三角形角平分线性质资料讲解
三角形的角平分线与垂直平分线几何形中的特殊性质
三角形的角平分线与垂直平分线几何形中的特殊性质在几何学中，三角形是一个基础而重要的概念。
它具有许多有趣的性质和特殊的几何形。
其中，角平分线和垂直平分线是三角形中的两个重要概念，它们之间存在着一些特殊的关系和性质。
本文将重点探讨三角形的角平分线和垂直平分线在几何形中的特殊性质。
一、角平分线在几何形中的特殊性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
对于一个三角形来说，每个角都有一条角平分线。
下面我们将探讨角平分线在三角形中的几个特殊性质。
1. 角平分线相交于一个点在任意一个三角形中，三条角平分线将会相交于一个点，称为角平分线的交点或是角平分线的垂心。
这个点与三角形的顶点和对边的中点连线构成的垂线所相交的点重合。
垂心是三角形的一个重要的特殊点，具有很多有趣的性质和特点。
2. 角平分线以及垂心的性质垂心到三角形的三个顶点连线所构成的线段分别与三条对边垂直相交，这意味着角平分线与三角形的对边是垂直的。
此外，垂心到三角形的三个顶点连线所构成的线段等长，这意味着垂心到三角形三边的距离相等。
这些性质使得角平分线在几何形中具有重要的作用和特殊的地位。
二、垂直平分线在几何形中的特殊性质垂直平分线是指从一条线段的中点出发，与该线段垂直相交，并将该线段分成两个相等的线段的线段。
对于一个三角形来说，每条边都有一条垂直平分线。
下面我们将探讨垂直平分线在三角形中的几个特殊性质。
1. 垂直平分线相交于一个点在任意一个三角形中，三条垂直平分线将会相交于一个点，称为垂直平分线的交点或是垂心。
这个点与三角形的三个顶点连线构成的角平分线所相交的点重合。
垂心具有角平分线的性质，与角平分线一样，具有重要的地位和特殊的性质。
2. 垂直平分线以及垂心的性质垂心到三角形的三个顶点连线所构成的线段分别与三条对边垂直相交，这意味着垂直平分线与三角形的对边是垂直的。
此外，垂心到三角形的三个顶点连线所构成的线段等长，这意味着垂心到三角形三边的距离相等。
三角形角平分线定理
三角形角平分线定理三角形角平分线定理是指：三角形内一条角的角平分线把这条角分成两个相等角，并且这条角平分线所在的边与三角形外一边的两个对边的比等于被分角的两边的比。
三角形角平分线定理是一个重要且有用的几何定理，它可以帮助我们推导解决许多与三角形相关的问题。
本文将详细介绍三角形角平分线定理以及其应用。
一、三角形角平分线定理的定义与性质三角形角平分线定理可以描述为：设三角形ABC中，AD是角BAC的角平分线，则有以下两个性质成立：1. 角BAD与角DAC的度数相等，即∠BAD = ∠DAC。
2. AB/BC = BD/DC。
角平分线的定义是指一条线段或射线从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角。
根据角平分线的定义，我们可以得出性质1。
性质2则是说明了角平分线所在边与三角形外一边的两个对边的比例关系。
这个比例关系在解决一些三角形相关问题时非常有用，比如计算未知边长或角度大小等。
二、三角形角平分线定理的证明现在我们来证明三角形角平分线定理中的性质2。
首先，我们假设角BAD = α，角CAD = β，角DAC = α，角BDA = β。
根据正弦定理，我们可以得到以下两个等式：sinα/BD = sinβ/AB (1)sinα/DC = sinβ/AC (2)将(1)除以(2)，可以得到：(AB/BD)/(AC/DC) = sinα/sinα = 1由于左边等式的分数形式是BD/DC的比，因此我们可以得出：AB/BC = BD/DC这就证明了三角形角平分线定理中的性质2。
三、三角形角平分线定理的应用三角形角平分线定理有着广泛的应用，特别是在解决与三角形相关的题目时，可以通过应用该定理得到简洁而准确的答案。
以下是三个典型的应用案例：1. 求角平分线所分角的大小已知三角形ABC中，BD为角BAC的角平分线，要求角BAD的大小。
根据三角形角平分线定理的性质1，我们知道角BAD与角DAC的大小相等，即∠BAD = ∠DAC。
三角形中的角平分线和中线性质
三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。
（1）一个角有且只有一条角平分线。
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。
二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。
（1）一个三角形有且只有三条中线。
（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。
（1）三角形的心是三角形内部的一个点。
（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。
（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。
（2）利用中线求解三角形的边长。
