线段的垂直平分线及角平分线专题复习
线段的垂直平分线复习巩固、角平分线
线段的垂直平分线复习巩固【知识要点】线段垂直平分线的性质与判定： （1）垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．； （2）性质定理：线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等；（3）线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； （4）三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。
专题一 线段的垂直平分线与等腰三角形等的综合应用1. 如图，在ABC ∆中，AB =AC ，36A ∠=︒，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，交AB 于E ，下述结论错误的是（ ）A ．BD 平分ABC ∠ B. BCD ∆的周长等于AB +BC C. AD =BD =BC D. 点D 是线段AC 的中点2. 如图所示，已知在三角形纸片ABC 中，BC =3， AB =6，∠BCA =90°，在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，求DE 的长度。
3. 如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB =75º，以CD 为一边的等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上．（1）求∠AED 的度数；（2）求证：AB =BC ；（3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC =30º．求 DFFC的值．ABCDE F图2A BCDE 图1角平分线复习巩固【知识要点】角平分线的性质与判定：（1）性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；（2）角平分线逆定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；（3）三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
专题一角平分线性质及判定定理的应用1.（2011，岳阳）如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为．2.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°, BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，若AC=9，则AE的值是（）A．B．C．6 D．43.如图，1l，2l，3l是三条公路线，且2l//3l，现在决定在区域内建立一个公路维修站，要求到三条公路的距离相等，请问维修站应该建立在何处，共有几处？请画出图形.4.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，求△EDF的面积。
角平分线、线段垂直平分线、三线合一练习复习
角平分线、线段垂直平分线、三线合一练习例1.如图11所示，AD平分∠BAC,DE⊥AB于E, S∆ABC=28㎝2, AB=20㎝，AC=8㎝，求：DE例2.如图12，∠B=∠C=900，M是BC的中点，DM平分∠ADC，（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM又怎样的位置关系？例3.如图2，DE是AB的垂直平分线，AB=AC，C∆BCD=13，C∆ABC=20，求AC例4.如图14所示，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，①求证：DE=DF；②若∠A=600，BE=1，求C∆ABC.图2EDCBA例5.如图15，等边三角形ABC中，D是AC的中点，延长BC到E使CE=CD，过D作DF⊥BC，求证：F是BE的中点。
练习：1. 如图3，∠C=900，AC=BC,AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，若AB=8㎝,求C∆DEB2.如图5，OB 、OC 分别平分∠ABC 、∠ACB ，OD ⊥BC ，OD=3，C ∆CAB =12, 求S ∆ABC3. 如图9，△ABC 中∠C=900，AD 平分∠BAC ，AB=10，AC=8，求S ∆ABD ：S ∆ADC 的值4.如图2， DE 是AB 的垂直平分线， AE=3，C ∆BCD =13，求C ∆ABC5.如图2， DE 是AB 的垂直平分线，BC=3，C ∆BCD =13，求ACOD 图5CBA图2EDCBA6.如图2，DE是AB的垂直平分线，AB=AC，C∆BCD=13，C∆ABC=20，求AB7.如图12，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，求证：AD=AE。
角平分线与垂直平分线知识点
角平分线与垂直平分线知识点一、角平分线1.角平分线可以得到两个相等的角。
（角平分线的定义）∵AD是∠CAB的角平分线1∠CAB∴∠CAD=∠B AD=22.角平分线上的点到角两边的距离相等。
（角平分线的性质）∵AD是∠CAB的角平分线，DC⊥AC ，DB⊥AB∴DC=DB3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4.到角两边的距离相等的点在角平分线上。
（角平分线的判定）∵DC⊥AC ，DB⊥AB，DC=DB∴点D在∠CAB的角平分线上。
二、角平分线图模（对称性）1、角平分线作垂线角平分线+垂直一边：“图中有角平分线，可向两边作垂线，作完垂线全等必出现”若PA⊥OM于点A，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。
