福建省三明市第一中学2019届高三上学期第一次月考数学(理)试题
高三上第一次月考理科数学试卷
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19．(本小题满分 12 分) 如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中， A = 90 ， BC = 6 ， D, E 分别是 AC , AB 上的点，
CD = BE = 2 ， O 为 BC 的 中 点 ． 将 ADE 沿 DE 折 起 ， 得 到 如 图 2 所 示 的 四 棱 锥
1 a
1 x1 0 ， x2 0 ，使得 f ( x1 ) = f ( x2 ) = 0 ，求证： x1 + x2 0 . a
选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分． 22．(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程 已知直线 l 的方程为 y = x + 4 ，圆 C 的参数方程为 点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求直线 l 与圆 C 的交点的极坐标； （2）若 P 为圆 C 上的动点，求 P 到直线 l 的距离 d 的最大值．
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ）
2．已知函数 f ( x ) = −2 x 2 + mx − 1 在区间 1, + ) 上单调递减，则 m 取值的集合为（ A． 4 C． m | m 4 B． m | m 4 D． m | m 4 )
3．已知幂函数 y＝f(x)的图象过点(4,2)，则函数 y＝f(x)的图象是(
x = 2 cos ( 为参数） ，以原点为极 y = 2 + 2sin
23．(本小题满分 10 分)选修 4—5：不等式选讲 已知函数 f ( x) =| x − 2 | +a ， g ( x) =| x + 4 | ， a R ． （1）解不等式 f ( x) g ( x) + a ； （2）任意 x R ， f ( x) + g ( x) a 恒成立，求 a 的取值范围．
A − BCDE ，其中 AO = 3 ．
(1) 证明: AO ⊥ 平面 BCDE ; (2) 求二面角 A − CD − B 的平面角的余弦值． C D O ． E C A 图1 D O E 图2 B B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
20．(本小题满分 12 分) 某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利 200 元，如果生产出一件次品则损失 100 元 ． 已 知 该 厂 制 造 电 子 元 件 的 过 程 中 ， 次 品 率 p 与 日 产 量 x 的 函 数 关 系 是 ：
2
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3361 的是（ 1000052
A． 10−37 C． 10−35
） （ lg 3 0.477 ） B． 10−36 D． 10−34
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11．把函数 f ( x ) = log 2 (x + 1) 的图象向右平移一个单位，所得图象与函数 g ( x ) 的图象关于直 线 y = x 对称；已知偶函数 h( x ) 满足 h( x − 1) = h(− x − 1) ，当 x 0,1 时， h( x ) = g ( x ) − 1 ； 若函数 y = kf ( x ) − h( x ) 有五个零点，则 k 的取值范围是（ A． (log3 2,1) C． log 6 2, B． log3 2,1) D． log 6 2, 2 ）
4． 设集合 M = {x | y = log 2 ( x + 3x + 2)} ， 集合 N = x ( ) x 4 ， 则 M
2
1 2
N=
（
） ．
A． x x −2 C．
B． x x −1 D． R
x x −2
5．已知 m，n 是两条不同直线，α，β 是两个不同平面，则下列命题正确的是( A．若 α，β 垂直于同一平面，则 α 与 β 平行 B．若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行 C．若 α，β 不平行 ，则在 α 内不存在 与 β 平行的直线 ．．． ．．． D．若 m，n 不平行 ，则 m 与 n 不可能 垂直于同一平面 ．．． ．．．
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三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． ） 17．(本小题满分 12 分)
1 4 已知曲线 y = x3 + ．求： 3 3
4 ) 处的切线方程； （1）曲线在点 P ( 2， 4 ) 的切线方程． （2）曲线过点 P ( 2，
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)
6． 给出下列函数： ① f ( x) = x sin x ； ② f ( x) = e x + x ； ③ f ( x ) = ln( 1 + x − x) ． 对 a 0 ，
2
使得
a
−a
f ( x)dx = 0 的函数是（
） B．② D．①③ )
（参考公式： x3 − 3x 2 + 4 = ( x + 1)( x − 2 ) ）
2
18．(本小题满分 12 分) x＋1 已知函数 f(x)＝ln . x－1 (1)求函数 f(x)的定义域，并判断函数 f(x)的奇偶性； m (2)对于 x∈[2，6]，f(x) >ln （m>0）恒成立，求实数 m 的取值范围. （x－1）（7－x）
A．a<b<c C．c<a<b
2 x ＋2x，x＜0， 9．设函数 f(x)＝ 若 f(f(a))≤3，则实数 a 的取值范围是( －x2，x≥0，
A．(－∞， 3] C．[－ 3， 3]
B．[－ 3，＋∞) D ．(－∞，－ 3)
10．标准的围棋棋盘共 19 行 19 列，361 个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况， 因此有 3361 种不同的情况； 我国北宋学者沈括在他的著作 《梦溪笔谈》 中， 也讨论过这个问题， 他分析得出一局围棋不同的变化大约有 “连书万字五十二 ”种，即 1000052 ，下列数据最接近
三明一中 2018—2019 学年度高三上学期第一次月考
理科数学试卷
（考试时间：120 分钟 满分：150 分） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的． ） 1．已知 a、b 都是实数，那么“ a b ”是“ 2a 2b ”的（ A．充分必要条件 C．充分不必要条件 ）
2 1 2 －1 2 － 14．化简 4a3· b 3÷－ a 3b3的结果为 3
．
.
15．已知函数 f ( x) =
(1 − 2a) x + 3a, x 1,
x −1 , x 1. 2
的值域为 R ，则实数 a 的取值范围是
．
16．若函数 f(x)＝2x＋sin x 对任意的 m∈[－2,2]，f(mx－3)＋f(x)＜0 恒成立，则 x 的取值范围 是________．
A．① C．③
7．已知命题 p：∃x∈R，x>ln x+2，命题 q：∀x∈R+，log2x≥0，则( A．命题 p∨q 是假命题 C．命题 p∨( q)是假命题 B．命题 p∧q 是真命题
D．命题 p∧( q)是真命题
3
8．若偶函数 f(x)在(－∞，0]上单调递减，a＝f(log23)，b＝f(log45)，c＝f(2 2 )，则 a，b，c 满足 ( ) B．b<a<c D．c<b<a )
p=
3x ( x N* ) ； 4 x + 32
（1）将该厂的日盈利额 T（元）表示为日产量 x （件）的函数； （2）为获得最大盈利，该厂的日产量应为多少件？
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21．(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = ln( x + ) − ax ，其中 a R 且 a 0 . （1）讨论 f ( x) 的单调性； （2）若直线 y = ax 的图象恒在函数 f ( x) 图象的上方，求 a 的取值范围； （3）若存在 −
1 2
1
12．如图，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是边长为 2 的正三角形，则该 四棱锥的外接球的表面积是（ ） ． A．
19 3
B．
22 3
C． 19
D． 22
第 12 题图 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填在答题卡相应的位置上．) 13．与向量 a＝(3，4)同方向的单位向量为 b，又向量 c＝(－5，5)，则 b· c＝
福建省三明市第一2019届高三上学期第二次月考数学(理)答案
三明一中2018—2019学年上学期第二次月考高三理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.13．45︒ 14．π3π[0,)[,π)24 15．4− 16．3三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：（1）设}{n a 的公差为d ，由题有1221221022251167513−=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+==++==n a d a d a a a a d a a n ……………………5分 （2）由（1）得：1(21)2n n b n −=−⋅，所以0121123252(21)2n n S n −=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+−⨯ ………………7分=n S 2 1211232(23)2(21)2n n n n −⨯+⨯+⋯⋯+−⨯+−⨯ …………8分两式相减，得：n n n n n n n S 2)12()42(12)12()222(21112⋅−−−+=⋅−−+++⨯+=−+− …10分n n 2)32(3⋅−−−= ………………………………………………………11分所以)(32)32(*N n n S nn ∈+⋅−= ………………………………………………12分 18．解：（1）由正弦定理得：b 2sin cos sin cos sin A B Bc C C−==2sin sin cos sin sin cos A C B C B C ∴−= ………2分 即2sin sin sin cos cos sin sin()sin A C B C B C B C A =+=+=(0,)A π∈，sin 0A ∴≠ …………………………………………………………4分2sin 1,C ∴=1sin ,2C ∴=又(0,)C π∈，6C π∴=或56π ………………………………………………………………6分（2）4c =，且43a =，a c ∴>，6C π∴=…………………………………8分由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+−， 即21648243cos6b b π=+−⨯⨯⨯ …………………………………………9分于是得：212320b b −+=4b ⇒=或8b = ……………………………………12分19．