全等三角形与角平分线经典题型
初二数学全等三角形角平分线辅助知识点-+典型题含答案
初二数学全等三角形角平分线辅助知识点-+典型题含答案一、全等三角形角平分线辅助1．已知点C 是∠MAN 平分线上一点，∠BCD 的两边CB 、CD 分别与射线AM 、AN 相交于B ，D 两点，且∠ABC +∠ADC ＝180°．过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ．（1）如图1，当点E 在线段AB 上时，求证：BC ＝DC ；（2）如图2，当点E 在线段AB 的延长线上时，探究线段AB 、AD 与BE 之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN ＝60°，连接BD ，作∠ABD 的平分线BF 交AD 于点F ，交AC 于点O ，连接DO 并延长交AB 于点G ．若BG ＝1，DF ＝2，求线段DB 的长．2．（特例感知）（1）如图（1），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为直径，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，3CD =，4BD =，求点D 到直线AB 的距离．（类比迁移）（2）如图（2），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为O 的弦，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，探索线段AB ，BE ，BC 之间的数量关系，并说明理由．（问题解决）（3）如图（3），四边形ABCD 为O 的内接四边形，90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，72BD =，6AB =，求ABC 的内心与外心之间的距离．3．在平面直角坐标系中，点()5,0A -，()0,5B ，点C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为（3，0），试求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：OD 平分ADC ∠（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当2OCB DAO ∠=∠时，试探索线段AD 、OC 、DC 的数量关系，并证明．4．在ABC 中，60A ∠=︒，BD ，CE 是ABC 的两条角平分线，且BD ，CE 交于点F ．（1）如图1，用等式表示BE ，BC ，CD 这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；小东通过观察、实验，提出猜想：BE CD BC +=．他发现先在BC 上截取BM ，使BM BE =，连接FM ，再利用三角形全等的判定和性质证明CM CD =即可． ①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：ⅰ）在BC 上截取BM ，使BM BE =，连接FM ，则可以证明BEF 与 全等，判定它们全等的依据是 ；ⅱ）由60A ∠=︒，BD ，CE 是ABC 的两条角平分线，可以得出EFB ∠= °； ②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想BE CD BC +=的过程． （2）如图2，若40ABC ∠=︒ ，求证：BF CA =．5．阅读资料，解决问题．人教版《数学九年级（下册）》的30页有这样一个思考问题：问题：如图，在ABC △中，DE BC ∥交AB ，AC 于点D ，E ，如果通过“相似的定义”证明ADE ABC △△∽？分析：根据“两直线平行，同位角相等”容易得出三对对应角分别相等，再根据“平行线分线段成比例”的基本事实，容易得出AD AE AB AC =，所以这个问题的核心时如何证明“DE AE BC AC =”． 证明思路：过点E 作EF AB ∥交BC 于点F ，构造平行四边形BDEF ，得到DE BF =，从而将比例式中的DE ，BC 转化为共线的两条线段BF ，BC ，同时也构造了基本图形“”，得到BF AE BC AC=，从而得证．解决问题：（1）①类比资料中的证明思路，请你证明“三角形内角平分线定理”．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．已知：如图1，ABC △中，AD 是角平分线．求证：AB BD AC DC=．②运用“三角形内角平分线定理”填空：已知：如图2，ABC △中，AD 是角平分线，7AB =，4AC =，6BC =，则BD =__________．（2）我们知道，如果两个三角形有相同的高或者相等的高，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研究ABD△和ACD面积的比来证明三角形内角平分线定理．已知：如图3，ABC△中，AD是角平分线．求证：AB BD AC DC．6．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．7．在平面直角坐标中，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠CAB=90°，A（0，a），B（b，0）．-+（a-2）2=0，求△ABO的面积；（1）如图1，若2a b（2）如图2，AC与x轴交于D点，BC与y轴交于E点，连接DE，AD=CD，求证：∠ADB=∠CDE；（3）如图3，在（1）的条件下，若以P（0，-6）为直角顶点，PC为腰作等腰Rt△PQC，连接BQ，求证：AP∥BQ．8．如图，已知B (-1, 0)，C (1, 0)，A 为y 轴正半轴上一点，AB =AC ，点D 为第二象限一动点，E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于F ，且∠BDC =∠BAC .（1）求证：∠ABD =∠ACD ；（2）求证：AD 平分∠CDE ；（3）若在D 点运动的过程中，始终有DC =DA +DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？9．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD。
三角形全等(全等于角平分线的综合问题)
上节课未解之谜：【例5】已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AC的中点，AF⊥BD于E，交AC于F，连结DF 。
求证：∠ADB＝∠CDF。
全等与角平分线问题四大属性：风、雷、水、火。
属性一：风！角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
点评：果断！利索！够犀利！【例1】已知：如图，在四边形中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC。
求证：∠BAD＋∠C＝180°属性一：风！到这个角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
【例2】已知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC。
三角形全等属性二：雷！铁三角组合：角平分线、平行线、等腰三角形点评：几何里也有铁三角！？雷的我外焦内嫩呀！【例3】如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过F作DE∥BC ，交AB于D，交AC于E，若BD＋CE＝9，则线段DE之长为_____。
【例4】如图，在△ABC中，BD、CD 分别平分∠ABC和∠ACB。
ED∥AB，FD∥AC。
如果BC＝6cm ，则△DEF的周长_____。
属性三：水！如图1所示，OP平分∠MON ，A为OM上一点，C为OP上一点。
连接AC，在射线ON 上截取OB＝OA，连接BC(如图2)，易证△AOC≌△BOC。
点评：充分利用角平分线的对称性，霸气！【例5】如图所示，在△ABC中，AC＞AB，AD是内角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，求证：PC－PB＜AC－AB。
属性四：火！有垂直于角平分线的线，果断延长，就会得到一个等腰三角形。
点评：这是辅助线中相对比较高端的方法，此法必火！【例6】已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE 。
求证：CE＝12BD 。
