20全等三角形中的角平分线-学生版

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三角形中的特殊模型-平分平行(射影)构等腰、角平分线第二定理模型(解析版)

三角形中的特殊模型-平分平行(射影)构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

平分平行(射影)构等腰模型、角平行线第二定理模型(内角平分线定理和外角平分线定理模型)平分平行(射影)构等腰1)角平分线加平行线必出等腰三角形．模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。

(简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结)。

平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。

图1图2图3条件：如图1，OO'平分∠MON，过OO'的一点P作PQ⎳ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。

条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC。

结论：△BDE是等腰三角形。

条件：如图3，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。

2)角平分线加射影模型必出等腰三角形．→图4条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB=∠CDA=90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。

1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与OA、OB分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于12CD为半径画弧，两弧相交于点E，过OE上一点M作MN∥OA，与OB相交于点N，∠MOB=50°，则∠AOM=．【答案】25度/25°【分析】通过两直线平行，同位角相等，再利用角平分线定义求解即可．【详解】∵MN∥OA，∴∠AOB=∠MNB=50°，由题意可知：OM平分∠AOB，∠AOB=25°．故答案为：25°．∴∠AOM=∠MOB=12【点睛】本题考查了基本作图，作已知角的角平分线及其定义和平行线的性质，解此题的关键是熟练掌握基本作图和平行线的性质及角平分线定义的应用．2(2023·浙江·八年级期中)如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于．【答案】13【分析】根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且ED∥BC，可得出OD=OB，OE=OC，所以三角形ADE的周长是AB+AC.【详解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠OCE=∠OCB，由∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO，∴DO=DB，EO=EC，·又∵AB=5，AC=8，∴ADE的周长=AD+DE+AE=AB+AC=13【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定，其中运用角平分线的定义和平行线的性质创造等腰三角形的条件是关键．3(2023·广东·八年级期末)如图，▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF 平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为cm．【答案】1【分析】根据角平分线的概念、平行线的性质及等腰三角形的性质，可分别推出AE=AB，DF=DC，进而推出EF=AE+DF-AD．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB=∠EBC，AD=BC=5cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，则∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=3cm，同理可证：DF=DC=AB=3cm，则EF=AE+FD-AD=3+3-5=1cm．故答案为：1．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是运用角平分线的概念和平行线的性质，由等角推出等边．4(2023.江苏八年级期中)如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的角平分线交AD与F，交AB于E，FG⎳BC交AB于G．AE=4cm，AB=12cm，则BG=，GE=．【答案】4cm；4cm．【详解】过E作EH垂直BC交BC于H点，易证△AEC≌△EHC；由角度分析易知∠AEF=∠AFE，即AE=AF，则有EH=EA=AF；又可证△AGF≌△BHE，则AG=EB=12-4=8，则BG=8-4=4，GE=4．【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型．角平行线第二定理(内角平分线定理和外角平分线定理)模型1)内角平分线定理图1图2图3条件：如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线。

人版八年级数学[上册]第十二章《全等三角形的综合、角平分线》讲义(有答案解析)

第7讲全等三角形的综合、角平分线⑴平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型⑴、角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵、到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍，ABOPPOBAABOP角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．考点1、三角形全等综合1、如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L 上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（）A. SASB. ASAC. SSS D .AAS2、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（ B ）A．PO B．PQ C．MO D．MQ（1）（2）3、如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚是35cm，点B与点O的垂直距离AB长是20cm，在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC=35cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD=20cm，连接OD，然后，沿着D0的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出．这是什么道理？4、1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q 处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点0处，让士兵丈量他所站立位置B与0点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．试问：法军能命中目标吗？请说明理由．用帽舌边缘视线法还可以怎样测量，也能测出河岸两边的距离吗？5、某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A，B的距离．乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离．丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离．（1）以上三位同学所设计的方案，可行的有______；（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．1、已知: 如图,AB=AE,BC=ED, ∠B= ∠E,AF ⊥CD,F 为垂足, 求证:CF=DF.2、已知：如图，AB=CD，BC=DA，AE=CF．求证：BF=DE．3、如图，AB=AD，BC=DE，且BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明AM=AN吗？1、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC. 求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.2、已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，若BD=AD，DE=DC。

全等三角形+第7讲+角平分线的处理方法+专项训练++2024-2025学年人教版数学八年级上册

第7讲角平分线的处理方法板块一角平分线的性质条件:OC 平分∠AOB. PD⊥OA 于点D,PE⊥OB 于点E.结论:PD=PE.典例精讲题型一知两垂【例1】如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F,BD=CD.求证:BE=CF.题型二作一垂【例2】如图,在四边形 ABCD 中,∠B=∠C=90°,E 为 BC 上一点,且 AE 平分∠BAD,D E 平分∠ADC.求证:BE=CE.题型三作两垂【例3】如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,BD 平分∠ABC,AD=CD.求证:AD⊥CD.实战演练如图,在四边形ABCD中,∠BAC=∠BDC=36°,∠ADB=72°.求证:AB=AC.类型判定旁心图隐角平分线图形条件PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.OP 平分∠AOB,AP 平分∠BAD,PD⊥OA,PE⊥OB,PF⊥AB.OP 平分∠AOB,∠OAP+∠BAP=180°.结论OC 平分∠AOB.PB平分∠ABE.①PA 平分∠BAD;②PB平分∠ABE.典例精讲题型一直接用判定【例1】如图,在△ABC 中,AC=BC,E 为△ABC 外一点,且∠CAE=∠CBE.求证:CE 平分△ABE 的外角.题型二旁心【例2】如图,在△ABC中,AP 平分∠BAC,BP 平分∠CBD.(1)求证:CP 平分∠BCE;(2)设∠BAC=α,则∠BPC= (用含α的式子表示).实战演练题型三隐角平分线如图,在四边形 AEDC 中,∠EAC+∠EAD=180°,且 CE 平分∠ACD.若∠EAD=α,求∠DEC 的度数.板块三角平分线与面积法类型1 内心向三边作垂类型2 面积比与边长比条件:I 是△ABC 三条角平分线的交点.方法:过点 I 分别向三边作垂线段.结论:①ID=IE=IF;②S△IBC+S△IAC+S△IAB=S△ABC;③ID=2S△ABC÷(AB+BC+AC).条件:AD 是△ABC的角平分线.方法:过点 D 分别作DE⊥AB,DF⊥AC.结论:①DE=DF;②S△ABD:S△ACD=AB:AC=BD:CD.典例精讲题型一面积法求线段长【例1】如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,I 为△ABC 各内角平分线的交点,过点I 作AC 的垂线,垂足为H.若BC=3,AB=4,AC=5,求IH 的长.题型二面积法证线段比【例2】如图,AD 是△ABC 的角平分线.求证:BDCD =ABAC.题型三构全等转化面积【例3】如图,△ABC的角平分线BD,CE 交于点P,∠A=60°,△ABC的面积为 16，四边形AEPD 的面积为5,求△BPC 的面积.实战演练1.如图,在△ABC 中,∠C=90°,O是∠CAB,∠ABC 平分线的交点,且E BC=8cm,AC=6cm6 cm,AB=10cm,求S△AOB.2.如图,在△ABC中,.S ABC=21,∠BAC的角平分线AD 交 BC 于点D,E 为AD 的中点.连接BE,的值.F 为BE 上一点,且 BF=2EF.若S△DEF=2,求ABAC3.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,∠BAC=90°,AD平分∠BAC.BAC.求 DC 的长.4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD 是△ABC的角平分线，若BD=8,求△BDC1的面积.类型梯形图互补图内心图图形典例精讲题型一直角梯形遇角平分线【例】如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠B=90°,E 为AB 上一点,ED 平分∠ADC,EC 平分∠BCD.(1)求证:DE⊥CE; (2)求证:AE=BE; (3)求证:AD+BC=CD;(4)若AB=12,CD=13,求 S△CDE.实战演练题型二对角互补遇角平分线1.如图,在四边形ABCD 中,∠ABC+∠D=180°,AC 平分∠BAD,求证:CB=CD.D题型三内心作垂构对称型全等2.如图,在△ABC 中,AB>AC,AK,BK,CK 分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,KD⊥BC 于点D.求证:AB-AC=BD-CD.。

