角平分线和垂直平分线
三角形的角平分线与垂直平分线
三角形的角平分线与垂直平分线角平分线与垂直平分线是三角形中重要的几何概念。
它们可以帮助我们研究三角形的性质和推导出一些有用的结论。
本文将详细介绍角平分线与垂直平分线的定义、性质和应用。
一、角平分线角平分线定义为从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的线段。
以三角形ABC为例，假设角A的角平分线为AD，则角BAD 与角DAC是相等的。
这一定义可以推广到任意三角形中的任意角。
角平分线具有以下性质：1. 一个角的两条平分线相交于该角的顶点，并将该角平分成两个相等的角。
2. 三角形的内角平分线三条相交于一点，称为内心。
这个点到三角形三边的距离相等，可以证明是三角形内接圆的圆心。
3. 三角形的外角平分线三条相交于一点，称为外心。
这个点到三角形的顶点的距离相等，可以证明是三角形外接圆的圆心。
4. 三角形的角平分线分割对边成比例，即根据角平分线定理可得：AB/BC=AD/DC。
角平分线的应用广泛，特别是在证明三角形的性质和推导结论时非常有用。
例如，可以利用角平分线证明角的等分性质、三角形的相似性质、垂心定理等。
二、垂直平分线垂直平分线定义为从一个线段的中点出发，与该线段垂直且将该线段平分为两段相等的线段。
以三角形ABC为例，假设AB的垂直平分线为DE，则AD=BD=BE=CE=CD。
这一定义可以推广到任意线段。
垂直平分线具有以下性质：1. 一个三角形的三条垂直平分线交于一点，称为垂心。
这个点到三角形三顶点的距离相等，可以证明是三角形外接圆的圆心。
2. 一个角的垂直平分线经过角的顶点，并将该角平分成两个相等的角。
3. 垂直平分线等分线段，即对于一个线段AB，若点D是其垂直平分线的交点，则AD=DB。
垂直平分线也有许多应用，特别是在几何证明中常常能发挥关键作用。
例如，可以利用垂直平分线证明角的等分性质、直角三角形的性质、垂心定理等。
总结：角平分线与垂直平分线是三角形中重要的概念，它们有着许多有用的性质和应用。
三角形的角平分线和垂直平分线
三角形的角平分线和垂直平分线三角形是几何学中最常见的形状之一，它由三条边和三个角组成。
在研究三角形的性质时，我们经常会遇到角平分线和垂直平分线这两个重要的概念。
本文将详细介绍三角形的角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在解题中的应用。
一、角平分线1. 定义：三角形的角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分为两个相等的角的线段。
具体而言，设三角形ABC中的∠BAC的角平分线为AD，那么AD将∠BAC分为两个相等的角∠BAD和∠DAC。
2. 性质：（1）角平分线与对边的关系：角平分线将对边分成两个部分，这两个部分的长度之比等于与它们相对的两个角的正弦值之比。
即AB/AC = BD/DC = sin∠BAD/sin∠DAC。
（2）角平分线的交点：三角形的三条角平分线交于一点，称为内心。
内心是三角形内切圆的圆心，三条角平分线相交于该点的原因是，该点到三条边的距离相等，满足等距离定理。
（3）内心到三边的距离：内心到三边的距离相等，且等于内切圆的半径。
设内心到三边的距离分别为r₁、r₂和r₃，那么r₁=r₂=r₃=r。
二、垂直平分线1. 定义：三角形中的垂直平分线是指从一个角的顶点出发，与对边垂直相交，并将对边分成两个相等部分的直线。
以三角形ABC中∠BAC的垂直平分线为例，假设该垂直平分线与BC相交于点D，那么BD=DC。
2. 性质：（1）垂直平分线与对边的关系：垂直平分线平分对边，并且被平分的两部分的长度相等。
即BD=DC。
（2）垂直平分线与角平分线的关系：垂直平分线与角平分线互相垂直。
也就是说，三角形的垂直平分线同时也是它的内角平分线。
三、角平分线和垂直平分线的应用角平分线和垂直平分线在解决三角形相关问题时起着重要的作用，它们能够提供关键的几何信息，帮助我们求解未知量、证明定理。
1. 解题应用：（1）角平分线的应用：在求解三角形相关问题时，可以利用角平分线的性质来求解未知量，比如利用角平分线将角分为两个相等的角，从而应用三角函数关系进行计算。
小学数学认识简单的角的平分线与垂直平分线
小学数学认识简单的角的平分线与垂直平分线角是数学中常见的概念，我们可以将其理解为由两条射线所构成的形状。
在学习角的同时，我们也需要了解与角相关的一些重要概念，比如角的平分线和垂直平分线。
本文将为大家详细介绍小学数学中角的平分线和垂直平分线的知识。
