(D)2π答( ) 答：（B）4、曲线积分的值(A)与曲线L及起点、终点均有关(B)仅与曲线L的起点、终点有关(C)与起点、终点无关(D)等于零答( ) 答：（B）二、填空题（每小题4分）1、L是xoy平面上具有质量的光滑曲线，其线密度为ρ(x,y)，则L关于ox轴的转动惯量用曲线积分表示为___________. (ρ(x,y)为连续函数)。
答：2、设L是单连通域上任意简单闭曲线，a,b为常数，则 _______.答： 03、力构成力场，(y>0)若已知质点在此力场内运动时场力所做的功与路径无关，则m=________.答：14、设是某二元函数的全微分，则m=______.答：2三、解答题（每小题6分）1、求曲线ρ=a(1+cosθ)的长度(0≤θ≤2π, a>0).2、设曲线L 为摆线x =a (t －sin t ), y =a (1－cos t ) (0≤t ≤2π)的一拱，其线密度为1，求L 的形心坐标( ).3、求质点M (x ,y )受作用力沿路径L 所作的功W L 是从A (2，3)沿直线到B (1，1)的直线段. 解：L 的直线方程：12-=x y从2=x 到1=x⎰⋅=LsF w d ϖϖ⎰-++=AByx y x x y d )2(d )3(⎰-=12d )115(xx223-=4、质线L 为 其上任意点(x ,y )处的密度为 ，求此质线对于原点处的单位质点的引力 .5、设质线L 的方程为L 上任意点(x ,y )处的线密度为求质线L 的质量M 及质心坐标(ξ,η).解：L 的极坐标方程为 )cos 1(θ-=a r 0≤θ≤2πθθθd 2sin2d 'd 22a r r s =+=θθθμπ⎰⎰⎰-=+==2022d 2sin)cos 1(2d 1d asy x as M LLa 332=⎰⎰⎰-=-⋅⋅==ππθθθθθθθμξ2022022d 2sin )2sin 21(43d 2sin cos )cos 1(21d a a M Msx La 78-=由于L 关于OX 轴对称，221y x a+=μ关于y 是偶函数，故0=η∴ 质心：)0 , 78(a -6、计算 ，其中D 是由y =0和摆线x =a (t －sin t ), y =a (1－cos t ) 0≤t ≤2π 所围成的区域。
《高等数学》测试题和答案自测题一答案 (4)
自测题二一、单项选择题（每题2分，共30分）．1．函数)(x f y =在0x 处连续是它在0x 处可导的（ ）．（A ）充分条件；（B ）充要条件；（C ）必要条件；（D ）既非充分条件也非必要条件． 2．函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '的几何意义就是曲线)(x f y =在（ ）． （A ）在0x 处的切线的斜率； （B ）在点))(,(00x f x 处切线的斜率； （C ）在点))(,(00x f x 处的切线与x 轴所夹锐角的正切； （D ）在点0x 处的切线的倾斜角．3. 设)(x f 是可导函数，当)(x f 为偶函数，则)(x f '是（ ），当)(x f 是奇函数，则)(x f '是（ ）．（A ）偶函数； （B ）奇函数； （C ）非奇非偶函数； （D ）以上结论都不对． 4．函数在某点处不可导，函数所表示的曲线在相应点处的切线（ ）．（A ）一定不存在；（B ）不一定不存在； （C ）一定存在； （D ）以上结论都不对． 5. 设)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续，则=')(a f （ ）． （A ）)(a a ϕ； （B ）)(a a ϕ-； （C ）)(a ϕ-； （D ）)(a ϕ． 6. 函数|sin |x y =在0=x 处是（ ）．（A ）连续可导； （B ）不连续不可导； （C ）不连续可导； （D ）连续不可导．7. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin)(2x x xx x f 在0=x 处是（ ）．（A ）连续可导； （B ）不连续不可导； （C ）不连续但可导； （D ）连续但不可导． 8. 设xe y 1=，则=dy （ ）． （A ）dx e x1； （B ）dx ex 21-； （C ）dx e x x 121； （D ）dx e xx 121-．9. 函数||x x y =在点0=x 处的导数是（ ）．（A ）x 2； （B ）x 2-； （C ）0； （D ）不存在． 10. 函数||x e y =在0=x 处的导数是（ ）．（A ）1； （B ）1-； （C ）0； （D ）不存在． 11. 已知y x y ln =，则='x y （ ）． （A ）y x ； （B ）y ln ； （C ）x y y y -ln ； （D ）yxy +ln ． 12. 函数)ln(xxb a y +=的导数是（ ）．