利用角平分线的性质定理，可以得到∆OAP≌∆OBP（AAS）。
2、角平分线+垂线：“角分垂必延长”垂直角分线，等腰全等现。
若AP⊥OP于点P，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，三线合一，∆OAP≌∆OBP（ASA）。
3、角平分线+斜线：“截等长构造全等”若点A是射线OM上任意一点，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA（SAS）。
4、角平分线+平行线：“角平分线+平行线，等腰三角形必出现”若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，利用平行的内错角相等及等角对等边可以得到△POQ是等腰三角形。
5、角平分线+对角互补：“截长补短构造全等”6、夹角模型①双内角角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=90°+12∠A．②内角和外交角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=12∠A．③双外角角平分线模型：BP、CP分别是∠CBD、∠BCD的角平分线，则：∠D=90°-12∠B．在∠AOB中，画角平分线：1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠AOB两边于点M，N。
线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案
线段的垂直平分线和角平分线专题训练及答案一、选择题（本大题共7小题，共21.0分）1.如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪()A. 三条角平分线的交点处B. 三条中线的交点处C. 三条高的交点处D. 三条边的垂直平分线的交点处2.下列说法错误的是()A. 等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴B. 等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴C. 等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴D. 等腰三角形一个内角的平分线所在的直线是它的对称轴3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE垂直平分BC，AD=3，则AC的长为()A. 9B. 5C. 4D. 3√34.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，∠BAC=124°，则∠DAE的度数为()A. 68°B. 62°C. 66°D. 56°5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE⊥AC于点E，若BC=2m+6，DE=m+3，则△BCD的面积为()A. 2m2−18B. 2m2+12m+18C. m2+9D. m2+6m+96.如图，P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，则下列结论：①PM=PN；②AM=AN；③△APM≌△APN；④∠PAN+∠APM=90°．其中正确结论的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高线，E，F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为()A. 2B. 3C. 4D. 6二、解答题（本大题共10小题，共80.0分）8.直线OA，OB表示两条相互交叉的公路，点M，N表示两个蔬菜种植基地．现要建一个蔬菜批发市场P，要求它到两条公路的距离相等，且到两个蔬菜基地的距离也相等，请用尺规作图说明市场的位置．9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.已知AB=10cm，求△DEB的周长．10.如图，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE=CF，试判断BD和CD的数量关系，并说明理由．11.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶．奶站应建在什么地方才能使A，B到它的距离相等？12.A，B，C这3个村庄的位置如图所示，每两个村庄之间有公路相连，村民希望共同投资建一个货运中转站，使中转站的位置到3个村庄的距离相等．请你利用尺规作图确定中转站的位置．13.如图，四边形ABCD为矩形台球桌面，现有一白球M和黑球N，应怎样去打白球M，才能使白球M撞击桌边AB后反弹击中黑球N？请你画出白球M经过的路线．14.如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE.试说明MD=ME．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3.∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．(1)求∠B度数．(2)求DE的长．16.如图，已知∠ABC，射线BC上一点D.求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等(保留作图痕迹，但不要求写作法)．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作AC的垂线，垂足为点E．(2)在(1)作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE=______．