解：（1）如图1，由已知可得：60,1,2===A AD AE ，从而360cos 2122122=⨯⨯⨯−+=DE ， 故得222AE DE AD =+，,AD DE BD DE ∴⊥⊥, ……………………2分即图2中：1,A D DE BD DE ⊥⊥，DB A 1∠∴为二面角B DE A −−1的平面角，而二面角B DE A −−1为直二面角，901=∠∴DB A ，即DB D A ⊥1，…………………4分 ,BCED DEDB D DE DB =⊂且平面，BCED D A 平面⊥∴1 ……………………6分（2）由（1）1,,DA DB DE 两两垂直，分别以1,,,,DB DE DA x y z 所在直线为轴建 立空间直角坐标系，则由已知及（1）可得：)0,233,21(),1,0,0(),0,0,2(),0,0,0(1C A B D令(01)BP BC λλ=≤≤ 则因333(,,0),(2,0,0)22BC DB =−=， 故333333(2,0,0)(,,0)(2,,0)2222DP DB BP DB BC λλλλ=+=+=+−=− 即)0,233,232(λλ−P ， ……………………9分 由（1）知)0,1,0(=→n 为平面BD A 1的一个法向量，又1333(2,,1)22A P λλ=−−， 若存在满足条件的P ， 则13cos ,sin 602n A P ==， 即23)1()233()232(233222=−++−λλλ， 解得65=λ ， 而53,2BC BP BC λ=∴==， 故存在满足条件的点P ，且PB 的长为25. ……………………12分 20． 解法一：（1）由题意得222a =，则2a =，又因为点2(1,)2P −在椭圆上， 所以211212b+=，解得1b =. 所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………………4分 (2)设A (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)，D (x 1,0)．因为点A ，E 都在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2， 所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2). ……………………7分 又B ，D ，E 三点共线 ， 所以k BE ＝k BD ， 即k BE －k BD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2－y 12x 1＝0，所以y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 12x 1，即y 1x 1＝2(y 1＋y 2) x 1＋x 2， ……………………9分A 1所以k AB ·k AE ＝y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝2(y 1＋y 2)x 1＋x 2·[－x 1＋x 22(y 1＋y 2)]=－1，即AB ⊥AE .所以点A 在以BE 直径的圆上． ……………………12分 解法二：（1）同解法一. ……………………4分 （2）设(,0)D t ，直线BD 的方程为：x my t =+(0)m ≠，11(,)B x y ，22(,)E x y ， 则11(,)A x y −−，11t x my t =−=−−，12my t ∴=−．联立方程2222x y x my t ⎧+=⎨=+⎩得222(2)220m y mty t +++−=，12222mty y m −∴+=+，212222t y y m −⋅=+，212122224()2222m t tx x m y y t t m m −∴+=++=+=++ ……………………8分又112121(2,2)(,)AB AE x y x x y y ⋅=⋅++1211212()2()x x x y y y =⋅++⋅+1122422()222t mt my t y m m −=+⋅+⋅++21128842mty t mty m +−=+ 2221224888022my t t t t m m +−+===++，AB AE ∴⊥，即点A 在以BE 直径的圆上． ……………………12分21. 解法一：（1）函数()f x 的定义域为(,1)(1,)−∞+∞，2(2)()(1)x e x f x x −'=−，令()0f x '=，得2x =, …………………………………2分 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化如下表：…………………3分因此，)(x f 有极小值为2(2)f e =，无极大值； ……………………………4分x(,1)−∞(1,2)2 (2,)+∞()f x ' −−0 +()f x↘↘极小值↗（2）因为1≤a ，1x >，故(1)(1)ln ln a x x x x++≤， 因此只需证明1,(1,)1ln x e x x x x +>∈+∞−. ………………5分 11ln x e x x x +>−21ln 0x x x e−⇔−>， 令xx x xe xx x e x g e x x x g −−+='−−=2322)(,1ln )(， ……………………6分 令32()2x h x e x x x =+−−，则2()341x h x e x x '=+−−，()640(1)x h x e x x ''=+−>>，故)(x h '在(1,)+∞单调递增，故)(02)1()(x h e h x h ⇒>−='>'在(1,)+∞单调递增，………………………7分 于是02)1()(>−=>e h x h )(0)(x g x g ⇒>'⇒在(1,)+∞单调递增，因此，),1(+∞∈x 时0)1()(=>g x g ，即01ln 2>−−xe x x ，……………………8分 (1)()ln a x f x x+∴>. 解法二：（1）同解法一. ……………………4分 （2）因为1≤a ，1x >，故(1)(1)ln ln a x x x x++≤， 因此只需证明1,(1,)1ln x e x x x x +>∈+∞−， ……………………………5分 11ln x e x x x +>−2ln 1,(1,)1x e xx x ⋅⇔>∈+∞−， 令1ln )(2−=x x e x x ϕ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−+−⋅−='x x x x x x e x xln )121)1()(222（ϕ. …………………………………6分令),0(,ln )12(1)(2+∞∈−−+−=x x x x xx x u ，则x x x x x x u ln )22(111)(2−+−−+='，x x xx x u ln 23212)(23++−+−=''，423)3(22)(xx x x x u +−+='''， ……………………………………7分 显然)(x u '''在(1,)+∞恒正，故)(x u ''在(1,)+∞单增，…………………………8分 注意到0)1(=''u ，于是)(x u ''在),1(+∞上为正，也即)(x u '在),1(+∞单调递增， ……………………………………………9分 因此(1,)x ∈+∞时有0)1()(='>'u x u ，故)(x u 在),0(+∞上单调递增， 又注意到0)1(=u ，于是)(x u 在),1(+∞上为正，而)(x u 与)(x ϕ'正负一致，因此)(x ϕ在),1(+∞单调递增，……………………10分令ln ()1xe x t x x =+，则21(1ln )'()(1)x e x x x t x x ++=+， 21111ln ln ()(1)1lim ()lim lim lim '(1)1112x x x x x x e xe x t x t ex x t x x x ϕ→→→→−+=====−−−， 因此(1,)x ∈+∞时，()12ex ϕ>>. ……………………12分22．解法一：（1）:l 0x =，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈，曲线:C 22410x y x +−+=，即22(2)3x y −+=. ………………………5分 （2）由（1）知曲线C 是以(2,0)为圆心，半径r =圆心到直线l的距离为1d ==，PQ ∴===. ………………………10分解法二： （1）同解法一. ………………………5分 （2）联立l 的参数方程与C的直角方程得：210t ++=，则P Q t t +=−1P Q t t ⋅=，P Q PQ t t ∴=−===. …………………10分解法三： （1）同解法一． ………………………5分 （2）联立l 及曲线C的极坐标方程得：210ρ−+=，则P Q ρρ+=−1P Q ρρ⋅=，P Q PQ ρρ∴=−===. ………………10分 23. 解：（1）3, 1,()21, 12,3, 2,x f x x x x ≤−⎧⎪=−+−<<⎨⎪−≥⎩，易得1)(≤x f 的解集为[0,)+∞ ………………………………5分 （2）由（1）知m x f ==3)(m ax ，于是1=++c b a ， ………………………………7分 因为a cbc ca b bc a ab 222++≥+++++，移项即得证. …………………………10分。
【教育资料】三明一中高三理科数学上学期第一次月考试卷(含答案)学习精品
三明一中2019年高三理科数学上学期第一次月考试卷（含答案）三明一中2019年高三理科数学上学期第一次月考试卷（含答案）一、选择题(5x10=50)1. 设集合A={x|03}，B={x|x2-3x+20，xZ}，则AB等于()A.(-1,3)B.[1,2]C.{0,1,2}D.{1,2}2. 下列结论错误的是 ( )A.命题若，则的逆否命题为若B. 是的充分不必要条件C.已知命题若，则方程有实根,则命题的否定为真命题D.命题若，则的否命题是若3. 如果全集U=R，A={x|x2-2x0}，B={x|y=ln(x-1)}，则图中的阴影部分表示的集合是()A.(-，0)(1，+)B.(-，0](1,2)C.(-，0)(1,2)D.(-，0) (1,2]4.已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则下面结论正确的是 ()A.a∥bB.abC. |a|=|b|D.a+b=a-b5.已知向量 , ，若向量与垂直，则的值为 ( )A. B.7C. D.6.6. 若，，则的大小关系是( )A. B. C. D.7. 已知实数x，y满足约束条件x0，yx，2x+y-90，则z=x+3y 的最大值等于()A.9B.12C.27D.368. 函数f(x)=-1x+log2x的一个零点落在下列哪个区间()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)9 设f(x)=lg21-x+a是奇函数，且在x=0处有意义，则该函数为 ()A.(-，+)上的减函数B.(-，+)上的增函数C.(-1,1)上的减函数D.(-1,1)上的增函数10 函数y=xsin x，x，0)(0，)的图象可能是下列中的()二、填空题(4X5=20)三、解答题(13+13+13+13+14+14=80)16. .已知f(x)为二次函数，且f(-1)=2，f (0)=0，10f(x)dx=-2，(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.17、已知，是夹角为60的单位向量，且， .(1)求 ;(2)求与的夹角18. 已知a0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增; 命题q：不等式ax2-ax+10对xR恒成立 .若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围.19. 函数的定义域为A, 定义域为B.(1)求A; (2)若 , 求实数的取值范围.20.已知向量 , ,且是方程的两个实根. (1)求实数的取值范围;(2)设 ,求的最小值.21. 已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=1处取得极值.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求证：对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)-f(x2)|(3)若过点A(1，m)(m-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.2019~2019学年上学期高三理科数学月考试卷答案2019.10.819.解 (1)由得 ,(2)由得 ,,即 ,而 , .20.解答(1)由题意知: =是方程的两个实根，(2) )由题意知故，令解得，而的最小值为15.2019年高三理科数学上学期第一次月考试卷就分享到这里了，更多相关信息请继续关注高考数学试题栏目！。
福建省三明市第一中学2020届高三上学期第一次月考数学(理)答案
