第四讲 全等三角形与角平分线
《角的平分线的性质》全等三角形
05
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复习与巩固
复习全等三角形和角的平分线的性质的基本概念和性质
总结全等三角形的定义、判定方法以及性质。 回顾角的平分线的性质的定义、判定方法和性质。
与前一章节的内容进行衔接，展示如何利用前一章节的知识来证明全等三角形。
通过练习巩固所学知识
选择题
根据全等三角形和角的平分线 的性质的定义和判定方法，设 计多个选择题，考察学生对基
角的平分线的性质
一个角的平分线将对应的边分成两段，其中较长 的一段等于较短的一段。
利用角的平分线的性质证明全等三角形的实例
题目
在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD.求证：△ABC是等腰三角形。
证明过程
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD，∴根据角的平分线的性质和HL定理可得 △ADE≌△ADF(HL)，∴∠ADE=∠ADF，又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴根据角的平分线的性质和AAS定理可得 △ABC是等腰三角形。
常见的错误和注意事项
常见的错误
在证明过程中，容易忽略HL定理的应用 ，或者在应用HL定理时忽略了对应边相 等的前提条件。
VS
注意事项
在利用角的平分线的性质证明全等三角形 时，需要仔细分析题目的条件和结论，选 择合适的判定定理和性质进行证明。同时 ，需要注意定理应用的前提条件和限制条 件。
04
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角角边定理（AAS）
如果两个三角形的两个角对应相等， 且其中一个角的对应边也相等，则这 两个三角形全等。
02
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角的平分线的性质
角的平分线的定义
第四讲 全等三角形及判定(SSS、SAS)
A
D
B
E
C
3、如图△ ABD ≌ △CDB，若AB=4，AD=5，BD=6，
则BC=
，CD=
A
。
D
B
C
如图,已知△ AOC ≌ △BOD，求证：AC∥BD
三角形全等的判定（SSS)
3.在△ABC 与△A'B'C'中,若AB=A'B',
BC=B'C',AC=A`C`,∠A=∠A', ∠B=∠B', ∠C=∠C',那 么△ABC 与△A'B'C'全等吗? 具备三条边对应相等,三个角对应相等的两个三角形全等 A A'
(1)一个条件
一边 一角 一边一角 两角 两边
(2)两个条件
三角
(3)三个条件 三边 两边一角 两角一边
先任意画出一个△ABC，再画一个△ A`B`C`，使 A`B`= AB ,B`C` =BC,C` A`= CA，把画好的△ A`B`C` 剪下，放到出的△ABC上，它们全等吗？ 画法： 画一个△ A`B`C`，使A`B`= AB ,B`C` =BC,C` A`= CA １．画线段B`C` =BC; ２．分别以B`，C`为圆心，以线段AB ，AC为半径画弧， 两弧交于点 A`; ３．连接线段 A`B`= A`C`．
全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等；
1、观察上图中的全等三角形应表示为： △ ABC ≌ △ DEF 。 2、根椐全等三角形的定义我们知道了对应边、对应角的关系？请
完成下面填空：
∵ △ ABC ≌ △ DEF（已知） ∴AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ∠A
＝ ∠D，∠B
(完整版)利用角平分线构造全等三角形
善于构造 活用性质安徽 张雷几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题.1.显“距离”, 用性质很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？ 分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．已知：如图，△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ，求证：点I 在∠ACB 的平分线上． 证明：过点I 作IH ⊥AB 、IG ⊥AC 、IF ⊥BC ，垂足分别是点H 、G 、F ． ∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上，且IH ⊥AB 、IG ⊥AC ∴IH=IG （角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理 IH=IF ∴IG=IF （等量代换） 又IG ⊥AC 、IF ⊥BC∴点I 在∠ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点．【例2】已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，•它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线．【分析】要证BP 为∠MBN 的平分线，只需证PD=PF ，而PA 、PC 为外角平分线，•故可过P 作PE ⊥AC 于E ．根据角平分线性质定理有PD=PE ，PF=PE ，则有PD=PF ，故问题得证．【证明】过P 作PE ⊥AC 于E ．∵PA 、PC 分别为∠MAC 与∠NCA 的平分线．且PD ⊥BM ，PF ⊥BN ∴PD=PE ，PF=PE,∴PD=PF又∵PD ⊥BM ，PF ⊥BN,∴点P 在∠MBN 的平分线上，D C A EHI F G2DCBA35EF14即BP是∠MBN的平分线．2.构距离,造全等有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题．例3．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB交BC于D点，问能否在AB•上确定一点E使△BDE的周长等于AB的长．请说明理由．解：过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求．因为∠C=90°，AC=BC，又DE⊥AB，∴DE=EB．∵AD平分∠CAB且CD⊥AC、ED⊥AB，∴CD=DE．由“HL”可证Rt△ACD≌Rt△AED．∴AC=AE．∴L△BDE=BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB =AE+EB =AB．例4．如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．求证：AD=CD+AB．证明：过M作ME⊥AD，交AD于E．∵DM平分∠ADC，∠C=90°．MC=ME．根据“HL”可以证得Rt△MCD≌Rt△MED，∴CD=ED．同理可得AB=AE．∴CD+AB=ED+AE=AD．即AD=CD+AB．3.巧翻折, 造全等以角平分线为对称轴，构造两三角形全等．即在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．例5.如图，已知△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，CD•垂直于∠ABC•的平分线BD 于D，BD交AC于E，求证：BE=2CD．分析：要证BE=2CD，想到要构造等于2CD的线段，结合角平分线，•利用翻折的方法把△CBD沿BD翻折，使BC重叠到BA所在的直线上，即构造全等三角形（△BCD ≌△BFD），然后证明BE和CF（2CD）所在的三角形全等．证明：延长BA、CD交于点F∵BD ⊥CF （已知） ∴∠BDC=∠BDF=90° ∵BD 平分∠ABC （已知） ∴∠1=∠2 在△BCD 和△BFD 中21()()()BD BD BDC BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已知公共边已证∴△BCD ≌△BFD （ASA ） ∴CD=FD ， 即CF=2CD∵∠5=∠4=90°，∠BDF=90° ∴∠3+∠F=90°，∠1+∠F=90°。
角平分线和全等三角形证明分类
精锐教育学科教师辅导讲义之宇文皓月创作学员编号：年级：初二课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型T 角平分线C专题精讲授课日期时段教学内容1. 角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB。
（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB，∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。
3. 角平分线性质及判定的应用①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用．例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，而且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．【例题讲解】1．在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，AB ＝7㎝，AC ＝3㎝，求BE 的长。
2．如图：在△ABC 中，∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ； 求证：CF=EB3.如图，P 为∠AOB 内一点，OA=OB ，且△OPA 与△OPB 面积相等，求证∠AOP=∠BOP.4.如图，AB=AC ，AD=AE ，BD 、CE 交于O ，求证AO 平分∠BAC.EDCBAEABCD F【同步练习】1.在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，则： ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE 相等？为什么？⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6， 求BE ，AE 的长和△AED 的周长2．已知，如图DABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点。
全等三角形135逆命题与逆定理4角平分线角平分线的判定课件2
你一定发现到角两边距离相等的点的确在该角的 平分线上. 我们可以通过“证明”说明这一结论正确.
