角平分线与垂直平分线练习(较难题型)
线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案
线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案一、选择题（本大题共7小题，共21.0分）1.如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪()A. 三条角平分线的交点处B. 三条中线的交点处C. 三条高的交点处D. 三条边的垂直平分线的交点处2.下列说法错误的是()A. 等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴B. 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴C. 等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴D. 等腰三角形一个内角的平分线所在的直线是它的对称轴3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE垂直平分BC，AD=3，则AC的长为()A. 9B. 5C. 4D. 3√34.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，∠BAC=124°，则∠DAE的度数为()A. 68°B. 62°C. 66°D. 56°5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE⊥AC于点E，若BC=2m+6，DE=m+3，则△BCD的面积为()A. 2m2−18B. 2m2+12m+18C. m2+9D. m2+6m+96.如图，P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则下列结论：①PM=PN；②AM=AN；③△APM≌△APN；④∠PAN+∠APM=90°．其中正确结论的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高线，E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为()A. 2B. 3C. 4D. 6二、解答题（本大题共10小题，共80.0分）8.直线OA，OB表示两条相互交叉的公路，点M，N表示两个蔬菜种植基地．现要建一个蔬菜批发市场P，要求它到两条公路的距离相等，且到两个蔬菜基地的距离也相等，请用尺规作图说明市场的位置．9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.已知AB=10cm，求△DEB的周长．10.如图，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE=CF，试判断BD和CD的数量关系，并说明理由．11.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶．奶站应建在什么地方才能使A，B到它的距离相等？12.A，B，C这3个村庄的位置如图所示，每两个村庄之间有公路相连，村民希望共同投资建一个货运中转站，使中转站的位置到3个村庄的距离相等．请你利用尺规作图确定中转站的位置．13.如图，四边形ABCD为矩形台球桌面，现有一白球M和黑球N，应怎样去打白球M，才能使白球M撞击桌边AB后反弹击中黑球N？请你画出白球M经过的路线．14.如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE.试说明MD=ME．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3.∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．(1)求∠B度数．(2)求DE的长．16.如图，已知∠ABC，射线BC上一点D.求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等(保留作图痕迹，但不要求写作法)．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作AC的垂线，垂足为点E．(2)在(1)作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE=______．答案和解析1.【答案】A【解析】[分析]本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知是三角形三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．[详解]解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应建在三角形草坪的三条角平分线的交点处．故选A．2.【答案】D【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质，属于基础题，解题的关键是了解对称轴是一条直线，难度不大．根据等腰三角形性质分别判断后即可确定正确的选项．[详解]解：A.等腰三角形底边上的高所在的直线是对称轴，正确；B.等腰三角形底边上的中线所在的直线是对称轴，正确；C.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，正确；D.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，如果这个内角是底角，不一定是它的对称轴，错误．故选D．3.【答案】A【解析】[分析]根据角平分线性质得出AD=DE，证明Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，得BE=AB，由DE 是BC的垂直平分线，得BC=2AB，所以∠C=30°，可得CD的长，从而得AC的长．本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．