零极点分析

+ R2 v2 (t)
+ x(t)
（1）求冲激响应 ）求冲激响应h(t)； ； (2）求输出电压v2(t)； ）求输出电压 ；
1 V2 (s) K 1/ R2 + sC = = 解: （1） H(s) = 1 X (s) R + s+β 1 1/ R2 + sC
−
C
−
K
R 1
+ x(t)
−
C
−αt
−βτ
K H(s) = x(t) = Ee u(t) s+β KE 或： V (s) = H(s) X (s) = 2 (s +α)(s + β ) KE 1 1 = − [ ] β −α s +α s + β
−αt
KE −αt −βt v2 (t) = (e − e )u(t) (α ≠ β ) β −α
若
（1）
y ( k ) (0 − ) = 0, x ( k ) (0 − ) = 0
对式（ ）两边取拉氏变换得： 对式（1）两边取拉氏变换得：
bm s m + bm −1s m −1 + ⋯ + b1s + b0 Yzs ( s ) = X (s) n n −1 an s + an −1s + ⋯ + a1s + a0
H(s) =
ω
(s − a)2 +ω2
↔ h(t) = eat sinωtu(t) (a > 0)
2. 二阶极点 平面坐标原点的二阶极点， （1）s平面坐标原点的二阶极点，如 ） 平面坐标原点的二阶极点
1 H(s) = 2 ↔ h(t) = tu(t) s
（2）负实轴上的二阶极点 ）
1 H(s) = ↔ h(t) = te−a t u(t) (a > 0) (s + a)2
非稳定系统（极点在右半 平面 平面） 非稳定系统（极点在右半s平面） 一阶：阶跃或等幅振荡（临界稳定） 一阶：阶跃或等幅振荡（临界稳定） 如果在虚轴上→ 如果在虚轴上 二阶： 二阶：以上不稳定系统
H(s)零点的位置对系统的特性有何影响呢？ 零点的位置对系统的特性有何影响呢？ 零点的位置对系统的特性有何影响呢
∆2 s + 2s + 1 I 2 (s) = =− 2 V1 ( s ) ∆ s + 5s + 2
2
I 2 ( s) s + 2s + 1 Y21 ( s ) = =− 2 V1 ( s ) s + 5s + 2
2
5.2 零、极点分布与时域响应特性 f (t ) F (s ) h(t ) H (s )
当 而
x(t) = δ (t)时， yzs (t) = h(t)
X (s) = [δ (t)] =1
Yzs (s) = H(s)
所以 或 简记为：
h(t) =
−1
[H(s)]
H(s) =
[h(t)]
h(t)
H(s)
5.1.3 系统函数 系统函数H(s)的求法 的求法 （1）由零状态下系统的微分方程经拉氏变换求得 ） （2）由冲激响应的拉氏变换求得 ） 域模型、 （3）用零状态下的 域模型、应用电路分析方法求得 ）用零状态下的s域模型
例5-2：求下图电路的转移导纳函数 ：
I 2 (s) H ( s ) = Y21 ( s ) = V1 ( s)
1 1F + V1(s) 1 I1(s) 1 I2(s) I3(s) 1F
1 1F + V1(s) 解：列写回路方程 1 I1(s) 1 I2(s) I3(s) 1F
1 1 ( +1)I1(s) + I2 (s) − I3 (s) =V1(s) s s 1 1 I1(s) + ( + 2)I2 (s) + I3 (s) = 0 s s 1 1 2 − I1(s) + I2 (s) + ( +1)I3 (s) = 0 s s s
H(s)
Y(s)
注意： 、 独立于输入， 注意：1、H(s)独立于输入，仅由系统特性决定； 独立于输入 仅由系统特性决定；
2、系统函数是在零状态条件下得到的； 、系统函数是在零状态条件下得到的； 3、线性时不变系统的H(s)是s的有理函数。 、线性时不变系统的 的有理函数。 是 的有理函数
H(s)名称的含义 名称的含义
1 +1 s ∆= 1 1 − s
1 1 +2 s 1 s
1 − s 1 s 2 + 5s + 2 = s s2 2 +1 s 1 − s 1 s 2 + 2s + 1 =− V1 ( s ) 2 s s 2 +1 s