知1－讲
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离 相等
的点在角的平分线上．
(1)几何语言：如图13.5-15，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或
∠AOC＝∠BOC)． (2)作用：运用角平分线的判定，
图
知1－讲
证明：过点O、Q作射线OQ. ∵ QD⊥OA, QE⊥OB ， ∴ ∠QDO= ∠BOQ = 90°. 在 Rt △QDO和 Rt △QEO中，
∵ OQ = OQ，QD = QE，
∴ Rt △QDO≌ Rt △QEO, (H. L.), ∴ ∠DOQ= ∠EOQ(全等三角形的对应角相等). ∴点Q在∠AOB的平分线上.
试试看，现在你会证明了吗？
图13.5.6
知2－讲
例4 如图13.5-20，CP，BP是△ABC两外角的平分线，
PE⊥AC且与AC的延长线交于点E，PF⊥AB且与
AB的延长线交于点F，试探究BC，CE，BF三条
线段有什么关系？
导引：点P是两个角的平分线的
交点，因此先作PD⊥BC，
利用角平分线的性质找出
(2)点在角的平分线上
点到这个角两边的
距离相等．
(3)性质反映只要是角平分线上的点，到角两边的距离 就一定相等；判定定理反映只要是到角两边
距离 相等的点，都应在角的平分线上．
AB •D1 E）∶（ 2
AC •D1 F）＝ 2
(2)∵S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC，
1
1
∴ （ AB •DE）∶（ AC •DF） ＝AB∶AC，
角平分线与全等三角形
角平分线与全等三角形三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
下图D是角平分线上的一点。
根据角平分线的定义可以得到两个相等的角：∠CAD=∠BAD，还知道AD=AD，所以再需要一个条件就可以构造出全等三角形。
例如过D点作角分线AD的垂线，交AC于点E，交AB于点F，则有∠ADE=∠ADF=90°，结合AD=AD，∠CAD=∠BAD，可知∆ADE≌∆ADF(ASA)，可得AE=AF，DE=DF。
根据这个结论我们可以知道等腰三角形AFE中，AD即是角平分线，又是中线和高。
可以帮助我们理解等腰三角形的三线合一(八年级的知识)。
还可以过D点作AC的垂线交AC于点E，过D点作AB的垂线交AB于点F，则有∠AED=∠AFD=90°，结合∠EAD=∠FAD，AD=AD，可知∆ADE≌∆ADF(AAS)。
所以DE=DF。
这个就是角平分线的性质之一：角平分线上的点到角两边的距离相等。
虽然上面两种情况增加的都是直角，但是即使不是直角，只要知道∠AED=∠AFD或者∠ADE=∠ADF等，都可以得到∆ADE≌∆ADF。
以上增加的条件都是相等的角，但是我们还可以增加等边的条件。
例如在射线AC上截取线段AE，在射线AB上截取线段AF使AF=AE，然后连接ED 与FD。
结合∠FAD=∠EAD，AD=AD，就可以得到∆ADF≌∆ADE(SAS)。
掌握利用角平分线构造全等三角形的方法后。
这两个方法是七年级构造全等三角形最基本的方法，它们看起来很神奇，解题时也非常好用，但其实它们的实质就是：角平分线给出了等角中线可以得到等边而角相等，边相等是证明三角形全等的基本条件。
有了已知的等角或等边，我们可以通过辅助线作出其它所需的等边或等角，从而构造出全等的三角形。
熟练掌握这些基本的方法(模型)，可以拓展我们的解题思路，加快解题速度。
也启发了我们：善于发现等角和等边，并充分利用它们，才是解几何题的关键。
全等三角形和角平分线专题讲解
CE O D BA21C E DBA 2143C O B A全等三角形专题讲解专题一 全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种： 1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”，“边边边”） 2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS ”，“边角边”） 3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”，“角边角”） 4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS ”，“角角边”）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”, “斜边、直角边”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知：如图，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．分析：由CE ⊥AB ，BD ⊥AC ，得∠AEO=∠ADO=90º．由AO 平分∠BAC ，得∠EAO=∠DAO ．又AO 为公共边，所以△AEO ≌△ADO ．所以EO=DO ，AE=AD ．又∠BEO=∠CDO=90º，∠BOE=∠COD ，所以△BOE ≌△COD ．由 AE=AD ，∠AEO=∠ADO=90º，∠BAC 为公 共角，所以△EAC ≌DAO ．所以AB=AC ．又∠EAO=∠DAO ， AO 为公共边，所以△ABO ≌△ACO ．所以图中全等的三角形一共有4对．（2）条件不足，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．例2 如图，已知AB=AD ，∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个）_____． 分析：要使△ABC ≌△ADE ，注意到∠1=∠2， 所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ，即∠BAC=∠EAC ．要使△ABC ≌△ADE ，根据SAS 可知只需AC=AE即可；根据ASA 可知只需∠B=∠D ；根据AAS 可知只需∠C=∠E ．故可添加的条件是AC=AE 或∠B=∠D 或∠C=∠E ．（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时， 当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系， 使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知：如图，AB=AC ，∠1=∠2．求证：AO 平分∠BAC ．GA B F D E C ODA CB 要证∠BAO=∠BCO ，只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可．证明：连结BC ．