2020年全国100所名校高考模拟金典卷理科数学(二)试题(含解析)

100所名校高考模拟金典卷·数学（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|01}A x x =剟，1|2B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ） A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(0,1)D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2．复数11z i i ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴长为8，一条渐近线为34y x =，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2216436x y -= B ．2213664x y -= C ．221916x y -= D ．221169x y -=4．函数())1f x x x =+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知{}n a 为公差不为0的等差数列，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n ∈N ，则21S 的值为（ ） A ．0B ．90-C ．90D ．1106．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中一定正确的是（ ）（注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生）．A ．互联网行业从业人员中80前占3%以上B ．互联网行业90后中，从事设计岗位的人数比从事市场岗位的人数要多C ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ）A ．43B ．75C ．85D ．38．程序框图如下图所示，若程序运行的结果60S =，则判断框中应填入（ ）A ．4?k …B ．3?k …C ．2?k …D ．1?k …9．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数为（ ）A ．280B ．320C ．240D ．16010．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．现有一个羡除如图所示，DA ⊥平面ABFE ，四边形ABFE ，CDEF 均为等腰梯形，四边形ABCD 为正方形，AB EF ∥，2AB =，6EF =，点F 到平面ABCD 的距离为2，则这个羡除的表面积为（ ）A ．10+B ．12+C ．12+D ．12+11．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的零点构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象．关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ） A ．在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．其图象关于直线2x π=对称C ．函数()g x 是偶函数D ．在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[ 12．设数列{}n a 满足12a =-，且对任意正整数n ，总有()()1112n n n a a a +--=成立，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ） A ．35176B ．589C ．35236D ．35156二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．若向量(1,)a m =-r ，(2,1)b =-r ，且()b a b ⊥+r r r，则实数m 等于_________．14．若x ，y 满足200240x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为________．15．已知偶函数()f x 的图象经过点(1,2)-，且当0a b <…时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，则使得(1)2f x -<成立的x 的取值范围是_________．16．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱长为4，过点A 作平面α与正四棱柱的三条侧棱1BB ，1CC ，1DD 分别交于E ，G ，F ，且BE DF =，若多面体ABCD AEGF -和多面体1111A B C D AEGF -的体积比为3∶5，则截面AEGF 的周长为_________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．如图，等腰直角三角形ABC △中，2ACB π∠=，4AB =，点P 为ABC △内一点，且1tan 3PAB ∠=，1tan 2PBA ∠=．（1）求PA 的长；（2）求APC ∠．18．在Rt ABC △中，2ABC π∠=，2AB =，4BC =，已知E ，F 分别是BC ，AC 的中点，将CEF△沿EF 折起，使C 到1C 的位置如图所示，且13BEC π∠=，连接1C B ，1C A ．（1）求证：平面1AFC ⊥平面1ABC ．（2）求平面1AFC 与平面1BEC 所成锐二面角的大小．19．已知M 、N 是椭圆22:184x y C +=上不同的两点，MN 的中点坐标为1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）证明：直线MN 经过椭圆C 的右焦点．（2）设直线l 不经过点(0,2)P 且与椭圆C 相交于A ，B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率的和为1，试判断直线l 是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由．20．某工厂A ，B 两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，A ，B 生产线生产的产品为合格品的概率分别为p 和21(0.51)p p -剟．