证明垂直平分线与角平分线

第二节 证明（二）
——垂直平分线与角平分线
【知识要点】
1．你知道线段的垂直平分线如何运用尺规作图吗?从做法上你得到什么启示? 2．你知道如何运用尺规作图做已知角的平分线吗?从做法上你得到什么启示? 3．你能说明为什么三角形的外心和内心相交于一点吗?
4．你能举出一些运用三角形外心和内心来解决实际生活问题的例子吗?
【典型例题】
# 例1 如图，AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC
于E ．若 ABC ∆的周长为28，BC=8，求BCE ∆的周长．
# 例2 如图，AB ＞AC ，A ∠的平分线与BC 的
垂直平分线DM 相交于D ，自D 作AB DE ⊥于E ，
AC DF ⊥于F ．求证：BE=CF
A
# 例3 如图，在ABC ∆中，ο108=∠A ，
AB=AC ，21∠=∠．求证：BC=AC+CD
# 例4 如图，AB=AC ，C B ∠=∠，BAC ∠的平分线AF
交DE 于F ．求证：AF 为DE 的垂直平分线．
A
E F
B
D C
例5 如图，P 为ABC ∆的BC 边的垂直平分线PG 上
一点，且A PBC ∠=∠2
1
．BP ，CP 的延长线分别交
AC ，AB 于点D ，E ．求证：BE=CD
例6 如图，在ABC ∆中，C ABC ∠=∠3，
21∠=∠，BD AD ⊥．求证：AC=AB+2BD
C
G A
E
B
D
P
例7 如图，已知
AD 是
ABC ∆中A ∠的平分线，
DE ABC ∆ο
60=∠B BAC ∠ACB ∠ABC ∆BDC ∆ο120=∠BDC ο60AMN
∆AMN ∆ABC ∆AOC MON ∠=∠2MBN ∆AC PAQ ∠ACB ∠AC ∠ABC ∠PAB ∆PAB ∆ABC ∆BC DE ⊥ο25=∠B ο25=∠B ADC ∠ACB ∠ABC ∆BDC ∆ο40=∠A DBC ∠ABC ∆ο120=∠BAC PAQ ∠9cm APQ ∆
# 7．在ABC ∆中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，已知
ο100=∠BDC ．则A ∠的度数为 ．
# 8．在ABC ∆中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，过D 作
EF ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，若AB=6，AC=5，则AEF ∆ 的周长为 ．
# 9．如图，在ABC Rt ∆中，ο90=∠C ，BE 平分
ABC ∠，交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，
且DE=1cm ，则AC= cm.
10．如图，P 为正方形外一点，ο15=∠=∠PBC PAD ， 求证：PDC ∆为等边三角形．
11．在ABC ∆中，AC BC B C 2,2=∠=∠．求A ∠的度数．
12．如图，在ABC ∆中，ABC ∠的平分线与ACB ∠ 的外角平分线相交于点D ，过D 作DE ∥BC ，分别交 AB ，AC 于E ，F ．求证：EF=BE-CF
13．如图，在ABC ∆中，AB=AC ，ο
36=∠A ，
21∠=∠，E 为AB 中点，ED 、BC 延长线交于点F ．
求证：AB=CF
* 14．如图，ABC ∆中，21∠=∠，AB=2AC ，DA=DB ．
求证：AC ⊥CD
* 15．如图，在ABC ∆中，ο90=∠ABC ，ο60=∠ACB ，
BAC ∠和ABC ∠的平分线AD ，BE 相交于点F ．求证：EF=DF
* 16．A ，B 两港在大湖南岸，C 港在大湖北岸．A ，B ，C 三港
恰为一等边三角形的三个顶点．A 港的甲船与B 港的乙船同时出 发都沿直线向C 港匀速行驶，当乙船行驶出40千米时，甲、乙 两船与C 港位置恰是一个直角三角形的三个顶点；而当甲船行 驶达C 港时，乙船尚距C 港20千米．问：A ，B 两港之间的距 离是多少千米？ A
B
F E G
C
D
H。