因为AB=AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ．因为∠1=∠2，所以∠ABC -∠1＝∠ACB -∠2． 即∠3=∠4，所以BO=CO ．因为AB=AC ，BO=CO ，AO=AO ， 所以△ABO ≌△ACO ．所以∠BAO=∠CAO ，即AO 平分∠BAC ．（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．例4 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ． 证明：过B 作BG ⊥BC 交CF 延长线于G ， 所以BG ∥AC ．所以∠G=∠ACE ．因为AC ⊥BC ， CE ⊥AD ，所以∠ACE=∠ADC ．所以∠G=∠ADC ．因为AC=BC ，∠ACD ＝∠CBG=90º，所以△ACD ≌△CBG ．所以BG=CD=BD ．因为∠CBF=∠GBF=45º，BF=BF ，所以△GBF ≌△DBF ．所以∠G=∠BDF ．所以∠ADC ＝∠BDF ．所以∠ADC ＝∠BDF ．说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件 限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数 学知识按以下要求设计一测量方案﹒(1)画出测量图案﹒(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）(3)计算A 、B 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）﹒分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1)题，测量图案如图5所示．第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB ，这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第(3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．解：(1)如右图示．(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD ＝OB ，这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．(3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ．又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ． ∴CD=AB=a ．评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生FCEDBA CEDBAA OQ M CPBN A D C PBHF EGAD CBA学生用数学的意识﹒练习：1．已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，AB ∥FC ，DF 交AC 于点E ，DE=FE ． 求证：AE=CE ．2．如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，点D 在AE 上，已知∠ABD=∠ACD ，∠BDE=∠CDE ． 求证：BD=CD ．3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种 方法：如图所示，先在∠AOB 的两边上取OP=OQ ， 再取PM=QN ，连接PN 、QM ，得交点C ，则射线OC 平分∠AOB ．你能说明道理吗？4．如图，△ABC 中，AB=AC ，过点A 作 GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的 延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．5．已知：如图，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件，使图 中存在全等三角形，并给予证明．所添条件为__________，你得到的一 对全等三角形是△_____≌△_____．6．如图，∠A=∠D ，BC=EF ，那么需要 补充一个直接条件_____（写出一个即可），才能AD CBAODCBAFCGBEAF DCB E7．如图，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABD≌△ACD．8．如图，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．9．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证：EG=GF．10．已知：如图，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AF⊥CD．求证：∠B=∠E．11．如图，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）(A)带①和②去 (B)带①去(C)带②去 (D)带③去12．有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，并43O E DC B A 21F ED C BA 2113．如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O 连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工件，则A' B'的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB ≌△OAB 的理由是（ ）（A ）边角边 （B ）角边角 （C ）边边边 （D ）角角边专题二 角的平分线从一个角的顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴．因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路．（1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等例6 如图，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ，BD ⊥OA 于D ，交点为C ．求证：AC=BC ．证法：∵AE ⊥OB ，BD ⊥OA ，∴∠ADC=∠BEC=︒90． ∵∠1＝∠2，∴CD=CE ． 在△ACD 和△BCE 中，∠ADC=∠BEC ，CD=CE ，∠3＝∠4． ∴△ACD ≌△BCE(ASA)，∴AC=BC ．