（1）从A ，B 生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p 的最小值0p ；（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．①已知A ，B 生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从A ，B 生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如下图所示，用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X ，求X 的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值．21．已知函数()ln 1()f x x a x a a =-+-∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若),ax e ⎡∈+∞⎣时，()0f x …恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,x m y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位．圆C的方程为ρθ=，直线l 被圆C截． （1）求实数m 的值；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为(m ，且0m >，求||||PA PB +的值． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知()2|1||21|f x x x =++-．（1）若()(1)f x f >，求实数x 的取值范围；（2）11()(0,0)f x m n m n +>>…对任意的x ∈R 都成立，求证：43m n +…． 100所名校高考模拟金典卷·数学（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案 B命题意图 本题考查集合的交集；考查学生的运算求解能力．解题分析 因为20x x -≥，所以01x 剟，所以1|12A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭…． 2．答案 A命题意图 本题考查复数的几何意义；考查学生的运算求解能力． 解题分析 因22(1)111212i z i i i i -⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以复数z 在复平面上对应的点位于第一象限． 3．答案 D命意图本题考查双曲线的性质；考查学生的数据分析能力．解题分析 由题知，28a =，34b a =，所以4a =，3b =，所以双曲线的方程为221169x y -=． 4．答案 A命题意图 本题考查函数图象；考查学生的逻辑推理能力．解题分析 因为(0)1f =，排除B 项，C 项，又因为(1)1)11f -=-+<，排除D 项． 5．答案 A命题意图 本题考查等差数列前n 项和公式；考查学生的逻辑推理能力．解题分析 因为{}n a 为等差数列，所以312a a d =+，716a a d =+，918a a d =+．因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =，即（()()()21111628,100a d a d a d a d +=+++=，所以110a =，于是()21112121021100S a d a d =+=+=． 6．答案 C命题意图 本题考查统计图；考查学生的数据分析及逻辑推理的能力．解题分析 由题知，互联网行业从业人员中80前占3%，故选项A 错误；互联网行业90后中，从事设计岗位的人数占12.3%，从事市场岗位的人数占13.2%，故选项B 错误；在90后中，从事技术岗位的人数占总人数的比例为56%39.6%20%⨯>，故选项C 正确；互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后的无法确定，故选项D 错误． 7．答案 A命题意图 本题考查直线与抛物线的位置关系；考查学生的运算求解能力．解题分析 设平行直线4380x y +-=的直线l 的方程为430x y t ++=，联立方程2430,,x y t y x ++=⎧⎨=-⎩得2340x x t --=，由2(4)43()0t ∆=--⨯⨯-=，解得43t =-，所以抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值为两平行直线间的距离43d ==．（也可利用函数求导，求切点坐标，利用点到直线的距离求解） 8．答案 C命题意图 本题考查程序框图；考查学生的数学运算及逻辑推理的能力．解题分析 循环前，1S =，5k =，第一次循环：5S =，4k =，继续循环，第二次循环：20S =，3k =，继续循环，第三次循环：60S =，2k =，循环终止，输出的60S =． 9．答案 A命题意图 本题考查二项式定理；考查学生的逻辑推理的能力．解题分析 由题知，821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数为143873280C C C =．10．答案 B命题意图 本题考查立体几何；考查学生的空间想象及数学运算的能力．解题分析 因为DA ⊥平面ABFE ，点F 到平面ABCD 的距离为2，所以等腰梯形ABFE 的高为2，腰AE =，因为四边形ABCD 为正方形，且2AB =，所以等腰梯形CDEF的高为，所以该羡除的表面积为11122(26)2(26)2212222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯=+ 11．答案 D命题意图 本题考查三角函数的性质；考查学生的数学运算的能力． 解题分析因为()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，且()f x 的零点构成一个公差为2π的等差数列，2ππω=，得2ω=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，所以()2sin 22sin 2663g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，其对称轴为42k x ππ=+，对称中心为,02k π⎛⎫⎪⎝⎭，故A ，B ，C 选项均错误，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2sin 2[x ∈．