（A ）)ln ln (1b b a a ba x x x xx ++； （B ）)10ln(-a ； （C ）)(10ln 1x x x x b a b a ++； （D ）)ln ln (10ln b b a a ba xx x xx ++． 13. 设)(sin x f y =，则=dy （ ）．（A ）xdx x f sin )(sin '； （B ）dx x f )(sin '； （C ）xdx x f cos )(sin '； （D ）xdx x f sin )(sin ． 14. 若)(x f 是奇函数且)0(f '存在，则0=x 点是函数xx f x F )()(=的（ ）． （A ）无穷间断点； （B ）可去间断点； （C ）连续点； （D ）振荡间断点． 15. 若⎩⎨⎧>+≤=11cos )(x b ax x x x f ，且)1(f '存在，则必有（ ）．（A ）1,1-==b a ； （B ）1sin ==b a （C ）1sin 1cos ,1sin +=-=b a ； （D ）0,1==b a ． 二、填空题（每题3分，共30分）． 1．若)(x f 在a x =处可导，则=--+→hmh a f nh a f h )()(lim．2．若)]1[sin(sin )(2+='x x f ，4)0(=f ，则==4y dydx ．3．若⎩⎨⎧==mty t x ln ，则1=t nn x d yd ．4．若2sin x y =，则)(2x d dy． 5．若已知yx e xy +=，则dxdy． 6．=')(sin xx ．7．='+)1(xx ．8．设)1ln(ax y +=，a 为非零常数，则='y ，=''y ．9．已知t e x tsin =，t e y tcos =则==2πt dxdy ．10．已知)0()(≠='K Ke x f x，则)(x f y =的反函数的二阶导数=22dyxd ．三、计算下列各题（每题10分，共60分）．1．1ln 44+=xx e e y ，求0='x y ． 2．设0tan ln arcsin 2=+-y e y x x ，求40π==y x dxdy ．3．设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2arcsin 22tancos t y t t x t ，求0=t dx dy ．4．设txx xt t f 2)11(lim )(+=∞→，求)(t f '．5．设⎩⎨⎧==-tt e y te x ，求dx dy ，22dx yd ． 6．设函数⎩⎨⎧>+≤=0,2sin 0,)(x b x x e x f ax ，且)0(f '存在，求b a 、． 四、（５分）求由方程)ln()(2y x y x x y --=-所确定的函数)(x y y =的微分dy ．五、（５分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1arctan )(2x x xx x f ，试讨论)(x f '在0=x 处的连续性．。
高数自测题三套及参考答案
自测题一一、判断题（每小题3分，共30分）1、集合{}1,2A =，集合{}1,3,4B =，则{}1,2,3,4AB =。
（ ）2、函数()cos f x x =是有界函数。
（ ）3、函数(1)(2)()(2)x x f x x -+=+，()1g x x =-表示同一函数。
（ ）4、)(x f 在0x x =处有定义是)(lim 0x f x x →存在的充分条件但非必要条件 。
（ ） 5、1sin lim=∞→xxx 。
（ ）6、)(x f 在0x x =处极限不存在，则)(x f 在0x 处不连续。
（ ）7、()155xx x -'=⋅ 。
（ ）8、集合{}1,2A =，集合{}1,3,4B =，则{}2A B -=。
（ ） 9、当0x →时，sin ~x x ，则330sin limlim 0sin x x x x x xx x →∞→--==。
（ ）10、1lim(1)xx x e →∞+=。
（ ）二、选择题（每小题3分，共15分）1、设集合{}36A x x =<<，集合{}5B x x =>，则A B =（ ）。
.A {}5x x > .B [5,)+∞ .C {}56x x << .D (3,)+∞2、已知2,1()1,1x e x f x x x ⎧<-⎪=⎨-≥-⎪⎩，则(0)f =（ ）。
.A -1 .B 0 .C 1 .D 23、下列数列n x 中，收敛的是（ ）。
A . 1n x n =B . nn x n n 1)1(--=C. 1(1)n n x +=-D.(1)nn x n =-4、332356lim 87n n n n n →∞--=-（ ）。
3.8A .0B 1.2C .D ∞ 5、若32()1f x x x x =-++，则(0)f ''=（ ）。
.0A .1B .2C .2D - 三、填空题（每小题3分，共15分）1、函数()f x =_______________。
自测题(1-7章附参考答案)-高等数学上册.
