42--25.3 用频率估计概率
25.3用频率估计概率(最新修正版)
思
柑橘总质量（n）/千克 50 100 150 200
考
柑橘损坏的频率（ 0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103
m n
损坏柑橘质量（m）/千克 5.50 10.5 15.15 19.42
）
250
300 350 400 450 500
26
试一试
2.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 000尾，一渔民通 过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是31% 310 270 和42%，则这个水塘里约有鲤鱼_______ 尾,鲢鱼_______ 尾. 3.动物学家通过大量的调查估计出，某种动物活到20岁 的概率为0.8，活到25岁的概率是0.5，活到30岁的概率 是0.3.现年20岁的这种动物活到25岁的概率为多少？现 年25岁的这种动物活到30岁的概率为多少？
根据估计的概率可以知道，在10 000千克柑橘中完好柑橘的质量为 10 000×0.9＝9 000千克，完好柑橘的实际成本为
2 10000 2 2.22元 / 千克 9000 0.9
设每千克柑橘的销价为x元，则应有（x－2.22）×9 000=5 000 解得 x≈2.8 因此，出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5 000元．
21
随堂练习：
完成下表, 利用你得到的结论解答下列问题:
柑橘总质量（n）/千克 50 100 150 损坏柑橘质量（m）/千克 5.50 10.5 15.15 柑橘损坏的频率（ 0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103
m n
知识应用
如图,长方形内有一不规则区域,现在玩投掷游戏,如 果随机掷中长方形的300次中，有150次是落在不规则图形 内. (1)你能估计出掷中不规则图形的概率吗？ (2)若该长方形的面积为150平方米,试估计不规则图形 的面积.
【精品讲义】人教版九年级数学(上)专题25.3 用频率估计概率-(知识点+例题+练习题)含答案
第二十五章 概率初步25.3 用频率估计概率用频率估计概率连续抛掷一枚质地均匀的硬币10次、20次、30次、40次、50次……分别记录每轮试验中硬币“正面向上”和“反面向上”出现的次数，求出“正面向上”和“反面向上”的频率，分析数据，可探索出频率的变化规律．用频率估计概率（1）从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率． （2）一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn稳定于某个常数p ，那么事件A 发生的概率P （A ）=p ．n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计摸到黄球的概率为A．0.3 B．0.7C．0.4 D．0.6【答案】A【解析】∵通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，∴估计摸到黄球的概率为0.3，故选A．【名师点睛】一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率mn稳定于某个常数p，那么估计事件A发生的概率P（A）=p．试验得出的频率只是概率的估计值．概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映出的规律并非在每一次试验中都发生．（1）将表格补充完成；（精确到0.01）（2）估计这名同学投篮一次，投中的概率约是多少（精确到0.1）？（3）根据此概率，估计这名同学投篮622次，投中的次数约是多少？【解析】（1）153÷300=0.51，252÷500≈0.50；故答案为：0.51，0.50；（2）估计这名同学投篮一次，投中的概率约是0.5；（3）622×0.5=311（次）．所以估计这名同学投篮622次，投中的次数约是311次．1．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是A．频率等于概率B．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近C．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近D．试验得到的频率和概率不可能相等2．随机事件A出现的频率mn满足A．mn=0 B．mn=1C．mn＞1 D．0<mn<13．两人各抛一枚硬币，则下面说法正确的是A．每次抛出后出现正面或反面是一样的B．抛掷同样的次数，则出现正、反面的频数一样多C．在相同条件下，即使抛掷的次数很多，出现正、反面的频数也不一定相同D．当抛掷次数很多时，出现正、反面的次数就相同了4．一个不透明的口袋里装有除颜色不同外其余都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出1球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球有A．60个B．50个C．40个D．30个5．在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共15个，每个球除颜色外都相同，每次摇匀后随即摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球实验后，发现摸到黑球的频率稳定于0.6，则可估计这个袋中红球的个数约为__________．6．在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：（1）上表中的a=__________；（2）“摸到白球”的概率的估计值是__________（精确到0.1）；（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？7．某批彩色弹力球的质量检验结果如下表：（1）请在图中完成这批彩色弹力球“优等品”频率的折线统计图（2）这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是多少？（精确到0.01）（3）从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率．（4）现从第（3）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为14，求取出了多少个黑球？1．在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，它们的形状、大小、质地等完全相同.小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色后放回……如此大量摸球试验后，小新发现从布袋中摸出红球的频率稳定于0.2，摸出黑球的频率稳定于0.5，对此试验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球试验，摸出白球的频率应稳定于0.3；②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球．其中说法正确的是A．①②③B．①②C．①③D．②③2．抛掷一枚质地均匀的硬币2000次，正面朝上的次数最有可能为A．500B．800C．1000D．12003．在一个不透明的盒子里装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有________个白球．4．一鱼池里有鲤鱼，鲫鱼，鲢鱼共1000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼，鲫鱼出现的概率约为31%和42%，则这个鱼池里大概有鲤鱼______尾，鲫鱼______尾，鲢鱼______尾.5．某公司对一批某品牌衬衣的质量抽检结果如下表．