七年级数学角平分线和垂直平分线的性质》综合练习
线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略(学生版)--初中数学
线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】【考点二线段垂直平分线的判定】【考点三利用角平分线的性质求解】【考点四角平分线的判定】【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】【过关检测】【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】1(2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习)如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB、AC于E，D，连接EC，则∠BEC=．【变式训练】1(2023·江苏·八年级假期作业)三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的()A.三条角平分线的交点B.三边中线的交点C.三边上高所在直线的交点D.三边的垂直平分线的交点2(2023春·山东济南·七年级济南市章丘区第二实验中学校考阶段练习)如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，则△AGE的周长等于．3(2023春·广东深圳·七年级校考期末)如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．(1)若AB=10cm，求△CMN的周长；(2)若∠MFN=65o，则∠MCN的度数为°．【考点二线段垂直平分线的判定】1(2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习)如图，AD为三角形ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．(1)若BE=DE，∠BAC=60°，求∠CDF的度数；(2)写出AD与EF的关系，并说明理由；【变式训练】1(2023秋·广西河池·八年级统考期末)如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P．(1)求证：PA=PB=PC；(2)求证：点P在线段AC的垂直平分线上．2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，点D是等边△ABC外一点，∠BDC=120°，DB=DC，点E，F分别在AB，AC上，连接AD、DE、DF、EF．(1)求证：AD是BC的垂直平分线；(2)若ED平分∠BEF，BC=5，求△AEF的周长．【考点三利用角平分线的性质求解】1(2023春·山东威海·七年级统考期末)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB= 8，DE=4，AC=6，则S△ABC=()A.14B.26C.56D.28【变式训练】1(2023春·甘肃张掖·八年级校考期末)一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在()A.三角形三条边的垂直平分线的交点B.三角形三条角平分线的交点C.三角形三条高所在直线的交点D.三角形三条中线的交点2(2023春·山西运城·七年级统考期末)如图，BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PQ⊥BC 于点Q，PQ=5，O是BA上任意一点，连接OP，则OP的最小值为．3(2023春·陕西榆林·七年级校考期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点P，且点P在线段CD上，∠CPB=30°．(1)求∠PAD的度数；(2)试说明PD=PC．【考点四角平分线的判定】1(2023·全国·八年级假期作业)如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是∠BAC的外角平分线．【变式训练】1(2023·广东惠州·校联考二模)如图，CB=CD，∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于E．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若AE=10，DE=4，求AB的长．2(2023·江苏·八年级假期作业)如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD=CD,BE=CF．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)请猜想AB+AC与AE之间的数量关系，并给予证明．【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】1(2023秋·河北保定·八年级统考期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．(1)求证：CF=EB．(2)连接CE，求证AD垂直平分CE．(3)若AB=10，AF=6，求CF的长．【变式训练】1(2023秋·河南洛阳·八年级统考期末)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，连接EF．(1)求证：点D在EF的垂直平分线上；(2)若AB+AC=16，S△ABC=24，则DE的长为2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，D为△ABC外一点，DG为BC的垂直平分线，分别过点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE=CF．(1)求证：AD为∠CAB的角平分线；(2)若AB=8，AC=6，求AE的长．3(2023春·全国·八年级开学考试)如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A= 78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．(1)求证：BD平分∠ABC；(2)如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度．【过关检测】一、选择题1(2023春·四川成都·八年级统考期末)如图，在△ABC中，DE是AC边的垂直平分线，分别交BC、AC于D、E两点，连接AD，∠BAD=25°，∠C=35°，则∠B的度数为()A.70°B.75°C.80°D.85°2(2023春·四川达州·八年级统考期末)如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是()A.OM+ON的值不变B.∠PNM=∠POBC.MN的长不变D.四边形PMON的面积不变二、填空题3(2023春·山东青岛·七年级山东省青岛实验初级中学校考期末)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，AF是△ABC的中线，AB=16，AC=6，DE=5．则△ADF的面积为．4(2023春·湖南衡阳·七年级校联考期末)如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为．三、解答题5(2023春·河南商丘·七年级统考阶段练习)如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP=x°．(1)如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度数是°，当DP⊥OE时，x=；②若∠EDF=∠EFD，求x的值；(2)如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD=4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．