三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。
掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。
答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。
又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。
2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。
答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。
根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。
又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。
3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。
三角形的角平分线性质
三角形的角平分线性质三角形是几何学中重要的图形之一，它由三条边和三个内角组成。
其中，角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
角平分线在三角形中具有一些特殊的性质和应用。
本文将探讨三角形的角平分线性质，帮助读者更好地理解和运用。
1. 角平分线的定义角平分线是源于一个角的顶点，将该角分成两个相等的角的线段。
在三角形中，每个内角都有一条平分线，且这些平分线相互交于一个点，称为三角形的内心。
三角形的内心是角平分线的交点，它与三角形的三个顶点的连线相交于三条边的中点。
2. 角平分线的性质（1）内角的平分线相互垂直。
对于任意一个三角形，任意一个内角的平分线与另外两个内角的外角的平分线相互垂直。
（2）角平分线分割对边成比例。
对于任意一个三角形，角平分线将对边分割成两个部分，它们的比例等于另外两个边的比例。
（3）角平分线长度关系。
对于任意一个三角形，角平分线的长度与与之对应的边的长度的比例相等。
即如果一个角的两个平分线分别与该角两边相交于点L和M，那么AL/BL=AM/BM。
（4）角平分线的外角等于直角。
对于任意一个三角形，角平分线的外角等于直角，也就是说，角平分线和对边构成的外角为90度。
3. 角平分线的应用（1）三角形的内心是角平分线的交点，它是三角形内接圆的圆心。
内接圆是与三角形的三条边都相切的圆。
（2）角平分线的性质可以用于解决一些与三角形相关的问题，例如角平分线定理、角平分线长度的计算以及面积的求解等。
（3）角平分线的长度关系可以应用于相似三角形的求解中，求解未知边长或角度大小等。
总结：三角形的角平分线是将一个角分成两个相等的角的线段。
角平分线具有垂直关系、对边成比例、长度关系等性质。
角平分线的应用包括解决与三角形相关的问题、内接圆的构造以及相似三角形的求解等。
通过深入研究和理解角平分线的性质，我们能够更好地应用它们解决实际问题，在几何学中发挥重要作用。
三角形的角平分线定理解析
三角形的角平分线定理解析三角形的角平分线定理是指：三角形内任意一条角的角平分线，都能将该角分成两个相等的角。
这个定理在解决三角形相关问题时非常有用，可以帮助我们推导出一些重要的结论和性质。
接下来，我们将对三角形的角平分线定理进行详细的解析。
一、角平分线的定义在三角形ABC中，假设角A的角平分线与边BC相交于点D，那么我们可以称线段AD为角A的角平分线。
角平分线的作用是将角A 分成两个相等的角BAD和CAD。
二、角平分线定理的几何解析根据角平分线的定义，我们可以得出以下几何结论：1. 任意角的角平分线两端的线段长度相等。
即AD = CD。
证明：作BD与AC的延长线交于点E。
由于△ABD和△CAD中有AD = AD（公共边）、∠BAD = ∠CAD（角平分线的定义）和∠BDA = ∠CDA（共同内角），所以根据ASA（边角边）的性质可以得出△ABD ≌△CAD。
因此，AD = CD。
2. 角平分线将对边分成两个与角平分线所在边等长的线段。
即BD = CD。
证明：由于△ABD和△ACD中有∠BDA = ∠CDA（共同的内角），∠ABD = ∠ACD（角平分线的定义）和AD = AD（公共边），根据ASA（角边角）的性质可以得出△ABD ≌△ACD。
因此，BD = CD。
三、角平分线定理的应用角平分线定理不仅可以帮助我们推导出一些证明，还可以在解题过程中起到积极的作用。
下面我们通过一些例子来说明角平分线定理的应用。
例子1：给定三角形ABC，角BAD是角A的角平分线，若∠BAD = 60°，求∠ACB的度数。
解：由角平分线定理可知BD = CD，且∠BAD = ∠CAD = 60°。
由于∠BAD + ∠CAD + ∠ACB = 180°（三角形内角和定理），代入已知信息可得60° + 60° + ∠ACB = 180°，解得∠ACB = 60°。