（1）从这批衬衣中抽1件是次品的概率约为多少？（2）如果销售这批衬衣600件，那么至少要再准备多少件正品衬衣供买到次品的顾客更换？6．小明抛硬币的过程(每枚硬币只有正面朝上和反面朝上两种情况)见下表，阅读并回答问题：（1）从表中可知，当抛完10次时正面出现3次，正面出现的频率为30%，那么，小明抛完10次时，得到__________次反面，反面出现的频率是__________；（2）当他抛完5000次时，反面出现的次数是__________，反面出现的频率是__________；（3）通过上表我们可以知道，正面出现的频数和反面出现的频数之和等于__________，正面出现的频率和反面出现的频率之和等于__________.1．（2019•湖北襄阳）下列说法错误的是A．必然事件发生的概率是1B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率C．概率很小的事件不可能发生D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得2．（2019•江苏泰州）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近A．20 B．300C．500 D．8003．（2019•绍兴）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.154．（2019•柳州）柳州市某校的生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果．下面是这个兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：依据上面的数据可以估计，这种植物种子在该实验条件下发芽的概率约是__________（结果精确到0.01）．5．（2019•长沙）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是__________．（结果保留小数点后一位）6．（2019•雅安）某校为了解本校学生对课后服务情况的评价，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制成了如下不完整的统计图．根据统计图：（1）求该校被调查的学生总数及评价为“满意”的人数；（2）补全折线统计图；（3）根据调查结果，若要在全校学生中随机抽1名学生，估计该学生的评价为“非常满意”或“满意”的概率是多少？1．【答案】C【解析】概率是一个确定的数，频率是一个变化量，当试验次数很大时，频率会稳定在概率附近.由此可得，选项C 正确.故选C ． 2．【答案】D【解析】大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，故频率mn的含义是在n 次试验中发生m 次，即必有0<mn<1．故选D ． 3．【答案】C【解析】抛硬币是一个随机事件，抛一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，但事先无法预料.故选C ． 4．【答案】C【解析】∵小亮共摸了1000次，其中200次摸到白球，则有800次摸到红球， ∴白球与红球的数量之比为1：4， ∵白球有10个，∴红球有10×4=40（个）， 故选C ． 5．【答案】6【解析】黑球个数为：150.69⨯=，红球个数：1596-=.故答案为：6．【名师点睛】本题考查了频数和频率，频率是频数与总数之比，掌握频数频率的定义是解题的关键. 6．【解析】（1）a =290500=0.58，故答案为：0.58； （2）随着实验次数的增加“摸到白球”的频率趋向于0.60，所以其概率的估计值是0.60，故答案为：0.60； （3）由（2）摸到白球的概率估计值为0.60，所以可估计口袋中白球的个数=20×0.6=12(个)，黑球20−12=8(个). 答：黑球8个，白球12个.【名师点睛】本题考查利用频率估计概率，事件A 发生的频率等于事件A 出现的次数除以实验总次数；在实验次数非常大时，事件A 发生的频率约等于事件发生的概率，本题可据此作答；对于（3）可直接用概率公式.7．【解析】（1）如图，（2）()10.9420.9460.9510.9490.9485⨯++++=1 4.7365⨯=0.9472≈0.95． （3）P （摸出一个球是黄球）=551322++=18．（4）设取出了x 个黑球，则放入了x 个黄球，则551322x +++=14，解得x =5．答：取出了5个黑球．【名师点睛】本题考查利用频率估算概率，数量较大、批次较多时用求平均值的方法更接近概率，理解题意灵活运用概率公式是解题关键.1．【答案】B【解析】∵在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，∴①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于：1–20%–50%=30%，故此选项正确； ∵摸出黑球的频率稳定于50%，大于其它频率，∴②从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大，故此选项正确；③若再摸球100次，不一定有20次摸出的是红球，故此选项错误；故正确的有①②．故选B．【名师点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据频率与概率的关系得出是解题关键．2．【答案】C【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币2000次，正面朝上的次数最有可能为1000次，故选C．【名师点睛】本题主要考查随机事件，关键是理解必然事件为一定会发生的事件；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．3．【答案】12【解析】∵共试验40次，其中有10次摸到黑球，∴白球所占的比例为：40103 404-=，设盒子中共有白球x个，则344xx=+，解得x=12，经检验，x=12是原方程的根，故答案为：12．【名师点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．4．【答案】310；420；270【解析】根据所给数据可得：鲤鱼：1000×31%=310(尾)；鲫鱼：1000×42%=420(尾)；鲢鱼：1000–310–420=270(尾).故答案为：310；420；270.5．【答案】（1）0.06；（2）36件【解析】（1）抽查总体数m=50+100+200+300+400+500=1550，次品件数n=0+4+16+19+24+30=93，P（抽到次品）=931550=0.06．（2）根据（1）的结论：P（抽到次品）=0.06，则600×0.06=36（件）．答：至少准备36件正品衬衣供顾客调换．6．【答案】（1）7；70%；（2）2502；50.04%；（3）抛掷总次数；1【解析】（1）从表中可知，当抛完10次时正面出现3次，正面出现的频率为30％，那么，小明抛完 10次时，得到7次反面，反面出现的频率是710=0.7=70%； （2）当他抛完5000次时，反面出现的次数是5000–2498=2502，反面出现的频率是2502÷5000=0.5004=50.04%；（3）通过上面我们可以知道，正面出现的频数和反面出现的频数之和等于抛掷总次数，正面出现的频率和反面出现的频率之和等于1.1．【答案】C【解析】A 、必然事件发生的概率是1，正确；B 、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确；C 、概率很小的事件也有可能发生，故错误；D 、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确，故选C ．2．【答案】C【解析】观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近，所以抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近1000×0.5=500次，故选C ．3．【答案】D【解析】样本中身高不低于180cm 的频率==0.15，所以估计他的身高不低于180cm 的概率是0.15．故选D ．4．【答案】【解析】概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，∴这种种子在此条件下发芽的概率约为0.95．故答案为：0.95．5．【解答】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近，故摸到白球的频率估计值为0.4；故答案为：0.4．6．【解析】（1）由折线统计图知“非常满意”9人，由扇形统计图知“非常满意”占15%，所以被调查学生总数为9÷15%=60（人），所以“满意”的人数为60–（9+21+3）=27（人）；15100（2）如图：（3）所求概率为．=6927035。
