2012届高考数学复习 第95课时 第十三章 导数-导数的概念及运算名师精品教案
高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第13讲导数的意义及运算课件文
＝6.
第十五页，共26页。
【规律方法】求函数的导数时，要准确地把函数分割为基
本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数，对于不具
备求导法则的结构形式要进行适当的恒等变形(biàn xíng).注意求函数的
导数(尤其是对含有多个字母的函数)时，一定要清楚函数的自
变量是什么，对谁求导，如f(x)＝x2＋sinα的自变量为x，而f(α)
__________．
解析：∵f′(x)＝a(1＋lnx)，∴f′(1)＝a＝3.
答案：3
第十四页，共26页。
(3) 已知函数(hánshù) f(x) 的导函数(hánshù)为 f′(x) ，且满足 f( 2x·f′(2)，则 f′(5)＝________.
解析(jiě xī)：对 f(x)＝3x2＋2xf′(2)求导，得 f′(x)＝6x＋2f′(2)． 令 x＝2，得 f′(2)＝－12.再令x＝5，得 f′(5)＝6×5＋2f′(2)
B．－2C．11 D．2 Nhomakorabea解
析
：
∵
f′(x0)
＝
lim
k 0
f[x0＋－k]－fx0 －k
＝
2(Δx
＝
－
k)
，
∴lim k 0
fx0－k2k－fx0＝－12
lim
k 0
f[x0＋－－kk]－fx0＝－12f′(x0)＝
－12×2＝－1.
第十三页，共26页。
考点(kǎo 导di数ǎn)(d2ǎo shù)的计算
uvxx′＝u′xv[xv－xu]2xv′x[v(x)≠0].
第六页，共26页。
1．已知函数(hánshù) f(x)＝4π2x2，则 f′(x)＝(C )
导数的概念教学课件
最值点的求法
通过求导数，将导数为零的点 找出来，再将这些点与两端点 的函数值进行比较，便可以找 到函数极值点。
曲线绘制
导数可以帮助我们知道函数曲 线的大致方向和特征。在给出 一定条件的前提下，可以合理 地绘制函数曲线的形状、特征 和重要点。
导数运算法则
1
求导常数
对于常数C，它的导数等于0，即
复合函数求导
记忆公式和规律
通过记忆求导公式和规律， 可以轻松快速地求解导数。
练习问题和案例
通过练习求解不同类型和难 度的练习问题和案例，可以 更全面地掌握导数。
导数与曲线的关系
1
绝对值的导数
2
绝对值函数不光滑，在x=0处的导数不
存在。但是向左趋近于0的导数是-1，
向右趋近于0的导数是+1。
3
最大值和最小值
当导数为0时，曲线有转折点，可能 是最大值或最小值。
导数为正的情况
导数为正表示函数在这个点上单调递 增，曲线向上缓慢地变化。导数越大， 表明曲线越陡峭，变化越快。
为什么要学习导数？
导数不仅是微积分学科的基础，也是数学、物理等科学领域中重要的分析工具。理解导数对 于提升数学素养及解决实际问题都有非常重要的帮助。
导数的基本性质
1
可加性
如果函数f(x)和g(x)都有导数，那么它们的和(或差)也有导数。
2
乘法法则
如果函数f(x)和g(x)都有导数，那么它们的乘积就有导数，且导数等于f(x)的导数 乘以g(x)再加上g(x)的导数乘以f(x)。
导数与微分的关系
1 导数和微分是相关的
2 微分的应用
导数是微分的一种表示方法，一阶导数就 是微分。微分是导数的积分，反之亦然。
2012年高考复习名师指导《导数的应用综合》课件
• 4．(文)若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像的 顶点在第二象限，则函数f ′(x)的图像是 ( )
[解析]
b 4c－b2 由题意可知 － ， 2 在第二象限 4
b －2<0 ⇒ 2 4 c － b >0 4
⇒b>0，又 f ′(x)＝2x＋b，故选 C.
• [例2] 求下列函数的导数：
1 5 4 3 (1)y＝5x －3x ＋3x2＋ 2； (2)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； x (3)y＝ ； 1－x＋x2 (4)y＝3xex－2x＋e； lnx (5)y＝ 2 ； x ＋1 (6)y＝xcosx－sinx.