说明：本题若用全等方法证明点C 到OA 、OB 距离相等，浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法，不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理，以后再学新定理，应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法．例7 已知：如图，△ABC 中，BD=CD ，∠1＝∠2． 求证：AD 平分∠BAC ．证明：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ． 在△BED 与△CFD 中，∠1＝∠2，∠BED ＝∠CFD ＝︒90，BD=CD ，∴△BED ≌△CFD(AAS)．∴DE ＝DF ，∴AD 平分∠BAC ． 说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．（2）利用角的平分线构造全等三角形 ①过角平分线上一点作两边的垂线段例8 如图，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ． 求证：AE=ED ．A FH D CG B EA D CB E A F DC B E CEBA D点E 分别作AB 、BC 、CD 的垂线段．证明：过点E 作EF ⊥AB ，交BA 的延长线于点F ，作EG ⊥BC ，垂足为G ，作EH ⊥CD ，垂足为H ． ∵BE 平分∠ABC ，EF ⊥AB ，EG ⊥BC ， ∴EF=EG ．同理EG =EH ．∴EF=EH ． ∵AB ∥CD ，∴∠FAE=∠D ． ∵EF ⊥AB ，EH ⊥CD ，∴∠AFE=∠DHE=90º．在△AFE 和△DHE 中，∠AFE=∠DHE ，EF=EH ，∠FAE=∠D ． ∴△AFE ≌△DHE ．∴AE=ED ．②以角的平分线为对称轴构造对称图形例9 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ． 求证：AB=AC+CD ．分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB 上截取AE=AC ，连接DE ，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB 分成AE 和BE 两段，只需证明BE=CD 就可以了．证明：在AB 上截取AE=AC ，连接DE ． ∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD=∠CAD ． 在△EAD 和△CAD 中，∠EAD=∠CAD ，AD=AD ，AE=AC ， ∴△EAD ≌△CAD ．∴∠AED=∠C ，CD=DE ．∵∠C=2∠B ，∴∠AED=2∠B ．∵∠AED=∠B+∠EBD ，∴∠B=∠EDB ． ∴BE=ED ．∴BE=CD ．∵AB=AE+BE ，∴AB=AC+CD ．③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例10 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．分析：注意到AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD ，于是可延长CE 交AB 于点F ， 即可构造全等三角形．证明：延长CE 交AB 于点F ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠FAE=∠CAE ． ∵CE ⊥AD ，∴∠FEA=∠CEA=90º．在△FEA 和△CEA 中，∠FAE=∠CAE ，AE=AE ，∠FEA=∠CEA ．∴△FEA ≌△CEA ．∴∠ACE=∠AFE ．∵∠AFE=∠B+∠ECD ，∴∠ACE=∠B+∠ECD ．（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 交AC 于点E ．易证△AED 是等腰三角形． 因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线， 构造等腰三角形．例11 如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．求证：CD=21BE ． 1CF E BADQPCBACB AD 然后再证明CD 与这两条线段都相等． 证明：过点D 作DF ∥AB 交BC 于点F ． ∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2．∵DF ∥AB ，∴∠1=∠3，∠4=∠ABC ． ∴∠2=∠3，∴DF=BF ．∵DE ⊥BD ，∴∠2+∠DEF=90º，∠3+∠5=90º． ∴∠DEF=∠5．∴DF=EF ． ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ． ∴∠4=∠C ，CD=DF ． ∴CD=EF=BF ，即CD=21BE ．练习：1．如图，在△ABC 中，∠B=90º， AD 为∠BAC 的平分线，DF ⊥AC 于F ，DE=DC ．求证：BE=CF ．2．已知：如图，AD 是△ABC 的中线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ．求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线； （2）AB=AC ．3．在△ABC 中，∠BAC=60º，∠C=40º，AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ．求证：AB+BP=BQ+AQ ．4．如图，在△ABC 中，AD 平分 ∠BAC ，AB=AC+CD ．求证：∠C=2∠B ．CEBA D CB AD4321C EBADCEBADCBAD5．如图，E 为△ABC 的∠A 的平分线 AD 上一点，AB ＞AC ．求证：AB -AC ＞EB -EC ．6．如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ， AD=CD ，BD 平分∠ABC ． 求证：∠A+∠C=180º．7．如图所示，已知AD ∥BC ，∠1=∠2， ∠3=∠4，直线DC 过点E 作交AD 于点D ，交 BC 于点C ．求证：AD+BC=AB ．8．已知，如图，△ABC 中，∠ABC=90º， AB=BC ，AE 是∠A 的平分线，CD ⊥AE 于D ．求证：CD=21AE ．9．△ABC 中，AB=AC ，∠A=100º， BD 是∠B 的平分线．求证：AD+BD=BC ．ACB D ACF E B MD10．如图，∠B 和∠C 的平分线相交于点F ， 过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点 E ，若BD+CE=9，则线段DE 的长为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．611．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ， AD 交BC 于点D ，且D 是BC 的中点． 求证：AB=AC ．12．已知：如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线， E 是BC 的中点，EF ∥AD ，交AB 于M ， 交CA 的延长线于F ． 求证：BM=CF ．。