人教版数学九年级上册25.3《用频率估计概率》名师教案
25.3 用频率估计概率〔肖莲琴〕一、教学目标 〔一〕学习目标1．通过掷硬币、掷图钉，经历猜想、试验、收集数据、分析结果的过程，体会当试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性，开展学生根据频率的集中趋势估计概率的意识． 2．在生活实际问题中进一步体会利用频率的集中趋势估计概率，开展学生应用数学的能力． 〔二〕学习重点通过试验操作理解频率的稳定性. 〔三〕学习难点能根据频率的集中趋势估计概率，并理解概率与频率之间的关系. 二、教学设计 〔一〕课前设计 1．预习任务〔1〕频率：在n 次重复试验中，不确定事件A 发生了m 次，那么比值_____称为事件A 发生的频率．概率：刻画事件A 发生的可能性 大小 的数值称为事件A 发生的概率．〔2〕掷一枚质量均匀的硬币时会出现 正面向上 和 反面向上 两种结果，这两种结果发生的可能性是 一样的 ．准备一枚均匀的一元硬币，随机掷10次，并将你的结果记录在下表中：〔3〕阅读教材第142随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动，显示出一定的 稳定性 ，因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的 概率 ． 2．预习自测〔1〕色盲是伴X 染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随mn机抽取体检表，统计结果如下表：根据上表，估计在男性中，男性患色盲的概率为〔〕【知识点】频率的稳定性【解题过程】解：观察表格中频率的变化规律，当试验次数较大时，频率稳定在0.07附近，因此可以估计男性患色盲的概率为0.07.【思路点拨】并观察频率的变化规律【答案】B〔2〕关于频率和概率的关系，以下说法正确的选项是〔〕A．频率就是概率B．频率等于概率C．当试验次数很大时，频率稳定在概率的附近D．因为掷硬币出现正面向上的概率是0.5，所以抛掷一枚均匀硬币10次，一定出现5次正面向上【知识点】频率与概率的关系【解题过程】解：A频率是试验值，由试验结果断定；概率是理论值，由事件本质决定，因此说法错误；B屡次重复试验中频率稳定在概率附近，不一定相等，因此说法错误；C在屡次重复试验中，频率会稳定在概率的附近，说法正确；D试验次数较少，偶然性较大，因此说法错误.【思路点拨】理清频率与概率的区别与联系：频率是个试验值，试验结果不一样频率也就不一样，频率只能近似地反映事件发生的可能性的大小；而概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值，概率能准确的反映事件发生的可能性的大小．在屡次重复试验中，频率会稳定在概率的附近，因此可以用屡次重复试验中的频率估计概率．【答案】C〔3〕在一个不透明的袋子里装有除颜色以外均一样的8个黑球，4个白球，假设干个红球，每次摇匀以后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋子中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋子中的红球有〔 〕个. A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 【知识点】频率估计概率【解题过程】解：设袋子中红球有x ∴4.048=++xx，解得x ＝8．【思路点拨】大量重复试验中，摸到红球的频率稳定于0.4，因此可以推测摸到红球的概率也为0.4，再根据概率的计算公式可得红球数量． 【答案】B（4）某乳业集团位于内蒙古天然草场的养牛基地共有4500头牛，饲养员为了了解清楚公牛和母牛的比例，随机捕捉了200头牛做调查，发现其中母牛有180头，请估算该养牛基地共有〔 〕头公牛.A ．500B ．4050C ．3200D ．450 【知识点】频率与概率的关系【解题过程】解：在随机捕捉的200头牛中公牛数量为200-180=20头，那么估计该养牛场公牛占比为20÷200×100%=10%，估计公牛总量为4500×10%=450头. 【思路点拨】随机样本中的公牛比例与整个养牛基地的公牛比例近似相等. 【答案】D 〔二〕课堂设计 1．知识回忆〔1〕在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求随机事件的概率． 〔2〕我们常用列表和树状图两种方法列举试验的结果． 【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫. 2．问题探究探究一 通过频率估计概率〔★，▲〕 ●活动① 以旧引新教师提问引入：周末，在我市体育馆有一场精彩的篮球比赛，但是教师手里只有一张票，作为篮球迷的小强和小明都想去，这样教师很为难．请大家帮教师想一个公平的方法，来决定把这张票给谁．学生：抓阄、抽签、猜拳、掷硬币、……教师对学生较好的想法予以肯定，并从中抽选出掷硬币的方法． 师追问：为什么要用掷硬币的方法呢？生答：掷硬币公平，能保证小强和小明得到球票的可能性一样大．师问：用掷硬币的方法分配球票是一个随机事件，尽管事先不能确定结果是“正面向上〞还是“反面向上〞，但大家很容易感受到这两种随机事件的发生的可能性是一样，各为0.5，所以对于小强和小明来说这个方法是公平的．但是，我们的直觉是可靠的吗？掷硬币出现“正面向上〞和“反面向上〞的可能性真的是相等的吗？有什么方法可以验证呢？ ●活动② 大胆操作，探究新知掷硬币，观察随着抛掷次数的增加，“正面向上〞的频率nm的变化趋势 师问：课前，我们每个同学都进展了掷硬币的试验，并计算了“正面向上〞的频率，你有什么发现呢？汇总你们小组的抛掷数据你又有什么发现呢？如果将我们全班的数据统计起来又能发现什么呢？现在，我们就将每个组掷硬币的数据累计到excel 表格中〔见附件1〕：抛掷次数n50 100 150 200 250 300 350 400 “正面向上〞的频数m “正面向上〞的频率nm根据数据自动生成折线统计图：师问：随着试验次数的增加，“正面向上〞的频率nm有什么规律？ 学生观察折线统计图 生1答：频率nm 生2答：试验次数比拟小时，频率n m 波动比拟大，但试验次数较大时，频率n m比拟稳定 生3答：随着试验次数的增大，频率nm【设计意图】从学生们熟悉的掷硬币活动入手，既简单易操作，且更容易使学生看出频率稳定在0.5的附近，也即是概率的附近．●活动③ 掷图钉，观察随着抛掷次数的增加，“针尖向上〞的频率nm的变化趋势． 师问：可能有同学会觉得教师用大量重复试验的方法得到掷一枚硬币出现“正面向上〞的概率未免也太大费周章了，而且最终还只是一个概率的近似值！谁都知道掷一枚硬币出现“正面向上〞的概率为0.5，那么这种用试验的方法求随机事件的概率还有什么优点呢？ 师问：〔拿出一枚图钉〕大家知道随机抛掷一枚图钉出现“针尖向上〞的概率是多少吗？ 生答：不知道〔假设有答复“针尖向上〞概率为0.5的，需要教师及时引导由于图钉不是均匀物体，所以“针尖向上〞和“针尖向下〞两种事件的结果出现的可能性不一样大〕 师问：你能想方法得到“针尖向上〞的概率吗？学生小组讨论，设计方案：类似抛掷硬币的活动，通过大量重复试验的频率估计“针尖向上〞的概率．小组合作，得到抛掷50次图钉的数据．教师累计全班数据到excel 表格中〔见附件2〕：根据数据自动生成折线统计图：师问：随着试验次数的增加，“针尖向上〞的频率nm有什么规律？ 