本节课总结：遇到角平分线可以想到的四种作辅助线方法： 1．向两边做垂直(风) 2．“角、平、等”铁三角(雷) 3．截两边相等，构造全等(水)4．有垂直于角平分线的线，延长！(火)在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．如图，AD OB BC OA ⊥⊥，，垂足分别为D 、C ，AD 与BC 相交于点P ，若PA PB =，则1∠与2∠的大小是( ) A ．12∠=∠ B ．12∠>∠ C ．12∠<∠ D ．无法确定ODBPA21C2．如上右图，在△ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，8cm BC =，5cm BD =，则BE 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．无法确定BCAD E3．如图，在△ABC 中，90A ∠=︒，AB AC BD ==，DE ⊥BC ，则AE 与DC 的关系是( ) A ．大于 B ．等于 C ．小于 D ．不确定ACBDE4．如图，在△ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，直线l 是线段AB 的垂直平分线，则EBC ∠=( ) A ．72︒ B ．40︒ C ．36︒ D ．24︒BAClE5．如图，△ABC 的外角FAC ∠的平分线为AE ，170∠=︒，DC ∥AE ，则ADC ∠=( ) A ．40︒ B ．50︒ C ．60︒ D ．70︒BFCEAD216．如图，在△ABC 中，B ∠，C ∠相邻的外角的平分线交于点D ，点D 一定在△ABC 中( )线的延长线上。
(完整版)利用角平分线构造全等三角形
善于构造 活用性质安徽 张雷几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题.1.显“距离”, 用性质很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？ 分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．已知：如图，△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ，求证：点I 在∠ACB 的平分线上． 证明：过点I 作IH ⊥AB 、IG ⊥AC 、IF ⊥BC ，垂足分别是点H 、G 、F ． ∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上，且IH ⊥AB 、IG ⊥AC ∴IH=IG （角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理 IH=IF ∴IG=IF （等量代换） 又IG ⊥AC 、IF ⊥BC∴点I 在∠ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点．【例2】已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，•它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线．【分析】要证BP 为∠MBN 的平分线，只需证PD=PF ，而PA 、PC 为外角平分线，•故可过P 作PE ⊥AC 于E ．根据角平分线性质定理有PD=PE ，PF=PE ，则有PD=PF ，故问题得证．【证明】过P 作PE ⊥AC 于E ．∵PA 、PC 分别为∠MAC 与∠NCA 的平分线．且PD ⊥BM ，PF ⊥BN ∴PD=PE ，PF=PE,∴PD=PF又∵PD ⊥BM ，PF ⊥BN,∴点P 在∠MBN 的平分线上，D C A EHI F G2DCBA35EF14即BP是∠MBN的平分线．2.构距离,造全等有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题．例3．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB交BC于D点，问能否在AB•上确定一点E使△BDE的周长等于AB的长．请说明理由．解：过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求．因为∠C=90°，AC=BC，又DE⊥AB，∴DE=EB．∵AD平分∠CAB且CD⊥AC、ED⊥AB，∴CD=DE．由“HL”可证Rt△ACD≌Rt△AED．∴AC=AE．∴L△BDE=BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB =AE+EB =AB．例4．如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．求证：AD=CD+AB．证明：过M作ME⊥AD，交AD于E．∵DM平分∠ADC，∠C=90°．MC=ME．根据“HL”可以证得Rt△MCD≌Rt△MED，∴CD=ED．同理可得AB=AE．∴CD+AB=ED+AE=AD．即AD=CD+AB．3.巧翻折, 造全等以角平分线为对称轴，构造两三角形全等．即在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．例5.如图，已知△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，CD•垂直于∠ABC•的平分线BD 于D，BD交AC于E，求证：BE=2CD．分析：要证BE=2CD，想到要构造等于2CD的线段，结合角平分线，•利用翻折的方法把△CBD沿BD翻折，使BC重叠到BA所在的直线上，即构造全等三角形（△BCD ≌△BFD），然后证明BE和CF（2CD）所在的三角形全等．证明：延长BA、CD交于点F∵BD ⊥CF （已知） ∴∠BDC=∠BDF=90° ∵BD 平分∠ABC （已知） ∴∠1=∠2 在△BCD 和△BFD 中21()()()BD BD BDC BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已知公共边已证∴△BCD ≌△BFD （ASA ） ∴CD=FD ， 即CF=2CD∵∠5=∠4=90°，∠BDF=90° ∴∠3+∠F=90°，∠1+∠F=90°。
与中点、角平分线有关的全等三角形证明题
与中点、角平分线有关的全等三角形证明题(辅助线作法总结)(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--EB与中点有关的全等1．如图，△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，求证：AD ＜21(AB ＋AC)2．已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ， 求证：AF ＝EF ．3．△ABC 中，D 是BC 中点，DE ⊥DF ，E 在AB 边上，F 在AC 边上，判断并证明BE+CF 与EF 的大小？4．已知：如图，AB ∥CD ，EB =EC ，AB +CD =AD ． ①求证：AE ⊥DE ；ABCDEFAB CD A BCDEF②求证：DE 平分∠ADC ； ③求证：AE 平分∠BAD ．与中点相关的全等问题辅助线作法：中线倍长法与角平分线有关的全等1．P 是△ABC 外角∠DAC 平分线上一点，比较AB+AC 与PB+PC 的大小2.如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，P 是AD 上的任意一点，且AB ＞AC ，求证：AB-AC ＞PB-PC ．3．已知AM ∥BN ，AC 平分∠MAB ，BC 平分∠NBA,过C 作直线DE ，分别交AM 、BN 于点D 、E ，求证：AB=AD+BE ；ABCDPABCDEMNDCBAEDCB A4.如图，BD 平分∠MBN ，A ，C 分别为BM ，BN 上的点，且BC ＞BA ，E 为BD 上的一点，AE=CE ，求证：∠BAE+∠BCE=180°．5.如图：在△ABC 中，AB =AC ，∠A =100°，BD 平分∠ABC ，求证：BD +AD =BC ．6.已知：如图，AB∥CD，AE 平分∠BAD，DE 平分∠ADC，过E 的直线分别交AB 、DC 于B 、C ．①求证：AE ⊥DE ； ②求证：EB =EC ； ③求证：AB +CD =AD ．与角平分线相关的全等问题辅助线作法：截取相等法常见的基本图形1.如图，分别以△ABC的边AB、AC向外作等边△ABE和等边△ACD，直线BD与直线CE相交于点O．求证：CE=BD；HGFE D CBA2．已知：如图C 为线段AB 上一点，分别以AC 和BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，连结AE 、BD ，交于F ，AE 交CD 于G ，BD 交CE 于H ，连FC 、GH ． ① 求证：AE =BD ；② 求证：CG =CH ；③ 求证：GH ∥AB ；④ 求∠AFB 的度数；。
全等三角形中角平分线问题的处理方法
【全等三角形中角平分线问题的处理方法】一、引言在初中数学中，我们学习了很多关于三角形的性质和定理，其中包括全等三角形的判定方法和性质。
而全等三角形中角平分线问题作为一个常见的题型，涉及到多个知识点的综合运用。
在本文中，我们将探讨全等三角形中角平分线的性质和处理方法，希望能够帮助大家更深入地理解这一知识点。