全等三角形与角平分线
实用第四讲全等三角形与角平分线【知识回顾】1全等三角形的性质与判定 2、角平分线的性质与判定【讲解与练习】2 .如图，在平面直角坐标系中， 是线段OA 上的动点，从点O 出发,AB 上.已知A 、Q 两点间的距离是 （s ）时，△ OCF 、△ FAQ >△ CBQ况 x 轴和 y 轴上，OA=10cm ,0C=6cm . FOA 方向作匀速运动，点 Q 在线段 a 倍.若用（a , t ）表示经过时间t 请写出（a , t ）的所有可能情3. ___________________________________________________________ 如图，已知△ ABC 三个角的平分线交于点 O ,延长BA 到点D ，使AD=AO ，连接DO , 若 BD=BC ，/ ABC=54 °，则/ BCA 的度数为 ° .7.如图，已知五边形 ABCDE 中，/ ABC= / AED=90 ° , AB=CD=AE=BC+DE=2 ，则五边 形ABCDE 的面积为 _______________________________________ .1如图，四边形ABCD 中，/ 则AC 长是 cm . 2 ABCD 的面积为24cm ,矩形OABC 的两边分别在 以1cm/s 的速度沿O 、F 两点间距离的 中有两个三角形全等. 4. 如图所示， AB=AC , AD=AE ，/ BAC= / DAE ，/ 1=24 °，/ 2=36 ° ,则/ 3= __________________ .5. 如图，AC=DB ，/ 仁/2，则△ ABC ◎△ ____________________________ ，/ ABC= / _____________________6.如图，点 D 在BC 上, DE 丄AB 于点E , DF 丄BC 交AC 于点F , BD=CF , BE=CD .若 /AFD=145 ° ，则/ EDF= ____________________________________________ .5的形网络，在网格中画出点 F ,使得△ DEF 与厶ABC 全等，这样的格点个.9. ____________________ 如图，0是厶ABC 一点，且0到三边 AB 、BC 、CA 的距离 OF=OD=OE ,若/ BAC=70 Z BOC= _________ .10. 如图，△ ABC 的周长是12, OB 、OC 分别平分Z ABC 和Z ACB , OD 丄BC 于D ，且OD=3，则△ ABC 的面积是 ____________________11. 如图，OC 平分Z AOB , Z AOC=20 ° , P 为 OC 上一点，PD=PE,OD 工 OE , Z OPE=11012. 如图，△ ABC 中，Z A=60 ° , AB > AC ,两角的平分线 CD 、BE 交于点 O , OF 平分ZBOC 交 BC 于 F , (1)Z BOC=120 ° ; (2)连 AO ，贝U AO 平分Z BAC ; (3) A 、O 、F 三点在同一直线上，(4) OD=OE , ( 5) BD+CE=BC .其中正确的结论是 _____________________________ (填序号).13. 如图1,已知△ ABC 中，AB=AC , Z BAC=90 °，直角Z EPF 的顶点P 是BC 中点，两 边PE 、PF 分别交AB 、CA 的延长线于点 E 、F .(1) 求证：AE=CF ;(2) 求证：△ EPF 是等腰直角三角形；(3) 求证：Z FEA+ Z PFC=45 ° ;S ^ABC .8.如图，在5X 三角最多可以画出 (4)求证: S A PFC _ S A PBE = 尹14.如图，△ ACO为等腰直角三角形.(1 )若C (- 1, 3)，求A点坐标；(2)过A作AE丄AC,若/ FEO= / COE，求/ EOF的度数；(3)当厶ACO绕点O旋转时，过C作CN丄y轴，M为AO的中点，/ MNO的大小是否发生变化？15.如图，在△ ABC中，D是边BC上一点，AD平分/ BAC，在AB上截取AE=AC，连接BD=3cm，求线段BC的长.16.如图，在四边形ABCD 中，AC 平分/ DAE，DA // CE，AB=CB .(1)试判断BE与AC有何位置关系？并证明你的结论；(2)若/ DAC=25 °，求/ AEB 的度数.AD平分/ BAC，请利用线段之比可转化为面积之比的思路方法,求证18.如图，△ ABC 中，/ C=60 证：,AD , BE分别平分/ CAB , / CBA、AD、BE交于点P.求(1)/ APB=120 ° ;(2 )点P在/ C的平分线上；(3)AB=AE+BD .19. (1)如图1①，在△ ABC中，/ ABC= / ACB , AB的垂直平分线交AB于点N，交BC 的延长线于点M，若/ BAC=40 °，求/ AMB的度数；(2)如图1②，如果将(1)中的/ BAC的度数改为70°,其余条件不变，再求/ AMB的度数.20.在△ ABC 中, AD是/ BAC的平分线.(1)如图①，求证:S AACD AC(2)如图②，若BD=CD，求证：AB=AC ;(3)如图③，若AB=5 , AC=4 , BC=6 .求BD 的长.2. ________________________________________________________ 如图，在△ ABC 中，AB=AC ，/ BAC=90 ° , AE 是过 A 点的一条直线， CE 丄AE 于E , BD 丄 AE 于 D , DE=4cm , CE=2cm ，贝U BD= .3. 如图，在 Rt △ ABC 中，AC=BC ，/ C=90 ° , AB=8，点F 是AB 边的中点，点 D 、E 分 别在AC 、BC 边上运动，且保持 AD=CE ，连接DE 、DF 、EF .在此运动变化的过程中，下 列结论中正确的结论是(1 )△ DFE 是等腰直角三角形；(2) 四边形CDFE 不可能为形；(3) DE 长度的最小值是4;(4) 四边形CDFE 的面积保持不变;(5) △ CDE 面积的最大值为 4.4. 