第一章函数与极限一、选择题：1．函数的定义域是（）(A； (B； (C；(D.2.函数的定义域是（）(A；(B;(C;(D.3、函数是（）(A偶函数； (B奇函数；(C非奇非偶函数；(D奇偶函数.4、函数的最小正周期是（）(A2； (B； (C 4 ； (D .5、函数在定义域为（）(A有上界无下界； (B有下界无上界；(C有界，且；(D有界，且.6、与等价的函数是（）(A ； (B ； (C ； (D .7、当时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、设则当（）时有.(A； (B；(C； (D任意取 .9、设,则((A-1 ； (B1 ； (C0 ； (D不存在 .10、（）(A1； (B-1；(C0； (D不存在.二、求下列函数的定义域：2、 .三、设（1）试确定的值使；（2）求的表达式 .四、求的反函数.五、求极限：1、；2、；3、；4、；5、当时，；6、 .六、设有函数试确定的值使在连续 .七、讨论函数的连续性，并判断其间断点的类型 .八、证明奇次多项式：至少存在一个实根 .第二章导数与微分一、选择题：1、函数在点的导数定义为（）（A）；（B）；（C）；（D）；2、若函数在点处的导数，则曲线在点(处的法线（）（A）与轴相平行；（B）与轴垂直；（C）与轴相垂直；（D）与轴即不平行也不垂直：3、若函数在点不连续，则在 (（A）必不可导；（B）必定可导；（C）不一定可导；（D）必无定义.4、如果=（），那么.(A ；(B ；(C ；(D .5、如果处处可导，那末（）（A）；（B）；（C）；（D）.6、已知函数具有任意阶导数，且,则当为大于2的正整数时，的n阶导数是（）（A）；（B）；（C）；（D）.7、若函数,对可导且,又的反函数存在且可导，则=（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、若函数为可微函数，则（）（A）与无关；（B）为的线性函数；（C）当时为的高阶无穷小；（D）与为等价无穷小.9、设函数在点处可导，当自变量由增加到时，记为的增量，为的微分，等于（）（A）-1；（B）0；（C）1；（D）.10、设函数在点处可导，且，则等于（）.（A）0；（B）-1；（C）1；（D） .二、求下列函数的导数：1、；2、（）；3、；4、；5、设为的函数是由方程确定的；6、设，，求.三、证明，满足方程.四、已知其中有二阶连续导数，且，1、确定的值，使在点连续；2、求五、设求.六、计算的近似值 .七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？第三章微分中值定理一、选择题：1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（）（A）它们都给出了ξ点的求法 .（B）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。
高等数学测试题及答案1-9章全
高等数学测试题及答案1-9章全第1章自测题一、 选择题1. 若函数()f x 在点0x 处的极限存在，则（ ） Ａ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，并且等于极限值； Ｂ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，但不一定等于极限值； Ｃ ()f x 在点0x 处的函数值可以不存在； Ｄ 如果0()f x 存在的话，一定等于极限值 . 答案： C ．提示：根据极限的定义．2．下列函数中，在点2x =处连续的是（ ） .Ａ ln(2)x -； Ｂ 22x -； Ｃ 242x y x -=-； Ｄ答案： B ．提示：A 与C 在2x =处无意义，D 在2x =处左连续．3.函数53sin ln x y = 的复合过程是( )A x w w v v u u y sin ,,ln ,35====B x u u y sin ln ,53== ;C x u u y sin ,ln 53== ;D x v v u u y sin ,ln ,5=== . 答案：A ．4.设,0(),0x e x f x a x x ⎧<⎪=⎨+⎪⎩≥ ，要使()f x 在0x =处连续，则a ＝（ ）Ａ 2 ； Ｂ 1 ； Ｃ 0 ； Ｄ -1 .答案： B ．提示：0lim ()lim e e 1x x x f x --→→===，00lim ()lim()x x f x a x a ++→→=+=． 二、填空题5． 函数()34f x x =-的反函数是 . 答案：43x y +=．提示：反表示为43y x +=．6. 函数y 的复合过程是 .答案：2ln ,,cos y u v v t t x ====．7. 若2()f x x =， ()x g x e =，则[()]f g x = ，[()]g f x = .答案： 22[()](e )e x x f g x ==，2[()]x g f x e =． 8. 函数1()ln(2)f x x =-的连续区间为 .答案：(2,3)和(3,)+∞. 提示：20x ->且ln 20x -≠．三、 解答题9．设函数ln ,01()1,122x x f x x x x ⎧<⎪=-<⎨⎪>⎩≤≤ ，(1) 求()f x 的定义域；(2) 作出函数图像；(3) 讨论()f x 在1x =及2x =处的连续性 .