二、全等三角形的性质回顾在研究全等三角形中角平分线问题之前，首先我们来回顾一下全等三角形的性质。
全等三角形指的是具有相同形状和大小的三角形，它们的对应边长相等，对应角相等。
根据全等三角形的性质，我们可以得出以下结论：1. 对应角相等：如果两个三角形的三个内角分别相等，则它们是全等三角形。
2. 对应边相等：如果两个三角形的对应边分别相等，则它们是全等三角形。
3. 全等三角形的判定：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）三种情况。
三、角平分线的概念和性质角平分线是指从一个角的顶点引出，将角平分为两个相等的角的线段。
在全等三角形中，角平分线问题通常涉及到角平分线的性质和运用。
1. 角平分线的性质：角平分线将一个角平分为两个相等的角，即内角平分线和外角平分线的性质。
2. 角平分线的判定：在全等三角形中，如果两个三角形的某个角的内角平分线相等，则可以得出这两个三角形是全等的结论。
3. 角平分线的运用：在解题过程中，可以利用角平分线的性质，结合全等三角形的性质，求解各种角度的大小和线段的长度。
四、全等三角形中角平分线问题的处理方法针对全等三角形中角平分线问题，我们可以采取以下处理方法：1. 从简到繁，由浅入深：可以从单一角平分线的情况开始，逐步引入多个角平分线的情况，展示全等三角形中角平分线问题的多样性和复杂性。
2. 运用角平分线的性质：在解题过程中，可以充分利用角平分线将角分为相等部分的性质，结合全等三角形的判定方法，进行角度和线段的推导和求解。
3. 举例分析：通过具体的例题分析，展示角平分线问题的解题思路和方法，并强调在解题过程中的关键步骤和技巧。
全等三角形的判定方法50道经典题
全等三角形的判定方法50道经典题以下是全等三角形判定的50道经典题：1. 给定两个三角形的三边长，判断它们是否全等。
2. 给定两个三角形的一个角和两个侧边，判断它们是否全等。
3. 给定两个三角形的两个角和一个侧边，判断它们是否全等。
4. 给定两个三角形的一个角和两个高，判断它们是否全等。
5. 给定两个三角形的两个角和一个高，判断它们是否全等。
6. 给定两个三角形的两个角和一个中线，判断它们是否全等。
7. 给定两个三角形的一个角和两个角平分线，判断它们是否全等。
8. 给定两个三角形的两个角和一个外接圆半径，判断它们是否全等。
9. 给定两个三角形的一个角和一个内切圆半径，判断它们是否全等。
10. 给定两个三角形的一个角和一个内心到边的距离，判断它们是否全等。
11. 给定两个三角形的两个角和一个重心到边的距离，判断它们是否全等。
12. 给定两个三角形的两个角和一个垂心到边的距离，判断它们是否全等。
13. 给定两个三角形的一个角和一个外心到边的距离，判断它们是否全等。
14. 给定两个三角形的两个角和一个外心到边的距离，判断它们是否全等。
15. 给定两个三角形的两个角和一个垂足到边的距离，判断它们是否全等。
16. 给定两个三角形的两个角和一个内心到边的角平分线的距离，判断它们是否全等。
17. 给定两个三角形的一个角和一个外心到边的角平分线的距离，判断它们是否全等。
18. 给定两个三角形的两个角和一个内角平分线的夹角，判断它们是否全等。
19. 给定两个三角形的一个角和两个角平分线的夹角，判断它们是否全等。
20. 给定两个三角形的两个角和一个内心到边的角平分线的夹角，判断它们是否全等。
21. 给定两个三角形的两个角和一个内心到边的角平分线的夹角，判断它们是否全等。
22. 给定两个三角形的一个角和两个角平分线的夹角之和，判断它们是否全等。
23. 给定两个三角形的两个角和一个内心到边的角平分线的夹角之和，判断它们是否全等。
【微专题】2023学年八年级数学上册常考点提分精练(人教版) 角平分线与全等三角形结合(解析版)
角平分线与全等三角形结合1．如图 A B 两点分别在射线OM ON 上 点C 在MON ∠的内部且CA CB = CD OM ⊥ CE ON ⊥ 垂足分别为D E 且AD BE =．(1)求证：OC 平分MON ∠；(2)如果10AO = 4BO = 求OD 的长．【答案】(1)见解析(2)7【解析】【分析】（1）证明Rt △ACD ≌Rt △BCE （HL ） 得CD =CE ．再由角平分线的判定即可得出结论；OC 平分∠MON ；（2）证Rt △ODC ≌Rt △OEC （HL ） 得OD =OE 设BE =AD =x ．则OE =OD =4+x 再由AO =OD +AD =4+2x =10 得x =3．即可得出答案．(1)证明：∵CD OM ⊥ CE ON ⊥∴90CDA CEB ∠=∠=︒．在Rt ACD △与Rt BCE 中 CA CB AD BE =⎧⎨=⎩∴Rt ACD △≌Rt BCE （HL ）∴CD CE =．又∵CD OM ⊥ CE ON ⊥∴OC 平分MON ∠．(2)解：在Rt ODC △与Rt OEC △中 CD CE OC OC =⎧⎨=⎩∴Rt ODC △≌Rt OEC △（HL ）∴OD OE =设BE AD x ==．∵4BO = ∴4OE OD x ==+∵AD BE x == ∴4210AO OD AD x =+=+=∴3x = ∴437OD =+=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识 证明Rt △ACD ≌Rt △BCE 和Rt △ODC ≌Rt △OEC 是解题的关键．2．已知∠MAN AC 平分∠MAN D 为AM 上一点 B 为AN 上一点．（1）如图①所示 若∠MAN ＝120° ∠ABC ＝∠ADC ＝90° 求证：AB +AD ＝AC ；（2）如图②所示 若∠MAN ＝120° ∠ABC +∠ADC ＝180° 则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）成立 见解析【解析】【分析】（1）根据AC 平分∠MAN 可得CB ＝CD ∠CAB ＝60° 即可证明RT △ACD ≌RT △ACB 可得AD ＝AB 再根据AC ＝2AB 即可解题；（2）根据AC 平分∠MAN 可得CB ＝CD ∠CAB ＝60° 易证∠FCD ＝∠BCE 即可证明△CDF ≌△CBE 可得BE ＝DF 再根据（1）中证明AC ＝AE +AF 即可解题．【详解】解：（1）证明：∵AC 平分∠MAN∴CB ＝CD ∠CAB ＝60°在Rt △ACD 和Rt △AC B 中AC AC CD CB =⎧⎨=⎩∴Rt △ACD ≌Rt △ACB （HL ）∴AD ＝AB∵∠ACB ＝90°﹣∠CAB ＝30°∴AC ＝2AB∴AD +AB ＝AC ；（2）成立 过C 作CE ⊥AN 于E CF ⊥AM 于F∵AC 平分∠MAN∴CB ＝CD ∠CAB ＝60°∵∠ABC +∠ADC ＝180°∴∠DCB ＝60°∵∠FCE ＝180°﹣∠BAD ＝60°∴∠FCE ＝∠BCD∵∠FCD +∠DCE ＝∠FCE ∠BCE +∠DCE ＝∠BCD∴∠FCD ＝∠BCE在△CDF 和△CBE 中90FCD BCE CF CE CFD CEB ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩∴△CDF ≌△CBE （ASA ）∴BE ＝DF∴AD +AB ＝AD +AE +BE ＝AD +DF +AE ＝AE +AF∵AC ＝AE +AF∴AD +AB ＝A C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质 考查了全等三角形对应边相等的性质 本题中求证△CDF ≌△CBE 是解题的关键．3．如图：在直角△AB C 中 ∠ABC ＝90° 点D 在AB 边上 连接C D ．（1）如图1 若CD 是∠ACB 的角平分线 且AD ＝CD 探究BC 与AC 的数量关系 说明理由； （2）如图2 若BC ＝BD BF ⊥AC 于点F 交CD 于点G 点E 在AB 的延长线上且AD ＝BE 连接GE 求证：BG +EG ＝A C ．【答案】（1）12BC AC =理由见解析；（2）见解析 【解析】【分析】 （1）如图1 过点D 作DM AC ⊥于点M 证明()Rt CDM Rt CDB HL ≌ 由全等三角形的性质得出CM CB = 则可得出结论；（2）作DK AB ⊥交BF 的延长线于点K 证明()Rt CAB Rt BKD AAS ≌ 得出BK AC = DK AB = 证明()DKG DEG SAS ∆≅∆ 得出KG EG = 则结论可得出．【详解】解：（1）12BC AC =． 理由如下：如图1 过点D 作DM AC ⊥于点MAD CD =M ∴为AC 的中点12CM AM AC ∴== CD 平分ACB ∠DM DB ∴=在Rt CDM 和Rt CDB 中CD CD DM DB=⎧⎨=⎩ ()Rt CDM Rt CDB HL ∴≌CM CB ∴=12BC AC ∴=； （2）证明：如图2 作DK AB ⊥交BF 的延长线于点KBF AC ⊥90AFK ∴∠=︒A K ∴∠=∠又90BDK ABC ∠=∠=︒ BC BD =()Rt CAB Rt BKD AAS ∴≌BK AC ∴= DK AB =AD BE =AD BD BE BD ∴+=+即AB DE =DK DE ∴=又DB BC = 90ABC ∠=︒45CDB ∴∠=︒45KDG EDG ∴∠=∠=︒又DG DG =()DKG DEG SAS ∴∆≅∆KG EG ∴=AC BK KG BG EG BG ∴==+=+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质 角平分线的性质 等腰三角形的性质 等腰直角三角形的性质等知识 解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．