答案和解析1.【答案】A【解析】[分析]本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知是三角形三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．[详解]解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应建在三角形草坪的三条角平分线的交点处．故选A．2.【答案】D【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质，属于基础题，解题的关键是了解对称轴是一条直线，难度不大．根据等腰三角形性质分别判断后即可确定正确的选项．[详解]解：A.等腰三角形底边上的高所在的直线是对称轴，正确；B.等腰三角形底边上的中线所在的直线是对称轴，正确；C.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，正确；D.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是对称轴，如果这个内角是底角，不一定是它的对称轴，错误．故选D．3.【答案】A【解析】[分析]根据角平分线性质得出AD=DE，证明Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，得BE=AB，由DE 是BC的垂直平分线，得BC=2AB，所以∠C=30°，可得CD的长，从而得AC的长．本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．[详解]解：∵BD是角平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=AD=3，在Rt△ADB和Rt△EDB中，∵{AD=DEBD=BD，∴Rt△ADB≌Rt△EDB(HL)，∴BE=AB，∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴BC=2AB，∴∠C=30°，∴CD=2DE=6，∴AC=CD+AD=6+3=9，故选：A．4.【答案】A【解析】[分析]根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠DAB=∠B，同理可得，∠EAC=∠C，结合图形计算，得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．[详解]解：∠B+∠C=180°−∠BAC=56°，∵AB的垂直平分线交BC于D，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B，∵AC的垂直平分线交BC于E，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C，∴∠DAE=∠BAC−(∠DAB+∠EAC)=124°−56°=68°．故选A．5.【答案】D【解析】[分析]过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形面积公式列式，然后根据多项式乘多项式法则进行计算即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出BC边上的高线是解题的关键．[详解]解：如图，过点D作DF⊥BC交CB的延长线于F，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，∴DE=DF，∴△BCD的面积=12·BC·DF=12(2m+6)(m+3)=m2+6m+9．故选D．6.【答案】A【解析】[分析]利用角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质分析得出答案．此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出△APM≌△APN 是解题关键．[详解]解：∵P是∠BAC平分线上的点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，∴∠MAP=∠NAP，∠AMP=∠ANP=90°，PM=PN，故①正确在△APM和△APN中{∠MAP=∠NAP ∠AMP=∠ANP AP=AP,∴△APM≌△APN(AAS)，故③正确，∴AM=AN，故②正确，∠APM=∠APN，∵∠PAN+∠APN=90°，∴∠PAN+∠APM=90°，故④正确，综上所述：正确的有4个．故选A．7.【答案】A【解析】[分析]本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用△ABD和△ACD的面积相等是正确解答本题的关键．由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，△ABD和△ACD的面积相等，再根据点E、F，依此即可求解．是AD的三等分点，可得△BEF的面积为△ACD的面积的13[详解]解：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，S△ABC=12，BC，S△ABD=6，∴BD=CD=12∵点E、F是AD的三等分点，AD，∴EF=13S△BEF=1S△ABD=2．2故选A．8.【答案】解：如图：P为所求做的点．【解析】本题考查了基本作图，理解角的平分线以及线段的垂直平分线的作图是关键．连接MN，先画出∠AOB的角平分线，然后再画出线段MN的中垂线．这两条直线的交点即为所求．9.【答案】解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE．又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌△RtAED．