6(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)在△ABC中，∠BAC=60°，线段BF、CE分别平分∠ABC、∠ACB交于点G．(1)如图1，求∠BGC的度数；(2)如图2，求证：EG=FG；(3)如图3，过点C作CD⊥EC交BF延长线于点D，连接AD，点N在BA延长线上，连接NG交AC于点M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求线段MN的长．7(2023春·八年级课时练习)如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．(1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由．(2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．8(2023春·浙江宁波·七年级校考期末)角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：【知识回顾】(1)如图1，P是∠BOA的平分线上的一点，PE⊥OB于点E，作PD⊥OA于点D，试证：PE=PD【深入探究】(2)如图2，在△ABC中，BD为∠ABC的角平分线交于AC于D点，其中AB+BC=10,AD=2,CD=3，求AB．【应用迁移】(3)如图3，Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F,P为CE中点，连接PF，若CP=4,S△BFP=20，则AB的长度为．9(2023·贵州遵义·校考三模)已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB=90°，∠ABC=30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF=90°，∠DFE=30°，连接CE并延长CE到P，使EP=CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．(1)如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB=EP；②∠EFP=30°；(2)如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP=30°．10(2023春·全国·八年级专题练习)【了解概念】如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，点P为直线MN的一点，连接AP，BP，若∠APM=∠BPN，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．(1)【理解运用】如图2，在△ABC中，D为BC上一点，点D，E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F，判断点B是否为点D，F关于直线AB的“等角点”，并说明理由；(2)【拓展提升】如图2，在(1)的条件下，若∠A=70°，AB=AC，点Q是射线EF上一点，且点D，Q关于直线AC的“等角点”为点C，请利用尺规在图2中确定点Q的位置，并求出∠BQC的度数；(3)【拓展提升】如图3，在△ABC中，∠ABC，∠BAC的平分线交于点O，点O到AC的距离为1，直线l垂直平分边BC，点P为点O，B关于直线l“等角点”，连接OP，BP，当∠ACB=60°时，OP+BP的值为．。
垂直平分线的性质练习题
垂直平分线的性质练习题练习一：已知直线AB与直线CD相交于O点，且O点在直线AB上。
证明：如果直线AO与直线CO互相垂直，则直线AD与直线BC也互相垂直。
解答：首先，根据条件已知，可以得出AO⊥CO，根据垂直平分线的性质，可以得出AO=CO。
同样地，由于AB⊥CD，所以AO=BO，CO=DO。
我们需要证明AD⊥BC，即证明直线AD与直线BC互相垂直。
假设不然，即假设AD与BC不互相垂直。
由于AO⊥CO且AO=CO，所以OA=OC。
同时，根据勾股定理可得AD²+OA²=OD²以及 BC²+OC²=OB²。
将OA=OC代入上式，得到AD²+OC²=OD²以及 BC²+OC²=OB²。
将AD²+OC²=OD²式子两边同时减去BC²，得到AD²-BC²+OC²-OC²=OD²-OB²，即AD²-BC²=OD²-OB²。
根据差平方公式，可将AD²-BC²因式分解为(AD+BC)(AD-BC)，同样地，OD²-OB²可以因式分解为(OD+OB)(OD-OB)。
将AD²-BC²=OD²-OB²式子中的右边代入得到(AD+BC)(AD-BC)=(OD+OB)(OD-OB)。
由于AD+B C≠0，所以可以将上式改写为(AD-BC)/(OD-OB)=(OD+OB)/(AD+BC)。
根据已知条件是AO=BO，我们可以将OD和OB表示为OA和OC 的组合形式。
即OD=OA+AD，OB=OC-BC。
将OD和OB代入上式，就得到了(OA+AD-BC)/(OC-BC)=(OA+OC)/(AD+BC)。
线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案
线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案一、选择题（本大题共7小题，共21.0分）1.如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪()A. 三条角平分线的交点处B. 三条中线的交点处C. 三条高的交点处D. 三条边的垂直平分线的交点处2.下列说法错误的是()A. 等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴B. 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴C. 等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴D. 等腰三角形一个内角的平分线所在的直线是它的对称轴3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE垂直平分BC，AD=3，则AC的长为()A. 9B. 5C. 4D. 3√34.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，∠BAC=124°，则∠DAE的度数为()A. 68°B. 62°C. 66°D. 56°5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE⊥AC于点E，若BC=2m+6，DE=m+3，则△BCD的面积为()A. 2m2−18B. 2m2+12m+18C. m2+9D. m2+6m+96.如图，P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则下列结论：①PM=PN；②AM=AN；③△APM≌△APN；④∠PAN+∠APM=90°．其中正确结论的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高线，E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为()A. 2B. 3C. 4D. 6二、解答题（本大题共10小题，共80.0分）8.直线OA，OB表示两条相互交叉的公路，点M，N表示两个蔬菜种植基地．现要建一个蔬菜批发市场P，要求它到两条公路的距离相等，且到两个蔬菜基地的距离也相等，请用尺规作图说明市场的位置．9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.已知AB=10cm，求△DEB的周长．10.如图，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE=CF，试判断BD和CD的数量关系，并说明理由．11.