角平分线的性质
三角形角平分线定理
三角形角平分线定理三角形角平分线定理是指：三角形内一条角的角平分线把这条角分成两个相等角，并且这条角平分线所在的边与三角形外一边的两个对边的比等于被分角的两边的比。
三角形角平分线定理是一个重要且有用的几何定理，它可以帮助我们推导解决许多与三角形相关的问题。
本文将详细介绍三角形角平分线定理以及其应用。
一、三角形角平分线定理的定义与性质三角形角平分线定理可以描述为：设三角形ABC中，AD是角BAC的角平分线，则有以下两个性质成立：1. 角BAD与角DAC的度数相等，即∠BAD = ∠DAC。
2. AB/BC = BD/DC。
角平分线的定义是指一条线段或射线从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角。
根据角平分线的定义，我们可以得出性质1。
性质2则是说明了角平分线所在边与三角形外一边的两个对边的比例关系。
这个比例关系在解决一些三角形相关问题时非常有用，比如计算未知边长或角度大小等。
二、三角形角平分线定理的证明现在我们来证明三角形角平分线定理中的性质2。
首先，我们假设角BAD = α，角CAD = β，角DAC = α，角BDA = β。
根据正弦定理，我们可以得到以下两个等式：sinα/BD = sinβ/AB (1)sinα/DC = sinβ/AC (2)将(1)除以(2)，可以得到：(AB/BD)/(AC/DC) = sinα/sinα = 1由于左边等式的分数形式是BD/DC的比，因此我们可以得出：AB/BC = BD/DC这就证明了三角形角平分线定理中的性质2。
三、三角形角平分线定理的应用三角形角平分线定理有着广泛的应用，特别是在解决与三角形相关的题目时，可以通过应用该定理得到简洁而准确的答案。
以下是三个典型的应用案例：1. 求角平分线所分角的大小已知三角形ABC中，BD为角BAC的角平分线，要求角BAD的大小。
根据三角形角平分线定理的性质1，我们知道角BAD与角DAC的大小相等，即∠BAD = ∠DAC。
直角三角形角平分线的性质
直角三角形角平分线的性质直角三角形是指一个三角形中存在一个内角为90度的角。
直角三角形角平分线，顾名思义，就是将直角三角形的直角角平分为两个相等的角的线段。
下面将介绍直角三角形角平分线的性质。
1. 角平分线相等性：直角三角形的角平分线将直角角等分为两个相等的角。
这意味着，当一条直角三角形的角平分线与另一条角平分线相交时，它们所形成的两个角必然相等。
2. 角平分线与斜边的关系：直角三角形的角平分线与斜边的关系很特殊，它们具有以下性质：(a) 角平分线与斜边垂直：直角三角形的角平分线与斜边垂直相交。
这意味着，角平分线与斜边所形成的两个角互为互补角，它们的和为90度。
也就是说，两个角的度数加起来等于90度。
(b) 角平分线与斜边的比例关系：在直角三角形中，角平分线与斜边的长度之比等于直角三角形的两个直角角边对斜边的比值。
这一比例关系被称为角平分线定理，它表达为：AC / AB = BC / AB = AC / BC其中，AC和BC分别为直角角边，AB为斜边。
3. 角平分线与底边的比例关系：直角三角形的角平分线与底边的长度之比等于直角三角形的两个直角角边对底边的比值。
这一比例关系也被称为角平分线定理。
4. 角平分线的交点：直角三角形的角平分线两两相交于直角的外心，也就是直角的顶点所在的点。
这个点被称为直角三角形的外心。
5. 角平分线与直角角边的关系：直角三角形的角平分线与直角角边的交点，将直角角边分割成两个部分，其长度比等于斜边与整个直角角边的比值。
这一比例关系也被称为角平分线定理。
通过研究直角三角形角平分线的性质，我们可以应用这些性质去解决一些几何问题。
例如，可以利用角平分线与斜边的垂直关系来证明直角三角形的三个内角之和为180度；也可以利用角平分线与底边的比例关系来计算直角三角形的边长等等。
总之，直角三角形角平分线具有多种性质，包括相等性、垂直性、比例关系以及与直角的外心等特点。
这些性质为解决几何问题提供了有力的工具和方法。
八年级数学 角平分线的性质
八年级数学角平分线的性质八年级数学-角平分线的性质角平分线的性质角平分线性质：角平分线上任意一点到角两边的距离相等。
到角两边距离相等的点在角的平分线上。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．角平分线的画法：．．．．．．．．例1已知O是三条角平分线的交点△ ABC和OD⊥ 如果外径=5且△ ABC等于20，面积△ ABC等于s△ ABC=例2如图所示，abd三边上AB、BC和Ca的长度分别为20、30和40，三个角的平分线将δabd分为三个三角形，然后s？阿宝：什么？bco:s？曹等于___1例3.如图：在△abc中,∠bac=90°,∠abd=∠abc,bc⊥df,垂足为f,af交bd于e。
2求证：ae=ef.例4如图所示：in△ ABC，相邻外角的平分线∠ B和∠ C与D点相交。
验证：D点位于∠ A.例5.如图所示，已知△abc中，ad平分∠bac，e、f分别在bd、ad上．de=cd，ef=ac．求证：ef∥ab.例6△ ABC，AB>AC，ad是∠ BAC。
P是ad上的任意点。
验证：ab AC>Pb PC1例7如图所示，∠ a+∠ d=1800，等分∠ 美国广播公司和行政长官意见相同∠ BCD，E点在广告上(1)探讨线段ab、cd和bc之间的等量关系;(2)探讨线段be与ce之间的位置关系．例8如图所示，已知△ ABC，ad是BC边缘的中线，e是ad上的点，延伸段be在F处与AC相交，AF=EF。