∴AE=AC，∴△DEB的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10cm．【解析】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质，角平分线的性质等有关知识，由题意根据AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C=90°，得到CD=DE，然后利用全等三角形的判定及性质得到AE=AC，最后利用三角形的周长公式进行求解即可．10.【答案】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°．在△BED和△DFC中，DE=DF，∠E=∠DFC，BE=CF，∴△BED≌△DFC(SAS)，∴BD=CD．【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性质(即对应边、对应角相等)是解题的关键．由角平分线的性质可得DE=DF，再结合条件可证明Rt△BED≌Rt△CFD，即可求得BE=CF.11.【答案】解：连接AB，作AB的垂直平分线，与街道的交点为P，点P即为所求作的点．【解析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知此点P在AB的垂直平分线上即可解答，12.【答案】解：如图，【解析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．利用线段垂直平分线的性质进而得出AB，AC的垂直平分线进而得出交点，得出M即可．13.【答案】解：如图所示，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．【解析】此题考查了轴对称作图，作点N于AB的对称点N′，连接N′M，与AB相交于点O，连接MO，NO，就是白球路线．14.【答案】证明：△ABC中，∵AB=AC，∴∠DBM=∠ECM．∵M是BC的中点，∴BM=CM．在△BDM和△CEM中，，∴△BDM≌△CEM(SAS)，∴MD=ME．【解析】本题主要考察等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质.根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．15.【答案】解：(1)∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB．∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠B=30°；(2)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，BD，∴CD=DE=12∵BC=3，∴CD=DE=1．【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟悉掌握是关键．(1)由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°；(2)根据角平分线的性质即可得到结论．16.【答案】解：如图，△PBD即为所求作的三角形【解析】【分析】本题考查尺规作图.根据角平分线的性质及线段垂直平分线的性质作图即可.作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．作∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线交于点P，则△PBD为所求作的等腰三角形．【解答】解：∵点P到∠ABC两边的距离相等，∴点P在∠ABC的平分线上，∵线段BD为等腰△PBD的底边，∴PB=PD，∴点P在线段BD的垂直平分线上，∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点．17.【答案】解：(1)如图所示；(2)解：∵DC是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ACD，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE//BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，设DE=CE=x，则AE=6−x，∴x4=6−x6，解得：x=125，即DE=125，故答案为：12．5【解析】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．(1)以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；(2)根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE//BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．。
专题训练(四) 有关线段的垂直平分线和角的平分线的四种解题方法-学习文档