三明一中2019～2020学年上学期月考一 高三理科数学试卷参考答案二、填空题(本题4小题，每小题5分,共20分) 13. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38 14. 10 6 15. 5. 16. 8三、解答题（共6题，70分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本题满分10分)解：（1）设向量a 与b 的夹角为θ，因为2=a ，==b ，所以cos θ⋅=⋅a b a b 22== 考虑到0πθ，得向量a 与b 的夹角4π． （2）若()λ-⊥b a a ，则()0λ-⋅=b a a ，即20λ⋅-=b a a ，因为2⋅=b a ，24=a ， 所以240λ-=，解得2λ=． 18.(本题满分12分)解：(1)()21cos cos sin 32+-=x x x x f x x 2cos 212sin 23-=3362sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx 又⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 3626πππ≤-≤-∴x 3662cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴πx1cos 2cos 2cos 2266662x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=--⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦632233212336-=⨯-⨯=（2）由a c A b 32cos 2-≤，得a c bca cb b 3222222-≤-+⋅ac b c a 3222≥-+ 222cos 22a cb B ac +-∴=≥(0,)0,6B B ππ∈∴<≤从而得6626πππ≤-<-B 故()⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,2162sin πB B f19.(本题满分12分)解 (1)设等差数列{a n }的公差是d ，∵a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6，∴d ＝－3. ∴a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得a 1＝－1. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2.(2)∵数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列，∴a n ＋b n ＝q n －1，即－3n ＋2＋b n ＝q n －1，∴b n ＝3n －2＋q n －1.∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1) ＝(31)2n n -＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)， 故当q ＝1时，S n ＝(31)2n n -＋n ＝3n 2＋n 2；当q ≠1时，S n ＝(31)2n n -＋1－qn1－q .20.(本题满分12分)解 (1)由AD →＝511DB →，且A ，B ，D 三点共线，可知|AD →|＝511|DB →|.又AD ＝5，所以DB ＝11.在Rt△ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝75，在Rt△BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196， 所以BC ＝14.所以|AB →－AC →|＝|CB →|＝14. (2)由(1)，知|AB →|＝16，|AC →|＝10，|BC →|＝14. 由余弦定理，得cos A ＝102＋162－1422×10×16＝12.由m ＝AB →＋tAC →，n ＝tAB →＋AC →，知k ＝m n ⋅＝(AB →＋tAC →)·(tAB →＋AC →) ＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB →＋t |AC →|2＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×12＋100t＝80t 2＋356t ＋80.由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝1时，k 取得最小值516.21.（本题满分12分)解析:（1）∵12,,n n S a +成等差数列，∴122n n S a +=+，当1n =时， 11224S a a ==+,122aa =+ 当2n ≥时， 112n n n n a S S --=-=， ∵{}n a 是等比数列，∴11a =,则212a+=，得2a =-, ∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -= ()*n N ∈ （2）由（1）得 ()()121212n n n b n a n -=-=-⋅， 则2311325272n T =⨯+⨯+⨯+⨯ ()1212n n -++-⋅，①232123252n T =⨯+⨯+⨯++ ()()1232212n n n n --⋅+-⋅，② ①-②得2112222n T -=⨯+⨯+⨯++ ()122212n n n -⨯--⋅()()2112222212n n n -=++++--⋅()()11421212n n n -=+---⋅ ()2323n n =--⋅-．∴()2323n n T n =-⋅+． 22.(本题满分12分)【解析】（1）()x f x e m '=-，若0m ≤，则()0f x '>，()f x 在(,)-∞+∞单调递增，所以()f x 无极值。
福建省三明市第一中学2019届高三上学期第一次月考数学(理)答案
三明一中2018—2019学年度高三上学期第一次月考理科数学参考答案一、选择题：二、填空题：13．1； 14．－6a b ； 15．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 16．()3,1−.三、解答题17.解:（1）因为()24P ，在曲线31433y x =+上，且2y x '=，……………………….. 2分 ∴在点()24P ，处的切线的斜率2|4x k y ='==． ………………………..4分 ∴曲线在点()24P ，处的切线方程为()442y x −=−，即440x y −−=． ………..6分 （2）设曲线31433y x =+与过点()24P ，的切线相切于点()00,A x y ， 则切线的斜率220|x k y x ='==， …………………..7分∴切线方程为()320001433y x x x x −−=−， ………………..8分∵点()24P ，在切线上，∴2300144233x x =+−，即3200340x x −+=， …………..9分 ∴322000440x x x +−+=，即()()200120x x +−=解得01x =−或02x =，………..10分 ∴所求的切线方程为440x y −−=或20x y −+=． ………………………..12分 18．解：(1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ……………………….. 2分∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， ………………………..3分 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x ). ……………………5分 ∴f (x )＝ln x ＋1x －1是奇函数. ………………………..6分C D OBE'AH(2)由于x ∈[2，6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m（x －1）（7－x ）恒成立，∴x ＋1x －1>m （x －1）（7－x ）>0， ………………………..7分 ∵x ∈[2，6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2，6]上恒成立. ………………………8分 令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2，3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3，6]时函数g (x )单调递减， 即x ∈[2，6]时，g (x )min ＝g (6)＝7， ………………………..10分 ∴0<m <7.故实数m 的取值范围为(0，7). ………………………..12分19．解：(1) 在图1中,易得3,OC AC AD === 连结,ODOE , 在OCD ∆中,由余弦定理可得 OD ==， 由翻折不变性可知A D '=, 所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥, …………………..4分 同理可证A O OE '⊥, 又ODOE O =,所以A O '⊥平面BCDE ． …………………..6分(2) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE , 所以A H CD '⊥,所以A HO '∠为二面角A CD B '−−的平面角． …………………..9分 结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =, 从而2A H '==所以cos 5OH A HO A H '∠==',所以二面角A CD B '−− …………………..12分向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz −如图所示, 则(A ',()0,3,0C −,()1,2,0D −，所以(CA '=,(1,DA '=−， 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则 00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y⎧+=⎪⎨−++=⎪⎩,解得y x z =−⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,1,n =− …..9由(1) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,53n OA n OA n OA '⋅'===', 即二面角A CD B '−−的平面角的余弦值为5． ………………12分 20．解：（1）由题设得，33(100)(1)200432432x xT x x x x =⨯⨯−+−⨯++21006400432x x x −+=+225(64),8x x x x +−−=∈+N ； …………………..6分∴该厂的日盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数为T =225(64),8x x x x +−−∈+N ． （2）由（1）得，2225(16512)()(8)x x T x x −+−'=+， …………………..8分令()0T x '=，得到32x =−（舍）或16x =， …………………..9分 当016x <<时，'()0T x >；当16x >时，'()0T x <； ∴()T x 在(0,16)上单调递增，在在(16,)+∞上单调递减；∴16x =为()T x 唯一的极大值点， …………………..11分 根据实际问题，它为最大值点，即当16x =时盈利最大．∴为获得最大盈利，该厂的日产量应为16件． …………………………12分 21.解：（1）函数()f x 的定义域是1(,)a−+∞， 21'()11a xf x a ax x a −=−=++ …………………………………….1分①当0a <时，'()0f x >，函数()f x 在1(,)a−+∞上是增函数； …….2分 ②当0a >时，若10x a −<<，'()0f x >；若0x >，'()0f x <； 所以函数()f x 在1(,0)−上是增函数，在(0,)+∞上是减函数… ……..3分. …….4分问题转化为求()0h x >恒成立时a 的取值范围.故h故a 的取值范围是(,)2+∞.……………………….6分（3）由于当0a <时，函数()f x 不满足题意，所以0a >. ………………………7分()g x '= ……………………….8分 因为0x a−<<，所以2210x a <<，2201a x <<，22110a x −<−<，22221a a a x <−−，则222201aa a x +<−，即()0g x '<，所以函数()g x . ……………………….9分所以1()(0)0g x g >=，于是11()()0f x f x −−>，即11()()f x f x −> ……………10分 又12()()0f x f x ==，则1()f x −>2()f x ， ，20x >，10x ∴−> 由()f x 在(0)+∞，上为减函数可知21x x >−，即120x x +>…………..12分 22．解：（1）直线l :4y x =+,圆C :22(2)4x y +−=, ………..1分联立方程组224(2)4y x x y =+⎧⎨+−=⎩,解得22x y =−⎧⎨=⎩或04x y =⎧⎨=⎩, ………..3分对应的极坐标分别为3)4π，(4,)2π ………..5分（2）设(2cos ,22sin )P θθ+,则)1|4d πθ==++， ………..8分当cos()14πθ+=时, d 取得最大值2+ ………..10分23．解：（1）不等式()()f x g x a <+即|2||4|x x −<+，两边平方得2244816x x x x −+<++， ……….. 2分 解得1x >−，所以原不等式的解集为(1,)−+∞． ………..5分（2）不等式2()()f x g x a +>可化为2|2||4|a a x x −<−++，又|2||4||(2)(4)|6x x x x −++≥−−+=， ………..7分所以26a a −<，解得23a −<<，所以a 的取值范围为(2,3)−． ……………….10分。