专题九角平分线.doc(学生版)

专题九角平分线、垂直平分线(学生版）教学目标1.使学生进一步线段垂直平分线的性质与判定。

2.使学生进一步角平分线的性质与判定。

一、知识回顾课前热身知识点1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.热身（2012•怀化）如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知∠BAE=10°，则∠C 的度数为（） A 、30° B 、40° C 、50° D 、60°知识点2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.(知识2热身）(知识3热身）热身（2011•钦州）如图，AC=AD ，BC=BD ，则有（）A 、AB 垂直平分CD B 、CD 垂直平分ABC 、AB 与CD 互相垂直平分D 、CD 平分∠ACB知识点3、关于三角形三边垂直平分线的定理三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的作用：证明三角形内的线段相等.热身（2010•巴中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（） A 、△ABC 的三条中线的交点 B 、△ABC 三边的中垂线的交点 C 、△ABC 三条角平分线的交点 D 、△ABC 三条高所在直线的交点知识点4、角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.m图2DABCD CAEB热身如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB＝6㎝，则△DEB 的周长为（）A 、4㎝B 、6㎝C 、10㎝ D 、不能确定知识点5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的数学表示：如图5，已知点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，若PC ＝PD ，则点P 在∠AOB 的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.热身点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC的度数．知识点6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么： ① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.热身（2013•遂宁）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（）①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC=60°；③点D 在AB 的中垂线上；④S △DAC ：S △ABC =1：3．..(例1）（变式）A.1B.2C.3D.4例题辨析推陈出新图6EFD IP R Q B C A图5CDO ABP例1、（2013•湘西州）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE 的长；（2）求△ADB 的面积．变式练习（2013•温州）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ．（1）求证：△ACD ≌△AED ；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD 的长．例2、如图8，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，且∠C ＝2∠B ，求证：BD ＝AC ＋CD.变式练习已知：如图5，在△ABC 中，∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠CAB.求证：AC+CD=AB例3、（2010•娄底）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：（1）FC=AD ；（2）AB=BC+AD ．变式练习如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交BC 的延长线于点M ，若∠A=40度．图8BCD A（1）求∠NMB的度数；（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；（4）若将（1）中的∠A改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？三、归纳总结方法在握归纳1.利用“角平分线的对称性”来构造因为角是轴对称图形，角平分线是其对称轴，因此，题中若有角平分线，一般可以利用其对称性来构成全等三角形．归纳2.要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。

人教版八年级数学上册同步教学第12章全等三角形角的平分线的性质第2课时角平分线的判定

A
M
小区C
P
O
N
B
பைடு நூலகம்
2. 如图所示,已知△ABC中,PE∥AB交BC于点E,PF∥AC交BC于点
F,点P是AD上一点,且点D到PE的距离与到PF的距离相等,判断AD是否平分∠BAC,并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
A
∵D到PE的距离与到PF的距离相等,
(
∴点D在∠EPF的平分线上．
34 P
解：连接OC
SABC SAOC SBOC SAOB
1 AB OE 1 BC ON 1 AB OM
2
2
2
1 OM ( AB BC OM ) 2
1 4 32 64 2
B
O
P
A
DM
C
知识与方法
1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题
条件
2.联系角平分线性质：距离面积周长
E
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
A P
B
知识总结
判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
s 1 ch 2
例2 如图,在△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到 △ABC三边的距离相等．若∠A＝40°,则∠BOC的度数为( A )
A．110° B．120° C．130° D．140°
解析：由已知,O到三角形三边的距离
相等,所以O是内心,即三条角平分线
的交点,AO,BO,CO都是角平分线,

第12章全等三角形-角平分线的性质、判定及角平分线在全等三角形中的运用(教案)

（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与角平分线相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示角平分线的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“角平分线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
举例：设计一些包含角平分线的全等三角形问题，指导学生运用所学知识解决问题。
2.教学难点
（1）角平分线性质的证明：学生需要通过严密的逻辑推理和几何证明来理解角平分线的性质，这对于部分学生来说可能是一个难点。
举例：在指导学生证明角平分线性质时，引导学生运用几何基本定理和逻辑推理方法，逐步展开证明过程。
（2）全等三角形的判定方法：学生在判定全等三角形时，可能会对各种判定方法产生混淆，难以选择合适的方法进行证明。
3.增强学生的数据分析能力，使学生能够从实际例题中提炼关键信息，运用角平分线定理进行问题分析和解决；
4.培养学生的几何直观能力，让学生在实际操作中观察、发现和感受几何图形的性质和相互关系。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）角平分线的定义及其性质：确保学生理解角平分线将一个角平分成两个相等的角的原理，并掌握相关性质，如角平分线上的点到角的两边的距离相等。
第12章全等三角形-角平分线的性质、判定及角平分线在全等三角形中的运用（教案）
一、教学内容
第12章全等三角形-角平分线的性质、判定及角平分线在全等三角形中的运用。本章内容主要包括：
1.角平分线的定义及性质；
2.判定两个三角形全等时，角平分线所起的作用；