1. 角的平分线角的平分线是指将一个角平分为两个相等的部分的射线或线段。
对于任意一个角ABC，我们可以通过黄色的射线AD将其平分为∠BAD和∠DAC两个相等的角，射线AD即是角ABC的平分线。
如下图所示：（图片描述：射线AD为角ABC的平分线）2. 垂直平分线垂直平分线是指将一个线段垂直平分为两段相等的线段的直线。
对于任意一个线段AB，我们可以通过橙色的直线CD将其垂直平分为AC和CB两段相等的线段，直线CD即是线段AB的垂直平分线。
如下图所示：（图片描述：直线CD为线段AB的垂直平分线）3. 平分线与垂直平分线的共同特点虽然平分线和垂直平分线是两个不同的概念，但它们也有一些共同的特点：（1）平分线和垂直平分线都将一个形状等分为两个相等的部分。
对于平分线来说，它将一个角等分为两个相等的角；对于垂直平分线来说，它将一个线段等分为两段相等的线段。
（2）平分线和垂直平分线都是一条直线。
平分线是射线或线段，而垂直平分线是直线。
4. 角的平分线与垂直平分线的应用角的平分线和垂直平分线在几何学中有着广泛的应用。
下面，让我们来看一些具体的应用实例：（1）角的平分线应用示例在正方形ABCD中，如图所示，我们可以通过EF将∠ADE角平分为两个相等的角∠AEF和∠DEF。
利用角的平分线，我们可以得到∠AEF=∠DEF=45°。
这对于解决与正方形角度相关的问题非常有用。
（图片描述：EF为∠ADE角的平分线）（2）垂直平分线应用示例在矩形EFGH中，如图所示，我们可以通过IJ将线段GH垂直平分为两段相等的线段GI和HJ。
利用垂直平分线，我们可以得到GI=HJ。
这对于解决与矩形线段相关的问题非常有帮助。
几何中的角平分线与垂直平分线
几何中的角平分线与垂直平分线在几何学中，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。
它们不仅帮助我们理解和解决各种几何问题，还具有广泛的应用。
本文将介绍角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、角平分线的定义和性质角平分线是指将一个角平分为两个相等角的线段。
设角BAC是一个角，如果直线AD将该角分为两个相等的角，即∠BAD = ∠DAC，则称直线AD为角BAC的角平分线。
角平分线具有以下性质：1. 角平分线将原角分为两个相等的角。
根据定义可知，角平分线将原角BAC分为∠BAD和∠DAC，且∠BAD = ∠DAC。
2. 角平分线上的点到角两边的距离相等。
设点D为角BAC的角平分线，点E、F分别位于边BA和边AC 上，且DE = DF。
根据三角形的性质可知，∠BDE ≌∠CDF（角平分线AD将角BAC分为两个相等角），因此△BDE ≌△CDF。
根据全等三角形的性质可得，BE = CF，即角平分线上的点到角两边的距离相等。
3. 角平分线与角的两边垂直。
根据性质2可知，点D到边BA的距离等于点D到边CA的距离，即DE = DF。
而∠BED和∠CED为角内角，因此根据三角形的性质可得，△BED ≌△CED，进而得出BE = CE。
根据等腰三角形的性质可知，BE = CE，则∠BDE = ∠CDE = 90°。
因此，角平分线与角的两边垂直。
二、垂直平分线的定义和性质垂直平分线是指将线段垂直平分为两个相等线段的线。
设线段AB为一条线段，如果直线CD同时垂直于线段AB并将其等分，即AC = CB，则称直线CD为线段AB的垂直平分线。
垂直平分线具有以下性质：1. 垂直平分线将原线段分为两个相等线段。
根据定义可知，垂直平分线CD将线段AB分为AC和CB，且AC = CB。
2. 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
设点D为线段AB的垂直平分线，点E、F分别为线段AB的两个端点，且DE = DF。
三角形中的角平分线与垂直平分线
三角形中的角平分线与垂直平分线在数学几何学中，三角形是一个非常重要的概念。
从三条边的长度关系到三条角的关系，三角形的性质被广泛地研究和应用。
本文将讨论三角形中的两个重要概念：角平分线与垂直平分线。
角平分线是指将一个角分成两个相等角的线段。
在任意三角形中，每个角都存在一个角平分线。
设三角形的顶点为A，边AB和AC为两条边，角BAC为所给角，其角平分线为AD。
根据角平分线的性质，角BAD与角DAC相等，并且AD与BC相交于一点D。
这样，我们可以得出一个重要的结论：在三角形中，角平分线将对边分成两个相等的线段。
即BD=DC。
垂直平分线是指将一条线段分成两个相等部分，并且与该线段垂直相交的线段。