学生观察折线统计图 生1答：频率nm约等于…… 生2答：试验次数比拟小时，频率n m 波动比拟大，但试验次数较大时，频率n m比拟稳定 生3答：随着试验次数的增大，频率nm稳定在……的附近【设计意图】生活中有很多等可能性事件，不用试验也可以通过列举法理论分析出它发生的概率，但也有很多类似掷图钉的事件，它们不是等可能性试验，那它们发生的概率该如何得到呢？因此设计了本活动，鼓励学生合作探究，通过不熟悉的掷图钉活动，进一步感受当试验次数很大时，频率会稳定在一个固定的值的附近，因此可以用大量重复试验的频率估计概率． 总结：〔1〕随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动，显示出一定的稳定性，这个固定的数就是随机事件发生的概率，因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．〔2〕概率与频率之间是有区别和联系的：①区别：频率是个试验值，试验结果不一样频率也就不一样，频率只能近似地反映事件发生的可能性的大小；而概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值，概率能准确的反映事件发生的可能性的大小．②联系：可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．〔3〕用试验法通过频率估计概率的方法可以不受“各种结果出现的可能性相等〞的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大． 探究二 频率估计概率在生活实际问题中的应用 ●活动① 根底性例题例1 一个袋子中有两个黄球，三个白球，它们除颜色外均一样，小明随机从袋子中摸出一个球，恰好摸到了一个白球，那么以下说法正确的选项是〔 〕 A ．小明从袋子中取出白球的概率是1 B ．小明从袋子中取出黄球的概率是0 C ．这次试验中，小明取出白球的频率是1D ．由这次试验的频率可以去估计取出白球的概率是1 【知识点】频率与概率的关系【解题过程】A ．小明从袋子中取出白球的概率是53，故A 选项错误；B ．小明从袋子中取出黄球的概率是52，故B 选项错误；C ．这次试验里，一共摸了1次球，恰好是白球，所以这次试验中，小明取出白球的频率是1，故C 选项正确；D ．仅进展了一次试验，试验次数太少，频率不能估计概率，故D 选项错误．【思路点拨】此题需理清频率与概率的关系，概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值；频率是个试验值，试验结果不一样频率也就不一样．在大量重复试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动，显示出一定的稳定性，这个固定的数就是随机事件发生的概率，因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．不能将频率、概率混为一谈． 【答案】C练习 抛一枚普通硬币掷得反面向上的概率为21，它表示〔 〕 A ．连续抛掷硬币两次，一定是一次正面朝上，一次反面朝上 B ．每抛掷硬币两次，就一定有一次反面朝上C ．连续抛掷硬币200次，一定会出现100次反面朝上D ．大量反复掷硬币，平均每两次会出现一次反面朝上 【知识点】频率与概率的关系【解题过程】A ．掷两次硬币，偶然性较大，不一定是一次正面朝上，一次反面朝上，故A 选项错误；B ．每抛掷硬币两次偶然性较大，不一定有一次反面朝上，故B 选项错误；C ．连续抛掷硬币200次，试验次数较大，会出现100次左右的反面朝上，但也不能确定是100次，故C 选项错误；D ．大量反复掷硬币，出现反面朝上的频率应该会稳定在0.5的附近，即平均每两次会出现一次反面朝上，故D 选项正确． 【思路点拨】 【答案】D例2 小颖和小红两位同学在学习“概率〞时，做投掷骰子〔质地均匀的正方体〕试验，她们共做了60次试验，试验的结果如下表：〔1〕计算“3点朝上〞的频率和“5点朝上〞的频率；〔2〕小颖说：“根据试验，一次试验中出现5点朝上的概率最大．〞小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．〞小颖和小红的说法正确吗？为什么？ 【知识点】频率的计算；频率与概率的关系【解题过程】〔1〕∵“3点朝上〞出现的次数是8次， ∴“3点朝上〞的频率是152608=； 又∵“5点朝上〞出现的次数是15次， ∴“5点朝上〞的频率是416015= 〔2〕小颖和小红的说法都不正确但是由于60次试验次数较小，频率并不一定稳定在概率的附近，不能直接将此时的频率当成概率，因此小颖的说法是错误的．如果掷600次，虽然试验次数较大，但频率也只是稳定在概率61的附近，约为100次，不一定正好是100次，因此小红的说法也是错误的．【思路点拨】此题一定要弄清频率与概率的关系，理解它们的区别与联系：频率不能简单等同于概率，但试验次数较大时，频率稳定在概率的附近，因此可以用反复试验后的频率估计概率．【答案】见上面解题过程练习 为了看一种图钉落地后针尖着地的概率有多大，小明和小华做了屡次试验，并将结果记录在下表：〔1〕分别计算抛掷次数为50次和200次时，针尖着地的频率；〔2〕根据计算结果，小明认为：“抛掷这种图钉，针尖着地的概率大约是0.45〞，小华认为：“每抛掷100次这种图钉，一定出现45次针尖着地〞．你认为他们的说法正确吗？为什么？【知识点】频率的计算；频率与概率的关系【解题过程】〔1〕∵抛掷50次时，“针尖着地〞的频数是23， ∴“针尖着地〞的频率是46.05023=； 又∵抛掷200次时，“针尖着地〞的频数是89， ∴“针尖着地〞的频率是445.020089= 〔2〕小明的说法正确，因为根据表格中频率的变化趋势，当试验次数增加时，频率稳定在0.45的附近，因此可以估计抛掷这种图钉，针尖着地的概率大约是0.45；小华的说法错误，因为抛掷这种图钉，针尖着地的概率大约是0.45，所以每抛掷100次这种图钉，只能说大约出现45次针尖着地，不能说一定是45次．【思路点拨】此题一定要弄清频率与概率的关系，理解它们的区别与联系：频率不能简单等同于概率，但试验次数较大时，频率稳定在概率的附近，因此可以用反复试验后的频率估计概率．【答案】见上面解题过程【设计意图】对于初学者而言，“频率〞、“概率〞两个词只有一字之差，容易混为一谈，但其实二者是既有区别又有联系的．通过例1、例2及两个练习题，使学生充分理解频率和概率两个概念的含义． ●活动2 提升型例题例1 下表是某机器人做9999次“抛硬币〞游戏时记录下的出现正面朝上的频数和频率.〔1〕由这张频数和频率表可知机器人抛掷完5次时，得到_______次正面朝上，正面朝上出现的频率是________．〔2〕由这个频数和频率表可知机器人抛掷完9999次时，得到次正面朝上，正面朝上出现的频率约是．〔3〕观察上面表格中频率的变化趋势，你能发现什么？【知识点】用频率估计概率【解题过程】〔1〕直接根据表格中的数据可知，机器人抛掷完5次时，有1次正面朝上，正面朝上的频率是20%；〔2〕直接根据表格中的数据可知，机器人抛掷完9999次时，有5006次正面朝上，正面朝上的频率是50.1%；〔3〕观察频率的变化趋势发现：当机器人抛掷次数较小时，出现正面朝上的频率波动较大；当机器人抛掷次数较大时，出现正面朝上的频率比拟稳定，稳定在50%的附近．【思路点拨】试验次数较大时的频率具有稳定性．【答案】〔1〕1 20%〔2〕5006 50.1%〔3〕观察频率的变化趋势发现：当机器人抛掷次数较小时，出现正面朝上的频率波动较大；当机器人抛掷次数较大时，出现正面朝上的频率比拟稳定，稳定在50%的附近．练习一粒木质中国象棋子“兵〞，它的正面雕刻一个“兵〞字，它的反面是平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵〞字面朝上，也可能是“兵〞字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵〞字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如下表：〔1〕请你数据表补充完整；〔2〕如果实验继续进展下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？