人教版八年级上册第十二章全等三角形辅助线系列之一---角平分线类辅助线作法大全

全等三角形辅助线系列之一与角平分线有关的辅助线作法大全一、角平分线类辅助线作法角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等．对于有角平分线的辅助线的作法，一般有以下四种．1、角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题； 2、截取构全等利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形； 3、延长垂线段题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 4、做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形．或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形．通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形．至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件．图四图三图二图一QPONMPONM BAAB MNOP PONM BA典型例题精讲【例1】如图所示，BN 平分∠ABC ，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，2AB BC BD =＋．求证：180BAP BCP ∠∠=︒＋．【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ．∵PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，BN 平分∠ABC ，∴PE PD =．在Rt △PBE 和Rt △PBC 中， BP BPPE PD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △PBE ≌Rt △PBC （HL ），∴BE BD =．∵2AB BC BD +=，BC CD BD =+，AB BE AE =-，∴AE CD =． ∵PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，∴90PEB PDB ∠=∠=︒．在△P AE 和Rt △PCD 中， ∵PE PD PEB PDC AE DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△P AE ≌Rt △PCD ，∴PCB EAP ∠=∠．∵180BAP EAP ∠+∠=︒，∴180BAP BCP ∠+∠=︒．【答案】见解析．【例2】如图，已知：90A ∠=︒，AD ∥BC ，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC ，求证：CP 平分∠DCB ．【解析】因为已知PD 平分∠ADC ，所以我们过P 点作PE ⊥CD ，垂足为E ，则PA PE =，由P 是AB的中点，得PB PE =，即CP 平分∠DCB ．【答案】作PE ⊥CD ，垂足为E ，∴90PEC A ∠=∠=︒，∵PD 平分∠ADC ，∴PA PE =，又∵90B PEC ∠=∠=︒，∴PB PE =， ∴点P 在∠DCB 的平分线上， ∴CP 平分∠DCB ．【例3】已知：90AOB ∠=︒，OM 是∠AOB 的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线OM 上滑动，两直角边分别与OA 、OB 交于C 、D ．（1）PC 和PD 有怎样的数量关系是__________．（2）请你证明（1）得出的结论．PDCBA A BCDPE【解析】（1）PC PD =．（2）过P 分别作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OA 于F ， ∴90CFP DEP ∠=∠=︒，∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE PF =，∵190FPD ∠+∠=︒，且90AOB ∠=︒，∴90FPE ∠=︒， ∴290FPD ∠+∠=︒，∴12∠=∠，在△CFP 和△DEP 中12CPF DEPPF PE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CFP ≌△DEP ，∴PC PD =．【答案】见解析．【例4】如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F ，请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系（不需证明）；（2）如图③，在△ABC 中，60B ∠=︒，请问，在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【解析】如图①所示；（1）FE FD =．（2）如图，过点F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥BC 于H ，作FK ⊥AC 于K ， ∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，∴FG FH FK ==，在四边形BGFH 中，36060902120GFH ∠=︒-︒-︒⨯=︒， ∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，60B ∠=︒， ∴()118060602FAC FCA ∠+∠=︒-︒=︒．在△AFC 中， ()180********AFC FAC FCA ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， ∴120EFD AFC ∠=∠=︒，∴EFG DFH ∠=∠，在△EFG 和△DFH 中，EFG DFH EGF DHF FG FH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EFG ≌△DFH ，∴FE FD = 【答案】见解析．【例5】已知120MAN ∠=︒，AC 平分∠MAN ，点B 、D 分别在AN 、AM 上．（1）如图1，若90ABC ADC ∠=∠=︒，请你探索线段AD 、AB 、AC 之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若180ABC ADC ∠+∠=︒，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【解析】（1）得到30ACD ACB ∠=∠=︒后再可以证得12AD AB AC ==，从而，证得结论；（2）过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F ，证得△CED ≌△CFB后即可得到AD AB AE ED AF FB AE AF +=-++=+，从而证得结论．【答案】（1）关系是：AD AB AC +=．证明：∵AC 平分∠MAN ，120MAN ∠=︒ ∴60CAD CAB ∠=∠=︒ 又90ADC ABC ∠=∠=︒， ∴30ACD ACB ∠=∠=︒ 则12AD AB AC ==（直角三角形一锐角为30°，则它所对直角边为斜边一半） ∴AD AB AC +=；（2）仍成立．证明：过点C 分别作AM 、AN 的垂线，垂足分别为E 、F ∵AC 平分∠MAN∴CE CF =（角平分线上点到角两边距离相等） ∵180ABC ADC ∠+∠=︒，180ADC CDE ∠+∠=︒ ∴CDE ABC ∠=∠ 又90CED CFB ∠=∠=︒， ∴△CED ≌△CFB （AAS ） ∵ED FB =，∴AD AB AE ED AF FB AE AF +=-++=+ 由（1）知AE AF AC +=， ∴AD AB AC +=．【例6】如图，在△ABC 中，2C B ∠=∠，AD 平分∠BAC ，求证：AB AC CD -=．【解析】在AB 上截取点E ，使得AE AC =．∵AD 平分∠BAC ，∴EAD CAD ∠=∠，∴△ADE ≌△ADC （SAS ）．∴AED C ∠=∠，ED CD =． ∵2C B ∠=∠，∴=2AED B ∠∠．∵AED B EDB ∠=∠+∠，∴B EDB ∠=∠，∴BE DE =． ∴CD BE AB AE AB AC ==-=-．【答案】见解析．【例7】如图，△ABC 中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．【解析】在BC 上截取E 点使BE BA =，连结DE ．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠．在ABD ∆与EBD ∆中∵AB EB =，ABD EBD ∠=∠，BD BD = ∴ABD EBD ∆∆≌，∴A DEB ∠=∠∵AB AE =， ∴BAD BED ∠=∠，∴72DEC ∠=︒．又∵361854ADB ∠=︒+︒=︒，∴72CDE ∠=︒ABCDE DCBAAB CD∴CDE DEC ∠=∠，∴CD CE = ∵BC BE EC =+，∴BC AC CD =+【答案】见解析．【例8】已知ABC ∆中，60A ∠=︒，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【解析】在BC 上截取一点F 使得BF BE =，易证BOE BOF ∆∆≌，在根据120BOC ∠=︒推出60BOE COF ∠=∠=︒，再证明OCF OCD ∆∆≌即可．【答案】BC BE CD =+．【例9】如图：已知AD 为△ABC 的中线，且12∠=∠，34∠=∠，求证：BE CF EF +>．