验证：AC=be课堂练习：1.如图所示△ ABC，P是高于BC，PR的点⊥ R中的AB，PS⊥ AC在s中，AQ=PQ，PR=PS，则以下三个结论的正确性为（）① as=AR；②pq∥应收账；③ △ BRP≌ △ CSPA。
① 和② B② 和③ C① 和③ D.所有配对2.如图，ab=ac，be⊥ac于e，cf⊥ab于f，be、cf交于点d，则①△abe≌△acf；②△bdf≌△cde；③点d在∠bac的平分线上，以上结论正确的是（）A.①②③B①②c.①③D②③3.在△abc和△a'b'c'中,①ab=a'b';②bc=b'c';③ac=a'c;④∠a=∠a';⑤∠b=∠b';⑥∠c=∠c';则下列哪组条件不保证△abc≌△a'b'c'．()A.①②③B①②⑤C①⑤⑥D①②④4.如图，已知点p到be、bd、ac的距离恰好相等，则点p的位置：①在∠b的平分线上；②在∠dac的平分线上；③在∠eac的平分线上；④恰是∠b，∠dac，∠eac三个角的平分线的交点。
角平分线用法
角平分线用法
角平分线是指从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角。
角平分线具有以下性质和用法：
1. 角平分线上的点到角的两边的距离相等。
2. 角平分线将角分成两个相等的角。
3. 如果一个角的内角平分线与外角平分线相交，那么它们所形成的角等于该角的一半。
角平分线的主要用法包括：
1. 求解角度或边长：利用角平分线的性质，可以通过已知角和角平分线上的点到角两边的距离，求解出未知的角度或边长。
2. 证明几何关系：通过角平分线的性质，可以证明两个角相等、两条线段相等或平行等几何关系。
3. 构建等腰三角形：如果从角平分线上的一点向角的两边作垂线，可以构建出两个等腰三角形。
4. 求解三角形问题：在三角形中，如果已知一个角的平分线和该角的对边，可以利用角平分线的性质求解出其他边长或角度。
角平分线在几何证明和计算中有着广泛的应用，通过灵活运用角平分线的性质和用法，可以解决许多几何问题。
三角形中的角平分线和中线性质
三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。
（1）一个角有且只有一条角平分线。
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。
二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。
（1）一个三角形有且只有三条中线。
（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。
（1）三角形的心是三角形内部的一个点。
（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。
（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。
（2）利用中线求解三角形的边长。
三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。
掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。
答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。
又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。
2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。
答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。
根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。
又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。
3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。
角平分线的画法及性质
角平分线的画法及性质
角平分线的性质：1.角平分线可以得到两个相等的角。
2.角平分线上的点到角两边的间隔相等。
角平分线的性质：1.角平分线可以得到两个相等的角。
2.角平分线上的点到角两边的间隔相等。
角平分线怎么画材料：圆规、纸张、尺子、铅笔。
1、首先预备好下列图的工具，圆规和尺子是必不行少的。
2、在纸上任凭画一个角AOB。
3、用圆规以O为原点，任意间隔为半径，在纸上画弧，与角AOB相交于点C和点D。
4、先以点C为原点，CD为半径画圆弧；再以点D为原点，DC 为半径画圆弧，两圆弧相交于点E。
5、连接OE，OE就是叫AOB的角平分线了。
角平分线的性质1、角平分线可以得到两个相等的角。
2、角平分线上的点到角两边的间隔相等。
3、三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的间隔相等。
4、三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
5.角的平分线的性质(基础)知识讲解