【知识点】用频率估计概率【解题过程】〔1〕∵试验总次数为40，而“兵〞字面朝上的频率为0.45，∴“兵〞字面朝上的频数＝40×0.45＝18又∵试验总次数为120，而“兵〞字面朝上的频数为66，∴〔2〕观察表格中频率的变化趋势，随着试验次数的增加，“兵〞字面朝上的频率逐渐稳定在0.55的附近，因此估计“兵〞字面朝上的概率为0.55．【思路点拨】试验次数较大时的频率具有稳定性，因此可以用大量重复试验下的频率估计概率．例2 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全一样的球，这a个球中只有3个红球．假设每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，那么a的值大约为____．【知识点】用频率估计概率、古典概型概率计算方法【解题过程】由于通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，所以，摸到红球的概率就为20%．因为，一共有a个除颜色外完全一样的球，其中只有3个红球所以，摸到红球的概率为3=a20%解得：a＝15所以，a的值为15【思路点拨】抓住等可能性随机事件概率既可以通过大量重复试验得到，也可以通过古典概型的计算公式得到．【答案】15练习为了估计暗箱里白球的数量〔箱内只有白球〕，将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，屡次重复后发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为________个． 【知识点】用频率估计概率、古典概型概率计算方法所以，摸到红球的概率就为0.2．设一共有x 个白球，其中有5个红球，所以一共有(x ＋5)个球 所以，摸到红球的概率为55x 解得：x ＝20所以，有20个白球．【思路点拨】古典概型的概率可以根据概率的计算公式求，也可以根据大量重复试验所得的频率来求，这样始终就存在一个等量关系，利用这个等量关系，往往可以求一些未知的数量. 【答案】20【设计意图】通过数量直接求频率、用频率估计概率和逆用概率公式求数量两个方向的例题及练习题目，进一步加深学生对频率、概率的理解，为学生能顺利解决下一组例题奠定根底． ●活动3 探究型例题例1 某园林公司要考察某种幼苗在一定条件下的移植存活率，应采用什么具体做法？ 〔1〕如图是一张模拟统计表，请补全表中的空缺，并完成表下的填空：〔2〕从上表可以发现，随着移植数的增加，幼苗移植成活的频率越来越稳定，当移植总数为14000时，成活的频率为0.902，于是估计该幼树移植成活的概率为______．〔3〕假设某校需要移植500棵该种幼树，估计需要向这个园林公司购置多少棵幼树？〔结果保存整数〕【知识点】设计频率统计方案，用频率估计概率【解题过程】设计的方案为：在同样条件下，对这种幼树进展大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率．随着移植数n 越来越大，成活频率nm会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值．〔1〕直接用成活数m 除以移植总数n〔2〕观察频率的变化趋势发现，随着移植数的增加，幼苗移植成活的频率越来越稳定在0.9的附近，因此可以估计该幼树移植成活的概率为0.9；假设需要购置x 课该种幼树，那么由题意可得：9.0500=x解得：556≈x需要购置556课该种幼树 【答案】见上面解题过程练习：某地区林业局要考察一种树苗移植的存活率，对该地区这种树苗移植成活情况进展了统计，并绘制了如下图的统计图，根据统计图提供的信息解决以下问题：/千棵〔1〕这种树苗成活的频率稳定在_________，成活的概率估计值为_________ 〔2〕该地区已经移植这种树苗5万棵 ①估计这种树苗成活了_______万棵；②如果该地区方案成活18万棵这样的树苗，那么还需要移植这种树苗约多少万棵？ 【知识点】屡次重复试验，用频率估计概率【解题过程】〔1〕观察统计图可以发现当移植数量较多时，成活的频率稳定在0.9的附近，因此估计这种树苗的成活概率为0.9；〔2〕①②∵18－4.5＝13.5〔万棵〕∴还需移植13.5÷0.9＝15〔万棵〕【思路点拨】首先观察统计图估计出这种树苗成活的概率为0.9，然后利用成活概率和移植总数就可以计算出成活的树苗，也可以用方案成活的树苗和概率求出应移植的树苗．【答案】〔1〕0.9 0.9 〔2〕①4.5 ②15万棵例2 某水果公司以2元/kg的本钱价新进10000kg的柑橘．销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取假设干柑橘，进展“柑橘损坏率〞统计，并把获得的数据记录在下表中，请你帮助完成此表．如果公司希望这批柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘〔去掉损坏的柑橘〕时，每千克大约定价为多少元比拟适宜？【知识点】频率的计算与应用频率稳定性【解题过程】①表格：0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103．②根据表格中的频率变化规律，可以估计柑橘损坏的概率为0.1，即柑橘完好的概率为0.9，所以在10000 kg的柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9＝9000〔kg〕完好柑橘的实际本钱为22.29.029000100002≈=⨯〔元/kg 〕设每千克柑橘的售价为x 元，那么50009000)22.2(=⨯-x解得：8.2≈x ．【思路点拨】先计算柑橘损坏的频率nm，再观察频率的变化趋势，根据频率估计出损坏柑橘的概率，得到销售商实际销售的完好的柑橘数量，计算出完好柑橘的实际本钱，再根据利润为5000元建立方程即可． 【答案】见上面解题过程．练习：某制衣厂对该厂生产的名牌衬衫抽检结果如下表：〔1〕补全表格〔结果保存2位小数〕〔2〕假设该制衣厂一共生产了1000件这种衬衫，且每件衬衫的本钱价为80元，要使这批衬衫能获利17000元，那么在出售衬衣〔除去不合格衬衣〕时，每件衬衣的出厂价应定为多少元？【知识点】频率的计算与应用频率稳定性【解题过程】〔1〕根据频率的计算公式：频率＝不合格件数÷抽检件数 ∴，〔2〕根据表格中的频率变化规律，可以估计这批衬衣不合格的概率为0.03，即合格的概率为0.97，所以在1000件的衬衣中合格的衬衣有 1000×0.97＝970〔件〕设在出售衬衣〔除去不合格衬衣〕时，每件衬衣的出厂价应定为x 元，那么由题意可得：970x －1000×80＝17000 解得：x ＝100∴在出售衬衣〔除去不合格衬衣〕时，每件衬衣的出厂价应定为100元．【思路点拨】观察不合格衬衣频率的变化趋势，根据频率估计出不合格衬衣的概率，得到这批衬衣合格的件数，再根据利润为17000元建立方程即可．〔2〕100元【设计意图】频率、概率来源于生活，又效劳于生活，通过树苗移植成活率、柑橘的定价问题，将频率、概率与实际生活联系起来，表达了用数学的思想．3．课堂总结知识梳理〔1〕生活中有一些随机事件发生的概率不能用列举法得到，只能通过大量重复试验估计随机事件的频率；〔2〕当试验次数很大时，频率稳定在一个固定的数值附近，这个数值就是该事件发生的概率，但频率和概率不能简单的等同；〔3〕概率与频率之间的区别和联系：区别：频率是个试验值，试验结果不一样频率也就不一样，频率只能近似地反映事件发生的可能性的大小；而概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值，概率能准确的反映事件发生的可能性的大小．联系：可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．重难点归纳〔1〕通过大量重复试验，频率会稳定在概率的附近；〔2〕生产生活中，可以设计大量重复试验来估计随机事件的概率；〔3〕求随机事件的方法：列举法〔等可能性事件〕、试验法〔不等可能事件〕．〔三〕课后作业根底型自主突破1．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率和概率，以下说法正确的选项是〔〕A．频率就是概率B．频率与试验次数无关C．概率会随着试验结果的变化而变化D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率【知识点】频率与概率的意义。