(7)y＝(1＋sinx)2； (8)(理)y＝ln x2＋1； (9)(理)y＝cos32x＋ex； (10)(理)y＝lg 1－x2.
f′(u)·φ′(x)
• 基础自测 • 1．(2010· 新课标文)曲线y＝x3－2x＋1在 点(1,0)处的切线方程为( ) • A．y＝x－1 B．y＝－x－1
• C．y＝2x－2
• [答案] A
D．y＝－2x－2
• [解析] 本题考查了导数的几何意义，切 线方程的求法，在解题时应首先验证点是 否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜 率，题目定位于简单题．
• 导数是中学选修内容中较为重要的知识，近几 年高考对导数的考查每年都有，选择题、填空 题、解答题都曾出现过，而且近几年有加强的 趋势，预测2012年对本单元的考查为： • (1)导数的概念、导数的几何意义主要以小题的 形式出现． • (2)导数的运算是每年必考的，但不会对其进行 单纯考查，多与导数的应用综合，以考查函数 的单调性、极值、最值问题，以大题形式出 现．
• [答案] C • [解析] 解法1：令x0－Δx＝x′0，则当
导数的概念及基本运算复习ppt课件
【思维总结】 对于未给出切点的题目，要求切线方程，先 设出切点坐标,建立切线方程,再利用过已知点求切点坐标．
跟踪训练
2．对于本题函数 y＝13x3＋43，求曲线在点 P(2,4)的切线方程．
解：∵y′＝x2， ∴在 P(2,4)的切线的斜率为 k＝y′|x＝2＝4， ∴曲线在 P(2,4)的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
() A．0
B．1
C．－2
D．2
答案：C
4．(2012·高考广东卷)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程 为________． 答案：y＝2x＋1 5．若函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)，则f′(2)＝________. 答案：15
考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 求函数的导数
函数的导数与函数在某点的导数其意义是不同的，前者是指 导函数，后者是指导函数在某点的具体函数值．
即 y＝x20·x－23x30＋43.
∵P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43， 即 x30－3x20＋4＝0. ∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2. 故所求切线方程为 4x－y－4＝0 或 x－y＋2＝0.
2．导函数
如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点可导，就说f(x)在开区间
(a，b)内可导．对于开区间(a，b)内每一个确定的x0，都对应 着一个确定的导数f′(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个 新 的 函 数 ， 我 们 把 这 一 新 函 数 叫 做 f(x) 在 开 区 间 (a ， b) 内 的 _导__函__数___，记作f′(x)或y′.
高等数学导数的概念ppt课件.ppt
x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
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作业
P49 5 , 7, 9
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
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练习：讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
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导数概念课件
02
导数的性质
函数单调性与导数的关系
总结词
函数单调性与导数正负有关
详细描述
如果函数在某区间的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0， 则函数在此区间单调递减。
极值与导数的关系
总结词
极值点导数为0或不存在
详细描述
函数在极值点处的导数为0或不存在，即一阶导数为0或不可导点。
曲线的切线与导数的关系
导数概念ppt课件
• 导数的基本概念 • 导数的性质 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史与发展
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要工具 斜率，它描述了函数在该点附近的局 部变化趋势。通过求导，可以找到函 数值随自变量变化的速率和方向。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率，它 反映了函数图像在该点的切线状 态。
详细描述
在几何上，导数表示函数图像在 某一点的切线斜率。这个切线与x 轴的夹角即为该点的导数值，表 示函数在该点附近的变化趋势。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义在于描述物理量随时间或空间的变化率。
详细描述
在物理学中，许多物理量都可以表示为函数形式，如速度、加速度、密度等。导 数可以帮助我们理解这些物理量如何随时间或空间变化，从而揭示物理现象的本 质。例如，速度是位移函数的导数，加速度是速度函数的导数等。
对于两个函数的乘积，其导数 为第一个函数的导数乘以第二 个函数加上第一个函数乘以第 二个函数的导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导，则 $(uv)' = u'v + uv'$。
对于两个函数的商，其导数为 被除函数的导数除以除函数的 导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导且 $v(x) neq 0$， 则 $frac{u'}{v'} = frac{u'v}{uv'}$。