12．答案 A命题意图 本题考查数列的性质；考查学生的数学运算的能力．解题分析 因为()()1112n n n a a a +--=，所以1112n n n n n a a a a a ++--+=，所以111nn na a a ++=-，因为12a =-，所以2121123a -==-+，同理可得312a =，43a =，52a =-，所以数列{}n a 是一个周期为4的数列，又因为123411723326a a a a ⎛⎫+++=-+-++= ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的前2019项的和为7113517504(2)6326⎛⎫⨯+-+-+= ⎪⎝⎭．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．答案 7-命题意图 本题考查向量的数量积运算；考查学生的数学运算的能力．解题分析 因为(1,)a m =-r ，(2,1)b =-r ，所以(3,1)a b m +=-+r r ，因为()b a b ⊥+r r r，所以2(3)1(1)0m -⨯-+⨯+=，解得7m =-．14．答案 3命题意图 本题考查线性规划；考查学生的运算求解的能力． 解题分析 作出约束条件表示的可行域，如图所示，当直线2z x y =+经过点A 时，z 取得最大值，020x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即点A 的坐标为(1,1)，故z 取得最大值为3． 15．答案 (0,2)命题意图 本题考查函数的性质；考查学生的数学运算的能力． 解题分析 因为当0a b <…时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，所以函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递减，又因为()f x 的图象经过点(1,2)-，所以(1)2f -=，又因为()f x 为偶函数，所以(1)2f x -<等价于(1)(1)f x f -<-，所以|1||1|x -<-，解得02x <<．16．答案 10命题意图 本题考查立体几何的点线面位置关系；考查学生的空间想象和运算求解的能力．解题分析 因为BE DF =，所以四边形AEGF 为棱形，且EF =又因为正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱长为4，所以正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为16，又因为多面体ABCD AEGF -和多面体1111A B C D AEGF -的体积比为3∶5，所以多面体ABCD AEGF -的体积为31668V =⨯=，所以24V CG =，所以3CG =，所以217AG =，又因为四边形AEGF 为棱形，所以222481725AE EF AG =+=+=，所以52AE =，故截面AEGF 的周长为54102⨯=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．命题意图 本题考查解三角形；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力． 解题分析 （1）作PD AB ⊥于D ，设PD x =，则13x AD =，12x BD =，即3AD x =，2BD x =，而4AB =，故45x =，所以PA ==．（2）又因为tan tan tan()11tan tan PAB PBAPAB PBA PAB PAB∠+∠∠+∠==-∠⋅∠，又因为0PAB PBA π<∠+∠<，所以4PAB PBA π∠+∠=，所以CAP PBA ∠=∠，所以cos CAP ∠=，又因为2222cos PC AC AP AC AP CAP =+-⋅∠，解得PC =，又因为222PC PA AC +=，所以2APC π∠=．18．命题意图 本题考查面面垂直及二面角；考查学生的空间想象和运算求解的能力．解题分析 （1）记1AC ，1BC 的中点分别为G ，H ，连接GH ，GF ，HE ．如图所示，由题知，EF ⊥平面1BEC ，所以GH EH ⊥，因为13BEC π∠=，E 是BC 的中点，所以1EBC △为等边三角形，所以1EH BC ⊥，又因为GH ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC 1GH BC H ⋂=，所以EH ⊥平面1ABC ．由题知，FE GH =∥，所以FG EH ∥，所以FG ⊥平面1ABC ，又因为FG ⊂平面1AFC ，所以平面1AFC ⊥平面1ABC ．（2）建立如图所示空间直角坐标系，则1(0,0,2),(0,0,0),(0,2,1),(0,2,0),,0)A B F E C ，由题知，平面1BEC 的一个法向量(0,0,1)m =u r，设平面1AFC 的法向量(,,)n x y z =r，12)AC =-u u u r，(0,2,1)AF =-u u u r，所以2020y z y z -=⎧⎪+-=，令1y =，解得12x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以n =r ，所以cos ,2||||m n m n m n ⋅〈〉===⋅u r ru r r u r r ，所以平面1AFC 与平面1BEC 所成锐二面角的大小为4π．19．命题意图 本题考查直线与椭圆的综合应用；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力．解题分析 （1）由题知，(2,0)F ，设()11,M x y ，()22,N x y ，则22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得1212121244882y y x x x x y y -+=-⨯=-=--+，又因为02212-=--，所以直线MN 经过椭圆C 的右焦点．