在三角形中，每条边都存在一个垂直平分线。
设三角形的边BC为所给边，垂直平分线为AD。
根据垂直平分线的性质，AD与BC相交于一点D，并且BD=DC。
此外，AD与BC垂直相交，即AD⊥BC。
这样，我们可以得出一个重要的结论：在三角形中，垂直平分线将对边分成两个相等的线段，并且垂直于对边。
角平分线和垂直平分线在三角形的性质和应用中起着重要的作用。
下面，我们将讨论它们的几个重要性质。
性质一：一个三角形中的三条角的角平分线交于一点，该点称为该三角形的内心。
内心是三角形中心的一种，它到三条边的距离都相等。
性质二：一个三角形中的三条边的垂直平分线交于一点，该点称为该三角形的垂心。
垂心是三角形中心的一种，它到三条边的距离都相等。
性质三：一个三角形中，内心、垂心和重心是共线的。
重心是三角形中心的一种，它是三条中线的交点。
性质四：角平分线和垂直平分线可以相互垂直平分。
即角平分线同时也是对应角的垂直平分线，垂直平分线同时也是对应边的角平分线。
这个性质对于解决一些数学几何题目具有很大的帮助。
通过以上的论述，我们了解到了角平分线和垂直平分线在三角形中的重要性质和作用。
它们为我们解决三角形相关问题提供了很大的便利。
在实际中，我们可以利用这些性质来求解三角形的面积、边长、角度等。
空间几何中的角平分线与垂直平分线
空间几何中的角平分线与垂直平分线空间几何是研究三维空间中各种图形的性质和关系的数学分支。
在空间几何中，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。
本文将介绍角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在几何问题中的应用。
一、角平分线在平面几何中，我们知道，如果一条线段将一个角分成两个相等的部分，那么这个线段就称为角的平分线。
同样地，在空间几何中，角平分线也有类似的定义。
定义：在空间中，如果一条直线通过一个角的顶点，并且将这个角分成两个相等的角，那么这条直线就称为这个角的平分线。
角平分线的性质：1. 角平分线将角分成两个相等的角。
2. 角平分线与角的边相交于角的顶点。
3. 如果一个平面与角的两个边相交于角的顶点，并且将这个角分成两个相等的角，那么这个平面就是这个角的平分面。
而角平分线正好是角的平分面在角的顶点上的交线。
角平分线的应用：1. 角平分线可以帮助我们确定角的大小。
通过寻找并绘制角的平分线，我们可以将角分成两个相等的部分，从而更方便地计算和推导角的性质。
2. 角平分线可以用来解决一些几何问题。
例如，当我们希望构造一个特定大小的角时，可以通过角平分线的方法来实现。
二、垂直平分线垂直平分线是另一个在空间几何中常见的概念。
在平面几何中，垂直平分线是指一条通过线段中点并且垂直于这条线段的直线。
在空间几何中，垂直平分线的定义稍有不同。
定义：在空间中，如果一条直线垂直于一条线段，并且将这条线段分成两个相等的部分，那么这条直线就称为这条线段的垂直平分线。
垂直平分线的性质：1. 垂直平分线将线段分成两个相等的部分。
2. 垂直平分线与线段的中点相交。
3. 如果一平面垂直于一线段，并且将这线段分成两个相等的部分，那么这平面就是这线段的垂直平分面。
而垂直平分线则是垂直平分面在线段中点上的交线。
垂直平分线的应用：1. 垂直平分线可以帮助我们确定线段的长度。
通过绘制线段的垂直平分线，我们可以将线段分成两个相等的部分，从而更方便地计算和推导线段的性质。
角平分线和垂直平分线
第三期课题：角平分线和垂直平分线一、知识解析分析：欲证AD ⊥EF ，就要证∠AOE=∠AOF=21∠EOF=90°。
所以要考虑证ΔAEO ≌ΔAFO 。
由题中条件可知ΔAEO ，ΔAFO 已有一边（公共边）一角对应相等，只要证出AE=AF 问题就解决了，所以需先证明ΔAED ≌ΔAFD 。
证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴ DE=DF （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）在RtΔAED 和RtΔAFD 中⎩⎨⎧==)()(公共边已证AD AD DF DE∴RtΔAED ≌RtΔAFD(HL)∴AE=AF(全等三角形的对应边相等)在ΔAEO 和ΔAFO 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(公共边已知已证AO AO FAO EAO AF AE∴ΔAEO ≌ΔAFO,∴∠AOE=∠AOF (全等三角形对应角相等) ∴∠AOE=21∠EOF=90°， ∴AD ⊥EF （垂直定义）。