【解析】在DA 上截取DN DB =，连接NE ，NF ，则DN DC =，在△DBE 和△DNE 中：E DCB AOED CBAFOED CBA∵12DN DB ED ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DBE ≌△DNE （SAS ），∴BE NE = 同理可得：CF NF =在△EFN 中，EN FN EF +>（三角形两边之和大于第三边） ∴BE CF EF +>．【答案】见解析．【例10】已知：在四边形ABCD 中，BC BA >，180A C ∠+∠=︒，且60C ∠=︒，BD 平分∠ABC ，求证：BC AB DC =+．【解析】在BC 上截取BE BA =，∵BD 平分∠ABC ，∴ABD EBD ∠=∠，在△BAD 和△BED 中， BA BE ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△BED ，∴AD DE =，A BED ∠=∠． ∵180BED DEC ∠+∠=︒，180A C ∠+∠=︒． ∴C DEC ∠=∠，∴DE DC =．∴DC AD =．∵60∠=︒，∴△CDE是等边三角形，C∴DE CD CE=+=+．==，∴BC BE CE AB CD【答案】见解析．【例11】观察、猜想、探究：在△ABC中，2∠=∠．ACB B（1）如图①，当90=+；C∠=︒，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB AC CD （2）如图②，当90∠≠︒，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量C关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【解析】（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，理由角平分线性质得到ED=CD，利用HL得到直角三角形AED与直角三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AE AC=，A CB B∠=∠，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等∠=∠，由2AED ACB边得到BE DE=+，等量代换即可得证；=，由AB AE EB（2）AB CD AC=+，理由为：在AB上截取AG AC=，如图2所示，由角平分线定义得到=，利用SAS得到三角形AGD与三角形ACD全等，接下来同（1）一对角相等，再由AD AD即可得证；（3）AB CD AC=，如图3所示，同（2）即可得证．=-，理由为：在AF上截取AG AC【答案】（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，如图1所示，∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE DC=，在Rt △ACD 和Rt △AED 中，AD AD =，DE DC =， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴AC AE =，ACB AED ∠=∠， ∵2ACB B ∠=∠，∴2AED B ∠=∠，又∵AED B EDB ∠=∠+∠，∴B EDB ∠=∠， ∴BE DE DC ==，则AB BE AE CD AC =+=+；（2）AB CD AC =+，理由为：在AB 上截取AG AC =，如图2所示， ∵AD 为∠BAC 的平分线，∴GAD CAD ∠=∠， ∵在△ADG 和△ADC 中，AG ACGAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADG ≌△ADC （SAS ），∴CD CG =，AGD ACB ∠=∠， ∵2ACB B ∠=∠，∴2AGD B ∠=∠，又∵AGD B GDB ∠=∠+∠，∴B GDB ∠=∠， ∴BE DG DC ==，则AB BG AG CD AC =+=+；（3）AB CD AC =-，理由为：在AF 上截取AG AC =，如图3所示， ∵AD 为∠F AC 的平分线，∴GAD CAD ∠=∠， ∵在△ADG 和△ADC 中，AG AC GAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△ADC （SAS ）， ∴CD GD =，AGD ACD ∠=∠，即ACB FGD ∠=∠，∵2ACB B ∠=∠，∴2FGD B ∠=∠，又∵FGD B GDB ∠=∠+∠，∴B GDB ∠=∠， ∴BG DG DC ==，则AB BG AG CD AC =-=-．【例12】如图所示，在△ABC 中，3ABC C ∠=∠，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F ．求证：()12BE AC AB =-．【解析】延长BE 交AC 于点F ．则AD 为∠BAC 的对称轴，∵BE ⊥AD 于F ，∴点B 和点F 关于AD 对称， ∴12BE EF BF ==，AB AF =，ABF AFB ∠=∠． ∵3ABF FBC ABC C ∠∠=∠=∠＋，ABF AFB FBC C ∠=∠=∠∠＋， ∴3FBC C FBC C ∠∠∠=∠＋＋， ∴FBC C ∠=∠，∴FB FC =，∴()()111222BE FC AC AF AC AB ==-=-，∴()12BE AC AB =-．【答案】见解析．【例13】如图，已知：△ABC 中AD 垂直于∠C 的平分线于D ，DE ∥BC 交AB 于E ．求证：EA EB =．【解析】由AD 垂直于∠C 的平分线于D ，可以想到等腰三角形中的三线合一，于是延长AD 交BC 与点F ，得D 是AF 的中点，又因为DE ∥BC ，由三角形中位线定理得EA EB =．【答案】延长AD 交BC 与点F ，∵CD 平分∠ACF ，∴12∠=∠，又AD ⊥CD ， ∴ΔADC ≌ΔFDC ，∴AD FD =，又∵DE ∥BC ，∴EA EB =．【例14】已知：如图，在△ABC 中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE ⊥AE ．求证：2AC AB BE -=．【解析】延长BE 交AC 于M ，∵BE ⊥AE ，∴90AEB AEM ∠=∠=︒ 在△ABE 中，∵13180AEB ∠+∠+∠=︒， ∴3901∠=︒-∠ 同理，4902∠=︒-∠∵12∠=∠，∴34∠=∠，∴AB AM =∵BE ⊥AE ，∴2BM BE =， ∴AC AB AC AM CM -=-=， ∵∠4是△BCM 的外角，∴45C ∠=∠+∠ ∵3ABC C ∠=∠，∴3545ABC ∠=∠+∠=∠+∠ ∴34525C C ∠=∠+∠=∠+∠，∴5C ∠=∠ ∴CM BM =，∴2AC AB BM BE -==【答案】见解析．【例15】如图，已知AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ，求证：2BD CE =．【解析】延长CE ，交BA 的延长线于点F ．∵BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ， ∴△BEF ≌△BEC ，∴BC BF =，CE FE =． ∵90BAC ∠=︒，CE ⊥BE ，∴ABD ACF ∠=∠，又∵AB AC =，∴△ABD ≌△ACF ，∴BD CF =．∴2BD CE =．【答案】见解析．EDCBAFEDCBA课后复习【作业1】如图所示，在△ABC 中，BP 、CP 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：点P 在∠A 的平分线上．【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PG ⊥AC 于点G ，PF ⊥BC 于点F ．因为P 在∠EBC 的平分线上，PE ⊥AB ，PH ⊥BC ，所以PE PF =．同理可证PF PG =．所以PG PE =，又PE ⊥AB ，PG ⊥AC ，所以P 在∠A 的平分线上，【答案】见解析．【作业2】已知：如图，2AB AC =，BAD CAD ∠=∠，DA DB =，求证：DC ⊥AC ．PCBAPABCD【解析】在AB 上取中点E ，连接DE ，则12AE BE AB ==． ∵DA DB =，∴DE ⊥AB ，90AED ∠=︒．又∵2AB AC =，∴AE AC =．∵BAD CAD ∠=∠，∴△ADE ≌△ADC （SAS ）． ∴90AED ACD ∠=∠=︒，即DC ⊥AC ．【答案】见解析．【作业3】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．【解析】如图，在BC 上截取BE BD =，连接DE ，过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，于是32∠=∠，ADF ECD ∠=∠．又∵12∠=∠，∴13∠=∠，故DF BF =．显然FBCD 是等腰梯形． ∴BF DC =，DF DC =．∵()111218010020222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，()11802802BED BDE ∠=∠=︒-∠=︒， ∴180100DEC BED ∠=︒-∠=︒，∴100FAD DEC ∠=∠=︒，∴AFD EDC ∆∆≌，AD EC =．又∵BE BD =，∴BC BD EC BD AD =+=+．【答案】见解析．EDCBAABCD【作业4】如图，已知在△ABC 中，AD 、AE 分别为△ABC 的内、外角平分线，过顶点B 作BF ⊥AD ，交AD 的延长线于F ，连接FC 并延长交AE 于M ．求证：AM ME =．【解析】延长AC ，交BF 的延长线于点N ．∵AD 平分∠BAC ，BF ⊥AD ，∴△AFB ≌△AFN ，∴BF NF =． ∵AD 、AE 分别为△ABC 的内、外角平分线，∴EA ⊥F A ． ∵BF ⊥AF ，∴BF ∥AE ．∴::BF ME CF CM =，::FN AM CF CM =． ∵BF NF =，∴AM ME =．【答案】见解析．ECMF EDCBAN MFEDCBA。

