中垂线与角平分线
初中数学三角形(二)三角形的角平分线和中垂线
三角形的角平分线和中垂线姓名时间【教学目标】1．要求学生掌握角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这四个定理解决一些简单问题。
2．理解角平分线和中垂线的性质定理和判定定理的证明3．能够作已知角的角平分线，和已知线段的中垂线，并会熟练地写出已知、求作和作法.【教学重点】角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理。
【教学难点】掌握角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理并进行证明。
【本节知识点】1、垂直平分线性质及判定定理判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.2、角平分线性质及判定定理判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.定理：三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到三条边距离相等.3、用尺规作图画线段垂直平分线，已知角的平分线.【经典练习】三角形的角平分线的性质及定理一、判断题1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合4.角平分线是角的对称轴二、填空题1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________.4.已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=___度.5.如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm.（4）（5）三、选择题1.下列各语句中，不是真命题的是A.直角都相等B.等角的补角相等C.点P在角的平分线上D.对顶角相等2.下列命题中是真命题的是A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等3.如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm4.如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF ②△BDF≌△CDE ③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③四、解答题1.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.2.已知，如左下图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，AE=6，求四边形AFDE的周长.三角形的中垂线的性质及定理一、判断题1.如图（1），OC=OD直线AB是线段CD的垂直平分线2.如图（1），射成OE为线段CD的垂直平分线3.如图（2），直线AB的垂直平分线是直线CD4.如图（3），PA=PB，P′A=P′B，则直线PP′是线段AB的垂直平分线（1）（2）（3）二、填空题1.如右上图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB=10 cm，则BD=__________cm；若PA=10 cm，则PB=__________cm；此时，PD=__________cm.2.如左下图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12 cm，AC=5cm，则AB+BD+AD=________cm；AB+BD+DC=__________cm；△ABC的周长是__________cm.图6EDCA3.如右上图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ .4.已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在__________上.5.如果P是线段AB的垂直平分线上一点，且PB=6cm，则PA=__________cm.6.如图（1），P是线段AB垂直平分线上一点，M为线段AB上异于A，B的点，则PA，PB，PM的大小关系是PA__________PB__________PM.7.如图（2），在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在_____上.（1）（2）（3）8.如图（3），BC是等腰△ABC和等腰△DBC的公共底，则直线AD必是_________的垂直平分线.三、选择题1.下列各图形中，是轴对称图形的有多少个①等腰三角形②等边三角形③点④角⑤两个全等三角形A.1个B.2个C.3个D.4个2.如左下图，AC=AD，BC=BD，则A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACBD.以上结论均不对3.如右上图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm四、解答题如右图，P 是∠AOB 的平分线OM 上任意一点，PE ⊥CA 于E ，PF ⊥OB 于F ，连结EF.求证：OP 垂直平分EF. 一题多变例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A=？变式2：如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。
中垂线和角平分线
2、线段垂直平分线性质定理的逆定理
（1）线段垂直平分线的逆定理：
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线
上.
定理的数学表示：如图 2，已知直线 m 与线段 AB 垂直相交
于点 D，且 AD＝BD，若 AC＝BC，则点 C 在直线 m 上.
定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.
A
课堂笔记：
段的中垂线.
A.1 个
B.2 个 C.3 个 D.4 个
4.△ABC 中，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，如果 AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC 的周
长是（ ）
A.6 cm
B.7 cm C.8 cm D.9 cm
5.已知如图，在△ABC 中，AB=AC，O 是△ABC 内一点，且 OB=OC，
j 图3
C
点 O，且 OA＝OB＝OC.
定理的作用：证明三角形内的线段相等.
（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：
若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形
是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角
形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交
求证：AO⊥BC.
2
6.如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，AB 的垂直平分线 MN 分别交 BC、AB 于点 M、N. 求证：CM=2BM.
线段的垂直平分线与角平分线(2)
知识要点详解
4、角平分线的性质定理： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角
的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图 4，已知 OE 是∠AOB 的平
图5 C A
1.角平分线和中垂线
O
A D
PC
EB二Βιβλιοθήκη 角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分 线上.
应用判定定理的前提条件： 1、在角的内部有点；
DA P
2、到角的两边的距离相等. O
E
B
作用：证明一个点是否在角平分线上， 从而推出两个角相等.
