函数的偏导数word版

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(完整word版)偏导数与全导数-偏微分与全微分的关系

1。

偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导，另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数,描述的是y方向上的变化率几何意义对x求偏导是曲面z=f(x，y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f（x,y）在x方向上的切线这里在补充点。

就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况,但是我们要了解各个方向上的情况,所以后面有方向导数的概念。

2。

微分偏增量：x增加时f（x,y)增量或y增加时f（x,y）偏微分：在detax趋进于0时偏增量的线性主要部分detaz=fx（x，y)detax+o(detax)右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分全增量：x，y都增加时f（x，y）的增量全微分：根号（detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系dz=Adx+Bdy 其中A就是对x求偏导,B就是对y求偏导希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。

概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式,公式同时也指明了求微分的方法。

3。

全导数全导数是在复合函数中的概念,和上面的概念不是一个系统，要分开。

u=a（t)，v=b(t）z=f[a（t）,b（t）］dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。

dz/dt=(偏z/偏u）（du/dt）+(偏z/偏v）(dv/dt）建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。

1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。

2。

中间变量有多元，只能求偏导3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。

对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数如果z=f（x^2，2^x) 只有这种情况下dz/dx才是全导数！偏导数就是在一个范围里导数，如在(x0，y0)处导数.全导数就是定义域为R的导数，如在实数内都是可导的在数学中，一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数,而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）.偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的.函数f关于变量x的偏导数写为或。

偏导数公式大全范文

偏导数公式大全范文一元函数的偏导数公式：1.对于一元函数f(x)，它的偏导数是函数f(x)对自变量x的变化率。

偏导数通常用∂f/∂x表示。

2. 常数的导数为零，即 d(c)/dx = 0 ，其中 c 为常数。

3. 幂函数的导数 d(x^n)/dx = nx^(n-1) ，其中 n 为常数。

4. 对数函数的导数 d(ln(x))/dx = 1/x ，其中 ln(x) 表示以自然对数为底的对数函数。

5. 指数函数的导数 d(e^x)/dx = e^x ，其中 e 是自然对数的底。

6. 三角函数的导数： d(sin(x))/dx = cos(x)，d(cos(x))/dx = -sin(x)，d(tan(x))/dx = sec^2(x)，其中 sec(x) 表示 secant 函数。

7. 反三角函数的导数：d(arcsin(x))/dx = 1/√(1-x^2)，d(arccos(x))/dx = -1/√(1-x^2)，d(arctan(x))/dx = 1/(1+x^2)。

多元函数的偏导数公式：1. 多元函数 f(x1, x2, ..., xn) 的偏导数∂f/∂xi 表示函数 f 对变量 xi 的变化率。

2. 偏导数的定义是通过将其他自变量固定而对其中一个自变量进行微分，即∂f/∂xi = lim(h→0)(f(x1, ..., xi+h, ..., xn) -f(x1, ..., xi, ..., xn))/h。

3.二元函数的偏导数：∂f/∂x表示函数f对变量x的变化率，将y视为常数；∂f/∂y表示函数f对变量y的变化率，将x视为常数。

4.常见的二元函数的偏导数公式：对数函数的偏导数：∂(ln(x))/∂x = 1/x ，其中 ln(x) 表示以自然对数为底的对数函数。

幂函数的偏导数：∂(x^n)/∂x = nx^(n-1) ，其中 n 为常数。

三角函数的偏导数：∂(sin(x))/∂x = cos(x)，∂(cos(x))/∂x = -sin(x)，∂(tan(x))/∂x = sec^2(x)，其中 sec(x) 表示 secant 函数。

偏导数文档

偏导数简介在数学中，偏导数是多元函数中的导数的一种推广。

对于多元函数，其可以有多个自变量，因此其导数也相应的可以有多个。

偏导数即是在这种情况下求取的一种导数。

定义偏导数可以理解为多元函数对其中一个自变量的导数。

在具体的定义上，对于一个多元函数f(x1, x2, …, xn)，其中xi为自变量，其偏导数可以表示为对某个自变量求导，其他自变量保持不变。

假设f对x1的偏导数表示为∂f/∂x1，则其定义为：∂f/∂x1 = lim(h->0)(f(x1+h, x2, …, xn) - f(x1, x2, …, xn))/h计算方法根据偏导数的定义，可以通过求取对某个自变量的导数来计算偏导数。