全等三角形中的角平分线

全等三角形中的角平分线全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，AB OPPOB AA B OP【例1】如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．【解析】 ∵O 点为ABC △中角平分线的交点，ADOCB∴O 点到三边距离相等．∴ABC OAB OBC OAC S S S S =++△△△△1()331.52AB BC AC =⨯++⨯=【例2】如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【解析】利用SAS 证得ABE ∆≌ACD ∆，∴E D ∠=∠，根据已知可得BD CE =，利用AAS 证得BOD ∆≌COE ∆，∴OD OE =，利用S A S 证得AOD ∆≌AOE ∆，∴OAD OAE ∠=∠，∴OA 平分DAE ∠【例3】已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．【解析】 ∵AB AC =∴ABC ACB ∠=∠∵CD 平分ACB ∠，∴12DCB ACB ∠=∠．同理12EBC ABC ∠=∠．在DCB ∆与EBC ∆中，A B CA ∠=∠，DCB EBC ∠=∠，BC CB =∴DCB EBC ∆∆≌，∴CD BE =．点评：其实就是等腰三角形底角平分线相等．【例4】在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠，BD CD =，求证：AB AC =．【解析】延长AD 到E ，使ED AD =，连结BE ，在ADC ∆和EDB ∆中 AD ED ADC EDB DC DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADC EDB ∆∆≌∴AC EB =，CAD BED ∠=∠ 又∵BAD CAD ∠=∠ ∴BAD BED ∠=∠ ∴AB EB = ∴AB AC =．【例5】 (2006年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．OED CBA4321FO DECBAA B C D EOE D CB AD C BA ED CBA【解析】BE CD BC += 理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF 利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆ ∴12∠=∠ ∵60A ∠=︒∴1901202BOC A ∠=︒+∠=︒∴120DOE ∠=︒∴180A DOE ∠+∠=︒ ∴180AEO ADO ∠+∠=︒ ∴13180∠+∠=︒ ∵24180∠+∠=︒ ∴12∠=∠ ∴34∠=∠利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆ ∴CD CF =∴BC BF CF BE CD =+=+【点评】此题老师在证明角度相等的时候，可以不用讲义给的方法，而是根据60BOC ∠=︒来证明【例6】如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．【解析】 ∵12∠=∠，34∠=∠，AC AC =∴ACD ACB ∆∆≌∴AB AD =∴12∠=∠，AE AE =∴AED AEB ∆∆≌∴ED EB =【例7】 (06北京中考题)如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．【解析】 ∵OP 是AOC ∠和BOD ∠的角平分线 ∴AOP COP ∠=∠，BOP DOP ∠=∠ ∴AOB COD ∠=∠ 在AOB ∆和COD ∆中 OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOB COD ∆∆≌(SAS )，∴AB CD =．【例8】如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠，且AD 与CE的交点为F ．求证：FE FD =．【解析】在AC 上截取AG AE =，连结FG ，AEF AGF ∆∆≌，AFE AFG ∠=∠，FE FG =，可推出60CFG CFD ∠=︒=∠，进而证明CFG CFD ∆∆≌，FG FD =，进而得FE FD =．E D C BA4321PD B OC A F BE DC A【例9】 (“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD 中，AB =4，BC =7，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，EF ⊥ED 交AB 于F ，则EF =__________．【解析】由AB =4，AE 平分∠BAD 可知BE =AB =CD =4．由基本图可知△BEF ≌△CDE ，故EF =DE 又BC =7，BE =4，故CE =3．由勾股定理可知，DE =5．从而可知EF =5．【例10】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFA CD E B 321MF ACD E B【解析】延长AD 到M ，使D M AD =，连结EM ，利用SAS 证明ADC ∆≌M DE ∆，∴3M ∠=∠，AC EM =，又AC EF =，∴EM EF =，∴1M ∠=∠，∴13∠=∠， ∵AD 平分BAC ∠，∴23∠=∠，∴12∠=∠，∴EF ∥AB ．【补充】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为BAC ∠的角平分线．【解析】延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ．在CEF ∆和BEH ∆中 CE BECEF BEH FE HE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF BEH ∆∆≌ ∴EFC EHB ∠=∠，CF BH BG ==∴EHB BGE ∠=∠，而BGE AGF ∠=∠ ∴AFG AGF ∠=∠ 又∵EF AD ∥∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠ ∴CAD BAD ∠=∠∴AD 为ABC ∆的角平分线．【例11】如图，已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB =6，AC =3，∠BAC =120°．求AD 的长．【解析】在AB 上取点E ，使得AE =AC =3，F E DC B A F GE DC B A H AF G B E DC DCAFMEPD CA连接CE ，过点B 作CE 的平行线，交AC 的延长线于点F ，延长AD 交BF 于点M ． ∵∠CAD =∠EAD ，AC =AE ∴点C 、E 关于AD 对称 ∴AD ⊥CE ，EP =CP ∵CE ∥BF∴AM ⊥BF ，BM =FM∵∠BAC =120°，AD 平分∠BAC ∴∠BAD =60°∴AM =12AB =3∵CE BF ∥∴1123PD PC PC PD PM DM BM FM ===⇒= ∴AD =23AM∴AD =2【例12】 (北京市西城区2006年抽样测试八年级(上)附加题，黄冈市数学竞赛试题)如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB PC +与AB AC +的大小，并说明理由．DPC B AEDPC B A【解析】PB PC AB AC +>+，理由如下．如图所示，在AB 的延长线上截取AE AC =，连接PE ．因为AD 是BAC ∠的外角平分线，故CAP EAP ∠=∠．在ACP ∆和AEP ∆中，AC AE =，CAP EAP ∠=∠，AP 公用，因此ACP AEP ∆∆≌，从而PC PE =．在BPE ∆中，PB PE BE +>，而BE BA AE AB AC =+=+，故PB PC AB AC +>+．【补充】在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．CD B PAECD B PA【解析】在AB 上截取AE AC =，连结EP ，根据SAS 证得AEP ∆≌ACP ∆，∴PE PC =，AE AC =又BEP ∆中，BE PB PE >-，BE AB AC =-，∴AB AC PB PC ->-【例13】如图所示，AD 是ABC ∆的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ACD ∆∆和的高，20DEF ∠=︒，则BAC ∠等于________．【解析】方法一：易证AED ADC ∆∆≌，△DEF 为等腰三角形．又由0DEF 20∠=，则∠EDF ＝180－40＝140度，则∠BAC ＝360－90－90－140＝40度．方法二：在三角形AEC 中，70AEC ACE ∠=∠=︒，180707040BAC ∠=∠︒-︒-︒=︒ 【点评】此题老师可以采用第二种方法，但是第一种方法旨在让学生更加熟悉角平分线的性质【例14】如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．D C B AED C BAABCDE【解析】方法一：在AC 上取一点E ，使得AB AE =连结DE ．在ABD ∆和AED ∆中AB AE =，BAD EAD ∠=∠ AD AD =∴ABD AED ∆∆≌∴BD ED =，B AED ∠=∠又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠EDC C ∠=∠，ED EC =∴AB BD AC +=．方法二：在AB 的延长线上取一点E 使得AC AE =，连结DE ．在AED ∆和ACD ∆中，AE AC = EAD CAD ∠=∠，AD AD = ∴AED ACD ∆∆≌，∴C E ∠=∠又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠∴E BDE ∠=∠∴BE BD =，∴AB BD AC +=．方法三：延长DB 到点E使得AB BE =，连结MCE M ∠=∠ 则有EAB E ∠=∠2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠又∵2ABC C ∠=∠，∴AE AC =又∵EAD EAB BAD E DAC ∠=∠+∠=∠+∠ C DAC ADE =∠+∠=∠∴DF EF =，∴AB BD EB BD ED AE AC +=+===F EDCB AABCDEEDCB A FM方法四：如图，作BF 平分ABC ∠交AD 、AC 于E 、F 点延长BF 到M ，使FM FA =，连结AM ∴ABF FBC ∠=∠∵2ABC C ∠=∠，∴FBC C ∠=∠．