4．观察、猜想、探究：在△AB C 中 ∠ACB ＝2∠B ．（1）如图① 当∠C ＝90° AD 为∠BAC 的角平分线时 过D 作AB 的垂线DE,垂足为E 可以发现AB 、AC 、CD 存在的数量关系是 ；（2）如图② 当∠C ≠90° AD 为∠BAC 的角平分线时 线段AB 、AC 、CD 是否还存（1）中的数量关系？如果存在 请给出证明．如果不存在 请说明理由；（3）如图③ 当AD 为△ABC 的外角平分线时 线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想 并对你的猜想给予证明．【答案】（1）AB ＝AC +CD ；（2）存在 理由见解析；（3）AB ＝CD ﹣AC 理由见解析【解析】【分析】（1）根据∠ACB =90° ∠ACB =2∠B 得到∠B =45° CD ⊥AC 由线段垂直平分线的性质可得DE =CD 再证明∠B =∠EDB 得到BE =ED =CD 最后证明Rt △AED ≌Rt △ACD 得到AE =AC 即可得到结论；（2）在AB 上截取AG ＝AC 证明△ADG ≌△ADC 得到CD ＝DG ∠AGD ＝∠ACB 再由∠ACB ＝2∠B 得到∠B ＝∠GDB 则BG ＝DG ＝DC 即可得到AB ＝BG +AG ＝CD +AC ；（3）在AF 上截取AG ＝AC 由AD 为∠F AC 的平分线 得到∠GAD ＝∠CAD 可证△ADG ≌△ACD 得到CD ＝GD ∠AGD ＝∠ACD 即可推出∠ACB ＝∠FGD 再由∠ACB ＝2∠B 推出∠B ＝∠GDB 得到BG ＝DG ＝DC 则AB ＝BG ﹣AG ＝CD ﹣A C ．【详解】解：（1）AB ＝AC +CD 理由如下：∵∠ACB =90° ∠ACB =2∠B∴∠B =45° CD ⊥AC∵DE ⊥AB AD 平分∠BAC∴DE =CD ∠DEB =∠DEA =90°∴∠EDB =180°-∠B -∠DEB =45°∴∠B =∠EDB∴BE =ED =CD在Rt △AED 和Rt △AD C 中DE DC AD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △AED ≌Rt △ACD （HL ）∴AE =AC∴AB +AE +BE =AC +CD ；（2）还存在AB ＝CD +AC 理由如下：在AB 上截取AG ＝AC 如图2所示∵AD 为∠BAC 的平分线∴∠GAD ＝∠CAD∵在△ADG 和△AD C 中AG AC GAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ADC （SAS ）∴CD ＝DG ∠AGD ＝∠ACB∵∠ACB ＝2∠B∴∠AGD ＝2∠B又∵∠AGD ＝∠B +∠GDB∴∠B ＝∠GDB∴BG ＝DG ＝DC则AB ＝BG +AG ＝CD +AC ；（3）AB ＝CD ﹣AC 理由如下：在AF 上截取AG ＝AC 如图3所示∵AD 为∠F AC 的平分线∴∠GAD ＝∠CAD∵在△ADG 和△AC D 中AG AC GAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ACD （SAS ）∴CD ＝GD ∠AGD ＝∠ACD∵∠FGD =180°-∠AGD ∠ACB =180°-∠ACD∴∠ACB ＝∠FGD∵∠ACB ＝2∠B∴∠FGD ＝2∠B又∵∠FGD ＝∠B +∠GDB∴∠B ＝∠GDB∴BG ＝DG ＝DC则AB ＝BG ﹣AG ＝CD ﹣A C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定 角平分线的性质与定义 三角形外角的性质 三角形内角和定理 解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．5．已知：如图1 在ABC 中 AD 是BAC ∠的平分线．E 是线段AD 上一点（点E 不与点A 点D 重合） 满足2∠=∠ABE ACE ．（1）如图2 若18∠=︒ACE 且EA EC = 则DEC ∠=________︒ AEB ∠=_______︒． （2）求证：AB BE AC +=．（3）如图3 若BD BE = 请直接写出ABE ∠和BAC ∠的数量关系．【答案】（1）36 126；（2）见解析；（3）3180∠+∠=︒ABE BAC【解析】【分析】（1）18∠=︒ACE 且EA EC = 再结合三角形的外角定理即可求DEC ∠ 18∠=︒ACE 且EA EC = AD 是BAC ∠的平分线 2∠=∠ABE ACE 再结合三角形内角和定理即可求解AEB ∠； （2）在AC 上截取AF AB = 连接FE 可证()≌AEF AEB SAS 故EF EB = AFE ABE 从而可得FEC FCE ∠=∠ 所以EF FC =进而可证得：=+=+AC AF FC AB BE （3）由BD BE = 可得BED BDE ∠=∠ BED ABE BAE ∠=∠+∠ ∠=∠+∠BDE DAC ACD 又AD 是BAC ∠的平分线 可得ABE ACD ∠=∠ 故CE 是ACD ∠的平分线 所以BE 是ABD ∠的平分线 故∠=∠=∠ABE ACD DBE 又180ACB ABC BAC ∠+∠+∠=︒ 所以ABE ∠和BAC ∠的数量关系即可求解．【详解】（1）∵18∠=︒ACE 且EA EC =∴∠EAC =∠ACE =18°∴∠DEC =∠EAC +∠ACE =36°又∵AD 是BAC ∠的平分线∴∠BAD =∠CAD =18°∵2∠=∠ABE ACE∴∠ABE =36°∴1801836126∠=︒-︒-︒=︒AEB ；故答案为：36 126（2）在AC 上截取AF AB = 连接FE又∵AE =AE EAF EAB ∠=∠∴()≌AEF AEB SAS∴EF EB = AFE ABE∵∠AFE =∠ACE +∠FEC ∠ABE =2∠ACE∴FEC FCE ∠=∠∴EF FC =∴=+=+AC AF FC AB BE ；（3）∵BD BE =∴BED BDE ∠=∠∵BED ABE BAE ∠=∠+∠ ∠=∠+∠BDE DAC ACD∠CAD =∠BAE∴∠ACD =∠ABE∵∠ABE =2∠ACE∴∠ACD =2∠ACE∴CE 平分∠ACB∴点E 到CA 、CB 的距离相等又∵AD 是BAC ∠的平分线∴点E 到AC 、AB 的距离相等∴点E 到BA 、BC 的距离相等∴BE 是ABD ∠的平分线∴∠ABE =∠CBE∴∠=∠=∠ABE ACD DBE又∵180ACB ABC BAC ∠+∠+∠=︒∴2180∠+∠+∠=︒ABE ABE BAC即3180∠+∠=︒ABE BAC ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质、三角形的内角和定理、角平分线的性质、三角形全等的判定和性质 解题的关键是熟练掌握各知识点 准确作出辅助线 熟练运用数形结合的思想．6．已知：如图 D 为△ABC 外角∠ACP 平分线上一点 且DA ＝DB DM ⊥BP 于点M ．（1）若AC ＝6 DM ＝2 求△ACD 的面积；（2）求证：AC ＝BM ＋CM ．【答案】（1）6；（2）见解析【解析】【分析】（1）如图作DN ⊥AC 于N ．根据角平分线的性质定理可得DM ＝DN ＝2 由此即可解决问题； （2）由Rt △CDM ≌Rt △CDN 推出CN ＝CM 由Rt △ADN ≌Rt △BDM 推出AN ＝BM 由此即可解决问题．【详解】（1）解：如图作DN ⊥AC 于N ．∵DC 平分∠ACP DM ⊥CP DN ⊥CA∴DM ＝DN ＝2∴S △ADC ＝12•AC •DN ＝12×6×2＝6．（2）∵CD ＝CD DM ＝DN∴Rt △CDM ≌Rt △CDN∴CN ＝CM∵AD ＝BD DN ＝DM∴Rt △ADN ≌Rt △BDM∴AN ＝BM∴AC ＝AN ＋CN ＝BM ＋CM ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识 解题的关键是学会添加常用辅助线 构造全等三角形解决问题 属于中考常考题型．7．如图 在∠EAF 的平分线上取点B 作BC ⊥AF 于点C 在直线AC 上取一动点P ．在直线AE 上取点Q 使得BQ=BP ．（1）如图1 当点P 在点线段AC 上时 ∠BQA +∠BP A = °；（2）如图2 当点P 在CA 延长线上时 探究AQ 、AP 、AC 三条线段之间的数量关系 说明理由； （3）在满足（1）的结论条件下 当点P 运动到在射线AC 上时 直接写出AQ 、AP 、PC 三条线段之间的数量关系为： ．