线段的垂直平分线中考题含答案

线段的垂直平分线中考题（含答案）
一．填空题（共7小题）
1．（2011•长春）如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为_________ ．
2．（2011•莱芜）如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD= _________ cm．
3．如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC各边上，且DE⊥BC于E，若AB=1，则DB= _________ ．
4．如图，在等边三角形ABC的边BC、AC上分别取点D、E，使BD=CE，AD与BE相交于点P．则∠APE的度数为_________ °．
5．如图，D是等边△ABC的AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE=DB，△ABC的周长是9，则∠E= _________ °，CE= _________ ．
6．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=8cm，则CD= _________ ．
二．解答题（共1小题）
7．（2011•香洲区一模）△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．
（1）利用尺规作B的角平分线BD，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）（2）判断△DBC是否为等腰三角形，并说明理由．
参考答案与试题解析
一．填空题（共7小题）
1．（2011•长春）如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为 6 ．
考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
分析：由ED垂直平分BC，即可得BE=CE，∠EDB=90°，又由直角三角形中30°角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得BE的长，则问题得解．
解答：解：∵ED垂直平分BC，
∴BE=CE，∠EDB=90°，
∵∠B=30°，ED=3，
∴BE=2DE=6，
∴CE=6．
故答案为：6．
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与直角三角形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用．
2．（2011•莱芜）如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD= 2 cm．
考点：线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．
专题：计算题．
分析：连接BD，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出DC=2BD，根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD，即可求出答案．
解答：
解：连接BD．
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=（180°﹣∠ABC）=30°，
∴DC=2BD，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD=BD，
∴DC=2AD，
∵AC=6，
∴AD=×6=2，
故答案为：2．
点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，线段的垂直平分线，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出AD=BD和DC=2BD是解此题的关键．
3．如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC各边上，且DE⊥BC于E，若AB=1，则DB= ．
考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
分析：
由题可证△BED≌△ADF≌△CFE，则AD=BE，由勾股定理得，BE=BD，因为
AB=BD+AD=BD+BE=BD+=1，所以BD=．
解答：解：∵∠DEB=90°
∴∠BDE=90°﹣60°=30°
∴∠ADF=180﹣30°﹣60°=90°
同理∠EFC=90°
又∵∠A=∠B=∠C，DE=DF=EF
∴△BED≌△ADF≌△CFE
∴AD=BE，
由勾股定理得：
∵BE=
∵AB=BD+AD=BD+BE=BD+=1
∴BD=．
点评：本题利用了：（1）等边三角形的性质，（2）勾股定理，（3）全等三角形的判定和性质．
5．如图，在等边三角形ABC的边BC、AC上分别取点D、E，使BD=CE，AD与BE相交于点P．则∠APE的度数为60 °．
考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
专题：计算题．
分析：根据BD=CE可得CD=AE，即可证明△ACD≌△BAE，得∠CAD=∠ABE，再根据内角和为180°的性质即可解题．
解答：解：∵BD=CE，
∴BC﹣BD=AC﹣CE，
即CD=AE，
在△ACD与△BAE中，，
∴△ACD≌△BAE（SAS），
∴∠CAD=∠ABE，
∵∠CAD+∠APE+∠AEB=180°，
∠ABE+∠BAE+∠AEB=180°，
∴∠APE=∠BAE=60°，
故答案为：60．
点评：本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应角相等的性质，本题中求证∠APE=∠BAE是解题的关键．
6．如图，D是等边△ABC的AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE=DB，△ABC的周长是9，则∠E= 30 °，CE= ．
考点：等边三角形的性质．
专题：综合题．
分析：由△ABC为等边三角形，且BD为边AC的中线，根据“三线合一”得到BD平分∠ABC，而∠ABC为60°，得到∠DBE为30°，又因为DE=DB，根据等边对等角得到∠E与∠DBE相等，故∠E也为30°；
由等边三角形的三边相等且周长为9，求出AC的长为3，且∠ACB为60°，根据∠ACB为△DCE的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，求出∠CDE也为30°，根据等角对等边得到CD=CE，都等于边长AC的一半，从而求出CE的值．
解答：解：∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，
∴BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=60°，
即∠DBE=30°，又DE=DB，
∴∠E=∠DBE=30°，
∵等边△ABC的周长为9，∴AC=3，且∠ACB=60°，
∴∠CDE=∠ACB﹣∠E=30°，即∠CDE=∠E，
∴CD=CE=AC=．
故答案为：30；
点评：此题考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的性质可以解决角与边的有关问题，尤其注意等腰三角形“三线合一”性质的运用，及“等角对等边”、“等边对等角”的运用．
7．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=8cm，则CD= 4cm ．
考点：含30度角的直角三角形．
分析：
根据三角形的内角和定理求出∠A=30°，求出∠ABD=∠CBD=∠A=30°，求出AD=BD，CD=BD，代入求出即可．
解答：解：∵∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∵BD平分∠CBD，
∴∠CBD=∠ABD=30°，
∴CD=BD，∠A=∠ABD，
∴AD=BD=8cm，
∴CD=4cm，
故答案为：4cm．
点评：
本题考查了含30度角的直角三角形，三角形的内角和定理等知识点，关键是求出AD=BD和CD=BD，题目比较典型，难度适中．
二．解答题（共1小题）
8．（2011•香洲区一模）△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．
（1）利用尺规作B的角平分线BD，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）判断△DBC是否为等腰三角形，并说明理由．
考点：等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的性质；作图—基本作图．
专题：作图题；证明题．
分析：（1）以B为圆心，以任意长为半径画弧交AB、AC于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点的距离的一半为半径画弧，交于一点，过这点和B作直线即可；
（2）由∠A=36°，求出∠C、∠ABC的度数，能求出∠ABD和∠CBD的度数，即可求出∠BDC，根据等角对等边即可推出答案．
解答：（1）解：如图所示：
（2）解：△BCD是等腰三角形．
理由如下：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠BDC=∠C=72°，
∴BC=BD，
∴△BCD是等腰三角形．
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线的性质，作图与基本作图等知识点，解此题的关键是能正确画图和求出∠C、∠BDC的度数．。