∴FB FC = ∵AF FM =，∴M FAM ∠=∠∵AFE FBC C ∠=∠+∠，又AFE M FAM ∠=∠+∠ 即22AFE M C ∠=∠=∠．∴C M ∠=∠∴M ABM DBF C ∠=∠=∠=∠．∴AB AM = ∵ADB C DAC ∠=∠+∠ 且D EB EBA BAE ∠=∠+∠∵BAD DAC ∠=∠，∴ADB DEB ∠=∠．∴BD BE = 同理MA ME =∵AF FM =，FB FC =，∴AC BM =．∴AC AB BD =+【补充】如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．AB C DE DCB A【解析】方法一：在BC 上截取E 点使BE BA =，连结DE ．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠．在ABD ∆与EBD ∆中∵AB EB =，ABD EBD ∠=∠，BD BD = ∴ABD EBD ∆∆≌，∴A D EB ∠=∠∵AB AE =， ∴BAD BED ∠=∠，∴72DEC ∠=︒．又∵361854ADB ∠=︒+︒=︒ ∴72CDE ∠=︒ ∴CDE DEC ∠=∠ ∴CD CE =∵BC BE EC =+，∴BC AC CD =+方法二：如图，延长CA 到F ，使CF CB =，连结BF ． ∵AB AC =，且108BAC ∠=︒， ∴36ABC C ∠=∠=︒．∵CB CF =， ∴F FBC ∠=∠．∴FAB C ABC ∠=∠+∠． ∴72FAB ∠=︒．∵12ADB C ABC ∠=∠+∠， ∴54ADB ∠=︒．又∵54FBD ∠=︒ ∴BF AB AC FD ===．∴AF CD =．∴BC AC CD =+．FDCBA【补充】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．【解析】解法一：如图，在BC 上截取BE BD =，连接DE ，过D 作DF BC ∥，交AB 于F ，于是32∠=∠，ADF ECD ∠=∠．又∵12∠=∠，∴13∠=∠，故D F B F =．显然FBCD 是等腰梯形． ∴BF DC =，DF DC =． ∵()111218010020222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，()11802802BED BDE ∠=∠=︒-∠=︒，∴180100DEC BED ∠=︒-∠=︒，∴100FAD DEC ∠=∠=︒，∴AFD EDC ∆∆≌，AD EC =．又∵BE BD =，∴BC BD EC BD AD =+=+．解法二：如图，延长BD 到E ，使DE AD =，在BC 上截取BF BA =． ∵12∠=∠，BD 为公共边，∴BAD BFD ∆≌，AD FD =，ADB FDB ∠=∠．∵()111118010020222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，∴()()18011801002060ADB A ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒． ∴60FDB ∠=︒，故60FDC ∠=︒，60EDC ∠=︒．∵DF DE =，∴D F C D E C ∆∆≌．∴E D F C ∠=∠，34∠=∠． ∵2206080DFC FDB ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∴80E ∠=︒．∵440∠=︒，∴340∠=︒，故3480ECB ∠=∠+∠=︒． ∴ECB E ∠=∠，故BC BE =．∵BE BD DE =+，∴BC BD AD =+．解法三：如图，延长BD 到E ，使B E B C =．延长BA 到F ，使B F B C =．连接CE 、EF 、DF ．∵12∠=∠，BD 公共，∴BDC BDF ∆∆≌．∴BDC BDF ∠=∠，BCD BFD ∠=∠．又∵1201B D C B A C ∠=∠+∠=︒+︒=︒，40BCD ∠=︒，∴40BFD ∠=︒． ∵BE BF =，120∠=︒． ∴80BEF BFE ∠=∠=︒， ∴804040DFE ∠=︒-︒=︒．而180********FAD BAD ∠=︒-∠=︒-︒=︒． ∴FAD DEF ∠=∠．又FD 公共，∴FAD FED ∆∆≌．∴ED AD =． ∴BC BE BD AD ==+【例15】如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证()12MF AC AB =-．B ADC21F E 43B ADC 21F EBAFE D C 321MFD CB AEMFD CB A【解析】题目中有角平分线和垂直的条件，因此可以考虑将图形补成等腰AEC ∆，之后再证明MF 是CBE ∆的中位线即可．如图所示，延长AB 、CF 相交于点E ，在AFE ∆和AFC ∆中，EAF CAF ∠=∠，AF AF =，AFE AFC ∠=∠，故AFE AFC ∆∆≌，从而AE AC =，EF FC =．而CM MB =，故MF 是CBE ∆的中位线，从而()()111222MF BE AE AB AC AB ==-=-．【补充】如图所示，AD 是ABC ∆中BAC ∠的外角平分线，CD AD ⊥于D ，E 是BC 的中点，求证DE AB ∥ 且1()2DE AB AC =+．【解析】如图所示，延长BA 到F ，使AF AC =，连接DF ．在ADC ∆和ADF ∆中，A C A F =，FAD CAD ∠=∠，AD AD =，故A D C A D F ∆∆≌，从而C 、D 、F 三点共线，且D 是CF 的中点，DE 是CFB ∆的中位线，故DE AB ∥，且11()22DE FB AB AC ==+【补充】如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．MD CBAN PMD CBA【解析】如图所示，延长AB 、CM 相交于P ．取PB 的中点N ，连接MN ，则NM BD ∥，故ANM ABD ADB AMN ∠=∠=∠=∠，则AM AN =．容易证明APM ACM ∆∆≌，故AP AC =．因此22AB AC AB AP AB AN NP AB AN BN AN AM +=+=++=++==．【例16】如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，M 是BC 的中点，M E AD ⊥且EDC B AFE DCB A交AC 的延长线于E ，12CE CD =，求证2ACB B ∠=∠．EMDCBAEMDCBAP【解析】如图所示，延长CE 到P ，使EP CE =，连接DP 、BP ．因为2CD CE =，故CD CP =，则CDP CPD ∠=∠．因为ACB CDP CPD ∠=∠+∠，故2ACB CPD ∠=∠．因为BM MC =，CE EP =，故ME BP ∥．因为AD M E ⊥，故AD BP ⊥．因为AD 平分BAP ∠，故AB AP =．在ABD ∆和APD ∆中，AB AP =，BAD PAD ∠=∠，AD AD =，故ABD APD ∆∆≌，从而ABD APD ∠=∠，因此2ACB ABC ∠=∠．点评：实质上，本题还是利用了“见到角平分线，考虑对称图形”的思想．【例17】如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ．求证：AD AE =．【解析】 ∵AB AC =，∴ABC ACB ∠=∠∵180ABG ABC ∠+∠=︒，180ACH ACB ∠+∠=︒∴90D E ∠=∠=︒，∴ABG ACH ∠=∠．∵BD 、CE 是角平分线 ∴DBA ECA ∠=∠．在ABD ∆与ACE ∆中，AD BD ⊥，AE CE ⊥ AB AC =，DBA ECA ∠=∠，D E ∠=∠，∴ABD ACE ∆∆≌，∴AD AE =．【补充】已知：AD 和BE 分别是ABC △的CAB ∠和CBA ∠的外角平分线，CD AD ⊥，CE BE ⊥，求证：⑴ DE AB ∥；⑵ ()12DE AB BC CA =++．【解析】大凡涉及角平分线的问题，常常隐含着全等三角形的问题，从而获得等边、等角，以助证题．如图所示，延长CD 、CE 分别交直线MN 于M 、N 两点，则易证得ADC ADM △≌△，BEC BEN △≌△．于是可得D 、E 分别为CM 、CN 的中点．至此，命题容易获证．【例18】在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的外角ABE ∠、ACF ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =++HG D AB C E E B A D C NM EB A D CFEN M CBAFENMC B A【解析】延长AM 、CB 相交于点E ，延长AN 、BC 相交于点F ，易证Rt Rt AMB EMB ∆∆≌，Rt Rt ANC FNC ∆∆≌， ∴AM EM =，AN FN =，AB EB =，AC FC =∴MN BC ∥，且()()1122MN EB BC CF AB BC AC =++=++．【补充】在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =+-【解析】延长AM 、BC 相交于点E ，延长AN 、CB 相交于点F ，易证Rt Rt AMB EMB ∆∆≌，Rt Rt ANC FNC ∆∆≌，∴AM EM =，AN FN =，AB EB =，AC FC =∴MN BC ∥且()()1122MN FB BC CE AB AC BC =++=+-．【例19】在ABC △中，CD 、AE 分别为AB 、BC 边上的高，60B =∠，求证：12DE AC =．C E DB A M CN E DB A【解析】取AB 、BC 的中点，连结MN ，∵60B =︒∠，∴30BAE BCD ==︒∠∠．从而得12BE BM AB ==，12BD BN BC ==，BDE BNM △≌△，MN DE =．又因12MN AC =，故12DE AC =．【补充】(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？【解析】作CF AD ⊥交AD 的延长线于F ，可推出DF BE =，易证△CEB ≌△CFD ， ∴ABC ADC ∠+∠180=︒FE N M C B A ED CB A【例20】如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．