线段的垂直平分线与角平分线专题复习教程文件

线段的垂直平分线与角平分线专题复习
线段的垂直平分线与角平分线专题复习
知识点复习：
1、线段垂直平分线的性质
（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个
端点的距离相等.
定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD
∴ AC ＝BC.
定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.
2、线段垂直平分线的判定定理：
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC
∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.
定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.
3、关于线段垂直平分线性质定理的推论
（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.
性质的作用：证明三角形内的线段相等.
（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：
若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；
若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；
若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。

图1
图2
4、角平分线的性质定理：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4，
∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ， ∴ CF ＝DF.
定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；
角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
5、角平分线性质定理的逆定理：
角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
定理的数学表示：如图5，
∵点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PC ＝PD ，
∴点P 在∠AOB 的平分线上.
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
6、关于三角形三条角平分线的定理：
（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.
定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么：
① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；
② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI.
图4
定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.
7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：
（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.
精品习题：
1．在△ABC 中，∠C=90º，BD 是∠ABC 的平分线.已知，AC=32，且AD ：DC=5：3，则点D 到AB 的距离为_______.
2．如图，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:ABC ACD S S ∆∆= （ ）
A ．3:4
B ．4:3
C ．16:19
D ．不能确定
3．如图，ΔABC 的三边AB 、BC 、CA 的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD 分为三个三角形，则S ABO ∆：S BCO ∆：S CAO ∆等于______.
4．如图所示，∠BAC ＝105°，若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ．则∠PAQ 的度数为 ．
5．AD∥BC，∠D=90 ，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的关
系是（）
A．PD>PC B．PD<PC C．PD=PC D．无法判断
6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修一个超市，使超市到三个小区的距离相等，则超
市应建在( )
A．在AC、BC两边高线的交点处
B.在AC、BC两边中线的交点处
C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
D.在∠A、∠B的角平分线的交点处
7．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB 的中点E处，则∠A等于( )
A．25º B.30º C.45º D.60º
8．AC=AD，BC=BD，则有（）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB
9．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）
A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP
10．随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（）处。

A、1
B、2
C、3
D、4
11．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P 点，PE⊥BC于E点，求PE的长．
12．如图，△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与 AC交于点E，请你判断线段AC与BH有什么关系？并说明理由.
13．如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．
14．如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．
（1）求证：∠3=∠B；
（2）连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．
15．已知：∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180°．
（1）如图1，当∠B=∠D时，求证：AB+AD=AC；
（2）如图2，当∠B≠∠D时，猜想（1）中的结论是否发生改变？说明理由．
16．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．
（1）小芳同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意小德的判断吗？为什么？
（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．
17．如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD和∠ADE，求证：AD=AB+CD。

E
C
D
18．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。

19．已知：如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BC=AB+AD D
A
E C B
A
D
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