解 (1) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞． (2) 函数图像为第1题图(3) 观察图像知，函数()f x 在1x =处连续，在2x =处不连续性．10．指出函数2πsin (3)4y x =-是有哪些简单函数复合而成的．解 2π,sin ,34y u u v v x ===-．11．计算下列各极限：（1） 22125lim 1x x x x →-+++ ； （2）221241lim 232x x x x →-+-； （3） 32lim(2)x x x →- ；（4）224lim 2x x x →--+；（5） 221lim()x x x→∞- ；（6）2241lim 232x x x x →∞-+-.解 （1） 22125125lim2111x x x x →-++-+==++； （2）2211122241(21)(21)214lim lim lim (21)(2)25232x x x x x x x x x x x x →→→--++===-+++-；（3） 33222lim(2)lim 2lim 484x x x x x x x →→→-=-=-=- ；（4）22224(2)(2)lim lim lim (2)422x x x x x x x x x →-→-→---+==-=-++；（5） 222121lim()lim lim 000x x x x x xx →∞→∞→∞-=-==-= ；（6）22221441limlim 2322322x x x x x x x x→∞→∞--==+-+-．12. 利用高级计算器计算下列各极限：（1）2lim sinx x x→∞ ； （2）3x → ；（3）lim x →+∞ （4）21lim()xx x x→∞+.解（1）2lim sin2x x x→∞= ； （2）314x →=； （3）x →∞=0； （4）221lim()e xx x x→∞+=.四、应用题1．若某厂每天生产某种产品60件的成本为300元，生产80件的成本为340元．求这种产品的线性成本函数，并求每天固定成本和生产一件产品的可变成本为多少？解 300602(),,()180234080180a b a C Q aQ b C Q Q a b b =+=⎧⎧=+⇒⇒∴=+⎨⎨=+=⎩⎩； 固定成本为180元，一件产品的变动成本为2元.2．甲向乙购买一套价值300万元的房子，乙提出三种付款方式：（1）全部付现款，可以优惠10万元；（2）先首付100万元，余款每隔一年付40万元，但每次付款必须加还40万元产生的利息（按年利率5%计算），5年后还清；（3）先首付200万元，一年后付余款100万元，但必须加还100万元的利息（按年利率5%计算）；分别计算这三种付款方式实际付款金额． 解 （1）300—10=290（万元）；（2）234510040(15%)40(15%)40(15%)40(15%)40(15%)332.076513++++++++++=万元；（3）（3）200100(15%)305++=万元．第2章 自测题一、 选择题1.过曲线2y x x =-上M 点处切线斜率为1，M 点坐标为（ ）. A.()1,0；B.()1,1；C.()0,0；D.()0,1.答案： A ．提示：切线斜率为211,1k x x =-==，0y =．2.设在0x =处可导，则0(2)(0)lim h f h f h→-=（ ）.A.0；B.2(0)f '-；C.(0)f '；D.2(0)f '.答案： D ．提示：00(2)(0)(02)(0)lim lim 22(0)2h h f h f f h f f h h→→-+-'=⋅=3.函数()f x 在点0x x =取得极大值，则必有（ ）. A.()00f x '=；B.()00f x '<；C ()00f x '=且()00f x =；D.()0f x '等于零或不存在.答案： D ．提示：()0f x '等于零或不存在的点都是可能的极值点． 4.函数sin y x x =-在[]0,π上的最大值是（ ）.； B.0； C.π-； D.π. 答案： C. 提示：因为cos 10y x '=-≤，所以函数单调递减．最大值为()f ππ=-5.函数e arctan x y x =+在区间[]1,1-上（ ）. A.单调减少；B.单调增加；C.无最大值；D.无最小值．答案： B ．提示：因为2101x y e x'=+>+． 6.d d yx=（ ）.C.D.答案： C ．提示：0,y y ''==． 7. 设()211f x x =+ (0)x >，则()f x '=（ ）. A.21(1)x -+； B.21(1)x +；C.；. 答案： C ．提示：()f x，所以y '= 8.设32,2t x te y t t -==+，则1t dydx =-=（ ） A.2e -； B.2e -； C.2e; D.2e答案：C ．提示：因为262ttdy t tdx e te--+=-，所以12t dy dx e =-= 9.设(),()y f u u x ϕ==，则dy =（ ）A.()f u dx '；B.()()f x x dx ϕ''C.()()f u x dx ϕ''；D.()()f u x du ϕ'' 答案： C ．