九年级数学上册(人教版)25.3用频率估计概率说课稿
课后，我将通过以下方式评估教学效果：
1.作业批改：观察学生的作业完成情况，了解学生对知识点的掌握程度。
2.学生访谈：了解学生对课堂教学的意见和建议，及时调整教学方法。
3.同行听课：邀请同事听课，听取意见和建议，提高教学质量。
反思和改进措施：
九年级数学上册（人教版）25.3用频率估计概率说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课选自人教版九年级数学上册第25章第3节“用频率估计概率”。该章节在整个课程体系中起到了承上启下的作用，前面学习了概率的基本概念、计算方法等，为本节课奠定了基础；而本节课的内容又将为进一步学习概率统计打下基础。本节课的主要知识点包括：频率的概念、频率与概率的关系、如何利用频率估计概率等。
2.生生互动：组织学生进行小组讨论、合作实验，鼓励学生相互交流、分享观点。设置小组竞赛，激发学生的团队精神，提高学生的参与度。
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我将采用以下方式导入新课：
1.创设情境：向学生展示一个简单的游戏，如抛硬币、掷骰子等，让学生猜测游戏结果，引发学生对概率问题的思考。
（二）学习障碍
学生在学习本节课之前，已经掌握了概率的基本概念、计算方法等前置知识。但在学习本节课时，可能存在的学习障碍有：
1.频率的定义较为抽象，学生理解起来可能存在困难。
2.学生在将频率与概率联系起来时，可能会感到困惑，难以区分两者的关系。
3.学生在运用频率估计概率时，可能会受到直观感觉的影响，导致估计不准确。
2.频率与概率的关系：引导学生观察实验数据，发现频率与概率之间的联系，理解在大量反复试验中，频率的稳定值可以作为概率的估计值。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第25章25.3 用频率估计概率
25.3 利用频率估计概率一、教学目标【知识与技能】理解每次试验可能的结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，利用统计频率的方法估计概率.【过程与方法】经历利用频率估计概率的学习，使学生明白在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率.【情感态度与价值观】通过研究如何用统计频率求一些现实生活中的概率问题，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】对利用频率估计概率的理解和应用.【教学难点】利用频率估计概率的理解.五、课前准备课件等.六、教学过程（一）导入新课教师问：抛掷一枚均匀硬币，硬币落地后，会出现哪些可能的结果呢？（出示课件2）学生答：出现“正面朝上”和“反面朝上”两种情况.教师问：它们的概率是多少呢？学生答：都是1.2教师问：在实际掷硬币时，会出现什么情况呢？（出示课件3）在学完用列举法求随机事件发生的概率这节内容后，小明同学提出一个问题.他抛掷一枚硬币10次，其正面朝上的次数为5次，是否可以说明“正面向上”这一事件发生的概率为0.5？用列举法可以求一些事件的概率.实际上，我们还可以利用多次重复试验，通过统计试验结果估计概率.（板书课题）（二）探索新知探究一用频率估计概率出示课件5-9：抛硬币实验(1)抛掷一枚均匀硬币400次，每隔50次记录“正面朝上”的次数，并算出“正面朝上”的频率，完成下表：(2)根据上表的数据，在下图中画统计图表示“正面朝上”的频率.学生尝试画图：的直线，你发现了什么？(3)在上图中，用红笔画出表示频率为12的直线，并观察思考.学生画出表示频率为12教师强调：试验次数越多频率越接近0. 5，即频率稳定于概率.(4)下表是历史上一些数学家所做的掷硬币的试验数据，这些数据支持你发现的规律吗？学生答：支持.教师问：抛掷硬币试验有什么特点？学生答：1.可能出现的结果数有限；2.每种可能结果的可能性相等.教师问：如果某一随机事件，可能出现的结果是无限个，或每种可能结果发生的可能性不一致，那么我们无法用列举法求其概率，这时我们能够用频率来估计概率吗？学生独立思考，交流.出示课件10-13：图钉落地的试验从一定高度落下的图钉，着地时会有哪些可能的结果？其中顶帽着地的可能性大吗？(1)选取20名同学，每位学生依次使图钉从高处落下20次，并根据试验结果填写下表.(2)根据上表画出统计图表示“顶帽着地”的频率.学生尝试画图：(3)这个试验说明了什么问题？学生答：在图钉落地试验中，“顶帽着地”的频率随着试验次数的增加，稳定在常数56.5%附近.出示课件14：教师归纳：通过大量重复试验，可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率.出示课件15：知识拓展：人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由于众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果虽不尽相同,但大量重复试验所得结果却能反应客观规律.这称为大数法则,亦称大数定律.出示课件16：教师强调：一般地，在大量重复试验中，随机事件A发生的(这里n是实验总次数，它必须相当大，m是在n次试验中随机事件A发频率mn生的次数）会稳定到某个常数P.于是，我们用P这个常数表示事件A发生的概率，即P（A）=P.练一练：判断正误（出示课件17）⑴连续掷一枚质地均匀硬币10次，结果10次全部是正面，则正面向上的概率是1.（2）小明掷硬币10000次，则正面向上的频率在0.5附近.（3）设一大批灯泡的次品率为0.01，那么从中抽取1000只灯泡，一定有10只次品.学生思考后口答：⑴错误；⑵正确；⑶错误.出示课件18：例1 某篮球队教练记录该队一名主力前锋练习罚篮的结果如下：（1）填表（精确到0.001）；学生计算后并填表:（2）比赛中该前锋队员上篮得分并造成对手犯规，罚篮一次，你能估计这次他能罚中的概率是多少吗？学生独立思考后口答：从表中的数据可以发现，随着练习次数的增加，该前锋罚篮命中的频率稳定在0.8左右，所以估计他这次能罚中的概率约为0.8.巩固练习：（出示课件19）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是( )A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D.掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4学生自主思考后口答：D.出示课件20，21：例2 瓷砖生产受烧制时间、温度、材质的影响，一块砖坯放在炉中烧制，可能成为合格品，也可能成为次品或废品，究竟发生那种结果，在烧制前无法预知，所以这是一种随机现象.而烧制的结果是“合格品”是一个随机事件，这个事件的概率称为“合格品率”.由于烧制结果不是等可能的，我们常用“合格品”的频率作为“合格品率”的估计.某瓷砖厂对最近出炉的一大批某型号瓷砖进行质量抽检，结果如下：(1)计算上表中合格品率的各频率(精确到0.001);(2)估计这种瓷砖的合格品率(精确到0.01);(3)若该厂本月生产该型号瓷砖500000块，试估计合格品数.学生计算思考后，师生共同解答.（出示课件22）解：(1)逐项计算，填表如下：稳定在0.962⑵观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数n≥400时，合格品率mn的附近，所以我们可取P=0.96作为该型号瓷砖的合格品率的估计.(3)500000×96%=480000(块)，可以估计该型号合格品数为480000块.出示课件23:教师归纳总结：频率与概率的关系在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为它的估计值.