计算偏导数时，其他自变量都视为常数，只考虑对某一个自变量求导。

下面介绍计算偏导数的一般方法：1.针对多元函数f，确定需要求偏导数的自变量。

2.将其他自变量视为常数，只考虑对指定自变量求导。

3.利用基本导数法则求取该自变量对应的导数。

4.将导数结果作为偏导数的值。

举例说明考虑一个简单的例子：f(x, y) = x^2 + 3y + 4xy在这个例子中，f(x, y)是一个关于两个自变量x和y的多元函数。

我们来计算偏导数。

对x求偏导数要计算∂f/∂x，需要将y视为常数，只考虑对x求导。

首先，利用基本导数法则，对于x2和4xy分别有： d(x2)/dx = 2x d(4xy)/dx = 4y因此，∂f/∂x = 2x + 4y。

对y求偏导数要计算∂f/∂y，需要将x视为常数，只考虑对y求导。

由于3y与y无关，所以∂(3y)/∂y = 3。

而对于4xy，根据基本导数法则，有： d(4xy)/dy = 4x因此，∂f/∂y = 3 + 4x。

性质偏导数具有一些特性，其中一些常见的性质如下：1.偏导数是对应自变量的函数。

偏导数是多元函数中某个自变量的导函数，因此它本身也是一个关于对应自变量的函数。

2.偏导数可以为0。

某个自变量的偏导数为0意味着函数在该自变量方向上的增长或减少趋势不明显，也可能表示达到极值的点。

第六章第2节偏导数

即
x z f( x 0 x ,y 0 ) f( x 0 ,y 0 )
称之为函数z在点 (x0, y0 )处对x的偏增量
如z=果f(xli,xmy0)在xx点z 存(x在0, y，0 )则对称x的此偏极导限数值为函数
lim 类似对y的偏导数
lim y 0
yz y
f(x0,y0y)f(x0,y0)
二、偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导多元函数中在某点偏导数存在
偏导数存在连续.
连续，连续，
例如,函数
f
(
x,
y)

x
2
xy
y
2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
依定义，在(0,0)处:
f(0+ x,0)-f(0,0)
fx (0, 0)

lim
x0
y 0
y
如果函数z f ( x, y)在区域D 内任一点 ( x, y)处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x 、y 的函数，它就称为函数z f ( x, y)对自变量x 的偏导数，
记作z x
，f x
，z x
或
f
x
(
x,
y).
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量 y 的偏
第二节偏导数
一、偏导数的定义二、偏导数的计算
第六章
一、偏导数的概念
一元函数y=f(x)的导数
偏导数
二元函数z=f(x,y)的导数
视其中一个量为变量，其余量为常数讨论导数
偏导数定义
设z=f(x,y)在点 (x0, y0)的某邻域有定义，固定 y y0

第二节偏导数

x y
x y x y
x
2
y
2
解
z arcsin x e
z 1 1 1 e arcsin x e x y 1 x 2 x
x z arcsin x e 2 y y
x y
7
例1
求下列多元函数的偏导数
3
解
z 1 xy
即函数在点
f 0 x, 0 f 0, 0
0, 0 处可导。
由此知，偏导数存在，函数在该点 11 未必连续。
连续连续
偏导数存在。偏导数存在。
不同！
对比一元函数，我们有：可导但：可导
连续，
连续，
12
偏导数的几何意义（演示）
z x2 y 2 1 5 例4 求曲线在点 ,1, 2 4 y 1
y
z x y 1 xy
y 1
y y 1 xy
2
y 1
ln z y ln 1 xy
1 x z y ln 1 xy y z 1 xy xy y z y 1 xy ln 1 xy 1 xy
0 0
它的几何意义就是函数曲线上点
x , f x 处的切线的斜率。
对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题，以二元函数
z f x, y 为例，我们分别讨论：
z 相对于 x 以及 z 相对于 y 的瞬时变化率——偏导数
3
F x, y , z 0 z f x , y
9
例2 理想气体的状态方程pV RT R为常数，求证： p V T 1 V T p