[详解]解：∵BD是角平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=AD=3，在Rt△ADB和Rt△EDB中，∵{AD=DEBD=BD，∴Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，∴BE=AB，∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴BC=2AB，∴∠C=30°，∴CD=2DE=6，∴AC=CD+AD=6+3=9，故选：A．4.【答案】A【解析】[分析]根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠DAB=∠B，同理可得，∠EAC=∠C，结合图形计算，得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．[详解]解：∠B+∠C=180°−∠BAC=56°，∵AB的垂直平分线交BC于D，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B，∵AC的垂直平分线交BC于E，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C，∴∠DAE=∠BAC−(∠DAB+∠EAC)=124°−56°=68°．故选A．5.【答案】D【解析】[分析]过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形面积公式列式，然后根据多项式乘多项式法则进行计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出BC边上的高线是解题的关键．[详解]解：如图，过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，∴DE=DF，∴△BCD的面积=12·BC·DF=12(2m+6)(m+3)=m2+6m+9．故选D．6.【答案】A【解析】[分析]利用角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质分析得出答案．此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出△APM≌△APN 是解题关键．[详解]解：∵P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，∴∠MAP=∠NAP，∠AMP=∠ANP=90°，PM=PN，故①正确在△APM和△APN中{∠MAP=∠NAP ∠AMP=∠ANP AP=AP,∴△APM≌△APN(AAS)，故③正确，∴AM=AN，故②正确，∠APM=∠APN，∵∠PAN+∠APN=90°，∴∠PAN+∠APM=90°，故④正确，综上所述：正确的有4个．故选A．7.【答案】A【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用△ABD和△ACD的面积相等是正确解答本题的关键．由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，△ABD和△ACD的面积相等，再根据点E、F，依此即可求解．是AD的三等分点，可得△BEF的面积为△ACD的面积的13[详解]解：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，S△ABC=12，BC，S△ABD=6，∴BD=CD=12∵点E、F是AD的三等分点，AD，∴EF=13S△BEF=1S△ABD=2．2故选A．8.【答案】解：如图：P为所求做的点．【解析】本题考查了基本作图，理解角的平分线以及线段的垂直平分线的作图是关键．连接MN，先画出∠AOB的角平分线，然后再画出线段MN的中垂线．这两条直线的交点即为所求．9.【答案】解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE．又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌△RtAED．∴AE=AC，∴△DEB的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10cm．【解析】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质，角平分线的性质等有关知识，由题意根据AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，得到CD=DE，然后利用全等三角形的判定及性质得到AE=AC，最后利用三角形的周长公式进行求解即可．10.【答案】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°．在△BED和△DFC中，DE=DF，∠E=∠DFC，BE=CF，∴△BED≌△DFC(SAS)，∴BD=CD．【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性质(即对应边、对应角相等)是解题的关键．由角平分线的性质可得DE=DF，再结合条件可证明Rt△BED≌Rt△CFD，即可求得BE=CF.11.【答案】解：连接AB，作AB的垂直平分线，与街道的交点为P，点P即为所求作的点．【解析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知此点P在AB的垂直平分线上即可解答，12.【答案】解：如图，【解析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．利用线段垂直平分线的性质进而得出AB，AC的垂直平分线进而得出交点，得出M即可．13.【答案】解：如图所示，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．【解析】此题考查了轴对称作图，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．14.【答案】证明：△ABC中，∵AB=AC，∴∠DBM=∠ECM．∵M是BC的中点，∴BM=CM．在△BDM和△CEM中，，∴△BDM≌△CEM(SAS)，∴MD=ME．【解析】本题主要考察等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质.根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．15.【答案】解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB．∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠B=30°；(2)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，BD，∴CD=DE=12∵BC=3，∴CD=DE=1．【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟悉掌握是关键．(1)由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°；(2)根据角平分线的性质即可得到结论．16.【答案】解：如图，△PBD即为所求作的三角形【解析】【分析】本题考查尺规作图.根据角平分线的性质及线段垂直平分线的性质作图即可.作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．【解答】解：∵点P到∠ABC两边的距离相等，∴点P在∠ABC的平分线上，∵线段BD为等腰△PBD的底边，∴PB=PD，∴点P在线段BD的垂直平分线上，∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点．17.【答案】解：(1)如图所示；(2)解：∵DC是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ACD，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE//BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，设DE=CE=x，则AE=6−x，∴x4=6−x6，解得：x=125，即DE=125，故答案为：12．5【解析】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．(1)以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；(2)根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE//BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．。
圆形角平分线与垂直平分线练习题(经典)
圆形角平分线与垂直平分线练习题(经典)题目一在一个半径为 $r$ 的圆内，作一条角平分线，连接圆心和角平分线的交点，记为 $A$。
请证明：线段 $AO$ 垂直于角所对的弧。
题目二在一个半径为 $r$ 的圆内，作一条垂直平分线，连接圆心和垂直平分线的交点，记为 $B$。
设角 $BOC$ 为 $\alpha$ 度，请求弧$BC$ 所对的角大小。
题目三在一个半径为 $r$ 的圆内，作一条垂直平分线，连接圆心和垂直平分线的交点，记为 $D$。
设垂直平分线与弧 $AB$ 的交点分别为 $E$ 和 $F$。
请证明：角 $DEF$ 为直角。
题目四在一个半径为 $r$ 的圆内，作一条垂直平分线，连接圆心和垂直平分线的交点，记为 $G$。
设角 $DGH$ 为 $\beta$ 度，角$GHJ$ 为 $\gamma$ 度，求证：$\beta$ 度和 $\gamma$ 度的和等于$90$ 度。
解答题目一首先，考虑将圆分成 $4$ 个相等的扇形，由于扇形的圆心角相等，每个扇形的圆心角为 $90$ 度。
现在我们将扇形 $AOB$ 的边$OA$ 延长，交于圆上的点 $C$，如下图所示：A/// C/B根据圆心角的性质，可以知道圆心角 $ACB$ 等于扇形角$AOB$，即 $ACB=90$ 度。
又因为 $\angle OAC$ 是角 $OAB$ 的角平分线，所以 $\angle OAC = \angle CAB = \angle CBA = \frac{1}{2} ACB = 45$ 度。
现在我们要证明 $AO$ 垂直于弧 $AB$。
设 $AD$ 是半径 $r$，由于角 $OAD$ 是 $45$ 度，根据直角三角形的性质，我们可以得到：\[\sin 45^\circ = \frac{AD}{AO}\]而正弦 $45$ 度是 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，所以我们得到 $AD =\frac{AO}{\sqrt{2}}$。
线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案
3.线段的垂直平分线4.角平分线例1：（1）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝，求∠NMB的大小（2）如果将（1）中∠A的度数改为，其余条件不变，再求∠NMB的大小（3）你发现有什么样的规律性？试证明之.（4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改例2：在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于F，垂足为D，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。
例3：如图所示，AC=AD，BC=BD，AB与CD相交于点E。
求证：直线AB是线段CD的垂直平分线。
例4：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200，D、F分别为AB、AC的中点，，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度。
例5:：如图所示，Rt△ABC中，，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。
求证：BE垂直平分CD。
例6:：在⊿ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，与∠ACB的角平分线交于点E，与∠ACB的外角平分线交于点F，求证：OE=OF例7、如图所示，AB>AC，的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作于E，，求证：BE=CF。