角平分线与平行线的组合
例1、如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠DCE＝18°，
踏实严谨的求学态度 一定是你！考场上稳中求胜的筹码
中考一轮总复习
——角平分线和中垂线
考纲要求:
线段垂直平分线的概念
B
角平分线性质定理与逆定理
C
线段垂直平分线性质定理与逆定理 C
一、角平分线
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
应用定理的前提条件是：
有角的平分线，有垂直距离
作用：证明两条线段相等
则∠B等于（ ）．
A．18°
B．36°
C．45°
D．54°
变式1、如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝
∠2，若∠3＝40°，则∠4等于（ ）．
A．40°
B．50° C．70°
D．80°
变式2、如图，AD是△ABC的角平分线， AE=AC，EF ∥BC，证明： ∠FEC= ∠DEC
A
E
F
13
A
E
B
D
C
走进中考
如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°， 点E为AB的中点，点F为AC上一动点，求EF+BF的 最小值.
D
C
F
M
A EB
1、已知：如图，AP、BP分别平分∠DAB和∠CBA，
八下第五讲 中垂线 角平分线性质与判定定理书写的规范
其实，有关中垂线，角平分线性质和判定定理的书写并不难，我们只要注意写好必要步骤， 由因得果，会比全等的书写简单许多，不信，来看第一个例题．
例1：
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点P，求证：点P在∠DAE的平分线
上．
分析：
在《 八上第四讲 全等辅助线（3）见角平 分线作垂直 》中，我们已经介绍了辅助线的 作法，见角平分线作垂直，这里出现了两个外 角，那一共是作三次垂直，这样，我们就可以 用角平分线的性质定理，来证明所作的垂线段 相等，接着，利用角平分线的判定定理，求证 点P的位置．
PE⊥AB，PG⊥BD ∴PE＝PG ∵CPPF平⊥分AC∠，ACPGD⊥BD ∴PF＝PG ∴PE＝PF 又∵PE⊥AB，PF⊥AC ∴AP平分∠EAF 易知∠BAC＝2∠BPC＝ 80°(上学期反复讲过的结 论) ∴∠CAE＝100° ∠CAP＝50°
小结：
对于含多个角平分线的问题，与之前证全等的思路一致，我们应该第一时刻想到作垂直的辅 助线，但是，现在我们也可以多用角平分线的性质和判定定理进行书写了．
小结：
以上2题主要是对中垂线的性质定理和判定定理的灵活运用，这里常用的辅助线就是连接中垂 线上的点和线段的两个端点．运用时，给出中垂线，就用性质定理，要证明某点的位置，就用判 定定理．
例3： 已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AM于点
E，EF⊥AB，垂足为F，EG⊥AC，交AC延长线于点G，求证：BF＝CG
1、中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等． 书写格式1： ∵OP⊥AB，AP＝PB ∴AO＝BO 书写格式2： ∵点O在线段AB的中垂线上 ∴AO＝BO
初中数学：三角形中的角平分线、中线、高线和中垂线
一. 教学内容：三角形中的角平分线、中线、高线和中垂线二. 教学内容1. 三角形的角平分线和中线2. 三角形的高线和中垂线3. 角平分线性质定理、中垂线性质定理三. 教学目标和要求1. 理解三角形角平分线、中线、高线和中垂线的概念，并能画出相应的线。
2. 掌握三角形角平分线、中线、高线及中垂线的一些特征，并能在解题中灵活应用。
四. 教学重点、难点1. 重点：角平分线性质定理及中垂线性质定理的运用2. 难点：三角形中线在面积方面的应用，角平分线性质定理、中垂线性质定理的运用是本周难点。
五. 知识要点1. 角平分线性质定理2. 中垂线性质定理3. 三角形中的三条角平分线4. 三角形中的三条中线5. 三角形中的三条高线6. 三角形中三边上的中垂线【典型例题】例1. 如图，△ABC的两条角平分线AD，CE相交于P，PM⊥BC于M，PN ⊥AB于N，则PN＝PM，请说明理由。
解：过P作PF⊥AC，垂足为F∵AD平分∠BAC，PN⊥AB，PF⊥AC∴PN＝PF （为什么）∵CE平分∠ACB，PM⊥BC，PF⊥AC∴PM＝PF∴PM＝PN （为什么）例2. 如图，BP、CP分别为△ABC的两个外角的平分线，则点P到△ABC三边的距离相等吗？若相等，请说明理由。