【答案】（1）180；（2）2AQ AP AC -=；理由见解析；（3）2AQ AP PC -=或2AP AQ PC -=．【解析】【分析】（1）作BM ⊥AE 于点M 根据角平分线的性质得到BM =BC 证明Rt BMQ ∆Rt ()BPC HL ∆≌,继而证明BQA BPC ∠=∠解题即可；（2）作BM AE ⊥于M 先证明Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ） 继而得到ABM ABC ∠=∠ AM AC = BM BC = 再证明Rt Rt BMQ BCP ∆∆≌（HL ） 从而得到PC QM = 据此解题即可；（3）分两种情况讨论 当点P 在线段AC 上时 或当点P 在线段AC 的延长线上时 分别画出适合的图 再由QBM PBC ∆∆≌（AAS ）可得QBM PBC ∠=∠ QM PC = BM BC = 再由Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ）可得AM AC = 利用线段和差计算即可．【详解】（1）证明：过点B 作BM AE ⊥于M∵BA 平分EAF ∠ BC AF ⊥∴BM BC =在Rt BMQ ∆和Rt BPC ∆中BQ BP BM BC =⎧⎨=⎩∴Rt Rt BMQ BPC ∆∆≌（HL ）∴BQA BPC ∠=∠又∵180BPC BPA ∠+∠=︒∴180BQA BPA ∠+∠=︒故答案为180；（2）解：2AQ AP AC -=理由如下：如图2 作BM AE ⊥于M∵AB 平分∠EAF BC AF ⊥∴BM =BC 90BMA BCA ∠=∠=︒在Rt ABM ∆和Rt ABC ∆中BM BC AB AB=⎧⎨=⎩ ∴Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ）∴ABM ABC ∠=∠ AM AC =在Rt BMQ ∆和Rt BCP ∆中BQ BP BM BC =⎧⎨=⎩∴Rt Rt BMQ BCP ∆∆≌（HL ）∴PC QM =∴()()2AQ AP AM QM PC AC AM AC AC -=+--=+=（3）当点P 在线段AC 上时 如图 2AQ AP PC -=理由如下：作BM AE ⊥于M∵BC ⊥AF∴90BMA BCA ∠=∠=︒∵180BQA BPA ∠+∠=︒ ∠BPC +∠BP A =180°∴∠BPC =∠BQM在QBM ∆和PBC ∆中BMQ BCP BQM BPC QB PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴QBM PBC ∆∆≌（AAS ）∴QBM PBC ∠=∠ QM PC = BM BC =在Rt ABM ∆和Rt ABC ∆中BM BC AB AB =⎧⎨=⎩∴Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ）∴AM AC =∴()2AQ AP AM QM AC PC QM PC PC -=+--=+=当点P 在线段AC 的延长线上时 如图 2AP AQ PC -=理由如下：作BM AE ⊥于M∵BC ⊥AF∴90BMA BCA ∠=∠=︒∵180BQA BPA ∠+∠=︒ ∠BQM +∠BQA =180°∴∠BPC =∠BQM在QBM ∆和PBC ∆中BMQ BCPBQM BPCQB PB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴QBM PBC ∆∆≌（AAS ）∴QBM PBC ∠=∠ QM PC = BM BC =在Rt ABM ∆和Rt ABC ∆中BM BCAB AB =⎧⎨=⎩∴Rt Rt ABM ABC ∆∆≌（HL ）∴AM AC =∴()2AP AQ AC CP AM QM MQ PC PC -=+--=+=故答案为：2AQ AP PC -=或2AP AQ PC -=．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质 角平分线性质 分类讨论思想等知识 掌握相关知识利用辅助线画出准确图形是解题关键．8．如图 在ABC 中 BAD DAC ∠=∠ DF AB ⊥ DM AC ⊥ 10AF cm = 14AC cm = 动点E 以2/cm s 的速度从A 点向F 点运动 动点G 以1/cm s 的速度从C 点向A 点运动 当一个点到达终点时 另一个点随之停止运动 设运动时间为t ．（1）CM = :AE CG = ；（2）当t 取何值时 DFE △和DMG △全等；（3）在（2）的前提下 若:119:126BD DC = 228cm AED S =△ 求BFD S ．【答案】（1）4 2；（2）143；（3）293cm 2．【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质可证Rt △AFD ≌Rt △AMD 得AF =AM 从而求出即可；（2）分两种情况进行讨论：①当0＜t ＜4时 ②当4≤t ＜5时 分别根据△DFE ≌△DMG 得出EF =GM 据此列出关于t 的方程 进行求解即可．（3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比 即可求得答案．【详解】（1）∵∠BAD =∠DAC DF ⊥AB DM ⊥AC ∴DF =DM在Rt △AFD 和Rt △AM D 中DF DMAD AD =⎧⎨=⎩∴Rt △AFD ≌Rt △AMD （HL ）；∴10AF AM cm ==14104CM AC AM cm ∴=-=-=2AE t = CG t = :2AE CG ∴=（2）①当0＜t ＜4时 点G 在线段CM 上 点E 在线段AF 上．EF ＝10﹣2t MG ＝4﹣t∴10﹣2t＝4﹣t∴t＝6（不合题意舍去）；②当4＜t＜5时点G在线段AM上点E在线段AF上．EF＝10﹣2t MG＝t﹣4∴10﹣2t＝t﹣4∴t＝143；综上所述当t＝143时△DFE与△DMG全等；（3）∵t＝14 3∴AE＝2t＝28 3∵DF＝DM∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD＝119：126 ∵AC＝14∴AB＝119 9∴BF＝AB﹣AF＝1199﹣10＝299∵S△ADE：S△BDF＝AE：BF＝283：299S△AED＝28cm2∴S△BDF＝293cm2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积公式以及动点问题解题的难点在于第二问中求运动的时间此题容易漏解和错解．9．在平面直角坐标系中A（﹣3 0）、B（0 7）、C（7 0）∠ABC＋∠ADC＝180° BC⊥C D．（1）如图1①求证：∠ABO＝∠CAD；②AB与AD是否相等？请说明理由；（2）如图2 E为∠BCO的邻补角的平分线上的一点且∠BEO＝45° OE交BC于点F求BF 的长．【答案】（1）①见解析；②AB＝AD见解析；（2）7【解析】【分析】(1）根据四边形的内角和定理、直角三角形的性质证明；(2)过点A作AF⊥BC于点F作AE⊥CD的延长线于点E△ABF≌△ADE得到AB＝AD(3)过点E作EH⊥BC于点H作EG⊥x轴于点G根据角平分线的性质得到EH=EG证明△ABF ≌△ADE得到EB=EO根据等腰三角形的判定定理解答.【详解】证明：①在四边形ABC D中∵∠ABC＋∠ADC＝180°∴∠BAD＋∠BCD＝180°∵BC⊥CD∴∠BCD＝90°∴∠BAD＝90°∴∠BAC＋∠CAD＝90°∵∠BAC＋∠ABO＝90°∴∠ABO＝∠CAD；解：②AB＝AD如图：过点A 作AF ⊥BC 于点F 作AE ⊥CD 的延长线于点E ∵B （0 7） C （7 0）∴OB ＝OC∴∠BCO ＝45°∵BC ⊥CD∴∠BCO ＝∠DCO ＝45°∵AF ⊥BC AE ⊥CD∴AF ＝AE ∠F AE ＝90°∴∠BAF ＝∠DAE在△ABF 和△ADE 中BAF DAE AF AEAFB AED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABF ≌△ADE （ASA ）∴AB ＝AD（3）过点E 作EH ⊥BC 于点H 作EG ⊥x 轴于点G∵E 点在∠BCO 的邻补角的平分线上∴EH ＝EG∵∠BCO ＝∠BEO ＝45°∴∠EBC ＝∠EOC在△EBH 和△EOG 中EBH EOG EHB EGO EH EG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EBH ≌△EOG （AAS ）∴EB ＝EO∵∠BEO ＝45°∴∠EBO ＝∠EOB ＝67.5° 又∠OBC ＝45°∴∠BOE ＝∠BFO ＝67.5°∴BF ＝BO ＝7.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质 掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.10．如图所示 直线AB 交x 轴于点A （a 0） 交y 轴于点B （0 b ）且a 、b2(4)0a -= C 的坐标为（﹣1 0） 且AH ⊥BC 于点H AH 交OB 于点P ．