例2、二、课堂练习1、函数()0≠+=k k kx y 在直角坐标系中的图象可能是（ ）．2、已知一次函数图象经过点(3，－3)，并且与x 轴交于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,43，求此函数的解析式。
3、若直线b kx y +=平行直线y=3x+2，且过点（2，﹣1），则k 和b 的值是多少？4、如图，直线3+=x y 的图象与x ,y 轴交于A 、B 两点，直线L 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1的两部分，求直线L 的解析式。
解：依题意得,A(-3,0),B(0,3) 设点C 的坐标为()3,+x x∴3233321+=+-=∆x x S AOC x x S B O C 23321==∆∵若则,2BO C AO C S S ∆∆=x x 232323⨯=+ ，则1-=x 若则,2BO C AO CS S ∆∆=x x 233232=+⨯ ，则2-=x∴点C 的坐标为（-1,2）或（-2,1） ∴所求的直线L 的解析式为x y x y 212-=-=或5、如图，直线6+=kx y 与x 轴y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点A 的坐标为（-6，0）。
三角形中的角平分线与垂直平分线
三角形中的角平分线与垂直平分线在几何学中，三角形是最基础且常见的几何图形之一。
而角平分线和垂直平分线是三角形内部的两个重要概念。
它们在解决三角形性质和计算题中起着关键的作用。
本文将详细探讨三角形中的角平分线和垂直平分线的性质及其应用。
一、角平分线角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角等分成两个相等的角的线段。
在任意三角形中，都存在三条角平分线。
我们给出以下两个性质：1.1 角平分线的性质性质一：三角形中的角平分线与对边上的点连线相等。
证明：设三角形ABC的角A的平分线为AD，与对边BC相交于点D。
则有∠BAD = ∠DAC（角平分线定义）。
因此，∠BAC = ∠BAD+ ∠DAC = ∠DAC + ∠DAC = 2∠DAC。
同理，可证明∠CED = 2∠DCE。
因此，∠BAC = 2∠DAC =2∠DCE。
于是，三角形ABC中的角平分线AD也等于对边BC。
性质二：三角形中的角平分线互相垂直。
证明：设三角形ABC的角A的平分线为AD，角B的平分线为BE，两条平分线相交于点D。
则有∠DAB = ∠DAC，∠DBE = ∠EBC（角平分线定义）。
又因为∠ADB = ∠BED = 90°（直角），所以∠BDA = ∠BEA = 180° - ∠ADB - ∠DBE = 180° - 90° - 90° = 0°。
因此，∠BDA = ∠BEA = 0°，即角ADB和角BEA为直角。
所以，角平分线AD垂直于角BAC的角平分线BE。
通过以上两个性质，我们可以看出角平分线在三角形中有着重要的几何意义和运用价值。
二、垂直平分线垂直平分线是指从一个线段的中点出发，与该线段垂直且等分该线段的直线。
在三角形中，任意一条边的中垂线可以称为该边的垂直平分线。
我们来介绍两个垂直平分线的性质：2.1 垂直平分线的性质性质一：三角形中的垂直平分线互相交于圆心。
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角平分线和垂直平分线
[知识目标]
1、角平分线
（1）性质：角平分线上的点到角两边距离相等。
（2）判定：到角两边距离相等的点在角平分线上。
角平分线是到角两边距离相等的所有点的集合
2、垂直平分线：
（1）性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。
（2）判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合。
3、轴对称的特征：
（1）全等：形状大小完全相同
（2）对称点的连线被对称轴垂直平分。
[典型例题]
角平分线和垂直平分线的尺规作图：
1、如图，a,b表示两条公路，A，B表示两个城镇，要建一座电视信号发射塔，使发射塔至两条公路的距离相等，到两个城镇的距离也相等，发射塔应建在何处？在图上找到它的位置。
b
2、如图，请你找出一个点P，使P点到A、B两点的距离相
等，并且使P在∠ACB的平分线上。