提示：根据复合函数求导法则． 二、填空题10.已知某商品的收益为375)(Q Q Q R -=，则其边际收益=')(Q R 解 2375)(Q Q R -='11.函数1x y e -=在2x =-处的切线斜率为 ． 解 13222xx x k y e e -=-=-'==-=．12.曲线()21f x x =-在区间 上是单调增加函数. 解 ()2f x x '=-，所以在(,0)-∞上是单调增加函数． 13.如果2,0.01x x =∆=，则22()x d x == ．解 2220.01()20.04x x x d x x x==∆==⋅∆=．14.函数x y xe -=在[]1,2-上的最大值为 .解 (1)x y e x -'=-，得驻点1x =，12(1),(1),(2)f f e f e e=-=-=，所以最大值为2(2)f e=．15.如果2sin 2y x =，则y '= ． 解 2sin 2cos222sin 4y x x x '=⋅⋅=．16. 某需求曲线为1003000Q P =-+，则20P =时的需求弹性E = 解 202020()(100)21003000P P P P P E Q P Q P ==='=-=--=-+ ． 17.已知ln 2y x =，则y ''= ．解 211,y y x x'''==-．三、计算题18. 求下列函数的导数（1）(1y =+ （2）cos πy =+解y =解231(1)3y x -'=⋅+。
完整)高等数学练习题附答案
完整)高等数学练习题附答案第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.lim (sinx-tanx)/(3xln(1+2x)) = 1/22.lim (2x^2+ax+b)/(x-1) =3.a = 5.b = 123.lim (sin2x+e^(2ax)-1)/(x+1) = 2a4.若f(x)在(-∞,+∞)上连续，则a=05.曲线f(x) = (x-1)/(2x-4x+3)的水平渐近线是y=1/2，铅直渐近线是x=3/26.曲线y=(2x-1)/(x+1)的斜渐近线方程为y=2x-3二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在整数N，当n≥N时，恒有|x_n-a|≤2ε”是数列{x_n}收敛于a的充分条件但非必要条件2.设g(x)={x+2,x<1.2-x^2,1≤x<2.-x,x≥2}，f(x)={2-x,x<1.x^2,x≥1}，则g(f(x))=2-x^2，x≥13.下列各式中正确的是 lim (1-cosx)/x = 04.设x→0时，e^(tanx-x-1)与x^n是等价无穷小，则正整数n=35.曲线y=(1+e^(-x))/(1-e^(-x^2))没有渐近线6.下列函数在给定区间上无界的是 sin(1/x)，x∈(0,1]三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.lim (x^2-x-2)/(4x+1-3) = 3/42.lim x+e^(-x)/(2x-x^2) = 03.lim (1+2+3+。
+n)/(n^2 ln n) = 04.lim x^2sin(1/x) = 01.设函数$f(x)=ax(a>0,a\neq1)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\ln\left(\frac{f(1)f(2)\cdotsf(n)}{n^2}\right)}$。
2.求$\lim\limits_{4x\to1}\frac{x^2+e\sin x+6}{1+e^x-\cosx}$。
《高等数学》专升本、高起本第一期自测题一
文科高起本（第一学期）（自测题）I一、填空题（每小题3分，共15分） 1.函数y =的定义域为 22x -≤≤.2. 设,0(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩，当a = 1 时，()0f x x =在处连续.3. 设()f x 可导, ()x y f e =, 则____________.y '=()x x e f e '4. 曲线32y x =+在点(1,3)处的切线方程是___3y x =5. 曲线sin 2xy x=+的水平渐近线方程是____2y =______. 二、求极限（每小题5分，共30分） 1.1lim;25x xx →-原式1.3=-2.221lim2x x x x→∞++原式2111lim 22x x x→∞+==+3.233lim9x x x →-- 原式311lim 36x x →==+ 4. 0sin 3lim.sin 2x x x → 原式0sin 3333lim sin 2222x xx x x →=⋅= 5. 201cos limx x x →- 原式0sin 1lim 22x x x →==. 6. 10lim 13xx x →⎛⎫- ⎪⎝⎭. 