03第三节偏导数共8页word资料

第三节偏导数分布图示★ 偏导数的定义 ★ 例1★ 例2 ★ 例3 ★ 例4★ 有关偏导数的几点说明 ★ 例5 ★ 偏导数的几何意义 ★ 偏导数的经济意义 ★ 例6 ★ 高阶偏导数★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11★ 混合偏导数相等的条件 ★ 例12 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-3内容提要：一、偏导数的定义及其计算法定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时, 相应地函数有增量),,(),(0000y x f y x x f -∆+如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数, 记为).,(,,00000000y x f z xf xz x y y x x xy y x x y y x x 或======∂∂∂∂例如，有),(00y x f x xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim00000.类似地，函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记为).,(,,00000000y x f z yfy z y y y x x yy y x x y y x x 或======∂∂∂∂上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之. 二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：（1）对一元函数而言，导数dxdy可看作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商. 但偏导数的记号xu∂∂是一个整体. （2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续. 但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续.例如，二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在点)0,0(的偏导数为,00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆x xf x f f x x x .00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆yy f y f f x y y 但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续. 三、偏导数的几何意义设曲面的方程为),(y x f z =，)),(,,(00000y x f y x M 是该曲面上一点，过点0M 作平面0y y =，截此曲面得一条曲线，其方程为⎩⎨⎧==00),(y y y x f z 则偏导数),(00y x f x 表示上述曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴正向的斜率（图6-3-1）. 同理，偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量),,(y p Q Q = 其中p 为该产品的价格, y 为消费者收入. 记需求量Q 对于价格p 、消费者收入y 的偏改变量分别为),,(),(y p Q y p p Q Q p -∆+=∆和 ).,(),(y p Q y y p Q Q y -∆+=∆易见，pQ p ∆∆表示Q 对价格p 由p 变到p p ∆+的平均变化率. 而pQ p Qp p ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格为p 、消费者收入为y 时, Q 对于p 的变化率. 称Qp p Q pp Q Q E p p p ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对价格p 的偏弹性. 同理，yQ y ∆∆表示Q 对收入y 由y 变到y y ∆+的平均变化率. 而yQ y Qy y ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格p 、消费者收入为y 时, Q 对于y 的变化率. 称 Qy y Q yy Q Q E y y y ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim 0为需求Q 对收入y 的偏弹性. 五、高阶偏导数设函数),(y x f z =在区域D 内具有偏导数),,(y x f xzx =∂∂ ),,(y x f y z y =∂∂ 则在D 内),(y x f x 和),(y x f y 都是x 、y 的函数. 如果这两个函数的偏导数存在，则称它们是函数),(y x f z =的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同，共有下列四个二阶偏导数：),,(),,(222y x f yx zx z y y x f x zx z x xy xx =∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ),,(),,(222y x f y z y z y y x f x y z y z x yy yx =∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ 其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数.类似地，可以定义三阶、四阶、n 以及阶偏导数. 我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.定理1 如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及y x z∂∂∂2在区域D 内连续, 则在该区域内有yx zx y z ∂∂∂=∂∂∂22.例题选讲：偏导数的定义及其计算法例1（E01）求223),(y xy x y x f z ++==在点(1, 2)处的偏导数. 解把y 看作常数,对x 求导得到),(y x f x ,32y x +=把x 看作常数,对y 求导得到),(y x f y ,23y x +=故所求偏导数)2,1(x f 2312⨯+⨯=,8= )2,1(y f 2213⨯+⨯=.7=例2（E02）求yx z =的偏导数. 解xz∂∂,1-=y yx y z ∂∂.ln x x y =例3求三元函数)sin(2ze y x u -+=的偏导数. 解把y 和x 看作常数,对x 求导得);cos(2z e y x xu-+=∂∂ 把x 和z 看作常数,对y 求导得);cos(22z e y x y yu-+=∂∂ 把x 和y 看作常数,对z 求导得).cos(2z z e y x e zu-+-=∂∂ 例4（E03）求222z y x r ++=的偏导数.解把y 和z 看作常数,对x 求导得xr ∂∂222z y x x ++=,rx =利用函数关于自变量的对称性,可得y r ∂∂,r y =z r ∂∂.rz = 例 5 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 的偏导数)0,0(),0,0(y x f f 存在, 但),(y x f 在)0,0(点不连续.证 )0,0(x f x f x f x ∆-∆+=→∆)0,0()0,0(l i m0x x ∆-=→∆00lim0,1= yf y f f y y ∆-∆+=→∆)0,0()0,0(lim )0,0(0y y ∆-=→∆00lim 0.0=即偏导数),0,0(x f )0,0(y f 存在.但由上节的例 8知道,极限2200lim y x xyy x +→→不存在,故),(y x f 在)0,0(点不连续.例6（E04）某体育用品公司的某种产品有下列的生产函数 6.04.0240),(y xy x p =，其中p 是由x 个人力单位和y 个资本单位生产出的产品数量。