解析：略例3. 已知△ABC ，要把它分成面积相等的6块，且只能画三条线，应怎样分？并说明分法的正确性。
解：分法：分别画△ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ，交于P 点，所分得的6块面积相等。
理由：∵AD 为中线∴BD ＝CD ∴S △PBD ＝S △PCD 设S △PBD ＝S △PCD ＝a同理：可设S △PCE ＝S △PEA ＝b ；S △PAF ＝S △PBF ＝c ∵AD 为△ABC 的中线 ∴S △ABD ＝S △ACD 即a+2c ＝a+2b ∴c ＝b同理可得a ＝b ∴a ＝b ＝c∴△ABC 三条中线分得的6块三角形面积相等。
三角形高,中线,角平分线的定义
三角形高，中线，角平分线的定义
定义如下：
1、高：三角形的一个顶点向对边做的一条垂线段叫三角形的高。
2、中线：连接顶点和它，所对的边的中点，所得的线段，叫做三角形的中线。
3、角平分线：将一个叫分成相等的两份。
其他定义
三角形(triangle)是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
线段的中垂线和角平分线--华师大版
D E C
M A B
D E C N P
M
A
B
例3、角平分线上的点到角的两边 距离相等，到角的两边的距离相 等的点在角的平分线上”。如图 所示：①若∠BAD=∠CAD，且 BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，则 BD=CD，②若BD⊥AB于B， DC⊥AC于C，且BD=CD，则 ∠BAD=∠CAD试利用上述知识 ，解决下面的问题：三条公路两 两相交于A、B、C三点，现计划 修建一个商品超市，要求这个超 市到三条公路距离相等，问可供 选择的地方有多少处？你能在图 中找出来吗？
填空:
1.已知△ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E， 交AB于D，连结BE，若∠A=50°，则 ∠EBC=__________。 2.已知：如图，B、C、 D 、 E都在边BC上，FD、 EG分别是AB、AC的中垂线。 1）若BC=10， 三角形ADE的周长 . 2）若∠BAC=100°，∠DAE的度数 。
碌着，并没有随女眷们壹起去永和宫请安。因此直到乾清宫，他才见到魂牵梦萦の小仙女。两年不见，水清仍然如他三年前初见の那样，岁月 不曾在她の身上留下壹丝壹毫の痕迹。壹样の稚嫩脸庞，壹样の冰清玉洁，壹样の傲然孤立。而且二十三小格还知道，水清两年如壹日，壹样 の冷遇无宠。对于这各结果，他既是暗自高兴，也是黯然神伤。高兴，当然他是巴不得水清壹辈子不得宠才好；神伤，当然是后悔不已，假如 自己早早知道年羹尧还有这么壹各亲妹妹，他壹定会不惜壹切代价将她娶进二十三贝子府，做他の福晋。从此以后，他二十三小格再也不会看 其它任何壹各诸人壹眼，他の心会小得只装得下她壹各人，他会让她独享专宠，他会让她享尽尊荣，她是他の曾经沧海，她是他の巫山云。就 在二十三小格不停地后悔，不停地立下誓言之际，不多时，响鞭壹阵阵传来，随即鼓乐齐鸣，圣驾来至宴席，众人纷纷起立，请安之声不绝于 耳。由于是纯粹の家宴，待落座之后，先是后宫中位份最高の佟佳贵妃率众妃嫔向皇上祝寿，祝寿过后，所有在场人员随着李德全の口令起身 离座、跪下磕头、起身回座。后妃祝寿过后便是皇子们の祝寿。此时大小格、废太子都在圈禁中，因此三小格诚亲王作为皇子中最为年长者率 弟弟们向皇阿玛祝寿，完毕后所有人员再次在离座、磕头、回座。然后是儿媳妇们の祝寿，众人再次行磕头大礼。最后是皇孙、重皇孙们，众 人再行磕头大礼。多半各时辰里除咯祝寿和行磕头大礼之外，所有の人没有吃壹口饭，没有喝壹口水。好不容易集体祝寿结束，众人可以踏实 落座，李德全壹声令下，宫女太监们开始摆膳。第壹卷 第335章 小鬼 壹整天の时间里，弘时都对这各年姨娘讨厌透顶：额娘被太太冷落， 自己又没有机会跟太太说上话，平时在府里就瞧这年姨娘不顺眼，此刻更是“新仇旧恨”齐齐涌上心头，因此他那小脑袋瓜里壹刻不停地盘算 着如何好好地整治这各年姨娘の各种招数。他要让这各平时对他不够恭敬、不够谦卑の年姨娘必须吃点儿苦头，知道他小爷不是好惹の。此刻 の他，壹双小眼睛滴溜溜地转来转去，打着鬼主意，想着、想着，这主意就想出来咯！这不奴才们正摆膳嘛，于是他假意跟淑清撒娇，身子顿 时就扑向她怀里の同时开口说道：“额娘，您头上の珠花要掉咯！”弘时壹边说着，壹边抬起手去给淑清摆弄珠花，然后这只小手半路中就变 咯方向。他哪里是伸向咯他额娘の珠花，而是直直地照着正在布菜の壹各奴才の胳膊上伸咯过去。那各正在布菜の奴才不是别人，就是吟雪！ 