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶．奶站应建在什么地方才能使A，B到它的距离相等？12.A，B，C这3个村庄的位置如图所示，每两个村庄之间有公路相连，村民希望共同投资建一个货运中转站，使中转站的位置到3个村庄的距离相等．请你利用尺规作图确定中转站的位置．13.如图，四边形ABCD为矩形台球桌面，现有一白球M和黑球N，应怎样去打白球M，才能使白球M撞击桌边AB后反弹击中黑球N？请你画出白球M经过的路线．14.如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE.试说明MD=ME．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3.∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．(1)求∠B度数．(2)求DE的长．16.如图，已知∠ABC，射线BC上一点D.求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等(保留作图痕迹，但不要求写作法)．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作AC的垂线，垂足为点E．(2)在(1)作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE=______．答案和解析1.【答案】A【解析】[分析]本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知是三角形三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．[详解]解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应建在三角形草坪的三条角平分线的交点处．故选A．2.【答案】D【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质，属于基础题，解题的关键是了解对称轴是一条直线，难度不大．根据等腰三角形性质分别判断后即可确定正确的选项．[详解]解：A.等腰三角形底边上的高所在的直线是对称轴，正确；B.等腰三角形底边上的中线所在的直线是对称轴，正确；C.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，正确；D.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，如果这个内角是底角，不一定是它的对称轴，错误．故选D．3.【答案】A【解析】[分析]根据角平分线性质得出AD=DE，证明Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，得BE=AB，由DE 是BC的垂直平分线，得BC=2AB，所以∠C=30°，可得CD的长，从而得AC的长．本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．[详解]解：∵BD是角平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=AD=3，在Rt△ADB和Rt△EDB中，∵{AD=DEBD=BD，∴Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，∴BE=AB，∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴BC=2AB，∴∠C=30°，∴CD=2DE=6，∴AC=CD+AD=6+3=9，故选：A．4.【答案】A【解析】[分析]根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠DAB=∠B，同理可得，∠EAC=∠C，结合图形计算，得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．[详解]解：∠B+∠C=180°−∠BAC=56°，∵AB的垂直平分线交BC于D，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B，∵AC的垂直平分线交BC于E，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C，∴∠DAE=∠BAC−(∠DAB+∠EAC)=124°−56°=68°．故选A．5.【答案】D【解析】[分析]过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形面积公式列式，然后根据多项式乘多项式法则进行计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出BC边上的高线是解题的关键．[详解]解：如图，过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，∴DE=DF，∴△BCD的面积=12·BC·DF=12(2m+6)(m+3)=m2+6m+9．故选D．6.【答案】A【解析】[分析]利用角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质分析得出答案．此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出△APM≌△APN 是解题关键．[详解]解：∵P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，∴∠MAP=∠NAP，∠AMP=∠ANP=90°，PM=PN，故①正确在△APM和△APN中{∠MAP=∠NAP ∠AMP=∠ANP AP=AP,∴△APM≌△APN(AAS)，故③正确，∴AM=AN，故②正确，∠APM=∠APN，∵∠PAN+∠APN=90°，∴∠PAN+∠APM=90°，故④正确，综上所述：正确的有4个．故选A．7.【答案】A【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用△ABD和△ACD的面积相等是正确解答本题的关键．由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，△ABD和△ACD的面积相等，再根据点E、F，依此即可求解．是AD的三等分点，可得△BEF的面积为△ACD的面积的13[详解]解：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，S△ABC=12，BC，S△ABD=6，∴BD=CD=12∵点E、F是AD的三等分点，AD，∴EF=13S△BEF=1S△ABD=2．2故选A．8.【答案】解：如图：P为所求做的点．【解析】本题考查了基本作图，理解角的平分线以及线段的垂直平分线的作图是关键．连接MN，先画出∠AOB的角平分线，然后再画出线段MN的中垂线．这两条直线的交点即为所求．9.【答案】解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE．又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌△RtAED．∴AE=AC，∴△DEB的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10cm．【解析】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质，角平分线的性质等有关知识，由题意根据AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，得到CD=DE，然后利用全等三角形的判定及性质得到AE=AC，最后利用三角形的周长公式进行求解即可．10.【答案】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°．在△BED和△DFC中，DE=DF，∠E=∠DFC，BE=CF，∴△BED≌△DFC(SAS)，∴BD=CD．