答案如下：例1：解：（1）∵∠B= 1/2（180°-∠A）=70°，∴∠M=20°；（2）同理得，∠M=35°；（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，即：AB的与底边BC所夹的等于∠A的一半．证明：设∠A=α，则有∠B= 1/2（180°-α），∠M=90°- 1/2（180°-α）= 1/2α．（4）改为后规律成立．上述规律为：等腰三角形一腰的与底边相交所成的等于顶角的一半．例2：解：连接BF，由线段的垂直平分线的性质可得，FB＝FA又因为AC＝AF+CF＝6，所以BF+CF＝6△BCF的周长＝BC+CF+BF＝4+6＝10例3：证明：因为AC=AD所以A在线段CD的上又因为BC=BD所以B在线段CD的上所以直线AB是线段CD的例4：解：作AH⊥BC于H，HC=15/2∵等腰∴∠ACB=∠ABC=30°∴AC=2EC/根号3EC=5根号3∵F为AC中点∴FC=5/2根号3∵FG⊥AC∴CG=5同理，BE=5∴EG=5例5：证明：∵DE⊥AB，∠ACB＝90∴∠BDE＝∠ACB＝90∵BD＝BC，BE＝BE∴△BCE≌△BDE （HL）∴∠CBE＝∠DBE∵BF＝BF∴△BCF≌△BDF （SAS）∴∠BFC＝∠BFD，CF＝DF∵∠BFC+∠BFD＝180∴∠BFC＝∠BFD＝90∴BE⊥CD∴BE垂直平分CD例6：解：∵MN∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，又已知CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF═∠GCF，∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，∴EO=CO，FO=CO，∴EO=FO．例7：证明：连接DC，DB∵点D在BC的垂直平分线上∴DB=DC∵D在∠BAC的平分线上∴DE=DF∵∠DFC=∠DEB∴△DCF≌△DEB∴CF=BE。
垂直平分线与角平分线综合 练习题(带答案))
垂直平分线与角平分线综合 题集一、垂直平分线（1）（2）1.如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．若，求的度数．若周长，，求长．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵垂直平分，垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴．∵周长，，∴，即，∴．【标注】【知识点】作三角形的高，中线和角平分线（1）（2）2.的两边和的垂直平分线分别交于点、．若，求的周长．若，求．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵边、的垂直平分线分别交于、，∴，，∴的周长．∵的两边，的垂直平分线分别交于，，∴，，∴，．∵，①∴．∵，∴，即．②由①②组成的方程组．解得，故答案为：．【标注】【知识点】三角形的周长与面积问题3.在中，，，的垂直平分线交于，的垂直平分线交于．求证：．【答案】证明见解析．【解析】连接、，∵，，∴，∵的垂直平分线交于，的垂直平分线交于，∴，，∴，，，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴．【标注】【知识点】等边三角形的构造4.已知中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于．求证：．【答案】证明见解析．【解析】∵是的平分线，∴，∵是的垂直平分线，∴，，∵，，∴．【标注】【能力】推理论证能力【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】角分线性质定理5.中，是线段的垂直平分线，垂足为点，是上一点，．求证：点在线段的垂直平分线上．【答案】（1）证明见解析．【解析】（1）连接，是线段的垂直平分线，，，，在的垂直平分线上．【标注】【知识点】线段的和差的证明【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】线段的垂直平分线的判定定理【知识点】等边三角形的性质【思想】数形结合思想【能力】运算能力【能力】推理论证能力6.如图，四边形中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，且．求证：点一定在的垂直平分线上．【答案】证明见解析．【解析】连接、，∵点是、的垂直平分线的交点，∴，，又∵，∴，∴点一定在的垂直平分线上．【标注】【知识点】作线段的垂直平分线（1）（2）7.如图，已知等腰三角形中，，点、分别在边、上，且，连接、，交于点．判断与的数量关系，并说明理由．求证：过点、的直线垂直平分线段．【答案】（1）（2）相等，证明见解析．证明见解析．【解析】（1）（2）．在和中，，∴≌，∴．∵，∴，由（）可知，∴，∴，∵，∴点、均在线段的垂直平分线上，即直线垂直平分线段．【标注】【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】SAS【知识点】全等三角形的对应边与角【能力】推理论证能力二、角平分线8.如图，平分，于，于，，．若，则．【答案】【解析】∵平分，，，∴，∵，，∴，即，解得．故答案为：．【标注】【知识点】角分线性质定理9.如图，在中，，平分，，，则点到的距离为．【答案】【解析】∵，，∴．∵平分，，∴点到的距离等于，即点到的距离等于．【标注】【知识点】角分线性质定理A. B. C. D.10.如图，的三边、、的长分别，，，是三条角平分线的交点，则（ ）．【答案】C 【解析】∵是三条角平分线的交点，∴点到各边的距离相等，即、、的高相等，∵、、的长分别，，，∴，故答案为．【标注】【知识点】与中线或等分线有关的等积变换A.B.C.D.11.如图，三条公路把、、三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）．在、两边高线的交点处在、两边中线的交点处在、两内角平分线的交点处在、两边垂直平分线的交点处【答案】C 【解析】内角平分线上的点到，距离相等，内角平分线上的点到，距离相等，∴要到三条公路距离相等，应在，内角平分线交点处满足到，，距离相等．故选．【标注】【知识点】角分线性质定理A. B. C. D.12.如图，点是的两外角平分线的交点，下列结论：①；②点到、的距离相等；③点到的三边的距离相等；④点在的平分线上．以上结论正确的个数是（）．【答案】C【解析】如图，过点作于，作于，作于，∵点是的两外角平分线的交点，，，∴点在的平分线上，故②③④正确，只有点是的中点时，，故①错误，综上所述，正确的是②③④．