偏导数

[ f ( x, y ) ] |' x= x , f y ( x, y ) = [ f ( x, y ) ] |' f x ( x, y ) = y= y
常数 = [ f ( x, y ) ] ' x 常数
f ( x, y ) ] ' = [ y
注意： ∂z ∂z 偏导数的符号和应看成一个整体，不能 ∂x ∂y 将它们看成 ∂z 与 ∂x 或 ∂y 的商. 例1 解：求 z = x 2 sin 2 y 的偏导数.
∂r = ∂z
y y2 + x2 + z 2
z z 2 + y2 + x2
y = r z = r
例5 已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常量)，求证： ∂p ⋅ ∂V ⋅ ∂T = −1. ∂V ∂T ∂p 证:
∵ ∵ ∵
RT p= V
RT V= p
∴ ∴ ∴
∂p RT =− ∂V V2 ∂V R = ∂T p
偏导数的几何意义
z = f ( x, y)
∂z ∂x
x= x 0 y= y 0
复习一元函数导数
z
Tx
L
= [ f ( x , y0 )]'| x = x
曲面z = f (x,y)
0
M
平面 y =y0
固定 y =y0 得交线
⎧ z = f ( x , y０) ⎧ z = f ( x, y) 即⎨ L： ⎨ ⎩ y = y0 ⎩ y = y0
∂z = 2 x sin 2 y ∂x
∂z = x 2 cos 2 y ⋅ 2 ∂y
= 2 x 2 cos 2 y
x ∂z 1 ∂z + = 2 z. 例2 设 z = x ( x > 0, x ≠ 1) ，求证： y ∂x ln x ∂y