福建省三明市第一中学2019_2020学年高一数学上学期第一次月考试题(含解析)
福建省三明市第一中学2019-2020学年高一数学上学期第一次月考试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.设集合{}A a =，则有（ ） A. 0A ∈ B. a A ∈C. a A ∉D. a A =【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，选出正确选项.【详解】由于{}A a =，故a 是集合A 的元素，0不一定是集合A 的元素，所以A 选项错误、B 选项正确、C 选项错误.而a 是元素，A 是集合，故D 选项错误. 故选B.【点睛】本小题主要考查元素与集合的关系，属于基础题.2.已知函数2,0()1,0x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则(1)f -的值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的概念，求得()1f -的值. 【详解】依题意()1110f -=-+=. 故选：A.【点睛】本小题主要考查分段函数的函数值的求法，属于基础题.3.函数()2f x x =-的定义域为（ ）A. 2x ≥B. 2x >C. [)2,+∞D.()2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数列不等式，解不等式求得函数的定义域.【详解】依题意20x -≥，解得2x ≥，故函数的定义域为[)2,+∞，定义域要用区间或集合来表示，故A 选项错误.. 故选:C.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查数学符号的正确使用，属于基础题.4.设全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2A =，{}2,3,4B =，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {}1,2,5,6B. {}1C. {}2D.{}1,2,3,4【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由韦恩图可知，图中阴影部分可表示为()U C B A ⋂且{}1,5,6U C B ={},1,2A =所以(){}1U C B A ⋂= 故选B ．考点：1、集合的交集、并集、补集运算；2、韦恩图表示集合．【方法点晴】本题主要考查的是韦恩图表示集合和集合的交集、并集、补集运算，属于容易题，首先要把韦恩图中的阴影部分翻译为集合语言()U C B A ⋂ ，再进行集合的补集，交集运算．本题也可以直接在韦恩图中标出阴影部分的所以元素，从而直接得到答案．5.已知一次函数()f x 满足(1)0f -=，(0)2f =-，则()f x 的解析式为（ ） A. ()22f x x =+ B. ()22f x x =-- C. ()22f x x =- D. ()22f x x =-+【答案】B 【解析】 【分析】设出一次函数解析式，根据题目所给条件列方程组，解方程组求得()f x 解析式. 【详解】设一次函数()f x kx b =+，依题意02k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得2k b ==-，所以()22f x x =--.故选：B.【点睛】本小题主要考查待定系数法求一次函数解析式，考查方程的思想，属于基础题.6.下列各式正确的是（ ）3=-a =C.32=- D.2=【答案】C 【解析】 【分析】根据根式化简公式，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A 3=，所以A 选项错误.对于B a =，故B 选项错误.对于C 选项，32=-，故C 选项正确.对于D 2=-，故D 选项错误. 故选：C.【点睛】本小题主要考查根式化简，考查运算求解能力，属于基础题.7.某种产品今年的产量是a ，如果保持5%的年增长率，那么经过x 年()*x N ∈，该产品的产量y 满足（ ） A. (15%)y a x =+ B. 5%y a =+ C. 1(15%)x y a -=+D. (15%)xy a =+【答案】D 【解析】 【分析】根据增长率，求得经过x 年后的产量.【详解】今年产量为a ，经过1年后产量为()15%y a =+，经过2年后产量为()215%y a =+，以此类推，经过x 年后产量为()15%xy a =+.故选D.【点睛】本小题主要考查指数增长，考查实际生活中的数学应用问题，属于基础题.8.函数()f x =2019x =的交点个数为（ ） A. 0 B. 1C. 0或1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】求得函数()f x 的定义域，由此判断出正确选项.【详解】由220x -≥，解得x ≤≤，故函数()f x 的定义域为⎡⎣，而2019x =不在函数()f x 的定义域内，故()f x =的图像和直线2019x =的交点个数为0个. 故选：A.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查函数的定义，属于基础题.9.二次函数2y ax bx =-与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（0ab ≠且||||a b ≠）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】对选项中的图像逐一分析，由此判断出正确选项.【详解】对于A 选项，根据二次函数图像可知0,01b a a ><<，所以指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，故A 选项正确.对于B 选项，根据二次函数图像可知0,01ba a<<<，所以指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，故B 选项错误.对于C 、D 两个选项，根据二次函数图像可知0b a <，与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义矛盾，故C 、D 两个选项错误.故选：A.【点睛】本小题主要考查二次函数与指数函数图像分析，考查指数函数的定义和单调性，属于基础题.10.已知函数是(2)4,1()4,1a x a x f x a x x--<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩是(,)-∞+∞上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. (),0-∞B. (],0-∞C. 1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D.1,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数在R 上递增列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于()f x 在R 上递增，故()20021441a a aa a ⎧⎪->⎪<⎨⎪⎪-⨯-≤+⎩，解得103a -≤<.故选D.【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查一次函数、反比例函数的单调性，属于基础题.二、多选题：本题共2小题，每小题3分，共6分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 11.下列四个选项中正确的是（ ） A. {}{},a b ∅⊆B.(){}{},,a b a b =C. {}{},,a b b a ⊆D.{}0∅⊆【答案】CD 【解析】 【分析】根据子集、集合相等的知识对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A 选项，集合{}∅的元素是∅，集合{},a b 的元素是,a b ，故没有包含关系，A 选项错误.对于B 选项，集合(){},a b 的元素是点的坐标，集合{},a b 的元素是,a b ，故两个集合不相等，B 选项错误.对于C 选项，两个集合是相等的集合，故C 选项正确.对于D 选项，空集是任何集合的子集，故D 选项正确. 故选：CD.【点睛】本小题主要考查子集的概念，考查集合相等的条件，属于基础题.12.对于定义在R 上的函数()f x ，下述结论正确的是（ ） A. 若()f x 是奇函数，则(0)0f =B. 若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数C. 若对任意()1212,x x R x x ∈≠，有()()12120f x f x x x -<-，则()f x 是R 上的减函数D. 若函数()f x 满足(2)(1)(0)(1)(2)f f f f f -<-<<<，则()f x 是R 上的增函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性的知识，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A 选项，由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以A 选项正确.对于B 选项，()1f x -图像向左平移一个单位得到()f x 的图像，而()1f x -关于直线1x =对称，故()f x 关于0x =对称，也即()f x 为偶函数，故B 选项正确. 对于C 选项，根据减函数的定义可知，C 选项正确.对于D 选项，()()()()()21012f f f f f -<-<<<只是函数的部分函数值，无法确定函数是递增函数递减，故D 选项错误. 故选ABC.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题 共64分）三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分13.12019(0.96)24-⎛⎫--+= ⎪⎝⎭________.【答案】1 【解析】 【分析】根据指数运算的知识化简所求表达式，由此求得表达式的值.【详解】依题意原式1223131112222⎡⎤⎛⎫=-+=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故填：1.【点睛】本小题主要考查指数运算，考查运算求解能力，属于基础题.14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2xf x x =+，则()1f -=________.