【标注】【知识点】角分线性质定理【知识点】角平分线判定定理三、角分线的角度模型（1）（2）（3）（4）13.完成下列各题：如图 ，、分别是中和的平分线，则与的关系是 (直接写出结论)．如图 ，、分别是两个外角和的平分线，则与的关系是 ，请证明你的结论.如图 ，、分别是一个内角和一个外角的平分线，则与的关系是 ，请证明你的结论.利用以上结论完成以下问题：如图，已知：，点 、 分别是射线、上的动点，的外角的平分线与角的平分线相交于点，猜想的大小是否变化？请证明你的猜想．图图图图【答案】（1）（2）（3）（4）. ..的大小没有变化，证明见解析.【解析】（1）理由如下：如图 ，∵ ,,分别是,的角平分线，∴ ,∴．（2）（3）（4）图如图 ，∵ 平分 ，∴ ，同理可证： ,∴ ,∵ ,∴,∴ .图∵ 平分 ， 平分 ，∴ ,∵ 是 的外角，∴ ,∵ 是 的外角，∴ ,∴．根据⑶可得： ，∵ ，∴ ，∴ 的大小不会变化始终为 ．【标注】【知识点】三角形-内角角分线；三角形-外角角分线；三角形-内外角角分线（1）（2）（3）14.回答下列问题．探索发现：如图，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．图迁移拓展：如图，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．图应用创新：已知，如图，、相交于点，、、的角平分线交于点，，，则 ．图【答案】（1），证明见解析．（2）（3），证明见解析．【解析】（1）（2）（3）∵点是内角和外角的角平分线的交点，∴，，∵是的外角，∴，∴∴∵是的外角，∴，∴．∵是的外角，∴，∴，∵，，∴，∵是的外角，∴，∴．∵、、的角平分线交于点，∴由（）的结论知，，，∴，故答案为：．【标注】【知识点】三角形-内外角角分线（1）15.阅读下面的材料，并解决问题：已知在中，．如图(1)，、的角平分线交于点，则可求得．如图(2)，、的三等分线交于点、，则 ．如图(3)，、的等分线交于点、、……，则．；(用含的代数式)（2）（3）图图图如图，，、的三等分线交于点、，若，，求的度数；（要求写出解答过程）如图，，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数为 （不要求写出解答过程）．【答案】（1）（2）（3）; ;．【解析】（1）（2）（3）是的外角，，、是的三等分线，，在中，，又是的平分线，，．只需抓住加．则等分，下面两个小角之和为，．【标注】【知识点】三角形-内角角分线。
角平分线性质与判定能力训练题
角平分线与垂直平分线能力提升训练题一、选择题1. 如图，△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果AC=5 cm ，BC=4cm ，那么△DBC 的周长是（ ）A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm2.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC=3 cm ，那么AE+DE 等于（ ）A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm3.如图，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝ 5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则△BEC 的周长为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16第1题 第2题 第 3题 第4题4.如图，已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则①△ABE ≌△ACF ； ②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上，以上结论中，正确的是（ ）A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③二、填空题5.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AB 的垂直平分线交AC 点E ，垂足为点D ，连接BE ，则∠EBC 的度数为______°.6.如图，BC 是等腰△ABC 和等腰△DBC 的公共底，则直线AD 必是_____的垂直平分线.三、解答题7.如图，P 是∠AOB 的平分线OM 上任意一点，PE ⊥CA 于E ，PF ⊥OB 于F ，连结EF.求证：OP 垂直平分EF.A DEB C 第5题8.如图在△ABC 中，AB ＞AC ，点O 是∠A 的平分线上一点，过O 点作OE ⊥AB 于E ，作OF ⊥AC 交AC 的延长线于F ，且BE ＝CF ，若AB ＝12，AC ＝5，求BE 长。
9.如图，△ABC 中，AC ＞AB ，D 是BA 延长线上一点，点E 是∠CAD 平分线上一点，EB=EC 过点E 作EF ⊥AC 于F ，EG ⊥AD 于G ．（1）请你在不添加辅助线的情况下找出一对你认为全等的三角形，并加以证明；（2）若AB=3，AC=5，求AF 的长．10如图所示，AB>AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE AB ⊥于E ，DF AC F ⊥于，求证：BE=CF.6．（2013秋•西城区期末）在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线．（1）如图1，过C 作CE ∥AD 交BA 延长线于点E ，若F 为CE 的中点，连接AF ，求证：AF ⊥AD ；（2）如图2，M 为BC 的中点，过M 作MN ∥AD 交AC 于点N ，若AB=4，AC=7，求NC 的长．A CB E F AEB M CFD（2012秋•鄂城区校级月考）如图，AD 为△ABC 的角平分线，M 为BC 的中点，ME ∥AD 交BA 的延长线于E ，交AC 于F ．求证：BE=CF=12（AB+AC ）．11.如图所示，ABC Rt ∆中，90=∠ACB ，D 是AB 边上一点，BD=BC ，过点D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F ，求证：BE 垂直平分CD 。
空间几何中的角平分线与垂直线性质练习题