专题训练(四) 有关线段的垂直平分线和角的平分线的四种解题方法►方法一直接根据相关性质定理解题1．如图4－ZT－1所示，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝BC＝CD＝DA.求证：AC与BD互相垂直平分．图4－ZT－1►方法二连线构造全等三角形2．如图4－ZT－2，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE＝DF.图4－ZT－23．如图4－ZT－3，在△ABC中，AB＝2AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝DB.求证：CD⊥CA.图4－ZT－3►方法三作垂线段得距离4．如图4－ZT－4，在△ABC中，∠BAC的平分线AD平分底边BC.求证：AB＝AC.图4－ZT－45．如图4－ZT－5，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，OE⊥BC于点E，△ABC的周长为12，面积为6，求OE的长．图4－ZT－56.如图4－ZT－6所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是AB，AC上的点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°，DG⊥AB于点G.(1)试判断DE和DF的数量关系，并说明理由；(2)若△ADF和△AED的面积分别为50和39，求△EDG的面积．图4－ZT－67．如图4－ZT－7，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，P为AB边上一点，且DP平分∠ADC，CP平分∠DCB.求证：(1)P为AB的中点；(2)DC＝AD＋BC.图4－ZT－78．如图4－ZT －8，D 是△ABC 的边BC 的延长线上一点，BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACD. 求证：(1)∠BAC＝2∠BEC；(2)∠CAE＋∠BEC＝90°.图4－ZT －8► 方法四 作线段的延长线构造全等三角形9．如图4－ZT －9，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，CD 垂直于∠ABC 的平分线BD 于点D ，BD 交AC 于点E.求证：BE ＝2CD.图4－ZT －9详解详析1．证明：∵AB ＝DA ，BC ＝CD ，∴点A ，C 在线段BD 的垂直平分线上，即AC 垂直平分BD ，同理可证得BD 垂直平分AC.∴AC 与BD 互相垂直平分．2．证明：连接AD.在△ABD 与△ACD 中，∵⎩⎨⎧AB ＝AC ，BD ＝CD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD. 又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.3．[解析] 要证明CD ⊥CA ，只要使∠ACD ＝90°即可．由于AD ＝DB ，可在AB 边上取中点E ，连接DE ，由AB ＝2AC 及∠BAD ＝∠CAD ，得△ADE ≌△ADC ，从而得∠ACD ＝∠AED.由AD ＝DB 知DE 是AB 的垂直平分线，可得∠AED ＝90°.证明：在AB 边上取中点E ，连接DE.因为AD ＝DB ，E 为AB 的中点，所以ED ⊥AB.因为AB ＝2AC ，所以AE ＝12AB ＝AC. 在△ADE 和△ADC 中，⎩⎨⎧AE ＝AC ，∠DAE ＝∠DAC ，AD ＝AD ，所以△ADE ≌△ADC ， 所以∠ACD ＝∠AED ＝90°，所以CD ⊥CA.4．[解析] 根据题意可知AD 是∠BAC 的平分线，可过点D 作∠BAC 两边的垂线段，根据角平分线的性质，并结合三角形的面积进行证明．证明：如图，分别过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F.因为AD 为∠BAC 的平分线，所以DE ＝DF.又因为AD 平分BC ，所以BD ＝CD ，所以S △ABD ＝S △ACD .又S △ABD ＝12AB ·DE ，S △ACD ＝12AC ·DF ， 所以AB·DE ＝AC·DF ，所以AB ＝AC.5．[解析] 连接OA ，过点O 作OM ⊥AC 于点M ，OF ⊥AB 于点F ，则OE ＝OF ＝OM.由S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △AOC 可求OE 的长．解：如图，连接OA ，过点O 作OM ⊥AC 于点M ，OF ⊥AB 于点F.∵BO 平分∠ABC ，OF ⊥AB ，OE ⊥BC ，∴OF ＝OE.同理OE ＝OM.∴OF ＝OE ＝OM.∵S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △AOC ，∴12AB ·OF ＋12BC ·OE ＋12AC ·OM ＝6， ∴12OE ·(BC ＋AB ＋AC)＝6. 又∵△ABC 的周长为12，即BC ＋AB ＋AC ＝12，∴OE ＝1.6．解：(1)DE ＝DF.理由：过点D 作DN ⊥AC 于点N.∵DG ⊥AB 于点G ，∴∠EGD ＝∠FND ＝90°.∵AD 平分∠BAC ，DG ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴DG ＝DN(角平分线的性质)．∵∠EAF ＋∠EDF ＝180°，∴∠AED ＋∠AFD ＝360°－180°＝180°.∵∠AED ＋∠DEG ＝180°，∴∠DEG ＝∠NFD.在△EGD 和△FND 中，⎩⎨⎧∠GED ＝∠DFN ，∠DGE ＝∠DNF ，DG ＝DN ，∴△EGD ≌△FND(AAS)，∴DE ＝DF.(2)由已知易证△ADG ≌△ADN.由(1)知△EGD ≌△FND ，∴S △ADG ＝S △ADN ，S △EGD ＝S △FND ，∴S △ADE ＋S △EGD ＝S △ADF －S △EGD ，即39＋S △EGD ＝50－S △EGD ，∴S △EGD ＝5.5.7．证明：(1)如图，过点P 作PE ⊥DC 于点E.∵DP 平分∠ADC ，PA ⊥AD ，PE ⊥DC ，∴PA ＝PE.同理PB ＝PE.∴PA ＝PB ，∴P 为AB 的中点．(2)在△ADP 与△EDP 中，∵DP 平分∠ADC ，∴∠ADP ＝∠EDP.又∵∠PAD ＝∠PED ＝90°，DP ＝DP ，∴△ADP ≌△EDP ，∴AD ＝ED.同理BC ＝EC.∵DC ＝DE ＋EC ，∴DC ＝AD ＋BC.8．