【答案】3- 【解析】 【分析】根据奇偶性，先计算(1)f ，再计算()1f -【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-. 因为当0x >时，()2xf x x =+所以()()()11213f f -=-=-+=-.故答案为3-【点睛】本题考查了奇函数的性质，属于常考题型.15.函数()f x =________，()3g x x =-的值域是________. 【答案】 (1). [)0,+∞ (2). (],4-∞ 【解析】根据偶次方根为非负数求得()f x 的值域，根据()g x 的定义域和单调性求得()g x 的值域.【详解】对于()0f x =≥对任意1x ≤成立，故()f x 的值域是[)0,+∞.对于()3g x x =-，由于函数()g x 在(],1-∞上为增函数，且()14g =，故()(],4g x ∈-∞.故填：（1）[)0,+∞；（2）(],4-∞.【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查函数的单调性，属于基础题.16.设函数1()11x x e f x e -=++，且[]1,1x ∈-，则()f x 的最大值与最小值之和是______.【答案】2. 【解析】 【分析】先利用分离常数法分离常数，由此判断出函数的单调性，进而求得函数的最大值和最小值，由此求得两者的和. 【详解】依题意()221x f x e =-+，故函数在[]1,1-上递增，最小值为()2121ef e-=-+，最大值为()2121f e=-+，故()()11422f f +-=-=. 故填：2.【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查分离常数法，考查函数最大值和最小值的求法，属于基础题.四、解答题：本题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤. 17.已知集合{}|3A x a x a =≤≤+，{|2B x x =<-或}6x >.（1）若5a =，求A B U ；（2）若A B =∅I ，求实a 的取值范围.【答案】(1) {|2A B x x ⋃=<-或}5x ≥. (2) [2,3]- 【解析】（1）当5a =时，求得集合A ，然后求A B U .（2）由于A B =∅I ，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】（1）若5a =，则{}|58A x x =≤≤， 又{|2B x x =<-或}6x >. 所以{|2A B x x ⋃=<-或}5x ≥.（2）因为{}|3A x a x a =≤≤+，{|2B x x =<-或}6x >，A B ⋂=∅所以236a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得23a -≤≤.所以实数a 的取值范围是[]2,3-.【点睛】本小题主要考查集合并集的运算，考查两个集合的交集为空集问题的求解，属于基础题.18.（10a >）；（2）计算1211133442436x x y x y -⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（其中0x >，0y >）.【答案】(1) 38a (2) 2y【解析】 【分析】（1）将根式化为指数式，然后根据指数运算公式，化简所求表达式.（2）根据指数运算公式对表达式进行化简，由此求得表达式值.【详解】解：（1）原式11112311113222822244a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥==⋅=⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）原式()121110133442124326xy x y y --+--⎛⎫=⨯-⨯-⋅⋅== ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查根式化简，考查指数运算，考查运算求解能力，属于基础题.19.已知函数()xxf x a a-=+（0a >且1a ≠）.（1）若(1)3f =，求(2)f ；. （2）若2a =，17()4f m =，求m 的值. 【答案】(1) (2)7f = (2) 2m =-或2m =. 【解析】 【分析】（1）利用()13f =得到13a a +=，对其两边平方后求得221a a+，也即求得()2f 的值.（2）根据题意写出()f x 解析式，利用()174f m =列方程，通过换元法，结合一元二次方程的根，求得m 的值.【详解】解：（1）因为()113f a a=+=， 所以219a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即22129a a ++=，所以2217a a +=，即()27f =. （2）若2a =，则()22xxf x -=+，由()174f m =得17224m m-+=， 令2(0)mt t =>，则1174t t +=，即241740t t -+=，整理得()()4140t t --=， 所以14t =或4t =，即124m=或24m =， 所以2m =-或2m =.【点睛】本小题主要考查指数运算，考查完全平方公式，考查换元法解方程，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.20.函数2()1ax bf x x+=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 解析式；.（2）若()f x 在()1,1-上是增函数，求使()2(1)10f m f m -+-<成立的实数m 的取值范围.【答案】(1) 2()1xf x x=+，(1,1)x ∈-. (2) (. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义得到()00f =，由此求得b 的值，再结合1225f ⎛⎫=⎪⎝⎭列方程求得a 的值，由此求得()f x 的解析式.（2）利用函数的奇偶性化简()()2110f m f m-+-<，得到()()211f m f m -<-，再根据函数的定义域和单调性列不等式组，解不等式组求得m的取值范围.【详解】解：（1）∵函数()21ax bf x x+=+是定义在()1,1-上的奇函数， ∴()00,f =，∴0b =， ∴()21axf x x=+，()1,1x ∈-， 又因为1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即21225112a=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以1a =， 经检验，()21xf x x=+（()1,1x ∈-）是奇函数， ∴()21xf x x=+，()1,1x ∈-. （2）因为()f x 在()1,1-上是奇函数，所以()()2211f m f m-=--.因为()()2110f m f m-+-<，所以()()2110f m f m---<，即()()211f m f m -<-，又因为()f x 在()1,1-上是增函数，所以2211211110211100m m m m m m m m m ⎧⎧-<--⎪⎪-<-<⇒<<⎨⎨⎪⎪-<-<<<<<⎩⎩或或，所以不等式的解集为(.【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性求函数解析式，考查函数的单调性，考查函数不等式的求解策略，属于中档题.21.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =+.（1）写出函数()()f x x R ∈的解析式；（2）若函数()()22g x f x ax =-+，[1,2]x ∈；求()g x 的最小值.【答案】(1) 222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩ (2) 2min 12,0,()21,01,24, 1.a a g x a a a a a -≤⎧⎪=--+<<⎨⎪-≥⎩【解析】 【分析】（1）利用函数为偶函数()()f x f x =-，求得当0x >时函数的解析式，由此求得函数()f x 的解析式.（2）利用配方法化简()g x 的解析式，根据其对称轴1x a =+与区间[]1,2的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的性质求得()g x 的最小值的表达式. 【详解】解：（1）0x >时，0x -<，∵()f x 为偶函数，∴()()22f x f x x x =-=-，∴()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩.（2）[]1,2x ∈时，()()()2222222212121g x x x ax x a x x a a a ⎡⎤=--+=-++=-+--+⎣⎦，对称轴1x a =+，①当11a +≤时，即0a ≤时，()g x 在区间[]1,2上单调递增， 所以()()min 112g x g a ==-：②当112a <+<，即01a <<时，()g x 在区间[]1,1a +上单调递减，在区间[]1,2a +上单调递增，所以()()2min 121g x g a a a =+=--+：③当12a +≥，即1a ≥时，()g x 在区间[]1,2上单调递减， 所以()()min 224g x g a ==-.综上所述，()2min12,0,21,01,24, 1.a a g x a a a a a -≤⎧⎪=--+<<⎨⎪-≥⎩【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性求函数的解析式，考查二次函数最小值的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.22.已知函数1()(0)f x x x x=-≠. （1）判断()f x 在区间(0,)+∞的单调性，并用定义证明；.（2）若对任意[2,0)x ∈-，都有()f x a >成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) ()f x 在区间(0,)+∞单调递增，证明见解析；(2) 3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义，计算得()()120f x f x -<，由此判断函数在()0,∞+上递增.（2）根据（1）的结论，结合函数为奇函数，判断出函数在[)2,0-上递增，由此求得函数在区间[)2,0-上的最小值，进而求得a 的取值范围.【详解】解：（1）()f x 在区间()0,+∞单调递增，证明如下： 任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <， 则()()12121211f x f x x x x x -=--+ ()121211x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()()1212121x x x x x x -+=因为120x x <<，所以120x x -<，1210x x +>，120x x >， 所以()()12121210x x x x x x -+<，即()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，所以()f x 在区间()0,+∞上单调递增.（2）因为()f x 的定义域是()(),00,-∞⋃+∞，对定义域内的每一个x ，都有()()1f x x f x x-=-+=- 所以()f x 是奇函数.由（1）知()f x 在区间()0,+∞上单调递增，故()f x 在区间(),0-∞上单调递增. 所以()f x 在区间[)2,0-上单调递增， 所以()()min 132222f x f =-=-+=-， 所以32a <-， 即实数a 的取值范围是3,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查函数的奇偶性，属于中档题.。
【数学】福建省三明市第一中学2019-2020学年高一上学期第一次月考试题(解析版)