空间几何中的角平分线与垂直线性质练习题在空间几何中，角平分线与垂直线性质是非常重要的概念。
角平分线将一个角分成两个相等的角，而垂直线则与平面中的角垂直相交。
本文将为您提供一些相关的练习题，帮助您深入理解角平分线和垂直线的性质。
1. 练习题一已知点O是线段AB的中点，点C位于AB上。
若OC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E，证明∠ADO ≌∠BEO。
解答：根据题意，我们已知角ADC和角BEC是等角，它们通过角平分线OD和OE分成两个相等的角。
另外，由于OD和OE是OC的垂直平分线，所以OD与OE垂直分别于AC和BC。
由于∠ADC ≌∠BEC，且AC ≌ BC，根据ASA（角、边、角）合同条件，我们可以得出AD ≌ BE。
另一方面，根据直角三角形的性质，OD和OE与直角三角形ADC 和BEC的斜边相等。
因此，OD ≌ OE。
综上所述，根据SAS（边、角、边）合同条件，我们可以得到三角形ADO与三角形BEO全等。
从而，∠ADO ≌∠BEO。
2. 练习题二已知ABCD是一个平行四边形，点E是线段AB的中点，垂直平分线AF分别交AD和BC于点G、H。
若EF的延长线和GH相交于点I，证明AI平分∠DAH。
解答：首先，由于E是AB的中点，所以线段AE ≌ BE。
其次，根据垂直平分线的性质，我们可以得知∠GAF ≌∠HAF，且AG ≌ BH。
此外，根据平行四边形的性质，我们还得知∠DAB ≌∠HAD。
现在，我们来分析三角形AGI和三角形BHI。
首先，由于∠GAF ≌∠HAF，AG ≌ BH，并且∠AIG ≌∠BIH（都是直角，因为G和I在EF的延长线上）。
根据ASA（角、边、角）合同条件，我们可以得到三角形AGI与三角形BHI全等。
因此，AI ≌BI。
又因为∠DAB ≌∠HAD，所以根据角平分线的性质，AI平分∠DAH。
综上所述，我们证明了AI平分∠DAH的结论。
通过以上两道练习题，我们可以看到角平分线与垂直线在空间几何中的重要性。
鲁教版七年级垂直平分线练习50题及参考答案(难度系数0.7)
七年级垂直平分线（难度系数0.7）一、单选题（共21题；共42分）1.如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（）A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质2.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（）A. 8B. 10C. 12D. 14【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质3.若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定【答案】C【考点】线段垂直平分线的性质4.如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于（）A. 8B. 4C. 12D. 16【答案】A【考点】线段垂直平分线的性质5.如图，已知AB=AC，AB=5，BC=3，以AB两点为圆心，大于1AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M、2N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（）A. 8B. 10C. 11D. 13【答案】A【考点】线段垂直平分线的性质6.如图，直线DE是△ABC的边AB的垂直平分线，已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（）A. 7cmB. 10cmC. 12cmD. 22cm【答案】C【考点】线段垂直平分线的性质7.如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E=30°，且AB=CE，则∠BAE的度数是（）A. 80°B. 85°C. 90°D. 105°【答案】C【考点】线段垂直平分线的性质8.如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，BC=8cm，AC=5cm，则△ADC的周长为（）A. 14cmB. 13cmC. 11cmD. 9cm【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质9.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（）A. 8B. 11C. 16D. 17【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质10.在联欢晚会上,有A，B，C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上,他们在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（）A. 三边中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条角平分线的交点【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质AB的长为半径画圆，两弧相交11.如图，已知AB=AC,AB=5,BC=3，以AB两点为圆心，大于12于点M,N，连接MN与AC相较于点D，则ΔBDC的周长为（）A. 8B. 10C. 11D. 13【答案】A【考点】线段垂直平分线的性质12.如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上,则AB,AC,CE的长度关系为（）A. AB>AC=CEB. AB=AC>CEC. AB>AC>CED. AB=AC=CE【答案】D【考点】线段垂直平分线的性质13.如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线l与AC相交于点D，垂足为E，如果△ABD的周长为10cm，BE=3cm，则△ABC的周长为（）A. 9 cmB. 15 cmC. 16 cmD. 18 cm【答案】C【考点】线段垂直平分线的性质14.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）cm．