区别：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能不同，而概率是一个确定数，是客观存在的，与试验无关.巩固练习：（出示课件24）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：(1)计算表中相应的“射中9环以上”的频率(精确到0.01)；(2)这些频率具有什么样的稳定性？(3)根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率(精确到0.1)学生自主思考后独立解答：⑴计算如下：⑵稳定在0.8附近；⑶0.8.（三）课堂练习（出示课件25-34）1.某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过92.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 000尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是31%和42%，则这个水塘里有鲤鱼尾,鲢鱼尾.3.抛掷硬币“正面向上”的概率是0.5.如果连续抛掷100次，而结果并不一定是出现“正面向上”和“反面向上”各50次，这是为什么？4.在一个不透明的盒子里装有除颜色不同其余均相同的黑、白两种球，其中白球24个，黑球若干.小兵将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：(1)请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近（精确到0.1）；(2)假如你摸一次，估计你摸到白球的概率P（白球）= .5.填表：由上表可知：柑橘损坏率是，完好率是.6.某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克柑橘，如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？7.某池塘里养了鱼苗10万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为95%，一段时间准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼重2.5千克，第二网捞出25条，称得平均每条鱼重2.2千克，第三网捞出35条，称得平均每条鱼重2.8千克，试估计这池塘中鱼的重量.参考答案：1.D解析：由图知试验结果在0.33附近波动，因此概率约等于0.33.取到红球概率为0.6，故A错；骰子向上的面点数是偶数的概率为0.5，故B错；两次都出现反面的概率为0.25，故C错，骰子两次向上的面点数之和是7或超过9的概率≈0.33，故D正确.为132.310；2703.答：这是因为频数和频率的随机性以及一定的规律性.或者说概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.4.⑴0.6；⑵0.6.5.解：填表如下：由上表可知：柑橘损坏率是0.10，完好率是0.90.6.分析：根据上表估计柑橘损坏的概率为0.1，则柑橘完好的概率为0.9.解：根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9=9000千克，完好柑橘的实际成本为21000020= 2.22(90009⨯≈元/千克），设每千克柑橘的销价为x 元，则应有（x-2.22）×9000=5000，解得x ≈2.8.因此，出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元.7.解：先计算每条鱼的平均重量是：（2.5×40+2.2×25+2.8×35）÷（40+25+35）=2.53（千克）；所以这池塘中鱼的重量是2.53×100000×95%=240350（千克）.（四）课堂小结1.你知道什么时候用频率来估计概率吗？2.你会用频率估计概率来解决实际问题吗？七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于学生对概率意义的理解，使之明确频率与概率的联系，也使本节课教学重难点得以突破.当然，学生随机观念的养成是循序渐进的、长期的.这节课教师应把握教学难度，注意关注学生接受情况.。
25.3 用频率估计概率
课题：25.3 用频率估计概率课时：2 备课时间：一、教学内容分析教科书这一节从统计试验结果频率的角度去研究一些随机试验中事件的概率．教科书设置了一个投币试验，一方面要求学生亲自动手试验获得数据，从数据中发现规律；另一方面还给出历史上投币试验的数据，为学生发现规律提供帮助。
二、教学目标(一)知识与技能知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值；在具体情境中了解概率的意义。
（二）、过程与方法让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型。
初步理解频率与概率的关系。
（三）情感态度与价值观在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲.体验数学的价值与学习的乐趣。
通过概率意义教学，渗透辩证思想教育。
三、学情分析通过学生的亲手试验和历史数据，学生能够用自己在统计中学过的频率知识来研究投掷一枚硬币时“正面向上”的频率的大小。
学生应该很感兴趣，又使学生明确，频率与概率是两个不同的概念，频率与试验的次数有关，而频率的稳定性又说明了概率是一个客观存在的数，是随机事件自身的一个属性，它与试验次数无关。
四、教学策略选择与设计教师引导---学生自学---小组互动---当堂检测五、教学重点及难点1.重点：能从频率值角度估计事件发生的概率；2.难点：对频率与概率关系的初步理解。
六、教学流程（一）、创设情境，引出问题教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票，小强与小明都是班里的篮球迷，两人都想去.我很为难，真不知该把球给谁.请大家帮我想个办法来决定把球票给谁.学生：抓阄、抽签、猜拳、投硬币，……教师追问，为什么要用抓阄、投硬币的方法呢？由学生讨论：这样做公平.能保证小强与小明得到球票的可能性一样大在学生讨论发言后，教师评价归纳.用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件，尽管事先不能确定“正面朝上”还上“反面朝上”，但同学们很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的可能性是一样的，各占一半，所以小强、小明得到球票的可能性一样大.质疑：那么，这种直觉是否真的是正确的呢？引导学生以投掷壹元硬币为例，不妨动手做投掷硬币的试验来验证一下.（二）动手实践，合作探究1．教师布置试验任务.（1）明确规则.把全班分成10组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学观察试验必须在同样条件下进行. （2）明确任务，每组掷币50次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上”的频数及“正面朝上”的频率，整理试验的数据,并记录下来..2．教师巡视学生分组试验情况.3.各组汇报实验结果.由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与先前的猜想有出入.4．全班交流.把各组测得数据一一汇报，教师将各组数据记录在黑板上.全班同学对数据进行累计，按照书上P140要求填好25-2.并根据所整理的数据，在25.1-1图上标注出对应的点,完成统计图.想一想1：观察统计表与统计图，你发现“正面向上”的频率有什么规律？注意学生的语言表述情况，意思正确予以肯定与鼓励.“正面朝上”的频率在0.5上下波动.想一想2：随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？在学生讨论的基础上，教师帮助归纳.使学生认识到每次试验中随机事件发生的频率具有不确定性，同时发现随机事件发生的频率也有规律性.在试验次数较少时，“正面朝上”的频率起伏较大，而随着试验次数的逐渐增加，一般地，频率会趋于稳定，“正面朝上”的频率越来越接近0.5. 这也与我们刚开始的猜想是一致的.我们就用0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小。