1 + 1 V1 ( s ) s ∆2 = + 2s + 1 I 2 (s) = =− 2 V1 ( s ) ∆ s + 5s + 2
α h2 (t ) = [ H 2 ( s)] = e [cos ω t − sin ω t ] = e −αt A cos(ω t + ϕ ) ω 其中： A = 1 + ( α ) 2 , ϕ = arctan α ω ω
+
x(t) -
vR(t)
--------- 转移电压比（电压传输函数） 转移电压比（电压传输函数）
VR (s) R H(s) = = X (s) R + sL R 1 = ⋅ L s+ R L
5.1.2 系统函数 系统函数H(s)与冲激响应 的关系 与冲激响应h(t)的关系 与冲激响应
Yzs (s) = H(s) X (s)
s→pi s→zi
若lim H(s) = 0， zi为 点 则 零 。
s[(s −1)2 +1] s(s −1+ j)(s −1− j) H(s) = = 2 2 (s +1) (s +4) (s +1)2(s +2j)(s −2j)
p1 = p2 = −1 极点： 极点： p3 = 2 j p = −2 j 4
考虑如下两个系统： 考虑如下两个系统：
s +α H1 ( s) = (s + α )2 + ω 2 h1 (t ) =
−1
[ H1 ( s )] = e −αt cos ω t
α ω s s +α ω H 2 (s) = = − (s + α )2 + ω 2 (s + α )2 + ω 2 (s + α )2 + ω 2
+ R2 v2 (t)
K H(s) = s+β
其中：
−
x(t) = Ee u(t) ∴ h(t) =
（2）
t
R + R2 1 K= , β= 1 RC R R2C 1 1
−β t
−1
[H(s)] = Ke
t 0 −α (t −τ )
u(t)
v2 (t) = h(t) ∗ x(t) = ∫ h(τ )x(t −τ )dτ = ∫ Ke Ee dτ ⋅ u(t) 0 KE −αt −βt = (e − e )u(t) (α ≠ β ) β −α
H(s)能否反映 能否反映h(t)的特性？ 的特性？ 能否反映 的特性 5.2.1 零点与极点的概念
bms +bm−1s +⋯ +bs +b0 B(s) 1 = H(s) = n n−1 ans + an−1s +⋯ + a1s + a0 A(s)
m
m−1
若lim H(s) = ∞,则 i为 点 p 极 ；
5.1 系统函数与冲激响应
5.1.1 系统函数的定义 阶微分方程为： 设系统的 n 阶微分方程为：
an y (t ) + an −1 y
(n)
( n −1)
(t ) + ⋯ a1 y (t ) + a0 y (t )
(1)
= bm x ( m ) (t ) + bm −1 x ( m −1) (t ) + ⋯ + b1 x (1) (t ) + b0 x(t )
下示电路在t=0时开关 闭合，接入信号源x(t),电感起始电流为 时开关S闭合 例：下示电路在 时开关 闭合，接入信号源 电感起始电流为 零，求电流i(t)。 求电流 。
x(t)
x(t ) = Vm sin(ωt )
V mω X (s) = 2 s +ω2
I ( s) 1 1 1 H ( s) = = = ⋅ X (s) sL + R L s + R L
--------- 策动点导纳函数
1 1 Vmω I (s) = H(s) X (s) = ⋅ ⋅ 2 2 L s + R s +ω L
R − t Vm 2 2 2 L i (t ) = 2 2 ωLe + R + ω L sin(ωt − ϕ ) 2 ω L +R
ωL ϕ = arctan R
Yzs (s) bms + bm−1s +⋯b s + b0 1 H(s) = = n n−1 X (s) ans + an−1s +⋯a1s + a0
m
m−1
--------- “系统函数”或“网络函数”
简写为： 简写为：
Y(s) H(s) = X (s)
X(s)
或： Y (s) = H(s) X (s)
d 2 y(t) dy(t) +3 + 2y(t) = x(t) 例5-1：已知 ： 2 dt dt