原式11331300lim 1lim 1.33xxx x x x e ---→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦三、求下列导数或微分（每小题5分，共35分）1.1xy x =+，求y ’(0) 21,(0)1(1)y y x ''==+ 2.3sin y x x =+，求y '' 23cos ,6sin y x x y x x '''=+=-3.12x y e -=, 求y ''.12122,4x x y e y e --'''=-=4.2ln(1)y x =+，求dy 221xdy y dx dx x '==+ 5. x y xe -=, 求y ' x x y e xe --'=-6. 0y e xy e +-=，求y ' 两边对x 求导得：0,y yye y y xy y e x'''++=⇒=-+两边对x 求导得：0,y yye y y xy y e x'''++=⇒=-+ 7. 212x at by at bt =+⎧⎪⎨=+⎪⎩, 求dy dx ()(),(),.()dy y t bx t a y t at b t dx x t a'''==+==+' 四、（10分）求函数2,01()42,1221,2x f x x x x x ≤≤⎧⎪=-<<⎨⎪+≥⎩的间断点，并指出其类型.111lim ()2,lim ()lim(42)2,(1)2,x x x f x f x x f -++→→→==-==11222222lim ()lim ()(1),()1lim ()lim(42)0,lim ()lim(21)5,lim ()lim (),2.x x x x x x x x f x f x f f x x f x x f x x f x f x x -+--++-+→→→→→→→→==∴==-==+=≠∴= 在连续,为跳跃型间断点 五、（10分）求函数32()29123f x x x x =-+-的单调区间和极值点. 22()618126(32)6(2)(1)f x x x x x x x '=-+=-+=--令(0)0,1,2f x x '=⇒==单增区间：(,1),(2,)-∞+∞ 单减区间：（1，2） 极大值点1x =，极小值点x=2。
高数下-自测题(含答案)
自测题一参考答案一. 解答下列各题. 1.设2(,)(1)arcsinf x y x y =+-⋅, 求'(1,1)x f .解：2(,1) f x x =，'(,1)2x f x x∴=， '(1,1)2x f ∴=2.已知,, a b c为单位向量,且满足0a b c ++=,计算 a b b c c a ⋅+⋅+⋅.解：0a b c++=，()0a a b c∴⋅++=， 10a b a c ∴+⋅+⋅=； 同理，()0b a b c ⋅++= ， 10a b b c ∴+⋅+⋅=； ()c a b c⋅++= ， 10a cbc ∴+⋅+⋅=故有 ()320a b b c c a+⋅+⋅+⋅=，即32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-3.设,x z x f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中f具有二阶连续偏导数, 求2z x y∂∂∂.解：''''12121z x f xf y f f xyf f xy y ∂⎡⎤=+⋅+⋅=++⎢⎥∂⎣⎦，2''''''''''''12111122212222222''2''''1211222322zx x x x x f x f xf xy f x f f f x f x y y y y y y x x xf f xyf f y y∂⎛⎫⎡⎛⎫⎤⎛⎫⎡⎛⎫⎤=⋅+⋅-++⋅+⋅-+-+⋅+⋅-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎣⎝⎭⎦=-+-4. 设函数(,)z z x y =由方程222z x y z y f y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定, 其中f具有一阶连续的导数,求z z yxx y∂∂-∂∂.解：'22z x xf z∂=∂-，''22z y f fz y yf z-+∂=∂-，''2xz xf fz z yyxxyf z-∂∂∴-=∂∂-5. 求过点(1,0,1)M -, 且与直线0:20x y Lx y z +=⎧⎨-+-=⎩垂直的平面方程.解：直线L 的方向矢量{}1101,1,2111i j k s ==---，所以平面的法矢量为s，故所求的平面方程为(1)(0)2(1)0x y z ----+=，即230x y z ---=6. 求曲面228x yzz +=在点0(2,2,1)M 处的切平面和法线方程.解：在点0(2,2,1)M 处，法矢量{}4ln 2,4ln 2,16ln 2n=-//{}1,1,4-，所以切平面方程为：(2)(2)4(1)0x y z -+---=，即 40x y z +-=，法线方程为：221114x y z ---==-二. 设''()'()()y p x y q x y f x ++=的三个特解是x , x e , 2x e , 求此微分方程满足条件(0)1y =,'(0)3y =的特解.解：由线性方程解的结构定理知，该方程的通解为()()212x x y C e x C e x x=-+-+ ()()212'1211x x y C e C e ∴=-+-+，将初始条件(0)1y =, '(0)3y =代入得121131C C C =+⎧⎨=+⎩1212C C =-⎧⇒⎨=⎩ 所以原方程的所求特解为2*2x xy e e =-三. 