证明：(1)∵∠ACD ＝∠BAC ＋∠ABC ，CE 平分∠ACD ，∴∠ECD ＝12∠ACD ＝12(∠BAC ＋∠ABC)． ∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC ＝12∠ABC. ∴∠ECD ＝∠BEC ＋∠EBC ＝∠BEC ＋12∠ABC ， ∴∠BEC ＋12∠ABC ＝12(∠BAC ＋∠ABC)， ∴∠BEC ＝12∠BAC ，即∠BAC ＝2∠BEC. (2)过点E 作EM ⊥BD 于点M ，EN ⊥BA 支BH 的延长线于点N ，EG ⊥AC 于点G. ∵CE 平分∠ACD ，EM ⊥BD ，EG ⊥AC ，∴EG ＝EM.∵BE 平分∠ABC ，EM ⊥BD ，EN ⊥BA ，∴EN ＝EM ，∴EG ＝EN ，∴AE 平分∠CAN ，∴∠CAE ＝12∠CAN ＝12(180°－∠BAC)， ∴∠CAE ＋∠BEC ＝12(180°－∠BAC)＋12∠BAC ＝90°. 9．[解析] 要证BE ＝2CD ，想到要构造等于2CD 的线段，结合角平分线， 利用轴对称的性质把△CBD 沿BD 翻折，使BC 重叠到BA 所在的直线上，构造全等三角形，然后证明BE 和CF(2CD)所在的三角形全等．证明：如图，延长BA ，CD 交于点F.∵BD ⊥CF(已知)，∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°.∵BD 平分∠ABC(已知)，∴∠1＝∠2.在△BCD 和△BFD 中，⎩⎨⎧∠2＝∠1（已证），BD ＝BD （公共边），∠BDC ＝∠BDF （已证），∴△BCD ≌△BFD(ASA)，∴CD ＝FD ，即CF ＝2CD.∵∠5＝∠4＝90°，∠BDF ＝90°，∴∠3＋∠F ＝90°，∠1＋∠F ＝90°，∴∠1＝∠3.在△ABE 和△ACF 中，⎩⎨⎧∠4＝∠5，AB ＝AC ，∠1＝∠3（已证），∴△ABE ≌△ACF(ASA)，∴BE ＝CF ，∴BE ＝2CD.。
16章2复习线段的垂直平分线和角平分线
M
A
B
4 .如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ 与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ． 求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线 的距离相等．
Ｃ 更上一层楼！ F H
Ｄ Ｐ Ｅ
Ａ
Ｂ
G
5. 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。 求证：(1)点P到三边AB、BC、CA的距离相等 A D (2)点P在∠A的平分线上 F
解： ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=70°。 ∴∠A=180°-2∠C=40°， 又∵DE垂直平分AB， ∴AD=BD。 ∵∠DBA=∠A=40°。 ∴∠BDC=∠A+∠ABD =40°+40°=80°。
2、如图，在△ABC中， AB=AC， ∠BAC= 120°，AC的垂直平分线EF交AC 于点E，交BC于点F。求证：BF=2CF。
A
B
点P为校址
2.:如图,在直线 l 上求一点P,使PA=PB A
B l
P
点P为所求作的点
角平分线的性质与判定 角的平分线上的点到角的两 1:角平分线的性质： 边的距离相等。 2：角平分线性质的逆定理（角平分线的判定） 在角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平 分线上。 A P到OA的距离
PA=PB
任何图形都是有点组成的。因 三、 此我们可以把图形看成点的集 线段的垂直平分线的集合定义： 合。由上述定理和逆定理，线 线段的垂直平分线可以看作是到线 段的垂直平分线可以看作符合 段两上端点距离相等的所有点的集合 什么条件的点组成的图形？
1：如图，已知：AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，垂 足是点E，∠C=70°，求∠BDC的度数。
D
C
复习课线段的垂直平分线和角平分线
A 在BC 的垂直平分线上 复习课——第十九章 线段的垂直平分线和角平分线
普陀区课题组
教学目标：
2．会灵活运用线段垂直平分线、角平分线的定理和逆定理解决相关问题，体会构造基本图形的重要性.
教学重点与难点：线段垂直平分线、角平分线的定理及逆定理的灵活应用. 教学过程：
教师活动
学生活动
设计意图 一、建立知识结构
问：今天主要复习线段的垂直平分线、角的平分线相关知识.
问1:几何证明的依据有哪些？
问2:定理和公理都是命题,由命题你想到了什么？
(师生共同完成回答)
教师帮助建立知识结构：
在建立知识结构的同时复习各知识点.PPT 显示线段垂直平分线的定理及逆定理，角平分线定理及逆定理的图形语言表示.
(1) ⇒
AB=AC (2) ⇒
（3） ⇒
PM=PN (4)
答1：定义、公理、定理
答2：逆命题、逆定理、线段垂直平分线的定理及逆定理、角平分线定理及逆定理，点的三种基本轨迹.
梳理知识，建立知识结构.
学生了解知识点，重点在于线段垂直平分线、角平分线定理及逆定理，点的三种轨迹.
复习线段的垂直平分线定理及逆定理、角平分线定理及逆定理运用的规范书写.
C D A B N M
C D
A
B N M
C A
B C D A B N M O P N
M B A
B M N O A P B
M
N
O
A P
2
1
O
M
B
A。
线段的垂直平分线和角平分线的复习
B
例 1已知：如图，AP、BP分别平分∠DAB和∠CBA，PE、PF 分别垂直于AD、BC，垂足为E、F. 求证：点P在EF的垂直平分线上. 添辅助线的目的 分析：（1）从已知条件你能想到什么定理？ 构造角平分线的 是什么？ 基本图形. （2）缺少了什么?怎么办？ D 角平分线上的点到另一边的垂线段. E 添加辅助线. A （3）能得到什么结论? G （4）用什么定理来证明结论?
