垂直平分线与角平分线

垂直平分线与角平分线

【专题简介】

我们生活在一个充满对称的世界中,从自然景观到艺术作品,从建筑物到交通标志,甚至日常生活用品中,人们都可以找到对称的影子.中垂线和角平分线是重要的轴对称条件,与之相关的辅助线技巧也非常丰富

【学习目标】

1.理解中要线的性质及其常规辅助线

2.找找与角平分线相关的辅助线证法

模块一 垂直平分线的性质和判定

平分线的性质和判定

垂直平分线的定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线 垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上

【例1】如图,AB=AC,BD=CD,E 是AD 廷长线上一点,求证:BE=CE

B C

A

E

【练1】证明:三角形三边的垂直平分线交于一点

【例2】△ABC 的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ；若∠BAC+∠DAE=150°,求∠BAC D

E A

B C

【练2】△ABC 中，∠B=22.5°，边AB 的垂直平分线交BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，交BC 边上高于G ，求证：EG=EC

E

D B C

A

模块二 角平分线

角平分线的性质与判定:

（1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线

（2）角平分线的性质定理

如果一条射线是一个角的平分线,那么它把这个角分成两个相等的角.在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

（3）角平分线的判定定理

如果一条射线的端点与角的顶点重合,且把一个角分成两个等角,那么这条射线是这个角的分线:在角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。

强化挑战

【例3】△ABC 中,D 为BC 中点,DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线于点E,EF ⊥AB 于F ；EG ⊥AC 的延长线于G.求证:BF=CG.

B A

【练3】(2015武汉二中八上期中)已知,∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线PQ 相交于点P ,PM ⊥AC,PN ⊥AB,垂足分别为M 、N,AB=3,AC=7,求CM 的长度？

M C A

【例4】如图,点C 为线段AB 上一点,△ACM 、△CBN 是等边三角形.请你证明:CF 平分∠

AFB B

C

【练4】（2014武珞路八上期中）如图,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=a,AD 、BE 交于点H,连CH.(1)求证:△ACD ≌△BCE;(2)求证:CH 平分∠AHE;(3)求∠CHE 的度数.(用含a 的式子表示

) E

A

C

【例5】如图,已知等腰△ABC,∠BAC=108°,AB=AC,BD 平分∠ABC 且交AC 于点

D,求证:AB+CD=BC B C A

【练5】如图,已知等腰△ABC,∠BAC=100°,AB=AC,BD 平分∠ABC 且交AC 于D,求证:BD+AD=BC

A

B C

【例6】(2014汉阳区八上期中)如图,在△ABC 中,∠B=60°,AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线,AD 、CE 相交于点F.求证:①AC=AE+CD ；②FE=FD

C B

A

【练6】已知Rt △ACB,其中∠C=90°,BE 、AF 分别是∠ABC 与∠CAB 的平分线交于点l ，IM ⊥BE 交AB 于M,IN ⊥AF 交AB 于N,求证:S BCN ICF S S

F

E

A B

【例7】已知△ABC 为等腰直角三角形,AB=CB,∠ABC90°，AE 平分∠CAB,过C 作CD ⊥AE 于D 求证

:AE=2CD.

D A

C

【练7】如图,已知Rt △ABC,∠B=90°,DA ⊥AC,∠BAC=∠ADC,DH ⊥BC 延长线于H,AG ⊥DH 于G,求证:G 是DH 中点

G

B A C

【例8】如图,锐角三角形△ABC 中,∠ABC=2∠C,BE 平分∠ABC,交AC 于E,AD ⊥BE 于D,求证:AC=2BD

A

B C

【练8】已知:如图,AD 平分∠BAC,AD=AB,CM ⊥AD 于M.猜想线段AB 、AC 之和与线段AM 有怎样的数量关系,并证明你的结论

B

C A

综合练习

【练9】如图AD=BC,DF=CA,∠C=∠D,AD 交BC 于点H,AE ⊥BC 于点E,点F 在BC 上

(1)若AN 是△AEC 的角平分线,求证S △AEN :S △ACN =AE:AC;

(2)当∠B=∠BAH+12°时,求∠B 的度数

B C

A

【练10】(外校每日一练)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(-t,0),点B的坐标是(t,0),点C的坐标是(0,t),其中t>0.点D和点E分别是AC延长线和反向延长线上的点,CD=AE.CF⊥BD于点F,直线CF交x轴于点G,直线GE交DB于点M

（1）求证:GB平分∠CGM;

（2）试判断∠D与∠GEC之间的数量关系,并说明你的理由;

y

第6讲8年级尖端班课后作业

【习1】已知:如图,BC＞AD,DC=AD,BD

平分∠ABC,求证:∠A+∠C=180°.

C

B

A

【习2】如图所示,在△ABC中,∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线

,BE⊥AD于E.求证:BE=-(AC-AB) D

C

【习3】已知,如图,四边形ABCD中,BD平分∠ABC,

∠A+∠C=180°,且AB>BC；求证:AD=DC

C

D

A