设()f x 是连续函数, 且满足方程20()()()xx f x e x t f t dt =--⎰, 求()f x .解：整理方程200()()()x xx f x e x f t dt tf t dt =-+⎰⎰，两边对x 求导，得 20'()2()xx f x e f t dt=-⎰，再对x 求导，得 2''()4()x f x e f x =-，求解此方程得通解为： 2124()cos sin 5xf x C x C x e =++，由初始条件 (0)1,'(0)f f ==得，1212,55C C ==，所以2124()cos sin 555xf x x x e =++四. +=.解：设0000(,,)M x y z 为曲面上任一点，过0M 切平面的法矢量 n ⎧=⎨⎩，切平面方程为)))0000x x y y z z -+-+-=，即++=该切平面在三个坐标轴的截距为所以2+==五. 在椭球面22221x y z ++=上求距离平面26x y z +-=的最近点和最近距离, 最远点和最远距离. 解：椭球面22221x y z ++=上的点(,,)x y z 到平面26x y z +-=的距离的平方为：()221266d x y z =+--设 ()()22222621F x y z x y z λ=+--+++-由()()()'''222426402262022620210x y z F x y z x F x y z y F x y z z x y z λλλ⎧=+--+=⎪=+--+=⎪⎨=-+--+=⎪⎪++-=⎩得点1111,,222M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2111,,222M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由问题可知，最大值和最小值必定存在，故所求 最近点为1111,,222M ⎛⎫-⎪⎝⎭，最近距离为()1d M =；最远点为2111,,222M ⎛⎫--⎪⎝⎭，最远距离为()2d M =自测题二参考答案六. 解答下列各题. 7. 若L 为曲线1,02yx x x =--≤≤,计算()Lx y ds+⎰.解：1211()(1(1)22Lx y ds x x dx +=-+-=+⎰⎰⎰8. 计算∑, 其中∑是22z x y =+上1z ≤的部分曲面.解：原式D=()2214Dx y dxdy⎡⎤=++⎣⎦⎰⎰()2120143d d πθρρρπ=+=⎰⎰9. 设()22222()x y t F t fx y dxdy+≤=+⎰⎰, 求'()F t .解：()()2220()2ttF t d fd f d πθρρρπρρρ==⎰⎰⎰，所以 ()2'()2F t t ft π=10. 设L 为椭圆22143x y +=,其周长记为a , 求()22234 Lxyx y ds++⎰.解：原式()212 Lxyds =+⎰212 L Lxyds ds=+⎰⎰01212a a=+=11. 把1()34f x x =+展为形如0(1)nn n a x ∞=-∑的幂级数, 并确定其收敛区间.解：1()34f x x=+174(1)x =+-11471(1)7x =⋅+-014(1)(1)77n nn x ∞=⎡⎤=⋅--⎢⎥⎣⎦∑14(1)(1)7n nn n n x ∞+==--∑由4117x -<得收敛区间为31144x -<<12. 证明()211()()y x dy f x dx e e f x dx =-⎰⎰.证明：交换积分次序，有 左22111100()()y y xxdx e f x dy f x dx e dy ==⎰⎰⎰⎰2110()yx f x e dx =⎰()210()xe ef x dx =-⎰=右，故得证七. 求由曲面22z x y =+及221222z x y =--围成的立体的体积.解：VdV Ω=⎰⎰⎰22221220d d dz πρρθρρ-=⎰⎰⎰()2302123d πρρρ=-⎰24π=八. 计算(s in )(c o s )xx LIey my dx e y m dy =-+-⎰, L 是从点(,0)A a 沿上半圆周22x y ax +=到(0,0)的弧段.解：由格林公式，有sin x Pe y my=-，cos x Q e y m=-，cos x yP e y m=-，cos x xQ e y =，()22(sin )(cos )(sin )(cos )(sin )(cos )0228xx Lx x x x L O AO AxyDDI ey m y dx e y m dy e y m y dx e y m dy e y m y dx e y m dya m a Q P dxdy m dxdym ππ+=-+-=-+---+-⎛⎫=--==⋅⋅=⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰九. 求幂级数12n nn x n ∞=⋅∑的收敛域及其和函数.