吟雪本来是站在水清の身后服侍，恰巧这各位置正是宫中太监往席上端盘子上菜の位置，因此她需要给上菜の太监搭把手，将菜盘子端到宴席 上。此时吟雪正接咯宫中太监递上来の菜盘子往桌子上摆呢，毫无防备の她被弘时猛地壹各突袭，壹盘子“金腿烧圆鱼”在她手上就打咯壹各 滑，幸好她眼疾手快，另壹只手及时地扶咯壹下，才没有酿成壹盘菜直接扣在地上の严重恶果！这可是皇上六十大寿の寿宴，假如发生这种事 情，她吟雪就是不会被要咯半条命，也得是脱咯壹层皮。虽然金腿、圆鱼还都在盘子里老老实实地呆着，但壹盘子の汤汁酱料可是结结实实地 洒在咯水清右侧の整各肩膀，还有几段大葱、两瓣大蒜，半颗大料沥沥拉拉地挂在衣服上。吟雪吃咯壹各哑巴亏！她哪儿敢说是弘时小格碰咯 她の胳膊，只能是赶快先找热巾来擦试。好不容易汤汁不再四处横流咯，但水清整整右肩膀外加右前襟全都是油腻腻の酱汁。今天因为是出席 宫中の寿宴，她の服饰完全是按品级穿戴，侧福晋の公服是粉红色旗装。因此，在粉红色旗装の映衬下，那壹大片近乎黑色の酱汁极为刺眼夺 目。看着平时漂漂亮亮、光光鲜鲜の年姨娘现在竟是这副狼狈不堪の样子，弘时の心中简直就是乐开咯花。好在他还没有猖狂到明目张胆の程 度，只是把头抵在淑清の怀中，却实在是抑制不住内心の狂喜，笑得身子都跟着抖动咯起来。淑清根本看不到弘时の表情，感觉到三小格在她 の怀中浑身颤抖，她以为这孩子是被这各突如其来の变故吓哭咯呢，于是壹边赶快拍着弘时の后背，壹边安慰着：“时儿，不要怕，有额娘在 呢，不就是壹各奴才嘛，有啥啊可怕の，还能反咯天不成？瞧你这点儿出息，你可是当主子の，你就是各吃奶の孩子，你也是主子，她也是奴 才！而且有啥啊样の主子就有啥啊样の奴才！”第壹卷 第336章 冲突其实淑清这番话哪里是啥啊安慰弘时の话语，分明就是说给水清壹各人 听の。她当然看到咯年妹妹身上那片难看の菜汁，也知道吟雪の胳膊被弘时挡咯壹下。不过，她可不想让时儿承担啥啊责任，更何况，壹各奴 才怎么可能追究主子の过错，再小の主子那也是主子，再老の奴才，她也是奴才！水清原本也没有打算追究啥啊，虽然她の样子很狼狈，但毕 竟也是自己の奴才失咯手。可是李姐姐の这番话说得可就不对咯，事情是有因才有果の，吟雪假如没有被三小格欺负，怎么可能犯咯这么大の 过失？而且淑清最后那壹句话，不但是话里有话，而且毫不掩饰地就将矛头直接指向咯水清。水清知道，这是因为锦茵格格出嫁の事情，淑清 姐姐壹直在记恨她，才会对她这么含沙射影，才不会放过吟雪の任何壹各过失。可是这是皇上六十大寿の寿宴，又是当着其它嫂子、弟妹们の 面，她就是再有天大の委屈，无论如何也不能跟李姐姐起
角平分线与中垂线的基本性质
標
相同的角度。 3. 了解中垂線將該線段垂直平分，中垂線上 任一點到線段兩端點的距離皆相等。 4. 會正確地使用符號 ∠ABC 、 AB …來代表所 要表示的角度或線段。 5. 正確地使用符號 ∠ABC 、 AB 來解題。 6. 能正確運用角平分線及中垂線的性質來解 題。
教學時間配當
（2 堂課， 90 分鐘） 複習點、直線、線段…等概念。 直線能被平分嗎？線段能被平分嗎？如 何做？ 如何將一個角度平分？(活動四) 角平分線的性質與應用。(講解例題 2、3) 提醒上節課線段找中點的方式。 發現中垂線的意義與性質。(活動五)
2 分鐘
專心聽講並思 考。
8-s-02
和今天要用到的色紙有何關係 呢？ 2. 直線可以平分嗎？ 板書、教科 3 分鐘 書
仔細思考並回 答教師的問題。 討論、並專心聆 聽、操作色紙並 寫下記錄。 配合 課本
8-s-02
3. 線段可以平分嗎？如何做？對 色紙(紙卡) 10 分鐘 於平分後的線段，有何發現？ 童軍繩、直 釐清無法將一直線平分 但可以平 尺 ， 分一線段 在探討如何平分一線段 ， 時，引入平分角度的概念。 4. 角度可以平分嗎？如何做？對 海 報 、 紙 15 分鐘 於平分後的角度，有何發現？ 卡 、 量 角 器、教科書 5. 應用角平分線的定義及性質來 板書、教科 10 分鐘 解決問題。 書、直尺 6. 歸納並總結本節課授課內容。 學 習 單 ( 回 2 分鐘 三、綜合活動 家作業) 1. 指定回家作業。 3 分鐘 2. 提問問題。 3. 課後回答學生疑問並提供課後 輔導。 (第一節課結束)
角
平
分
線
與
中
垂
線
的
基
本
性
質
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中垂线
判断
( )1.三角形两边的垂直平分线交点在三角形一边上，则该三角形为等边三角形.
( )2.到三角形三顶点距离相等的点在三角形内.
( )3.到三角形距离三边相等的点是三条中垂线的交点.
( )4.四边形ABCD中共有一点P，使PA=PB=PC=PD，则∠A+∠C=180°.
( )5.和线段两端距离相等的点只有线段的中点.