在直角坐标系中，如图有厶 ABC ，现另有一点D 满足以A 、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，则D 点坐标为 _____________________5. 如图所示，在△ ABC 中，/ A=90 ° , BD 平分/ ABC , AD=2cm , AB+BC=8 , S ^ABC= _____________________ .6. __________________________________________________ 如图，AD 是厶ABC 的角平分线， DF 丄AB ,垂三.【作业】1•“石门福地”小区有一块直角梯形花园，测量 则该花园面积为 _________________ 平方米.AB=20 米，/ DEC=90 °，/ ECD=45足为F, DE=DG , △ ADG和厶AED的面积分别为50和38,则厶EDF的面积为.7.如图，在△ ABC 中，/ ABC=90 ° . AB=BC , A (- 4, 0), B (0, 2) I 玖圏1 图2 图3(1)如图1,求点C的坐标；(2)如图2, BC交x轴于点M , AC交y轴于点N，且BM=CM，求证：/ AMB= / CMN ;(3)如图3,若点A不动，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角厶BOF与等腰直角△ ABE，连接EF交y轴于P点，问当点B在y 轴正半轴上移动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出其长度.&如图，在厶ABC中，已知/ B= / C,AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点.点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A 点运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1s,A BPD与厶CQP是否全等？请说明理由；(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使厶9.如图，AD // BC,/ D=90 ° .(1)如图1,若/ DAB的平分线与/ CBA的平分线交于点P,试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？(2)如图2,如果P是DC的中点，BP平分/ ABC，/ CPB=35°，求/ PAD的度数为多10.观察、猜想、探究：在厶ABC 中，/ ACB=2 / B.(1)如图①，当/ C=90 ° , AD为/ BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD ;(2)如图②，当/ CM 90°, AD为/ BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；(3)如图③，当AD ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.参考答案与试题解析(1, 4)(丄，5), (0 10)b.解：①当△ COF 和厶FAQ 全等时,OC=AF ，OF=AQ 或 OC=AQ ，OF=AF , •/ OC=6 , OF=t , AF=10 - t , AQ=at ，代入得:::厂或(Mt ，解得2，a=1, ,5);②同理当厶FAQ 和厶CBQ 全等时，必须BC=AF , BQ=AQ ,10=10 - t , 6- at=at ，此时不存在；③因为△ CBQ 最长直角边 BC=10，而△ COF 的最长直角 边不能等于10,所以△。
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全等三角形与角平分线-第四讲．第四讲全等三角形与角平分线一．【知识回顾】角平分线 2、1、全等三角形的性质与判定的性质与判定【讲解与练习】二．中，∠．如图，四边形ABCD1°，BAD=∠BCD=90的面积ABCDAB=AD，若四边形cm．为24cm，则AC长是2的．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC2，轴上，OA=10cm两边分别在x轴和y出发，O是线段OA上的动点，从点OC=6cm．FQ方向作匀速运动，点1cm/s的速度沿OA以、Q两点间的距离是O在线段AB上．已知A、）表示经过时，tF两点间距离的a倍．若用（a中有两FAQ、△、△CBQs间t（）时，△OCF）的所有可能情，t个三角形全等．请写出（a ．况2第页三个内角的平分线交于点3．如图，已知△ABC，若，连接DO，延长OBA到点D，使AD=AO的度数BCABD=BC，∠ABC=54°，则∠为°．4．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=24°，∠2=36°，则∠3=．5．如图，AC=DB，∠1=∠2，则△ABC≌ABC=，∠△．∠BCD在6．如图，点，AC于点F交，⊥上，DEAB于点EDF⊥BC°，则∠AFD=145．若∠BD=CF，BE=CD ．EDF=第3页图，已知五7．如中，边形ABCDE∠∠ABC=，则五边形+AB=CD=AE=BCDE=2°，AED=90 ABCDE．的面积为的正方形网络，在网格中画出58．如图，在5×全等，这样的格点F，使得△DEF与△ABC点个．三角最多可以画出、到三边ABO是△如图，9．OABC内一点，且°，若∠，BAC=70OF=OD=OECABC、的距离 BOC=∠．4第页分别的周长是12，OB、OC10．如图，△ABC，于D，且OD=3平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC ．则△ABC的面积是P°，，∠AOC=20．如图，OC平分∠AOB11，∠≠OEODOC上一点，PD=PE，为°．OPE=110°，则∠ODP=ABC12．如图，△、，两内角的平分线CD中，∠A=60°，AB＞AC）（1BOC交BC于F，交于点BEO，OF平分∠；平分∠BAC连AO，则AO∠BOC=120°；（2），OD=OE三点在同一直线上，（4）A（3）、O、F CE=BC）BD+．其中正确的结论是5（（填序号）．，∠AB=ACABC．如图1，已知△中，13中点，P的顶点是BCBAC=90°，直角∠EPF、的延长线于点AB、CAE分别交、两边PEPF F．第5页（1）求证：AE=CF；（2）求证：△EPF是等腰直角三角形；（3）求证：∠FEA+∠PFC=45°；（4）求证：S﹣S=S．ABCPFCPBE△△△为等腰直．如图，△ACO14 角三角形．A，求点坐标；），（﹣）若（1C13 6第页（2）过A作AE⊥AC，若∠FEO=∠COE，求∠EOF的度数；（3）当△ACO绕点O旋转时，过C作CN ⊥y轴，M为AO的中点，∠MNO的大小是否发生变化？