角的平分线的性质（基础）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．如图，∠ACB ＝90°,BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE ⊥AB 于E ，ED 的延长线交BC 的延长线于F. 求证：AE ＝CF.【思路点拨】利用角平分线的性质可得DE ＝DC ，为证明三角形全等提供了条件.【答案与解析】证明：∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB,DC ⊥BF∴DE ＝DC （角的平分线上的点到角两边的距离相等）在△ADE 和△FDC 中DEA DCF DE DC ADE FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△FDC(ASA)∴AE ＝CF【总结升华】有角平分线的条件，又有到角两边的垂线段，要考虑角平分线的性质定理.2、如图, △ABC中, ∠C ＝ 90︒, AC ＝ BC, AD平分∠CAB, 交BC于D, DE⊥AB于E, 且AB＝6cm, 则△DEB的周长为( )A. 4cmB. 6cmC.10cmD. 以上都不对【答案】B；【解析】由角平分线的性质，DC＝DE，△DEB的周长＝BD ＋DE＋BE ＝BD＋DC＋BE＝AC＋BE ＝AE＋BE＝AB＝6.【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：AB AC=ABD与△ACD 【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:的面积之比为（）A．3：2 B C．2：【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵AB AC=ABD与△ACD:3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD＝PE，再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE，从而得到∠OPD ＝∠OPE ，∠DPF ＝∠EPF ．再证明△DPF ≌△EPF ，得到结论.【答案与解析】解：DF ＝EF ．理由如下：∵OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ， ∴PD ＝PE ，由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ，∴∠OPD ＝∠OPE ，∴∠DPF ＝∠EPF ．在△DPF 与△EPF 中，PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DPF ≌△EPF ，∴DF ＝EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定4、已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B ＝∠C ，BF ＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知）∴∠CDF ＝∠BEF ＝90°∵∠DFC ＝∠BFE(对顶角相等)∵ BF ＝CF(已知)∴△DFC ≌△EFB(AAS)∴DF ＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE ⊥AB ，FD ⊥AC （已知）∴点F 在∠BAC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上) 即AF 为∠BAC 的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，BE ＝CF ．求证：AD 是△ABC 的角平分线.【答案】证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴Rt △BDE 和Rt △CDF 是直角三角形．BD DC BE CF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ），∴DE ＝DF ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 是角平分线．。
角平分线性质定理
角平分线性质定理定理说明在几何学中，角平分线性质定理是一个重要的几何定理。
它指出：如果一条直线将一个角分成两个相等的角（即平分该角），那么这条直线就被称为该角的角平分线。
根据这个定理，我们可以得出一些有趣的推论和性质。
角平分线的性质性质一：角平分线两侧的角相等若一条直线分割一个角，并且它分成的两个角相等，那么这条直线就是该角的平分线。
以角A为例，若BD为角A的角平分线，则∠ABD = ∠CBD。
性质二：角平分线在三角形中的应用在一个三角形中，如果一条角平分线平分了一个内角，那么它将三角形分成两个相似的三角形。
我们可以利用这个性质来求解三角形内部角的度数。
性质三：角平分线长度关系两内锐角平分线的长度之比等于与这两个角的正弦比值。
性质四：角平分线与外切圆关系若角BAC的角平分线交外接圆于点D，那么∠BDC = 90°。
性质五：角平分线的唯一性对于一个给定的角，其角平分线唯一且确定。
应用和分析角平分线性质定理在几何学中有着广泛的应用。
通过合理应用这些性质，我们可以有效地解决角平分线相关的问题，从而推理出更复杂的几何问题的解决方案。
同时，深入了解角平分线的性质也有助于提高我们的几何推理能力，培养我们的数学思维和逻辑推理能力。
结论角平分线性质定理是几何学中一个基础而重要的定理，它揭示了角平分线的一些重要性质和应用。
通过深入理解和应用这个定理，我们可以更好地解决几何学中有关角平分线的问题，并且提高自己的数学分析能力。