导数的概念及其意义、导数的运算(精讲)2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第14讲 导数的概念及其意义、导数的运算（精讲）题型目录一览一、导数的概念和几何性质1.概念 函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()lim limx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0x x y ='．注：增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有 多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数；2.几何意义 函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．二、导数的运算1.求导的基本公式2.导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±； （2）函数积的求导法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+； （3）函数商的求导法则：()0g x ≠，则2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-=． 3.复合函数求导数复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间关系为 x u x y y u '''=： 【常用结论】1.在点的切线方程切线方程000()()()y f x f x x x '-=-的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩． 2.过点的切线方程设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-，又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线） 题型一 导数的定义策略方法 对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出.【题型训练】一、单选题二、填空题题型二导数的运算策略方法对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题.【题型训练】一、解答题题型三 导数中的切线问题①-求在曲线上一点的切线方程策略方法 已知切点A (x 0，f (x 0))求切线方程，可先求该点处的导数值f ′(x 0)，再根据y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)求解．【题型训练】一、单选题二、填空题4．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线2y x 在点()2,4处的切线与曲线()e xf x x =-在点()()00,x f x 处的7．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知函数()|ln |f x x =，直线1l ，2l 是()f x 的两条切线，1l ，2l 相交于点Q ，若12l l ⊥，则Q 点横坐标的取值范围是________． 三、解答题题型四 导数中的切线问题①-求过一点的切线方程策略方法设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-， 又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值【题型训练】一、单选题二、填空题题型五 导数中的切线问题①-求参数的值(范围)策略方法 1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围． (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．【典例1】已知函数()2ln f x ax b x =-在点()()1,1f 处的切线为1y =，则a b +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【题型训练】一、单选题的横坐标为（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()xf x xe =与()()2g x x ax a =+∈R 的图象在()0,0A 处有相同的切线，则=a （ ） A ．0B ．1-C ．1D ．1-或13．（2023春·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）若点P 是函数()2ln f x x x =-任意一点，则点P 到直线二、填空题点()1,0处的切线与直线10x by -+=垂直，则a b +=__________．7．（2023春·云南·高三校联考开学考试）已知直线y ax b =+与曲线ln 2y a x =+相切，则223a b +的最小值为____________．。
2024版高考数学总复习：导数的概念及运算课件
′ ′ − ′
＝
2
(g(x)≠0)．
1．和差的导数运算法则可以推广到任意有限个可导函数的和差求导
运算．
2．应用积商的导数运算法则时要注意，不能对构成积商的两个函数
简单求导．
5．复合函数的导数
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它
×
×
1
2
3
4
5
)
2．曲线y＝sin x＋ex在点(0，1)处的切线方程是(
A．x－3y＋3＝0
B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0
D．3x－y＋1＝0
)
C 解析：y′＝cos x＋ex，令x＝0得切线的斜率k＝2，切线方程为y＝
2x＋1，即2x－y＋1＝0.
1
2
3
4
5
3．函数y＝cos (1＋x2)的导数是(
(1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．
(
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．
(
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．
( × )
(
)
√
(
)
×
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．
(5)函数f(x)＝sin (－x)的导数是f′(x)＝cos x．
)
点M的坐标为_________．
(－2，9)
解析：因为f(x)＝2x2＋1，所以f′(x)＝4x. 令4x0＝－8，则x0
＝－2，所以f(x0)＝9，所以点M的坐标为(－2，9)．
1
2
3
4
5
5．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线为y＝－2x＋5，则f(2)＋
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第95课时：第十三章 导数——导数的概念及运算
课题：导数的概念及运算 一．复习目标：
理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程． 二．知识要点：
1．导数的概念：0()f x '= ； ()f x '= ． 2．求导数的步骤是 3．导数的几何意义是 ． 三．课前预习：
1．函数2
2
(21)y x =+的导数是 （ C ）
()A 32164x x + ()B 348x x + ()C 3168x x + ()D 3164x x +
2．已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可（ A ）
()A )1(3)1()(2-+-=x x x f ()B )1(2)(-=x x f ()C 2)1(2)(-=x x f ()D 1)(-=x x f