福建省三明市第一中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设集合{}A a =，则有（ ） A.0A ∈ B.a A ∈C.a A ∉D.a A =【答案】B【解析】由于{}A a =，故a 是集合A 的元素，0不一定是集合A 的元素，所以A 选项错误、B 选项正确、C 选项错误.而a 是元素，A 是集合，故D 选项错误. 故选B.2．已知函数2,0()1,0x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则(1)f -的值为（ ）A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】依题意()1110f -=-+=. 故选：A.3．函数()f x =的定义域为（ ）A.2x ≥B.2x >C.[)2,+∞D.()2,+∞【答案】C【解析】依题意20x -≥，解得2x ≥，故函数的定义域为[)2,+∞，定义域要用区间或集合来表示，故A 选项错误.. 故选:C.4．设全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2A =，{}2,3,4B =，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.{}1,2,5,6B.{}1C.{}2D.{}1,2,3,4【答案】B【解析】试题分析：由韦恩图可知，图中阴影部分可表示为()U C B A ⋂且{}1,5,6U C B ={},1,2A =所以(){}1U C B A ⋂= 故选B ．5．已知一次函数()f x 满足(1)0f -=，(0)2f =-，则()f x 的解析式为（ ） A.()22f x x =+ B.()22f x x =-- C.()22f x x =- D.()22f x x =-+【答案】B【解析】设一次函数()f x kx b =+，依题意02k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得2k b ==-，所以()22f x x =--.故选：B.6．下列各式正确的是（ ）3=- a =C.32=-2=【答案】C【解析】对于A 3=，所以A 选项错误.对于B a =，故B 选项错误.对于C 选项，32=-，故C 选项正确.对于D 2=-，故D 选项错误.故选：C.7．某种产品今年的产量是a ，如果保持5%的年增长率，那么经过x 年()*x N ∈，该产品的产量y 满足（ ） A.(15%)y a x =+ B.5%y a =+ C.1(15%)x y a -=+ D.(15%)x y a =+【答案】D【解析】今年产量为a ，经过1年后产量为()15%y a =+，经过2年后产量为()215%y a =+，以此类推，经过x 年后产量为()15%xy a =+.故选D.8．函数()f x =的图象和直线2019x =的交点个数为（ ）A.0B.1C.0或1D.2【答案】A【解析】由220x -≥，解得x ≤≤()f x 的定义域为⎡⎣，而2019x =不在函数()f x 的定义域内，故()f x =2019x =的交点个数为0个. 故选：A.9．二次函数2y ax bx =-与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（0ab ≠且||||a b ≠）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】对于A 选项，根据二次函数图像可知0,01b a a ><<，所以指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，故A 选项正确.对于B 选项，根据二次函数图像可知0,01ba a<<<，所以指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，故B 选项错误.对于C 、D 两个选项，根据二次函数图像可知0b a <，与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义矛盾，故C 、D 两个选项错误.故选：A.10．已知函数是(2)4,1()4,1a x a x f x a x x--<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩是(,)-∞+∞上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.(),0-∞ B.(],0-∞C.1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D.1,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由于()f x 在R 上递增，故()20021441a a aa a ⎧⎪->⎪<⎨⎪⎪-⨯-≤+⎩，解得103a -≤<.故选D. 二、多选题11．下列四个选项中正确的是（ ） A.{}{},a b ∅⊆ B.(){}{},,a b a b =C.{}{},,a b b a ⊆D.{}0∅⊆【答案】CD【解析】对于A 选项，集合{}∅的元素是∅，集合{},a b 的元素是,a b ，故没有包含关系，A 选项错误.对于B 选项，集合(){},a b 的元素是点的坐标，集合{},a b 的元素是,a b ，故两个集合不相等，B 选项错误.对于C 选项，两个集合是相等的集合，故C 选项正确.对于D 选项，空集是任何集合的子集，故D 选项正确. 故选：CD.12．对于定义在R 上的函数()f x ，下述结论正确的是（ ） A.若()f x 是奇函数，则(0)0f =B.若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数C.若对任意()1212,x x R x x ∈≠，有()()12120f x f x x x -<-，则()f x 是R 上的减函数D.若函数()f x 满足(2)(1)(0)(1)(2)f f f f f -<-<<<，则()f x 是R 上的增函数 【答案】ABC【解析】对于A 选项，由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以A 选项正确.对于B 选项，()1f x -图像向左平移一个单位得到()f x 的图像，而()1f x -关于直线1x =对称，故()f x 关于0x =对称，也即()f x 为偶函数，故B 选项正确. 对于C 选项，根据减函数的定义可知，C 选项正确.对于D 选项，()()()()()21012f f f f f -<-<<<只是函数的部分函数值，无法确定函数是递增函数递减，故D 选项错误. 故选ABC. 三、填空题13．12019(0.96)24-⎛⎫--+= ⎪⎝⎭________.【答案】1【解析】依题意原式1223131112222⎡⎤⎛⎫=-+=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故填：1.14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2xf x x =+，则()1f -=________. 【答案】3-【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-. 因为当0x >时，()2xf x x =+所以()()()11213f f -=-=-+=-. 故答案为3-15．函数()f x =________，()3g x x =-的值域是________. 【答案】[)0,+∞ (],4-∞【解析】对于()0f x =≥对任意1x ≤成立，故()f x 的值域是[)0,+∞.对于()3g x x =-，由于函数()g x 在(],1-∞上为增函数，且()14g =，故()(],4g x ∈-∞.故填：（1）[)0,+∞；（2）(],4-∞.16．设函数1()11x x e f x e -=++，且[]1,1x ∈-，则()f x 的最大值与最小值之和是______.【答案】2.【解析】依题意()221xf x e =-+，故函数在[]1,1-上递增，最小值为()2121ef e-=-+，最大值为()2121f e=-+，故()()11422f f +-=-=. 故填：2. 四、解答题 17．已知集合{}|3A x a x a =≤≤+，{|2B x x =<-或}6x >.（1）若5a =，求A B U ；（2）若A B =∅I ，求实a 的取值范围. 解：若5a =，则{}|58A x x =≤≤， 又{|2B x x =<-或}6x >. 所以{|2A B x x ⋃=<-或}5x ≥.（2）因为{}|3A x a x a =≤≤+，{|2B x x =<-或}6x >，A B ⋂=∅所以236a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得23a -≤≤.所以实数a 的取值范围是[]2,3-.18．（10a >）；（2）计算1211133442436x x y x y -⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（其中0x >，0y >）.解：（1）原式11112311113222822244a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥==⋅=⋅== ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）原式()121110133442124326xy x y y --+--⎛⎫=⨯-⨯-⋅⋅== ⎪⎝⎭19．已知函数()x x f x a a -=+（0a >且1a ≠）. （1）若(1)3f =，求(2)f ；.（2）若2a =，17()4f m =，求m 的值. 解：（1）因为()113f a a=+=，所以219a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即22129a a ++=，所以2217a a+=，即()27f =. （2）若2a =，则()22xxf x -=+，由()174f m =得17224m m-+=， 令2(0)mt t =>，则1174t t +=，即241740t t -+=，整理得()()4140t t --=， 所以14t =或4t =，即124m=或24m =， 所以2m =-或2m =. 20．函数2()1ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；.（2）若()f x 在()1,1-上是增函数，求使()2(1)10f m f m -+-<成立的实数m 的取值范围.()()2110f m f m -+-<，得到()()211f m f m -<-，再根据函数的定义域和单调性列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围. 解：（1）∵函数()21ax bf x x+=+是定义在()1,1-上的奇函数，∴()00,f =，∴0b =， ∴()21axf x x=+，()1,1x ∈-， 又因为1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即21225112a=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以1a =， 经检验，()21x f x x =+（()1,1x ∈-）是奇函数，∴()21xf x x=+，()1,1x ∈-. （2）因为()f x 在()1,1-上是奇函数，所以()()2211f m f m-=--.因为()()2110f m f m-+-<，所以()()2110f m f m---<，即()()211f m f m -<-，又因为()f x 在()1,1-上是增函数，所以2211211110211100m m m m m m m m m ⎧⎧-<--⎪⎪-<-<⇒<<⎨⎨⎪⎪-<-<<<<<⎩⎩或或，所以不等式的解集为(.21．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =+. （1）写出函数()()f x x R ∈的解析式；（2）若函数()()22g x f x ax =-+，[1,2]x ∈；求()g x 的最小值. 