全等三角形之角平分线与垂直平分线模型

角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等

中垂线（垂直平分线）：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

角平分线和中垂线是我们学过全等之后，非常重要的两个内容，因此很多全等三角形的问题，都需要通过角平分线的性质和中垂线的性质进行切入来构造辅助线。

【精1】 如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE ＝a ，则下列说法正确的个数有( )

①DC '平分BDE ∠； ②BC

长为2)a ；

③△BC D '是等腰三角形； ④△CED 的周长等于BC 的长． A ． 1个； B ．2个； C ．3个； D ．4个

【精2】 如图，在△中，，平分交于，于交于，∥交于，连接．求证：

C

B

A

E

D

C

B

A

C'

E

D

C

B

A

ABC 90BAC ∠=︒BD ABC ∠AC D AE BC ⊥E BD G FG

AC BC F DF DF BC ⊥G

F

E

D

C

B

A

全等三角形经典模型系列精讲—角平分线和中垂线

精选例题

【精3】 如图（1）所示，OP 是MON ∠的平行线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等

三角形．

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图（2），在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ． 请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系．

（2）如图（3），在ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其他条件均不变，请问，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【精4】 在中，，是的平分线．是上任意一点．求证：．

（1）

P

N

M

O

（2）

F

E

D C

B

A

（3）

F

E

D

C

B

A

ABC ∆AB AC >AD BAC ∠P AD AB AC PB PC ->-C

D B P

A

【精5】 如图⑴，AB AC =，BD ，CD 分别平分ABC ∠，ACB ∠．问：

⑴图中有几个等腰三角形？

⑵过D 点作EF ∥BC ，如图⑵，交AB 于E ，交AC 于F ，图中又增加了几个等腰三角形？

⑶如图⑶，若将题中的ABC ∆改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？线段EF 与BE 、CF 有什么关系？

⑷如图⑷，BD 平分ABC ∠，CD 平分外角ACG ∠．DE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ．线段EF 与BE 、CF 有什么关系？

⑸如图⑸，BD 、CD 为外角CBM ∠、BCN ∠的平分线，DE ∥BC 交AB 延长线于E ，交AC 延长线于F ，线段EF 与BE 、CF 有什么关系？

【精6】 ABC ∆的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若150BAC DAE ∠+∠=︒，求BAC ∠．

【精7】 已知90AC BC C A =∠=︒∠，，的平分线AD 交BC 于D ，

过B 作BE 垂直AD 于E ．则BE 与12

AD 的关系为______________．

(1)

C

D B

A

E D C

B

A

E D

C

B

A

【精8】 如图，在Rt ABC △中，AB ＝AC ，A ∠＝90，D 为BC 上任意一点，且DF ⊥AB 于F ，DE ⊥

AC 于E ，M 为BC 的中点，试判断MEF △是什么形状的三角形，并证明你的结论．

【精9】 已知：三角形ABC 中，A ∠=90，AB AC =，D 为BC 的中点，

（1）如图，,E F 分别是,AB AC 上的点，且BE AF =，求证：DEF ∆为等腰直角三角形． （2）若,E F 分别为,AB CA 延长线上的点，仍有BE AF =，其他条件不变，那么，DEF ∆是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

F E

D C

B

A

F

E D

C

B

A

F

E

D

C

B

A

F

E

D

C

B

A