（1）如图1 写出a 、b 的值 证明△AOP ≌△BOC ；（2）如图2 连接OH 求证：∠OHP ＝45°；（3）如图3 若点D 为AB 的中点 点M 为y 轴正半轴上一动点 连接MD 过D 作DN ⊥DM 交x 轴于N 点 当M 点在y 轴正半轴上运动的过程中 求证：S △BDM ﹣S △ADN ＝4．【答案】（1）a ＝4 b ＝﹣4 见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）先依据非负数的性质求得a 、b 的值从而可得到OA OB = 然后再90COB POA ∠=∠=︒OAP OBC ∠=∠ 最后 依据ASA 可证明OAP OBC ∆∆≌；（2）要证45OHP ∠=︒ 只需证明HO 平分CHA ∠ 过O 分别作OM CB ⊥于M 点 作ON HA ⊥于N 点 只需证到OM ON = 只需证明COM PON ∆∆≌即可；（3）连接OD 易证ODM ADN ∆∆≌ 从而有ODM ADN S S ∆∆= 由此可得12BDM ADN BDM ODM BOD AOB S S S S S S ∆∆∆∆∆∆-=-==． 【详解】（1）解：2(4)0a -=0a b ∴+= 40a -=4a ∴= 4b =-则4OA OB ==．AH BC ⊥即90AHC ∠=︒ 90COB ∠=︒90HAC ACH OBC OCB ∴∠+∠=∠+∠=︒HAC OBC ∴∠=∠．在OAP ∆与OBC ∆中90COB POA OA OBOAP OBC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()OAP OBC ASA ∴∆∆≌；（2）证明：过O 分别作OM CB ⊥于M 点 作ON HA ⊥于N 点．在四边形OMHN 中 36039090MON ∠=︒-⨯︒=︒90COM PON MOP ∴∠=∠=︒-∠．OAP OBC ∆∆≌OC OP ∴=在COM ∆与PON ∆中90COM PON OMC ONP OC OP ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()COM PON AAS ∴∆∆≌OM ON ∴=．OM CB ⊥ ON HA ⊥HO ∴平分CHA ∠1452OHP CHA ∴∠=∠=︒； （3）证明：如图：连接OD ．90AOB ∠=︒ OA OB = D 为AB 的中点OD AB ∴⊥ 45BOD AOD ∠=∠=︒ OD DA BD ==45OAD ∴∠=︒ 9045135MOD ∠=︒+︒=︒135DAN MOD ∴∠=︒=∠．MD ND ⊥即90MDN ∠=︒90MDO NDA MDA ∴∠=∠=︒-∠．在ODM ∆与ADN ∆中MDO NDA DOM DAN OD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ODM ADN ASA ∴∆∆≌ODM ADN S S ∆∆∴=．11114442222BDM ADN BDM ODM BOD AOB S S S S S S AO BO ∆∆∆∆∆∆∴-=-===⨯⋅=⨯⨯⨯=． 【点睛】本题是一次函数综合题 考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识 在解决第（3）小题的过程中还用到了等积变换而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键．11．在△AB C 中 ∠BAC ＝90° AB ＝A C ．（1）如图1 若A 、B 两点的坐标分别是A （0 4） B （﹣2 0） 求C 点的坐标；（2）如图2 作∠ABC 的角平分线BD 交AC 于点D 过C 点作CE ⊥BD 于点E 求证： BD ＝2CE【答案】（1）（4 2）；（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）作CM ⊥OA 垂足为M 证明△ABO ≌△CAM 即可得解；（2）延长CE 、BA 相交于点F 证明△ABD ≌△ACF （ASA ） 得到BD =CF 证明△BCE ≌△BFE （ASA ） 即可得解；【详解】（1）作CM ⊥OA 垂足为M∵∠AOB =∠BAC =90°∴∠BAO +∠CAM =90° ∠BAO +∠ABO =90°∴∠ABO =∠CAM在ABO 和CAM 中AOB CMA ABO CAM AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABO ≌△CAM∴MC =AO =4 AM =BO =2 MO =AO -AM =2∴点C 坐标（4 2）；（2）如图2 延长CE 、BA 相交于点F∵∠EBF+∠F =90° ∠ACF+∠F =90°∴∠EBF =∠ACF在ABD △和ACF 中ABD ACF AB ACBAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABD ≌△ACF （ASA ）∴BD=CF在BCE 和BFE △中CBE FBE BE BEBEF BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BCE ≌△BFE （ASA ）∴CE =EF∴BD =CF =2 CE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质 角平分线的性质 准确分析证明是解题的关键． 12．如图1 点A 、D 在y 轴正半轴上 点B 、C 分别在x 轴上 CD 平分∠ACB 与y 轴交于D 点 ∠CAO ＋∠BDO ＝90°．（1）求证：AC ＝BC ；（2）如图2 点C 的坐标为(6 0) 点E 为AC 上一点 且∠DEA ＝∠DBO 求BC +EC 的值；（3）如图3 过D 作DF ⊥AC 于F 点 点H 为FC 上一动点 点G 为OC 上一动点 当H 在FC 上移动、点G 在OC 上移动时 始终满足∠GDH ＝∠GDO +∠FDH ．试判断FH 、GH 、OG 这三者之间的数量关系 写出你的结论并加以证明．【答案】（1）证明见解析；（2）BC +EC =12；（3）GH =FH +OG 证明见解析．【解析】【分析】（1）由题意∠CAO ＋∠BDO ＝90° 可知∠CAO =∠CBD 再结合CD 平分∠ACB 所以可由AAS 定理证明△ACD ≌△BCD 由全等三角形的性质可得AC =BC ；（2）过D 作DN ⊥AC 于N 点 可证明Rt △BDO ≌Rt △EDN 、△DOC ≌△DNC 因此 BO =EN 、OC =NC 所以 BC +EC =BO +OC +NC -NE =2OC 即可得BC +EC 的长；（3）在x 轴的负半轴上取OM =FH 可证明△DFH ≌△DOM 、△HDG ≌△MDG 因此 MG =GH 所以 GH =OM +OG =FH +OG 即可证明所得结论．【详解】（1）证明：∵x 轴⊥y 轴∴∠CBD ＋∠BDO ＝90°∵∠CAO ＋∠BDO ＝90°∴∠CAO =∠CB D ．∵CD 平分∠ACB∴ACD BCD ∠=∠在△ACD 和△BC D 中ACD BCD CAO CBD CD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCD （AAS ）．∴AC =BC AD =DE ；（2）解：由（1）知∠CAD =∠DEA =∠DBO∴BD =AD =DE过D 作DN ⊥AC 于N 点 如右图所示：∵∠ACD =∠BCD∴DO =DN在Rt △BDO 和Rt △EDN 中BD DE DO DN=⎧⎨=⎩ ∴Rt △BDO ≌Rt △EDN （HL ）∴BO =EN ．在△DOC 和△DN C 中90DOC DNC OCD NCD DC DC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DOC ≌△DNC （AAS ）可知：OC =NC ；∴BC +EC =BO +OC +NC -NE =2OC =12；（3）GH =FH +OG ．证明：由（1）知：DF =DO在x 轴的负半轴上取OM =FH 连接DM 如图所示： 在△DFH 和△DOM 中90DF DO DFH DOM OM FH ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△DFH ≌△DOM （SAS ）．∴DH =DM ∠1=∠ODM ．∴∠GDH =∠1+∠2=∠ODM +∠2=∠GDM ． 在△HDG 和△MDG 中DH DMGDH GDM DG DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△HDG ≌△MDG （SAS ）．∴MG =GH∴GH =OM +OG =FH +OG ．【点睛】本题考查坐标与图形 全等三角形的性质和判定 角平分线的性质．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．。
(完整)全等三角形和角平分线专题讲解和练习题