（2）当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，由221,84x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222124280k x kmx m +++-=，设()33,A x y ，()44,B x y ，所以342412km x x k +=-+，23422812m x x k -=+，又因为1PA PBk k +=，所以3434221y y x x --+=，即3434221kx m kx m x x +-+-+=，所以34342(2)1x x k m x x ++-⋅=，化简得24840m km k -+-=，所以(2)(42)0m m k --+=，又因为2m ≠，所以42m k =-，所以直线AB 的方程为42(4)2y kx k k x =+-=+-，经检验，符合题意，所以直线AB过定点(4,2)--，又当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为x n =，221A B y y n n--+=，又因为0A B y y +=，解得4n =-，也过点(4,2)--．综上知，直线AB 过定点(4,2)--．【归因导学】错↔学20．命题意图 本题考查概率统计；考查学生的创新与应用和运算求解的能力．解题分析 （1）设从A ，B 生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件C ，从A ，B 生产线上抽检到合格品分别为事件M ，N ，由题知，M ，N 互为独立事件，所以()P M p =，()21P N p =-，()1()1()()P C P M N P M P N =-⋅=-⋅21(1)[1(21)]12(1)p p p =----=--，令212(1)0p --…．995，解得0.95p …，故p 的最小值00.95p =． （2）由（1）可知，A ，B 生产线生产的产品为合格品率分别为0.95和0.9，不合格品率分别为0.05和0.1． ①由题知，A 生产线上随机抽检1000件产品，估计不合格品10000.0550⨯=（件），可挽回损失为505250⨯=（元），B 生产线上随机抽检1000件产品，估计不合格品10000.1100⨯=（件），可挽回损失为1003300⨯=（元）．由此，估计B 生产线挽回的平均损失较多．②由题知，X 的所有可能取值为6，8，10，用样本的频率分布估计总体分布，则20259(6)20040P X +===，60401(8)2002P X +===，203511(10)20040P X +===， 所以X 的分布列为所以9111()68108.140240E X =⨯+⨯+⨯=（元）． 故估计该厂产量为2000件时利润的期望值为20008.116200⨯=（元）．21．命题意图 本题考查函数单调性及恒成立求参数取值范围；考查学生的逻辑推理和运算求解的能力． 解题分析 （1）()1(0)a x af x x x x-'=-=>， ①当0a …时，()0x af x x-'=>，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增； ②当0a >时，()0x a f x x -'=>，解得x a >；()0x af x x-'=<，解得0x a <<．所以函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增．综上所述，当0a …时，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在区间(0, )a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增．（2）①当0a =时，1ae =，由（1）知，函数()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，所以()(1)0f x f =…恒成立，所以0a =符合题意；②当0a <时，1ae <，(1)0f a =<，不合题意；③当0a >时，令()(0)xg x e x x =->，()1xg x e '=-，当0x >时，()10xg x e '=->，所以0()001g x e >->=，所以a e a >，由（1）知，函数()f x 在区间(0, )a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增，所以函数()f x 在区间),a e ⎡+∞⎣上单调递增，所以()2()1a a f x f e e a a =-+-…，令2()1(0)x x e x x x ϕ=-+->，)1(2x x e x ϕ'=-+，令()21(0)x h x e x x =-+>，()2x h x e '=-，()0h x '>，解得ln2x >，()0h x '<，解得0ln2x <<，所以ln 2()()(ln 2)2ln 2132ln 20x h x h e ϕ'==-+=->…，所以函数()x ϕ在区间(0,)+∞上单调递增，所以02()0010x e ϕ>-+-=，所以()0f x >，即()0f x …恒成立，故0a >符合题意；综上可知，实数a 的取值范围为[0,)+∞．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]命题意图 本题考查坐标与参数方程；考查学生运算的能力．解题分析 （1）由ρθ=得220x y +-=，即22(5x y +-=， 直线l的普通方程为0x y m +--=，直线l 被圆C，所以圆心到直线l=，解得3m =或3m =-．（2）∵0m >，∴3m =，将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得，22(3))5+=，即2220t -+=，∵24420∆=-⨯=>，设1t ，2t 是上述方程的两个实数根，∴1212,21,t t t t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩又因为直线l过点P ，故由上式及t 的几何意义， 得()()1212||||22PA PB t t t t +=+=+=． 23．[选修4-5：不等式选讲]命题意图 本题考查解绝对值不等式；考查学生分类讨论得思想． 解题分析 （1）()(1)f x f >，即2|1||21|5x x ++->，①当12x >时，2(1)(21)5x x ++->，得1x >； ②当112x -≤≤时，2(1)(21)5x x +-->，得35>，不成立； ③当1x <-时，2(1)(21)5x x -+-->，得32x <-． 综上，所求x 的取值范围是3,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．（2）因为2|1||21||22||21||(22)(21)|3x x x x x x ++-=++-+--=…，所以113m n +…，因为0m >，0n >时，11m n +…，所以3，得23…，所以43m n +厖．。