3．曲线2
4y x x =-上两点(4,0),(2,4)A B ，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标为 （ B ）
()A (1,3)
()B (3,3) ()C (6,12)- ()D (2,4)
4．若函数2
()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象是（ A ）
5．已知曲线()y f x =在2x =-处的切线的倾斜角为
34
π
，则(2)f '-=1-，[(
2)]f '-=0．
6．曲线2122y x =-
与3124y x =-在交点处的切线的夹角是4
π． 四．例题分析：
例1．（1）设函数2
()(31)(23)f x x x x =+++，求(),(1)f x f ''-；
（2）设函数32
()25f x x x x =-++，若()0f x '=，求x 的值．
（3）设函数()(2)n
f x x a =-，求()f x '．
解：（1）32()61153f x x x x =+++，∴2
()18225f x x x '=++ （2）∵32()25f x x x x =-++，∴2
()341f x x x '=-+
由()0f x '=得：2
03410x x -+=，解得：01x =或013
x =
（3）0(22)(2)()lim n n
x x a x x a f x x
∆→-+∆--'=∆
112
210
lim[(2)24(2)2()]n n n n
n n n n x C x a C x x a C x ---∆→=-⋅+∆-++∆12(2)n n x a -=-
例2．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离2
12
S gt =
其中t 为经历的时间，29.8/g m s =，若 0(1)(1)
lim
t S t S V t
∆→+∆-=∆9.8/m s =，则下列说法正确的是（ C ）
（A ）0～1s 时间段内的速率为9.8/m s
（B ）在1～1+△ts 时间段内的速率为9.8/m s （C ）在1s 末的速率为9.8/m s
（D ）若△t ＞0，则9.8/m s 是1～1+△ts 时段的速率；
若△t ＜0，则9.8/m s 是1+△ts ～1时段的速率．
小结：本例旨在强化对导数意义的理解，0lim →∆t t
S t S ∆-∆+)
1()1(中的△t 可正可负
例3．（1）曲线C ：3
2
y ax bx cx d =+++在(0,1)点处的切线为1:1l y x =+ 在(3,4)点处的切线为2:210l y x =-+，求曲线C 的方程；
（2）求曲线3:2S y x x =-的过点(1,1)A 的切线方程．
解：（1）已知两点均在曲线C 上. ∴⎩
⎨⎧=+++=439271
d c b a d
∵2
32y ax bx c '=++ /
(0)f c = /
(3)276f a b c =++
∴12762
c a b c =⎧⎨
++=-⎩， 可求出1
1,1,,13d c a b ===-=
∴曲线C ：3
2113
y x x x =-
+++ （2）设切点为3000(,2)P x x x -，则斜率2
00()23k f x x '==-，过切点的切线方程为：
3200002(23)()y x x x x x -+=--，
∵过点(1,1)A ，∴32
000012(23)(1)x x x x -+=--
解得：01x =或01
2
x =-，当01x =时，切点为(1,1)，切线方程为：20x y +-= 当012x =-时，切点为17
(,)28
--，切线方程为：5410x y --=
例4．设函数1
()1,0f x x x
=-
>(1)证明：当0a b <<且()()f a f b =时，1ab >； (2)点00(,)P x y （0<x 0<1）在曲线()y f x =上，求曲线上在点P 处的切线与x 轴，y 轴正向所围成的三角形面积的表达式．（用0x 表示） 解：（1）∵()()f a f b =，∴11|1||1|a b -
=-，两边平方得：22121211a a b b
+-=+- 即：1
11111
()()2()a b a
b a b -+=-，
∵0a b <<，∴110a b -≠，∴11
2,2a b ab a b
+=+=
2ab a b ⇒=+>∴1ab >
（2）当01x <<时，11
()11f x x x
=-
=-，00201()(01)f x x x '=-<<
曲线()y f x =在点P 处的切线方程为：0020
1
()y y x x x -=-
-， 即：0
200
2x x y x x -=-
+ ∴切线与与x 轴，y 轴正向的交点为2
000
2(2,0),(0,
)x x x x -- ∴所求三角形的面积为2200000021
1()(2)(2)22
x A x x x x x -=
-⋅=-
例5．求函数4
2y x x =+- 图象上的点到直线4y x =-的距离的最小值及相应点的坐标.
解：首先由⎩⎨⎧-=-+=4
24x y x x y 得4
20x += 知，两曲线无交点.
341y x '=+，要与已知直线平行，须3411x +=，0x =
故切点：（0 , －2）. d ==2.
五．课后作业：
1．曲线3
2
31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为
（ ）
()A 34y x =- ()B 32y x =-+ ()C 43y x =-+ ()D 45y x =-
2．已知质点运动的方程为2
4105s t t =++，则该质点在4t =时的瞬时速度为（ ）
()A 60 ()B 120 ()C 80 ()D 50
3．设点P 是曲线3
3
5
y x =-+
上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 （ ）
()A 2[0,
]3π ()B 2[0,][,)23πππ ()C 2(,]23ππ ()D 2[,]33
ππ 4．若0()2f x '=，则00()()
lim 2k f x k f x k
→∞--=
5．设函数()f x 的导数为()f x '，且2
()2(1)f x x xf '=+，则(2)f '=
6.已知曲线3:2S y x x =-
（1）求曲线S 在点(1,1)A 处的切线方程；（2）求过点(2,0)B 并与曲线S 相切的直线方程．
7.设曲线S ：3
2
66y x x x =---，S 在哪一点处的切线斜率最小？设此点为00(,)P x y 求证：曲线S 关于P 点中心对称.
8.已知函数2
2
(),()f x x ax b g x x cx d =++=++. 若(21)4()f x g x +=，且
()()f x g x ''=，(5)30f =，求(4)g ．
9..曲线(1)(2)y x x x =+-上有一点P ，它的坐标均为整数，且过P 点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.
10.已知函数3
2
y x ax bx c ==++的图像过点(1,2)P .过P 点的切线与图象仅P 点一个公共点，又知切线斜率的最小值为2，求()f x 的解析式。