【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性质(即对应边、对应角相等)是解题的关键．由角平分线的性质可得DE=DF，再结合条件可证明Rt△BED≌Rt△CFD，即可求得BE=CF.11.【答案】解：连接AB，作AB的垂直平分线，与街道的交点为P，点P即为所求作的点．【解析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知此点P在AB的垂直平分线上即可解答，12.【答案】解：如图，【解析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．利用线段垂直平分线的性质进而得出AB，AC的垂直平分线进而得出交点，得出M即可．13.【答案】解：如图所示，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．【解析】此题考查了轴对称作图，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．14.【答案】证明：△ABC中，∵AB=AC，∴∠DBM=∠ECM．∵M是BC的中点，∴BM=CM．在△BDM和△CEM中，，∴△BDM≌△CEM(SAS)，∴MD=ME．【解析】本题主要考察等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质.根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．15.【答案】解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB．∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠B=30°；(2)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，BD，∴CD=DE=12∵BC=3，∴CD=DE=1．【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟悉掌握是关键．(1)由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°；(2)根据角平分线的性质即可得到结论．16.【答案】解：如图，△PBD即为所求作的三角形【解析】【分析】本题考查尺规作图.根据角平分线的性质及线段垂直平分线的性质作图即可.作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．【解答】解：∵点P到∠ABC两边的距离相等，∴点P在∠ABC的平分线上，∵线段BD为等腰△PBD的底边，∴PB=PD，∴点P在线段BD的垂直平分线上，∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点．17.【答案】解：(1)如图所示；(2)解：∵DC是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ACD，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE//BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，设DE=CE=x，则AE=6−x，∴x4=6−x6，解得：x=125，即DE=125，故答案为：12．5【解析】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．(1)以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；(2)根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE//BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．。
垂直平分线与角平分线综合 练习题(带答案))
垂直平分线与角平分线综合 题集一、垂直平分线（1）（2）1.如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．若，求的度数．若周长，，求长．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵垂直平分，垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴．∵周长，，∴，即，∴．【标注】【知识点】作三角形的高，中线和角平分线（1）（2）2.的两边和的垂直平分线分别交于点、．若，求的周长．若，求．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵边、的垂直平分线分别交于、，∴，，∴的周长．∵的两边，的垂直平分线分别交于，，∴，，∴，．∵，①∴．∵，∴，即．②由①②组成的方程组．解得，故答案为：．【标注】【知识点】三角形的周长与面积问题3.在中，，，的垂直平分线交于，的垂直平分线交于．求证：．【答案】证明见解析．【解析】连接、，∵，，∴，∵的垂直平分线交于，的垂直平分线交于，∴，，∴，，，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴．【标注】【知识点】等边三角形的构造4.已知中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于．求证：．【答案】证明见解析．【解析】∵是的平分线，∴，∵是的垂直平分线，∴，，∵，，∴．【标注】【能力】推理论证能力【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】角分线性质定理5.中，是线段的垂直平分线，垂足为点，是上一点，．求证：点在线段的垂直平分线上．【答案】（1）证明见解析．【解析】（1）连接，是线段的垂直平分线，，，，在的垂直平分线上．【标注】【知识点】线段的和差的证明【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】线段的垂直平分线的判定定理【知识点】等边三角形的性质【思想】数形结合思想【能力】运算能力【能力】推理论证能力6.如图，四边形中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，且．求证：点一定在的垂直平分线上．【答案】证明见解析．【解析】连接、，∵点是、的垂直平分线的交点，∴，，又∵，∴，∴点一定在的垂直平分线上．【标注】【知识点】作线段的垂直平分线（1）（2）7.如图，已知等腰三角形中，，点、分别在边、上，且，连接、，交于点．判断与的数量关系，并说明理由．求证：过点、的直线垂直平分线段．【答案】（1）（2）相等，证明见解析．证明见解析．【解析】（1）（2）．在和中，，∴≌，∴．∵，∴，由（）可知，∴，∴，∵，∴点、均在线段的垂直平分线上，即直线垂直平分线段．【标注】【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】SAS【知识点】全等三角形的对应边与角【能力】推理论证能力二、角平分线8.如图，平分，于，于，，．若，则．【答案】【解析】∵平分，，，∴，∵，，∴，即，解得．故答案为：．【标注】【知识点】角分线性质定理9.如图，在中，，平分，，，则点到的距离为．【答案】【解析】∵，，∴．∵平分，，∴点到的距离等于，即点到的距离等于．【标注】【知识点】角分线性质定理A. B. C. D.10.如图，的三边、、的长分别，，，是三条角平分线的交点，则（ ）．【答案】C 【解析】∵是三条角平分线的交点，∴点到各边的距离相等，即、、的高相等，∵、、的长分别，，，∴，故答案为．【标注】【知识点】与中线或等分线有关的等积变换A.B.C.D.11.如图，三条公路把、、三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）．在、两边高线的交点处在、两边中线的交点处在、两内角平分线的交点处在、两边垂直平分线的交点处【答案】C 【解析】内角平分线上的点到，距离相等，内角平分线上的点到，距离相等，∴要到三条公路距离相等，应在，内角平分线交点处满足到，，距离相等．