【解析】 ① AB CD BC +=；② BE CE ⊥在线段BC 上取点F ，使FB AB =，连结EF ．在ABE ∆和FBE ∆中AB FB ABE FBE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE FBE ∆∆≌∴AEB FEB ∠=∠，BAE BFE ∠=∠ ∵180A D ∠+∠=︒而180BFE CFE ∠+∠=︒ ∴CDE CFE ∠=∠ 在CDE ∆和CFE ∆中 CDE CFE DCE FCE CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CDE CFE ∆∆≌∴DEC FEC ∠=∠，CD CF =∴AB CD BC +=，90BEC BEF CEF ∠=∠+∠=︒【例21】如图所示，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，BCA ∠的角平分线交AD与F ，交AB 于E ，FG 平行于BC 交AB 于G ． AE =4，AB =14，则BG =______．H AB CDEF GGFE D CB A【解析】角平分线、直角．过E 作EH 垂直BC 交BC 于H 点，易证△AEC ≌△EHC ；由角度分析易知∠AEF =∠AFE ，即AE ＝AF ；则有EH ＝EA ＝AF ；又可证△AGF ≌△BHE ，则AG ＝EB ＝14－4＝10，则BG ＝10－6＝4．【补充】如图所示，在Rt 三角形ABC 中，90,C CH AB ∠=︒⊥于H ，AG 平分BAC ∠，交CH 于D ，交BC 于G ，在BC 上取BE =CG ，连接ED ，证明：CDE ∆是直角三角形．【解析】直角三角形、角平分线过G 做GF 垂直AB 于F ；由角的关系易得∠CDG =∠CGD ，即CG ＝CD ；易证△ACG ≌△AFG ；CG ＝GF ＝CD ；CE ＝GB ，∠HCB =∠FGB ；综合得到，△CGE ≌△GFB ，得证．【例22】在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，A ∠的平分线交BC 于D ．自C 作CG AB ⊥交EDCB A FEABCDCGEEGCGABC D EF1221FED C BAGQGA BC D EF12AD 于E ，交AB 于G ．自D 作DF AB ⊥于F ，求证：CF DE ⊥．【解析】解法一：如图．90ACD AFD ∠=∠=︒∵，∴CDE CED ∠=∠4点共圆，ACF ADF ∠=∠∴．又12∠=∠∵，290ADF ∠+∠=︒，190ACF ∠+∠=︒∴，故CF DE ⊥．解法二：如图，连接EFAD ∵是BAC ∠的平分线，DC AC ⊥，DF AB ⊥，CD DF =∴，ADC ADF ∠=∠． CG AB ⊥∵，DF AB ⊥， CE DF ∴∥，CED FDE ∠=∠，CDE CED ∠=∠，CD CE DF ==∴，四边形CEFD 是菱形．CF DE ⊥∴．解法三：如图．12∠=∠∵，90ACD AFD ∠=∠=︒，AD 公共，ACD AFD ∴△≌△．AC AF =∴，CD DF =． AD ∴是CF 的中垂线，故CF DE ⊥．解法四：如图，延长FD AC 、交于Q ，连接BQ ．12∠=∠∵，DC AC ⊥，DF AB ⊥， CD FD =∴．显然Rt Rt DCQ DFB △≌△，CQ BF =∴．又90QFB BCQ ∠=∠=︒∵，C F B Q ∴、、、4点共圆， CFBQ ∴为等腰梯形，ABQ △为等腰三角形． 12∠=∠∵，AD BQ ⊥∴．而CF BQ ∥，AD CF ⊥∴．【例23】如图所示，90BAC DAE ︒∠=∠=，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．【解析】如图所示，设AM 交DC 于H ，要证明AM CD ⊥，实际上就是证明90AHD ︒∠=，而条件BM M E =不好运用，我们可以倍长中线AM 到F ，连接BF 交AD 于点N ，交CD 于点O ．容易证明A M E F M ∆∆≌，则A E F B =，EAF F ∠=∠，从而AE FB ∥，90ANF ︒∠=．而90CAD DAB ︒∠+∠=，90DAB ABN ︒∠+∠=，故CAD ABN ∠=∠，从而CAD ABF ∆∆≌，故D F ∠=∠．而90D DON FOH F ︒∠+∠=∠+∠=，故90AHD ︒∠=，亦即AM CD ⊥．MECDBANOF H MECDBA【补充】⑴(理工附中06～07学年下学期期中考试)在ABC ∆中，96A ∠=，延长BC 到D ，ABC ∠与ACD ∠ 的角平分线相交于点1A ，1A BC ∠与1ACD ∠的角平分线交于2A ，…，依次类推4A BC ∠与4A CD ∠的角平分线交于5A ，求5A ∠大小．A 2A 1ABC D A B CDEFG⑵(初二第5届希望杯1试)如右上图，BF 是ABD ∠的角平分线，CE 是ACD ∠角的平分线，BE 与CF 交于G ，若140BDC ∠=，110BGC ∠=，求A ∠的度数．【解析】 ⑴在此教师帮助学生回忆补充第2讲的几个重要结论．根据结论易得：112A A ∠=∠，同理2112A A ∠=∠，3212A A ∠=∠，4312A A ∠=∠，54132A A ∠=∠=⑵延长BD 交AC 于H ，则B DC H CD ∠=∠+∠∵DHC A ABH ∠=∠+∠∴BDC A ABH HCD ∠=∠+∠+∠① ∵BGC GFC FCG ∠=∠+∠，GFC A ABF ∠=∠+∠ ∴BGC A ABF FCG ∠=∠+∠+∠ ∴2222BGC A ABF FCG ∠=∠+∠+∠ 即22BGC A ABH ACD ∠=∠+∠+∠② ②－①得2BGC BDC A ∠-∠=∠ ∴211014080A ∠=⨯-=【例24】如图，在ABC ∆中，AB AC =，BD 、AM 分别是ABC ∠、BAC ∠的平分线，DN BC ⊥，GF BD ⊥．求证：14MN BF =．【解析】如图，作DH BC ∥，交AB 于H ，交AM 于R ． ∵ABC ∆为等腰三角形，且AM 平分BAC ∠ ∴M 为BC 中点，且AM BC ⊥∵BD 平分ABC ∠，且GF BD ⊥∴FGB ∆为等腰三角形，且D 为FG 的中点又∵HD BF ∥∴12HD BF =，且R 为HD 中点，即2HD RD =可以发现四边形RMND 为矩形，于是RD MN =∴1124MN RD HD BF ===作业：G F E D C B A HRHF N M GD C B A F N M GDCB A【习题1】在ABC △中，3AB AC =，BAC ∠的平分线交BC 于D ，过B 作BE AD ⊥，E 为垂足，求证：AD DE =．C E DB AC FE GD B A【解析】延长AC 交BE 的延长线于F ，过E 作EG BC ∥交CF 于G ，容易证得3AF AB AC ==，且E 为BF 之中点，故易得AC CG GF ==．【习题2】如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．D C B AEDC BA【解析】方法一：在AC 上取一点E ，使得AB AE =，连结DE ．在ABD ∆和AED ∆中，AB AE =，BAD EAD ∠=∠， AD AD =．∴ABD AED ∆∆≌，∴BD ED =，B AED ∠=∠又∵AB BD AC +=，∴EC BD ED == 2AED EDC C C B ∠=∠+∠=∠=∠．其他方法参考例题．【习题3】(04年山东中考题)AD 是ABC ∆的角平分线，BE AD ⊥交AD 的延长线于E ，EF AC ∥交AB 于F ．求证：AF FB =．DECFBADE OCFB A【解析】由“角平分线+垂直”联想到等腰三角形的“三线合一”，故恢复等腰三角形．延长AC 交BE 的延长线于点O ，易证得ABE AOE ∆∆≌，所以E 为BO 的中点，又EF AC ∥，所以EF 为ABC ∆的中位线，故AF FB =．这道题目是典型的“补图”，凸显题目中的条件．【习题4】如图所示，AD 平行于BC ，DAE EAB ∠=∠，ABE EBC ∠=∠，AD =4，BC =2，那么AB =________．FABCDEEDCB A【解析】过E 做EF 交AB 于F ，使AF ＝AD ，易证∆ADE ≌∆AFE ；∆EFB ≌∆EBC 则AB＝AD ＋BC ＝6．【习题5】ABC ∆中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于FEG AC ⊥于G ．求证：BF CG =．EGF DC BAEGFDC BA【解析】连接BE 、CE ．DE 垂直平分BC ，∴BE CE =，AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，EG AC ⊥，∴EF EG =，又90BFE CGE ∠=∠=︒，∴Rt BEF ∆≌Rt CEG ∆(HL )，∴BF CG =，【备选1】(2001年河南省中考题)在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=．求:B C ∠∠的值．C D B AECD B A【解析】在AC 上截取AE AB =，连结DE根据SAS 证得ABD ∆≌AED ∆，∴AED B EDC C ∠=∠=∠+∠，DE BD =，结合已知可得ED EC =，∴EDC C ∠=∠，∴2B C ∠=∠，:2:1B C ∠∠=【备选2】如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．月测备选21ECBA 543MA BCE12【解析】延长BE 交AC 于M ．∵AE BE ⊥，12∠=∠∴34∠=∠，AB AM =，BE EM =∴AC AB AC AM MC -=-=，2BM BE =又∵345C ∠=∠=∠+∠，353ABC C ∠=∠+∠=∠ ∴553C C ∠+∠+∠=∠ ∴5C ∠=∠ ∴MB MC =∴2AC AB BE -=．【备选3】如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．F EBCDA EBCDA【解析】如图所示，在AB 上截取AF ，使AF AD =．连接EF ，则可得ADE AFE ∆∆≌，于是ADE AFE ∠=∠．由AD BC ∥可知180ADE C ︒∠+∠=．而180EFC AFE ︒∠+∠=，从而EFC C ∠=∠．注意到BE 平分B ∠，BE 公用，由角边角公理的推论可知EFB ECB ∆∆≌，从而BF BC =，故AD BC AF BF AB +=+=．。