C
3、如图所示，M、N为三角形ABC边AB与AC上两点，在BC上求作一点P，使三角
形PMN的周长最小。
4、如图，已知E、F分别是△ABC的边AB和AC上的两个定点，问在BC上能否找到
一点M，使得△EFM的周长最小？
● 角平分线的性质与判定
1、如图所示，已知AB=AC ，PB=PC ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别是D 、E ，求证：PE=PD
2、如图所示,△ABC 中,∠C=900,AC=BC,DA 平分∠CAB 交BC 于D 点,部能否在AB 上确定一点E,使△BDE 的周长等于AB 的长,请说明理由.
4、如图, ∠C=∠B=900,M 为BC 的中点,AM 平分∠DAB,(1)求证:DM 平分∠ADC(2)求∠DMA 的度数
5、如图,已知,P 为∠AOB 内一点,过点P 的两条直线PD ⊥OB,PC ⊥OA,垂足分别是D 、C ，交OA 、OB 于M 、N 。
（1） 若点P 在∠AOB 的平分线上，求证：MD=NC （2） 若MD=NC ，求证：点P 在∠AOB 的平分线上
● 角平分线的对称性
3、如图,在△ABC 中, ∠C=2∠B, ∠1=∠2,求证:AB=AC+CD
A
A B
E C
A B M
N
B
C
D
垂直平分线
1、如图，E是∠AOB平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
垂足分别是C、D，求证：OE是CD的垂直平分线。
2、如图，在三角形△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=10，三角形△ABD的周长是
60，求△ABC的周长。
B
3、如图：AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。
求证：BF=CF。
4、如图，在△ABC中，AB＞AC，AB=8，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于E和在，△AEC的周长为13，求AC的长。
5、如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的
直线GF交AC的反向延长线于点F，交AC的平
行线BG于G ，DE⊥GF交AB于点E，连结EF。
（1）求证：BG=CF。
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的
结论。
B
O
F D
C
B
A
B
B
6、 △ABC 中，∠B=22。
50，AB 的中垂线交BC 于D ，且DF ⊥AC ，与BC 边上的高AE 交于G ，求证：
EG=EC 。
[创新拓展]
1、如图：在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABD=1
2
∠ABC ，BC ⊥DF ，垂足为F ，AF 交BD 于E 。
求证：AE=EF 。
2、如图：在△ABC 中，∠A=60°，∠B ，∠C 的平分线BE ，CF 相交于点O 。
求证：OE=OF 。
3、 如图：在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，D 是AC 上一点，AE
⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=12
BD ，DF ⊥AB 于F 。
求证：CD=DF
B
4、 如图，BD=DC ，ED ⊥BC 交∠BAC 的平分线于E ，EM
⊥AB ，EN ⊥AC ，求证：BM=CN
B
C
E F
E
D
C B A
F
O
E C
B
A B
[反馈练习]
1、已知，如图BP、CP分别是三角形ABC的外角∠CBD，∠BCE的平分线，求证：AP
平分∠BAC。
2、如图，点D、B分别在∠A的两边上，点C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD
于E，CF⊥AB于F，求证：CE=DF。
A
3、如图，在△ABC中，∠ABC=，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CE相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。
（1）求证：BF=AC。
（2）求证：CE=1
2
BF
（3）判断CE与BG的大小关系，并说明你的理由。
B。