故选．【标注】【知识点】角分线性质定理A. B. C. D.12.如图，点是的两外角平分线的交点，下列结论：①；②点到、的距离相等；③点到的三边的距离相等；④点在的平分线上．以上结论正确的个数是（）．【答案】C【解析】如图，过点作于，作于，作于，∵点是的两外角平分线的交点，，，∴点在的平分线上，故②③④正确，只有点是的中点时，，故①错误，综上所述，正确的是②③④．【标注】【知识点】角分线性质定理【知识点】角平分线判定定理三、角分线的角度模型（1）（2）（3）（4）13.完成下列各题：如图 ，、分别是中和的平分线，则与的关系是 (直接写出结论)．如图 ，、分别是两个外角和的平分线，则与的关系是 ，请证明你的结论.如图 ，、分别是一个内角和一个外角的平分线，则与的关系是 ，请证明你的结论.利用以上结论完成以下问题：如图，已知：，点 、 分别是射线、上的动点，的外角的平分线与角的平分线相交于点，猜想的大小是否变化？请证明你的猜想．图图图图【答案】（1）（2）（3）（4）. ..的大小没有变化，证明见解析.【解析】（1）理由如下：如图 ，∵ ,,分别是,的角平分线，∴ ,∴．（2）（3）（4）图如图 ，∵ 平分 ，∴ ，同理可证： ,∴ ,∵ ,∴,∴ .图∵ 平分 ， 平分 ，∴ ,∵ 是 的外角，∴ ,∵ 是 的外角，∴ ,∴．根据⑶可得： ，∵ ，∴ ，∴ 的大小不会变化始终为 ．【标注】【知识点】三角形-内角角分线；三角形-外角角分线；三角形-内外角角分线（1）（2）（3）14.回答下列问题．探索发现：如图，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．图迁移拓展：如图，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．图应用创新：已知，如图，、相交于点，、、的角平分线交于点，，，则 ．图【答案】（1），证明见解析．（2）（3），证明见解析．【解析】（1）（2）（3）∵点是内角和外角的角平分线的交点，∴，，∵是的外角，∴，∴∴∵是的外角，∴，∴．∵是的外角，∴，∴，∵，，∴，∵是的外角，∴，∴．∵、、的角平分线交于点，∴由（）的结论知，，，∴，故答案为：．【标注】【知识点】三角形-内外角角分线（1）15.阅读下面的材料，并解决问题：已知在中，．如图(1)，、的角平分线交于点，则可求得．如图(2)，、的三等分线交于点、，则 ．如图(3)，、的等分线交于点、、……，则．；(用含的代数式)（2）（3）图图图如图，，、的三等分线交于点、，若，，求的度数；（要求写出解答过程）如图，，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数为 （不要求写出解答过程）．【答案】（1）（2）（3）; ;．【解析】（1）（2）（3）是的外角，，、是的三等分线，，在中，，又是的平分线，，．只需抓住加．则等分，下面两个小角之和为，．【标注】【知识点】三角形-内角角分线。
角垂直平分线的性质和判定-专项练习
角垂直平分线的性质和判定-专项练习
角垂直平分线是指一个角的两条垂直平分线相交于角的顶点，将角分成两个相等的角。
本篇文档将介绍角垂直平分线的性质和判定方法。
性质：
1. 角垂直平分线上的任意点到角的两边的距离相等。
2. 角垂直平分线上的任意点与角的顶点连线所成的角均为 90 度。
3. 角垂直平分线将角分成两个相等的角。
判定方法：
1. 当已知角的两条边的长度时，可以通过构造角的垂直平分线判定角是否为直角。
- 构造角的垂直平分线，如果垂直平分线与角的两边相交的点重合于边上，则角是直角。
- 如果垂直平分线和角的两边相交的点不重合于边上，则角不是直角。
2. 当已知角的两条边的斜率或角的两边的方程时，可以通过计算斜率或代入方程来判定角是否为直角。
- 计算两条边的斜率，如果斜率互为相反数，则角是直角。
- 代入方程，如果两边的方程互为相反数，则角是直角。
总结：
角垂直平分线的性质和判定方法对于解决与角直角相关的问题非常有用。
通过利用角垂直平分线的性质和判定方法，我们可以判断角是否为直角，从而辅助解决各类与角直角相关的问题。
(字数：200)。
全等三角形、轴对称、角平分线、垂直平分线综合例题加练习(基础)七年级下数学
角平分线、垂直平分线一、角平分线基础知识回顾。
角平分线的性质：角平分线的判定：1、角的平分线的作法（1）在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE.（2）分别以D、E为圆心，以大于1/2DE长为半径画弧，两弧交于∠AOB内一点C.（3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线（如图）二、垂直平分线基础知识回顾。
1、垂直平分线的性质：垂直平分线的判定：2、垂直平分线的作法段的两侧)，连接这两个交点。
应用1、作图。
设计最短路线。
（只需要保留作图痕迹，不写作法）建设一条输油管道支路，从主输油管道AB将油输到M和N两个村庄，请设计使铺设的管道最短的路线图。
MA B2、如图，一铁路直线EC和一公路直线DC相交于点C，请确定点P的位置，使得点P到两个村庄A和B的距离相等，且点P到公路和铁路的距离相等。
（写出作法，并保留作图痕迹）E3．如图，在∠ABC内有一点P，问：（1）能否在BA、BC边上各找到一点M、N，使△PMN的周长最短？若能，请画图说明；若不能，说明理由．（2）若∠ABC=40°，在（1）问的条件下，能否求出∠MPN的度数？若能，请求出它的数值；若不能，请说明原因．典型例题剖析例1、如图所示，四边形ABCD 中，AB =AD ，AC 平分∠BCD ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD .求证：△ABE ≌△ADF .例2、已知：如图，在四边形ABCD 中，AB＞BC ，BD 平分．求证：AD=CD ．练习、如图，AC 平分BCD ∠，180B D ∠+∠=︒，证明：AB=AD 。
ABCD练习、如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB 于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，求证：BF=CG.例题．如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=6，AC=3，则BE=．2、已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．(1)求证：BF=AC；(2)求证：CE=BF；(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．例题4．（10分）已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC=180°；（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系；（3）在（2）的条件下，若∠BAC=60°，试说明：EF=ED．练习．如图，等边△ABC中，D是AB边上的一动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）判断AE与BC的位置关系，并说明理由．复习回顾B 卷常考题练习20．已知：如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，过点C 作CE BD ⊥，交BD 的延长线于点E ，交BA 的延长线于点F ，连结DF ． （1）求证：BD CF =；（2）若2=CE ，求BDF ∆的面积．B 卷（共50分）一、填空题（每小题4分，共20分）21．如图，已知AB ∥CD ，AE=DF ，点A 、E 、F 、D 在一条直线上，要使△ABF ≌△DCE ，还需添加一个．．条件，这个条件可以是 ． 22．若关于x 的二次三项式292(4)16x a x +-+是一个完全平方式，则a 的值为 ．23．现有五根木棒，长度分别为4cm ，6cm ，8cm ，10cm ，12cm ，从中任取三根木棒，能组成三角形的概率是 ． 24．