解：（1）0x >时，0x -<，∵()f x 为偶函数，∴()()22f x f x x x =-=-，∴()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩. （2）[]1,2x ∈时，()()()2222222212121g x x x ax x a x x a a a ⎡⎤=--+=-++=-+--+⎣⎦， 对称轴1x a =+，①当11a +≤时，即0a ≤时，()g x 在区间[]1,2上单调递增，所以()()min 112g x g a ==-：②当112a <+<，即01a <<时，()g x 在区间[]1,1a +上单调递减，在区间[]1,2a +上单调递增，所以()()2min 121g x g a a a =+=--+：③当12a +≥，即1a ≥时，()g x 在区间[]1,2上单调递减， 所以()()min 224g x g a ==-.综上所述，()2min12,0,21,01,24, 1.a a g x a a a a a -≤⎧⎪=--+<<⎨⎪-≥⎩22．已知函数1()(0)f x x x x=-≠. （1）判断()f x 在区间(0,)+∞的单调性，并用定义证明；.（2）若对任意[2,0)x ∈-，都有()f x a >成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）()f x 在区间()0,+∞单调递增，证明如下： 任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <， 则()()12121211f x f x x x x x -=--+ ()121211x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()()1212121x x x x x x -+=因为120x x <<，所以120x x -<，1210x x +>，120x x >，所以()()12121210x x x x x x -+<，即()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，所以()f x 在区间()0,+∞上单调递增.（2）因为()f x 的定义域是()(),00,-∞⋃+∞，对定义域内的每一个x ，都有()()1f x x f x x-=-+=- 所以()f x 是奇函数.由（1）知()f x 在区间()0,+∞上单调递增，故()f x 在区间(),0-∞上单调递增. 所以()f x 在区间[)2,0-上单调递增， 所以()()min 132222f x f =-=-+=-， 所以32a <-， 即实数a 的取值范围是3,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.。
2019届福建省三明市高三上学期第一次月考数学(理)试题Word版含答案
2019届福建省三明市高三上学期第一次月考数学（理）试题（总分150分，时间：120分钟）一、选择题(本题12小题，每小题5分，共60分,每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中.)1．设函数,0,(),0,x f x x ≥=< 若()(1)2f a f +-=，则a =（ ）A ．– 3B ．±3C ．– 1D ．±12．已知sin α＝2m －5m ＋1，cos α＝－mm ＋1，且α为第二象限角，则m 的允许值为( )A.52＜m ＜6 B ．－6＜m ＜52 C ．m ＝4 D ．m ＝4或m ＝32 3.函数y =的定义域为（ ）A.( 34,1) B. (34,∞) C.（1，+∞） D. (34,1)∪（1，+∞）4. 一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°、距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为 ( ) A.1762海里/时 B ．346海里/时 C.1722海里/时 D ．342海里/时 5. 设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x ) ( ) A.在区间(1e ,1)，(1，e)内均有零点； B.在区间( 1e ,1)，(1，e)内均无零点；C.在区间( 1e ,1)内有零点，在区间(1，e)内无零点；D.在区间( 1e,1)，内无零点，在区间(1，e)内有零点。
6. 把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位长度，所得的曲线的一部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是 ( ) A ．1，3π B ．1，-3π C ．2，3π D ．2，-3π7. 给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是 （ ）A. ①②B.②③C.③④D.①④ 8. 函数2sin sin 1y x x =+-的值域为 ( )A ．[1,1]-B ．5[,1]4--C ．5[,1]4-D ．5[1,]4-9．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 ( )10. 已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2， 则f (7)＝( )A.－2B.2C.－98D.9811. 已知f (x )＝[)[]21,1,01,0,1x x x x ⎧+∈-⎪⎨+∈⎪⎩，则下列函数的图象错误的是 ( )12. 定义在),(+∞-∞上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且)(x f 在]0,1[-上是增函数，下面五个关于)(x f 的命题中：①)(x f 是周期函数；②)(x f 图像关于1=x 对称；③)(x f 在]1,0[上是增函数；④)(x f 在]2,1[上为减函数；⑤)0()2(f f =，正确命题的个数是 （ ）A ． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个二、填空题(本题4小题，每小题5分,共20分)13. 弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为 ，面积为 .14. 曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成图形面积为 .15. 函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为 .16. 设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )， 则m 的取值范围是 .三、解答题（共5题，70分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分10分)已知sin(π－α)＝45，α∈(0，π2)．(1)求sin2α－cos2α2的值； (2)求函数f (x )＝56cos αsin2x －12cos2x 的单调递增区间．18. (本题满分12分)用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该 长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？19.(本题满分12分)A 、B 是直线)0(1)3cos(2cos2)(02>-++==ωπωωx xx f y 与函数图像的两个相邻交点，且.2||π=AB（I ）求ω的值；（II ）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若ABC c A f ∆=-=,3,23)( 的面积为33，求a 的值.20．(本题满分12分)已知函数f (x ) = 2cos 2x -2sin x cos x + 1．（1）设方程f (x ) – 1 = 0在(0，π)内的两个零点x 1，x 2，求x 1 + x 2的值；（2）把函数y = f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位使所得函数的图象关于点(0，2)对称，求m 的最小值．21． （本题满分12分）已知函数x ax x f ln )(=图像上点))(,(e f e 处的切线方程与与直线x y 2=平行（其中71828.2=e ），.2)(2--=tx x x g（I ）求函数)(x f 的解析式；（II ）求函数)0](2,[)(>+n n n x f 在上的最小值；（III ）对一切(]0,,3()()x e f x g x ∈ ≥恒成立，求实数t 的取值范围。
2019届福建省三明市高三上学期第一次月考理数试题Word版含解析
2019届福建省三明市高三上学期第一次月考理数试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.请把答案填写在答题卷的相应位置.1．设集合A ＝{x|0≤x ≤3}，B ＝{x|x 2－3x ＋2≤0，x ∈Z}，则A ∩B 等于( )A ．(－1,3)B ．C ．{0,1,2}D ．{1,2}【答案】D考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的运算．【易错点睛】本题考查一元二次不等式的解法及集合的运算，属于基础题；在化简集合B 时，要注意Z x ∈,否则，可能出现“{}{}21|,0)1)(2(|≤≤=≤--=x x x x x B ，[]2,1=B A ”的错误. 2．下列结论错误．．的是 ( ) A.命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若24,340x x x ≠--≠则”B.“4x =”是“2340x x --=”的充分不必要条件C.已知命题p “若0m >，则方程20x x m +-=有实根”,则命题p 的否定为真命题D.命题“若220m n +=，则00m n ==且”的否命题是“若220.00m n m n +≠≠≠则或【答案】C 【解析】试题分析：由四种命题的形式，可得选项A 、D 正确，因为234041x x x x --=⇔==-或，所以“4x =”是“2340x x --=”的充分不必要条件；当0m >时，041>+=∆m ，即命题p 为真命题，所以题p 的否定为假命题；故选C ．考点：1.四种命题；2.命题的否定；3.充分条件和必要条件． 3.在边长为2的菱形ABCD中,120=∠BAD,则A C 在A B方向上的投影为 （ ）A ．1 B ．1C ．1D ．2【答案】C 【解析】试题分析：由平面几何知识，得2AC =,060=∠BAC ，则A C 在A B方向上的投影为01cos 60212AC =⨯=；故选C ． 考点：平面向量的投影．4.非零向量,a b 使得||||||a b a b -=+成立的一个充分非必要条件是 （ ） A . //a b B. 20a b += C.||||a ba b =D. a b = 【答案】B考点：平面向量的运算．5.设a ，b 不共线，AB ＝2a ＋pb ，BC ＝a ＋b ，CD ＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是 ( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得2BD BC CD a b =+=-，因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数t ，使A B tB D =，即22a pb ta tb +=-，即，则⎩⎨⎧-==tp t 22，解得1p =-；故选A ．考点：1.平面向量的线性运算；2.三点共线的判定．6．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a 等于 ( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12【答案】B【解析】试题分析：因为11-+=x x y ，所以2')1(2--=x y ，则曲线在点)2,3(处的切线斜率为21-=k ，又因为该切线与直线3--=ax y 垂直，所以1)(21-=-⨯-a ，解得2-=a ；故选B ． 考点：1.导数的几何意义；2.两直线的位置关系． 7．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x(x>0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z)C ．x 2＋1≥2|x|(x ∈R) D.1x 2＋1>1(x ∈R)【答案】C考点：1.基本不等式．8．