C EODBA21C EDB A21OA全等三角形专题讲解专题一 全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种： 1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”)2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“SAS"） 3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”）4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS"）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．三角形全等是证明线段相等,角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢?(1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知:如图1，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O,且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．图1（2）条件不足,会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分,需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维,逐步分析，探索结论成立的条件,从而得出答案．例2 如图2，已知AB=AD ，∠1=∠2,要使△ABC ≌△ADE,还需添加的条件是（只需填一个）_____． 图2（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时,当边或角的关系不明显时,可通过添加辅助线作为桥梁,沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知:如图3，AB=AC,∠1=∠2． 求证：AO 平分∠BAC ．分析：要证AO 平分∠BAC ，即证∠BAO=∠BCO,要证∠BAO=∠BCO,只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可．图3GABF DEC ODA CBFCEDBA（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中,∠ACB=90º，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ．说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种:①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题,体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件 限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数 学知识按以下要求设计一测量方案﹒（1）画出测量图案﹒（2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒ 图5 (3)计算A 、B 的距离(写出求解或推理过程，结果用字母表示)﹒分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1）题,测量图案如图5所示．第（2）题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB,这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第（3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．解：（1)如图6示．(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O,在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD ＝OB,这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．（3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ． 又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ．∴CD=AB=a ． 图6评注：本题的背景是学生熟悉的,提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力,培养了 学生用数学的意识﹒练习:1．已知：如图7，D 是△ABC 的边AB 上一点,AB ∥FC ，DF 交AC 于点E ，DE=FE ． 求证：AE=CE ．C ED B AAO Q M CPBN A D C PBHF EGAD CBADCFBEA2．如图8，在△ABC 中，点E 在BC 上,点D 在AE 上，已知∠ABD=∠ACD ，∠BDE=∠CDE ．求证：BD=CD ．3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法:如图9所示，先在∠AOB 的两边上取OP=OQ ，再取PM=QN,连接PN 、QM,得交点C ，则射线OC 平分∠AOB ．你能说明道理吗？4．如图10，△ABC 中，AB=AC,过点A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图10中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明．5．已知:如图11，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形,并给予证明．所添条件为__________,你得到的一对全等三角形是△_____≌△_____．6．如图12，∠1=∠2，BC=EF ，那么需要补充一个直接条件_____（写出一个即可）,才能使△ABC ≌△DEF ．7图13，在△ABD 和△ACD 中，AB=AC,∠B=∠C ．求证：△ABD ≌△ACD ．AODCBAFCGBEAF DCB EOED218．如图14，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．9．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证:EG=GF．10．已知：如图16，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AF⊥CD．求证：∠B=∠E．11．如图17，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是(）﹒（A）带①和②去 (B）带①去（C)带②去（D）带③去12．有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图18中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，并说明其中的道理．13．如图19，将两根钢条AA’、BB’的中点O连在一起,使AA’、BB’可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件,则A' B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OAB的理由是（ )（A)边角边（B）角边角（C）边边边（D）角角边专题二角的平分线从一个角的顶点出发,把一个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线．角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分,而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴．因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等,或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路．(1)利用角的平分线的性质证明线段或角相等F ED CB A 21A FH DCGBEADCBE AF DC BE C E D例6 如图20，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ， BD ⊥OA 于D ，交点为C ．求证：AC=BC ．说明：本题若用全等方法证明点C 到OA 、OB 距离相等,浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法,不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理，以后再学新定理,应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法． 