15．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，连接DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求线段BC 的长．16．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAE，DA∥CE，AB=CB．（1）试判断BE与AC有何位置关系？并证明你的结论；（2）若∠DAC=25°，求∠AEB的度数．第7页平中，AD17．如图，在△ABC请利用线段之比可转化为面积之比的BAC，分∠．思路方法，求证：分AD°，，BE18．如图，△ABC中，∠C=60．求交于点P、，∠CBAAD、BE别平分∠CAB 证：°；（1）∠APB=120 在∠C 的平分线上；2（）点P+BD．AB=AE3（）第8页19．（1）如图1①，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠BAC=40°，求∠AMB的度数；（2）如图1②，如果将（1）中的∠BAC的度数改为70°，其余条件不变，再求∠AMB 的度数．20．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．）如图①，求证：；（1（2）如图②，若BD=CD，求证：AB=AC；（3）如图③，若AB=5，AC=4，BC=6．求BD的长．第9页【作业】三．．“石门福地”小区有一块直角梯形花园，测1∠米，∠量AB=20DEC=90°，平方°，则该花园面积为ECD=45米．°，BAC=90，如图，在△ABC中，AB=AC ∠2．BDAE于E，CEAE是过A点的一条直线，⊥，则CE=2cmDE=4cmAE⊥于D，，．BD=第10页°，C=90中，AC=BC，∠3．如图，在Rt △ABC分别在E边的中点，点D、AB=8，点F是AB、AD=CE，连接DE、ACBC边上运动，且保持．在此运动变化的过程中，下列结论中DF、EF ．正确的结论是是等腰直角三角形；）△DFE（1 不可能为正方形；）四边形CDFE（2 4；3）DE长度的最小值是（ CDFE的面积保持不变；（4）四边形面积的最大值为4．5（）△CDE，现另有一．在直角坐标系中，如图有△4ABCABCD为顶点的三角形与△BD点满足以A、、．D全等，则点坐标为第11页平BDA=90°，5．如图所示，在△ABC中，∠，+BC=8AB分∠ABC，AD=2cm，S．= ABC△，ABDFABC的角平分线，⊥6．如图，AD 是△的面积分AED△ADG和△垂足为F，DE=DG，．的面积为和别为5038，则△EDF，°．AB=BCABC中，∠ABC=907．如图，在△）0，2）4，0，B（（﹣A的坐标；，求点C（1）如图1轴于yAC交，交）如图22，BCx轴于点M（ CMN∠；AMB=BM=CMN点，且，求证：∠ 12第页（3）如图3，若点A不动，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角△BOF与等腰直角△ABE，连接EF交y轴于P点，问当点B在y轴正半轴上移动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出其长度．8．如图，在△ABC中，已知∠B=∠C，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB 的中点．点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．第13页（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1s，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？9．如图，AD∥BC，∠D=90°．（1）如图1，若∠DAB的平分线与∠CBA 的平分线交于点P，试问：点P是线段CD 的中点吗？为什么？（2）如图2，如果P是DC的中点，BP平分∠ABC，∠CPB=35°，求∠PAD的度数为多少？第14页10．观察、猜想、探究：．ACB=2∠B在△ABC中，∠的角BACAD为∠（1）如图①，当∠C=90°， CD；平分线时，求证：AB=AC+的BACAD为∠902（）如图②，当∠C≠°，又有怎样的数CD、ABAC、角平分线时，线段量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想； 15第页的外角平分线时，ABC为△3）如图③，当AD（又有怎样的数量关系？请写CD线段AB、AC、出你的猜想，并对你的猜想给予证明．参考答案与试题解析解：）．，）（，14），，5，（010（．．．1cm2①当△COF和△FAQ全等时，OC=AF，OF=AQ或OC=AQ，OF=AF，第16页，代入得：∵AQ=att，OF=t，AF=10﹣OC=6，，，a=a=1t=4，，或t=5或，解得：CBQ）；②同理当△FAQ和△51∴（，4），（，BC=AF，BQ=AQ，全等时，必须CBQ③因为△，此时不存在；610=10﹣t，﹣at=at 的最长直角边不，而△COFBC=10最长直角边，FCOF10，所以△和△BCQ不全等，④能等于CBQQ，A三点重合，此时△COF和△，（110）故答案为：此时为全等，（0， 10）．54），（，），（0，5．△3°．604．°．．42解：．55°．7．．DCB，∠DCB6．4，AF，，使ADEF=BC，，连AC延长DE至F ∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∵ACD，△△AEF≌Rt△ABCRt由题中条件可得，≌△AFD 2=4．××2××∴S=2S=2?DF?AE=2ADFABCDE△ 4．故答案为：48．130．11．．个．9125°．10．18 （填序号））．5）（2）（12°．．1（）4（ 17第页13．证明：（1）连结AP，EF；∵△ABC为等腰直角三角形，且点P为斜边BC的中点，∴PA=PB=PC，PA⊥BC；而∠EPF=90°，∴∠APF=∠BPE，∠PAC=∠PBA=45°，∴∠PAF=∠PBE=135°；∴△APF≌△BPE （ASA），∴AF=BE，而AB=AC，∴AE=CF．（2）∵△APF≌△BPE，∴PF=PE，而∠EPF=90°，∴△EPF为等腰直角三角形．（3）∵△APF≌△BPE，∴∠PFA=∠PEB，∴∠FEA+∠PFC=∠FEA+∠PEB=45°．（4）∵△APF≌△BPE，∴S=S，∴S﹣PFCPBEAPF△△△，而，=SS=S﹣SAPCPFCAPFPBE△△△△∴S﹣S=S．ABCPFCPBE△△△14．