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讲解
新课讲解
（35分钟）
0(x0,y0)处关于y0的导数值。
如果z=f(x,y)在某个邻域内对每一个点x都存在偏导数，则这两个偏导数本身也是关于x，y的二元函数，所以称它们为偏导函数，简称为偏导数。记为zx/,
二、偏导数的求法
从偏导数的定义可以知道，求z对x的偏导数的时候可以把变量y认为是常数，从而可以利用一元函数求导法则和求导公式进行求导；同样，在z对y求偏导数的时候可以把x认为是常数进行求导。
四、高阶导数
二元函数z=f(x,y)的两个偏导数一般仍然是x，y的二元函数，若这两个函数对x，y的偏导数仍然存在，则称为这些偏导数为z=f(x,y)的二阶偏导数，按照对变量求导次序不同，二阶偏导数有如下几种形式：
在上述公式中要注意是先对x求偏导数然后再对y求偏导数，而是先对y求偏导数然后再对x求偏导数。它们正好相反，它们包
讲解、启发、引导
六、学生课堂训练:
具体题目见P1401 (3) (5) 3 (1) (2)
课后小结课后作业
（5分钟）
本次课主要讲解了二元函数的一阶偏导数和二阶偏导数，其中最重要的是这两个偏导数的计算
作业：P1401(2)、（4）、(6) （7） 3 (3)、(4)
教学反思
板书设计
课程导入：
复习一元函数的导数定义、导数与连续的关系
3.
分析：在本题中，实际上考查的是偏导数函数的算法。在本题中，一定要注意对x,y求偏导时我们可以寻找不同的函数类型，从而可以利用一元函数的求导法则来求相应的偏导数。（书写详细的解题过程）
4.
分析：本题实质和上题是类似的，实际上在求偏导数的时候我们可以把相应的某个变量看成是常数就可以了，然后利用一元函数的求导法则即可。（书写详细的解题过程）
讲解
新课讲解
（35分钟）
5.
分析：本题是一个三元函数的偏导数问题，在此题中我们的解题思路和上面是一样的，例如在求对x的偏导数时候，我们可以把y，z看成是常量，从而可以利用一元函数的求导法则来相应的三元函数的偏导数问题。
分析：本题和以上各题不一样之处在于f(x,y)是二元分段函数求在原点处的偏导数，此种题型的一般方法是利用定义来求，所以，在本题的讲解中要贯彻二元函数的导数的定义，所以要求学生务必对二元函数在某点的导数定义要比较熟悉。（在黑板上书写详细的解题过程）
2.求z=sin2(ax+by)的二阶偏导数
分析：此题和上述题型类似，此时和学生互动求解该题，并书写详细的解题过程
3.
分析：本题虽为证明题，其实质上还是关于二元函数高阶偏导数的计算问题，由于涉及的计算量比较大，所以提醒学生一定要注意计算的准确性，同时，在本题中，计算对x，y的偏导数的时候我们可以发现两个二阶混合偏导数是相同的，在此可以向学生解释为什么会出现这个情况，就是因为二元函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数如果连续的话，则这两个混合偏导数肯定相等（在此只要向学生简单介绍一下此定理就可以了，同时提醒学生在以后的一般情况下，这两个值应该是相等的）
复习一元函数的导数定义、导数与连续的关系
讲解、提问
新课讲解
（35分钟）
一、二元函数偏导数的定义
定义1：设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内有定义，当y固定在y0，而x0有增量时，相应的函数有增量（此时称为二元函数z=f(x,y)对x的偏增量，记为），即，若极限存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处关于x0的偏导数，记作。同样可以定义z=f(x,y)在点P
三、例题讲解：
1.求函数z=x3-2xy+5y2在点（1，2）处的偏导数
分析：此题有多种解法，我们首先可以把z对x、y的偏导数算出来，然后再代值；或：对x求偏导时把y的值代入然后再对x求导，同样的方法可以求出y的偏导数。（在黑板上详细写出本题的解题过程）
2.
分析：本题和上题是类似的题型，可以上学生自我考虑然后回答本问题。
课时教案
授课章节及题目
偏导数与全微分（1）
授课时间
周二第 3、4 节
课次
1
学
2、掌握求二元函数偏导数的方法
教学重点
与难点
教学重点：二元函数偏导数的求法
教学难点：二元函数偏导数的定义
教学用具
无
教学过程
环节、时间
授课内容
教学方法
课程导入
（5分钟）
讲解、启发
环节、时间
授课内容
教学方法
新课讲解
（35分钟）
含着对不同自变量的偏导数，所以称这两者是二阶混合偏导数。类似的我们可以定义更高阶的偏导数，二阶及二阶以上的偏导数我们称为是高阶偏导数。
五、例题讲解：
1.求函数z=x3+3x3y+y4+5的二阶偏导数
分析：在前面所介绍的一阶偏导数的基础之上，我们可以很容易的求出此题的二阶偏导数
新课讲解
一、二元函数偏导数的定义
二、偏导数的求法
三、例题讲解：
四、高阶导数
五、例题讲解：
六、学生训练
课后小结及课后作业
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您的好评与关注！）