AAS,HL证全等及角平分线的性质知识点总结和重难点精析
AAS，HL证全等及角平分线的性质知识点总结和重难点精析
知识点总结：
1、AAS定理：两个三角形中，如果两条对应边及其夹角相等，那么这两个三角形全等。
简写成对应角相等的角边角定理。
2、HL定理：两个直角三角形中，如果一条直角边和斜边相等，那么这两个三角形全等。
简写成对应边相等的直角边和斜边定理。
3、角平分线的性质：角平分线是将角分成两个相等的角的射线，角平分线上点到角的两边距离相等。
重难点精析：
1、AAS定理的应用难点在于如何通过已知条件构造出至少一组边角相等的关系，这对于推导证明过程至关重要。
对于初学者来说，可以尝试通过画图和模拟过程来理解，逐渐提高空间想象能力。
2、HL定理的应用主要难点在于直角三角形的判断，需要学生熟悉勾股定理的相关知识。
在解决实际问题时，需要灵活运用直角三角形的性质，如等角对等边等。
3、角平分线的性质在学习中容易被忽视，其重要性在于为证明线段相等提供了一种重要的方法。
对于初学者来说，需要加强对此性质的练习和理解，能够熟练地应用到各种几何问题中。
总结：
AAS，HL定理和角平分线的性质是八年级数学中的重要知识点，
它们在几何学中的应用广泛且具有挑战性。
通过对这些定理的深入学习和实践，学生可以提升自身的几何思维能力和问题解决能力。
三角形角平分线专题讲解(精选.)
由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律， 在解决几何问题中大 胆地去猜想， 按一定的规律去尝试。
下面就几何中常见的定理所 涉及到的辅助线作以介绍。
如图 1-1 ，∠∠，如取，并连接、 ，则有△≌△，从而为我们 证明线段、角相等创造了条件。
例1． 如图 1-2 ，，平分∠，平分∠， 点 E 在上，求证：。
分析：此题中就涉及到角平分线， 可以利用角平分线来构造全等三角形， 对称图形， 同时此题也是证明线段的和差倍分问题， 在证明线段 的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明， 延长 短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论 延长还是截取都要证明线段的相等， 延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等， 进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段上截取，再证明，从而达到证明 的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全 等自已证明。
此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证 明。
自已试一试。
例2． 已知：如图 1-3 ，2，∠∠，，求证⊥即利用解平分线来构造轴 图1-2分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。
构造的方法还是截取线段相等。
其它问题自已证明。
角的平分线的性质知识讲解
角的平分线的性质(提高)【学习目标】1掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质.2•掌握角平分线的判定及角平分线的画法.3.熟练运用角的平分线的性质解决问题.【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分/ ADB点P是CD±一点，且/KAD于点E, PF丄BD于点F,则PE二PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上要点诠释: 用符号语言表示角的平分线的判定：若PEL AD 于点E, PFL BD 于点F, PE二PF,贝U PD 平分/ ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图(1) 以0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于D, 交0B于E.1(2) 分别以D E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在/ AOB内部交于点C.2(3) 画射线0C.射线0C即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等•三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点•这点叫做三角形的旁心三角形有三个旁心•所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ ABC的内心为R '旁心为Fa, F S,P4‘这四个点到△ ABC三边所在直线距离相等・P4【典型例题】类型一、角的平分线的性质及判定1、如图，在厶ABC中，/ ABC的平分线与/ ACB的外角的平分线相交于点P,连接AP.