对于学习几何学的人来说，掌握角平分线性质定理是必不可少的，它将为我们的数学学习之路增添光彩。
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12.3 角的平分线的性质
一、教学分析
1．教学容分析
本节课是新人教版教材《数学》八年级上册第12.3节第一课时容，是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的．容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用．作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础．因此，本节容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．2．教学对象分析
刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导．根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础．
3．教学环境分析
利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律．根据如今各学校实际教学环境及本节课的实际教学需要，我选择多媒体、投影仪等教学系统辅助教学，将有关教学容用动态的方式展示出来，让学生能够进行直观地观察，并留下清晰的印象，从而发现变化之中的不变．这样，吸引了学生的注意力，激发了学生学习数学的兴趣，有利于学生对知识点的理解和掌握．
二、教学目标
1、知识与技能：
1.掌握作已知角的平分线的尺规作图方法。
2. 利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决问题．
2、过程与方法：
1.在探究作已知角的平分线和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。
2.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.
3.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用.
3、情感态度价值观：
充分利用多媒体教学及学生手工操作，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情．
三、教学重点、难点
重点：1、利用尺规作图作已知角的平分线。
2、角平分线的性质定理及其应用。
难点：1、根据角的平分仪器提炼出角的尺规画法。
；
2、角的平分线的性质的探究。
教学难点突破方法：
（1）利用引导学生动手折纸、投影仪及多媒体动态显示角平分线性质的本质容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；
（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；
（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习．
教学设计流程安排
四、教学过程
（一）教学环节设计
［活动1］创设情景，动手操作
如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），
然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过
的知识，说明你的结论的正确性吗？
学生实验：通过折纸的方法作角的平分线；教师与学生一起动手操作；展示学生
作品。
设计意图：（体验角平分线的简易作法，并为角平分线的性质定理的引出
做铺垫，为下一步设置问题墙。
通过折纸及作图过程，由学生自己去发现结论．教
师要有足够的耐心，要为学生的思考留有时间和空间）
质在生活、生产中的应用，提高学生解决问题的
能力。
活动6 小结与作业
总结、反思、高将所学知识纳入学生的知识体
系。
［活动2］探究角平分仪原理
对这种可以折叠的角可以用折叠方法的角平分线，对不能折叠的角怎样得到其角平分线？有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？
师生行为：教师课件展示实验过程；学生将实物图抽象出数学图形；学生独立运用三角形全等的方法证明AE是∠BAD的平分线。
本次活动中，教师重点关注：
(1)学生是否能从简易角平分仪中抽象出两个三角形；
(2)学生能否运用三角形全等的条件证明两个三角形全等，从而说明线段AE是∠BAD的平分线。
设计意图：（说明用其他实验的方法可以将一个角平分。
培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识解决问题的能力。
让学生体验成功这个提问设置为例1的出现做好铺垫，同时例1的证明又验证了学生猜想的正确性，使学生获得成功的体验．将实际问题转化为数学问题，从而顺利解决．）
［活动3］新知掌握1：尺规作图
(1)从上面的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。
(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?
(3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画
(4)OC与简易平分角的仪器中,AE是同一条射线吗?
(5)你能说明OC是∠AOB的平分线吗?