8在△ABC中,D为BC 的点,DE⊥BC 交∠BAC的平分线AE于点,EF⊥AB A 于F点,EG⊥AC于G点
求证:BF=CG
F B
D
C G
E
当缺少运用角平分线、线段垂直平分线的定理及逆定理的 基本图形时，要添置辅助线构造运用它们的基本图形.
1、作图题： 已知：∠AOB和∠AOB内一点C. 求作：点P，使PC=PO， 且点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等.
D
2、在△ABC,PM,QN分别垂直 平分AB,AC，则: (1)若BC=10cm则△APQ的周长 10 =_____cm; (2)若∠BAC=100°则 200 ∠PAQ=______.
如图，在△ABC中， AB=AC=16cm，AB的垂直平分线 交AC于D，如果BC=10cm，那么 26 △BCD的周长是_______cm. A
4.如图4-4-5所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°， AB 的垂直平分线交 BC 于 D，交 AB 于 E，DB=10cm，则 AC=( C ) A.6 B.8 C.5 D.10
5.如图4-4-6所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂 直平分线交BC于D，∠CAD∶∠DAB=1∶2，则 36° ∠B= .
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线段的垂直平分线与角平分线专题复习
知识点复习：
1、线段垂直平分线的性质
（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
的距离相等.
定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD
∴ AC ＝BC.
定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.
2、线段垂直平分线的判定定理：
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC
∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.
定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.
3、关于线段垂直平分线性质定理的推论
（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.
性质的作用：证明三角形内的线段相等.
（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：
若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；
若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也
图1
图2
成立。
4、角平分线的性质定理：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4，
∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ， ∴ CF ＝DF.
定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；
角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
5、角平分线性质定理的逆定理：
角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5，
∵点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PC ＝PD ，
∴点P 在∠AOB 的平分线上.
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
6、关于三角形三条角平分线的定理：
（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.
定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么：
① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；
② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI.
图4
定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.
7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：
（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.
精品习题：
1．在△ABC 中，∠C=90º，BD 是∠ABC 的平分线.已知，AC=32，且AD ：DC=5：3，则点D 到AB 的距离为_______.
2．如图，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:ABC ACD S S ∆∆= （ ） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定
3．如图，ΔABC 的三边AB 、BC 、CA 的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD 分为三个三角形，则S ABO ∆：S BCO ∆：S CAO ∆等于______.
4．如图所示，∠BAC ＝105°，若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ．则∠PAQ 的度数为 ．
5．AD∥BC，∠D=90 ，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的
关系是（）
A．PD>PC B．PD<PC C．PD=PC D．无法判断
6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修一个超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )
A．在AC、BC两边高线的交点处
B.在AC、BC两边中线的交点处
C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处
D.在∠A、∠B的角平分线的交点处
7．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E 处，则∠A等于( )
A．25º B.30º C.45º D.60º
8．AC=AD，BC=BD，则有（）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB
9．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）
A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP
10．随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（）处。
A、1
B、2
C、3
D、4
11．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求PE的长．
12．如图，△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与AC交于点E，请你判断线段AC与BH有什么关系？并说明理由.
13．如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．
14．如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC 于EF交于点O．
（1）求证：∠3=∠B；
（2）连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．
15．已知：∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180°．
（1）如图1，当∠B=∠D时，求证：AB+AD=AC；
（2）如图2，当∠B≠∠D时，猜想（1）中的结论是否发生改变？说明理由．
16．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．
（1）小芳同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意小德的判断吗？为什么？
（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．
17．如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD和∠ADE，求证：AD=AB+CD。
18．如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 。
D
A
E C
B
A
B
E
C
D
19．已知：如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BC=AB+AD
A
D
B C。