已知12112a =-，22113a =-，32114a =-，…，)1(11+-=n a n （为正整数），记，则2011S = ．25．如图，已知中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点为的中点．如果点P 在线段BC 上以2厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．当点Q 的运动速度为 厘米/秒时，能够使与全等．n 123n n S a a a a =⋅⋅⋅⋅L ABC △D AB BPD △CQP △ABEFCDF AE DCB二、（26题8分，27题10分，28题12分，共30分） 26．已知a b c 、、是的三条边长．（1）若a b c 、、满足222a b c +=，且29()()42x a x b x x -+=--，求c 的值； （2）若a b c 、、满足2215424a b a b c ++=+--，试判断的形状，并说明你的理由．22. 如图所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线， AB ＝4，AC ＝8，则中线AD 长度的取值范围是________________．26. 已知：0152=+-a a ，试求下列代数式的值： （1）a a 1+；（2）221aa +．21.若非零实数b a ,满足，2241b ab a -=则a b= ．22、在锐角△ABC 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH ＝AC ，则∠ABC ＝ ．23、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于 ．ABC △ABC △A BC（24题24、如图,共有12个大小相同的小正方形,其中阴影部分的5个小正方形是 一个正方体的表面展开图的一部分,现从其余的小正方形中任取一个涂 上阴影,能构成这个正方体的表面展开图的概率是 。
角底边平分线的性质和判定-专项练习
角底边平分线的性质和判定-专项练习平分线是一个几何概念，指的是将一个角的两条边等分的线段。
对于角底边平分线的性质和判定，我们进行专项练，以加深对这一概念的理解。
性质1. 角底边平分线等分角: 如果一条线段将一个角的底边等分成两个相等的线段，那么它就是该角的底边平分线。
角底边平分线等分角: 如果一条线段将一个角的底边等分成两个相等的线段，那么它就是该角的底边平分线。
2. 角底边平分线垂直底边: 角底边平分线和角的底边垂直。
也就是说，底边平分线与底边之间的夹角为90度。
角底边平分线垂直底边: 角底边平分线和角的底边垂直。
也就是说，底边平分线与底边之间的夹角为90度。
3. 角底边平分线相互垂直: 如果一个角的两条底边平分线相交于一个点，那么这两条平分线相互垂直。
角底边平分线相互垂直:如果一个角的两条底边平分线相交于一个点，那么这两条平分线相互垂直。
4. 平分线相等: 如果两条角底边平分线相交于一个点，并且它们与底边之间的夹角相等，那么这两条平分线长度相等。
平分线相等: 如果两条角底边平分线相交于一个点，并且它们与底边之间的夹角相等，那么这两条平分线长度相等。
判定1. 折痕法判定角底边平分线: 可以使用折痕法来判定一个给定角的底边平分线。
具体步骤如下：折痕法判定角底边平分线: 可以使用折痕法来判定一个给定角的底边平分线。
具体步骤如下：- 把角的两条边重合，使其成为一条线段，这条线段即为底边。
- 在底边上选择一点作为折痕点，并将角的两个顶点对折到这个点上。
- 折痕所得的线段就是该角的底边的平分线。
2. 外角平分线判定内角平分线: 如果一个角的外角平分线是该角的一条边的延长线上的一点，那么该角的内角平分线也经过该点。
外角平分线判定内角平分线: 如果一个角的外角平分线是该角的一条边的延长线上的一点，那么该角的内角平分线也经过该点。
3. 相等线段判定平分线: 如果两条线段相等，并且它们与同一直线相交，那么它们就是这条直线的平分线。
七年级数学下册《第十二章全等三角形-角的平分线的性质》练习题
七年级数学下册《第十二章全等三角形-角的平分线的性质》练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________一、填空题1．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且1CD =，如果E 是射线OB 上一点，那么CE 长度的最小值是______．2．如图，点P 在AOB ∠内，因为PM OA ⊥，PN OB ⊥，垂足分别是M 、N ，PM PN =，所以OP 平分AOB ∠，理由是______．3．如图，ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O ，连接OA ，OB ，OC ，将ABC 分成三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S 等于__________．4．如图所示，点O 在一块直角三角板ABC 上（其中30ABC ∠=︒），OM AB ⊥于点M ，ON BC ⊥于点N ，若OM ON =，则ABO ∠=_________度．5．如图，BE、CF都是ABC的角平分线，且110∠=︒，则ABDC∠=___________．二、单选题6．如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOE≅FOE，你认为要添加的那个条件是（）A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE<，将ABC以点A为中心逆时针旋转得到ADE，点D在BC边上，DE交7．如图，在ABC∆中，AB AC∠=∠，其中所有正确结论的AC于点F．下列结论：∠AFE DFC△△；∠DA平分BDE∠；∠CDF BAD序号是（）A．∠∠B．∠∠C．∠∠D．∠∠∠8．如图，三条公路两两相交，现计划在∠ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是∠ABC（）的交点．A．三条角平分线B．三条中线C ．三条高的交点D ．三条垂直平分线9．如图，Rt∠ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，AB ＝10，S △ABD ＝15，则CD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5三、解答题10．已知40AOB ∠=︒．(1)用直尺和圆规作出AOB ∠的平分线OD （不写作法，但保留作图痕迹，写出结论）；(2)已知AOB ∠与BOC ∠互为补角，画出符合条件的所有可能的图形，并求出COD ∠的度数．11．如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，一段圆弧经过网格的格点A 、B 、C ．(1)请完成如下操作：∠以点O 为原点，竖直和水平方向所在的直线为坐标轴，小正方形的边长为单位长，建立平面直角坐标系； ∠用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置，不写作法，保留作图痕迹，并连接AD 、CD ．(2)请在（1）的基础上，解答下列问题：∠写出点的坐标：C ______、D ______；∠D 的半径为______（结果保留根号）；∠若扇形DAC 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面积为______（结果保留π）；∠若点E 的坐标为()7,0，试判断直线EC 与D 的位置关系，并说明理由．12．如图，已知AOC BOC ∠=∠，点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，垂足分别为D ，E ．求证：OPD OPE ≌．13．如图，∠ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，若点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A －C －B －A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．