(6)归纳角平分线的作法
师生行为：教师提问,学生与老师一起完成探究过程.
设计意图：（从实验中抽象出几何模型,明确几何作图的基本思路和方法.培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力.让学生体验成功学生独立说明,学生相互讨论,交流,归纳后教师归纳展示作法.）
［活动4］探究角平分线的性质
(1)在已画好的角的平分线OC 上任意找一点P,过P 点分别作OA 、OB 的垂线交OA 、O 于D 、E 。
PE 、PD 的长度是∠AOB 的平分线上一点到 ∠AOB 两边的距离。
量出它们的长度，你发现了什么？
(2)你能归纳角的平分线的性质吗?
师生行为：学生实验；学生分组讨论,教师引导得出结论；学生分析已知条件,利用(AAS)证明.；
本次活动中,教师重点关注(1)学生能否从实验中探索、发现角的平分线的性质;(2)学生能否独立运用三角形全等的条件证明两个三角形全等;(3)说明射线OP 是是∠AOB 的平分线吗?
设计意图：（从实验探索中发现角的平分线的性质。
培养学生的数学抽象概括能力及理性精神.让学生体验成功.）
［活动5］验证所得结论
出示大屏，如图：这是按照折纸的顺序画出的角及
折纸形成的三条折痕．请学生结合图形说出已知，求证，
生说（多媒体出示），请同学们对如何证明PD=PE 进行思
考，然后汇报，师点评、板书证明过程。
证明后，教师强调经过证明正确的命题可以作为定理
或性质来用．请学生用文字语言来说说角平分线的这个性质。
然后齐读两遍，再写出数学符号表达式。
［活动6］应用新知
如图，△ABC 的角平分线BE 、CF 相交于一点O ，求证：点O 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等。
师生行为：学生独立练习，同组同学交流，抽学生上来展示分析过程。
O B
并形成知识结论。
F
E
D C B
A
②如图:△ABC 中, ∠C=900，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ，求证CF=EB 。
师生行为：学生独立练习，同组同学交流，老师根据学生的学习情况适当加以指导，获得正确的结论。
抽学生上来展示分析过程。
设计意图：（通过学生对角的平分线的知识进行独立练习，自我评价学习效果，及时发现问题、解决知识盲点，培养学生的创新精神和实践能力。
本次活动中,教师重点关注：(1)不同层次的学生对角的平分线的性质的理解程度; (2)对学生在练习中的问题进行针对性的分析、讲解。
）
［活动7］拓展提高
已知：在等腰直角△ABC 中，AC ＝ BC ，∠C ＝90°，AD 平分∠ BAC ，DE ⊥AB 于点E 。
AB=15cm, 求△DBE 的周长
D A
B C E
师生行为：学生根据上一问题的解决过程独立解决本问题，在必要时教师适当引导．
设计意图：（在已有成功经验的基础上，继续探究与应用，提升分析解决问题的能力并增进运用数学的情感体验．在说理的过程中加深对角平分线性质、
判定定理的理解）
［活动8］总结反思
1、这节课你有哪些收获，还有什么困惑？
2、通过本节课你了解了哪些思考问题的方法？
（通过引导学生自主归纳，调动学生的主动参与意识，锻炼学生归纳概括与表达能力．）
［活动9］
作业：寻找生活中运用角平分线的现象
教学反思：本课题设计思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，体现了数学学习的必然性．教学始终围绕着问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，而后设计了第一个学生活动——折纸，让学生体验三角形角平分线交于一点的事实，并得出了进一步的猜想，紧接着推出了第二个学生活动——尺规作图，以达到复习旧知和再次验证猜想的目的，猜想是否正确?还得进行证明，从而激发了学生学习数学的欲望和兴趣，使教学目标顺利达成．整堂课都以学生操作、探究、合作贯穿始终，在教学过程中给学生的思考留下足够的时间和空间，由学生自己去发现结论，学生在经历“将现实问题转化成数学问题”的过程中，对角平分线性质有了更深刻的认识，培养了学生动手、合作、概括能力，同时也提高了思维水平和应用数学知识解决实际问题的意识．。