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于 ( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e 【答案】B 【解析】试题分析：因为x xf x f ln )1(2)('+=，所以xf x f 1)1(2)(''+=，令1=x ，得1)1(2)1(''+=f f ，解得1)1('-=f ；故选B ．考点：导数的运算．9．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0，x －3y ＋3≤0，y －1≤0，，若目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值，则实数a 的取值范围为( ) A.),21(+∞ B ．(3,5)C ．(－1,2)D.)1,31(【答案】A考点：简单的线性规划． 10.函数x xx f 2log 1)(+-=的一个零点落在下列哪个区间 （ ） A ．)1,0( B ．)2,1( C ．)3,2( D ．)4,3( 【答案】B 【解析】试题分析：因为01)1(<-=f ，0121)2(>+-=f ，0)2()1(<⋅f f ，所以函数x xx f 2log 1)(+-=的一个零点落在区间)2,1(内；故选B ． 考点：零点存在判定定理． 11.设)12lg()(a xx f +-=是奇函数，且在0=x 处有意义，则该函数为（ ） A ．),(+∞-∞上的减函数 B ．),(+∞-∞上的增函数 C ． )1,1(-上的减函数 D ．)1,1(-上的增函数 【答案】D 【解析】试题分析：由题意，得0)2lg()0(=+=a f ，所以1-=a ，则xx x x f -+=--=11lg )112lg()(，令011>-+x x ，得11<<-x ，故排除选项A 、C ；因为121112--+-=--x x 在)1,1(-上为增函数，所以)(x f 是)1,1(-上的增函数；故选D ．考点：1.奇函数的性质；2.复合函数的单调性．【方法点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判定，属于中档题；解决本题的关键有以下两点： （1）利用“若奇函数在0=x 处有定义，则0)0(=f ”求得a 值； （2）利用复合函数“同增异减”的规律判定复合函数的单调性. 12. 函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列中的 ( )【答案】C考点：函数的图象与性质．【方法点睛】本题考查函数的图象与性质，属于中档题；已知函数的解析式，判定函数图象的形状时，一般通过解析式研究函数的定义域、单调性、值域、对称性、特殊值，再结合图象进行验证排除. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置.13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x <0，ln x ，x >0，则=))1((ef f ________.【答案】e1 【解析】试题分析：由题意，得11ln)1(-==e ef ，所以e f e f f 1)1())1((=-=；故填e1． 考点：1.分段函数；2.对数的运算；3.指数的运算． 14.函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0 (mn >0)上，则1m ＋1n的最小值为________． 【答案】4 【解析】试题分析：当01=-x ，即1=x 时，1=y ，即该函数图象恒过顶点)1,1(，则)0(1>=+mn n m ，则4211≥++=+++=+nmm n n n m m n m n m （当且仅当m n n m =，即21==n m 时取等号）；故填4．考点：1.指数函数的性质；2点与直线的位置关系；3.基本不等式．15.同学们经过市场调查，得出了某种商品在2014年的价格y (单位：元)与时间t (单位：月的函数关系为：y ＝2＋t 220－t(1≤t ≤12)，则10月份该商品价格上涨的速度是______元/月．【答案】3考点：1.导数的物理意义；2.导数的计算．【方法点睛】本题考查导数的物理意义，属于基础题；导数常见的物理意义有：路程求导得到速度（路程随时间变化率）,速度求导得到加速度（速度随时间变化率）.16.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x >03xx ≤0且关于x 的方程f(x)＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________． 【答案】),1(+∞【解析】考点：1.分段函数；2.方程的根与图象的交点．【方法点睛】本题考查方程的根与函数图象的交点的关系的应用，属于中档题；因为题中方程中涉及对数、指数与一次函数，无法直接求方程的根或函数的零点或判定其个数，可借助函数的图象，利用数形结合思想转化为判定两函数图象的交点个数问题.三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答. 17.(本小题满分12分）已知12,e e 是夹角为060的单位向量，且122a e e =+，1232b e e =-+.（1）求a b ⋅； （2）求a 与b 的夹角,a b <>.【答案】(1)27-；（2）0120． 【解析】试题分析：（1）利用平面向量数量积的运算性质进行求解；（2）先根据平面向量的模长公式求出两向量的模长，再利用平面向量的夹角公式进行求解．试题解析：（1）a b ⋅＝（12(2)e e +⋅12(32)e e -+＝－612e ＋12e e ⋅＋222e ＝27-…6分（2）212|||2|(2)7a e e e e =+=+=||7b =， ………10分所以1cos ,2||||a b a b a b ⋅<>==-，又,a b <>[0,180]∈︒，所以a 与b 的夹角,a b <>＝120°.……12分考点：1.平面向量数量积的运算；2.平面向量的夹角． 18. （本小题满分12分）已知a>0，设命题p ：函数x a y =在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立 .若p且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围. 【答案】(][)+∞,41,0 ．考点：1.复合命题的真假；2.二次不等式恒成立的判定． 19. （本小题满分12分） 函数132)(++-=x x x f 的定义域为A,)1)](2)(1lg[()(<---=a x a a x x g 定义域为B. （1）求A ； （2）若A B ⊆, 求实数a 的取值范围. 【答案】(1)),1[)1,(+∞⋃--∞=A ；（2）1212<≤-≤a a 或． 【解析】试题分析：（1）利用“偶次方根非负”与“分式中分母不为0”进行求函数的定义域；（2）利用对数式中真数为正得到结合B ，再利用两集合端点的比较进行求解．考点：1.函数的定义域；2.集合之间的关系． 20（本小题满分12分）已知向量(,3),(,)p x a q x x a =-=+,()f x p q =∙,且n m ,是方程0)(=x f 的两个实根.(1)求实数a 的取值范围;(2)设333)(a n m a g ++=,求)(a g 的最小值. 【答案】(1)31≤≤-a ；（2）15． 【解析】试题分析：（1）先利用平面向量的数量积公式得到函数的解析式，再利用方程的判别式非负进行求解；（2）先利用二次方程的根与系数的关系得到n m ,关于a 的关系，得到函数)(a g 的表达式，再利用导数求其最值． 试题解析：(1)由题意知: ()f x p q =∙=22(3)3x a x a a +-+- ………………….2分n m , 是方程0)(=x f 的两个实根，31,0)3(4)3(22≤≤-∴≥---=∆∴a a a a ……………………….6分(2) )由题意知⎩⎨⎧-=-=+aa mn an m 332………………………..8分 []323)()()(a mn n m n m a g +-++=∴=279323+-a a ,[]3,1-∈a故a a a g 189)(2'-=，令,0)('=a g 解得 或0=a 2a =，而,27)3(,15)2(,15)1(,27)0(===-=g g g g)(a g ∴的最小值为15. ………….. ….12分考点：1.平面向量的数量积；2.二次方程的判别式；3.利用导数研究函数的最值．【方法点睛】本题考查二次方程的判别式、利用导数研究函数的单调性，属于中档题；利用导数求函数在闭区间上的最值时，一般先求导，研究当自变量变换时，导函数的符号、函数的单调性的变化情况，确定函数在该区间上的极值点与极值，再将极值与区间端点函数值进行比较，进而确定其最值. 21．（本小题满分12分） 已知()(1)ln(1)f x x a x x =-++ （1）求()f x 的极值点；（2）当1a =时，若方程()f x t =在1[,1]2-上有两个实数解，求实数t 的取值范围； （3）证明：当0m n >>时，(1)(1)nmm n +<+。
福建省三明市第一中学2019届高三上学期期中考试数学(理)答案
，因此可取 m = ( 3, −1,1) .
由
，得
− 3x2 − y2 + 2 z2 = 0 − 3x2 + y2 = 0
，因此可取 n = (1, 3, 3) , ． ． ． ． ． ． ． ．10 分
高三上学段考理科数学参考答案
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从而法向量 m, n 的夹角的余弦值为 cos m, n =
BE sin B 3 21 . = = CE 14 2 7
． ． ． ． ． ． ． ． ．6 分 ． ． ． ． ． ． ． ． ．7 分
sin BCE =
（2）由平面几何知识可知 DEA = BCE , 在 Rt AED 中，
A =
2
， AE = 5 ，
cos DEA = 1 − sin 2 DEA = 1 −
三明一中 2018—2019 学年上学期学段考试
高三理科数学参考答案
一、选择题： 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 B 5 A 6 B 7 B 8 D 9 D 10 C 11 A 12 B
二、填空题：
13．
n 3 + ； 14．−1； 2 4
15．
2 ； 10
16． 16 15 .
三、解答题
17．(1)证明：由 an＋1＝4an－3n＋1 可得 an＋1－(n＋1)＝4(an－n)， 又 a1 − 1 = 1 0 ， an＋1－(n＋1) 所以 ＝4（非零常数） ， an－n 所以数列{an－n}是以 1 为首项，4 为公比的等比数列． (2)解：由 an − n = 4
因为平面 PAC ⊥ 底面 ABCD ，平面 PAC 底面 ABCD = AC , 所以 BD ⊥ 平面 PAC ， 又 CP 平面 PAC ， 所以 CP ⊥ BD . ． ． ． ． ． ． ． ． ．4 分
福建省三明市第一中学2019届高三数学上学期期中试题理
A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱D．四边形EFGH可能为梯形
10．下列叙述正确的是（）
A．“ab”是“ac2bc2”的充要条件；
B．已知an为等比数列，若a3，a7是方程x
（2）如果xR ,使得f ( x)2成立,求实数a的取值范围．
y1
1 n2
4
n，则an =．
14．已知实数x，y满足y2 x1，则目标函数zxy的最小值为．
xy5
15．对于锐角α，若sin(
)3，则cos(
)＝．
1256
16．大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是凝聚了中国古代劳动人民智
慧结晶的标志性建筑．如图所示，已知ABE,ADE，垂直放置的标杆BC的高度
A．2,12
C．2, 3
x2
x12
D．(2, 3)
0}，集合B={x | x22x30}，则AB=（）
B．1, 3
D．1,12
3．某商场为了解商品销售情况，对某种电器今年一至六月份的月销售量Q(x)（台）进行统计，
得数据如下：
x（月份）
1
2
3
4
5
6
Q(x)（台）
6
9
10
8
6
2
根据表中的数据，你认为能较好地描述月销售量Q(x)（台）与时间x（月份）变化关系的模
23
26
A．abc
C．cba
B．bca
D．cab
12．已知数列{an }满足a11，且an1ann2
n1
(nN*)，则a10（）