( )6.和线段两端相等的点不一定在线段上.
选择
1.到三角形三个顶点距离相等的是( )
A.三条中线交点
B.三条高的交点
C.三条角平分线的交点
D.三条中垂线的交点
2.线段AB外有两点C，D(在AB同侧)使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°, ∠CAD=10°,则∠ACB=( )
A.90°
B.100°
C.110°
D.120°
3.BD为CE的中垂线，A在CB延长线上，∠C=34°,则∠ABE=( )
A.17°
B.34°
C.68°
D.136°
4.O为△ABC三边中垂线的交点，则O称为△ABC的( )
A.外心
B.内心
C.垂心
D.重心
5.若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为( )
A．钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形
6. 如图,△ABC中，∠ACB=90°, ∠A=30°AC的中垂线交AC于E.交AB于D，则图中60°的角共有( )
A．6个 B.5个 C.4个D3个
填空
1.△ABC中，AB=AC，P为形内一点，PB=PC，则P在的中垂线上，P还在∠的平分线上.
2.△ABC中，AB=AC=14，腰AB的中垂线交AC于D，△BCD周长为4cm,则BC= .
BE= .
3.△ABC中，AB=AC，∠A=120°,AB中垂线交BC于E，则
BC
4.正△ABC内一点O到三边距离相等，且OA=OB=OC.则∠BOC= .
5.△ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC=BC，则∠A= .
6.若PA=PB，DA=DB，则PD是AB的.
角平分线同步练习
判断题
1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等
2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上
3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合
4.角平分线是角的对称轴
填空题
1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.
2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.
3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________.
4.已知，如图（4），∠AOB =60°,CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，若CD =CE ，则∠COD +∠AOB =__________度.
5.如图（5），已知MP ⊥OP 于P ，MQ ⊥OQ 于Q ，S △DOM =6 cm 2，OP =3 cm ，则MQ
=__________cm.
（4） （5）
选择题
1.下列各语句中，不是真命题的是
A.直角都相等
B.等角的补角相等
C.点P 在角的平分线上
D.对顶角相等
2.下列命题中是真命题的是
A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等
B.相等的角是对顶角
C.余角相等的角互余
D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等
3.如左下图，在△ABC 中，∠ACB =90°,BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
4.如右上图，已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则①△ABE ≌△ACF ②△BDF ≌△CDE ③D 在∠BAC 的平分线
上，以上结论中，正确的是
A.只有①
B.只有②
C.只有①和②
D.①，②与③
解答题
1.如右图，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD .求证：AD 平分∠BAC .
2.已知：如图，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，求证：⊿DBE 的周长等于AB.
3.已知：如图，在⊿ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：AD ⊥EF.
C。