A. 19B. 13C. 10D. 16【答案】A【考点】线段垂直平分线的性质15.（2015•达州）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（）A. 48°B. 36°C. 30°D. 24°【答案】A【考点】线段垂直平分线的性质16.如图,DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8，AB=10，则△EBC的周长为（）．A. 16B. 18C. 26D. 28【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质17.如图在△ABC中，BC＝8，AB，AC的垂直平分线与BC分别交于E，F两点，则△AEF的周长为( )A. 2B. 4C. 8D. 不能确定【答案】C【考点】线段垂直平分线的性质18.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于1AB长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，2作直线MN，交BC于点D，连结AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（）A. 27B. 14C. 17D. 20【答案】C【考点】线段垂直平分线的性质19.如图，在ΔABC中，∠A=90°，CE平分∠ACB，ED垂直平分BC，CE=5，ED= 1，则AB的长为( )A. 5B. 6C. 10D. 12【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质20.如图，在△ABC中，AC=10，BC=8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，则△BDC的周长为（）A. 14B. 16C. 18D. 20【答案】C【考点】线段垂直平分线的性质21.已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是70cm和48cm，则△ABC的腰和底边长分别为（）A. 24cm和22cmB. 26cm和18cmC. 22cm和26cmD. 23cm和24cm【答案】C【考点】线段垂直平分线的性质二、填空题（共18题；共18分）22.如图，△ABC中，线段BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=84°，则∠BDC=________ °．【答案】96【考点】线段垂直平分线的性质23.已知点O为△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为6cm，则OA+OB+OC=________. 【答案】18cm【考点】线段垂直平分线的性质24.如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为________．【答案】19【考点】线段垂直平分线的性质25.如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AC上的点，且∠1=∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC=3cm，则AE等于________．【答案】6cm【考点】线段垂直平分线的性质26.如图，在△ABC中，AB=7cm，AC=4cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周长为________ cm．【答案】11【考点】线段垂直平分线的性质27.如图，△ABC的AC边的垂直平分线DE交BC于点E，若BC=4，AB=3，则△ABE的周长为________【答案】7【考点】线段垂直平分线的性质28.如图，DE是三角形ABC的边AB的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分∠BAC，若∠B=30度，则∠C=________ 度．【答案】90【考点】线段垂直平分线的性质29.如图，△ABC中，AC=6，BC=4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为________．【答案】10【考点】线段垂直平分线的性质30.如图，在△ABC中，AC=10，BC=6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是________．【答案】16【考点】线段垂直平分线的性质31.如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE＝3cm，则△ABD的周长为________cm．【答案】13【考点】线段垂直平分线的性质32.如图，CD是线段AB的垂直平分线，若AC=2cm，BD=4cm，则四边形ACBD的周长是________cm．【答案】12【考点】线段垂直平分线的性质33.如图所示，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若△ADE的周长为19 cm，则BC＝________【答案】19【考点】线段垂直平分线的性质34.如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，AC的垂直平分线MN交边AB、AC于点M、N．则△BCM的周长为________．【答案】14【考点】线段垂直平分线的性质35.如图，AB+AC=7，D是AB上一点，若点D在BC的垂直平分线上，则△ACD的周长为________．【答案】7【考点】线段垂直平分线的性质36.如图，在周长为10 cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，则△ABE的周长为________.【答案】5cm【考点】线段垂直平分线的性质37.已知如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于________ ．【答案】8【考点】线段垂直平分线的性质38.如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC与点E，若三角形BCE的周长等于50，则BC的长为________.【答案】23【考点】线段垂直平分线的性质39.