解：（1）作CD⊥y轴，AB⊥DC延长线于B，点+BCA∠+BCA=90°，∠∵∠BAC °，∠DCO=90≌△ABCDCO，∴△∴∠BAC=∠，CDO（AAS）点坐AB=CD=1，∴A，∴BC=OD=3 ；2标（﹣4，） EOF=45°；）∴∠（2第18页（3）不变，理由如下：作MK⊥ON于K点，MF⊥NC于F点，连接MC，∵∠MFC=∠CNO=∠MKN=90°，∴∠FMK=90°，四边形MKNF为矩形，∵AC=CO，M是AO中点，∴∠CMO=90°，CM=MO，∵∠CMO=∠CMK+∠KMO，∠FMK=∠FMC+∠CMK，∴∠KMO=∠FMC，∴△FMC≌△KMO（AAS），∴FM=MK，∴矩形MKNF为正方形，∴∠MNO=45°．15．解：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∴△ADE≌△ADC（SAS）∴DE=DC∴BC=BD+DC=BD+DE=2+3=5（cm）．16．（1）答：BE垂直平分AC，证明：∵AC 平分∠DAE，∴∠DAC=∠EAC，∵DA∥CE，∴∠DAC=∠ACE，∴∠ACE=∠EAC，∴EA=EC，∴E在AC的垂直平分线上，∵AB=CB，∴B在AC的垂直平分线上，∴BE垂直平分AC；19第页（2）解：∵AC是∠DAE的平分线，∴∠DAC=∠CAE=25°，又∵DA∥E∴∠DAC=∠ACE=25°∴∠CAE=∠ACE=25°∴AE=CE，∠AEC=130°，∴△AEB≌△CEB，∴∠AEB=∠CEB，∴∠AEB=（360°﹣∠AEC）=115°．17．面积法18．证明：（1）∵∠C=60°，AD、BE是△ABC的角平分线，∴∠ABP=∠ABC，∠BAP=∠BAC，∴∠BAP+∠MBP=（∠ABC+∠BAC）=（180°﹣∠C）=60°，∴∠APB=120°；（2）如图1，过P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，∵AD，BE分别平分∠CAB，∠CBA，∴PF=PG，PF=PH，∴PH=PG，∴点P在∠C的平分线上；（3）如图2，在AB上取点M使AM=AE，连接PM∵AD是∠BAC的平分线，∴∠PAM=∠PAE，∴△AMP≌△AEP，∴∠APM=∠APE=180°﹣∠APB=60°，∴∠BPM=180°﹣（∠APM+∠APE）=60°，∠BPD=∠APE=60°，∴∠BPM=∠BPD，第20页∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠MBP=∠DBP，∴△BOM≌△BOD，∴BM=BD，∴AB=AM+BM=AE+BD．19．解：∵∠ABC=∠ACB，∠BAC=40°，∴∠∵ABC=70°，分线的垂直平AB，NAB于点交BAM=∴∠∴AM=BM，BC交的延长线于点M，﹣∠AMB=180°﹣∠ABC∠ABC=70°，∴∠ BAM=40°；°，∴∠BAC=70ACB）∵∠ABC=∠，∠2（，AB的垂直平分线交于点NABC=55°，∵ABBAM=∴∠，M∴AM=BM，的延长线于点交BC ABC=55°，∠第21页﹣∠BAM=70°．°﹣∠∴∠AMB=180ABC，E⊥AB于20．解：（1）如图①，证明：作DE 的平分线，是∠BACDF ⊥AC于F，∵AD∴；∴DE=DF）的结论2）∵BD=CD，∴S 由（1=S（ACDABD△△；，∴，∴AB=AC，∵，垂足为A作AE⊥BCE（3）如图③，过，）的结论1，∴，由（∴，BD=∴DC=．【作业】 3．．（1）．200．2．6cm?吉安模拟）在直角坐标系中，如图有（20164．为顶点D满足以A、B、ABC△，现另有一点D，（0全等，则的三角形与△ABCD点坐标为．），）或（，﹣）或（﹣22222 22第页8cm．6．56．．2，⊥BO（1）作CD7．解：+°，∠ABO+∵∠CBD∠ABO=90 BAO，BAO=90°，∴∠CBD=∠∠，，∴BD=AO=4（AAS）≌△∴△ABOBCD CD=BO=2，；22，﹣）∴C点坐标（）（2轴，EG⊥y（3）作∠+°，∠OBA∵∠BAO+∠OBA=90EBG=90°，≌△BAO∠∴∠BAO=EBG，∴△，EBG（AAS），∴BF=EG，OB=BF∴BG=AO，EG=OB，∵），FBP∴△EGP≌△（AAS PB=PG，∴PB=BG=AO=2．∴的运动速度的运动速度与点P18．解：（）点Q CQP全等，与△秒后，△相等，经过1BPD第23页理由是：∵AB=AC=10厘米，点D为AB的中点，∴∠B=∠C，BD=5厘米，∵BP=CQ=3t 厘米=3厘米，∴CP=8厘米﹣3厘米=5厘米=BD，∴△DBP≌△PCQ（SAS）；（2）设当点Q的运动速度为x厘米/时，时间是t小时，能够使△BPD与△CQP全等，∵BD=5厘米，BP=3t厘米，CP=（8﹣3t）厘米，CQ=xt厘米，∠B=∠C，∴当BP=CQ，BD=CP或BP=CP，BD=CQ时，△BPD与△CQP全等，即①3t=xt，5=8﹣3t，解得：x=3（不合题意，舍去），②3t=8﹣3t，5=xt，解得：x=，即当点Q的运动速度为厘米/时时，能够使△BPD与△CQP全等．9．解：（1）点P是线段CD的中点．理由如下：过点P作PE⊥AB于E，∵AD∥BC，∠D=90°，∴∠C=180°﹣∠D=90°，即PC⊥BC，∵∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，∴PD=PE，PC=PE，∴PC=PD，∴点P是线段CD的中点；第24页（2）过点P作PE⊥AB于E，∵AD°﹣°，∴∠C=180BC，∠D=90∥PBE．∴△BC°，即PC⊥∠D=90，（AAS）≌△PBC，PC=PD°，PE=PC，∵∴∠EPB=∠CPB=35∴∠，（HL）PAD≌Rt△PAE∴PD=PE，∴Rt△×2APE=180°﹣APE，∵∠APD+∠APD=∠°，°=11035°﹣∠PAD=90APD=55°，∴∠∴∠°．APD=35，于点E⊥AB，交ABD10．解：（1）过作DE⊥的平分线，DC所示，∵AD为∠BAC如图1RtACD和，在Rt△AC，DE ⊥AB，∴DE=DC≌ACD，∴Rt△△AED中，AD=AD，DE=DC，AEDACB=∠）（HL，∴AC=AE，∠Rt△AED ，∠B∠B，∴∠AED=2∵∠ACB=2，∴∠EDB∠EDB，∴∠B=又∵∠AED=∠B+；AE=CD+ACAB=BEBE=DE=DC，则+上截取ABAC，理由为：在2（）AB=CD+ 2所示，AG=AC，如图，CAD的平分线，∴∠GAD=∠BAC∵AD为∠AGD=，CD=DG∠∴）（≌△∴△ADGADCSAS， 25第页∠ACB，∵∠ACB=2∠B，∴∠AGD=2∠B，又∵∠AGD=∠B+∠GDB，∴∠B=∠GDB，∴BE=DG=DC，则AB=BG+AG=CD+AC；（3）AB=CD﹣AC，理由为：在AF上截取AG=AC，如图3所示，∵AD为∠FAC的平分线，∴∠GAD=∠CAD，∴△ADG≌△ACD （SAS），∴CD=GD，∠AGD=∠ACD，即∠ACB=∠FGD，∵∠ACB=2∠B，∴∠FGD=2∠B，又∵∠FGD=∠B+∠GDB，∴∠B=∠GDB，∴BG=DG=DC，则AB=BG﹣AG=CD﹣AC．。