例7 已知:如图21,△ABC 中, BD=CD ，∠1＝∠2．求证：AD 平分∠BAC ．说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．（2）利用角的平分线构造全等三角形 ①过角平分线上一点作两边的垂线段例8 如图22，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ． 求证：AE=ED ．分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E 是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E 分别作AB 、BC 、CD 的垂线段．②以角的平分线为对称轴构造对称图形例9 如图23，在△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ．分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB 上截取AE=AC,连接DE ，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB 分成AE 和BE 两段，只需证明BE=CD 就可以了．③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线 例10 如图24,在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．分析：注意到AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD ，于是可延长CE 交AB 于点F,即可构造全等三角形．．（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图25,在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 交AC 于点E ．易证△AED 是等腰三角形． 因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形．CF E BADQPCBACB AD EA例11 如图26，在△ABC 中，AB=AC,BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．求证：CD=21BE ．分析：要证CD=21BE ，可将BE 分成两条线段，然后再证明CD 与这两条线段都相等．练习：1．如图27，在△ABC 中，∠B=90º,AD 为∠BAC 的平分线，DF ⊥AC 于F,DE=DC ．求证：BE=CF ．2．已知:如图28，AD 是△ABC 的中线,DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ．求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线；（2）AB=AC ．3．在△ABC 中,∠BAC=60º，∠C=40º，AP 平分∠BAC 交BC 于P,BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ． 求证：AB+BP=BQ+AQ ．4．如图30，在△ABC 中,AD 平分∠BAC ，AB=AC+CD ． 求证：∠C=2∠B ．5．如图31，E 为△ABC 的∠A 的平分线AD 上一点，AB ＞AC ． 求证:AB —AC ＞EB-EC ．CB AD 4321C E BADF CE BAD CEBADCBADACBD6．如图32,在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD=CD ，BD 平分∠ABC ． 求证：∠A+∠C=180º．7．如图33所示，已知AD ∥BC ，∠1=∠2,∠3=∠4,直线DC 过点E 作交AD 于点D ，交BC 于点C ．求证：AD+BC=AB ．8．已知,如图34，△ABC 中，∠ABC=90º，AB=BC,AE 是∠A 的平分线,CD ⊥AE 于D ．求证:CD=21AE ．9．△ABC 中，AB=AC,∠A=100º，BD 是∠B 的平分线．求证：AD+BD=BC ．10．如图36，∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD+CE=9，则线段DE 的长为（ )A ．9B ．8C ．7D ．611．如图37，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD 交BC 于点D ，且D 是BC 的中点．求证：AB=AC ．A CF E B M D12．已知：如图38，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 是BC 的中点，EF ∥AD ，交AB 于M ，交CA 的延长线于F ．求证：BM=CF ．。
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全等三角形与角平分线
一、知识概述
1、角的平分线的作法
(1)在/ AOB勺两边OA 0B上分别截取OD OE使Ot=OE
(2)分别以D E为圆心，以大于1/2 DE长为半径画弧，两弧交于/ AOB内
点C.
(3)作射线OC则OC为/ AOB的平分线(如图)
指出：(1)作角的平分线的依据是三角形全等的条件一一“ SSS
(2)角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接.
2、角平分线的性质
在角的平分线上的点到角的两边的距离相等•
指出：(1)这里的距离是指点到角两边垂线段的长•
(2)该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依据•即不需再用老方法一一全等三角形•
(3)使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”.
3、角平分线的判定
至V角的两边的距离相等的点在角的平分线上•
指出：(1)此结论是角平分线的判定，它与角平分线的性质是互逆的•
(2)此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么过角的顶点和该点的射线必平分这个角.
4、三角形的角平分线的性质
三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等.
指出：(1)该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于
一点，再证明该交点在第三线上.
(
2)该结论多应用于几何作图，特别是涉及到实际问题的作图题
.
二、典型例题剖析 例1 如图所示，四边形 ABCD 中, AB=AD AC 平分/ BCD AE ±BC, AF 丄CD 求证: △ ABE ^A ADF
OB=OC
C •等于EF 例 4、（12分）如图四边形 ABC 冲，AC 平分/ BA
D C
E L AB 于 E ，/
D +Z B=1800,
求证：AD + AB=2AE
例2、如图所示，BE 。
卩是厶ABC 的高，BE 、CF 相交于O,且0A 平分/ BAC 求证:
例3、如图，D 为BC 的中点，DEL DF, E 、F 分别在AB AC 边上，贝U BE + CF () A •大于EF B •小于EF
D .与EF 的大小无法比较
例5、已知：如图，在四边形ABC冲，AB>BC BD平分"聪山十四加=1狩.求
证：AD=CD
5 G
例6、如图，已知在厶ABC中, Z B=600,^ ABC的角平分线AD CE相交于0点,
求证：AE+ CD=AC
三、中考解析
1、在厶ABC Z C=90°, BC=16cm Z A 的平分线AD交BC于D,且CD： DB=3 : 5, 则D到AB的距离等于（）
A . 6cm
B . 7cm
C. 8cm D . 9cm 2、如图，D是厶ABC的一个外角的平分线上一点，求证：AB+ A«D聊DC
3、如图，在厶ABC中，D为BC的中点，DEL BC,交/ BAC的平分线AE于E, 于F, EGL AC交AC的延长线于G,求证：BF=CG
于E,与CD相交于点F. H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G.
⑴求证：BF=AC
1
⑵求证：CE』BF；
(3)CE与BG的大小关系如何试证明你的结论.
5、如图，已知/ 仁/ 2，P为BN上一点，且PD L BC于D, AB+ BC=2BD求证: / BAF^Z BC!=180°
6如图，△ ABC中, AM是BC边上的中线，求证
C
7、已知：如图，在Rt△ ABC中，AB=AC / BA(=90°,/仁/2, CE丄BD的延长线于E.
求证：BD=2CE。