(1)若点P 在AC 上，且满足P A ＝PB 时，求此时t 的值；(2)若点P 恰好在∠BAC 的平分线上，求t 的值．14．如图，在∠ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD ＝CD ，DE ∠AB ，DF ∠AC ，垂足分别为E 、F ，求证：AB ＝AC参考答案：1．1【分析】过点C 作CE ∠OB 于点E ，根据角平分线的性质解答即可．【详解】解：过点C 作CE ∠OB 于点E ，∠点C 在∠AOB 的平分线上，CD ∠OA 于点D ，且CD ＝1，∠CE ＝CD ＝1，即CE 长度的最小值是1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．2．角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上【分析】根据角平分线判定定理即可得到结果．【详解】解：∠PM∠OA ，PN∠OB ，PM=PN∠OP 平分∠AOB （在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）故答案为：角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上．【点睛】本题考查角平分线判定定理，掌握角平分线判定定理的内容是解题的关键．3．2：3：4【分析】过点O 分别向三边作垂线段，通过角平分线的性质得到三条垂线段长度相等，再通过面积比等于底边长度之比得到答案．【详解】解：过点O 分别向BC 、BA 、AC 作垂线段交于D 、E 、F 三点．∠CO 、BO 、AO 分别平分、、ACB CBA BAC ∠∠∠∠OD OE OF == ∠12ABO SAB OE =，12△BCO S BC OD =，12△CAO S AC OF = ∠::::10:15:202:3:4ABO BCO CAO S S S AB BC AC ===故答案为：2：3：4【点睛】本题考查了角平分线的性质，往三角形的三边作垂线段并得到面积之比等于底之比是解题关键．4．15【分析】根据ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =判断OB 是ABC ∠的角平分线，即可求解．【详解】解：由题意，ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =，即点O 到BC 、AB 的距离相等，∠ OB 是ABC ∠的角平分线，∠ 30ABC ∠=︒， ∠1152ABO ABC ∠=∠=︒． 故答案为：15．【点睛】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键．5．40°##40度【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．【详解】解：∠BE 、CF 都是∠ABC 的角平分线，∠∠A ＝180°−（∠ABC ＋∠ACB ），＝180°−2（∠DBC ＋∠BCD ）∠∠BDC ＝180°−（∠DBC ＋∠BCD ），∠∠A ＝180°−2（180°−∠BDC ）∠∠BDC ＝90°＋12∠A ，∠∠A ＝2（110°−90°）＝40°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键．6．D【分析】根据OB 平分∠AOC 得∠AOB =∠BOC ，又因为OE 是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果．【详解】解：∠OB 平分∠AOC∠∠AOB =∠BOC当∠DOE ∠∠FOE 时，可得以下结论：OD =OF ，DE =EF ，∠ODE =∠OFE ，∠OED =∠OEF ．A 答案中OD 与OE 不是∠DOE ∠∠FOE 的对应边，A 不正确；B 答案中OE 与OF 不是∠DOE ∠∠FOE 的对应边，B 不正确；C 答案中，∠ODE 与∠OED 不是∠DOE ∠∠FOE 的对应角，C 不正确；D 答案中，若∠ODE =∠OFE ，在∠DOE 和∠FOE 中，DOE FOE OE OEODE OFE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∠∠DOE ∠∠FOE （AAS ）∠D 答案正确．故选：D ．【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键．7．D【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∠将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，∠ADE ABC ≌，E C ∴∠=∠，AFE DFC ∠=∠，∴AFE DFC △△，故∠正确；ADE ABC ≌，AB AD ∴=，ABD ADB ∴∠=∠，ADE ABC ∠=∠，ADB ADE ∴∠=∠，∴DA 平分BDE ∠，故∠正确；ADE ABC ≌，BAC DAE ∴∠=∠，BAD CAE ∴∠=∠，AFE DFC△△，CAE CDF∴∠=∠，CDF BAD∠=∠∴，故∠正确故选D【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．8．A【分析】根据角平分线的性质即可得到探照灯的位置在角平分线的交点处，即可得到结论．【详解】解：∠探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，∠探照灯位置是∠ABC的三条角平分线上，故选：A．【点睛】此题考查了角平分线的性质，数据角平分线的性质定理是解题的关键．9．B【分析】过点D作DE∠AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用∠ABD 的面积列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点D作DE∠AB于E，∠∠C＝90°，AD平分∠BAC，∠DE＝CD，∠S△ABD＝12AB•DE＝12×10•DE＝15，解得：DE＝3，∠CD＝3.故选：B.【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．10．(1)见解析(2)图见解析，60°或120°【分析】（1 ）根据角平分线的定义作出图形即可；（2）分两种情形，分别画出图形求解即可．（1）解：如图，射线OD即为所求．（2）解：如图，∠BOC与∠AOB、∠BOC'与∠AOB都互为补角，∠∠AOB=40°，且OD平分∠AOB，∠∠BOC=140°，∠BOC'=140°，∠AOD=∠BOD=12∠AOB=20°，当射线OA在∠BOC的外侧时，∠COD=∠BOC+∠BOD=140°+20°=160°；当射线OA在∠BOC'内部时，∠C'OD=∠BOC'-∠BOD=140°-20°=120°．综上，∠COD的度数为60°或120°．【点睛】本题考查作图 复杂作图，角平分线的定义，补角的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．11．(1)答案见详解(2)∠62（，）；20（，）；∠∠54π；∠相切，理由见详解 【分析】（1）∠根据叙述，利用正方形的网格即可作出坐标轴；∠利用过三点的圆可得圆心为圆上任意两条弦的垂直平分线的交点，即可得到D ．（2）∠利用（1）中所作的坐标系，即可表示出点的坐标；∠在Rt OAD 中，利用勾股定理即可求得半径长；∠理由直角三角形全等可证得∠ADC =90°，则可求得AC 的长度，AC 的长就是圆锥的底面圆的周长，在利用圆的周长公式即可求得答案；∠利用勾股定理逆定理证明DCE 为直角三角形即可证得DC CE ⊥，从而即可得出结论．