25.3用频率估计概率(2)
3、在一个盒子中有红球、黑球和黄球共20个，每个球除颜色外都相同，从中任意摸一球，得到红球的概率为，得到黑球的概率为，试求这20个球中黄球共有多少个？
2、你对同学还有那些温馨的提示？
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五、课后巩固
1.有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1000个.为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，据此可以估计红球的个数约为
马家砭中学导学稿
科目
数学
课题
25．3用频率估计概率（2）
授课时间
11.28
设计人
韩伟
课型
新授
班级
九年级
姓名
学习
目标
1.理解实验次数较大时实验频率趋与稳定这一规律，掌握如何用频率估计概率。
2.通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系。
学法指导
实验、合作、探究
一、自主先学
认真自学课本143页至145页练习前内容，并注意：
（8分钟后，看谁自学的好，自学的认真，并能做对检测题。）
二、新知探究
为估计某天鹅湖中天鹅的数量，先捕捉10只，全部做上记号后放飞．过了一段时间后，重新捕捉40只，其中带有标记的天鹅有2只．据此你能估算出该地区大约有天鹅多少只吗？
（1）上面的问题中样本是什么？
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2.王叔叔承包了鱼塘养鱼，到了收获时期，他想知道池塘里大约有多少条鱼，于是他先捞出1000条鱼，将他们做上标记，然后放回鱼塘，经过一段时间后，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，从中捕捞出150条鱼，发现有标记的鱼有3条，则：池塘内约有多少条鱼？（2）如果每条鱼重0.5千克，每千克鱼的利润为1元，那么估计它所获得的利润为多少元？
25.3用频率估计概率解决问题(教案)
在学生小组讨论环节，我尽量以引导者的身份参与其中，但在启发学生思考问题时，我发现自己提问的方式有时过于直接，可能限制了学生的思维。在今后的教学中，我应该尝试提出更多开放性的问题，激发学生的创新思维。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了频率与概率的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对用频率估计概率的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在完成“25.3用频率估计概率解决问题”这一章节的教学后，我对自己在课堂教学中的表现进行了深刻的反思。首先，我觉得在导入新课环节，通过提问方式引导学生思考日常生活中的概率问题，效果还是不错的，学生的兴趣和好奇心被充分调动起来。但在新课讲授过程中，我发现部分学生对频率与概率的概念理解不够深入，可能是我讲解得不够详细，也可能是我没有给学生提供足够的思考空间。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括：1.培养学生的数据分析观念，使其能够运用频率估计概率，理解数据背后的随机性，提高数据处理能力；2.培养学生的逻辑推理能力，使其在解决概率问题时，能够运用所学知识进行合理的推理；3.培养学生的数学建模素养，通过构建数学模型来描述和解决现实生活中的概率问题；4.培养学生的数学应用意识，让学生在实际问题中发现、提出、分析并解决概率问题，体会数学与现实生活的紧密联系。通过本节课的学习，使学生能够运用数学知识解决现实问题，提高其数学核心素养。
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皮尔逊 24000 12012
罗曼诺夫 80640 39699 斯基
正面出现频率 0.5069 0.5005 0.4979 0.5016 0.5005 0.4923
1、统计数据； 2、计算频率； 3、绘制折线统计图； 4、观察规律。
从长期的实践中，人们观察到，对一般的 随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次 数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固 定数值的附近摆动，显示出一定的稳定性。
雅各布·伯努利（1654-1705）， 被公认是概率论的先驱之一， 他最早阐明了随着实验次数的 增加，频率稳定在概率附近。
归纳：
一般地,在大量重复试验中,如果事件 A
m
发生的频率
稳定于某个常数 p ,
n
那么事件 A 发生的概率
P(A)= p
（1）抛掷硬币100次，一定有50次正面向上吗？ 抛掷2n次一定有n次正面向上吗？
(2)估计这个鱼塘可产这种鱼多少千克?
样本
总体
解：(1) 设鱼塘中这种鱼大约有x条，
102：2＝x：100，所以x＝5100 ；
(2) 5100×[(150+150-2×1.5)÷(100+102-2)] =7573.5(千克)
答：估计鱼塘中这种鱼大约有5100条， 这个鱼塘可产这种鱼7573.5千克.
(1)随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？ 随着调查次数的增加，红色的频率基本稳定在40%左右.
(2)你能估计调查到10 000名同学时，红色的频率是多少吗？ 估计调查到10 000名同源自时，红色的频率大约仍是40%左右.
总结
弄清了一种关系------频率与概率的关系
当试验次数很多或试验时样本容量足够大时,一件事 件发生的频率与相应的概率会非常接近.此时,我们可以用 一件事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
（2）小明投篮5次，命中4次，他说一次投中 的概率为5分之4对吗？
试一试
1.某厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种 颜色的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5000 名中学生，并在调查到1000名、2000名、3000名、4000名、 5000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制折线图如下：
25.3 用频率估计概率
知识回顾
• 抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”
和“反面向上”发生的可能性相等，这两
个随机事件发生的概率分别是
。
• 这是否意味着抛掷一枚硬币100次时，就会 有50次“正面向上”和50次“反面向上”
呢？
试验
把全班同学分成10组，每组同 学掷一枚硬币50次，把本组的试验 数据进行统计，“正面向上”和 “反面向上”的频数和频率分别是 多少？
了解了一种方法--用多次试验所得的频率去估计 概率
体会了一种思想： 用样本去估计总体 用频率去估计概率
问题：某鱼塘捕到100条鱼,称得总重为150千克,这些鱼大小差不 多, 做好标记后放回鱼塘,在它们混入鱼群后又捕到102条大小差不
多的同种鱼,称得总重仍为150千克,其中有2条带有标记的鱼. (1)鱼塘中这种鱼大约有多少条?
在多次试验中，某个事件出现的次 数叫 频数 ，某个事件出现的次 数与试验总次数的比，叫做这个事件 出现的 频率 .
下表列出了一些历史上的数学家所做的掷硬币试 验的数据：
试验者 投掷次数 正面出现频数
布丰
4040 2048
德.摩根 4092 2048
费勒
10000 4979
皮尔逊 12000 6019