解： 12nna n =⋅， 111(1)2limlim212n n nn n n a n Ra n +→∞→∞++⋅∴==⋅=⋅，所以收敛区间为(2,2)x ∈-当2x=-时，级数为1(1)n n n∞=-∑收敛，当2x=时，级数为11n n ∞=∑发散，故原级数的收敛域为[2,2)x ∈-设1()2nnn x S X n ∞==⋅∑，[2,2)x ∈-，则有111111'()222212n n x S X x x∞-=⎛⎫==⋅=⎪-⎝⎭-∑，所以 012()'()ln22xxS x S t dt dt tx===--⎰⎰，[2,2)x ∈-十. 计算曲面积分3311 y y Ix dydz f y dzdx f dxdy z z y z ∑⎡⎛⎫⎤⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎰⎰, 其中()f u 有连续导数,∑为曲面221z x y =++与平面2z =围成的立体表面外侧.解：利用高斯公式，3Px =，31y Q f y z z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1y Rf y z ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()xy z I P Q R dv Ω=++⎰⎰⎰()2233x y dv Ω=+⎰⎰⎰221230132d d dz πρπθρρ+==⎰⎰⎰。
高等数学自我测试题
高等数学自我测试题(41)一、选择题1、函数)4ln()(2x x f -=的定义域是 （ ）（A ）；);22(，- （B ）),2()2,(+∞--∞ ； （C ）),2[]2,(+∞--∞ ； （D ）]2,2[-.2、设x e x f =)(，则))0((f f 的值为 （ ）（A ）-1； （B ）0； （C ）1； （D ）e .3、如果已知k x x e x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→211lim ，则k 的值为 （ ） （A ）21； （B ）1； （C ）2； （D ）无法确定. 4、函数)2)(2()2)(1()(-++-=x x x x x f 在下列那个点上是无穷大量 （ ） （A ）2-=x ； （B ）2=x ；（C ）1=x ； （D ）1=x 或 -2 .5、函数)4sin(x y -=的导数是 （ ）（A ）)4cos(x y -=； （B ）)4cos(x y =；（C ）)4cos(4x y -=； （D ）)4cos(4x y =.6、函数102)(2-+=x x x f 在区间[-2，0]上满足罗尔定理条件的ξ是 （ ）（A ）-2； （B ）-1； （C ）0； （D ）不存在.7、如果⎰+-=⋅C x e dx x f x cos )(2，那么)(x f 为 （ ）（A ）x ex sin 22-⋅ （B ）x e x sin 2+⋅； （C ）x ex sin 2-⋅； （D ）x e x sin 22+⋅. 8、⎰-dx x 2)32(1为 （ ）（A ）C x +-⋅-)32(131； （B ）C x +-⋅-)32(121； （C ）C x +-⋅)32(131； （D ）C x +-⋅)32(121. 9、下列式子中不正确的一个是 （ ）（A ）0sin 112=⋅⎰-xdx x ； （B ）0sin 112=⋅⎰-xdx x （C ）0cos 112=⋅⎰-xdx x ； （D ）0cos 112=⋅⎰-xdx x . 10、如果已知2)12(412=-⎰k dx x ，且，则k 的值为 （ ） （A ）41； （B ）21； （C ）41-； （D ）21-.11、方程23x y =表示的曲面是 （） （A ）球面； （B ）旋转面；（C ）柱面； （D ）平面.12、已知二元函数2332y x y x y +=，则=∂∂∂y x z2（）（A ）26xy （B ）y x 26（C ）y x xy 2266+ （D ）2266y x xy +二、计算题13、求1)1tan(lim 21-+-→x x x .14、求函数313y x x =-在)2,2(-的单调区间和极值.15、设函数)(x f y =由方程e xy e y =+所确定，求在点（0，1）处的导数。
高等数学课后自测题
是(
)பைடு நூலகம்
A．偶函数； B．非奇非偶函数； C．奇函数； D．可能是偶函数也可能是奇函数
答案 A
二．填空题
1．已知
f
(x
+
1x )
=
x2
+
1 x2
，则
f
(x
−
1x )
= ________________.
答案
f
(x
−
1x)
=
x2
+
1 x2
−
4
2．函数 y = 1 ln 1+ x 的定义域为______________________.
3．极限
lim (1+
x→
a x
)bx+d
的值等于(
A． e ；
B． eb ；
) C． eab ；
答案 C
D． eab+d
4．极限 lim n 2n + 3n + 4n + 5n 的值等于(
)
n→
A． 2；
B． 3；
C． 4；
D． 5
答案 D
5．极限
lim
x→0
x
sin
1 x
−
1 x
sin
x
2 , x = 1
答案 a = −1,b = 0
3．函数 f (x) = 1+ x2 + x2 − 4 的第二类间断点有_________个. (x +1)(x − 2)
答案 1
4．设 f (x) =
1+ sin
x
+ sin2 x − (a sin2 x