（1）∠如图，建立平面直角坐标系；∠利用过三点的圆可得圆心为圆上任意两条弦的垂直平分线的交点，即可得到D ，如图所示：（2）∠根据平面直角坐标系可得C （6，2）；D （2，0）；故答案为：C （6，2）；D （2，0）；∠在Rt AOD △中，90AOD ∠=︒,4AO =，2OD =，AD =故答案为：∠由∠得AD =在Rt DCF △中，90DFC ∠=︒，4DF =，2CF =，DC ∴在Rt AOD △和Rt DFC 中，AD DC OA DF=⎧⎨=⎩， ()Rt AOD Rt DFC HL ≅，DAO CDF ∴∠=∠，90DAO ADO ∠+∠=︒，90CDF ADO ∴∠+∠=︒，18090ADC ADO CDF ∴∠=︒-∠-∠=︒，AC ∴==，由2r π=，解得r =2254S r πππ∴===⎝⎭， ∴该圆锥的底面积为54π， 故答案为：54π． ∠直线EC 与D 相切，由图可知，在Rt CEF 中，90CFE ∠=︒，1EF =，2CF =，22222125CE EF CF ∴=+=+=，又由∠得DC =2220DC ==，2220525DC CE +=+=，22525DE ==，222DC CE DE ∴+=，∴DCE 为直角三角形，90DCE ∠=︒，DC CE ∴⊥，∴直线EC 与D 相切．【点睛】本题考查了不共线的三点确定圆心的方法、直线与圆相切的判定、根据平面直角坐标系写出点的坐标、勾股定理和圆锥的侧面展开图的弧长即为圆锥的底面圆的周长，垂径定理，圆锥的计算，正确求出弧长是难点．12．见解析【分析】根据角平分线的性质得PD PE =，再用HL 证明OPD OPE ≌．【详解】证明：∠AOC BOC ∠=∠，∠OC 为AOB ∠的角平分线，又∠点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，∠PD PE =，90PDO PEO ∠=∠=︒，又∠PO PO =（公共边），∠()HL OPD OPE ≌．【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键． 13．(1)254 (2)323【分析】（1）连接PB ，在Rt ∠ABC 中，根据勾股定理得AC =6，由于AP ＝PB ＝t ，则PC ＝8-t ，在Rt ∠PCB 中，根据勾股定理得222PC BC PB +=，进行计算即可得；（2）由题意得，PC ＝t -8 ， PB ＝14-t ，过点P 作PE ∠AB ，由于AP 平分∠BAC ，且∠ACB ＝90°得PC ＝PE ，根据HL 得Rt ∠ACP ∠Rt ∠AEP ，即可得AC ＝AE ＝8， BE ＝2，在 Rt ∠PEB 中，根据勾股定理得222PE BE PB +=，进行计算即可得．（1）解：如图所示，连接PB ，∠在Rt ∠ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，∠8AC =由于AP ＝PB ＝t ，则PC ＝8-t ，在Rt ∠PCB 中，根据勾股定理得：222PC BC PB +=222(8)6t t -+= 解得254t =， 即此时t 的值为254． （2）解：由题意得，PC ＝t -8 ， PB ＝14-t ，如图所示，过点P 作PE ∠AB ，由于AP 平分∠BAC ，且∠ACB ＝90°，∠ PC ＝PE ，在Rt ∠ACP 与Rt ∠AEP 中，PC PE AP AP =⎧⎨=⎩∠Rt ∠ACP ∠Rt ∠AEP （HL ），∠AC ＝AE ＝8， BE ＝2，在 Rt ∠PEB 中，根据勾股定理得，222PE BE PB +=，222(8)2(14)t t -+=- 解得：323t =， ∠当点P 在∠BAC 的平分线上时，t 的值为323． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握这些知识点．14．证明见解析【分析】根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt∠BDE≅Rt∠CDF(HL)，根据全等三角形的性质得到结论．【详解】证明：∠AD是∠ABC的角平分线又∠DE∠AB于E，DF∠AC于F∠DE=DF，∠BED=∠CFD=90°又∠BD=CD∠Rt∠BED∠Rt∠CFD（HL）∠∠B=∠C∠AB=AC．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
七下数学《角平分线和垂直平分线的性质》综合练习
一．选择题（共9小题）
1．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP
2．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）
A．在AC、BC两边高线的交点处 B．在AC、BC两边中线的交点处
C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处 D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
3．如图：ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则ΔDEB 的周长是（）
A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对
4．（如图，在已知的ΔABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，
连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（）
A．90° B．95° C．100°D．105°
5．如图，ΔABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，则∠ABC的度数为（）
A．48° B．36° C．30° D．24°
6．如图，在ΔABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，∠DBC=15°，则∠A的度数是（）
A．50° B．20° C．30° D．25°
7．如图，在ΔABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）
A．2个B．3个C．4个 D．5个
8．如图，在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：
①EF=BE+CF；
②∠BOC=90°+∠A；
③点O到ΔABC各边的距离相等；
④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn．
其中正确的结论是（）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
9．如图，在ΔABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题
10．如图，已知∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D到边AB的距离为．11．如图，O是ΔABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC=．（第10题）（第11题）（第12题）
12．如图，在ΔABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，ΔABE
的周长为14，则ΔABC的周长为．
13．如图，ΔABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，ΔADC的周长为9cm，则ΔABC 的周长是cm．
（第13题）（第14题）（第15题）
14．已知：如图，ΔABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC．若AB=6cm，AC=8cm，则ΔADE的周长为．
15．如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC= m2．
参考答案
一．选择题
1．D；2．C；3．A；4．D；5．A；
6．A；7．D；8．A；9．C；
二．填空题
10．4；
11．125°；
12．22；
13．15；
14．14cm；
15．4；。