如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则∠EAN=________．【答案】32°【考点】线段垂直平分线的性质三、解答题（共9题；共45分）40.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线ED交AC于D，如果AC=7，BC=5，求△BDC的周长．【答案】解：∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=7+5=12【考点】线段垂直平分线的性质41.如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使DE=BD，已知AB+BD=DC．求证：E点在线段AC的垂直平分线上．【答案】证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，又∵BD=DE，∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，∴AB=AE，∴AB+BD=AE+DE，又∵AB+BD=DC，∴DC=AE+DE，∴DE+EC=AE+DE∴EC=AE，∴点E在线段AC的垂直平分线上【考点】线段垂直平分线的性质42.△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△CBD的周长为24cm，求△ABC的周长。
角平分线、垂直平分线(含答案)
5.角平分线、垂直平分线知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。
精典例题：【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。
分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。
问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。
分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。
例题图1F EC B A例题图2G F ECB A分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。
以上三种分析的证明略。
例题图3D F ECB A问题图321ED CB A探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
如图，△ABC 中，AD 是角平分线。
求证：ACABDC BD =。
分析：要证ACABDC BD =，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。
我们注意到在比例式ACABDC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明ACABDC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。
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l.如图1，点H在QR边上，PH所在的直线是△PQR的对称轴，PQ≠QR，MH∥PR交PQ于点M，下列结论:①HM=PM;
②HM=QM;③M是PQ的中点; ④HM平分∠PHQ;⑤HM⊥PQ，其中正确的结论是(填序号)
2.如图2，在△ABC中.直线l为BC边的垂直平分线，直线l与∠ACB的角平分线相交于点P，如果∠ACP=15°，∠BAC = 100°，那么∠A BP =
3.如图3，在△AB C中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=32cm，BD:CD = 9:7，加点D到AB的距离为
4.如图4，△ABC绕顶点A旋转到△ADE的位置，BC与DE相交于点F. 给出下列结论:①BC=DE;②③FA平分∠CFD;④∠CAE=∠BAD;⑤∠CAE =∠BFD;⑥AC=CF.其中正确的结论有
5.(1)
ABC中，
ED
AC于点D，交
AB于E，AC=5，BC=4，求△BCD的周长
(2)如图，在△ABC中，DE⊥BC.交AC于点E.垂足为D.若BC=10cm.△A BE的周长为15cm，△ABC的周长为25cm.判断D 是BC的中点.
6.(1)如图在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠BAC = 120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点G，垂足分别为D，F.求∠EAG的度数和△AEG的周长.
(2)如图，在△ABC中，BC=12，∠BAC = 100°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点G，求∠EAG的度数和△AEG的周长.
(3)如图，△ABC中，BC=12，∠BAC =70°，AB的垂直平分线交BC边于点E，垂足为D，AC的垂直平分线交BC边于点G，垂足为F.能否求出∠EAG的度数和△AEG的周长?
(4)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC =120°,D，F分别是AB，AC的中点，E，G在BC上，△AEG是等边三角形.求证：DE⊥AB ，FG⊥AC.
7.如图，AB∥C D，DE平分∠ADC，BC过点E.
(1)若∠B=90°，E是BC的中点.求证:AE平分∠BAD.
(2 )若∠B≠90°，AE平分∠BAD.求证:E是BC的中点，AD=AB十CD.
8.（1）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E.F分别是AB.AC边上的点，且∠EDF十∠BAF=180°.求证:DE=DF.
（2）在△ABC与△DEF中，点E与AC的中点重合，∠ABC十∠DEF=180°，绕点E旋转△DEF，使ED，EF分别与AB,BC 相交于点M，N
①如图，如果AB=BC，且∠ABC=90°，那么线段EM与EN有何数量关系?请直接写出结论，并说明理由.
(3)如图，如果AB =BC，那么(2)中的结论是否还成立?若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由.。