(1) 求证：PA平分/ BAC的外角/ CAM(2) 过点C作CELAP, E是垂足，并延长CE交BM于点D.求证：CE=EDB c N【思路点拨】C )过P作PTL BC于T, PSL AC于S, PCL BA于Q根据角平分线性质求出PQ=PS=PT根据角平分线性质得出即可；(2)根据ASA求出△ AED^AAEC即可.【答案与解析】证明：C)过p作PTLBC于T, PSI AC于S,PQLBA于Q如图，・••在△ ABC中，/ ABC的平分线与/ ACB的外角的平分线相交于点P,••• PQ=PT PS=PT••• PQ=PS・AP平分/ DAC即PA平分/ BAC的外角/ CAMR c r jV(2)T PA平分/ BAC的外角/ CAM•••/ DAE=/ CAE •••CEL AP, •••/ AEDM AEC=90 ,在厶AED 和厶AEC 中r ZDAE=ZCAE*AE 二AEL ZDEA=ZCEA•••A AED A A AEC・CE=ED【总结升华】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的矢键是能正确作出辅助线并进一步求出PQ=PS A AAED^AAEC注意：角平分线上的点到角两边的距离相等.举一反三：【变式】如图，AD是/ BAC的平分线，DEIAB,交AB的延长线于点E, DF丄AC于点F,且DB二DC.求证：BE二CF.【答案】证明：・DELAE, DF丄AC,AD是/ BAC的平分线,• DE= DF,/ BED=Z DFC= 90°一- 出：DB=DC在RtA BDE 与Rt △ CDF 中，、DE = DF・R tA BDE A RtA CDF( HL)・B E= CF2、如图，久。
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三角形内角平分线定理
三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线平分对边之比。
即在ΔABC中,若AD是∠A的平分线,则
BD/DC=AB/AC
应用：不用计算即可将一条线段按要求分成任意比例三角形内角平分线内平分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例.
三角形外角平分线的性质定理：
三角形外角平分线平分对边，所得的两条线段与其内角的两边对应成比例，均可以用相似△证明.
角平分线性质定理
角平分线的性质：
1.角平分线可以得到两个相等的角。
2.角平分线上的点到角两边的距离相等。
3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
证明
●三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条
邻边成比例．
即在三角形ABC中，当AD是顶角A的角平分线交底边于D时，BD/CD=AB/AC.
证明：如图，AD为△ABC的角平分线，过点D向边AB,AC分别引垂线DE,DF.则DE=DF.
S△ABD：S△ACD=BD：CD
又因为S△ABD：S△ACD=[(1/2)AB×DE]：[(1/2)AC ×DF]=AB：AC
所以BD/CD=AB/AC.
1.角平分线可以得到两个相等的角。
角平分线，顾名思义，就是将角平分的射线。
如右图，若射线AD是角CAB的角平分线，则角CAD 等于角BAD。
2.角平分线线上的点到角两边的距离相等。
如右上图，若射线AD是∠CAB的角平分线，求证：
CD=BD
∵∠DCA=∠DBA
∠CAD=∠BAD
AD=AD
∴△ACD≌△ABD
∴CD=BD
3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
这一条是第二条的引申，详细证明过程参照第二条和三角形内心。
4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
如右下图，平面内任意一小于180度的∠MAN，AS 平分∠MAN，直线BC分别交射线AM、AN、AS于B、C、D，求证：AB/BD=AC/CD：
作BE=BD交射线AS于E，如图1：
∵BE=BD，
∴∠BED=∠BDE，
∴∠AEB=∠ADC
又∵∠BAE=∠CAD,
∴△AEB∽△ADC,
∴AB/BE=AC/CD, 即AB/BD=AC/CD.
另外的情况，
如图2，直线BC交AS的反向延长线于D,如图3，直线BC交AN的反向延长线于C;
此时，仍有AB/BD=AC/CD
证法与图1类似
【角平分线逆定理】
1.到角两边的距离相等的点在角平分线上。
2.平面内任意一小于180度的∠MAN如图，直线BC 分别交半直线AM、AN、AS于B、C、D，AB/BD=AC/CD 则：AS平分∠MAN
下面给出证明过程：
证明：过B作BH∥AC交AS于H
∴△ADC∽△HDB(∠ADC=∠HDB，∠ACD=∠HBD)
∴AC/CD=HB/BD
又AB/BD=AC/CD
∴AB=BH
∴∠BHA=∠BAH=∠HAC
∴AS平分∠MAN。