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全等三角形中的角平分线中考要求知识点睛板块考试要求 A 级要求B 级要求Ｃ级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角. (3)有公共边的，公共边常是对应边．（４）有公共角的，公共角常是对应角．（5）有对顶角的，对顶角常是对应角.（6)两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边(或对应角）,一对最短边(或最小角）是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：（1）边角边定理(SA Ｓ)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (２) 角边角定理(A ＳＡ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. （３）边边边定理(S ＳS ）:三边对应相等的两个三角形全等.(４) 角角边定理(A ＡS ）:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (５) 斜边、直角边定理（H Ｌ):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过程中,注意有时会添加辅助线.第十讲例题精讲奥数赛点:能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等; ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型,一般情况下，有下列三种作辅助线的方式: 1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2. 过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形,3. OA OB =,这种对称的图形应用得也较为普遍，AB OPPOB A A B OP【例1】如图，已知ABC ∆的周长是21,OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠,OD BC ⊥于D ，且3OD =,求ABC ∆的面积．【例2】在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠，BD CD =,求证:AB AC =．【例3】如图所示:AB AC =,AD AE =,CD 、BE 相交于点O .求证:OA 平分DAE ∠．ADOC BD CBAABCDEO【例4】已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．ED CB A【例5】 (200６年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ,试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明.OED CBA【例6】如图，在ABC ∆中,60B ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠，且AD 与CE 的交点为F .求证:FE FD =．FBEDCA【例7】如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠.求证：ED EB =.E DC B A4321【例8】 (06北京中考题)如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线,OA OC =,OB OD =.求证:AB CD =．PDBOCA【例9】 (“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD 中,ＡB =4,ＢＣ=7,∠B ＡＤ的角平分线交ＢＣ于点E ,EF ⊥ED 交AB 于F ,则E Ｆ=________＿_．FEDCBA【例10】如图所示，已知ABC ∆中,AD 平分BAC ∠,E 、F 分别在BD 、AD上．DE CD =,EF AC =.求证:EF ∥ABFA CD E B【巩固】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ,点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ,交AB 于点G ,若BG CF =,求证:AD 为BAC ∠的角平分线.F GE DCBA【例11】如图所示，ＡD 是ABC ∆的角平分线,DE 、DF 分别是ABD ACD ∆∆和的高,0DEF 20∠=,则BAC ∠等于_＿__＿___.FEDC BA【例12】如图，已知△ABC 中,AD 平分∠BAC ,ＡB =6，ＡＣ=３，∠B ＡＣ=１20°.求A Ｄ的长.DCBA【例13】 (北京市西城区2００6年抽样测试八年级（上)附加题,黄冈市数学竞赛试题)如图所示,在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的外角平分线,P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB PC +与AB AC +的大小，并说明理由.DPC B A【巩固】在ABC ∆中，AB AC >,AD 是BAC ∠的平分线.P 是AD 上任意一点．求证:AB AC PB PC ->-．CD B PA【例14】如图,在ABC ∆中，2B C ∠=∠,BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证:AB BD AC +=.DC B A【巩固】如图,ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点.求证:BC AC CD =+．AB CD【巩固】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=.BAF EDC321【例15】如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，M 是BC 的中点，ME AD ⊥且交AC 的延长线于E ,12CE CD =,求证2ACB B ∠=∠.EMDCBA【例16】如图所示,在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点,AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证()12MF AC AB =-．MFD CB A【巩固】如图所示,AD 是ABC ∆中BAC ∠的外角平分线，CD AD ⊥于D ，E 是BC 的中点，求证DE AB ∥ 且1()2DE AB AC =+．E DCA【巩固】如图所示,在ABC ∆中,AD 平分BAC ∠，AD AB =,CM AD ⊥于M ,求证2AB AC AM +=．MD CBA【例17】如图，ABC ∆中,AB AC =,BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ,AE CE ⊥于E ．求证:AD AE =．HG D AB C E【巩固】已知:AD 和BE 分别是ABC △的CAB ∠和CBA ∠的外角平分线,CD AD ⊥，CE BE ⊥,求证：⑴ DE AB ∥;⑵ ()12DE AB BC CA =++.EBA D C【例18】在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的外角ABE ∠、ACF ∠的角平分线,AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证:MN BC ∥，()12MN AB AC BC =++FEN M CBA【巩固】在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N .求证:MN BC ∥，()12MN AB AC BC =+-N MCBA【例19】在ABC △中,CD 、AE 分别为AB 、BC 边上的高,60B =∠,求证：12DE AC =．CE DB A【巩固】(北京市中考模拟题）如图,在四边形ABCD 中,AC 平分BAD ∠，过C 作E AB CE 于⊥，并且)(21AD AB AE +=，则ADC ABC ∠+∠等于多少?EDCBA【例20】如图，180A D ∠+∠=︒,BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠,点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系. ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系.EDCB A【例21】如图所示,在ABC ∆中,90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，BCA ∠的角平分线交AD与F ，交AB 于E ，FG 平行于BC 交AB 于Ｇ．ＡＥ＝４，AB ＝１4,则BG =＿＿＿___.GFE DCB A【巩固】如图所示,在R ｔ三角形ＡＢC 中,090,C CH AB ∠=⊥于Ｈ,AG 平分BAC ∠,交CH于D ，交B Ｃ于G ，在ＢC 上取BE =ＣG ，连接E Ｄ,证明:CDE ∆是直角三角形．HEG DBA【例22】如图所示，90BAC DAE ︒∠=∠=,M 是BE 的中点,AB AC =，AD AE =,求证AM CD ⊥．MECBA【巩固】⑴(理工附中06～07学年下学期期中考试）在ABC ∆中，96A ∠=,延长BC 到D ,ABC ∠与ACD ∠ 的角平分线相交于点1A ，1A BC ∠与1ACD ∠的角平分线交于2A ，…,依次类推4A BC ∠与4A CD ∠的角平分线交于5A ，求5A ∠大小．A 2A 1ABC D A B CDEFG⑵(初二第5届希望杯1试）如右上图,BF 是ABD ∠的角平分线,CE 是ACD ∠角的平分线，BE 与CF 交于G ,若140BDC ∠=,110BGC ∠=，求A ∠的度数.【例23】如图，在ABC ∆中,AB AC =,BD 、AM 分别是ABC ∠、BAC ∠的平分线,DN BC ⊥，GF BD ⊥．求证：14MN BF =．家庭作业 F NM DCB A【例24】在直角三角形ABC 中,90C ∠=︒，A ∠的平分线交BC 于D .自C 作CG AB ⊥交AD于E ，交AB 于G .自D 作DF AB ⊥于F ，求证：CF DE ⊥．GABC D EF12【习题1】在ABC △中,3AB AC =,BAC ∠的平分线交BC 于D ,过B 作BE AD ⊥,E 为垂足,求证：AD DE =.C EDB A【习题2】如图，在ABC ∆中,AB BD AC +=,BAC ∠的平分线AD 交BC 与D .求证：2B C ∠=∠.DC B A【习题3】(0４年山东中考题)AD 是ABC ∆的角平分线,BE AD ⊥交AD 的延长线于E ,EF AC ∥交AB 于F ．求证：AF FB =．DECFBA【习题4】如图所示，ＡＤ平行于BC ,DAE EAB ∠=∠，ABE EBC ∠=∠,AD =4,ＢC =2，那么ＡＢ=__＿_____.【习题5】ABC ∆中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于FEG AC ⊥于G ．求证：BF CG =.EDCBAEGF DC BA。